การวิเคราะห์มิติของปริมาณทางกายภาพ การวิเคราะห์มิติ

ปริมาณทางกายภาพ ค่าตัวเลขที่ไม่ขึ้นอยู่กับมาตราส่วนของหน่วยที่เลือก เรียกว่าไร้มิติ ตัวอย่างของปริมาณที่ไม่มีมิติ ได้แก่ มุม (อัตราส่วนของความยาวส่วนโค้งต่อรัศมี) ดัชนีการหักเหของแสงของสสาร (อัตราส่วนของความเร็วของแสงในสุญญากาศต่อความเร็วของแสงในสสาร)

ปริมาณทางกายภาพที่เปลี่ยนค่าตัวเลขเมื่อเปลี่ยนมาตราส่วนของหน่วยเรียกว่ามิติ ตัวอย่างของปริมาณเชิงมิติ ได้แก่ ความยาว แรง ฯลฯ นิพจน์ของหน่วยปริมาณทางกายภาพในรูปของหน่วยพื้นฐานเรียกว่า มิติ (หรือสูตรมิติ) ตัวอย่างเช่น มิติของแรงในระบบ CGS และ SI แสดงโดยสูตร

การพิจารณามิติสามารถใช้เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบที่ได้รับเมื่อแก้ปัญหาทางกายภาพ: ส่วนด้านขวาและด้านซ้ายของนิพจน์ที่ได้รับ รวมถึงคำศัพท์เฉพาะในแต่ละส่วนจะต้องมีมิติเท่ากัน

วิธีการของมิติยังสามารถใช้เพื่อให้ได้สูตรและสมการ เมื่อเรารู้ว่าพารามิเตอร์ทางกายภาพใด ค่าที่ต้องการอาจขึ้นอยู่กับ สาระสำคัญของวิธีการนี้เข้าใจง่ายที่สุดด้วยตัวอย่างเฉพาะ

การประยุกต์ใช้วิธีการวัดขนาดพิจารณาปัญหาที่เรารู้คำตอบเป็นอย่างดี: วัตถุจะตกลงสู่พื้นด้วยความเร็วเท่าใด ตกลงอย่างอิสระโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้นจากที่สูง หากละเลยแรงต้านของอากาศ แทนที่จะใช้การคำนวณโดยตรงตามกฎการเคลื่อนที่ เราจะโต้แย้งดังนี้

ลองคิดดูว่าความเร็วที่ต้องการอาจขึ้นอยู่กับอะไร เห็นได้ชัดว่ามันต้องขึ้นอยู่กับความสูงเริ่มต้นและความเร่งของการตกอย่างอิสระ สามารถสันนิษฐานได้ว่าตามอริสโตเติลว่ามันขึ้นอยู่กับมวลด้วย เนื่องจากสามารถเพิ่มได้เฉพาะค่าของมิติเดียวกันจึงสามารถเสนอสูตรต่อไปนี้สำหรับความเร็วที่ต้องการ:

โดยที่ C คือค่าคงที่ไร้มิติบางส่วน (ค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข) และ x, y และ z คือ ตัวเลขที่ไม่รู้จักซึ่งควรกำหนด

ขนาดของส่วนด้านขวาและด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้จะต้องเท่ากัน และเป็นเงื่อนไขที่สามารถใช้ในการกำหนดเลขชี้กำลัง x, y, z ใน (2) มิติของความเร็วคือมิติของความสูง มิติของความเร่งการตกอย่างอิสระคือ และสุดท้าย มิติของมวลคือ M เนื่องจากค่าคงที่ C ไม่มีมิติ สูตร (2) จึงสอดคล้องกับความเท่าเทียมกันของมิติต่อไปนี้:

ความเท่าเทียมกันนี้ต้องถือโดยไม่คำนึงถึงค่าตัวเลข ดังนั้นจึงจำเป็นต้องจัดเลขชี้กำลังที่ และ M ในส่วนซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกัน (3):

จากระบบสมการนี้เราได้ ดังนั้นสูตร (2) จึงใช้รูปแบบ

ค่าที่แท้จริงของความเร็วดังที่ทราบแล้วมีค่าเท่ากับ

ดังนั้นวิธีการที่ใช้ทำให้สามารถระบุการพึ่งพาได้อย่างถูกต้องและไม่สามารถหาค่าได้

ค่าคงที่ไร้มิติ C. แม้ว่าเราจะยังไม่สามารถหาคำตอบที่ละเอียดถี่ถ้วนได้ แต่อย่างไรก็ตาม ได้ข้อมูลที่สำคัญมากแล้ว ตัวอย่างเช่น เราสามารถระบุได้อย่างแน่นอนว่าถ้าความสูงเริ่มต้นเป็นสี่เท่า ความเร็วในขณะที่ตกลงมาจะเพิ่มเป็นสองเท่า และความเร็วนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของวัตถุที่ตกลงมา ซึ่งตรงกันข้ามกับความเห็นของอริสโตเติล

ทางเลือกของตัวเลือกเมื่อใช้วิธีการของมิติ ก่อนอื่นควรระบุพารามิเตอร์ที่กำหนดปรากฏการณ์ที่กำลังพิจารณา สิ่งนี้ทำได้ง่ายหากทราบกฎทางกายภาพที่อธิบาย ในหลายกรณี สามารถระบุพารามิเตอร์ที่กำหนดปรากฏการณ์ได้แม้ว่าจะไม่ทราบกฎทางกายภาพก็ตาม ตามกฎแล้ว คุณจำเป็นต้องรู้น้อยเพื่อใช้วิธีการวิเคราะห์เชิงมิติมากกว่าการเขียนสมการการเคลื่อนที่

หากจำนวนพารามิเตอร์ที่กำหนดปรากฏการณ์ภายใต้การศึกษามากกว่าจำนวนหน่วยพื้นฐานซึ่งระบบที่เลือกของหน่วยถูกสร้างขึ้น แน่นอนว่าไม่สามารถระบุเลขชี้กำลังทั้งหมดในสูตรที่เสนอสำหรับค่าที่ต้องการได้ ในกรณีนี้ อันดับแรกคือมีประโยชน์ในการพิจารณาชุดค่าผสมที่ไม่มีมิติอิสระทั้งหมดของพารามิเตอร์ที่เลือก จากนั้นปริมาณทางกายภาพที่ต้องการจะไม่ถูกกำหนดโดยสูตรประเภท (2) แต่โดยผลคูณของพารามิเตอร์บางตัว (ที่ง่ายที่สุด) ที่มีมิติที่ต้องการ (เช่น ขนาดของปริมาณที่ต้องการ) โดยฟังก์ชันบางอย่างของ พารามิเตอร์ไร้มิติที่พบ

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าในตัวอย่างข้างต้นของร่างกายที่ตกลงมาจากที่สูง เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างชุดค่าผสมไร้มิติจากปริมาณและชุดค่าผสมไร้มิติ ดังนั้น สูตร (2) จึงหมดกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด

พารามิเตอร์ที่ไม่มีมิติให้เราพิจารณาปัญหาต่อไปนี้: เรากำหนดระยะของการบินในแนวนอนของกระสุนปืนที่ยิงในแนวนอนด้วยความเร็วเริ่มต้นจากปืนที่ตั้งอยู่บนภูเขาสูง

ในกรณีที่ไม่มีแรงต้านของอากาศ จำนวนของพารามิเตอร์ที่ช่วงที่ต้องการอาจขึ้นอยู่เท่ากับสี่: และอื่นๆ เนื่องจากจำนวนหน่วยพื้นฐานเท่ากับสาม การแก้ปัญหาโดยวิธีมิติข้อมูลทั้งหมดจึงเป็นไปไม่ได้ . ก่อนอื่นให้เราหาพารามิเตอร์ไร้มิติอิสระทั้งหมด y ที่ประกอบขึ้นจากและ

นิพจน์นี้สอดคล้องกับความเท่าเทียมกันของมิติต่อไปนี้:

จากตรงนี้เราจะได้ระบบสมการ

ซึ่งให้และสำหรับพารามิเตอร์ไร้มิติที่ต้องการเราได้รับ

จะเห็นได้ว่าตัวแปรไร้มิติอิสระเพียงตัวเดียวในปัญหาที่กำลังพิจารณาคือ

ฟังก์ชันของพารามิเตอร์ไร้มิติที่ยังไม่เป็นที่รู้จักอยู่ที่ไหน วิธีการของมิติ (ในเวอร์ชันที่นำเสนอ) ไม่อนุญาตให้มีการกำหนดฟังก์ชันนี้ แต่ถ้าเรารู้จากที่ไหนสักแห่ง เช่น จากประสบการณ์ ว่าช่วงที่ต้องการนั้นเป็นสัดส่วนกับความเร็วแนวนอนของกระสุนปืน รูปแบบของฟังก์ชันจะถูกกำหนดทันที: ความเร็วจะต้องป้อนเข้าไปในกำลังแรก นั่นคือ

ตอนนี้จาก (5) สำหรับพิสัยของกระสุนปืนที่เราได้รับ

ซึ่งตรงกับคำตอบที่ถูกต้อง

เราเน้นว่าด้วยวิธีการกำหนดประเภทของฟังก์ชันนี้ ก็เพียงพอแล้วที่เราจะทราบลักษณะของการพึ่งพาช่วงการบินที่สร้างขึ้นโดยการทดลองไม่ได้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ทั้งหมด แต่มีเพียงพารามิเตอร์เดียวเท่านั้น

หน่วยเวกเตอร์ของความยาวแต่มันเป็นไปได้ที่จะกำหนดช่วง (7) จากการพิจารณามิติเท่านั้นหากเราเพิ่มจำนวนหน่วยพื้นฐานที่ใช้แสดงพารามิเตอร์เป็นสี่หน่วย ฯลฯ จนถึงขณะนี้เมื่อเขียนสูตรมิติไม่มีความแตกต่างระหว่างหน่วยของ ความยาวในทิศทางแนวนอนและแนวตั้ง อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างดังกล่าวสามารถนำมาใช้โดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่าแรงโน้มถ่วงกระทำในแนวตั้งเท่านั้น

ให้เราแสดงมิติของความยาวในแนวนอนผ่านและในแนวตั้ง - ผ่าน จากนั้นมิติของช่วงการบินในแนวนอนจะเป็นมิติของความสูงจะเป็นมิติของความเร็วแนวนอนจะเป็นและสำหรับการเร่งความเร็ว

ฟรีตกเราได้รับ ตอนนี้ดูสูตร (5) เราจะเห็นว่าวิธีเดียวที่จะได้รับมิติด้านขวาคือการใช้สัดส่วน เรากลับมาที่สูตร (7)

แน่นอนว่าการมีหน่วยพื้นฐานสี่หน่วยและ M สามารถสร้างค่าของมิติที่ต้องการได้โดยตรงจากพารามิเตอร์สี่ตัวและ

ความเท่าเทียมกันของมิติทางซ้ายและ ส่วนที่ถูกต้องมีรูปแบบ

ระบบสมการสำหรับ x, y, z และ และให้ค่าและเรามาที่สูตร (7) อีกครั้ง

หน่วยความยาวต่างๆ ที่ใช้ในที่นี้ในทิศทางตั้งฉากซึ่งกันและกัน บางครั้งเรียกว่าหน่วยความยาวเวกเตอร์ แอปพลิเคชันของพวกเขาขยายความเป็นไปได้ของวิธีการวิเคราะห์เชิงมิติอย่างมาก

เมื่อใช้วิธีการวิเคราะห์เชิงมิติ จะเป็นประโยชน์ในการพัฒนาทักษะในระดับที่คุณไม่ได้สร้างระบบสมการสำหรับเลขชี้กำลังในสูตรที่ต้องการ แต่จะเลือกโดยตรง มาอธิบายกันในปัญหาต่อไป

งาน

ช่วงสูงสุด ควรขว้างก้อนหินในมุมใดในแนวนอนเพื่อเพิ่มระยะการบินในแนวนอนให้สูงสุด

วิธีการแก้. สมมติว่าเราได้ "ลืม" สูตรจลนศาสตร์ทั้งหมดแล้ว และพยายามหาคำตอบจากการพิจารณาเชิงมิติ เมื่อมองแวบแรก อาจดูเหมือนว่าวิธีการของมิติจะไม่สามารถใช้ได้เลย เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติบางอย่างของมุมการขว้างจะต้องป้อนลงในคำตอบ ดังนั้น แทนที่จะหามุม a เอง เราจะพยายามมองหานิพจน์สำหรับ range เป็นที่ชัดเจนว่าเราไม่สามารถทำได้หากไม่มีหน่วยความยาวเวกเตอร์

ควรเน้นว่าเป้าหมายสูงสุดในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณายังคงเหมือนเดิม: การค้นหาตัวเลขความคล้ายคลึงกันที่ควรดำเนินการสร้างแบบจำลอง แต่จะแก้ไขได้ด้วยข้อมูลจำนวนน้อยลงอย่างมากเกี่ยวกับธรรมชาติของกระบวนการ

เพื่อชี้แจงสิ่งต่อไปนี้ เราจะทบทวนแนวคิดพื้นฐานบางประการโดยสังเขป การนำเสนอโดยละเอียดสามารถพบได้ในหนังสือโดย A.N. Lebedev "การสร้างแบบจำลองในการวิจัยทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิค" - ม.: วิทยุและการสื่อสาร. 2532. -224 น.

วัตถุวัสดุใด ๆ มีคุณสมบัติหลายอย่างที่อนุญาตให้มีการแสดงออกเชิงปริมาณ นอกจากนี้ แต่ละคุณสมบัติยังมีลักษณะตามขนาดของปริมาณทางกายภาพที่แน่นอน หน่วยของปริมาณทางกายภาพบางอย่างสามารถเลือกได้โดยพลการ และด้วยความช่วยเหลือของพวกมันเป็นตัวแทนของหน่วยของหน่วยอื่นๆ ทั้งหมด หน่วยทางกายภาพที่เลือกโดยพลการเรียกว่า หลัก. ในระบบสากล (ตามที่ใช้กับกลศาสตร์) นี่คือกิโลกรัม เมตร และวินาที ปริมาณที่เหลือที่แสดงในรูปของทั้งสามนี้เรียกว่า อนุพันธ์.

หน่วยฐานสามารถแสดงด้วยสัญลักษณ์ของปริมาณที่สอดคล้องกันหรือด้วยสัญลักษณ์พิเศษ ตัวอย่างเช่น หน่วยของความยาวคือ หลี่, หน่วยมวล - เอ็ม, หน่วยเวลา - ตู่. หรือหน่วยความยาวคือเมตร (m) หน่วยของมวลคือกิโลกรัม (กก.) หน่วยเวลาคือวินาที

มิติเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นนิพจน์สัญลักษณ์ (บางครั้งเรียกว่าสูตร) ในรูปแบบของโมโนเมียลกำลังซึ่งเชื่อมโยงค่าที่ได้รับกับค่าหลัก รูปแบบทั่วไปของระเบียบนี้มีรูปแบบ

ที่ไหน x, y, z- ตัวชี้วัดมิติ

ตัวอย่างเช่น มิติของความเร็ว

สำหรับปริมาณไร้มิติ ตัวชี้วัดทั้งหมด และด้วยเหตุนี้

สองข้อความถัดมาค่อนข้างชัดเจนและไม่ต้องการหลักฐานพิเศษใดๆ

อัตราส่วนของขนาดของวัตถุสองชิ้นเป็นค่าคงที่โดยไม่คำนึงถึงหน่วยที่แสดง ตัวอย่างเช่น หากอัตราส่วนของพื้นที่ที่ใช้โดยหน้าต่างต่อพื้นที่ของผนังคือ 0.2 ผลลัพธ์นี้จะไม่เปลี่ยนแปลงหากพื้นที่แสดงเป็น mm2, m2 หรือ km2

ตำแหน่งที่สองสามารถกำหนดได้ดังนี้ ความสัมพันธ์ทางกายภาพที่ถูกต้องจะต้องมีความสม่ำเสมอในมิติ ซึ่งหมายความว่าข้อกำหนดทั้งหมดที่รวมอยู่ในส่วนด้านขวาและด้านซ้ายต้องมีมิติเท่ากัน กฎง่ายๆนี้ถูกนำมาใช้อย่างชัดเจนในชีวิตประจำวัน ทุกคนตระหนักดีว่าสามารถเพิ่มเมตรได้เฉพาะในเมตรเท่านั้น ไม่ใช่หน่วยกิโลกรัมหรือวินาที ต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่ากฎยังคงใช้ได้เมื่อพิจารณาถึงสมการที่ซับซ้อนที่สุด

วิธีการวิเคราะห์เชิงมิติขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรียกว่า -theorem (อ่าน: pi-theorem) -ทฤษฎีบทสร้างการเชื่อมต่อระหว่างฟังก์ชันที่แสดงในรูปของพารามิเตอร์มิติและฟังก์ชันในรูปแบบไม่มีมิติ ทฤษฎีบทสามารถกำหนดได้ครบถ้วนมากขึ้นดังนี้:

ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันใดๆ ระหว่างปริมาณเชิงมิติสามารถแสดงเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง นู๋สารเชิงซ้อนไร้มิติ (ตัวเลข) ที่ประกอบด้วยปริมาณเหล่านี้ จำนวนเชิงซ้อนเหล่านี้ , ที่ไหน น- จำนวนหน่วยพื้นฐาน ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นในอุทกศาสตร์ (kg, m, s)

ให้ตัวอย่างเช่นค่า แต่เป็นฟังก์ชันของปริมาณห้ามิติ () เช่น

(13.12)

มันตามมาจาก -theorem ว่าการพึ่งพานี้สามารถแปลงเป็นการพึ่งพาที่มีตัวเลขสองตัว ( )

(13.13)

โดยที่ และ เป็นคอมเพล็กซ์ไร้มิติที่ประกอบด้วยปริมาณเชิงมิติ

ทฤษฎีบทนี้บางครั้งมาจาก Buckingham และเรียกว่า - Buckingham's theorem อันที่จริง นักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงหลายคนมีส่วนในการพัฒนา รวมทั้งฟูริเยร์, รยาบูชินสกี้ และเรย์ลีห์

การพิสูจน์ทฤษฎีบทอยู่นอกเหนือขอบเขตของหลักสูตร หากจำเป็นสามารถพบได้ในหนังสือของ L.I. Sedov "วิธีการของความคล้ายคลึงและมิติในกลไก" - M.: Nauka, 1972. - 440 p. การให้เหตุผลโดยละเอียดของวิธีการนี้ยังมีให้ในหนังสือโดย V.A. Venikov และ G.V. Venikov "ทฤษฎีความคล้ายคลึงกันและการสร้างแบบจำลอง" - M.: Higher school, 1984. -439 p. คุณลักษณะของหนังสือเล่มนี้คือ นอกจากประเด็นที่เกี่ยวข้องกับความคล้ายคลึงกันแล้ว ยังมีข้อมูลเกี่ยวกับวิธีการตั้งค่าการทดสอบและการประมวลผลผลการทดลอง

การใช้การวิเคราะห์เชิงมิติเพื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติโดยเฉพาะนั้นสัมพันธ์กับความจำเป็นในการรวบรวมการพึ่งพาฟังก์ชันของแบบฟอร์ม (13.12) ซึ่งในขั้นต่อไปจะได้รับการประมวลผลด้วยเทคนิคพิเศษที่จะนำไปสู่การได้ตัวเลขในที่สุด

ขั้นสร้างสรรค์หลักคือขั้นแรก เนื่องจากผลลัพธ์ที่ได้ขึ้นอยู่กับความเข้าใจที่ถูกต้องและครบถ้วนของผู้วิจัยเกี่ยวกับลักษณะทางกายภาพของกระบวนการ กล่าวอีกนัยหนึ่งว่าการพึ่งพาฟังก์ชัน (13.12) อย่างถูกต้องและครบถ้วนนั้นคำนึงถึงพารามิเตอร์ทั้งหมดที่ส่งผลต่อกระบวนการภายใต้การศึกษาอย่างไร ความผิดพลาดใด ๆ ที่นี่ย่อมนำไปสู่ข้อสรุปที่ผิดพลาดอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ สิ่งที่เรียกว่า "ข้อผิดพลาดของ Rayleigh" เป็นที่รู้จักในประวัติศาสตร์ของวิทยาศาสตร์ สาระสำคัญของมันคือเมื่อศึกษาปัญหาการถ่ายเทความร้อนในกระแสที่ปั่นป่วน Rayleigh ไม่ได้คำนึงถึงอิทธิพลของความหนืดของการไหลนั่นคือ ไม่รวมอยู่ในการพึ่งพา (13.12) เป็นผลให้อัตราส่วนสุดท้ายที่เขาได้รับไม่ได้รวมหมายเลขความคล้ายคลึงของ Reynolds ซึ่งมีบทบาทสำคัญในการถ่ายเทความร้อน

เพื่อให้เข้าใจสาระสำคัญของวิธีการ พิจารณาตัวอย่าง แสดงให้เห็นทั้งแนวทางทั่วไปของปัญหาและวิธีการได้ตัวเลขความคล้ายคลึงกัน.

จำเป็นต้องกำหนดประเภทของการพึ่งพาที่ทำให้สามารถระบุการสูญเสียแรงดันหรือการสูญเสียส่วนหัวในการไหลแบบปั่นป่วนในท่อกลมได้

จำได้ว่าปัญหานี้ได้รับการพิจารณาในข้อ 12.6 แล้ว ดังนั้นจึงเป็นเรื่องที่น่าสนใจอย่างไม่ต้องสงสัยที่จะกำหนดวิธีการแก้ปัญหาโดยใช้การวิเคราะห์เชิงมิติ และไม่ว่าโซลูชันนี้จะให้ข้อมูลใหม่หรือไม่

เป็นที่ชัดเจนว่าแรงดันตกตามท่อเนื่องจากพลังงานที่ใช้ในการเอาชนะแรงเสียดทานหนืดนั้นแปรผกผันกับความยาวดังนั้นเพื่อลดจำนวนตัวแปรจึงไม่แนะนำให้พิจารณา แต่ , เช่น. การสูญเสียแรงดันต่อหน่วยความยาวของท่อ จำได้ว่าอัตราส่วน การสูญเสียแรงดันอยู่ที่ไหนเรียกว่าความชันไฮดรอลิก

จากแนวคิดของลักษณะทางกายภาพของกระบวนการ สามารถสันนิษฐานได้ว่าความสูญเสียที่เกิดขึ้นควรขึ้นอยู่กับ: อัตราการไหลเฉลี่ยของตัวกลางในการทำงาน (v); ตามขนาดของท่อที่กำหนดโดยเส้นผ่านศูนย์กลาง ( d); จาก คุณสมบัติทางกายภาพสื่อที่ขนส่งโดยมีลักษณะความหนาแน่น () และความหนืด (); และในที่สุดก็มีเหตุผลที่จะสมมติว่าการสูญเสียนั้นต้องเกี่ยวข้องกับสถานะของพื้นผิวด้านในของท่อเช่น มีความหยาบ ( k) ของผนัง ดังนั้นการพึ่งพา (13.12) กรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจึงมีรูปแบบ

(13.14)

นี่คือจุดสิ้นสุดของข้อแรกและต้องเน้นย้ำว่าเป็นขั้นตอนที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์มิติข้อมูล

ตามทฤษฎีบท - จำนวนของพารามิเตอร์ที่มีอิทธิพลที่รวมอยู่ในการพึ่งพาคือ ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนไร้มิติ นั่นคือ หลังจากการประมวลผลที่เหมาะสม (13.14) ควรใช้แบบฟอร์ม

(13.15)

มีหลายวิธีในการค้นหาตัวเลข เราจะใช้วิธีการที่เสนอโดย Rayleigh

ข้อได้เปรียบหลักคือมันเป็นอัลกอริธึมชนิดหนึ่งที่นำไปสู่การแก้ปัญหา

จากพารามิเตอร์ที่รวมอยู่ใน (13.15) จำเป็นต้องเลือกสามรายการ แต่เพื่อให้รวมหน่วยพื้นฐานเช่น เมตร กิโลกรัม และวินาที ปล่อยให้พวกเขาเป็นวี d, . ง่ายต่อการตรวจสอบว่าเป็นไปตามข้อกำหนดที่ระบุไว้

ตัวเลขอยู่ในรูปของพลังงานโมโนเมียลจากพารามิเตอร์ที่เลือกคูณด้วยค่าที่เหลือใน (13.14)

; (13.16)

; (13.17)

; (13.18)

ตอนนี้ปัญหาลดลงเหลือเพียงการหาเลขชี้กำลังทั้งหมด ในขณะเดียวกันก็ต้องเลือกตัวเลขให้ไม่มีมิติ

เพื่อแก้ปัญหานี้ ก่อนอื่นเราต้องกำหนดขนาดของพารามิเตอร์ทั้งหมด:

; ;

ความหนืด , เช่น. .

พารามิเตอร์ , และ .

และในที่สุดก็, .

ดังนั้นขนาดของตัวเลขจะเป็น

ในทำนองเดียวกันอีกสอง

ในตอนต้นของมาตรา 13.3 ได้ระบุไว้แล้วว่าสำหรับปริมาณที่ไม่มีมิติใด ๆ เลขชี้กำลังมิติ . ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวเลขที่เราเขียนได้

เท่ากับเลขชี้กำลัง เราได้รับสามสมการที่มีสามไม่ทราบค่า

เราพบที่ไหน ; .

แทนค่าเหล่านี้เป็น (13.6) เราได้รับ

(13.19)

ในทำนองเดียวกัน แสดงว่า

และ .

ดังนั้นการพึ่งพาอาศัยกัน (13.15) จึงอยู่ในรูปแบบ

(13.20)

เนื่องจากมีหมายเลขความคล้ายคลึงกันที่ไม่ได้กำหนด (หมายเลขออยเลอร์) ดังนั้น (13.20) สามารถเขียนเป็นการพึ่งพาฟังก์ชันได้

(13.21)

ควรระลึกไว้เสมอว่าการวิเคราะห์มิติข้อมูลไม่ได้และโดยหลักการแล้วไม่สามารถให้ค่าตัวเลขใด ๆ ในอัตราส่วนที่ได้รับด้วยความช่วยเหลือ ดังนั้นจึงควรจบลงด้วยการวิเคราะห์ผลลัพธ์และหากจำเป็น ให้แก้ไขตามแนวคิดทางกายภาพทั่วไป ให้เราพิจารณานิพจน์ (13.21) จากตำแหน่งเหล่านี้ ด้านขวามีกำลังสองของความเร็ว แต่รายการนี้ไม่ได้แสดงอะไรนอกจากข้อเท็จจริงที่ว่าความเร็วเป็นกำลังสอง อย่างไรก็ตาม หากเราหารค่านี้ด้วยสอง นั่นคือ ดังที่ทราบจากไฮโดรแมคคานิกส์ มันจึงได้มาซึ่งความหมายทางกายภาพที่สำคัญ: ความจำเพาะ พลังงานจลน์, a - แรงดันไดนามิกเนื่องจากความเร็วเฉลี่ย เมื่อพิจารณาตามนี้แล้ว สมควรเขียน (13.21) ในรูปแบบ

(13.22)

ถ้าตอนนี้ดังเช่นใน (12.26) เราแสดงด้วยตัวอักษร เราก็มาถึงสูตรดาร์ซี

(13.23)

(13.24)

โดยที่สัมประสิทธิ์การเสียดทานของไฮดรอลิกซึ่งตามมาจาก (13.22) เป็นฟังก์ชันของหมายเลข Reynolds และความหยาบสัมพัทธ์ ( k/d). รูปแบบของการพึ่งพาอาศัยกันนี้สามารถพบได้ในการทดลองเท่านั้น

วรรณกรรม

1. Kalnitsky L.A. , Dobrotin D.A. , Zheverzheev V.F. หลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นสูงพิเศษสำหรับสถาบันอุดมศึกษา ม.: ม.ต้น, 2519. - 389ส.

2. Astarita J. , Marruchi J. พื้นฐานของไฮโดรแมคคานิกส์ของของไหลที่ไม่ใช่ของนิวตัน - ม.: มีร์, 1978.-307p.

3. Fedyaevsky K.K. , Faddeev Yu.I. ไฮโดรเมคคานิกส์ - ม.: การต่อเรือ, 2511. - 567 น.

4. Fabrikant N.Ya. อากาศพลศาสตร์ - ม.: เนาก้า, 2507. - 814 น.

5. Arzanikov N.S. และ Maltev V.N. อากาศพลศาสตร์ - M.: Oborongiz, 2499 - 483 น.

6. Filchakov P.F. วิธีการโดยประมาณของการแมปตามรูปแบบ - K.: Naukova Dumka, 2507. - 530 น.

7. Lavrentiev M.A. , Shabat B.V. วิธีการของทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน - ม.: เนาก้า, 2530. - 688 น.

8. Daly J. , Harleman D. กลศาสตร์ของไหล -M.: พลังงาน, 2514. - 480 น.

9. เช่น. โมนิน, น. Yaglom "Statistical hydromechanics" (ตอนที่ 1 - M.: Nauka, 1968. - 639 p.)

10. Schlichting G. ทฤษฎีของเลเยอร์ขอบเขต - ม.: เนาก้า, 2517. - 711 น.

11. Pavlenko V.G. พื้นฐานของกลศาสตร์ของไหล - L.: การต่อเรือ, 2531. - 240 น.

12. Altshul A.D. ความต้านทานไฮดรอลิก - M.: Nedra, 1970. - 215 p.

13. AA Gukhman "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีความคล้ายคลึงกัน" - ม.: ม.ต้น ปี 2506 - 253 น.

14. S. Kline "ความคล้ายคลึงและวิธีการโดยประมาณ" - M.: Mir, 1968. - 302 น.

15. AA Gukhman "การประยุกต์ใช้ทฤษฎีความคล้ายคลึงกันในการศึกษากระบวนการถ่ายเทความร้อนและมวล กระบวนการถ่ายโอนในสื่อเคลื่อนที่ - ม.: ระดับที่สูงขึ้น, 1967. - 302 น.

16. A.N. Lebedev "การสร้างแบบจำลองในการวิจัยทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิค". - ม.: วิทยุและการสื่อสาร. 2532. -224 น.

17. L.I. Sedov "วิธีการของความคล้ายคลึงและมิติในกลไก" - M.: Nauka, 1972. - 440 p.

18. V.A.Venikov และ G.V.Venikov "ทฤษฎีความคล้ายคลึงกันและการสร้างแบบจำลอง" - M .: Higher school, 1984. -439 p.

1. เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในกลศาสตร์ของไหล .......................................... ................................ .................................. ................... ..... 3

1.1. เวกเตอร์และการดำเนินการกับพวกเขา ............................................. ................. ...... สี่

1.2. การดำเนินงานของคำสั่งแรก (ลักษณะที่แตกต่างของสนาม) ................................................. . ................................................ .. ... 5

1.3. การดำเนินการของคำสั่งที่สอง ................................................. ...................... ......... 6

1.4. ความสัมพันธ์เชิงปริพันธ์ของทฤษฎีสนาม................................................. ..7

1.4.1. การไหลของสนามเวกเตอร์ ................................................. ............... ... 7

1.4.2. การไหลเวียนของเวกเตอร์สนาม ............................................. ..7

1.4.3. สูตรสโต๊ค ................................................ .. ............. 7

1.4.4. สูตรเกาส์-ออสโตรกราดสกี้.............................7

2. คุณสมบัติทางกายภาพขั้นพื้นฐานและพารามิเตอร์ของของเหลว แรงและความเครียด ................................................... ................ ................................ แปด

2.1. ความหนาแน่น................................................. ................................... แปด

2.2. ความหนืด................................................. ...................................... 9

2.3. การจำแนกกำลังพล ............................................. ... ................................ 12

2.3.1. มวลสาร ................................................. .................. ............. 12

2.3.2. แรงพื้นผิว ................................................ ...................... .... 12

2.3.3. เทนเซอร์ความเครียด ................................................ ...................... ...... 13

2.3.4. สมการการเคลื่อนที่ในความเค้น ................................. 16

3. ไฮโดรสแตติกส์............................................. ................................... สิบแปด

3.1. สมการสมดุลของของไหล................................................... 18

3.2. สมการพื้นฐานของไฮโดรสแตติกในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล ................................................. . ................................................ .. ... 19

3.3. พื้นผิวศักย์เท่ากันและพื้นผิวที่มีแรงดันเท่ากัน ................................................. . ................................................ .. ... ยี่สิบ

3.4. สมดุลของของไหลอัดตัวที่เป็นเนื้อเดียวกันในสนามแรงโน้มถ่วง กฎของปาสกาล กฎอุทกสถิตของการกระจายแรงดัน... 20

3.5. การหาแรงดันของเหลวบนพื้นผิวของร่างกาย .... 22

3.5.1. พื้นผิวเรียบ................................................ .... 24

4. จลนศาสตร์................................................... ...................................... 26

4.1. การเคลื่อนที่ของของไหลอย่างมั่นคงและไม่เสถียร ...... 26

4.2. สมการความต่อเนื่อง (ความต่อเนื่อง) ................................................. ..27

4.3. คล่องตัวและวิถี ................................................. ................ ............ 29

4.4. ท่อส่งน้ำ (ผิวน้ำ)................................................ ...... ... 29

4.5. รุ่นเจ็ตโฟลว์ ................................................. ................ ............ 29

4.6. สมการความต่อเนื่องของหยด................................................. .. 30

4.7. ความเร่งของอนุภาคของเหลว ............................................. ...................... ...... 31

4.8. การวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของอนุภาคของเหลว .......................................... ....32

4.8.1. การเสียรูปเชิงมุม ................................................ ...................... ... 32

4.8.2. การเปลี่ยนรูปเชิงเส้น ................................................ ................... .36

5. VORTEX MOTION ของของเหลว ........................................... ................... .38

5.1. จลนศาสตร์การเคลื่อนที่ของกระแสน้ำวน.............................................. . 38

5.2. ระดับความแรงของกระแสน้ำวน ................................................ .......................... ................ 39

5.3. ความเร็วหมุนเวียน ................................................ .................. ............... 41

5.4. ทฤษฎีบทของสโตกส์ ................................................... .... ......................... 42

6. ศักยภาพการเคลื่อนที่ของของเหลว ................................................. . 44

6.1. ศักยภาพความเร็ว .................................................. ................ ................. 44

6.2. สมการลาปลาซ ................................................ .. ................... 46

6.3. การหมุนเวียนความเร็วในสนามที่มีศักยภาพ................................ 47

6.4. ฟังก์ชันกระแสไหลของระนาบ ................................................. ....................... .47

6.5. ความหมายทางน้ำของฟังก์ชันปัจจุบัน .................................. 49

6.6. ความสัมพันธ์ระหว่างศักย์ความเร็วกับฟังก์ชันปัจจุบัน .................................. 49

6.7. วิธีการคำนวณกระแสที่อาจเกิดขึ้น ................................................. . 50

6.8. การทับซ้อนของกระแสที่อาจเกิดขึ้น.................................................. ...... 54

6.9. การไหลไม่หมุนเวียนผ่านกระบอกสูบทรงกลม .................. 58

6.10. การประยุกต์ใช้ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนในการศึกษาการไหลของระนาบของของไหลในอุดมคติ ..... 60

6.11. การแมปที่สอดคล้องกัน ................................................ ...................... ..... 62

7. ไฮโดรไดนามิกส์ของของเหลวในอุดมคติ .................................. 65

7.1. สมการการเคลื่อนที่ของของไหลในอุดมคติ................................ 65

7.2. Gromeka-Lamb การแปลง................................................. . 66

7.3. สมการการเคลื่อนที่ในรูปของ Gromeka-Lamb ................................. 67

7.4. การรวมสมการการเคลื่อนที่ของการไหลคงที่................................................ .......................... ................. .......................... .......... 68

7.5. ที่มาอย่างง่ายของสมการเบอร์นูลลี............................ 69

7.6. ความหมายพลังงานของสมการเบอร์นูลลี ............................. 70

7.7. สมการเบอร์นูลลีในรูปหัว................................................. .... 71

8. ไฮโดรไดนามิกส์ของของเหลวหนืด ........................................... ... 72

8.1. แบบจําลองของไหลหนืด ................................................. .................. ........... 72

8.1.1. สมมติฐานเชิงเส้น ................................................ ................... ... 72

8.1.2. สมมติฐานความเป็นเนื้อเดียวกัน ................................................. ................... 74

8.1.3. สมมติฐานของไอโซโทรปี ................................................... ............. .74

8.2 สมการการเคลื่อนที่ของของไหลหนืด (สมการเนเวียร์-สโตกส์) ................................................ ... ................................................................ .. ........... 74

9. การไหลของของเหลวที่ไม่สามารถบีบอัดได้ในหนึ่งมิติ (พื้นฐานของระบบไฮดรอลิกส์) .................................... ................................ .................................. ................................ ................. 77

9.1. อัตราการไหลและความเร็วเฉลี่ย............................................. ................. 77

9.2. การไหลที่ผิดรูปเล็กน้อยและคุณสมบัติของมัน....................... 78

9.3. สมการเบอร์นูลลีสำหรับการไหลของของไหลหนืด ................................. 79

9.4. ความหมายทางกายภาพของค่าสัมประสิทธิ์ Coriolis ................................. 82

10. การจำแนกประเภทของกระแสของเหลว ความคงตัวของการเคลื่อนไหว............................................. ................ .................................. ........... 84

11. กฎเกณฑ์ของการไหลของลามินาร์ในท่อกลม ........................................ ....................... ................................ ...................... .......... 86

12. กฎหลักของการเคลื่อนไหวแบบปั่นป่วน ................................................. . ................................................ .. ............ 90

12.1. ข้อมูลทั่วไป................................................ ... ....................... 90

12.2. สมการเรโนลส์................................................ ... ............ 92

12.3. ทฤษฎีกึ่งประจักษ์ของความปั่นป่วน............................................ ... 93

12.4. การไหลแบบปั่นป่วนในท่อ .................................................. 95

12.5. กฎกำลังของการกระจายความเร็ว............................ 100

12.6. การสูญเสียแรงดัน (ความดัน) ระหว่างการไหลแบบปั่นป่วนในท่อ ................................................. . ................................................ .. ... 100

13. พื้นฐานของทฤษฎีความคล้ายคลึงและแบบจำลอง .......... 102

13.1. การวิเคราะห์การตรวจสอบสมการเชิงอนุพันธ์..... 106

13.2. แนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงในตนเอง ................................................. ................. .110

13.3. การวิเคราะห์มิติ ................................................ .................. ............ 111

วรรณคดี …………………………………………………………………..118

ด้วยเหตุผล "ตั้งแต่ต้นจนจบ" ที่น่าเชื่อถือในการประเมินปัจจัยกระบวนการทางเทคโนโลยี

ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับวิธีการวิเคราะห์มิติ

ตอนเรียน ปรากฏการณ์ทางกลมีการแนะนำแนวคิดหลายอย่าง เช่น พลังงาน ความเร็ว แรงดันไฟ ฯลฯ ซึ่งกำหนดลักษณะปรากฏการณ์ที่กำลังพิจารณา และสามารถกำหนดและกำหนดโดยใช้ตัวเลขได้ คำถามทั้งหมดเกี่ยวกับการเคลื่อนไหวและความสมดุลถูกกำหนดให้เป็นปัญหาในการกำหนดฟังก์ชันบางอย่างและค่าตัวเลขสำหรับปริมาณที่แสดงลักษณะปรากฏการณ์ และเมื่อแก้ปัญหาดังกล่าวในการศึกษาเชิงทฤษฎีล้วนๆ กฎของธรรมชาติและความสัมพันธ์ทางเรขาคณิต (เชิงพื้นที่) ต่างๆ จะถูกนำเสนอใน รูปแบบของสมการเชิงฟังก์ชัน - โดยปกติแล้ว ดิฟเฟอเรนเชียล

บ่อยครั้งที่เราไม่มีโอกาสกำหนดปัญหาในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากปรากฏการณ์ทางกลที่ศึกษานั้นซับซ้อนมากจนยังไม่มีรูปแบบที่ยอมรับได้และยังไม่มีสมการการเคลื่อนที่เลย เราต้องเผชิญกับสถานการณ์ดังกล่าวเมื่อต้องแก้ไขปัญหาในด้านกลศาสตร์อากาศยาน ไฮโดรแมคคานิกส์ ในปัญหาการศึกษากำลังและการเสียรูป และอื่นๆ ในกรณีเหล่านี้ บทบาทหลักคือวิธีการวิจัยเชิงทดลอง ซึ่งทำให้สามารถสร้างข้อมูลการทดลองที่ง่ายที่สุด ซึ่งต่อมาเป็นพื้นฐานของทฤษฎีที่สัมพันธ์กันกับเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด อย่างไรก็ตาม การทดลองสามารถทำได้โดยอาศัยการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีเบื้องต้นเท่านั้น ความขัดแย้งได้รับการแก้ไขในระหว่างกระบวนการวิจัยซ้ำแล้วซ้ำอีก นำเสนอสมมติฐานและสมมติฐาน และทดสอบโดยการทดลอง ในขณะเดียวกันก็อยู่บนพื้นฐานของความคล้ายคลึงกันของปรากฏการณ์ทางธรรมชาติเป็นกฎทั่วไป ทฤษฎีความคล้ายคลึงและมิติคือ "ไวยากรณ์" ของการทดลองในระดับหนึ่ง

มิติของปริมาณ

หน่วยของการวัดปริมาณทางกายภาพต่างๆ รวมกันบนพื้นฐานของความสม่ำเสมอ ก่อให้เกิดระบบหน่วย ปัจจุบันใช้ระบบหน่วยสากล (SI) ใน SI เป็นอิสระจากกัน หน่วยของการวัดที่เรียกว่าปริมาณหลักที่เรียกว่า - มวล (กิโลกรัม, กิโลกรัม), ความยาว (เมตร, m), เวลา (วินาที, วินาที, s), ความแรงของกระแส (แอมแปร์) , ก), อุณหภูมิ (องศาเคลวิน, K) และความแรงของแสง (เทียน, sv) เรียกว่าหน่วยพื้นฐาน หน่วยวัดของปริมาณที่เหลือ รอง และปริมาณจะแสดงในรูปของหน่วยหลัก สูตรที่บ่งชี้การพึ่งพาหน่วยวัดของปริมาณทุติยภูมิในหน่วยการวัดหลักเรียกว่ามิติของปริมาณนี้

หามิติของปริมาณทุติยภูมิโดยใช้สมการกำหนด ซึ่งทำหน้าที่เป็นคำจำกัดความของปริมาณนี้ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น สมการกำหนดความเร็วคือ

เราจะระบุขนาดของปริมาณโดยใช้สัญลักษณ์ของปริมาณนี้ในวงเล็บเหลี่ยม แล้ว

, หรือ
,

โดยที่ [L], [T] คือมิติของความยาวและเวลาตามลำดับ

สมการกำหนดแรงถือได้ว่าเป็นกฎข้อที่สองของนิวตัน

จากนั้นมิติของแรงจะมีรูปแบบดังนี้

[F]=[M][L][T] .

สมการกำหนดและสูตรหาขนาดงานตามลำดับจะได้รูป

A=Fs และ [A]=[M][L] [ที] .

โดยทั่วไปเราจะมีความสัมพันธ์กัน

[ถาม] =[ม] [L] [ที] (1).

มาใส่ใจกับบันทึกความสัมพันธ์ของมิติกัน มันจะยังมีประโยชน์กับเราอยู่

ทฤษฎีความคล้ายคลึงกัน

การก่อตัวของทฤษฎีความคล้ายคลึงกันในด้านประวัติศาสตร์นั้นโดดเด่นด้วยทฤษฎีบทหลักสามประการ

ทฤษฎีบทความคล้ายคลึงแรกกำหนดเงื่อนไขและคุณสมบัติที่จำเป็นของระบบดังกล่าว โดยระบุว่าปรากฏการณ์ที่คล้ายคลึงกันมีเกณฑ์ความคล้ายคลึงกันในรูปแบบของนิพจน์ไร้มิติ ซึ่งเป็นการวัดอัตราส่วนของความเข้มของผลกระทบทางกายภาพสองอย่างที่จำเป็นสำหรับกระบวนการภายใต้การศึกษา

ทฤษฎีบทความคล้ายคลึงที่สอง(P-theorem) พิสูจน์ความเป็นไปได้ของการลดสมการให้อยู่ในรูปแบบเกณฑ์โดยไม่ต้องกำหนดความเพียงพอของเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของความคล้ายคลึงกัน

ทฤษฎีบทความคล้ายคลึงที่สามชี้ไปที่ขีดจำกัดของการกระจายตามปกติของประสบการณ์เดียว เพราะปรากฏการณ์ที่คล้ายคลึงกันจะเป็นปรากฏการณ์ที่มีเงื่อนไขเหมือนกันสำหรับความเป็นเอกลักษณ์และเกณฑ์ที่กำหนดเหมือนกัน

ดังนั้น สาระสำคัญของระเบียบวิธีของทฤษฎีมิติจึงอยู่ในความจริงที่ว่าระบบสมการใดๆ ที่มีบันทึกทางคณิตศาสตร์ของกฎที่ควบคุมปรากฏการณ์นี้ สามารถกำหนดเป็นความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณไร้มิติได้ เกณฑ์ที่กำหนดประกอบด้วยปริมาณที่ไม่สัมพันธ์กันซึ่งรวมอยู่ในเงื่อนไขเอกลักษณ์: ความสัมพันธ์ทางเรขาคณิต พารามิเตอร์ทางกายภาพ เงื่อนไขขอบเขต (เริ่มต้นและขอบเขต) ระบบกำหนดพารามิเตอร์ต้องมีคุณสมบัติครบถ้วน พารามิเตอร์ที่กำหนดบางตัวอาจเป็นค่าคงที่มิติทางกายภาพ เราจะเรียกพวกมันว่าตัวแปรพื้นฐาน ตรงกันข้ามกับตัวแปรอื่น - ตัวแปรควบคุม ตัวอย่างคือความเร่งของแรงโน้มถ่วง เธอเป็นตัวแปรพื้นฐาน ในสภาพดิน คงที่และเป็นตัวแปรในสภาพพื้นที่

สำหรับการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์เชิงมิติที่ถูกต้อง ผู้วิจัยต้องทราบลักษณะและจำนวนของตัวแปรพื้นฐานและตัวแปรควบคุมในการทดลองของเขา

ในกรณีนี้ มีข้อสรุปเชิงปฏิบัติจากทฤษฎีการวิเคราะห์เชิงมิติ และอยู่ที่ว่าหากผู้ทดลองรู้ตัวแปรทั้งหมดของกระบวนการที่กำลังศึกษาอยู่จริง ๆ และยังไม่มีบันทึกทางคณิตศาสตร์ของกฎหมายในรูปของ สมการแล้วเขาก็มีสิทธิที่จะแปลงโดยใช้ส่วนแรก ทฤษฎีบทของบัคกิ้งแฮม: "ถ้าสมการใดมีความชัดเจนในแง่ของมิติ ก็สามารถแปลงเป็นความสัมพันธ์ที่มีชุดของปริมาณผสมที่ไม่มีมิติได้"

ความเป็นเนื้อเดียวกันเมื่อเทียบกับมิติคือสมการที่รูปแบบไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกหน่วยพื้นฐาน

ป.ล. รูปแบบเชิงประจักษ์มักจะเป็นค่าประมาณ เหล่านี้เป็นคำอธิบายในรูปแบบของสมการเอกพันธ์ ในการออกแบบของพวกเขา มีค่าสัมประสิทธิ์มิติที่ "ทำงาน" เฉพาะในระบบหน่วยการวัดบางระบบเท่านั้น ต่อจากนั้นด้วยการรวบรวมข้อมูล เราก็มาถึงคำอธิบายในรูปแบบของสมการเอกพันธ์ กล่าวคือ ไม่ขึ้นกับระบบหน่วยวัด

การผสมผสานที่ไร้มิติในคำถามคือผลิตภัณฑ์หรืออัตราส่วนของปริมาณถูกวาดขึ้นในลักษณะที่ในแต่ละมิติรวมกันจะลดลง ในกรณีนี้ ผลิตภัณฑ์ที่มีปริมาณหลายมิติที่มีลักษณะทางกายภาพต่างกัน คอมเพล็กซ์, อัตราส่วนของปริมาณสองมิติที่มีลักษณะทางกายภาพเดียวกัน - เรียบง่าย

แทนที่จะเปลี่ยนตัวแปรแต่ละตัวและการเปลี่ยนแปลงบางอย่างอาจทำให้ความยากลำบากผู้วิจัยสามารถเปลี่ยนแปลงได้เท่านั้นชุดค่าผสม. สถานการณ์นี้ทำให้การทดลองง่ายขึ้นอย่างมาก และทำให้สามารถนำเสนอในรูปแบบกราฟิกและวิเคราะห์ข้อมูลที่ได้รับได้เร็วและแม่นยำยิ่งขึ้น

ใช้วิธีการวิเคราะห์เชิงมิติ จัดระเบียบการให้เหตุผลที่เป็นไปได้ "ตั้งแต่ต้นจนจบ"

ทำความคุ้นเคยกับ ข้อมูลทั่วไปควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับประเด็นต่อไปนี้

การใช้การวิเคราะห์เชิงมิติอย่างมีประสิทธิภาพที่สุดคือการใช้ชุดค่าผสมไร้มิติชุดเดียว ในกรณีนี้ การทดลองหาเพียงสัมประสิทธิ์การจับคู่ก็เพียงพอแล้ว งานจะซับซ้อนยิ่งขึ้นด้วยจำนวนชุดค่าผสมไร้มิติที่เพิ่มขึ้น การปฏิบัติตามข้อกำหนดของคำอธิบายที่สมบูรณ์ของระบบทางกายภาพนั้นเป็นไปได้ (หรือบางทีพวกเขาคิดอย่างนั้น) ด้วยการเพิ่มจำนวนของตัวแปรที่นำมาพิจารณา แต่ในขณะเดียวกันความน่าจะเป็นของความซับซ้อนของรูปแบบของฟังก์ชันก็เพิ่มขึ้นและที่สำคัญที่สุดคือปริมาณงานทดลองเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว การแนะนำหน่วยพื้นฐานเพิ่มเติมช่วยบรรเทาปัญหาได้ แต่ก็ไม่เสมอไปและไม่สมบูรณ์ ข้อเท็จจริงที่ว่าทฤษฎีการวิเคราะห์เชิงมิติพัฒนาขึ้นเมื่อเวลาผ่านไปเป็นแรงกระตุ้นและเป็นแนวทางในการค้นหาความเป็นไปได้ใหม่ๆ

จะว่าอย่างไรหากในการค้นหาและสร้างชุดของปัจจัยที่ต้องนำมาพิจารณา กล่าวคือ ที่จริงแล้ว การสร้างโครงสร้างของระบบกายภาพภายใต้การศึกษาขึ้นมาใหม่ เราใช้การจัดระบบการให้เหตุผลที่เป็นไปได้ "ตั้งแต่ต้นจนจบ" ตาม ปะป๊า?

เพื่อให้เข้าใจข้อเสนอข้างต้นและรวมรากฐานของวิธีการวิเคราะห์เชิงมิติ เราเสนอให้วิเคราะห์ตัวอย่างการสร้างความสัมพันธ์ของปัจจัยที่กำหนดประสิทธิภาพของการแตกระเบิดระหว่างการขุดใต้ดินของแหล่งแร่

โดยคำนึงถึงหลักการของระบบ เราสามารถตัดสินได้อย่างถูกต้องว่าวัตถุโต้ตอบเชิงระบบสองรายการสร้างระบบไดนามิกใหม่ ในกิจกรรมการผลิต วัตถุเหล่านี้เป็นเป้าหมายของการเปลี่ยนแปลงและเป็นเครื่องมือของการเปลี่ยนแปลง

เมื่อทำลายแร่บนพื้นฐานของการทำลายด้วยการระเบิด เราสามารถพิจารณามวลแร่และระบบของประจุระเบิด (หลุม) ได้เช่นเดียวกัน

เมื่อใช้หลักการของการวิเคราะห์เชิงมิติกับการจัดเหตุผลที่เป็นไปได้ "ตั้งแต่ต้นจนจบ" เราได้รับบรรทัดการให้เหตุผลและระบบความสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์ของคอมเพล็กซ์ระเบิดและลักษณะของอาร์เรย์

d ม = ฉ 1 (ว ,ฉัน 0 ,t รอง , ส)	d ม = k 1 W(สt รอง ¤ ฉัน 0 ว) น (1)
ฉัน 0 = ฉ 2 (ฉัน ค ,V โบเออร์ ,K และ )	ฉัน 0 = k 2 ฉัน ค วี โบเออร์ K และ (2)
ฉัน ค = ฉ 3 (t รอง ,ถาม ,A)	ฉัน กับ = k 3 t อากาศ 2/3 Q 2/3 อา 1/3 (3)
t อากาศ = ฉ 4 (r zab ,พี่ แม็กซ์ l ดี )	t อากาศ = k 4 r zab 1/2 พี แม็กซ์ –1/2 l ดี (4)
พี แม็กซ์ = ฉ 5 (r zar ง)	พี แม็กซ์ = k 5 r zar ดี 2 (5)

การกำหนดและสูตรสำหรับขนาดของตัวแปรที่ใช้ในตาราง

ตัวแปร	การกำหนด	ขนาด
เส้นผ่านศูนย์กลางการบดสูงสุด	d ม	[ หลี่]
เส้นแนวต้านน้อยที่สุด		[ หลี่]
แรงอัดของหิน
ระยะเวลา (ช่วงเวลา) ของการชะลอตัวของการระเบิด	t รอง	[ ตู่]
แรงกระตุ้นการระเบิดต่อ 1 ม. 3 ของอาร์เรย์	ฉัน 0
ปริมาณการใช้เฉพาะของการเจาะ m / m 3	วี โบเออร์	[ หลี่ -2 ]
อัตราการใช้บ่อน้ำบาดาลที่คิดค่าธรรมเนียม	ถึง เป็น
แรงกระตุ้นการระเบิดต่อ 1 เมตรของบ่อน้ำ	ฉัน ค
พลังงานระเบิดต่อประจุ 1 เมตร
ความแข็งของเสียงของตัวกลาง (A=gC)
เวลากระทบของการระเบิดในบ่อน้ำ	t อากาศ	[ ตู่]
ความหนาแน่นของลำต้น	r zab	[ หลี่ -3 เอ็ม]
ความยาว Well	l ดี	[ หลี่]
แรงดันบ่อเริ่มต้นสูงสุด		[ หลี่ -1 เอ็ม ทู -2 ]
ความหนาแน่นของประจุในบ่อ	r zar	[ หลี่ -3 เอ็ม]
ความเร็วในการระเบิด		[ แอล ทู -1 ]

ผ่านจากสูตร (5) สู่สูตร (1) เผยให้เห็นความสัมพันธ์ที่จัดตั้งขึ้นและคำนึงถึงความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ระหว่างเส้นผ่านศูนย์กลางของค่าเฉลี่ยและเส้นผ่านศูนย์กลางของชิ้นส่วนสูงสุดในแง่ของการยุบ

d พุธ = k 6 d ม 2/3 , (6)

เราได้รับสมการทั่วไปสำหรับความสัมพันธ์ของปัจจัยที่กำหนดคุณภาพของการบด:

d พุธ = กิโลวัตต์ 2/3 [ ส t รอง / r zab 1/3 ดี -2/3 l ดี 2/3 เอ็ม zar 2|3 ยู ศตวรรษ 2/3 แต่ 1/3 วี โบเออร์ ถึง เป็น W] น (7)

ให้เราแปลงนิพจน์สุดท้ายเพื่อสร้างคอมเพล็กซ์ไร้มิติ โดยคำนึงถึง:

Q= เอ็ม zar ยู ศตวรรษ ; q ศตวรรษ =M zar วี โบเออร์ ถึง เป็น ; เอ็ม zab =0.25 พี r zab d ดี 2 ;

ที่ไหน เอ็ม zar คือมวลของประจุระเบิดในความยาวหลุม 1 เมตร kg/m

เอ็ม zab – มวลของก้านในการก้าน 1 เมตร kg/m

ยู ศตวรรษ – ค่าความร้อนของวัตถุระเบิด kcal/kg

ในตัวเศษและส่วนเราใช้ [M zar 1/3 ยู ศตวรรษ 1/3 (0.25 พีd ดี 2 ) 1/3 ] . ในที่สุดเราก็จะได้

คอมเพล็กซ์และความเรียบง่ายทั้งหมดมีความหมายทางกายภาพ ตามข้อมูลการทดลองและข้อมูลการปฏิบัติ เลขชี้กำลัง น=1/3, และค่าสัมประสิทธิ์ kถูกกำหนดขึ้นอยู่กับขนาดของการทำให้นิพจน์ง่าย (8)

แม้ว่าความสำเร็จของการวิเคราะห์เชิงมิติจะขึ้นอยู่กับความเข้าใจที่ถูกต้องเกี่ยวกับความหมายทางกายภาพของปัญหาเฉพาะ หลังจากเลือกตัวแปรและมิติพื้นฐานแล้ว วิธีนี้ก็สามารถนำไปใช้ได้โดยอัตโนมัติ ดังนั้น วิธีนี้จึงสามารถระบุได้ง่ายในรูปแบบใบสั่งยา อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่า "สูตร" ดังกล่าวต้องการให้ผู้วิจัยเลือกส่วนประกอบอย่างถูกต้อง สิ่งเดียวที่เราทำได้คือให้คำแนะนำทั่วไป

ขั้นตอนที่ 1เลือกตัวแปรอิสระที่ส่งผลต่อระบบ ค่าสัมประสิทธิ์มิติและค่าคงที่ทางกายภาพควรพิจารณาด้วยหากพวกมันมีบทบาทสำคัญ นี่คือความรับผิดชอบที่สุดขั้นตอนของงานทั้งหมด

ระยะที่ 2เลือกระบบของมิติข้อมูลพื้นฐานซึ่งคุณสามารถแสดงหน่วยของตัวแปรที่เลือกทั้งหมดได้ ระบบต่อไปนี้มักใช้: ในกลศาสตร์และพลศาสตร์ของไหล เอ็มหลี่q(บางครั้ง FLq), ใน อุณหพลศาสตร์ เอ็มหลี่qT หรือ Mหลี่qไทย; ในสาขาวิศวกรรมไฟฟ้าและฟิสิกส์นิวเคลียร์ เอ็มหลี่qถึงหรือ เอ็มหลี่qm., ในกรณีนี้ อุณหภูมิสามารถถือเป็นปริมาณพื้นฐาน หรือแสดงในรูปของพลังงานจลน์ของโมเลกุลก็ได้

ขั้นตอนที่ 3จดขนาดของตัวแปรอิสระที่เลือกและทำการรวมกันแบบไม่มีมิติ การแก้ปัญหาจะถูกต้องหาก: 1) แต่ละชุดค่าผสมไม่มีมิติ; 2) จำนวนชุดค่าผสมไม่น้อยกว่าที่ทำนายโดยทฤษฎีบทพี 3) แต่ละตัวแปรเกิดขึ้นรวมกันอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

ขั้นตอนที่ 4ตรวจสอบผลรวมที่ได้ในแง่ของการยอมรับ ความหมายทางกายภาพ และ (ถ้าใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุด) ความเข้มข้นของความไม่แน่นอนในชุดค่าผสมเดียวถ้าเป็นไปได้ หากชุดค่าผสมไม่ตรงตามเกณฑ์เหล่านี้ เราสามารถ: 1) หาคำตอบของสมการสำหรับเลขชี้กำลังอื่นเพื่อหาชุดค่าผสมที่ดีที่สุด 2) เลือกระบบมิติพื้นฐานอื่นและทำงานทั้งหมดตั้งแต่เริ่มต้น 3) ตรวจสอบความถูกต้องของการเลือกตัวแปรอิสระ

เวที 5. เมื่อได้ชุดค่าผสมไร้มิติที่น่าพอใจแล้ว ผู้วิจัยสามารถวางแผนที่จะเปลี่ยนชุดค่าผสมโดยเปลี่ยนค่าของตัวแปรที่เลือกไว้ในอุปกรณ์ของเขา การออกแบบการทดลองควรได้รับการพิจารณาเป็นพิเศษ

เมื่อใช้วิธีการวิเคราะห์เชิงมิติร่วมกับการจัดเหตุผลที่เป็นไปได้ "ตั้งแต่ต้นจนจบ" จำเป็นต้องแนะนำการแก้ไขอย่างจริงจังและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในระยะแรก

บทสรุปสั้นๆ

วันนี้เป็นไปได้ที่จะสร้างบทบัญญัติแนวคิดของงานวิจัยตามอัลกอริธึมเชิงบรรทัดฐานที่กำหนดไว้แล้ว การติดตามทีละขั้นตอนช่วยให้คุณปรับปรุงการค้นหาหัวข้อและกำหนดขั้นตอนของการดำเนินการด้วยการเข้าถึงข้อกำหนดและคำแนะนำทางวิทยาศาสตร์ ความรู้เกี่ยวกับเนื้อหาของกระบวนการแต่ละอย่างมีส่วนช่วยในการประเมินโดยผู้เชี่ยวชาญและคัดเลือกขั้นตอนที่เหมาะสมและมีประสิทธิภาพมากที่สุด

ความก้าวหน้าของการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ สามารถนำเสนอในรูปแบบของแผนภาพตรรกะซึ่งกำหนดขึ้นในกระบวนการวิจัยโดยเน้นสามขั้นตอนที่เป็นลักษณะของกิจกรรมใด ๆ :

ขั้นเตรียมการ: นอกจากนี้ยังสามารถเรียกได้ว่าเป็นขั้นตอนของการเตรียมระเบียบวิธีวิจัยและการก่อตัวของการสนับสนุนระเบียบวิธีวิจัย ขอบเขตของงานมีดังนี้ ความหมายของปัญหา การพัฒนาคำอธิบายแนวคิดของหัวข้อการวิจัยและคำจำกัดความ (การกำหนด) ของหัวข้อการวิจัย จัดทำโครงการวิจัยด้วยการกำหนดภารกิจและการพัฒนาแผนสำหรับการแก้ปัญหา การเลือกวิธีการวิจัยที่เหมาะสม การพัฒนาวิธีการสำหรับการทดลองงาน

เวทีหลัก: - ผู้บริหาร (เทคโนโลยี) การดำเนินโครงการและแผนการวิจัย

ขั้นตอนสุดท้าย: - การประมวลผลผลการวิจัย, การกำหนดบทบัญญัติหลัก, คำแนะนำ, ความเชี่ยวชาญ.

บทบัญญัติทางวิทยาศาสตร์เป็นความจริงทางวิทยาศาสตร์ใหม่ - นี่คือสิ่งที่ต้องการและสามารถป้องกันได้ การกำหนดข้อกำหนดทางวิทยาศาสตร์อาจเป็นทางคณิตศาสตร์หรือเชิงตรรกะ บทบัญญัติทางวิทยาศาสตร์ช่วยให้เกิดการแก้ปัญหา บทบัญญัติทางวิทยาศาสตร์ควรกำหนดเป้าหมาย เช่น สะท้อน (มี) หัวข้อที่พวกเขาได้รับการแก้ไข เพื่อดำเนินการเชื่อมโยงทั่วไปของเนื้อหาของ R&D กับกลยุทธ์สำหรับการนำไปใช้ ขอแนะนำให้ทำงานกับโครงสร้างของรายงาน R&D ก่อนและ (หรือ) หลังการพัฒนาข้อกำหนดเหล่านี้ ในกรณีแรก การทำงานเกี่ยวกับโครงสร้างของรายงานยังมีศักยภาพในการเรียนรู้แบบสำนึก มีส่วนช่วยในการทำความเข้าใจแนวคิดของการวิจัยและพัฒนา กรณีที่ 2 จะเป็นการทดสอบกลยุทธ์และผลตอบรับจากฝ่ายบริหารการวิจัยและพัฒนา

ให้จำไว้ว่ามีตรรกะในการค้นหา ทำงาน และ lo การนำเสนอเกินบรรยาย. อย่างแรกคือวิภาษ - ไดนามิกด้วยวัฏจักรผลตอบแทนยากที่จะทำให้เป็นทางการ ประการที่สองคือตรรกะของสถานะคงที่เป็นทางการเช่น มีรูปแบบที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด

สรุป ไม่ควรหยุดทำงานเกี่ยวกับโครงสร้างของรายงานตลอดระยะเวลาของการวิจัย ดังนั้น "ตรวจสอบนาฬิกาของ TWO LOGICS" เป็นระยะๆ

การจัดระบบปัญหาการขุดที่ทันสมัยในระดับบริหารมีส่วนช่วยเพิ่มประสิทธิภาพในการทำงานตามแนวคิด

ในการสนับสนุนระเบียบวิธีวิจัยของงานวิจัย เรามักพบสถานการณ์ที่บทบัญญัติทางทฤษฎีเกี่ยวกับปัญหาเฉพาะยังไม่ได้รับการพัฒนาอย่างเต็มที่ เหมาะสมที่จะใช้วิธีการ "ลีสซิ่ง" ตัวอย่างของวิธีการดังกล่าวและการใช้งานที่เป็นไปได้ วิธีการวิเคราะห์เชิงมิติกับการจัดเหตุผลที่เป็นไปได้ "ตั้งแต่ต้นจนจบ" เป็นที่น่าสนใจ

คำศัพท์พื้นฐานและแนวคิด

วัตถุและหัวเรื่องของกิจกรรม	ความเกี่ยวข้อง	เทคโนโลยีการขุด
แนวคิด		สิ่งอำนวยความสะดวกด้านเทคโนโลยีการขุด
วัตถุประสงค์และการตั้งเป้าหมาย		เครื่องมือเทคโนโลยีการขุด
ปัญหา ปัญหา สถานการณ์	โครงสร้าง	ผลกระทบทางกายภาพและทางเทคนิค
ขั้นตอนและขั้นตอนการวิจัย		ตำแหน่งทางวิทยาศาสตร์
ทฤษฎีความคล้ายคลึงกัน	มิติ	หน่วยพื้นฐาน

ประสบการณ์คือนักสำรวจธรรมชาติ เขาไม่เคยหลอกลวง ... เราต้องทำการทดลอง เปลี่ยนสถานการณ์ จนกว่าเราจะดึงออกมาจากพวกเขา กฎทั่วไปเพราะประสบการณ์มอบกฎเกณฑ์ที่แท้จริง

เลโอนาร์โด ดา วินชี

ในทางฟิสิกส์...ไม่มีที่สำหรับความคิดสับสน...
เข้าใจธรรมชาติจริงๆ
สิ่งนี้หรือปรากฏการณ์นั้นควรได้รับ main
กฎเกณฑ์จากการพิจารณามิติ อี. แฟร์มี

คำอธิบายของปัญหานี้หรือปัญหานั้น การอภิปรายในประเด็นทางทฤษฎีและการทดลองเริ่มต้นด้วยคำอธิบายเชิงคุณภาพและการประเมินผลกระทบจากงานนี้

เมื่ออธิบายปัญหา อันดับแรก จำเป็นต้องประเมินลำดับความสำคัญของผลกระทบที่คาดหวัง กรณีจำกัดอย่างง่าย และธรรมชาติของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของปริมาณที่อธิบายปรากฏการณ์นี้ คำถามเหล่านี้เรียกว่าคำอธิบายเชิงคุณภาพของสถานการณ์ทางกายภาพ

หนึ่งในที่สุด วิธีที่มีประสิทธิภาพการวิเคราะห์ดังกล่าวเป็นวิธีการของมิติข้อมูล

นี่คือข้อดีและการประยุกต์ใช้วิธีการเชิงมิติ:

การประเมินขนาดของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอย่างรวดเร็ว
รับการพึ่งพาเชิงคุณภาพและการทำงาน
การกู้คืนสูตรที่ถูกลืมในการสอบ
การปฏิบัติตามภารกิจบางอย่างของการสอบ
การตรวจสอบความถูกต้องของการแก้ปัญหา

การวิเคราะห์มิติถูกนำมาใช้ในฟิสิกส์ตั้งแต่สมัยของนิวตัน นิวตันเป็นผู้กำหนดสูตรที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับวิธีการของมิติ หลักการของความคล้ายคลึงกัน (การเปรียบเทียบ)

นักเรียนพบวิธีมิติครั้งแรกเมื่อศึกษาการแผ่รังสีความร้อนในหลักสูตรฟิสิกส์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11:

ลักษณะสเปกตรัมของการแผ่รังสีความร้อนของร่างกายคือ ความหนาแน่นสเปกตรัมของความส่องสว่างของพลังงาน อาร์วี - พลังงานของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าที่ปล่อยออกมาต่อหน่วยเวลาต่อหน่วยพื้นที่ของพื้นผิวร่างกายในช่วงความถี่หน่วย

หน่วยของความหนาแน่นสเปกตรัมของความส่องสว่างของพลังงานคือจูลต่อ ตารางเมตร(1 J / m 2). พลังงานของการแผ่รังสีความร้อนของวัตถุสีดำขึ้นอยู่กับอุณหภูมิและความยาวคลื่น การรวมกันของปริมาณเหล่านี้ที่มีมิติ J/m 2 เพียงอย่างเดียวคือ kT/ 2 ( = c/v) การคำนวณที่แน่นอนที่ทำโดย Rayleigh และ Jeans ในปี 1900 ภายใต้กรอบของทฤษฎีคลื่นคลาสสิก ให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

โดยที่ k คือค่าคงที่ Boltzmann

จากประสบการณ์ที่ได้แสดงให้เห็น นิพจน์นี้สอดคล้องกับข้อมูลการทดลองเฉพาะในพื้นที่ที่มีความถี่ต่ำเพียงพอเท่านั้น สำหรับความถี่สูง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในบริเวณอัลตราไวโอเลตของสเปกตรัม สูตรของ Rayleigh-Jeans นั้นไม่ถูกต้อง: มันแตกต่างจากการทดลองอย่างมาก วิธีการของฟิสิกส์คลาสสิกนั้นไม่เพียงพอที่จะอธิบายลักษณะการแผ่รังสีของวัตถุสีดำ ดังนั้น ความคลาดเคลื่อนระหว่างผลของทฤษฎีคลื่นคลาสสิกกับการทดลองในปลายศตวรรษที่ 19 เรียกว่า "อุลตร้าไวโอเลตหายนะ"

ให้เราแสดงการประยุกต์ใช้วิธีการวัดขนาดด้วยตัวอย่างที่เข้าใจง่าย

รูปที่ 1

การแผ่รังสีความร้อนของวัตถุสีดำ: ภัยพิบัติจากรังสีอัลตราไวโอเลต - ความคลาดเคลื่อนระหว่างทฤษฎีคลาสสิกของการแผ่รังสีความร้อนและประสบการณ์

ลองนึกภาพว่าวัตถุมวล m เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงภายใต้การกระทำของแรงคงที่ F หากความเร็วเริ่มต้นของวัตถุเป็นศูนย์ และความเร็วที่จุดสิ้นสุดของส่วนการเดินทางของเส้นทางความยาว s เท่ากับ v จากนั้นเราสามารถเขียนทฤษฎีบทพลังงานจลน์: ระหว่างค่า F, m, v และ s มีการเชื่อมต่อเชิงฟังก์ชัน

สมมุติว่าทฤษฎีบทพลังงานจลน์ถูกลืมไปแล้ว แต่เราเข้าใจว่าการพึ่งพาอาศัยเชิงฟังก์ชันระหว่าง v, F, m และ s นั้นมีอยู่จริงและมีกฎกำลัง

ในที่นี้ x, y, z คือตัวเลขบางตัว มากำหนดกัน เครื่องหมาย ~ หมายความว่าด้านซ้ายของสูตรเป็นสัดส่วนกับด้านขวา นั่นคือ โดยที่ k เป็นสัมประสิทธิ์ตัวเลข ไม่มีหน่วยวัดและไม่ได้กำหนดโดยใช้วิธีเชิงมิติ

ส่วนด้านซ้ายและขวาของความสัมพันธ์ (1) มีมิติเท่ากัน ขนาดของ v, F, m และ s คือ: [v] = m/c = ms -1 , [F] = H = kgms -2 , [m] = kg, [s] = m. (สัญลักษณ์ [A ] หมายถึงมิติของ A.) ให้เราเขียนความเท่าเทียมกันของมิติในส่วนด้านซ้ายและด้านขวาของความสัมพันธ์ (1):

m c -1 = kg x m x c -2x kg y m Z = กก x+y m x+z c -2x .

ทางด้านซ้ายของสมการไม่มีกิโลกรัมเลย ดังนั้นจึงไม่ควรมีทางขวาด้วย

หมายความว่า

ทางด้านขวา เมตรจะรวมอยู่ในยกกำลังของ x + z และทางด้านซ้าย ในยกกำลัง 1 ดังนั้น

ในทำนองเดียวกัน จากการเปรียบเทียบเลขชี้กำลังในหน่วยวินาที จะได้ดังนี้

จากสมการที่ได้รับเราจะพบตัวเลข x, y, z:

x=1/2, y=-1/2, z=1/2.

สูตรสุดท้ายดูเหมือน

โดยการยกกำลังด้านซ้ายและขวาของความสัมพันธ์นี้ จะได้ว่า

สูตรสุดท้ายเป็นสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีบทพลังงานจลน์ แม้ว่าจะไม่มีสัมประสิทธิ์เชิงตัวเลขก็ตาม

หลักการของความคล้ายคลึงกันซึ่งกำหนดโดยนิวตันคืออัตราส่วน v 2 /s เป็นสัดส่วนโดยตรงกับอัตราส่วน F/m ตัวอย่างเช่น วัตถุสองชิ้นที่มีมวลต่างกัน ม. 1 และ ม. 2 ; เราจะดำเนินการกับพวกมันด้วยแรงที่แตกต่างกัน F 1 และ F 2 แต่ในลักษณะที่อัตราส่วน F 1 / m 1 และ F 2 / m 2 จะเท่ากัน ภายใต้อิทธิพลของกองกำลังเหล่านี้ ร่างกายจะเริ่มเคลื่อนไหว หากความเร็วเริ่มต้นเท่ากับศูนย์ ความเร็วที่วัตถุได้รับบนส่วนของเส้นทางความยาว s จะเท่ากัน นี่คือกฎแห่งความคล้ายคลึงกันซึ่งเรามาถึงด้วยความช่วยเหลือของแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของมิติของส่วนด้านขวาและด้านซ้ายของสูตรซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างกฎกำลังและค่าความเร็วสุดท้ายด้วย ค่าแรง มวล และความยาวเส้นทาง

วิธีการของมิติถูกนำมาใช้ในการสร้างรากฐานของกลศาสตร์คลาสสิก แต่การประยุกต์ใช้ที่มีประสิทธิภาพสำหรับการแก้ปัญหาทางกายภาพเริ่มขึ้นเมื่อสิ้นสุดอดีต - เมื่อต้นศตวรรษของเรา ข้อดีอย่างยิ่งในการส่งเสริมวิธีการนี้และการแก้ปัญหาที่น่าสนใจและสำคัญด้วยความช่วยเหลือนั้นเป็นของ Lord Rayleigh นักฟิสิกส์ที่โดดเด่น Rayleigh เขียนในปี 1915: ฉันมักจะแปลกใจที่ความสนใจเพียงเล็กน้อยที่มอบให้กับหลักการที่ยิ่งใหญ่ของความคล้ายคลึงกัน แม้แต่ในส่วนของนักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงมาก มักเกิดขึ้นที่ผลลัพธ์ของการวิจัยที่อุตสาหะถูกนำเสนอเป็น "กฎหมาย" ที่ค้นพบใหม่ ซึ่งถึงกระนั้น ก็สามารถได้รับความสำคัญภายในไม่กี่นาที

ทุกวันนี้ นักฟิสิกส์ไม่สามารถถูกตำหนิได้อีกต่อไปด้วยทัศนคติที่เพิกเฉยหรือไม่สนใจหลักการของความคล้ายคลึงและวิธีการของมิติอีกต่อไป พิจารณาปัญหา Rayleigh แบบคลาสสิกข้อใดข้อหนึ่ง

ปัญหาของ Rayleigh เกี่ยวกับการสั่นสะเทือนของลูกบอลบนเชือก

ให้เชือกยืดระหว่างจุด A และ B แรงดึงของเชือก F. ตรงกลางของสายนี้ที่จุด C มีลูกบอลหนัก ความยาวของเซกเมนต์ AC (และ CB ตามลำดับ) เท่ากับ 1 มวล M ของลูกบอลนั้นมากกว่ามวลของสตริงมาก เชือกถูกดึงและปล่อย ค่อนข้างชัดเจนว่าลูกจะแกว่ง หากแอมพลิจูดของการแกว่ง x เหล่านี้น้อยกว่าความยาวของสตริงมาก กระบวนการก็จะประสานกัน

ให้เรากำหนดความถี่ของการสั่นสะเทือนของลูกบอลบนเชือก ให้ปริมาณ , F, M และ 1 เชื่อมต่อกันด้วยกฎกำลัง:

เลขชี้กำลัง x, y, z คือตัวเลขที่เราต้องกำหนด

ให้เราเขียนขนาดของปริมาณที่เราสนใจในระบบ SI:

C -1, [F] = kgm s -2, [M] = kg, = m.

หากสูตร (2) แสดงความสม่ำเสมอทางกายภาพที่แท้จริง ขนาดของส่วนด้านขวาและด้านซ้ายของสูตรนี้จะต้องตรงกัน นั่นคือ ความเท่าเทียมกัน

c -1 = kg x m x c -2x kg y m z = กก. x + y m x + z c -2x

ด้านซ้ายของสมการนี้ไม่รวมเมตรและกิโลกรัมเลย และวินาทีรวมอยู่ในยกกำลัง - 1 ซึ่งหมายความว่าสำหรับ x, y และ z สมการจะเป็นไปตาม:

x+y=0, x+z=0, -2x= -1

การแก้ปัญหาระบบนี้ เราพบว่า:

x=1/2, y= -1/2, z= -1/2

เพราะเหตุนี้,

~F 1/2 M -1/2 1 -1/2

สูตรที่แน่นอนสำหรับความถี่แตกต่างจากสูตรที่พบโดยตัวประกอบของ ( 2 = 2F/(M1) เท่านั้น)

แต่ยังได้ค่าประมาณเชิงปริมาณของการพึ่งพาค่า F, M และ 1 ตามลำดับขนาดชุดค่าผสมกำลังที่พบจะให้ค่าความถี่ที่ถูกต้อง การประเมินมีความสำคัญเสมอ ในปัญหาง่าย ๆ ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดโดยวิธีการของมิติมักจะถือเป็นตัวเลขของลำดับของความสามัคคี นี่ไม่ใช่กฎที่เข้มงวด

เมื่อศึกษาคลื่น ฉันพิจารณาการทำนายเชิงคุณภาพของความเร็วของเสียงโดยวิธีการวิเคราะห์เชิงมิติ เรากำลังมองหาความเร็วของเสียงเป็นความเร็วของการขยายพันธุ์ของคลื่นอัดและการเกิดหายากในก๊าซ นักเรียนไม่มีข้อสงสัยเกี่ยวกับการพึ่งพาความเร็วของเสียงในก๊าซต่อความหนาแน่นของก๊าซและความดันของก๊าซ

เรากำลังมองหาคำตอบในรูปแบบ:

โดยที่ С เป็นปัจจัยไร้มิติ ซึ่งไม่สามารถหาค่าตัวเลขได้จากการวิเคราะห์มิติ ส่งผ่าน (1) สู่ความเท่าเทียมกันของมิติ

m / s \u003d (กก. / ม. 3) x Pa y,

m / s \u003d (กก. / ม. 3) x (กก. ม. / (s 2 ม. 2)) y,

m 1 s -1 \u003d kg x m -3x kg y m y c -2y m -2y,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x + y-2y c -2y,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x-y c -2y

ความเท่าเทียมกันของมิติที่ด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกันให้:

x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,

x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,

x = -1/2 , y = 1/2 .

ดังนั้นความเร็วของเสียงในแก๊ส

สูตร (2) ที่ C=1 ได้มาครั้งแรกโดย I. Newton แต่การหาอนุพันธ์เชิงปริมาณของสูตรนี้ทำได้ยากมาก

การทดลองกำหนดความเร็วของเสียงในอากาศได้ดำเนินการในผลงานร่วมกันของสมาชิกของ Paris Academy of Sciences ในปี ค.ศ. 1738 ซึ่งวัดเวลาที่เสียงของปืนใหญ่ยิงเพื่อเดินทางเป็นระยะทาง 30 กม.

การทำซ้ำเนื้อหานี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 ความสนใจของนักเรียนจะถูกดึงไปที่ความจริงที่ว่าผลลัพธ์ (2) สามารถหาได้จากแบบจำลองของกระบวนการคายความร้อนของเสียงโดยใช้สมการ Mendeleev-Clapeyron และแนวคิดเรื่องความหนาแน่น:

คือความเร็วของการแพร่กระจายเสียง

หลังจากที่ได้แนะนำวิธีการของมิติให้กับนักเรียนแล้ว ฉันจึงให้วิธีการนี้แก่พวกเขาในการหาสมการ MKT พื้นฐานสำหรับก๊าซในอุดมคติ

นักเรียนเข้าใจว่าความดันของก๊าซในอุดมคติขึ้นอยู่กับมวลของแต่ละโมเลกุลของก๊าซในอุดมคติ จำนวนโมเลกุลต่อหน่วยปริมาตร - n (ความเข้มข้นของโมเลกุลของแก๊ส) และความเร็วของการเคลื่อนที่ของโมเลกุล -

เมื่อทราบขนาดของปริมาณที่รวมอยู่ในสมการนี้ เรามี:

เปรียบเทียบขนาดของส่วนซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกันนี้ เรามี:

ดังนั้นสมการพื้นฐานของ MKT มีรูปแบบดังนี้:

- นี่หมายความว่า

เห็นได้จากสามเหลี่ยมแรเงาที่

คำตอบ: ข)

เราได้ใช้วิธีมิติ

วิธีการของมิตินอกเหนือจากการดำเนินการตรวจสอบแบบดั้งเดิมของความถูกต้องของการแก้ปัญหาการทำงานบางอย่างของการตรวจสอบสถานะแบบครบวงจรช่วยในการค้นหาความสัมพันธ์เชิงหน้าที่ระหว่างปริมาณทางกายภาพต่างๆ แต่สำหรับสถานการณ์ที่การพึ่งพาเหล่านี้เป็นกำลัง - กฎ. มีการพึ่งพากันในลักษณะนี้มากมาย และวิธีการของมิติเป็นตัวช่วยที่ดีในการแก้ปัญหาดังกล่าว

ในกรณีที่ไม่ได้อธิบายกระบวนการภายใต้การศึกษา สมการเชิงอนุพันธ์วิธีหนึ่งในการวิเคราะห์คือการทดลอง ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้จะนำเสนอได้ดีที่สุดในรูปแบบทั่วไป (ในรูปแบบของสารเชิงซ้อนที่ไม่มีมิติ) วิธีการรวบรวมคอมเพล็กซ์ดังกล่าวคือ วิธีการวิเคราะห์มิติ

มิติของปริมาณทางกายภาพใดๆ ถูกกำหนดโดยอัตราส่วนระหว่างปริมาณนั้นกับปริมาณทางกายภาพที่ถือเป็นปริมาณหลัก (หลัก) แต่ละระบบของหน่วยมีหน่วยพื้นฐานของตนเอง ตัวอย่างเช่น ในระบบสากลของหน่วย SI หน่วยของความยาว มวล และเวลา ตามลำดับคือ เมตร (m) กิโลกรัม (กก.) วินาที (s) หน่วยวัดสำหรับปริมาณทางกายภาพอื่น ๆ ซึ่งเรียกว่าปริมาณที่ได้รับ (รอง) ถูกนำมาใช้บนพื้นฐานของกฎหมายที่กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างหน่วยเหล่านี้ ความสัมพันธ์นี้สามารถแสดงในรูปแบบของสูตรมิติที่เรียกว่า

ทฤษฎีมิติตั้งอยู่บนสมมติฐานสองข้อ

1. อัตราส่วนของค่าตัวเลขสองค่าของปริมาณใด ๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกเครื่องชั่งสำหรับหน่วยการวัดหลัก (เช่น อัตราส่วนของมิติเชิงเส้นสองค่าไม่ขึ้นอยู่กับหน่วยที่จะวัด) .
2. ความสัมพันธ์ใดๆ ระหว่างปริมาณเชิงมิติสามารถกำหนดเป็นความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่ไม่มีมิติได้ คำสั่งนี้แสดงถึงสิ่งที่เรียกว่า ทฤษฎีบทพี ในทฤษฎีมิติ

จากตำแหน่งแรก ตามสูตรสำหรับมิติของปริมาณทางกายภาพควรมีรูปแบบของการพึ่งพาพลังงาน

ขนาดของหน่วยพื้นฐานอยู่ที่ไหน

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีบท P สามารถหาได้จากการพิจารณาดังต่อไปนี้ ให้บางค่ามิติ เอ 1 เป็นฟังก์ชันของปริมาณมิติอิสระหลายปริมาณ กล่าวคือ

ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น

สมมติว่าจำนวนหน่วยมิติพื้นฐานที่สามารถแสดงได้ทั้งหมด พี ตัวแปรเท่ากับ ที ทฤษฎีบทพีกล่าวว่าถ้าทั้งหมด พี ตัวแปรที่แสดงในรูปของหน่วยพื้นฐาน แล้วสามารถจัดกลุ่มเป็นเงื่อนไข P แบบไม่มีมิติได้ เช่น

ในกรณีนี้ แต่ละเทอมจะมีตัวแปร

ในปัญหาของไฮโดรแมคคานิกส์ จำนวนตัวแปรที่รวมอยู่ในเงื่อนไข P ต้องเป็นสี่ตัวแปร สามรายการจะแตกหัก (โดยปกติคือความยาวลักษณะเฉพาะ ความเร็วการไหลของของไหล และความหนาแน่น) ซึ่งรวมอยู่ในเงื่อนไข P แต่ละข้อ หนึ่งในตัวแปรเหล่านี้ (ตัวแปรที่สี่) จะแตกต่างกันเมื่อส่งผ่านจากเทอม P หนึ่งไปยังอีกเทอมหนึ่ง ตัวชี้วัดระดับของการกำหนดเกณฑ์ (ให้เราแสดงโดย x, y , z ) ไม่เป็นที่รู้จัก เพื่อความสะดวก เราใช้เลขชี้กำลังของตัวแปรที่สี่เท่ากับ -1

ความสัมพันธ์ของเงื่อนไข P จะมีลักษณะดังนี้

ตัวแปรที่รวมอยู่ในเงื่อนไข P สามารถแสดงเป็นมิติพื้นฐานได้ เนื่องจากเทอมเหล่านี้ไม่มีมิติ เลขชี้กำลังของมิติพื้นฐานแต่ละส่วนจะต้องเท่ากับศูนย์ ด้วยเหตุนี้ สำหรับแต่ละเงื่อนไข P จึงเป็นไปได้ที่จะสร้างสมการอิสระสามสมการ (หนึ่งสมการสำหรับแต่ละมิติ) ที่เกี่ยวข้องกับเลขชี้กำลังของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น การแก้ระบบสมการผลลัพธ์ทำให้สามารถหาค่าตัวเลขของเลขชี้กำลังที่ไม่รู้จักได้ X , ที่ , ซี ด้วยเหตุนี้ เงื่อนไข P แต่ละเงื่อนไขจึงถูกกำหนดในรูปแบบของสูตรที่ประกอบด้วยปริมาณเฉพาะ (พารามิเตอร์ด้านสิ่งแวดล้อม) ในระดับที่เหมาะสม

ตัวอย่างเช่น เราจะพบวิธีแก้ปัญหาในการพิจารณาการสูญเสียแรงดันอันเนื่องมาจากแรงเสียดทานในการไหลของของไหลปั่นป่วน

จากการพิจารณาทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่าการสูญเสียแรงดันในท่อขึ้นอยู่กับปัจจัยหลักดังต่อไปนี้: เส้นผ่านศูนย์กลาง d , ความยาว l , ความหยาบของผนัง เค, ความหนาแน่น ρ และความหนืด µ ของตัวกลาง ความเร็วการไหลเฉลี่ย วี , ความเค้นเฉือนเริ่มต้น เช่น