หากคุณกำลังมองหาวิธีซิมป์สันในหน้านี้เท่านั้น เราขอแนะนำให้คุณอ่านตอนต้นของบทเรียนและดูตัวอย่างแรกเป็นอย่างน้อย ด้วยเหตุผลที่หลายความคิดและเทคนิคจะคล้ายกับวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู
มาเริ่มกันที่สูตรทั่วไปกันอีกครั้ง
พิจารณาอินทิกรัลแน่นอน โดยที่ฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซกเมนต์ ให้เราแบ่งเซ็กเมนต์ออกเป็น สม่ำเสมอจำนวน เท่ากันเซ็กเมนต์ จำนวนเซ็กเมนต์เป็นเลขคู่แสดงด้วย
ในทางปฏิบัติ เซ็กเมนต์สามารถ:
สอง:
สี่:
แปด:
สิบ:
ยี่สิบ:
ฉันจำตัวเลือกอื่นไม่ได้
ความสนใจ!ตัวเลขถูกเข้าใจว่าเป็น ONE NUMBER นั่นคือ, เป็นสิ่งต้องห้ามลดลง ตัวอย่างเช่น สอง ได้ . การบันทึก แปลว่า เท่านั้นว่าจำนวนเซกเมนต์ สม่ำเสมอ. และไม่มีการตัดทอนให้พูดถึง
ดังนั้นพาร์ติชั่นของเราจึงมีลักษณะดังนี้:
คำศัพท์คล้ายกับวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู:
จุดที่เรียกว่า นอต.
สูตรซิมป์สันสำหรับการคำนวณโดยประมาณของอินทิกรัลแน่นอนมีรูปแบบดังต่อไปนี้:
ที่ไหน:
- ความยาวของแต่ละส่วนเล็ก ๆ หรือ ขั้นตอน;
คือค่าของอินทิกรัล ณ จุด .
รายละเอียดการซ้อนนี้ฉันจะวิเคราะห์สูตรในรายละเอียดเพิ่มเติม:
คือผลรวมของค่าแรกและค่าสุดท้ายของอินทิกรัล
คือผลรวมของสมาชิกกับ สม่ำเสมอดัชนีคูณด้วย 2;
คือผลรวมของสมาชิกกับ แปลกดัชนีคูณด้วย 4
ตัวอย่างที่ 4
คำนวณอินทิกรัลโดยประมาณโดยใช้สูตรของซิมป์สันเป็น 0.001 ที่ใกล้ที่สุด การแบ่งเริ่มต้นด้วยสองส่วน 
อินทิกรัลไม่ได้ถูกนำมาใช้อีกครั้ง
วิธีการแก้:ฉันดึงความสนใจไปที่ประเภทของงานทันที - จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน ด้วยความแม่นยำ. ความหมายนี้ได้รับการแสดงความคิดเห็นในตอนต้นของบทความแล้ว เช่นเดียวกับตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของย่อหน้าก่อนหน้า สำหรับวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นมีสูตรที่จะช่วยให้คุณกำหนดจำนวนเซ็กเมนต์ที่ต้องการได้ทันที (ค่าของ "en") เพื่อรับประกันความแม่นยำที่ต้องการ จริง เราจะต้องหาอนุพันธ์อันดับที่สี่และแก้ปัญหาสุดโต่ง ใครเข้าใจที่ฉันหมายถึงและประเมินปริมาณงานเขาก็ยิ้ม อย่างไรก็ตาม ไม่มีเรื่องน่าหัวเราะในที่นี้ การหาอนุพันธ์อันดับที่สี่ของอินทิกรัลดังกล่าวจะไม่ใช่เมกาโบแทนอีกต่อไป แต่เป็นโรคจิตเภททางคลินิก ดังนั้นในทางปฏิบัติจึงใช้วิธีการแบบง่ายในการประมาณค่าข้อผิดพลาดเกือบทุกครั้ง
เราเริ่มตัดสินใจ ถ้าเรามีสองส่วนพาร์ติชั่น โหนดจะเป็น อีกหนึ่ง: . และสูตรของซิมป์สันมีรูปแบบที่กะทัดรัดมาก: 
มาคำนวณขั้นตอนพาร์ติชั่นกัน: 
มากรอกตารางการคำนวณกัน:
ฉันแสดงความคิดเห็นอีกครั้งว่าตารางเต็มอย่างไร:
ในบรรทัดบนสุด เราเขียน "ตัวนับ" ของดัชนี
ในบรรทัดที่สอง ขั้นแรกเราจะเขียนขีดจำกัดล่างของการผสานรวม จากนั้นจึงเพิ่มขั้นตอนตามลำดับ
ในบรรทัดที่สามเราป้อนค่าของอินทิกรัล ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้ว . เหลือทศนิยมกี่ตำแหน่ง?อันที่จริงเงื่อนไขไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้อีก หลักการเหมือนกับวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู เราพิจารณาความถูกต้องที่ต้องการ: 0.001 และบวกเพิ่มอีก 2-3 หลัก นั่นคือคุณต้องปัดเศษทศนิยม 5-6 ตำแหน่ง
ผลที่ตามมา:
ได้ผลลัพท์แรกแล้ว ตอนนี้ สองเท่าจำนวนเซ็กเมนต์มากถึงสี่: . สูตรของซิมป์สันสำหรับพาร์ติชันนี้อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:
มาคำนวณขั้นตอนพาร์ติชั่นกัน: 
มากรอกตารางการคำนวณกัน: 
ทางนี้:
เราประเมินข้อผิดพลาด:
ข้อผิดพลาดมากกว่าความแม่นยำที่ต้องการ: 
ดังนั้นคุณต้องเพิ่มจำนวนเซ็กเมนต์เป็นสองเท่าอีกครั้ง:
สูตรของซิมป์สันเติบโตขึ้นอย่างก้าวกระโดด:
มาคำนวณขั้นตอนกัน: 
มากรอกสเปรดชีตกันอีกครั้ง:
ทางนี้: 
โปรดทราบว่าควรอธิบายการคำนวณโดยละเอียดในที่นี้ เนื่องจากสูตรของ Simpson ค่อนข้างยุ่งยาก และหากคุณคิดทันที:
แล้วเหล้านี้จะดูเหมือนแฮ็ค และด้วยการบันทึกที่ละเอียดยิ่งขึ้น ครูจะได้รับความประทับใจที่คุณลบคีย์ของไมโครเครื่องคิดเลขอย่างมีสติเป็นเวลาหนึ่งชั่วโมง การคำนวณโดยละเอียดสำหรับเคส "ยาก" มีอยู่ในเครื่องคิดเลขของฉัน
เราประเมินข้อผิดพลาด:
ข้อผิดพลาดน้อยกว่าความแม่นยำที่ต้องการ: 
. ยังคงต้องใช้การประมาณที่แม่นยำที่สุด ปัดเศษทศนิยมสามตำแหน่งแล้วเขียน:
ตอบ: 
แม่นยำถึง 0.001
ตัวอย่างที่ 5
คำนวณอินทิกรัลโดยประมาณโดยใช้สูตรของซิมป์สันเป็น 0.0001 ที่ใกล้ที่สุด การแบ่งเริ่มต้นด้วยสองส่วน 
นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ตัวอย่างโดยประมาณของการออกแบบ "แบบสั้น" ขั้นสุดท้ายของโซลูชันและคำตอบเมื่อสิ้นสุดบทเรียน
ในส่วนสุดท้ายของบทเรียน เราจะพิจารณาตัวอย่างทั่วไปอีกสองสามตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 6
คำนวณค่าโดยประมาณของปริพันธ์ที่แน่นอน 
โดยใช้สูตร Simpson แบ่งส่วนการรวมออกเป็น 10 ส่วน ความแม่นยำในการคำนวณ 0.001
อินทิกรัลนี้ถูกนำมาใช้ อย่างไรก็ตาม มันไม่ง่ายนักสำหรับผู้เริ่มต้นที่จะถอดรหัส วิธีการแก้ปัญหาที่สอดคล้องกันได้รับการพิจารณาในตัวอย่างที่ 5 ของบทเรียน อินทิกรัลเชิงซ้อน. ในปัญหาของการคำนวณโดยประมาณ ไม่จำเป็นต้องถอดอินทิกรัล! นักเรียนที่อยากรู้อยากเห็นสามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำและประมาณค่าความผิดพลาดที่สัมพันธ์กับค่าโดยประมาณ
วิธีการแก้:ให้ความสนใจกับถ้อยคำของงาน: "ความถูกต้องของการคำนวณคือ 0.001" ความแตกต่างเชิงความหมายของสูตรนี้ชี้ให้เห็นว่าผลลัพธ์จำเป็นต้องปัดเศษเป็นทศนิยมตำแหน่งที่สามเท่านั้น และไม่บรรลุความถูกต้องดังกล่าว ดังนั้น เมื่อคุณถูกขอให้แก้ปัญหาเกี่ยวกับวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู วิธีซิมป์สัน เสมอ ใส่ใจกับเงื่อนไข! อย่างที่คุณทราบความเร่งรีบเป็นสิ่งจำเป็นเมื่อตามล่าหาหมัด
เราใช้สูตรซิมป์สัน:
แบ่งเป็นสิบส่วน ขั้นตอนคือ 
มากรอกตารางการคำนวณกัน: 
การทำโต๊ะให้มีสองชั้นนั้นมีเหตุผลมากกว่า เพื่อที่คุณจะได้ไม่ต้อง "ย่อ" และทุกอย่างจะพอดีกับแผ่นโน้ตบุ๊ก
การคำนวณอย่าเกียจคร้านวาดรายละเอียดเพิ่มเติม: 
ตอบ: 
และอีกครั้งที่ฉันเน้นว่าไม่มีคำถามเกี่ยวกับความถูกต้องที่นี่ อันที่จริง คำตอบอาจไม่ใช่ แต่ค่อนข้างพูด . ในเรื่องนี้ในคำตอบไม่จำเป็นต้องระบุแอตทริบิวต์ "หน้าที่" ที่สิ้นสุดโดยอัตโนมัติ: "ด้วยความแม่นยำ 0.001"
ตัวอย่าง 7
คำนวณค่าโดยประมาณของอินทิกรัลแน่นอนโดยใช้สูตรของซิมป์สัน แบ่งเซ็กเมนต์อินทิเกรตออกเป็น 10 ส่วน การคำนวณทั้งหมดต้องทำเป็นทศนิยมตำแหน่งที่สาม
แบบคร่าวๆ ของการออกแบบขั้นสุดท้ายและคำตอบเมื่อสิ้นสุดบทเรียนที่จบลง
วิธีการอื่นยังใช้สำหรับการคำนวณโดยประมาณของอินทิกรัลที่แน่นอน โดยเฉพาะทฤษฎี ชุดพลังด้วยงานมาตรฐาน การคำนวณโดยประมาณของอินทิกรัลแน่นอนโดยการขยายอินทิกรัลเป็นอนุกรม. แต่นี่เป็นเนื้อหาของหลักสูตรที่สอง
และตอนนี้ก็ถึงเวลาเปิดเผยความลับที่น่ากลัวของแคลคูลัสอินทิกรัลแล้ว ฉันได้สร้างบทเรียนเกี่ยวกับปริพันธ์แล้วมากกว่าหนึ่งโหล และนี่คือทฤษฎีและความคลาสสิกของหัวข้อ ในทางปฏิบัติโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการคำนวณทางวิศวกรรมเพื่อนำวัตถุเข้ามาใกล้ยิ่งขึ้น โลกแห่งความจริงแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยกับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน เป็นไปไม่ได้ สมบูรณ์แบบที่สุดคำนวณ พื้นที่ ปริมาตร ความหนาแน่น เช่น ผิวทางแอสฟัลต์ ข้อผิดพลาด, ให้มาจากทศนิยมที่สิบ, ให้มาจากทศนิยมที่ร้อย - แต่ จะยังคง. นั่นคือเหตุผลที่ว่าทำไมอิฐหนักหลายร้อยก้อนจึงถูกเขียนขึ้นโดยใช้วิธีการคำนวณโดยประมาณและมีการสร้างซอฟต์แวร์ที่จริงจังสำหรับการคำนวณโดยประมาณ ทฤษฎีคลาสสิกของแคลคูลัสอินทิกรัลมักใช้ไม่บ่อยนัก แต่โดยวิธีการที่ไม่มี - ไม่มีที่ไหนเลย!
บทเรียนนี้ไม่ใช่การบันทึกในแง่ของปริมาณ แต่ฉันใช้เวลานานผิดปกติในการสร้าง ฉันแก้ไขเนื้อหาและปรับโครงสร้างของบทความใหม่หลายครั้ง เนื่องจากมีการดึงความแตกต่างและรายละเอียดปลีกย่อยใหม่ๆ ออกมาอย่างต่อเนื่อง ฉันหวังว่างานจะไม่ไร้ประโยชน์และมันค่อนข้างสมเหตุสมผลและเข้าถึงได้
ดีที่สุด!
โซลูชั่นและคำตอบ:
ตัวอย่างที่ 3:วิธีการแก้:
เราแบ่งส่วนการรวมออกเป็น 4 ส่วน:
จากนั้นสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูจะมีรูปแบบดังนี้:
มาคำนวณขั้นตอนกัน: 
มากรอกตารางการคำนวณกัน:
ในการหาอินทิกรัลที่แน่นอนโดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งยังถูกแบ่งออกเป็น n สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมที่มีความสูง h และฐาน y 1, y 2, y 3,..y n โดยที่ n คือจำนวน สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม อินทิกรัลจะเป็นตัวเลขเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม (รูปที่ 4)
ข้าว. สี่
n - จำนวนการแยก
ความคลาดเคลื่อนของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูประมาณโดยตัวเลข
ข้อผิดพลาดของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเร็วกว่าเมื่อเติบโตมากกว่าข้อผิดพลาดของสูตรสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้น สูตรสี่เหลี่ยมคางหมูช่วยให้คุณได้ความแม่นยำมากกว่าวิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้า
สูตรซิมป์สัน
หากสำหรับแต่ละคู่ของเซ็กเมนต์ เราสร้างพหุนามของดีกรีที่สอง จากนั้นรวมเข้ากับเซกเมนต์และใช้คุณสมบัติการบวกของอินทิกรัล เราก็จะได้สูตรซิมป์สัน
ในวิธีการของซิมป์สันในการคำนวณอินทิกรัลแน่นอน ช่วงเวลาการรวมทั้งหมดจะถูกแบ่งออกเป็นช่วงย่อย ความยาวเท่ากัน h=(b-a)/n. จำนวนพาร์ติชันเป็นเลขคู่ จากนั้น ในแต่ละคู่ของช่วงย่อยที่อยู่ติดกัน ฟังก์ชันอินทิกรัลย่อย f(x) จะถูกแทนที่ด้วยพหุนามลากรองจ์ของดีกรีที่สอง (รูปที่ 5)
ข้าว. 5 ฟังก์ชัน y=f(x) บนเซ็กเมนต์ถูกแทนที่ด้วยพหุนามลำดับที่ 2
พิจารณาอินทิกรัลบนช่วงเวลา ให้เราแทนที่อินทิกรัลนี้ด้วยพหุนามการประมาณค่าลากรองจ์ระดับที่สองที่ประจวบกับ y= ที่จุด:
มารวมกันในช่วงเวลา:
เราแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร:
ด้วยสูตรการทดแทน
หลังจากรวมเข้าด้วยกัน เราจะได้สูตร Simpson:
ค่าที่ได้รับสำหรับอินทิกรัลตรงกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และพาราโบลาที่ผ่านจุด ในส่วน สูตรของ Simpson จะมีลักษณะดังนี้:
ในสูตรพาราโบลา ค่าของฟังก์ชัน f (x) ที่จุดแยกคี่ x 1, x 3, ..., x 2n-1 มีค่าสัมประสิทธิ์เป็น 4 ที่จุดคู่ x 2, x 4, ... , x 2n-2 - สัมประสิทธิ์ 2 และที่จุดขอบเขตสองจุด x 0 =a, x n =b - สัมประสิทธิ์ 1
ความหมายทางเรขาคณิตของสูตรของซิมป์สัน: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งภายใต้กราฟของฟังก์ชัน f(x) บนเซ็กเมนต์จะถูกแทนที่ด้วยผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขที่วางอยู่ใต้พาราโบลาโดยประมาณ
หากฟังก์ชัน f(x) มีอนุพันธ์ต่อเนื่องของลำดับที่สี่ ดังนั้นค่าสัมบูรณ์ของข้อผิดพลาดของสูตรซิมป์สันจะไม่เกิน
โดยที่ ม - มูลค่าสูงสุดในส่วน เนื่องจาก n 4 เติบโตเร็วกว่า n 2 ข้อผิดพลาดของสูตรของ Simpson จะลดลงเมื่อเพิ่มขึ้น n เร็วกว่าข้อผิดพลาดของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู
เราคำนวณอินทิกรัล
อินทิกรัลนี้คำนวณได้ง่าย:
ลองหา n เท่ากับ 10, h=0.1, คำนวณค่าของ integrand ที่จุดพาร์ติชั่น, เช่นเดียวกับจุดครึ่งจำนวนเต็ม
ตามสูตรสี่เหลี่ยมตรงกลาง เราได้ I ตรง = 0.785606 (ข้อผิดพลาด 0.027%) ตามสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู I trap = 0.784981 (ข้อผิดพลาดประมาณ 0.054 เมื่อใช้วิธีสี่เหลี่ยมด้านขวาและซ้ายข้อผิดพลาด มากกว่า 3%
เพื่อเปรียบเทียบความถูกต้องของสูตรโดยประมาณ เราจะคำนวณค่าปริพันธ์อีกครั้ง
แต่ตอนนี้ตามสูตร Simpson สำหรับ n=4 เราแบ่งส่วนออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กันด้วยคะแนน x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 และคำนวณค่าโดยประมาณ ของฟังก์ชัน f (x) \u003d 1 / ( 1+x) ที่จุดเหล่านี้: y 0 =1.00000, y 1 =0.8000, y 2 =0.6667, y 3 =0.5714, y 4 =0.5000
โดยสูตรของซิมป์สัน เราจะได้
ให้เราประเมินข้อผิดพลาดของผลลัพธ์ที่ได้รับ สำหรับอินทิกรัล f(x)=1/(1+x) เรามี: f (4) (x)=24/(1+x) 5 ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้นในเซ็กเมนต์ ดังนั้นเราสามารถหา M=24 และข้อผิดพลาดของผลลัพธ์ไม่เกิน 24/(2880 4 4)=0.0004 การเปรียบเทียบค่าโดยประมาณกับค่าที่แน่นอน เราสรุปได้ว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของผลลัพธ์ที่ได้จากสูตรซิมป์สันนั้นน้อยกว่า 0.00011 ซึ่งเป็นไปตามค่าประมาณข้อผิดพลาดที่ให้ไว้ข้างต้น และนอกจากนี้ ยังระบุว่าสูตรซิมป์สันมีความแม่นยำมากกว่าสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูมาก ดังนั้น สูตรซิมป์สันสำหรับการคำนวณโดยประมาณของอินทิกรัลที่แน่นอนจึงถูกใช้บ่อยกว่าสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู
ในวิธีนี้ เสนอให้ประมาณอินทิกรัลในช่วงเวลาบางส่วนโดยพาราโบลาผ่านจุด
(x เจ , ฉ(xj)), ที่ไหน เจ = ผม-1; ผม-0.5; ผมนั่นคือเราประมาณอินทิกรัลโดยพหุนามการแก้ไขลากรองจ์ของดีกรีที่สอง:
(10.14)
หลังจากรวมเข้าด้วยกัน เราได้รับ:
(10.15)
นั่นแหละค่ะ สูตรซิมป์สัน
หรือสูตรของพาราโบลา ในส่วนของ
[ก, ข] สูตรของซิมป์สันอยู่ในรูปแบบ
(10.16)
การแสดงกราฟิกของวิธีการของซิมป์สันแสดงในรูปที่ 2.4.
ข้าว. 10.4.วิธีซิมป์สัน
กำจัดดัชนีเศษส่วนในนิพจน์ (2.16) โดยการเปลี่ยนชื่อตัวแปร:
(10.17)
จากนั้นสูตรของซิมป์สันก็อยู่ในรูปแบบ
(10.18)
ข้อผิดพลาดของสูตร (2.18) ประเมินโดยนิพจน์ต่อไปนี้:
, (10.19)
ที่ไหน h n = ข-a, 
. ดังนั้น ความคลาดเคลื่อนของสูตรของซิมป์สันจึงเป็นสัดส่วนกับ
อู๋(ชั่วโมง 4).
ความคิดเห็นควรสังเกตว่าในสูตรของ Simpson จำเป็นต้องแบ่งส่วนการรวมออกเป็น สม่ำเสมอจำนวนช่วง
10.5. การคำนวณอินทิกรัลแน่นอนโดยวิธี
มอนติคาร์โล
วิธีที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้เรียกว่า กำหนดขึ้น นั่นคือปราศจากองค์ประกอบของโอกาส
วิธีมอนติคาร์โล(MMK) เป็นวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยใช้การจำลอง ตัวแปรสุ่ม. MCM อนุญาตให้แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เกิดจากกระบวนการความน่าจะเป็นได้สำเร็จ ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อแก้ปัญหาที่ไม่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นใดๆ เราสามารถสร้างแบบจำลองความน่าจะเป็น (และมากกว่าหนึ่ง) ขึ้นมาเพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้ พิจารณาการคำนวณปริพันธ์แน่นอน
(10.20)
เมื่อคำนวณอินทิกรัลนี้โดยใช้สูตรของสี่เหลี่ยม ช่วงเวลา [ ก, ข] แบ่งออกเป็น นู๋ช่วงเวลาที่เหมือนกันซึ่งอยู่ตรงกลางซึ่งคำนวณค่าของอินทิกรัล โดยการคำนวณค่าฟังก์ชันที่โหนดสุ่ม คุณจะได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น:
(10.21)
(10.22)
ที่นี่ γ i เป็นตัวเลขสุ่มที่กระจายอย่างสม่ำเสมอตามช่วงเวลา
. ข้อผิดพลาดในการคำนวณอินทิกรัล MMK ~ ซึ่งมากกว่าวิธีการกำหนดที่ศึกษาก่อนหน้านี้มาก
ในรูป 2.5 แสดงการใช้งานกราฟิกของวิธีมอนติคาร์โลสำหรับการคำนวณอินทิกรัลเดียวกับโหนดสุ่ม (2.21) และ (2.22)
(2.23)
ข้าว. 10.6.การรวม Monte Carlo (กรณีที่ 2)
ดังที่เห็นในรูป 2.6 เส้นโค้งปริพันธ์อยู่ในหน่วยกำลังสอง และหากเราสามารถรับคู่ของตัวเลขสุ่มที่กระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลานั้น ค่าที่ได้รับ (γ 1, γ 2) สามารถตีความได้ว่าเป็นพิกัดของจุดใน ตารางหน่วย แล้วถ้าคู่ของตัวเลขเหล่านี้เพียงพอ เราก็สามารถประมาณได้ว่า
. ที่นี่ สคือจำนวนคู่ของจุดที่อยู่ใต้เส้นโค้ง และ นู๋คือจำนวนคู่ของตัวเลขทั้งหมด
ตัวอย่าง 2.1คำนวณอินทิกรัลต่อไปนี้:
งานได้รับการแก้ไขแล้ว วิธีการต่างๆ. ผลลัพธ์ที่ได้สรุปไว้ในตาราง 2.1.
ตาราง 2.1
ความคิดเห็นการเลือกอินทิกรัลตารางทำให้เราเปรียบเทียบข้อผิดพลาดของแต่ละวิธีและค้นหาอิทธิพลของจำนวนพาร์ติชั่นที่มีต่อความแม่นยำในการคำนวณ
11 วิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้นโดยประมาณ
และสมการเหนือธรรมชาติ
การคำนวณอินทิกรัลโดยใช้สูตรของสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู และสูตรของซิมป์สัน การประเมินข้อผิดพลาด
แนวทางในหัวข้อ 4.1:
การคำนวณอินทิกรัลตามสูตรของสี่เหลี่ยม ข้อผิดพลาดประมาณการ:
การแก้ปัญหาทางเทคนิคหลายอย่างลดลงเหลือเพียงการคำนวณอินทิกรัลบางตัว ซึ่งการแสดงออกที่แน่นอนซึ่งเป็นเรื่องยาก ต้องใช้การคำนวณที่ใช้เวลานาน และในทางปฏิบัติไม่ได้มีเหตุผลเสมอไป ที่นี่ค่าโดยประมาณของพวกเขาค่อนข้างเพียงพอ ตัวอย่างเช่น คุณต้องคำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นที่ไม่ทราบสมการคือ axis Xและสองพิกัด ในกรณีนี้ คุณสามารถแทนที่บรรทัดนี้ด้วยบรรทัดที่ง่ายกว่า ซึ่งเราจะทราบสมการ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งจึงได้มาเป็นค่าประมาณของอินทิกรัลที่ต้องการ ในทางเรขาคณิต แนวคิดเบื้องหลังวิธีการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนโดยใช้สูตรของสี่เหลี่ยมคือ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้ง A 1 ABB 1ถูกแทนที่ด้วยพื้นที่สี่เหลี่ยมพื้นที่เท่ากัน A 1 A 2 B 1 B 2ซึ่งตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยจะเท่ากับ
ที่ไหน ฉ(ค) --- ความสูงสี่เหลี่ยมผืนผ้า A 1 A 2 B 1 B 2,ซึ่งเป็นค่าของอินทิกรัล ณ จุดกึ่งกลางบางจุด ค(a< c
เป็นการยากที่จะหาค่าดังกล่าวได้ กับซึ่ง (b-a)f(c)จะเท่ากับ เพื่อให้ได้ค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งแบ่งออกเป็น นสี่เหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากัน y 0, y 1 , y 2 , …,y n -1และฐานราก
หากเราสรุปพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่ครอบคลุมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่มีข้อเสียฟังก์ชันจะไม่ลดลงจากนั้นจะใช้สูตรแทนสูตร
ถ้าเกินก็
พบคุณค่าจากความเท่าเทียมกัน สูตรเหล่านี้เรียกว่า สูตรสี่เหลี่ยมผืนผ้าและให้ผลโดยประมาณ ด้วยการเพิ่มขึ้น นผลลัพธ์จะแม่นยำยิ่งขึ้น
ตัวอย่าง 1 . คำนวณจากสูตรสี่เหลี่ยม
เราแบ่งช่วงเวลาของการรวมเป็น 5 ส่วน แล้ว . ใช้เครื่องคิดเลขหรือตารางหาค่าของอินทิกรัล (ด้วยความแม่นยำทศนิยม 4 ตำแหน่ง):
ตามสูตรสี่เหลี่ยม (มีข้อเสีย)
ในทางกลับกัน ตามสูตรของนิวตัน-ไลบนิซ
หาข้อผิดพลาดในการคำนวณสัมพัทธ์โดยใช้สูตรของสี่เหลี่ยม:
การคำนวณอินทิกรัลตามสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู ข้อผิดพลาดประมาณการ:
ความหมายทางเรขาคณิตของวิธีการต่อไปนี้สำหรับการคำนวณอินทิกรัลโดยประมาณคือการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู "เส้นตรง" ที่มีขนาดเท่ากันโดยประมาณ
ให้จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ A 1 AmBB 1สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งแสดงโดยสูตร
มาเปลี่ยนอาร์คกันเถอะ AmBคอร์ด ABและแทนที่จะเป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง A 1 AmBB 1คำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู A 1 ABB 1: 
, ที่ไหน AA 1และ BB 1 - ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและ เอ 1 บี 1 คือความสูง
หมายถึง f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B.ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู A 1 B 1 \u003d b-a,สี่เหลี่ยม 
. เพราะเหตุนี้, 
หรือ
สิ่งนี้เรียกว่า สูตรสี่เหลี่ยมคางหมูขนาดเล็ก.
ปัญหาเกิดขึ้นจากการคำนวณเชิงตัวเลขของอินทิกรัลที่แน่นอน ซึ่งแก้ไขได้ด้วยความช่วยเหลือของสูตรที่เรียกว่าการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส
จำสูตรที่ง่ายที่สุดสำหรับการรวมตัวเลข
ให้เราคำนวณค่าตัวเลขโดยประมาณของ เราแบ่งช่วงเวลาการรวม [а, b] ออกเป็น n ส่วนเท่า ๆ กันโดยการหารจุด 
เรียกว่าโหนดของสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส ให้ค่าในโหนดเป็นที่รู้จัก 
:
ค่า 
เรียกว่า ช่วงเวลาหรือขั้นตอนการรวม โปรดทราบว่าในทางปฏิบัติ - การคำนวณ หมายเลข i จะถูกเลือกเล็กน้อย โดยปกติไม่เกิน 10-20 ในช่วงเวลาบางส่วน 
integrand ถูกแทนที่ด้วย interpolation polynomial
ซึ่งประมาณแสดงถึงฟังก์ชัน f(x) ในช่วงเวลาที่พิจารณา
ก) เก็บพจน์แรกเพียงพจน์เดียวในพหุนามการประมาณค่า แล้ว
สูตรสมการกำลังสองที่ได้
เรียกว่าสูตรสี่เหลี่ยม
b) เก็บพจน์สองพจน์แรกไว้ในพหุนามการประมาณค่า จากนั้น
(2)
สูตร (2) เรียกว่าสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู
ค) ระยะบูรณาการ 
เราแบ่งออกเป็น 2n ส่วนเท่า ๆ กันในขณะที่ขั้นตอนการรวม h จะเท่ากับ 
. ในช่วงเวลา 
ของความยาว 2h เราแทนที่ integrand ด้วยพหุนามการประมาณค่าของดีกรีที่สอง นั่นคือ เราเก็บสามเทอมแรกไว้ในพหุนาม:
สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ได้เรียกว่าสูตรของซิมป์สัน
(3)
สูตร (1), (2) และ (3) มีความหมายทางเรขาคณิตอย่างง่าย ในสูตรของสี่เหลี่ยม อินทิกรัล f(x) บนช่วงเวลา 
ถูกแทนที่ด้วยส่วนของเส้นตรง y \u003d uk ขนานกับแกน x และในสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู - ด้วยส่วนของเส้นตรง 
และคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นเส้นตรงตามลำดับซึ่งจะสรุปออกมา ในสูตรของซิมป์สัน ฟังก์ชัน f(x) บนช่วงเวลา 
ความยาว 2h ถูกแทนที่ด้วย trinomial สี่เหลี่ยมจัตุรัส - พาราโบลา 
คำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งพาราโบลาจากนั้นจึงรวมพื้นที่เข้าด้วยกัน
บทสรุป
โดยสรุป ฉันต้องการทราบคุณลักษณะหลายประการของแอปพลิเคชันของวิธีการที่กล่าวถึงข้างต้น แต่ละวิธีสำหรับการแก้ปัญหาโดยประมาณของอินทิกรัลที่แน่นอนมีข้อดีและข้อเสีย ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับงานที่ทำอยู่ ควรใช้วิธีการเฉพาะ
วิธีการทดแทนตัวแปรเป็นหนึ่งในวิธีการหลักในการคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัด แม้ว่าเราจะผสานรวมด้วยวิธีการอื่น เราก็มักจะต้องใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในการคำนวณระดับกลาง ความสำเร็จของการบูรณาการขึ้นอยู่กับว่าเราจะพบการเปลี่ยนแปลงที่ดีของตัวแปรหรือไม่ซึ่งจะทำให้อินทิกรัลที่ให้มาง่ายขึ้น
โดยพื้นฐานแล้ว การศึกษาวิธีการผสานรวมลงมาเพื่อค้นหาว่าการเปลี่ยนแปลงประเภทใดควรทำในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งหรืออีกรูปแบบหนึ่งของอินทิกรัล
ทางนี้, การรวมตัวของเศษส่วนตรรกยะทุกอันลดลงเป็นการรวมพหุนามกับเศษส่วนอย่างง่ายสองสามตัว
อินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะใดๆ สามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานในรูปแบบสุดท้าย กล่าวคือ:
ผ่านลอการิทึม - ในกรณีของเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภท 1;
ผ่านฟังก์ชันตรรกยะ - ในกรณีเศษส่วนอย่างง่ายของประเภท2
ผ่านลอการิทึมและอาร์คแทนเจนต์ - ในกรณีของเศษส่วนอย่างง่ายของประเภท 3
ผ่านฟังก์ชันตรรกยะและอาร์คแทนเจนต์ - ในกรณีของเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภท 4 การแทนที่ตรีโกณมิติสากลจะทำให้อินทิกรัลหาเหตุผลเข้าข้างตนเองเสมอ แต่มักจะนำไปสู่เศษส่วนตรรกยะที่ยุ่งยากมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะหารากของตัวส่วน ดังนั้น หากเป็นไปได้ จะใช้การแทนที่บางส่วน ซึ่งจะทำให้อินทิกรัลหาเหตุผลเข้าข้างตนเองและนำไปสู่เศษส่วนที่ซับซ้อนน้อยกว่า
สูตรนิวตัน-ไลบนิซเป็นแนวทางทั่วไปในการหาอินทิกรัลที่แน่นอน
สำหรับวิธีการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นแทบไม่แตกต่างจากวิธีการและวิธีการเหล่านั้นทั้งหมด
เช่นเดียวกัน วิธีการทดแทน(การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร) วิธีการบูรณาการตามส่วน วิธีการเดียวกันในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ อตรรกยะ และเหนือธรรมชาติ ลักษณะเฉพาะเพียงอย่างเดียวคือเมื่อใช้เทคนิคเหล่านี้ จำเป็นต้องขยายการเปลี่ยนแปลงไม่เพียงแต่กับฟังก์ชันอินทิกรัลย่อยเท่านั้น แต่ยังรวมถึงขีดจำกัดของการผสานรวมด้วย เมื่อเปลี่ยนตัวแปรการรวม อย่าลืมเปลี่ยนขีดจำกัดการรวมตามนั้น
อย่างถูกต้อง จากทฤษฎีบท สภาพความต่อเนื่องของฟังก์ชันเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการทำงานร่วมกันของฟังก์ชัน แต่นี่ไม่ได้หมายความว่าอินทิกรัลแน่นอนมีอยู่สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องเท่านั้น คลาสของฟังก์ชันที่รวมเข้าด้วยกันนั้นกว้างกว่ามาก ตัวอย่างเช่น มีอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันที่มีจุดไม่ต่อเนื่องจำนวนจำกัด
การคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันต่อเนื่องโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิซจะลดลงจนพบแอนติเดริเวทีฟซึ่งมีอยู่เสมอ แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันพื้นฐานหรือฟังก์ชันที่รวบรวมตารางที่ทำให้ได้ค่า ของอินทิกรัล ในการใช้งานจำนวนมาก ฟังก์ชันที่รวมเข้าด้วยกันจะมีอยู่ในตาราง และสูตรของ Newton-Leibniz ไม่สามารถใช้ได้โดยตรง
หากคุณต้องการผลลัพธ์ที่แม่นยำที่สุด อุดมคติ วิธีการของซิมป์สัน.
จากการศึกษาข้างต้น สามารถสรุปได้ว่าอินทิกรัลถูกใช้ในวิทยาศาสตร์ต่างๆ เช่น ฟิสิกส์ เรขาคณิต คณิตศาสตร์ และวิทยาศาสตร์อื่นๆ ด้วยความช่วยเหลือของอินทิกรัลคำนวณการทำงานของแรงพบพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลเส้นทางที่เดินทางโดยจุดวัสดุ ในเรขาคณิต ใช้ในการคำนวณปริมาตรของร่างกาย ค้นหาความยาวของส่วนโค้งของเส้นโค้ง ฯลฯ
