(ตัวอย่างการแก้ปัญหา)

ตัวนำโดดเดี่ยว

ตัวอย่าง 7.1

หาความจุของตัวนำทรงกลมรัศมี R 1 ล้อมรอบด้วยชั้นไดอิเล็กตริกที่มีศูนย์กลางอยู่ติดกันซึ่งมีการอนุญาติ และรัศมีรอบนอก R 2 .

วิธีการแก้.

วิธีที่ 1. ให้เราแจ้งตัวนำประจุและหาความแรงของสนามไฟฟ้าในพื้นที่โดยรอบ ขนาดของสนามการกระจัดไฟฟ้าคือ

สำหรับ

นั่นเป็นเหตุผล:

.

แรงดันตัวนำ แสดงนิพจน์ต่อไปนี้:

ค่าของความจุได้มาจากคำจำกัดความจากนิพจน์:

.

วิธีที่ 2ให้เราพิจารณาลูกบอลนำไฟฟ้าที่ล้อมรอบด้วยไดอิเล็กทริกเป็นระบบของตัวเก็บประจุทรงกลมที่เชื่อมต่อแบบอนุกรม (ดูรูป) ใช้ผลลัพธ์ของแบบฝึกหัด 7.4 สำหรับค่าความจุที่เราได้รับ:,

. ความจุของระบบทั้งหมดถูกกำหนดโดยนิพจน์

,

ซึ่งแน่นอนว่าตรงกับผลลัพธ์ที่ได้จากวิธีที่ 1

ตัวเก็บประจุแบบแบน

ตัวอย่างที่ 7.2

ช่องว่างระหว่างจาน ตัวเก็บประจุแบบแบนเต็มไปด้วยไดอิเล็กทริกที่มีการซึมผ่านขึ้นอยู่กับระยะทาง xหันหน้าไปทางใดทางหนึ่งตามกฎหมาย

โดยที่  1 เป็นค่าคงที่ d - ระยะห่างระหว่างจาน พื้นที่ของแต่ละซับใน ส. หาความจุของตัวเก็บประจุ

วิธีการแก้.

ลองนึกภาพตัวเก็บประจุที่เต็มไปด้วยไดอิเล็กทริกที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเป็นระบบที่ไม่มีที่สิ้นสุดของตัวเก็บประจุพื้นฐานที่เชื่อมต่อเป็นอนุกรมซึ่งมีความจุเท่ากับ

. ความจุของระบบทั้งหมดถูกกำหนดโดยนิพจน์:

จากที่เราได้รับ:

.

ตัวเก็บประจุทรงกลม

ตัวอย่างที่ 7.3

ค้นหาความจุของตัวเก็บประจุทรงกลมซึ่งรัศมีของเพลตนั้น เอและ ข, และ เอ < ข rไปที่ศูนย์กลางของคอนเดนเซอร์

, ที่ไหน

.

วิธีการแก้.

วิธีที่ 1

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ตัวเก็บประจุแบบทรงกลมที่มีการกระจายไดอิเล็กตริกที่ไม่สม่ำเสมอแต่สมมาตรทรงกลมสามารถแสดงเป็นระบบของตัวเก็บประจุแบบทรงกลมพื้นฐานที่เชื่อมต่อแบบอนุกรมที่มีความจุ

และหาความจุของระบบเป็น

.

วิธีที่ 2

ขนาดของสนามรางไฟฟ้าในกรณีนี้จะเท่ากับ

และความแรงของฟิลด์นี้ถูกกำหนดโดยนิพจน์ ค่าแรงดันไฟฟ้าในกรณีนี้จะเท่ากับและค่าความจุ

ตัวเก็บประจุทรงกระบอก

ตัวอย่าง 7.4

ค้นหาความจุของตัวเก็บประจุทรงกระบอกยาว l, รัศมีของแผ่นเปลือกโลกซึ่ง เอและ ข, และ เอ < ข, หากช่องว่างระหว่างแผ่นเปลือกโลกเต็มไปด้วยไดอิเล็กตริกการซึมผ่านจะขึ้นอยู่กับระยะทาง rไปยังแกนของตัวเก็บประจุเป็น

, ที่ไหน

.

วิธีการแก้. ลองนึกภาพตัวเก็บประจุทรงกระบอกเป็นตัวเก็บประจุพื้นฐานที่เชื่อมต่อแบบอนุกรมที่มีความจุ

. ค่าความจุของตัวเก็บประจุพื้นฐานทั้งระบบสามารถหาได้จากความสัมพันธ์

จากที่นี่ในที่สุดเราก็ได้คำตอบ:

.

ตัวอย่างที่ 7.5

ตัวเก็บประจุทรงกระบอกมีเส้นผ่านศูนย์กลางแผ่นด้านนอก .สิ่งที่ควรจะเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของเยื่อบุด้านใน ที่แรงดันไฟฟ้าที่กำหนดผ่านตัวเก็บประจุ ความเครียด สนามไฟฟ้าที่ชั้นใน

เป็นขั้นต่ำ?

วิธีการแก้. ขนาดของความแรงของสนามไฟฟ้าที่ชั้นใน

หาได้จากความสัมพันธ์ต่อไปนี้ การแทนที่ค่าความจุของตัวเก็บประจุทรงกระบอก (ดูแบบฝึกหัด 7.5) นำไปสู่นิพจน์:

.

ในการหาส่วนปลาย เราหาอนุพันธ์ของตัวส่วน (เพราะตัวเศษมีค่าคงที่)

.

เท่ากับศูนย์เราพบว่า

. ว่าสอดคล้องกับขั้นต่ำ

สามารถตรวจสอบได้โดยการหาอนุพันธ์อันดับสองและกำหนดเครื่องหมายที่

.

การเชื่อมต่อตัวเก็บประจุ

ตัวอย่าง 7.6

ตัวเก็บประจุสี่ตัวพร้อมความจุ

และ เชื่อมต่อดังแสดงในรูป อัตราส่วนความจุของตัวเก็บประจุควรตอบสนองอย่างไรเพื่อให้ความต่างศักย์ระหว่างจุด และ เท่ากับศูนย์?

วิธีการแก้.เนื่องจากประจุเหมือนกันในตัวเก็บประจุที่เชื่อมต่อแบบอนุกรม 1 และ 2 ความสัมพันธ์จึงสำเร็จ

.

ต้องมีความสัมพันธ์ที่คล้ายกันสำหรับตัวเก็บประจุ 3 และ 4:

.

ระหว่างจุด และ ไม่มีความแตกต่างที่อาจเกิดขึ้นได้ จำเป็นที่ความเท่าเทียมกัน

และ

. หารเทอมด้วยอัตราส่วนของอัตราส่วนแสดงความเท่าเทียมกันของประจุและลดลงด้วยค่าความต่างศักย์ที่เท่ากัน เราจะได้

.

ความจุร่วมกัน

ตัวอย่าง 7.7

มีตัวนำสองตัวที่ห่างกันมาก ความจุหนึ่ง ค 1 , ค่าใช้จ่ายของมัน คิวหนึ่ง . ความจุของตัวนำที่สอง ค 2 , ชาร์จ คิว 2. ตัวเก็บประจุที่ไม่มีประจุในตอนแรก จากต่อด้วยสายไฟเส้นเล็กกับตัวนำเหล่านี้ ค้นหาค่าใช้จ่าย qตัวเก็บประจุ ค.

R

วิธีการแก้.หลังจากเชื่อมต่อตัวเก็บประจุและสร้างสมดุลไฟฟ้าสถิตแล้ว ประจุและศักย์ไฟฟ้าของตัวนำและแผ่นตัวเก็บประจุจะเป็นดังแสดงในรูป ศักยภาพของตัวนำระยะไกลจะสัมพันธ์กับประจุของพวกมันโดยความสัมพันธ์:

,

. สำหรับแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุ เราเขียนความสัมพันธ์:

ซึ่งค่าประจุของตัวเก็บประจุสามารถหาได้ในเชิงพีชคณิตและนำเสนอในรูปแบบ

ปัญหา 1. ช่องว่างระหว่างเพลตของตัวเก็บประจุแบบแบนถูกเติมโดยไม่มีช่องว่างโดยมีไดอิเล็กทริกสองชั้นขนานกับเพลต ชั้นแรกเป็นพอร์ซเลนหนา d 1 = 2 มม. ที่สอง - ebonite หนา
d 2 = 1.5 มม. กำหนดความจุ คตัวเก็บประจุดังกล่าวหากพื้นที่ของแผ่นเปลือกโลก ส\u003d 100 ซม. 2

การวิเคราะห์. เพื่อแก้ปัญหานี้ เราแสดงตัวเก็บประจุที่มีไดอิเล็กทริกเป็นตัวเก็บประจุสองตัวที่เชื่อมต่อแบบอนุกรม แรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุคือ ยู= ยู 1 +คุณ 2 ที่ไหน ยู 1 และ ยู 2 - แรงดันไฟฟ้าบนชั้นอิเล็กทริก การหาความจุของตัวเก็บประจุ จาก, คุณต้องรู้ ยู 1 และ ยู 2. ในการทำเช่นนี้ เราควรใช้ความสัมพันธ์ระหว่างความแรงและศักย์กับสภาวะที่ส่วนต่อประสานระหว่างไดอิเล็กทริกสองตัว และต้องคำนึงด้วยว่าองค์ประกอบปกติของเวกเตอร์การกระจัดจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อข้ามส่วนต่อประสาน

วิธีการแก้. ความจุของตัวเก็บประจุคือ ค= q/ยู= q/(ยู 1 +คุณ 2), (2.3.1)

ที่ไหน q-ค่าเพลท (รูปที่ 2.3.1)

สนามภายในตัวเก็บประจุมีความสม่ำเสมอ ดังนั้นความสัมพันธ์ระหว่างความแรงและศักย์จึงให้

ยู 1 = อี 1 d 1 , ยู 2 = อี 2 d 2; นั่นเป็นเหตุผล .

เวกเตอร์ความเข้มนั้นสัมพันธ์กับเวกเตอร์การกระจัดไฟฟ้าโดยความสัมพันธ์ หรือ

เพราะว่า

ความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิวอยู่ที่ไหน เราได้รับ

ลองตรวจสอบมิติข้อมูล: .

แทนค่า เราได้รับ:

คำตอบ: จาก= 98.3 pF.

ปัญหาที่ 2. ตัวเก็บประจุแบบแบนสองตัวที่มีความจุไฟฟ้าเท่ากัน ( ค 1 = ค 2) ต่อในแบตเตอรี่แบบอนุกรมและต่อกับแหล่งจ่ายกระแสไฟด้วย แรงเคลื่อนไฟฟ้า. ความต่างศักย์จะเปลี่ยนไปอย่างไร ยู 1 บนเพลตของตัวเก็บประจุตัวแรกหากช่องว่างระหว่างเพลตของตัวเก็บประจุตัวที่สองโดยไม่ต้องปิดแหล่งจ่ายกระแสไฟจะถูกเติมด้วยไดอิเล็กตริกที่มีการอนุญาติ e = 7 (รูปที่ 2.3.2)?

การวิเคราะห์. ก่อนเติมตัวเก็บประจุตัวที่สองด้วยไดอิเล็กตริก ความต่างศักย์บนเพลตของตัวเก็บประจุทั้งสองจะเท่ากัน

หลังจากเติมแล้ว แหล่งจ่ายกระแสไฟจะไม่ถูกปิด ดังนั้นความต่างศักย์รวมบนธนาคารตัวเก็บประจุยังคงเหมือนเดิม มันถูกแจกจ่ายซ้ำระหว่างตัวเก็บประจุเท่านั้น เนื่องจากความจุของตัวเก็บประจุตัวที่สองเพิ่มขึ้น e เท่า คุณจะพบความต่างศักย์ใหม่ในตัวเก็บประจุตัวแรก

วิธีการแก้. หลังจากเติมไดอิเล็กตริก ความต่างศักย์ของตัวเก็บประจุจะเท่ากัน

, (2.3.2.)

ที่ไหน qคือประจุบนแผ่นคาปาซิเตอร์ q¹ q 0 , ความจุของตัวเก็บประจุตัวแรกไม่เปลี่ยนแปลง ค 1 ¢ = ค 1 = ค.

ตั้งแต่ที่ การเชื่อมต่อแบบอนุกรมตัวเก็บประจุชาร์จบนแต่ละแผ่นและแบตเตอรี่ทั้งหมดเท่ากันแล้วที่ไหน

จากนั้น (2.3.3)

แทนที่ (2.3.3) เป็น (2.3.2) เราได้รับ

อัตราส่วนที่ต้องการคือ

คำตอบ:

ปัญหาที่ 3 รัศมีของแกนกลางของสายโคแอกเชียลคือ 1.5 ซม. รัศมีของปลอกคือ 3.5 ซม. ความต่างศักย์ไฟฟ้าที่ 2300 V ถูกนำไปใช้ระหว่างแกนกลางกับปลอก คำนวณความแรงของสนามไฟฟ้าที่ระยะห่าง จากแกนเคเบิล 2 ซม.

การวิเคราะห์. สายเคเบิลสามารถเปรียบได้กับตัวเก็บประจุทรงกระบอก สนามไฟฟ้าเฉพาะที่อยู่อาศัยส่วนกลางเท่านั้นที่ถูกสร้างขึ้น ความแรงของสนามนี้ควรกำหนดเป็นความแรงของสนามของไส้หลอดประจุอนันต์

วิธีการแก้. ความแรงสนามของสายเคเบิลคือ

.(2.3.4)

สายเคเบิลมีประจุเท่ากัน ดังนั้น t= q/ .

สามารถกำหนดประจุได้หากทราบความจุของตัวเก็บประจุ ค, q= CU 0 แล้ว t= CU 0 / . (2.3.5)

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าความจุของตัวเก็บประจุทรงกระบอกถูกกำหนดโดยสูตร: (2.3.6)

โดยใช้นิพจน์ (2.3.5) และ (2.3.6) เราได้รับ . (2.3.7)

เราแทนที่ (2.3.7) เป็นความเท่าเทียมกัน (2.3.4):

ความถูกต้องของสูตรในแง่ของมิตินั้นชัดเจน แทนค่าจะได้

ปัญหาที่ 4. แบน คอนเดนเซอร์อากาศพร้อมพื้นที่จาน ส\u003d 500 ซม. 2 เชื่อมต่อกับแหล่งจ่ายปัจจุบัน EMF ซึ่ง \u003d 300 V. กำหนดงาน แต่แรงภายนอกดันแผ่นเปลือกโลกออกจากระยะห่าง d 1 = 1 ซม. ก่อน d 2 \u003d 3 ซม. ในสองกรณี: ก) แผ่นเปลือกโลกถูกตัดการเชื่อมต่อจากแหล่งปัจจุบันก่อนที่จะแยกออกจากกัน b) เพลตที่อยู่ในกระบวนการขยายยังคงเชื่อมต่ออยู่

การวิเคราะห์. ในกรณีแรก ระบบของเพลตสองแผ่นที่มีประจุและตัดการเชื่อมต่อจากแหล่งปัจจุบันถือได้ว่าเป็นระบบที่แยกได้ ซึ่งสัมพันธ์กับกฎการอนุรักษ์พลังงานที่ถูกต้อง ในกรณีนี้ การทำงานของแรงภายนอกเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานของระบบ , ที่ไหน W 2 – พลังงานของสนามตัวเก็บประจุในสถานะสุดท้าย (ด้วยระยะห่างระหว่างเพลต d 2), W 1 – พลังงานของสนามของตัวเก็บประจุในสถานะเริ่มต้น ( d= d 1).

ในกรณีที่สอง เพลตยังคงเชื่อมต่อกับแหล่งกำเนิดปัจจุบัน และระบบของเพลตสองแผ่นจะไม่ถูกแยกออกอีกต่อไป (ประจุของเพลต เมื่อแยกออกจากกัน จะเคลื่อนไปที่ขั้วแบตเตอรี่) ความต่างศักย์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อแผ่นเปลือกโลกแยกออกจากกัน ยู= ξ. ในกรณีนี้ และ ยู= const,a คกำลังเปลี่ยนแปลง ความจุตัวเก็บประจุแบบแบน ค= อี 0 ส/dจะลดลงดังนั้นประจุบนจานจะลดลง q= CU, และความแรงของสนามของตัวเก็บประจุ อี= U/d.

ในกรณีนี้ เราคำนวณงานเป็นอินทิกรัล , (2.3.8)

ที่ไหน อี 1 – ความแรงของสนามที่เกิดจากการพุ่งชนจานเดียว

วิธีการแก้. ในครั้งแรก กรณี ประจุ q ของเพลตแต่ละแผ่นที่ตัดการเชื่อมต่อจากแหล่งกำเนิดจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อแยกออกจากกัน q = C 1 x .

พลังงานของสนามไฟฟ้าของตัวเก็บประจุคือ

นั่นเป็นเหตุผล . (2.3.9)

ความจุไฟฟ้าเท่ากันตามลำดับ (2.3.10)

แทนที่ (2.3.10) เป็น (2.3.9) เราได้รับ

ลองตรวจสอบมิติข้อมูล: .

แทนค่าจะได้ .

พิจารณา กรณีที่สอง

มาระบายความตึงเครียด อี 1 สนามและชาร์จ qผ่านระยะทาง Xระหว่างแผ่นเปลือกโลก (รูปที่ 2.3.3)

(2.3.11)

. (2.3.12)

แทนที่นิพจน์ (2.3.11) และ (2.3.12) เป็นสูตร (2.3.8) เราได้รับ

ลองตรวจสอบมิติข้อมูล: . แทนค่าจะได้

คำตอบ:

แผ่นแบนสองแผ่นขนานกันและคั่นด้วยอิเล็กทริกประกอบเป็นตัวเก็บประจุแบบแบน นี่คือตัวแทนที่ง่ายที่สุดของตัวเก็บประจุซึ่งออกแบบมาเพื่อเก็บพลังงานที่ไม่เหมือนกัน หากเพลตได้รับประจุที่มีขนาดเท่ากัน แต่มีขนาดต่างกัน ฟิลด์ระหว่างตัวนำจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า อัตราส่วนของประจุของตัวนำตัวใดตัวหนึ่งต่อแรงดันระหว่างเพลตของตัวเก็บประจุเรียกว่าความจุไฟฟ้า:

หากการจัดเรียงของเพลตไม่เปลี่ยนแปลงก็ถือได้ว่าเป็นค่าคงที่สำหรับประจุใด ๆ ของตัวนำ ในระบบการวัดสากล หน่วยของความจุไฟฟ้าคือ Farad (F) ตัวเก็บประจุแบบแบนมีความแข็งแรงเท่ากับผลรวมของจุดแข็งที่สร้างโดยตัวนำ (E 1 +E 2 ... + E n ) ปริมาณเวกเตอร์ ค่าความจุไฟฟ้าเป็นสัดส่วนโดยตรงกับพื้นที่ของเพลตและแปรผกผันกับระยะห่างระหว่างพวกมัน ซึ่งหมายความว่าเพื่อเพิ่มความจุของตัวเก็บประจุจำเป็นต้องทำให้พื้นที่ของแผ่นใหญ่ขึ้นในขณะที่ลดระยะห่างระหว่างกัน ขึ้นอยู่กับอิเล็กทริกที่ใช้ ตัวเก็บประจุแบบแบนสามารถ:

• กระดาษ.
• ไมกา.
• โพลีสไตรีน
• เซรามิค.
• อากาศ.

พิจารณาหลักการของอุปกรณ์โดยใช้ตัวอย่างตัวเก็บประจุกระดาษ ในกรณีนี้ใช้กระดาษพาราฟินเป็นไดอิเล็กตริก ไดอิเล็กทริกวางอยู่ระหว่างแผ่นฟอยล์สองแถบซึ่งทำหน้าที่เป็นตัวนำ โครงสร้างทั้งหมดถูกม้วนเป็นม้วนโดยเสียบสายต่างๆ เพื่อเชื่อมต่อ โมเดลนี้ใส่ในกล่องเซรามิกหรือโลหะ ตัวเก็บประจุแบบลมแบนและอุปกรณ์เก็บประจุชนิดอื่นๆ มีการออกแบบที่คล้ายกัน เฉพาะวัสดุที่ตั้งชื่อตัวเก็บประจุเองเท่านั้นที่จะถูกใช้เป็นสื่อไดอิเล็กตริก เมื่อแก้ปัญหาที่จำเป็นในการหาปริมาณที่ต้องการอย่าลืมใช้ค่าที่กำหนดไดอิเล็กตริก - แรงต้านสนามไฟฟ้าสิ่งแวดล้อม.

ตัวเก็บประจุของเหลวและของเหลวแห้งถูกใช้ในงานวิศวกรรมวิทยุตัวเก็บประจุของเหลวจะวางแผ่นอลูมิเนียมออกซิไดซ์ สารนี้อยู่ในกล่องโลหะ อิเล็กโทรไลต์ที่ใช้เป็นสารละลายของกรดบอริกและของผสมอื่นๆ มุมมองแบบแห้งของไดรฟ์นั้นเกิดจากการพับเทปสามอัน เทปหนึ่งเป็นอะลูมิเนียม อีกอันเป็นโลหะ และระหว่างเทปนั้นเป็นชั้นผ้ากอซที่ชุบด้วยอิเล็กโทรไลต์หนืด ม้วนวางในกล่องอลูมิเนียมและเติมน้ำมันดิน ตัวเก็บประจุแบบแบนมีการใช้งานที่หลากหลายและต้นทุนต่ำ น่าเสียดายที่โมเดลเหล่านี้จะไม่เปลี่ยนแบตเตอรี่ให้เราเพราะพลังงานของตัวเก็บประจุแบบแบนมีขนาดเล็กมากและประจุ "รั่ว" อย่างรวดเร็ว ไม่เหมาะที่จะเป็นแหล่งพลังงานไฟฟ้า แต่มีข้อดีอย่างหนึ่งคือ เมื่อชาร์จผ่านวงจรความต้านทานต่ำ พลังงานที่สะสมจะปล่อยออกมาในทันที