Luați în considerare o variabilă care se supune unui proces stocastic Markov. Să presupunem că valoarea sa curentă este 10, iar modificarea din timpul anului este descrisă de funcția 0(0, 1), unde a) este o distribuție normală de probabilitate cu așteptare matematică // și abatere standard o. Ce distribuție de probabilitate descrie modificarea acestei variabile pe parcursul a doi ani?
Modificarea variabilei după doi ani este descrisă prin suma a două distribuții normale cu așteptări matematice zero și abateri standard unitare. Deoarece variabila este markoviană, aceste distribuții sunt independente unele de altele. Adunând două distribuții normale independente, obținem o distribuție normală, a cărei așteptare matematică este egală cu suma așteptărilor matematice ale fiecăruia dintre termeni, iar varianța este suma varianțelor acestora. Astfel, așteptarea matematică a modificărilor variabilei luate în considerare pe parcursul a doi ani este zero, iar varianța este 2,0. Prin urmare, modificarea valorii variabilei după doi ani este o variabilă aleatoare cu o distribuție de probabilitate φ(0, %/2).
Luați în considerare în continuare modificarea variabilei pe parcursul a șase luni. Varianța modificărilor acestei variabile pe parcursul unui an este egală cu suma variațiilor acestor modificări în primele și a doua șase luni. Presupunem că aceste variații sunt aceleași. Apoi, varianța modificărilor variabilei pe parcursul a șase luni este de 0,5, iar abaterea standard este de 1/0,5. Prin urmare, distribuția de probabilitate a modificării variabilei pe parcursul a șase luni este φ(0, \DW)
Raționament similar ne permite să demonstrăm că modificarea variabilei pe parcursul a trei luni are o distribuție de 0(0, ^/0,25). În general, modificarea unei variabile pe o perioadă de timp de lungime T este descrisă de distribuția de probabilitate φ(0, \[T) ).
Rădăcinile pătrate din aceste expresii pot părea ciudate. Ele decurg din faptul că, în analiza unui proces Markov, varianțele modificărilor unei variabile în momente succesive de timp se adună, dar abaterile standard nu. În exemplul nostru, varianța modificărilor unei variabile pe parcursul unui an este 1,0, deci varianța modificărilor acestei variabile timp de doi ani este 2,0, iar după trei ani este 3,0. În același timp, abaterea standard
de modificări ale variabilelor după doi și trei ani sunt \/2 și, respectiv, \/3. Strict vorbind, nu ar trebui să spunem că abaterea standard a modificărilor unei variabile într-un an este de 1,0 pe an. Trebuie spus că este egală cu „rădăcina pătrată a unității pe an”. Acest lucru explică de ce cantitatea de incertitudine este adesea considerată a fi proporțională cu rădăcina pătrată a timpului.
procese Wiener
Procesul la care este supusă variabila discutată mai sus se numește proces Wiener. Este un caz special al procesului stocastic Markov, când așteptarea modificărilor variabilei este zero, iar varianța acestora este 1,0. Acest proces este utilizat pe scară largă în fizică pentru a descrie mișcarea unei particule implicate într-un număr mare de ciocniri cu molecule (acest fenomen se numește mișcare bruniană(Mișcarea browniană)).
Din punct de vedere formal, o variabilă z se supune unui proces Wiener dacă are următoarele proprietăți.
PROPRIETATE 1. Modificarea lui Az pe un interval mic de timp At satisface egalitatea
Az = ey/At, (12,1)
unde e este o variabilă aleatoare care respectă distribuția normală standardizată φ(0.1).
Proprietatea 2. Valorile Az pe două intervale de timp mici At sunt independente.
Din prima proprietate rezultă că mărimea Az are o distribuție normală, în care așteptarea matematică este egală cu zero, abaterea standard este egală cu VAt, iar varianța este egală cu At. A doua proprietate înseamnă că mărimea 2 se supune unui proces Markov.
Luați în considerare o creștere a variabilei z pe o perioadă relativ lungă de timp T. Această modificare poate fi notată ca z(T) - z(0). Poate fi reprezentat ca suma creșterii variabilei r pe N intervale de timp relativ mici de lungime At. Aici
Prin urmare,
z(t)z(o) = J2?^t' (12.2)
r=1
unde?r,r = 1,2,...,LG sunt variabile aleatoare având o distribuție de probabilitate φ(0,1). Din a doua proprietate a procesului Wiener rezultă că cantităţile?
?; sunt independente unele de altele. Din expresia (12.2) rezultă că variabila aleatoare z(T) - z(0) are o distribuție normală, a cărei așteptare matematică este zero, varianța este NAt = T, iar abaterea standard este y/T. Aceste concluzii sunt în concordanță cu rezultatele indicate mai sus. Exemplul 12.1
Să presupunem că valoarea lui r a unei variabile aleatoare care se supune procesului Wiener la momentul inițial de timp este 25, iar timpul este măsurat în ani. La sfârșitul primului an, valoarea variabilei este distribuită în mod normal cu o valoare așteptată de 25 și o abatere standard de 1,0. La sfârșitul celui de-al cincilea an, valoarea variabilei are o distribuție normală cu o medie de 25 și o abatere standard de n/5, i.e. 2.236. Incertitudinea valorii unei variabile la un moment dat în viitor, măsurată prin abaterea sa standard, crește pe măsură ce Rădăcină pătrată din lungimea intervalului prezis. ?
În analiza matematică, trecerea la limită este utilizată pe scară largă, atunci când valoarea micilor modificări tinde spre zero. De exemplu, când At -> 0, cantitatea Ax = aAt se transformă în cantitatea dx = adt. În analiza proceselor stocastice, se utilizează o notație similară. De exemplu, ca At -> 0, procesul Az descris mai sus tinde spre procesul Wiener dz.
Pe fig. Figura 12.1 arată cum se modifică traiectoria variabilei z ca At -> 0. Rețineți că acest grafic este zimțat. Aceasta deoarece modificarea variabilei z în timp At este proporțională cu valoarea lui v^Af, iar când valoarea lui At devine mică, numărul \/At este mult mai mare decât At. Din această cauză, procesul Wiener are două proprietăți interesante.
1. Lungimea așteptată a traiectoriei pe care o parcurge variabila z în orice perioadă de timp este infinită.
2. Numărul așteptat de potriviri ale variabilei z cu orice valoare particulară în orice perioadă de timp este infinit.
Procesul Wiener generalizat
Rata de derive, sau coeficientul de derive, a unui proces stocastic este modificarea medie a unei variabile pe unitatea de timp, iar rata de varianță, sau coeficientul de difuzie, este cantitatea de fluctuație pe unitatea de timp. Rata de deriva a principalului proces Wiener dz discutat mai sus este zero, iar varianța este 1,0. Deriva zero înseamnă că valoarea așteptată a variabilei z la un moment dat este egală cu valoarea sa curentă. Varianța unitară a procesului înseamnă că varianța modificării variabilei z în intervalul de timp T este egală cu lungimea acesteia.
Orez. 12.1. Modificarea prețului acțiunilor din exemplu
Procesul Wiener generalizat pentru x poate fi definit în termeni dz după cum urmează.
dx - adt + bdz, (12,3)
unde a și b sunt constante.
Pentru a înțelege semnificația ecuației (12.3), este util să luăm în considerare cei doi termeni din partea dreaptă separat. Termenul a dt înseamnă că viteza de derive așteptată a variabilei x este de 0 unități pe unitatea de timp. Fără al doilea termen, ecuația (12.3) se transformă în ecuație
dx=adt,
de unde rezultă că
dx
Integrând această ecuație în timp, obținem
x = xo + a?,
unde xo este valoarea variabilei x la momentul zero. Astfel, pe o perioadă de timp T, variabila x crește cu valoarea lui ee. Termenul b dz poate fi considerat ca zgomot sau variabilitate în traiectoria pe care o parcurge variabila x. Mărimea acestui zgomot este de b ori mai mare decât valoarea procesului Wiener. Abaterea standard a procesului Wiener este 1,0. Rezultă că abaterea standard a lui b dz este egală cu b. Pe intervale scurte de timp AL, modificarea variabilei x este determinată de ecuațiile (12.1) și (12.3).
Ax \u003d aAb + bEY / Ab,
unde e, ca și înainte, este o variabilă aleatoare cu o distribuție normală standardizată. Deci, cantitatea Ax are o distribuție normală, a cărei așteptare matematică este egală cu aAb, abaterea standard este 6n/D7, iar varianța este b2D/. Raționament similar poate arăta că modificarea variabilei x într-un interval de timp arbitrar T are o distribuție normală cu așteptarea matematică c.T, abaterea standard bu/T și varianța b2T. Astfel, rata de derive așteptată a procesului Wiener generalizat (12.3) (adică modificarea medie a derivei pe unitatea de timp) este egală cu a, iar varianța (adică varianța variabilei pe unitatea de timp) este b2. Acest proces este prezentat în Fig. 12.2. Să ilustrăm descărcarea cu următorul exemplu.
Exemplul 12.2
Luați în considerare o situație în care ponderea activelor unei companii investite în poziții de numerar pe termen scurt (poziție de numerar) măsurată în mii de dolari este supusă unui proces Wiener generalizat cu o rată de deriva de 20.000 USD pe an și o variație de 900.000 USD pe an. an. În primul moment, ponderea activelor este de 50 000 USD.După un an, această pondere a activelor va avea o distribuție normală cu o așteptare matematică de 70 000 USD și o abatere standard de l/900, i.e. 30 USD.Șase luni mai târziu, acesta va fi distribuit în mod normal cu o așteptare de 60 000 USD și o abatere standard de 30 USD\DC >= 21,21 USD.Incertitudinea asociată cu ponderea activelor investite în echivalente de numerar pe termen scurt măsurate folosind abaterea standard crește pe măsură ce rădăcina pătrată a lungimii intervalului prezis. Rețineți că această pondere a activelor poate deveni negativă (când compania se împrumută). ?
Ito Proces
Procesul stocastic Ito este un proces Wiener generalizat în care parametrii a și b sunt funcții în funcție de variabila x și de timpul t. Procesul Ito poate fi exprimat prin următoarea formulă.
dx = a(x, t)dt + b(x, t)d,z,?
Atât rata de derive așteptată, cât și varianța acestui proces se modifică în timp. Într-o perioadă scurtă de timp de la t la At, variabila se schimbă de la
x la x + ah unde
Ax = a(x, t) At + b(x, t)e\fAt.
Această relație conține un pic de întindere. Este legat de faptul că luăm în considerare deriva și varianța variabilei x constante, care pe intervalul de timp de la t la At sunt egale cu a(x, t) și respectiv b(x, t)2.
material de la synset
Aceste materiale sunt o versiune electronică prescurtată a cărții „Lumea Stochastică”. După conversia din LaTex, au apărut artefacte inevitabile, care vor fi eliminate treptat. Despre erorile sau omisiunile găsite în ultima versiune cerere serioasă raportați, de exemplu, în fila „discuție” din partea de sus a acestei pagini sau prin e-mail pe site-ul de matematică. Acest lucru vă va ajuta foarte mult la îmbunătățirea cărții. Sunt binevenite și comentariile generale: ce ți-a plăcut și ce nu. Pentru a citi cartea într-un browser web, ar trebui să citiți sfaturile privind configurarea browserului pentru o vizualizare mai confortabilă a formulelor.
Cu stimă, Stepanov Sergey Sergeevich.
evenimente aleatorii
Ecuații stocastice
Valorile medii ale proceselor stocastice
Probabilitățile proceselor stocastice
Integrale stocastice
Sisteme de ecuații
Natura stocastică
Societatea Stochastică
rezumat
evenimente aleatorii
Evenimente și procese absolut determinate nu există. Universul ne vorbește în limbajul teoriei probabilităților. Se presupune că Cititorul îl cunoaște bine, așa că sunt amintite doar faptele necesare pentru studierea ulterioară a subiectului.
Prima secțiune este introductivă, duce la necesitatea utilizării stocastice ecuatii diferentialeîn studiul diferitelor sisteme. Apoi este discutat conceptul de densitate de probabilitate, care permite calcularea valorilor observate în medie. Probabilitatea gaussiană stă la baza zgomotului care afectează dinamica deterministă. Legătura stocastică dintre variabile aleatoare și, dimpotrivă, independența lor sunt importante în detectarea tiparelor între diverse obiecte și caracteristicile acestora. Secțiunea cheie a capitolului este Model aditiv Walk. Generalizarea acestui model simplu ne va conduce în capitolul următor la ecuații diferențiale stocastice. Ultima secțiune Martingale și brânză gratuită conține o serie de definiții formale, care pot fi omise dacă se dorește.
Ecuații stocastice
Acest capitol este cheie. Prezintă principalul obiect matematic de interes - ecuațiile diferențiale stocastice. Vom folosi calea cea mai informală, intuitivă, crezând că obținerea unor rezultate practice specifice este mai importantă decât justificarea lor riguroasă din punct de vedere matematic.
Ecuațiile stocastice reprezintă o limită de timp-continuu destul de naturală a proceselor aleatoare discrete considerate în capitolul anterior. Chiar și atunci când rezolvăm o ecuație continuă, ne vom întoarce constant la omologul ei discret, atât pentru a obține rezultate analitice generale, cât și pentru simulări numerice. Un rezultat excepțional de important al capitolului este lema lui Ito, cu ajutorul căreia vom învăța cum să găsim soluții exacte ale ecuațiilor în unele probleme simple, dar importante pentru aplicații practice. Apoi sunt discutate metode de calculare a funcției de autocorelare a unui proces aleator și proprietățile spectrale ale acestuia. În concluzie, vom atinge tema sistemelor de ecuații, la care vom reveni mai consistent în capitolul al șaselea.
Medii
O ecuație diferențială pentru o funcție aleatorie x(t) este doar unul dintre limbajele posibile pentru descrierea unui proces stocastic. Într-o situație în care sistemul evoluează în timp, valorile medii se modifică și se supun anumitor ecuații diferențiale. De fapt, soluția lor este cea mai directă modalitate de a obține rezultate practic utile.
Începem acest capitol prin derivarea ecuației dinamice pentru medii. Se va utiliza pentru a obține o expresie simplă a densității de probabilitate într-o situație în care sistemul are un regim staționar. Analizăm apoi în detaliu două probleme stocastice: ecuația Feller și ecuația logistică. În concluzie, vom lua în considerare metoda de extindere a valorilor medii într-o serie de puteri în timp și aproximarea cvasi-deterministă.
Probabilități
O altă modalitate de a obține informații despre comportamentul unui proces stocastic este rezolvarea ecuațiilor pentru densitatea de probabilitate condiționată, căreia îi este dedicat acest capitol.
Pe exemple simple vor fi demonstrate metode de rezolvare a unor astfel de ecuaţii. Apoi vom lua în considerare problema condițiilor la limită, care sunt luate în considerare cel mai natural folosind ecuația Fokker-Planck. Se va calcula timpul mediu pentru a ajunge la limită și se va construi o metodă simplă de rezolvare a ecuației Fokker-Planck în prezența condițiilor la limită. Adesea scriem soluțiile ecuațiilor x(t) folosind o variabilă aleatorie gaussiană.
Integrale stocastice
Ca și în analiza obișnuită, dacă se definește diferențierea stocastică, atunci este firesc să se introducă și integrarea stocastică. Tehnica corespunzătoare ne va oferi un alt instrument pentru obținerea de relații pentru procese aleatoare uneori destul de generale. Aceasta este o secțiune foarte frumoasă a matematicii stocastice, care este, de asemenea, utilizată activ în literatura educațională și științifică.
Există două modificări infinitezimale în ecuațiile diferențiale, deriva proporțională cu dt și volatilitatea zgomotului. În consecință, sunt posibile două tipuri de integrale. În prima secțiune, luăm în considerare integralele stocastice peste dt, studiem proprietățile lor principale și găsim o reprezentare a unor integrale în termeni de variabile aleatoare obișnuite. A doua secțiune tratează integrala Itô peste . În plus, se vor obține condiții în care soluția ecuației diferențiale stocastice este unică și se va lua în considerare o metodă iterativă pentru construirea acestei soluții.
Sisteme de ecuații
Ecuațiile stocastice unidimensionale fac posibilă descrierea doar a sistemelor comparativ simple. Chiar și pentru un oscilator fizic obișnuit, este necesar să se rezolve un sistem de două ecuații de ordinul întâi. Realitatea în caz general-- este multidimensional. Ne oferă multe exemple de procese aleatorii destul de complexe, dar extrem de interesante.
Ca și în cazul unidimensional, vom începe cu procese discrete, a căror generalizare la cazul continuu ne va conduce la un sistem de ecuații diferențiale stocastice. De fapt, acest capitol repetă majoritatea rezultatelor capitolelor anterioare. Pentru cei care au încredere în algebra tensorală și matriceală, generalizările corespunzătoare servesc doar ca o modalitate de a repeta materialul deja cunoscut. După derivarea ecuațiilor multidimensionale de bază se vor lua în considerare soluțiile unor probleme.
Natura stocastică
Acest capitol oferă exemple de sisteme naturale care sunt descrise în mod natural folosind ecuații diferențiale stocastice. Aceste sisteme acoperă o gamă largă de aplicații de la fizică la biologie, dar nu necesită cunoștințe profunde în domeniile relevante. Majoritatea secțiunilor nu au legătură între ele și pot fi citite în orice ordine, independent unele de altele. Prima ecuație diferențială stocastică a fost scrisă de Paul Langevin în 1908. Aici începe acest capitol.
Societatea Stochastică
Acest capitol a colectat câteva exemple de aplicare a metodelor stocastice pe piețele financiare și economie. Natura volatilă a prețurilor și a indicatorilor economici duce la faptul că dinamica sistemelor corespunzătoare este esențial stocastică, iar termenul din ecuațiile Ito joacă un rol principal.
În primul rând, vom face o scurtă digresiune asupra piețelor financiare și a proprietăților empirice ale prețurilor instrumentelor financiare. Apoi luați în considerare teoria diversificării și coeficienții beta. Metodele stocastice sunt foarte utile atunci când se studiază instrumente financiare complexe. Un exemplu de astfel de instrument este o opțiune. Vom lua în considerare principalele sale proprietăți și două căi diferite derivăm formula Black-Scholes. După aceea, va fi luat în considerare un model simplu de curbă de randament cu un singur factor.
Detectarea semnalelor radar este incertă din cauza faptului că fluctuațiile aleatorii, sau „zgomotul”, sunt și ele prezente în același timp. Dacă ar fi posibil să se prezică valorile exacte ale tensiunilor sau curenților de zgomot, acestea ar putea fi scăzute din semnalul total și apoi s-ar putea lua o decizie definitivă fie cu privire la prezența, fie la absența unui semnal. Dar o astfel de predicție este imposibilă, deoarece tensiunile de zgomot apar datorită mișcării termice haotice a ionilor - și a electronilor în elementele receptorului și în spațiul din jurul antenei. Cel mai bun lucru care se poate face este de a descrie statistic fluctuațiile de tensiune în termeni de distribuții de probabilitate ale valorilor lor și de a utiliza aceste statistici pentru a proiecta un receptor care să realizeze cel mai mare număr posibil de detecții cu succes pe un număr mare de încercări. Acest capitol oferă o descriere statistică a zgomotului, iar capitolul următor introduce diverse criterii de succes și eșec în situații statistice, indicând ce considerații trebuie luate în considerare la căutarea designului optim al receptorului.
Dacă tensiunea la un moment dat în receptorul radar, cum ar fi grila primului tub de amplificare, ar fi înregistrată în funcție de timp, înregistrarea ar fi complet neregulată și s-ar părea că nu există nicio modalitate de a calcula sau prezice valorile. a acestei tensiuni fluctuante. Dacă tensiunile au fost înregistrate simultan în punctele corespunzătoare ale fiecăruia dintre setul de receptoare identice în aceleași condiții,
ar diferi în detaliu de la receptor la receptor. Cu toate acestea, unele proprietăți aproximative sau medii ale înregistrărilor ar fi aproape aceleași. Studiind un număr mare de astfel de înregistrări și determinând frecvențele relative cu care cantitățile luate în considerare iau diverse sensuri, este posibil să descriem statistic comportamentul tensiunilor fluctuante. O astfel de descriere este făcută în limbajul teoriei probabilităților, ceea ce face posibilă tragerea de concluzii logice despre proprietățile tensiunilor fluctuante. O scurtă prezentare generală a teoriei probabilităților este dată în Anexa B. Pentru o cunoaștere mai completă a acesteia, cititorul ar trebui să studieze unul dintre manualele enumerate în literatura de specialitate la Anexa B. În acest capitol, teoria probabilității va fi utilizată pentru a analiza fluctuațiile zgomotului.
O funcție a timpului precum înregistrarea tensiunii de fluctuație menționată mai sus se numește secvență de timp, iar un set de secvențe de timp ca cel obținut de la un număr mare de receptoare în aceleași condiții este cunoscut sub numele de ansamblu. O funcție aleatorie ale cărei valori sunt descrise doar de un sistem de distribuții de probabilitate, care va fi discutată mai detaliat mai jos, este adesea numită proces stocastic. Dacă măsurătorile sunt efectuate continuu în timp, are loc un proces stocastic continuu. În multe cazuri, cantitățile sunt măsurate numai în momente succesive separate în timp. Aceasta are ca rezultat un proces stocastic discret. Un exemplu pentru acestea din urmă sunt observațiile orare sau zilnice ale temperaturii la stațiile meteorologice. Ne vom ocupa în principal de procese continue, dar multe dintre concepte pot fi aplicate în aceeași măsură proceselor discrete. Fiecare membru al ansamblului este numit o realizare a procesului stocastic.
Dacă un membru al unui ansamblu de secvențe de timp este ales la întâmplare, probabilitatea ca valoarea lui x la un moment dat să fie între este
unde este funcția de densitate de probabilitate a variabilei x. Prin aceasta ne referim la cele de mai sus
exemplu următorul. Dacă tensiunile sunt măsurate în aceleași puncte într-un număr mare de receptoare identice, numărul de valori care se află într-un astfel de interval este egal cu lungimea intervalului înmulțit cu o lungime suficient de mică a intervalului). În multe cazuri, nu va depinde de momentul în care se fac măsurătorile. Funcția de densitate de probabilitate este baza descrierii statistice a unui proces stocastic, dar în sine este insuficientă, deoarece nu spune nimic despre modul în care valoarea lui x, măsurată la un moment dat, este legată de valorile măsurate la alte momente de timp.
Să notăm valorile secvenței de timp măsurate în momente succesive de timp prin funcția de densitate a distribuției comune de probabilitate
este definită prin afirmaţia că probabilitatea de îndeplinire a inegalităţilor
este egal Pentru o descriere completă a unui proces stocastic continuu, este necesar să se specifice funcțiile de distribuție pentru toate opțiunile posibile de puncte de timp pentru toate numerele întregi pozitive.Toate aceste funcții sunt normalizate astfel încât relația
conform definiţiei probabilităţii. În plus, ele trebuie să fie consecvente, astfel încât o funcție de distribuție de ordin inferior să poată fi obținută prin integrare peste
intervalul de modificare a variabilei „extra”. De exemplu,
Orice variabilă pentru care este valabilă egalitatea
sunt numite independente statistic.
Funcția densității distribuției comune este definită operațional folosind frecvențele relative de apariție a diferitelor combinații de valori pentru și punctele de timp considerate. Dar, evident, este imposibil să se determine sistemul complet de funcții de distribuție în acest fel. În schimb, pentru a obține distribuții ipotetice, se construiește o teorie a proceselor prin aplicarea legilor fizicii la situații care apar în domenii ale științei precum mecanica statistică sau termodinamica. Cu ajutorul teoriei proceselor stocastice se calculează unele valori medii care sunt disponibile pentru observare, iar valorile calculate sunt comparate cu cele găsite din experiență. Când situația este prea complexă pentru o astfel de analiză, precum în economie și probabil chiar în meteorologie, se propune un simplu „model” statistic pentru procesul stocastic. Acest model oferă o funcție de distribuție care conține mai mulți parametri necunoscuți ale căror valori sunt estimate pe baza datelor disponibile. Apoi se trag concluzii logice și, dacă este posibil, se face o comparație cu rezultatele observațiilor ulterioare. Din fericire, există o bază teoretică mare care ne permite să luăm în considerare procesele de zgomot electric care sunt întâlnite în problemele de detectare a semnalului. Unele fundamente fizice vor fi conturate mai jos, în Sec. 3. Dar mai întâi trebuie să discutăm câteva concepte care vor fi aplicate în analiza proceselor stocastice.
Atâta timp cât receptorul radar este menținut la o temperatură constantă și conectat la o antenă fixă,
care nu este afectat de semnal, descrierea statistică a zgomotului la receptor nu va depinde de alegerea referinței de timp. Aceasta înseamnă că densitatea distribuției comune de probabilitate depinde numai de intervalele dintre măsurători și nu de punctele de timp în sine.Asemenea procese stocastice sunt numite staționare. Dacă nu se specifică altfel, vom presupune că secvențele de timp studiate au această proprietate de invarianță sau staționaritate în timp.
O înregistrare lungă a unei singure implementări a unei secvențe de timp staționare de cele mai multe ori are aceleași proprietăți. Aparent, un număr mare de segmente preluate de la un membru al ansamblului vor crea un ansamblu cu aceleași proprietăți statistice ca și ansamblul principal. Dacă variabila măsurată este legată de sistem mecanic, ca un gaz, sau electric, ca un circuit, iar dacă în timp sistemul trece prin toate stările compatibile cu condițiile externe create de experimentator, ipoteza de mai sus este valabilă. În special, mediile găsite pe un eșantion lung pe o implementare a procesului sunt egale cu mediile pentru toți membrii ansamblului la un moment dat. Procesele stocastice cu această proprietate se numesc ergodice.
De exemplu, media sau „așteptarea matematică” a unei secvențe de timp staționare este definită de egalitatea
unde este funcția de densitate de probabilitate a unei singure observații. Această valoare medie a lui x nu depinde de timp. Pe de altă parte, media temporală x poate fi determinată prin formulă
Din cauza condiției de staționaritate, această medie de timp nu depinde de momentul în care începe media. Dacă, în plus, procesul stocastic este ergodic, același lucru este valabil și pentru așteptarea altor funcții ale argumentului x.
Este ușor să ne imaginăm procese care nu sunt ergodice, cum ar fi în cazul în care valoarea lui x se mișcă treptat într-o regiune pe care apoi nu o poate părăsi sau dacă există un număr de astfel de regiuni de „prindere”. Dar în această carte se va presupune că toate procesele de fluctuație studiate sunt ergodice. Validitatea unei astfel de presupuneri trebuie să se bazeze pe succesul teoriilor în care este acceptată, întrucât, deși această presupunere este confirmată de intuiție, este imposibil să o testăm experimental. Ipoteza ergodicității este esențială pentru orice probleme în care parametrii statistici trebuie estimați pe baza unei singure implementări experimentale a procesului.
Orice dezvoltare a unui proces în timp (fie deterministă sau probabilistică) atunci când este analizată din punct de vedere al probabilităților va fi un proces aleatoriu (cu alte cuvinte, toate procesele care se dezvoltă în timp, din punctul de vedere al teoriei probabilităților, sunt stocastice).
Stoasticitatea în matematică
Utilizarea termenului stocasticitateîn matematică atribuită lucrărilor lui Vladislav Bortskevich, care l-a folosit în sens ipoteza, care, la rândul său, ne trimite la filosofii greci antici, precum și la opera lui J. Bernoulli Ars Conjectandi (lat. arta ghicirii).
Domeniul cercetării aleatorii în matematică, în special în teoria probabilităților, joacă un rol important.
Utilizarea metodelor Monte Carlo necesită un număr mare variabile aleatoare, ceea ce a dus în consecință la dezvoltarea unor generatoare de numere pseudoaleatoare, care au fost mult mai rapide decât metodele de generare tabelară utilizate anterior pentru eșantionarea statistică.
Unul dintre programele în care sunt utilizate practic metodele Monte Carlo este MCNP.
Biologie
ÎN sisteme biologice a fost introdus conceptul de „zgomot stocastic”, care ajută la amplificarea semnalului de feedback intern. Este folosit pentru a controla metabolismul diabeticilor. Există și conceptul de „stochasticitate a semnalelor de vorbire”.
Medicament
Cancerul este un exemplu de astfel de efecte stocastice.
Scrieți o recenzie despre articolul „Stochasticitate”
Note
Legături
- de la Index Funds Advisors
- Muzica formalizată: gândire și matematică în compoziție de Iannis Xenakis, ISBN 1-57647-079-2
- Frecvența și apariția structurii lingvistice de Joan Bybee și Paul Hopper (eds.), ISBN 1-58811-028-1 /ISBN 90-272-2948-1 (Eur.)
Un fragment care caracterizează Stochasticitatea
„Nu, are dreptate”, gândi bătrâna prințesă, ale cărei convingeri au fost distruse înainte de apariția Alteței Sale. - Ea are dreptate; dar cum se face că în tinerețea noastră irecuperabilă nu știam asta? Și a fost atât de simplu”, s-a gândit bătrâna prințesă, urcând în trăsură.La începutul lunii august, cazul lui Helen a fost complet hotărât, iar ea i-a scris o scrisoare soțului ei (care credea că îi place foarte mult) în care îl informa despre intenția ei de a se căsători cu NN și că a intrat în singurul adevărat. religie și că ea îi cere să îndeplinească toate formalitățile necesare divorțului, pe care purtătorul acestei scrisori i le va transmite.
„Sur ce je prie Dieu, mon ami, de vous avoir sous sa sainte et puissante garde. Your amie Helene.
[„Atunci mă rog lui Dumnezeu ca tu, prietene, să fii sub acoperământul lui sfânt și puternic. Prietena ta Elena"]
Această scrisoare a fost adusă la casa lui Pierre în timp ce acesta se afla pe câmpul Borodino.
A doua oară, deja la sfârșitul bătăliei de la Borodino, după ce a scăpat din bateria Raevsky, Pierre cu mulțimi de soldați s-au îndreptat de-a lungul râpei spre Knyazkov, a ajuns la stația de toaletă și, văzând sânge și auzind țipete și gemete, a pornit în grabă. , amestecându-se în mulțimile de soldați.
Un lucru pe care Pierre și-l dorea acum cu toată puterea sufletului său era să iasă cât mai curând din acele impresii groaznice în care a trăit acea zi, să revină la condițiile obișnuite de viață și să adoarmă liniștit în camera de pe patul lui. Numai în condiții obișnuite de viață a simțit că va putea să se înțeleagă pe sine și tot ceea ce văzuse și trăise. Dar aceste condiții obișnuite de viață nu se găseau nicăieri.
Deși mingile și gloanțele nu fluierau aici de-a lungul drumului pe care mergea, dar din toate părțile era la fel ca acolo, pe câmpul de luptă. Erau aceleași fețe suferinde, chinuite și uneori ciudat de indiferente, același sânge, aceleași paltoane de soldat, aceleași sunete de împușcături, deși îndepărtate, dar totuși înspăimântătoare; în plus, era înfundat și praf.
După ce a mers vreo trei verste de-a lungul drumului înalt Mozhaisk, Pierre s-a așezat pe marginea lui.
Amurgul a coborât pe pământ, iar bubuitul armelor s-a domolit. Pierre, sprijinindu-se de braț, s-a întins și a rămas întins atât de mult timp, privind umbrele care se mișcau pe lângă el în întuneric. Necontenit i se părea că cu un fluier îngrozitor zbura spre el o ghiulea de tun; tresări şi se ridică. Nu-și amintea de cât timp era aici. În miezul nopții, trei soldați, târând crengi, s-au așezat lângă el și au început să facă foc.
Soldații, uitându-se pieziș la Pierre, au aprins un foc, i-au pus o pălărie melon, au prăbușit biscuiți în el și au pus untură. Mirosul plăcut al alimentelor comestibile și grase s-a contopit cu mirosul de fum. Pierre se ridică și oftă. Soldații (erau trei) au mâncat, fără să-i acorde atenție lui Pierre și au vorbit între ei.
- Da, care vei fi? unul dintre soldați s-a întors brusc către Pierre, înțelegând evident prin această întrebare ceea ce gândea Pierre și anume: dacă vrei să mănânci, vom da, doar spune-mi, ești un om cinstit?
- Eu? eu? .. - spuse Pierre, simțind nevoia să-și slăbească cât mai mult poziția socială pentru a fi mai aproape și mai de înțeles de soldați. - Sunt un adevărat ofițer de miliție, doar echipa mea nu este aici; Am venit la luptă și l-am pierdut pe al meu.
- Vezi! spuse unul dintre soldaţi.
Celălalt soldat clătină din cap.
- Ei bine, mănâncă, dacă vrei, kavardachka! – spuse primul și i-a dat lui Pierre, lingându-l, o lingură de lemn.
Pierre se aşeză lângă foc şi începu să mănânce kavardachok, mâncarea care se afla în oală şi care i se părea cea mai delicioasă dintre toate alimentele pe care le mâncase vreodată. În timp ce el, lacom, aplecându-se peste ceaun, luând linguri mari, mesteca una după alta și se vedea chipul la lumina focului, soldații îl priveau în tăcere.
- Unde ai nevoie? Tu spui! a întrebat din nou unul dintre ei.
- Sunt în Mozhaisk.
- Aţi devenit, domnule?
- Da.
- Care e numele tău?
- Piotr Kirilovici.
- Ei bine, Piotr Kirillovich, hai să mergem, te luăm. În întuneric complet, soldații, împreună cu Pierre, au mers la Mozhaisk.
Cocoșii cântau deja când au ajuns la Mozhaisk și au început să urce pe muntele abrupt al orașului. Pierre mergea împreună cu soldații, uitând complet că hanul lui se afla sub munte și că trecuse deja de el. Nu și-ar fi amintit acest lucru (era într-o asemenea stare de nedumerire) dacă bereatorul său nu ar fi dat peste el pe jumătatea muntelui, care s-a dus să-l caute prin oraș și s-a întors înapoi la hanul său. Proprietarul îl recunoscu pe Pierre după pălăria lui, care strălucea albă în întuneric.
„Excelența voastră”, a spus el, „suntem disperați. Ce te plimbi? Unde esti, te rog!
— O, da, spuse Pierre.
Soldații au făcut o pauză.
Ei bine, l-ai găsit pe al tău? spuse unul dintre ei.
- Ei bine, la revedere! Pyotr Kirillovich, se pare? La revedere, Piotr Kirillovich! au spus alte voci.
„La revedere”, spuse Pierre și se duse cu bereator la han.
— Trebuie să le dăm! gândi Pierre, întinzându-şi mâna spre buzunar. „Nu, nu”, i-a spus o voce.
În camerele superioare ale hanului nu era loc: toată lumea era ocupată. Pierre a intrat în curte și, acoperindu-se cu capul, s-a întins în trăsură.
De îndată ce Pierre îşi puse capul pe pernă, simţi că adoarme; dar deodată, cu claritatea aproape a realității, s-a auzit un bum, bum, bum de focuri, gemete, țipete, s-au auzit plesnirea obuzelor, s-a auzit un miros de sânge și de praf de pușcă și un sentiment de groază, de frică de moarte. l-a apucat. A deschis ochii de frică și și-a ridicat capul de sub pardesiu. Totul era liniște afară. Numai la poartă, vorbind cu portarul și stropindu-se prin noroi, mergea ceva ordonat. Deasupra capului lui Pierre, sub partea inferioară întunecată a baldachinului din scânduri, porumbei fluturau din cauza mișcării pe care o făcea în timp ce se ridica. Un miros liniștit, vesel pentru Pierre în acel moment, miros puternic de han, miros de fân, gunoi de grajd și gudron era turnat în toată curtea. Între cele două copertine negre se vedea un cer senin și înstelat.
„Mulțumesc lui Dumnezeu că asta nu mai este”, gândi Pierre, închizând din nou capul. „Oh, cât de groaznică este frica și cât de rușinos m-am predat ei! Și ei... au fost fermi, calmi tot timpul, până la capăt...” se gândi el. După înțelegerea lui Pierre, erau soldați - cei care erau pe baterie și cei care îl hrăneau și cei care se rugau la icoană. Ei - acești ciudați, până acum neștiuți de el, erau clar și tăios separați în gândurile lui de toți ceilalți oameni.
Nu poate fi determinată din starea inițială a sistemului.
Sistemele stocastice sunt sisteme în care schimbarea este aleatorie. Cu impacturi aleatorii, datele privind starea sistemului nu sunt suficiente pentru a prezice la un moment ulterior în timp.
Stochastic: Definiție a unui proces determinat de o serie de observații.
Vezi si
Fundația Wikimedia. 2010 .
Sinonime:Vedeți ce este „Stochastic” în alte dicționare:
- [gr. stochastikos care știe să ghicească] aleatoriu, probabilistic, dezordonat, imprevizibil. Dicționar de cuvinte străine. Komlev N.G., 2006. stochastic (gr. stochasis guess) aleatoriu sau probabilistic, de exemplu, p. proces proces, caracter ...... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse
Probabilistic, aleatoriu; imprevizibile. Furnică. natural, obligatoriu Dicționar de sinonime rusești. stocastic adj., număr de sinonime: 4 aleatoriu (44) ... Dicţionar de sinonime
Dicţionar enciclopedic mare
Controlat de legile teoriei probabilităților, aleatoriu. Dicţionar geologic: în 2 volume. M.: Nedra. Editat de K. N. Paffengolts și colab., 1978... Enciclopedia Geologică
Engleză stocastic; limba germana stochastisch. În statistici, aleatoriu sau probabil; de exemplu, procesul S. este un proces, natura schimbării în timp nu poate fi prezisă cu exactitate. antinazi. Enciclopedia de Sociologie, 2009... Enciclopedia Sociologiei
stocastică- o, o. stocastică, germană stochastisch gr. conjectura stochasisului. mat. Aleatoriu, care are loc cu o probabilitate care nu poate fi prevăzută. C.proces. Stochasticitate și, bine. Krysin 1998. Lex. TSB 2: Stochastic/Chesky... Dicționar istoric al galicismelor limbii ruse
stocastică- tikimybinis statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. vok stocastic. stochastischrus. pranc stocastic. stochastique ryšiai: sinonimas – stochastinis … Automatikos terminų žodynas
Aya, oh [greacă. stochasis ghici] Carte. Aleator, probabilistic, posibil. C adică schimbări în economie. C. procesul de evoluţie a naturii. * * * stocastic (din grecescul stochastikós știind să ghicească), aleatoriu, probabilistic ... Dicţionar enciclopedic
Stochastic- adică aleatoriu, fără un motiv regulat evident... Antropologie fizică. Dicționar explicativ ilustrat.
Stochastic- (din grecescul stochastikos care știe să ghicească) aleatoriu, probabilistic ... Începuturile științelor naturale moderne
Cărți
- , F. S. Nasyrov. Cartea este dedicată aplicării metodelor teoriei funcțiilor unei variabile reale și teoriei ecuațiilor diferențiale în analiza stocastică. acoperiri de material teorie generală ora locala pentru...
- Timpuri locali, integrale simetrice și analiză stocastică, Nasyrov F.S. Cartea este dedicată aplicării metodelor teoriei funcțiilor unei variabile reale și teoriei ecuațiilor diferențiale în analiza stocastică. Materialul acoperă teoria generală a timpurilor locale pentru...
