2., 5.
,

3.
, 6.
.

ในปริพันธ์ 1-3 as ยู ยอมรับ . หลังจากนั้น น- พับสูตร (19) เรามาถึงหนึ่งในปริพันธ์ของตาราง

,
,
.

ในปริพันธ์ 4-6 เมื่อแยกความแตกต่าง ตัวประกอบทิพย์จะถูกทำให้ง่ายขึ้น
,
หรือ
ซึ่งควรถือเป็น ยู.

คำนวณอินทิกรัลต่อไปนี้

ตัวอย่าง 7

ตัวอย่างที่ 8

การลดอินทิกรัลให้กับตัวเอง

ถ้าอินทิกรัล
ดูเหมือน:

,
,
และอื่นๆ

จากนั้นหลังจากการรวมสองครั้งโดยส่วนต่างๆ เราจะได้นิพจน์ที่มีอินทิกรัลดั้งเดิม :

,

ที่ไหน
เป็นค่าคงที่บางอย่าง

การแก้สมการผลลัพธ์เทียบกับ เราได้รับสูตรสำหรับการคำนวณอินทิกรัลดั้งเดิม:

.

กรณีนี้ใช้วิธีบูรณาการตามส่วนต่างๆ เรียกว่า " นำอินทิกรัลมาสู่ตัวมันเอง».

ตัวอย่างที่ 9คำนวณอินทิกรัล
.

ทางด้านขวาคืออินทิกรัลดั้งเดิม . เลื่อนไปทางซ้ายเราจะได้:

.

ตัวอย่าง 10คำนวณอินทิกรัล
.

4.5. การบูรณาการของเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสมที่ง่ายที่สุด

คำนิยาม.เศษส่วนที่เหมาะสมที่ง่ายที่สุด ฉัน , II และ สาม ประเภท เศษส่วนต่อไปนี้เรียกว่า:

ฉัน. ;

II.
; (
เป็นจำนวนเต็มบวก);

สาม.
; (รากของตัวส่วนนั้นซับซ้อน กล่าวคือ:
.

พิจารณาอินทิกรัลของเศษส่วนอย่างง่าย

ฉัน.
; (20)

II. ; (21)

สาม.
;

เราแปลงตัวเศษของเศษส่วนในลักษณะที่แยกเทอมในตัวเศษ
เท่ากับอนุพันธ์ของตัวส่วน

พิจารณาอินทิกรัลแรกจากสองอินทิกรัลที่ได้รับและทำการเปลี่ยนแปลง:

ในอินทิกรัลที่สอง เราเสริมตัวส่วนให้เต็มกำลังสอง:

ในที่สุด อินทิกรัลของเศษส่วนของประเภทที่สามจะเท่ากับ:

=
+
. (22)

ดังนั้นอินทิกรัลของเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภท I จึงแสดงในรูปของลอการิทึมประเภท II - ในแง่ของฟังก์ชันตรรกยะประเภท III - ในแง่ของลอการิทึมและอาร์คแทนเจนต์

4.6 การรวมฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ

หนึ่งในคลาสของฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลที่แสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานคือคลาสของพีชคณิต ฟังก์ชันตรรกยะนั่นคือ ฟังก์ชันที่เกิดจากการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตจำนวนจำกัดในอาร์กิวเมนต์

ทุกฟังก์ชันที่มีเหตุผล
สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของพหุนามสองตัวได้
และ
:

. (23)

เราจะถือว่าพหุนามไม่มีรากร่วมกัน

เศษของรูปแบบ (23) เรียกว่า ถูกต้องถ้าดีกรีของตัวเศษน้อยกว่าดีกรีของตัวส่วน นั่นคือ ม< น. มิฉะนั้น - ผิด.

หากเศษส่วนไม่ถูกต้อง การหารตัวเศษด้วยตัวส่วน (ตามกฎการหารพหุนาม) เราแทนเศษส่วนเป็นผลรวมของพหุนามและเศษส่วนที่เหมาะสม:

, (24)

ที่ไหน
- พหุนาม เป็นเศษส่วนที่เหมาะสม และดีกรีของพหุนาม
- ไม่มีระดับที่สูงขึ้น ( น-1).

ตัวอย่าง.

เนื่องจากการรวมตัวของพหุนามลดลงเป็นผลรวมของอินทิกรัลตารางของฟังก์ชันกำลัง ปัญหาหลักในการรวมเศษส่วนตรรกยะคือการรวมเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสม

พีชคณิตพิสูจน์ว่าทุกเศษส่วนที่เหมาะสม สลายไปเป็นผลรวมของข้างต้น โปรโตซัวเศษส่วนรูปแบบที่กำหนดโดยรากของตัวส่วน
.

ลองพิจารณากรณีพิเศษสามกรณี ที่นี่และด้านล่าง เราจะถือว่าสัมประสิทธิ์ ในระดับสูงสุดของตัวส่วน
เท่ากับหนึ่ง =1 นั่นคือพหุนามลดลง .

กรณีที่ 1รากของตัวส่วน นั่นคือ ราก
สมการ
=0 เป็นจริงและชัดเจน จากนั้นเราแสดงตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้น:

และเศษส่วนที่เหมาะสมจะสลายตัวเป็นเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภท I:

, (26)

ที่ไหน
- บาง ตัวเลขคงที่ซึ่งพบได้โดยวิธีสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน

สำหรับสิ่งนี้คุณต้อง:

1. ตะกั่ว ด้านขวาการขยาย (26) เป็นตัวส่วนร่วม

2. หาค่าสัมประสิทธิ์ด้วยกำลังเท่ากันของพหุนามที่เหมือนกันในตัวเศษของส่วนซ้ายและขวา เราได้รับระบบสมการเชิงเส้นสำหรับกำหนด
.

3. แก้ระบบผลลัพธ์และหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน
.

จากนั้นอินทิกรัลของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ (26) จะเท่ากับผลรวมของปริพันธ์ของเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภท I ซึ่งคำนวณโดยสูตร (20)

ตัวอย่าง.คำนวณอินทิกรัล
.

วิธีการแก้.ลองแยกตัวประกอบตัวหารโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา:

จากนั้นอินทิกรัลจะขยายเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

.

X:

ให้เราเขียนระบบสมการสามสมการเพื่อหา
Xด้านซ้ายและขวา:

.

ให้เราระบุวิธีที่ง่ายกว่าในการหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนที่เรียกว่า วิธีค่าบางส่วน.

สมมติความเสมอภาค (27)
เราได้รับ
, ที่ไหน
. สมมติ
เราได้รับ
. สุดท้ายสมมติว่า
เราได้รับ
.

.

กรณีที่ 2รากตัวส่วน
เป็นของจริง แต่ในหมู่พวกเขามีราก (เท่ากัน) หลายตัว จากนั้นเราแสดงตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นที่รวมอยู่ในผลคูณในขอบเขตที่หลายหลากของรากที่สอดคล้องกันคือ:

ที่ไหน
.

เศษส่วนที่เหมาะสม ผลรวมของเศษส่วนของประเภท I-th และ II-th จะถูกขยาย ให้ตัวอย่างเช่น - รากของตัวหารหลายหลาก kและส่วนที่เหลือทั้งหมด ( น- k) ของรากต่างกัน

จากนั้นการสลายตัวจะมีลักษณะดังนี้:

ในทำนองเดียวกัน หากมีหลายรากอื่นๆ สำหรับรากที่ไม่ใช่หลายราก การขยาย (28) จะรวมเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภทแรก

ตัวอย่าง.คำนวณอินทิกรัล
.

วิธีการแก้.ลองแทนเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายของประเภทที่หนึ่งและสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน:

.

เรานำด้านขวามาเป็นตัวส่วนร่วมและให้พหุนามเท่ากันในตัวเศษของด้านซ้ายและด้านขวา:

ทางด้านขวามือเราให้องศาที่คล้ายกัน X:

ให้เราเขียนระบบสมการสี่สมการเพื่อหา
และ . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราให้ค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับกำลังเท่ากัน Xด้านซ้ายและขวา

.

กรณีที่ 3ท่ามกลางรากเหง้าของตัวส่วน
มีรากครั้งเดียวที่ซับซ้อน นั่นคือการขยายตัวของตัวส่วนรวมถึงตัวประกอบของดีกรีที่สอง
ซึ่งไม่สามารถย่อยสลายเป็นปัจจัยเชิงเส้นจริงได้ และจะไม่เกิดซ้ำ

จากนั้นในการขยายเศษส่วน แต่ละปัจจัยดังกล่าวจะสอดคล้องกับเศษส่วนประเภท III ที่ง่ายที่สุด ปัจจัยเชิงเส้นตรงกับเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภท I-th และ II-th

ตัวอย่าง.คำนวณอินทิกรัล
.

วิธีการแก้.
.

.

.

การรวมฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ
วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบแน่ชัด

เรายังคงทำงานเกี่ยวกับการรวมเศษส่วน เราได้พิจารณาอินทิกรัลของเศษส่วนบางประเภทในบทเรียนแล้ว และบทเรียนนี้ในแง่หนึ่งถือได้ว่าเป็นการต่อเนื่อง เพื่อให้เข้าใจเนื้อหาได้สำเร็จ จำเป็นต้องมีทักษะพื้นฐานในการบูรณาการ ดังนั้นหากคุณเพิ่งเริ่มศึกษาอินทิกรัล นั่นคือ คุณคือกาน้ำชา คุณต้องเริ่มด้วยบทความ อินทิกรัลไม่มีกำหนด ตัวอย่างโซลูชัน.

น่าแปลกที่ตอนนี้เราจะไม่ยุ่งมากในการค้นหาอินทิกรัลเหมือนใน ... ระบบการแก้ปัญหา สมการเชิงเส้น. ในการเชื่อมต่อนี้ อย่างยิ่งฉันแนะนำให้ไปที่บทเรียน กล่าวคือ คุณต้องมีความรอบรู้ในวิธีการทดแทน (วิธี "โรงเรียน" และวิธีการบวก (การลบ) แบบเทอมต่อเทอมของสมการระบบ)

ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนคืออะไร? พูดง่ายๆ, ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ คือเศษส่วนในตัวเศษและตัวส่วนซึ่งเป็นพหุนามหรือผลคูณของพหุนาม ในขณะเดียวกัน เศษส่วนก็ซับซ้อนกว่าที่กล่าวถึงในบทความ การรวมเศษส่วนบางส่วน.

การรวมฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะที่ถูกต้อง

ตัวอย่างทันทีและอัลกอริทึมทั่วไปสำหรับการแก้อินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่าง 1

ขั้นตอนที่ 1.สิ่งแรกที่เราทำเสมอเมื่อต้องแก้อินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ-เศษส่วน ให้ถามคำถามต่อไปนี้: เศษส่วนถูกต้องหรือไม่ขั้นตอนนี้ทำโดยปากเปล่า และตอนนี้ฉันจะอธิบายว่า:

ดูตัวเศษก่อนแล้วค่อยหา ระดับอาวุโสพหุนาม:

กำลังสูงสุดของตัวเศษคือสอง

ตอนนี้ดูที่ตัวส่วนและหา ระดับอาวุโสตัวส่วน วิธีที่ชัดเจนคือการเปิดวงเล็บและนำคำศัพท์ที่คล้ายกันมาใช้ แต่คุณทำได้ง่ายกว่าใน แต่ละวงเล็บหาระดับสูงสุด

และทวีคูณทางจิตใจ: - ดังนั้น ระดับสูงสุดของตัวส่วนจึงเท่ากับสาม ค่อนข้างชัดเจนว่าถ้าเราเปิดวงเล็บออกจริง ๆ เราจะไม่ได้รับปริญญาที่มากกว่าสาม

บทสรุป: กำลังสูงสุดของตัวเศษ อย่างเคร่งครัดน้อยกว่ากำลังสูงสุดของตัวส่วนแล้วเศษส่วนนั้นถูกต้อง

หากในตัวอย่างนี้ตัวเศษมีพหุนาม 3, 4, 5 เป็นต้น องศา แล้วเศษส่วนจะเป็น ผิด.

ตอนนี้เราจะพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะเท่านั้น. กรณีที่ระดับของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับระดับของตัวส่วน เราจะวิเคราะห์ในตอนท้ายของบทเรียน

ขั้นตอนที่ 2ลองแยกตัวประกอบตัวหาร. ลองดูตัวส่วนของเรา:

โดยทั่วไปแล้ว นี่เป็นผลพลอยได้จากปัจจัยต่างๆ อยู่แล้ว แต่เราถามตัวเองว่า: เป็นไปได้ไหมที่จะขยายสิ่งอื่น? แน่นอนว่าเป้าหมายของการทรมานจะเป็นไตรนามรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราแก้สมการกำลังสอง:

discriminant มีค่ามากกว่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่า trinomial ถูกแยกตัวประกอบอย่างแท้จริง:

กฎทั่วไป: ทุกอย่างในตัวส่วนแยกตัวประกอบได้ - แยกตัวประกอบ

มาเริ่มตัดสินใจกันเลย:

ขั้นตอนที่ 3โดยใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน เราขยายอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย (เบื้องต้น) ตอนนี้มันจะชัดเจนขึ้น

มาดูฟังก์ชันอินทิกรัลของเรากัน:

และคุณก็รู้ ความคิดโดยสัญชาตญาณหลุดลอยไปว่า เป็นการดีที่จะเปลี่ยนเศษส่วนใหญ่ให้เป็นเศษเล็กเศษน้อยหลาย ๆ ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

คำถามเกิดขึ้น เป็นไปได้ไหมที่จะทำสิ่งนี้? ถอนหายใจด้วยความโล่งอก ทฤษฎีบทที่สอดคล้องกันของสถานะการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - มันเป็นไปได้ การสลายตัวดังกล่าวมีอยู่และเป็นเอกลักษณ์.

มีเพียงหนึ่งจับคือสัมประสิทธิ์ที่เรา ลาก่อนเราไม่รู้ ดังนั้นชื่อ - วิธีการของสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน

คุณเดาท่าทางที่ตามมาดังนั้นอย่าหัวเราะเยาะ! จะมุ่งเป้าไปที่การเรียนรู้พวกเขา - เพื่อค้นหาว่าพวกเขามีค่าเท่ากับอะไร

ระวังฉันจะอธิบายอย่างละเอียดอีกครั้ง!

เรามาเริ่มเต้นรำจาก:

ทางด้านซ้าย เรานำนิพจน์ไปยังตัวส่วนร่วม:

ตอนนี้เรากำจัดตัวส่วนอย่างปลอดภัย (เพราะมันเหมือนกัน):

ทางด้านซ้ายเราเปิดวงเล็บในขณะที่เรายังไม่ได้สัมผัสสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก:

ในเวลาเดียวกัน เราทำซ้ำกฎโรงเรียนของการคูณพหุนาม เมื่อข้าพเจ้าเป็นครู ข้าพเจ้าเรียนรู้ที่จะพูดกฎนี้อย่างตรงไปตรงมา: ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องคูณแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละเทอมของพหุนามอื่น.

จากมุมมองของคำอธิบายที่ชัดเจน เป็นการดีกว่าที่จะใส่ค่าสัมประสิทธิ์ในวงเล็บ (แม้ว่าโดยส่วนตัวแล้วฉันไม่เคยทำเช่นนี้เพื่อประหยัดเวลา):

เราสร้างระบบสมการเชิงเส้น
อันดับแรก เรามองหาปริญญาอาวุโส:

และเราเขียนสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันในสมการแรกของระบบ:

จำความแตกต่างต่อไปนี้ได้ดี. จะเกิดอะไรขึ้นถ้าด้านขวาไม่มีอยู่เลย? พูดสิ มันจะอวดโดยไม่ต้องสี่เหลี่ยมใด ๆ หรือไม่? ในกรณีนี้ ในสมการของระบบ จำเป็นต้องใส่ศูนย์ทางด้านขวา: . ทำไมต้องเป็นศูนย์? และเนื่องจากทางด้านขวา คุณสามารถระบุแอตทริบิวต์สี่เหลี่ยมเดียวกันนี้ด้วยศูนย์ได้เสมอ: หากไม่มีตัวแปรหรือ (และ) พจน์ว่างทางด้านขวา เราจะใส่เลขศูนย์ทางด้านขวาของสมการที่สอดคล้องกันของระบบ

เราเขียนสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันในสมการที่สองของระบบ:

และสุดท้าย น้ำแร่ เราเลือกสมาชิกฟรี

เอ๊ะ ... ฉันล้อเล่น เรื่องตลก - คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่จริงจัง ในกลุ่มสถาบันของเรา ไม่มีใครหัวเราะเมื่อผู้ช่วยศาสตราจารย์บอกว่าเธอจะกระจายสมาชิกตามเส้นจำนวนและเลือกจำนวนที่ใหญ่ที่สุด มาจริงจังกันเถอะ แม้ว่า ... ใครก็ตามที่มีชีวิตอยู่เพื่อดูตอนจบของบทเรียนนี้จะยังคงยิ้มอย่างเงียบ ๆ

ระบบพร้อม:

เราแก้ระบบ:

(1) จากสมการแรก เราแสดงและแทนที่มันลงในสมการที่ 2 และ 3 ของระบบ อันที่จริง มันเป็นไปได้ที่จะแสดง (หรือตัวอักษรอื่น) จากสมการอื่น แต่ในกรณีนี้ เป็นการดีที่จะแสดงออกจากสมการที่ 1 เนื่องจากมี อัตราต่อรองที่เล็กที่สุด.

(2) เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในสมการที่ 2 และ 3

(3) เราเพิ่มสมการที่ 2 และ 3 เป็นระยะโดยเทอมในขณะที่ได้รับความเท่าเทียมกันจากนั้นจึงเป็นไปตามนั้น

(4) เราแทนที่ด้วยสมการที่สอง (หรือสาม) ซึ่งเราพบว่า

(5) เราแทนและลงในสมการแรก ได้ .

หากคุณมีปัญหาใดๆ กับวิธีการแก้ปัญหาระบบ ให้ดำเนินการในชั้นเรียน จะแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้อย่างไร?

หลังจากแก้ระบบแล้ว การตรวจสอบจะเป็นประโยชน์เสมอ - แทนที่ค่าที่พบ ในแต่ละสมการของระบบดังนั้นทุกอย่างควร "มาบรรจบกัน"

เกือบมาแล้ว พบสัมประสิทธิ์ในขณะที่:

งานที่สะอาดควรมีลักษณะดังนี้:

อย่างที่คุณเห็น ความยากหลักของงานคือการเขียน (ถูกต้อง!) และแก้ (ถูกต้อง!) ระบบสมการเชิงเส้น และในขั้นตอนสุดท้าย ทุกอย่างไม่ได้ยากขนาดนั้น เราใช้คุณสมบัติของความเป็นเส้นตรงของอินทิกรัลไม่ จำกัด และรวมเข้าด้วยกัน ฉันดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่าภายใต้อินทิกรัลทั้งสามเรามีฟังก์ชันที่ซับซ้อน "ฟรี" ฉันได้พูดถึงคุณลักษณะของการบูรณาการในบทเรียน วิธีการเปลี่ยนตัวแปรในปริพันธ์ไม่แน่นอน.

ตรวจสอบ: แยกความแตกต่างของคำตอบ:

ได้รับอินทิกรัลดั้งเดิม ซึ่งหมายความว่าพบอินทิกรัลอย่างถูกต้อง
ในระหว่างการตรวจสอบ จำเป็นต้องนำนิพจน์ไปยังตัวส่วนร่วม และนี่ไม่ใช่เหตุบังเอิญ วิธีการของสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนและการนำนิพจน์ไปยังตัวส่วนร่วมนั้นเป็นการกระทำผกผันร่วมกัน

ตัวอย่าง 2

หาอินทิกรัลไม่แน่นอน

กลับไปที่เศษส่วนจากตัวอย่างแรก: . เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าในตัวส่วนนั้น ปัจจัยทั้งหมดต่างกัน คำถามเกิดขึ้นจะทำอย่างไรถ้ายกตัวอย่างเช่นเศษส่วน: ? เรามีองศาในตัวส่วน หรือในทางคณิตศาสตร์ ปัจจัยหลายอย่าง. นอกจากนี้ยังมีสมการกำลังสองที่แยกย่อยไม่ได้ (เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าตัวจำแนกของสมการ เป็นค่าลบ ดังนั้นจึงไม่สามารถแยกตัวประกอบไตรนามได้แต่อย่างใด) จะทำอย่างไร? การขยายผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้นจะมีลักษณะดังนี้ โดยไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์ที่ด้านบนหรืออย่างอื่น?

ตัวอย่างที่ 3

ส่งฟังก์ชัน

ขั้นตอนที่ 1.ตรวจสอบว่าเรามีเศษส่วนถูกต้องหรือไม่
กำลังสูงสุดของตัวเศษ: 2
ตัวหารสูงสุด: 8
เศษส่วนจึงถูกต้อง

ขั้นตอนที่ 2สามารถแยกตัวประกอบอะไรเป็นตัวส่วนได้หรือไม่? แน่นอนว่าไม่ใช่ ทุกอย่างถูกจัดวางไว้แล้ว ไตรนามสแควร์ไม่ขยายเป็นผลิตภัณฑ์ด้วยเหตุผลข้างต้น ดี. งานน้อย.

ขั้นตอนที่ 3ให้เราแทนฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วนมูลฐาน
ในกรณีนี้การสลายตัวมีรูปแบบดังนี้:

ลองดูตัวส่วนของเรา:
เมื่อแยกฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วนพื้นฐาน สามารถแยกแยะจุดพื้นฐานสามจุด:

1) หากตัวส่วนมีปัจจัย "เหงา" ในระดับแรก (ในกรณีของเรา) เราจะใส่ค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนที่ด้านบน (ในกรณีของเรา) ตัวอย่างที่ 1,2 ประกอบด้วยปัจจัยที่ "เหงา" เท่านั้น

2) ถ้าตัวส่วนประกอบด้วย หลายรายการตัวคูณแล้วคุณต้องแยกย่อยดังนี้:
- นั่นคือ เรียงลำดับองศาของ "x" ทั้งหมดตามลำดับตั้งแต่ระดับแรกจนถึงระดับที่ n ในตัวอย่างของเรา มีปัจจัยหลายประการ: และ ดูการสลายตัวที่ฉันให้ไว้อีกครั้ง และตรวจสอบให้แน่ใจว่าพวกมันถูกแยกออกตามกฎนี้ทุกประการ

3) หากตัวส่วนประกอบด้วยพหุนามที่แยกไม่ออกของดีกรีที่สอง (ในกรณีของเรา ) จากนั้นเมื่อขยายในตัวเศษ คุณต้องเขียนฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน (ในกรณีของเรา มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน และ )

อันที่จริงก็มีกรณีที่ 4 เช่นกัน แต่ฉันจะเก็บเงียบเกี่ยวกับเรื่องนี้เพราะในทางปฏิบัติมันหายากมาก

ตัวอย่างที่ 4

ส่งฟังก์ชัน เป็นผลรวมของเศษส่วนมูลฐานที่ไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
ปฏิบัติตามอัลกอริทึมอย่างเคร่งครัด!

หากคุณได้ทราบหลักการโดยที่คุณต้องแยกฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะเป็นผลรวม คุณจะสามารถถอดรหัสอินทิกรัลของประเภทที่พิจารณาได้เกือบทุกประเภท

ตัวอย่างที่ 5

หาอินทิกรัลไม่แน่นอน

ขั้นตอนที่ 1.เห็นได้ชัดว่าเศษส่วนถูกต้อง:

ขั้นตอนที่ 2สามารถแยกตัวประกอบอะไรเป็นตัวส่วนได้หรือไม่? สามารถ. นี่คือผลรวมของลูกบาศก์ . การแยกตัวประกอบตัวส่วนโดยใช้สูตรคูณแบบย่อ

ขั้นตอนที่ 3โดยใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน เราขยายอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้น:

โปรดทราบว่าพหุนามนั้นแยกไม่ออก (ตรวจสอบว่า discriminant เป็นลบ) ดังนั้นที่ด้านบน เราจึงใส่ฟังก์ชันเชิงเส้นโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก ไม่ใช่แค่ตัวอักษรเดียว

เรานำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม:

มาสร้างและแก้ไขระบบกันเถอะ:

(1) จากสมการแรก เราแสดงและแทนที่ลงในสมการที่สองของระบบ (นี่คือวิธีที่มีเหตุผลที่สุด)

(2) เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในสมการที่สอง

(3) เราเพิ่มสมการที่สองและสามของเทอมระบบตามเทอม

โดยหลักการแล้ว การคำนวณเพิ่มเติมทั้งหมดเป็นแบบปากเปล่า เนื่องจากระบบนั้นเรียบง่าย

(1) เราเขียนผลรวมของเศษส่วนตามค่าสัมประสิทธิ์ที่พบ

(2) เราใช้คุณสมบัติเชิงเส้นตรงของอินทิกรัลไม่จำกัด เกิดอะไรขึ้นในอินทิกรัลที่สอง? คุณสามารถค้นหาวิธีนี้ได้ในย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียน การรวมเศษส่วนบางส่วน.

(3) เราใช้คุณสมบัติของลิเนียร์อีกครั้ง ในอินทิกรัลที่สาม เราเริ่มเลือกกำลังสองเต็ม (ย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียน การรวมเศษส่วนบางส่วน).

(4) เราใช้อินทิกรัลที่สอง ในอันที่สามเราเลือกกำลังสองเต็ม

(5) เราหาอินทิกรัลที่สาม พร้อม.

งานควบคุมการรวมฟังก์ชันต่างๆ รวมถึงเศษส่วนตรรกยะ มอบให้กับนักเรียนหลักสูตรที่ 1 และ 2 ตัวอย่างของปริพันธ์จะเป็นที่สนใจของนักคณิตศาสตร์ นักเศรษฐศาสตร์ และนักสถิติเป็นหลัก ตัวอย่างเหล่านี้ได้รับเมื่อ ควบคุมงานที่ LNU ไอ. แฟรงค์. เงื่อนไขของตัวอย่างต่อไปนี้คือ "ค้นหาอินทิกรัล" หรือ "คำนวณอินทิกรัล" ดังนั้นเพื่อประหยัดพื้นที่และเวลาของคุณ เงื่อนไขเหล่านี้จะไม่ถูกเขียนออกมา

ตัวอย่างที่ 15 เรามาถึงการรวมฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน พวกเขาครอบครองสถานที่พิเศษท่ามกลางอินทิกรัลเพราะพวกเขาต้องใช้เวลามากในการคำนวณและช่วยครูทดสอบความรู้ของคุณไม่เพียง แต่ในการบูรณาการเท่านั้น เพื่อลดความซับซ้อนของฟังก์ชันภายใต้อินทิกรัล เราบวกและลบนิพจน์ในตัวเศษที่ช่วยให้เราสามารถแยกฟังก์ชันภายใต้อินทิกรัลออกเป็นสองส่วนอย่างง่าย

เป็นผลให้เราพบหนึ่งอินทิกรัลค่อนข้างเร็วในวินาทีเราต้องขยายเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้น

เมื่อลดให้เป็นตัวส่วนร่วม เราจะได้ตัวเลขดังกล่าว

ถัดไป เปิดวงเล็บและกลุ่ม

เราเปรียบเสมือนค่าที่ระดับ "x" เท่ากันทางขวาและซ้าย เป็นผลให้เรามาถึงระบบสมการเชิงเส้นสามสมการ (SLAE) ที่มีสามไม่ทราบค่า

วิธีแก้ระบบสมการมีอธิบายไว้ในบทความอื่นบนเว็บไซต์ ในเวอร์ชันสุดท้าย คุณจะได้รับโซลูชัน SLAE ต่อไปนี้
ก=4; ข=-9/2; ค=-7/2.
เราแทนค่าคงที่ในการขยายเศษส่วนเป็นเศษส่วนที่ง่ายที่สุดแล้วทำการรวมเข้าด้วยกัน


ตัวอย่างนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว

ตัวอย่างที่ 16. คุณต้องหาอินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนอีกครั้ง ในการเริ่มต้น เราแยกสมการลูกบาศก์ที่มีอยู่ในตัวส่วนของเศษส่วนเป็นตัวประกอบอย่างง่าย

ต่อไปเราจะทำการสลายตัวของเศษส่วนให้ง่ายที่สุด

เราลดด้านขวาให้เป็นตัวส่วนร่วมและเปิดวงเล็บในตัวเศษ


เราให้ค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับกำลังของตัวแปร อีกครั้งที่เรามาถึง SLAE กับสามสิ่งที่ไม่รู้จัก

ทดแทน ค่า A,B,Cเข้าไปในการขยายและคำนวณอินทิกรัล

สองเทอมแรกเป็นลอการิทึม อันสุดท้ายหาง่ายเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 17. ในตัวส่วนของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน เรามีความแตกต่างของลูกบาศก์ จากสูตรการคูณแบบย่อ เราแยกมันออกเป็นสองปัจจัยเฉพาะ

ต่อไป เราวาดฟังก์ชันเศษส่วนที่เป็นผลลัพธ์สำหรับผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายแล้วลดให้เป็นตัวส่วนร่วม

ในตัวเศษเราได้รับนิพจน์ต่อไปนี้

จากนั้นจึงสร้างระบบสมการเชิงเส้นเพื่อคำนวณค่าไม่ทราบค่า 3 ค่า

A=1/3; ข=-1/3; ค=1/3
เราแทนที่ A, B, C ในสูตรและดำเนินการรวมเข้าด้วยกัน ส่งผลให้เรามาถึงคำตอบต่อไปนี้


ที่นี่ ตัวเศษของอินทิกรัลที่สองถูกเปลี่ยนเป็นลอการิทึม ในขณะที่ส่วนที่เหลือภายใต้อินทิกรัลจะให้แทนเจนต์ส่วนโค้ง
มีตัวอย่างที่คล้ายกันมากมายในการรวมเศษส่วนตรรกยะบนอินเทอร์เน็ต ตัวอย่างที่คล้ายกันสามารถพบได้ในเอกสารด้านล่าง

ขอนำเสนอ การแก้ปัญหาโดยละเอียดสามตัวอย่างของการรวมเศษส่วนตรรกยะต่อไปนี้:
, , .

ตัวอย่าง 1

คำนวณอินทิกรัล:
.

วิธีการแก้

ที่นี่ ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัล มีฟังก์ชันตรรกยะ เนื่องจากอินทิกรัลเป็นเศษส่วนของพหุนาม ดีกรีของพหุนามตัวส่วน ( 3 ) น้อยกว่าดีกรีของพหุนามตัวเศษ ( 4 ). ดังนั้น ก่อนอื่นคุณต้องเลือกเศษส่วนทั้งหมด

1. ลองหาส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วนกัน หาร x 4 บน x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

จากที่นี่
.

2. ลองแยกตัวประกอบตัวหาร. ในการทำเช่นนี้คุณต้องแก้สมการลูกบาศก์:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
ทดแทน x = 1 :
.

1 . หารด้วย x - 1 :

จากที่นี่
.
เราแก้สมการกำลังสอง
.
รากสมการ: , .
แล้ว
.

3. มาแบ่งเศษส่วนให้เป็นส่วนง่าย ๆ กัน

.

ดังนั้นเราจึงพบว่า:
.
มาบูรณาการกันเถอะ

ตอบ

ตัวอย่าง 2

คำนวณอินทิกรัล:
.

วิธีการแก้

ในตัวเศษของเศษส่วนเป็นพหุนามของดีกรีศูนย์ ( 1 = x0). ตัวส่วนเป็นพหุนามดีกรีสาม เพราะว่า 0 < 3 แล้วเศษส่วนก็ถูกต้อง ลองแบ่งเป็นเศษส่วนง่ายๆ

1. ลองแยกตัวประกอบตัวหาร. ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแก้สมการของดีกรีที่สาม:
.
สมมติว่ามีรากจำนวนเต็มอย่างน้อยหนึ่งราก แล้วเป็นตัวหารของจำนวน 3 (สมาชิกที่ไม่มี x ) นั่นคือ รูททั้งหมดสามารถเป็นตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งได้:
1, 3, -1, -3 .
ทดแทน x = 1 :
.

ดังนั้นเราจึงพบหนึ่งรูท x = 1 . หาร x 3 + 2 x - 3บน x- 1 :

ดังนั้น,
.

เราแก้สมการกำลังสอง:
x 2 + x + 3 = 0.
ค้นหาการเลือกปฏิบัติ: D = 1 2 - 4 3 = -11. เพราะ D< 0 แล้วสมการก็ไม่มีรากที่แท้จริง ดังนั้นเราจึงได้รับการสลายตัวของตัวส่วนเป็นปัจจัย:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
ทดแทน x = 1 . แล้ว x- 1 = 0 ,
.

ทดแทนใน (2.1) x= 0 :
1 = 3 A - C;
.

เท่ากับใน (2.1) สัมประสิทธิ์ที่ x 2 :
;
0=A+B;
.

.

3. มาบูรณาการกันเถอะ
(2.2) .
ในการคำนวณอินทิกรัลที่สอง เราเลือกอนุพันธ์ของตัวส่วนในตัวเศษ และลดตัวส่วนให้เท่ากับผลรวมของกำลังสอง

;
;
.

คำนวณฉัน 2 .


.
เนื่องจากสมการ x 2 + x + 3 = 0ไม่มีรากจริง ๆ แล้ว x 2 + x + 3 > 0. ดังนั้นจึงสามารถละเว้นเครื่องหมายโมดูลได้

เราจัดส่งให้ (2.2) :
.

ตอบ

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณอินทิกรัล:
.

วิธีการแก้

ที่นี่ ภายใต้เครื่องหมายของอินทิกรัลคือเศษส่วนของพหุนาม ดังนั้นอินทิกรัลจึงเป็นฟังก์ชันตรรกยะ ดีกรีของพหุนามในตัวเศษคือ 3 . ดีกรีของพหุนามของตัวส่วนของเศษส่วนคือ 4 . เพราะว่า 3 < 4 แล้วเศษส่วนก็ถูกต้อง จึงสามารถย่อยสลายเป็นเศษส่วนอย่างง่ายได้ แต่สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องแยกตัวส่วนเป็นตัวประกอบ

1. ลองแยกตัวประกอบตัวหาร. ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแก้สมการของดีกรีที่สี่:
.
สมมติว่ามีรากจำนวนเต็มอย่างน้อยหนึ่งราก แล้วเป็นตัวหารของจำนวน 2 (สมาชิกที่ไม่มี x ) นั่นคือ รูททั้งหมดสามารถเป็นตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งได้:
1, 2, -1, -2 .
ทดแทน x = -1 :
.

ดังนั้นเราจึงพบหนึ่งรูท x = -1 . หารด้วย x - (-1) = x + 1:


ดังนั้น,
.

ตอนนี้เราต้องแก้สมการของดีกรีที่สาม:
.
หากเราคิดว่าสมการนี้มีรากจำนวนเต็ม มันก็เป็นตัวหารของจำนวน 2 (สมาชิกที่ไม่มี x ) นั่นคือ รูททั้งหมดสามารถเป็นตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งได้:
1, 2, -1, -2 .
ทดแทน x = -1 :
.

ดังนั้นเราจึงพบรูทอื่น x = -1 . เป็นไปได้ เช่นในกรณีก่อนหน้า ที่จะแบ่งพหุนามด้วย แต่เราจะจัดกลุ่มเงื่อนไข:
.

เนื่องจากสมการ x 2 + 2 = 0 ไม่มีรากจริง เราจะได้การแยกตัวประกอบของตัวส่วน:
.

2. มาแบ่งเศษส่วนให้เป็นส่วนง่าย ๆ กัน เรากำลังมองหาการสลายตัวในรูปแบบ:
.
เรากำจัดตัวส่วนของเศษส่วน คูณด้วย (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
ทดแทน x = -1 . จากนั้น x + 1 = 0 ,
.

สร้างความแตกต่าง (3.1) :

;

.
ทดแทน x = -1 และพิจารณาว่า x + 1 = 0 :
;
; .

ทดแทนใน (3.1) x= 0 :
0 = 2A + 2B + D;
.

เท่ากับใน (3.1) สัมประสิทธิ์ที่ x 3 :
;
1=B+C;
.

ดังนั้นเราจึงพบการสลายตัวเป็นเศษส่วนอย่างง่าย:
.

3. มาบูรณาการกันเถอะ


.

ฟังก์ชันตรรกยะคือเศษส่วนของรูปแบบ ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนเป็นพหุนามหรือผลคูณของพหุนาม

ตัวอย่าง 1 ขั้นตอนที่ 2

.

เราคูณสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนด้วยพหุนามที่ไม่ได้อยู่ในเศษส่วนนี้ แต่อยู่ในเศษส่วนอื่นๆ ที่ได้รับ:

เราเปิดวงเล็บและเท่ากับตัวเศษของอินทิกรัลดั้งเดิมที่ได้รับกับนิพจน์ที่ได้รับ:

ในทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกัน เรามองหาเทอมที่มีกำลัง x เท่ากันและประกอบเป็นระบบสมการจากสมการเหล่านี้:

.

เรายกเลิก x ทั้งหมดและรับระบบสมการที่เท่ากัน:

.

ดังนั้น การขยายตัวขั้นสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

.

ตัวอย่าง 2 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้การขยายเศษส่วนเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

.

ตอนนี้เราเริ่มมองหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน ในการทำเช่นนี้ เราให้ตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิมในนิพจน์ฟังก์ชันเท่ากับตัวเศษของนิพจน์ที่ได้รับหลังจากลดผลรวมของเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม:

ตอนนี้คุณต้องสร้างและแก้ระบบสมการ ในการทำเช่นนี้ เราให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเท่ากับระดับที่เหมาะสมในตัวเศษของนิพจน์ดั้งเดิมของฟังก์ชันและค่าสัมประสิทธิ์ที่คล้ายคลึงกันในนิพจน์ที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า:

เราแก้ระบบผลลัพธ์:

จากนี้ไป

.

ตัวอย่างที่ 3 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้การขยายเศษส่วนเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

เราเริ่มมองหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน ในการทำเช่นนี้ เราให้ตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิมในนิพจน์ฟังก์ชันเท่ากับตัวเศษของนิพจน์ที่ได้รับหลังจากลดผลรวมของเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม:

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราสร้างระบบสมการ:

เราลด x และรับระบบสมการที่เท่ากัน:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

เราได้การขยายตัวสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

.

ตัวอย่างที่ 4 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้การขยายเศษส่วนเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

.

วิธีทำให้ตัวเศษของเศษส่วนเดิมเท่ากับนิพจน์ในตัวเศษที่ได้รับหลังจากแยกเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายและลดผลรวมนี้ให้เป็นตัวส่วนร่วม เรารู้อยู่แล้วจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ดังนั้นเพื่อการควบคุมเท่านั้นเราจึงนำเสนอระบบสมการผลลัพธ์:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

เราได้การขยายตัวสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

ตัวอย่างที่ 5 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้การขยายเศษส่วนเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

.

เรานำผลรวมนี้ไปยังตัวส่วนร่วมโดยอิสระ โดยให้ตัวเศษของนิพจน์นี้เท่ากับตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิม ผลลัพธ์ควรเป็นระบบสมการต่อไปนี้:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

.

เราได้การขยายตัวสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

.

ตัวอย่างที่ 6 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้การขยายเศษส่วนเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

เราทำการดำเนินการเดียวกันกับจำนวนนี้ในตัวอย่างก่อนหน้า ผลลัพธ์ควรเป็นระบบสมการต่อไปนี้:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

.

เราได้การขยายตัวสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

.

ตัวอย่าง 7 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้การขยายเศษส่วนเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

.

หลังจากทราบการกระทำที่มีผลรวมแล้ว ควรได้รับระบบสมการต่อไปนี้:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

เราได้การขยายตัวสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

.

ตัวอย่างที่ 8 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้การขยายเศษส่วนเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

.

มาทำการเปลี่ยนแปลงบางอย่างกับการกระทำที่นำไปสู่ความเป็นอัตโนมัติเพื่อให้ได้ระบบสมการ มีเคล็ดลับประดิษฐ์ซึ่งในบางกรณีช่วยหลีกเลี่ยงการคำนวณที่ไม่จำเป็น นำผลรวมของเศษส่วนมาสู่ตัวส่วนร่วม เราจะได้มาและหาตัวเศษของนิพจน์นี้ให้เท่ากับตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิมที่เราได้รับ