Ceea ce se numește un sistem de ecuații. Sisteme de ecuații

Materialul acestui articol este destinat primei cunoștințe cu sistemele de ecuații. Aici introducem definiția unui sistem de ecuații și soluțiile acestuia și, de asemenea, luăm în considerare cele mai comune tipuri de sisteme de ecuații. Ca de obicei, vom da exemple explicative.

Navigare în pagină.

Ce este un sistem de ecuații?

Vom aborda treptat definirea sistemului de ecuații. În primul rând, să spunem doar că este convenabil să o acordăm, subliniind două puncte: în primul rând, tipul de înregistrare și, în al doilea rând, semnificația încorporată în această înregistrare. Să ne oprim asupra lor pe rând și apoi să generalizăm raționamentul în definirea sistemelor de ecuații.

Să-i avem pe câțiva dintre ei în fața noastră. De exemplu, să luăm două ecuații 2 x+y=−3 și x=5 . Le scriem una sub alta și le unim cu o paranteză în stânga:

Înregistrările de acest fel, care sunt mai multe ecuații aranjate într-o coloană și unite în stânga cu o paranteză, sunt înregistrări ale sistemelor de ecuații.

Ce înseamnă astfel de înregistrări? Ei definesc mulțimea tuturor astfel de soluții ale ecuațiilor sistemului, care sunt soluția fiecărei ecuații.

Nu strica sa o descrii cu alte cuvinte. Să presupunem că unele soluții ale primei ecuații sunt soluții ale tuturor celorlalte ecuații ale sistemului. Și astfel, înregistrarea sistemului doar le desemnează.

Acum suntem gata să acceptăm în mod adecvat definiția unui sistem de ecuații.

Definiție.

Sisteme de ecuații se numesc inregistrari, care sunt ecuatii situate una sub alta, unite in stanga printr-o paranteza, care denota multimea tuturor solutiilor ecuatiilor care sunt simultan solutii la fiecare ecuatie a sistemului.

O definiție similară este dată în manual, dar acolo este dată nu pentru cazul general, ci pentru două ecuații raționale în două variabile.

Principalele tipuri

Este clar că există infinit de multe ecuații diferite. Desigur, există și infinite de sisteme de ecuații compilate folosindu-le. Prin urmare, pentru comoditatea studierii și a lucrului cu sisteme de ecuații, este logic să le împărțim în grupuri în funcție de caracteristici similare și apoi să treceți la luarea în considerare a sistemelor de ecuații de tipuri individuale.

Prima subdiviziune se sugerează prin numărul de ecuații incluse în sistem. Dacă există două ecuații, atunci putem spune că avem un sistem de două ecuații, dacă sunt trei, atunci un sistem de trei ecuații etc. Este clar că nu are sens să vorbim despre un sistem cu o ecuație, deoarece în acest caz, de fapt, avem de-a face cu ecuația în sine, și nu cu sistemul.

Următoarea împărțire se bazează pe numărul de variabile implicate în scrierea ecuațiilor sistemului. Dacă există o variabilă, atunci avem de-a face cu un sistem de ecuații cu o variabilă (se spune și cu o necunoscută), dacă sunt două, atunci cu un sistem de ecuații cu două variabile (cu două necunoscute), etc. De exemplu, este un sistem de ecuații cu două variabile x și y .

Aceasta se referă la numărul tuturor variabilelor diferite implicate în înregistrare. Nu trebuie să fie incluse toate deodată în înregistrarea fiecărei ecuații, este suficient să le aveți în cel puțin o ecuație. De exemplu, este un sistem de ecuații cu trei variabile x, y și z. În prima ecuație, variabila x este prezentă în mod explicit, în timp ce y și z sunt implicite (putem presupune că aceste variabile au zero), iar în a doua ecuație, x și z sunt prezente, iar variabila y nu este reprezentată explicit. Cu alte cuvinte, prima ecuație poate fi privită ca , iar al doilea ca x+0 y−3 z=0 .

Al treilea punct în care sistemele de ecuații diferă este forma ecuațiilor în sine.

La școală, studiul sistemelor de ecuații începe cu sisteme de doi ecuatii lineare cu două variabile. Adică, astfel de sisteme constituie două ecuații liniare. Iată câteva exemple: Și . Pe ele se învață elementele de bază ale lucrului cu sisteme de ecuații.

La rezolvarea unor probleme mai complexe, se pot întâlni și sisteme de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.

Mai departe, în clasa a IX-a, la sistemele de două ecuații cu două variabile se adaugă ecuații neliniare, în cea mai mare parte ecuații întregi de gradul doi, mai rar de grade superioare. Aceste sisteme sunt numite sisteme de ecuații neliniare; dacă este necesar, este specificat numărul de ecuații și necunoscute. Să arătăm exemple de astfel de sisteme de ecuații neliniare: Și .

Și apoi în sisteme există și, de exemplu,. Ele sunt de obicei numite simplu sisteme de ecuații, fără a specifica ce ecuații. Aici este de remarcat faptul că cel mai adesea ei spun pur și simplu „sistem de ecuații” despre un sistem de ecuații, iar rafinamentele sunt adăugate numai dacă este necesar.

În liceu, pe măsură ce materialul este studiat, ecuațiile iraționale, trigonometrice, logaritmice și exponențiale pătrund în sisteme: , , .

Dacă te uiți și mai departe în programul primelor cursuri ale universităților, atunci accentul principal este pus pe studiul și soluționarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE), adică a ecuațiilor, în părțile din stânga cărora sunt polinoame ale gradul întâi, iar în dreapta - niște numere. Dar acolo, spre deosebire de școală, nu sunt deja luate două ecuații liniare cu două variabile, ci un număr arbitrar de ecuații cu un număr arbitrar de variabile, de multe ori care nu coincid cu numărul de ecuații.

Care este soluția unui sistem de ecuații?

Termenul „soluție a unui sistem de ecuații” se referă direct la sisteme de ecuații. Școala oferă o definiție a rezolvării unui sistem de ecuații cu două variabile :

Definiție.

Rezolvarea unui sistem de ecuații cu două variabile se numește o pereche de valori ale acestor variabile, care transformă fiecare ecuație a sistemului în cea corectă, cu alte cuvinte, care este soluția fiecărei ecuații a sistemului.

De exemplu, o pereche de valori variabile x=5 , y=2 (se poate scrie ca (5, 2) ) este o soluție a unui sistem de ecuații prin definiție, deoarece ecuațiile sistemului, când x= 5 , y=2 sunt substituite în ele, se transformă în adevărate egalități numerice 5+2=7 și respectiv 5−2=3. Dar perechea de valori x=3, y=0 nu este o soluție pentru acest sistem, deoarece atunci când aceste valori sunt înlocuite în ecuații, prima dintre ele se va transforma într-o egalitate incorectă 3+0=7.

Definiții similare pot fi formulate pentru sisteme cu o variabilă, precum și pentru sisteme cu trei, patru etc. variabile.

Definiție.

Rezolvarea unui sistem de ecuații cu o variabilă va exista o valoare variabilă care este rădăcina tuturor ecuațiilor sistemului, adică care transformă toate ecuațiile în egalități numerice adevărate.

Să luăm un exemplu. Se consideră un sistem de ecuații cu o variabilă t de formă . Numărul −2 este soluția sa, deoarece ambele (−2) 2 =4 și 5·(−2+2)=0 sunt egalități numerice adevărate. Și t=1 nu este o soluție pentru sistem, deoarece înlocuirea acestei valori va da două egalități incorecte 1 2 =4 și 5·(1+2)=0 .

Definiție.

Rezolvarea unui sistem cu trei, patru etc. variabile numit triplu, cvadruplu etc. valorile variabilelor, respectiv, care convertesc toate ecuațiile sistemului în egalități adevărate.

Deci, prin definiție, triplul valorilor variabilelor x=1, y=2, z=0 este soluția sistemului , deoarece 2 1=2 , 5 2=10 și 1+2+0=3 sunt egalități numerice corecte. Și (1, 0, 5) nu este o soluție pentru acest sistem, deoarece atunci când aceste valori ale variabilelor sunt substituite în ecuațiile sistemului, a doua dintre ele se transformă într-o egalitate incorectă 5 0=10, iar a treia unul este de asemenea 1+0+5=3 .

Rețineți că sistemele de ecuații pot să nu aibă soluții, pot avea un număr finit de soluții, de exemplu, una, două, ... sau pot avea infinite de soluții. Veți vedea acest lucru pe măsură ce aprofundați subiectul.

Ținând cont de definițiile unui sistem de ecuații și ale soluțiilor acestora, putem concluziona că soluția unui sistem de ecuații este intersecția mulțimilor de soluții ale tuturor ecuațiilor sale.

În concluzie, iată câteva definiții înrudite:

Definiție.

incompatibil daca nu are solutii, in caz contrar se apeleaza sistemul comun.

Definiție.

Sistemul de ecuații se numește incert dacă are infinit de soluții și anumit, dacă are un număr finit de soluții sau nu are deloc.

Acești termeni sunt introduși, de exemplu, într-un manual, dar sunt folosiți rar la școală, mai des pot fi auziți în instituțiile de învățământ superior.

Bibliografie.

Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 7-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XVII-a, add. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
Mordkovich A.G. Algebră. Clasa a 9-a La ora 14:00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A.G. Algebra și începutul analizei matematice. Clasa a 11a. La ora 2. Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ ( nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a II-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
A. G. Kurosh. Curs de algebră superioară.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometrie analitică: Manual: Pentru universități. – Ed. a 5-a. – M.: Știință. Fizmatlit, 1999. - 224 p. – (Curs de matematică superioară și fizică matematică). – ISBN 5-02-015234 – X (Numărul 3)

În această lecție, vom lua în considerare metode de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare. În cursul matematicii superioare, sistemele de ecuații liniare trebuie să fie rezolvate atât sub formă de sarcini separate, de exemplu, „Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer”, cât și în cursul rezolvării altor probleme. Trebuie să se ocupe de sisteme de ecuații liniare în aproape toate ramurile matematicii superioare.

În primul rând, o mică teorie. Ce înseamnă cuvântul matematic „liniar” în acest caz? Aceasta înseamnă că în ecuațiile sistemului Toate sunt incluse variabilele în gradul întâi: fără chestii de lux ca etc., de la care doar participanții la olimpiadele matematice sunt încântați.

În matematica superioară, nu numai literele familiare din copilărie sunt folosite pentru a desemna variabile.
O opțiune destul de populară sunt variabilele cu indici: .
Sau literele inițiale ale alfabetului latin, mici și mari:
Nu este atât de rar să găsești litere grecești: - binecunoscute de mulți „alfa, beta, gama”. Și, de asemenea, un set cu indici, să zicem, cu litera „mu”:

Folosirea unuia sau altui set de litere depinde de ramura matematicii superioare în care ne confruntăm cu un sistem de ecuații liniare. Deci, de exemplu, în sistemele de ecuații liniare întâlnite în rezolvarea integralelor, ecuatii diferentiale notație folosită în mod tradițional

Dar indiferent de modul în care sunt desemnate variabilele, principiile, metodele și metodele de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare nu se schimbă de la aceasta. Astfel, dacă dai peste ceva groaznic de genul, nu te grăbi să închizi cartea cu probleme de frică, la urma urmei, în schimb poți desena soarele, în schimb - o pasăre, și în schimb - o față (a unui profesor). Și, în mod ciudat, se poate rezolva și un sistem de ecuații liniare cu aceste notații.

Ceva am o astfel de presimțire că articolul se va dovedi a fi destul de lung, deci un mic cuprins. Deci, „debriefingul” secvenţial va fi după cum urmează:

– Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin metoda substituției („metoda școlii”);
– Rezolvarea sistemului prin metoda adunării (scăderii) termen cu termen a ecuațiilor sistemului;
– Rezolvarea sistemului prin formulele lui Cramer;
– Rezolvarea sistemului folosind matricea inversă;
– Rezolvarea sistemului prin metoda Gauss.

Toată lumea este familiarizată cu sistemele de ecuații liniare de la cursul de matematică din școală. De fapt, începem cu repetarea.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin metoda substituției

Aceasta metoda poate fi numită și „metoda școlii” sau metoda eliminării necunoscutelor. Figurat vorbind, poate fi numită și „metoda Gauss pe jumătate terminată”.

Exemplul 1

Aici avem un sistem de două ecuații cu două necunoscute. Rețineți că termenii liberi (numerele 5 și 7) sunt localizați în partea stângă a ecuației. În general, nu contează unde se află, în stânga sau în dreapta, doar că în problemele de matematică superioară ele sunt adesea localizate așa. Și o astfel de înregistrare nu ar trebui să fie confuză, dacă este necesar, sistemul poate fi întotdeauna scris „ca de obicei”:. Nu uitați că atunci când transferați un termen dintr-o parte în parte, trebuie să îi schimbați semnul.

Ce înseamnă să rezolvi un sistem de ecuații liniare? Rezolvarea unui sistem de ecuații înseamnă găsirea mulțimii soluțiilor sale. Soluția sistemului este un set de valori ale tuturor variabilelor incluse în acesta, care transformă FIECARE ecuație a sistemului într-o adevărată egalitate. În plus, sistemul poate fi incompatibil (nu am solutii).Nu fi timid, aceasta este o definitie generala =) Vom avea o singura valoare a lui "x" si o valoare a lui "y", care satisfac fiecare ecuatie cu-noi.

Există o metodă grafică de rezolvare a sistemului, care poate fi găsită în lecție. Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă. Acolo am vorbit despre sens geometric sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute. Dar acum în curte este epoca algebrei, și numere-numere, acțiuni-acțiuni.

Noi decidem: din prima ecuație exprimăm:
Inlocuim expresia rezultata in a doua ecuatie:

Deschidem parantezele, dăm termeni similari și găsim valoarea:

În continuare, ne amintim din ce au dansat:
Știm deja valoarea, rămâne de găsit:

Răspuns:

După ce ORICE sistem de ecuații a fost rezolvat în ORICE mod, recomand cu tărie verificarea (oral, pe o ciornă sau pe calculator). Din fericire, acest lucru se face rapid și ușor.

1) Înlocuiți răspunsul găsit în prima ecuație:

- se obţine egalitatea corectă.

2) Inlocuim raspunsul gasit in a doua ecuatie:

- se obţine egalitatea corectă.

Sau, pentru a spune mai simplu, „totul a venit împreună”

Metoda de rezolvare avută în vedere nu este singura; din prima ecuație s-a putut exprima , dar nu .
Puteți și invers - exprimați ceva din a doua ecuație și înlocuiți-l în prima ecuație. Apropo, rețineți că cea mai dezavantajoasă dintre cele patru moduri este de a exprima din a doua ecuație:

Se obțin fracții, dar de ce? Există o soluție mai rațională.

Cu toate acestea, în unele cazuri, fracțiile sunt încă indispensabile. În acest sens, vă atrag atenția asupra CUM am scris expresia. Nu așa: și nicidecum așa: .

Dacă la matematică superioară aveți de-a face cu numere fracționale, atunci încercați să efectuați toate calculele în fracții improprii obișnuite.

Mai exact, nu sau!

O virgulă poate fi folosită doar ocazional, în special dacă este răspunsul final la o problemă și nu trebuie efectuate alte acțiuni cu acest număr.

Mulți cititori probabil s-au gândit „de ce o explicație atât de detaliată, ca pentru o clasă de corecție, și totul este clar”. Nimic de genul, pare a fi un exemplu de școală atât de simplu, dar câte concluzii FOARTE importante! Iată încă una:

Orice sarcină ar trebui să fie îndeplinită în cel mai rațional mod.. Numai pentru că economisește timp și nervi și, de asemenea, reduce probabilitatea de a face o greșeală.

Dacă într-o sarcină de matematică superioară întâlniți un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute, atunci puteți utiliza întotdeauna metoda substituției (cu excepția cazului în care se indică faptul că sistemul trebuie rezolvat printr-o altă metodă).
Mai mult decât atât, în unele cazuri, metoda substituției este indicată de utilizat cu un număr mai mare de variabile.

Exemplul 2

Rezolvați un sistem de ecuații liniare cu trei necunoscute

Un sistem similar de ecuații apare adesea atunci când se utilizează așa-numita metodă a coeficienților nedeterminați, când găsim integrala unei funcții fracționale raționale. Sistemul cu pricina a fost luat de mine de acolo.

La găsirea integralei - scopul rapid găsiți valorile coeficienților și nu fiți sofisticați cu formulele lui Cramer, metoda matrice inversă etc. Prin urmare, în acest caz, metoda de substituție este adecvată.

Când este dat orice sistem de ecuații, în primul rând este de dorit să aflăm, dar este posibil să-l simplificăm cumva IMMEDIAT? Analizând ecuațiile sistemului, observăm că a doua ecuație a sistemului poate fi împărțită la 2, ceea ce facem:

Referinţă: un simbol matematic înseamnă „de la aceasta urmează aceasta”, este adesea folosit în cursul rezolvării problemelor.

Acum analizăm ecuațiile, trebuie să exprimăm o variabilă prin restul. Ce ecuație să alegi? Probabil ați ghicit deja că cel mai simplu mod în acest scop este să luați prima ecuație a sistemului:

Aici, nu contează ce variabilă să exprimăm, la fel de bine s-ar putea exprima sau .

În continuare, înlocuim expresia pentru în a doua și a treia ecuație a sistemului:

Deschideți parantezele și adăugați termeni similari:

Împărțim a treia ecuație la 2:

Din a doua ecuație, exprimăm și substituim în a treia ecuație:

Aproape totul este gata, din a treia ecuație găsim:
Din a doua ecuație:
Din prima ecuație:

Verificați: Înlocuiți valorile găsite ale variabilelor din partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului:

1)
2)
3)

Se obțin părțile din dreapta corespunzătoare ale ecuațiilor, astfel încât soluția este găsită corect.

Exemplul 3

Rezolvați un sistem de ecuații liniare cu 4 necunoscute

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției).

Rezolvarea sistemului prin adunarea (scăderea) termen cu termen a ecuațiilor sistemului

În timpul rezolvării sistemelor de ecuații liniare, ar trebui să încercați să folosiți nu „metoda școlii”, ci metoda adunării (scăderii) termen cu termen a ecuațiilor sistemului. De ce? Acest lucru economisește timp și simplifică calculele, cu toate acestea, acum va deveni mai clar.

Exemplul 4

Rezolvați sistemul de ecuații liniare:

Am luat același sistem ca primul exemplu.
Analizând sistemul de ecuații, observăm că coeficienții variabilei sunt identici în valoare absolută și opuși în semn (–1 și 1). În această situație, ecuațiile pot fi adăugate termen cu termen:

Acțiunile încercuite cu roșu sunt efectuate MENTAL.
După cum puteți vedea, ca urmare a adunării pe termeni, am pierdut variabila . Aceasta, de fapt, este esența metodei este de a scăpa de una dintre variabile.

Rezolvați sistemul cu două necunoscute - aceasta înseamnă găsirea tuturor perechilor de valori variabile care satisfac fiecare dintre ecuațiile date. Fiecare astfel de pereche este numită soluție de sistem.

Exemplu:
Perechea de valori $x=3$;$y=-1$ este o soluție pentru primul sistem, deoarece prin înlocuirea acestor triple și minus în sistem în loc de $x$ și \ (y\), ambele ecuații devin egalități valide $\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases) $

Dar $x=1$; $y=-2$ - nu este o soluție pentru primul sistem, deoarece după înlocuire a doua ecuație „nu converge” $\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)$

Rețineți că astfel de perechi sunt adesea scrise mai scurt: în loc de „$x=3$; $y=-1$” se scriu astfel: $(3;-1)$.

Cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare?

Există trei moduri principale de a rezolva sisteme de ecuații liniare:

Metoda de înlocuire.

$\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)$$\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cazuri)$$\Săgeată la stânga$

Înlocuiți expresia rezultată în locul acestei variabile într-o altă ecuație a sistemului.

$\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)$$\Leftrightarrow$

$\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)$

În a doua ecuație, fiecare termen este par, așa că simplificăm ecuația împărțind-o la $2$.

$\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)$

Acest sistem poate fi rezolvat în oricare dintre moduri, dar mi se pare că metoda de substituție este cea mai convenabilă aici. Să exprimăm y din a doua ecuație.

$\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)$

Înlocuiți $6x-13$ cu $y$ în prima ecuație.

$\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)$

Prima ecuație a devenit normală. O rezolvam.

Să deschidem mai întâi parantezele.

$\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)$

Să ne deplasăm $117$ la dreapta și să dăm termeni similari.

$\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)$

Împărțiți ambele părți ale primei ecuații la $67$.

$\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)$

Ura, am găsit $x$! Înlocuiți valoarea acesteia în a doua ecuație și găsiți $y$.

$\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)$$\Leftrightarrow$$\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases) )$

Să scriem răspunsul.

Cu acest videoclip, încep o serie de lecții despre sistemele de ecuații. Astăzi vom vorbi despre rezolvarea sistemelor de ecuații liniare metoda de adăugare- este unul dintre cei mai moduri simple dar și una dintre cele mai eficiente.

Metoda de adăugare constă din trei pași simpli:

Priviți sistemul și alegeți o variabilă care are aceiași (sau opuși) coeficienți în fiecare ecuație;
Efectuați scăderea algebrică (pentru numere opuse - adunare) a ecuațiilor între ele, apoi aduceți termeni similari;
Rezolvați noua ecuație obținută după a doua etapă.

Dacă totul este făcut corect, atunci la ieșire vom obține o singură ecuație cu o variabilă- Nu va fi greu de rezolvat. Apoi, rămâne doar să înlocuiți rădăcina găsită în sistemul original și să obțineți răspunsul final.

Cu toate acestea, în practică, nu este atât de simplu. Există mai multe motive pentru aceasta:

Rezolvarea ecuațiilor prin adunare implică faptul că toate rândurile trebuie să conțină variabile cu aceiași/opuși coeficienți. Ce se întâmplă dacă această cerință nu este îndeplinită?
Nu întotdeauna, după adăugarea/scăderea ecuațiilor în acest fel, vom obține o construcție frumoasă, care se rezolvă ușor. Este posibil să simplificați cumva calculele și să grăbiți calculele?

Pentru a obține un răspuns la aceste întrebări și, în același timp, pentru a face față unor subtilități suplimentare pe care mulți studenți „căd”, urmăriți tutorialul meu video:

Cu această lecție, începem o serie de prelegeri despre sistemele de ecuații. Și vom începe cu cele mai simple dintre ele, și anume cele care conțin două ecuații și două variabile. Fiecare dintre ele va fi liniară.

Sistemele este un material de clasa a VII-a, dar această lecție va fi utilă și pentru elevii de liceu care doresc să-și perfecționeze cunoștințele pe această temă.

În general, există două metode de rezolvare a unor astfel de sisteme:

Metoda de adunare;
O metodă de exprimare a unei variabile în termenii alteia.

Astăzi ne vom ocupa de prima metodă - vom folosi metoda scăderii și adunării. Dar pentru aceasta trebuie să înțelegeți următorul fapt: odată ce aveți două sau mai multe ecuații, puteți lua oricare dintre ele și le puteți adăuga împreună. Se adaugă termen cu termen, adică. „Xs” se adaugă la „X” și se dau altele similare;

Rezultatele unor astfel de mașinațiuni vor fi o nouă ecuație, care, dacă are rădăcini, ele vor fi cu siguranță printre rădăcinile ecuației originale. Deci sarcina noastră este să facem scăderea sau adunarea în așa fel încât fie $x$, fie $y$ să dispară.

Cum să realizați acest lucru și ce instrument să folosiți pentru aceasta - vom vorbi despre asta acum.

Rezolvarea problemelor ușoare folosind metoda adunării

Deci, învățăm să aplicăm metoda adunării folosind exemplul a două expresii simple.

Sarcina 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Rețineți că $y$ are un coeficient de $-4$ în prima ecuație și $+4$ în a doua. Ele sunt reciproc opuse, așa că este logic să presupunem că, dacă le adunăm, atunci, în cantitatea rezultată, „jocurile” se vor anihila reciproc. Adăugăm și obținem:

Rezolvăm cea mai simplă construcție:

Grozav, am găsit X-ul. Ce să faci cu el acum? Îl putem înlocui în oricare dintre ecuații. Să o punem în prima:

\[-4y=12\left| :\stânga(-4 \dreapta) \dreapta.\]

Răspuns: $\left(2;-3\right)$.

Sarcina #2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Aici, situația este complet asemănătoare, doar cu X-urile. Să le punem împreună:

Avem cea mai simplă ecuație liniară, să o rezolvăm:

Acum să găsim $x$:

Răspuns: $\left(-3;3\right)$.

Puncte importante

Deci, tocmai am rezolvat două sisteme simple de ecuații liniare folosind metoda adunării. Încă o dată punctele cheie:

Dacă există coeficienți opuși pentru una dintre variabile, atunci este necesar să adăugați toate variabilele din ecuație. În acest caz, unul dintre ele va fi distrus.
Înlocuim variabila găsită în oricare dintre ecuațiile sistemului pentru a găsi a doua.
Înregistrarea finală a răspunsului poate fi prezentată în diferite moduri. De exemplu, așa - $x=...,y=...$, sau sub formă de coordonate ale punctelor - $\left(...;... \right)$. A doua varianta este de preferat. Principalul lucru de reținut este că prima coordonată este $x$, iar a doua este $y$.
Regula de a scrie răspunsul sub formă de coordonate punct nu este întotdeauna aplicabilă. De exemplu, nu poate fi folosit când rolul variabilelor nu este $x$ și $y$, ci, de exemplu, $a$ și $b$.

În următoarele probleme, vom lua în considerare tehnica scăderii atunci când coeficienții nu sunt opuși.

Rezolvarea problemelor ușoare folosind metoda scăderii

Sarcina 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Rețineți că aici nu există coeficienți opuși, dar există coeficienți identici. Prin urmare, scădem a doua ecuație din prima ecuație:

Acum înlocuim valoarea lui $x$ în oricare dintre ecuațiile sistemului. Să mergem mai întâi:

Răspuns: $\left(2;5\right)$.

Sarcina #2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Vedem din nou același coeficient $5$ pentru $x$ în prima și a doua ecuație. Prin urmare, este logic să presupunem că trebuie să scădeți a doua din prima ecuație:

Am calculat o variabilă. Acum să-l găsim pe al doilea, de exemplu, înlocuind valoarea lui $y$ în al doilea construct:

Răspuns: $\left(-3;-2 \right)$.

Nuanțe ale soluției

Deci ce vedem? În esență, schema nu este diferită de soluția sistemelor anterioare. Singura diferență este că nu adunăm ecuații, ci le scădem. Facem scăderi algebrice.

Cu alte cuvinte, de îndată ce vezi un sistem format din două ecuații cu două necunoscute, primul lucru la care trebuie să te uiți sunt coeficienții. Dacă oriunde sunt aceleași, ecuațiile se scad, iar dacă sunt opuse, se aplică metoda adunării. Acest lucru se face întotdeauna astfel încât unul dintre ele să dispară, iar în ecuația finală care rămâne după scădere ar rămâne o singură variabilă.

Desigur, asta nu este tot. Acum vom lua în considerare sistemele în care ecuațiile sunt în general inconsecvente. Acestea. nu există astfel de variabile în ele care ar fi fie aceleași, fie opuse. În acest caz, pentru a rezolva astfel de sisteme, se folosește o tehnică suplimentară și anume înmulțirea fiecărei ecuații cu un coeficient special. Cum să-l găsești și cum să rezolvi astfel de sisteme în general, acum vom vorbi despre asta.

Rezolvarea problemelor prin înmulțirea cu un coeficient

Exemplul #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vedem că nici pentru $x$ și nici pentru $y$ coeficienții nu sunt doar opuși reciproc, dar în general nu se corelează în niciun fel cu o altă ecuație. Acești coeficienți nu vor dispărea în niciun fel, chiar dacă adunăm sau scădem ecuațiile unul de la celălalt. Prin urmare, este necesar să se aplice înmulțirea. Să încercăm să scăpăm de variabila $y$. Pentru a face acest lucru, înmulțim prima ecuație cu coeficientul $y$ din a doua ecuație, iar a doua ecuație cu coeficientul $y$ din prima ecuație, fără a schimba semnul. Înmulțim și obținem un nou sistem:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Să ne uităm la asta: pentru $y$, coeficienți opuși. Într-o astfel de situație, trebuie folosită metoda de adăugare. Să adăugăm:

Acum trebuie să găsim $y$. Pentru a face acest lucru, înlocuiți $x$ în prima expresie:

\[-9y=18\left| :\stânga(-9 \dreapta) \dreapta.\]

Răspuns: $\left(4;-2\right)$.

Exemplul #2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Din nou, coeficienții pentru niciuna dintre variabile nu sunt consecvenți. Să înmulțim cu coeficienții la $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Noul nostru sistem este echivalent cu cel anterior, dar coeficienții lui $y$ sunt reciproc opuși și, prin urmare, este ușor să aplicați metoda de adunare aici:

Acum găsiți $y$ înlocuind $x$ în prima ecuație:

Răspuns: $\left(-2;1\right)$.

Nuanțe ale soluției

Regula cheie aici este următoarea: înmulțiți întotdeauna numai cu numere pozitive - acest lucru vă va scuti de greșelile stupide și ofensive asociate cu schimbarea semnelor. În general, schema de soluții este destul de simplă:

Ne uităm la sistem și analizăm fiecare ecuație.
Dacă vedem că nici pentru $y$ și nici pentru $x$ coeficienții sunt consecvenți, adică. ele nu sunt nici egale, nici opuse, atunci facem următoarele: selectați variabila de care scăpați, apoi priviți coeficienții din aceste ecuații. Dacă înmulțim prima ecuație cu coeficientul din a doua, și înmulțim a doua coeficient de la prima, atunci în final vom obține un sistem complet echivalent cu cel precedent, iar coeficienții la $y $ va fi consistent. Toate acțiunile sau transformările noastre au drept scop doar obținerea unei variabile într-o ecuație.
Găsim o variabilă.
Inlocuim variabila gasita intr-una din cele doua ecuatii ale sistemului si o gasim pe a doua.
Scriem răspunsul sub formă de coordonate de puncte, dacă avem variabile $x$ și $y$.

Dar chiar și un astfel de algoritm simplu are propriile sale subtilități, de exemplu, coeficienții lui $x$ sau $y$ pot fi fracții și alte numere „urâte”. Vom lua acum în considerare aceste cazuri separat, deoarece în ele puteți acționa într-un mod ușor diferit decât conform algoritmului standard.

Rezolvarea problemelor cu numere fracționale

Exemplul #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

În primul rând, rețineți că a doua ecuație conține fracții. Dar rețineți că puteți împărți 4$ la 0,8$. Primim 5$. Să înmulțim a doua ecuație cu $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Scădem ecuațiile una de la alta:

$n$ am găsit, acum calculăm $m$:

Răspuns: $n=-4;m=5$

Exemplul #2

\[\left\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ dreapta.\]

Aici, ca și în sistemul anterior, există coeficienți fracționali, totuși, pentru niciuna dintre variabile, coeficienții nu se potrivesc unul cu celălalt de un număr întreg de ori. Prin urmare, folosim algoritmul standard. Scapa de $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

Să folosim metoda de scădere:

Să găsim $p$ substituind $k$ în al doilea construct:

Răspuns: $p=-4;k=-2$.

Nuanțe ale soluției

Asta e tot optimizare. În prima ecuație, nu am înmulțit cu nimic, iar a doua ecuație a fost înmulțită cu $5$. Ca rezultat, am obținut o ecuație consistentă și chiar aceeași pentru prima variabilă. În cel de-al doilea sistem, am acționat conform algoritmului standard.

Dar cum să găsești numerele cu care trebuie să înmulți ecuațiile? La urma urmei, dacă înmulțim cu numere fracționale, obținem noi fracții. Prin urmare, fracțiile trebuie înmulțite cu un număr care ar da un nou întreg, iar după aceea, variabilele trebuie înmulțite cu coeficienți, urmând algoritmul standard.

În concluzie, aș dori să vă atrag atenția asupra formatului înregistrării răspunsului. După cum am spus deja, deoarece aici nu avem $x$ și $y$ aici, ci alte valori, folosim o notație non-standard de forma:

Rezolvarea sistemelor complexe de ecuații

Ca o atingere finală a tutorialului video de astăzi, să ne uităm la câteva sisteme cu adevărat complexe. Complexitatea lor va consta in faptul ca vor contine variabile atat in stanga cat si in dreapta. Prin urmare, pentru a le rezolva, va trebui să aplicăm preprocesare.

Sistemul #1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Fiecare ecuație are o anumită complexitate. Prin urmare, cu fiecare expresie, să facem ca la o construcție liniară normală.

În total, obținem sistemul final, care este echivalent cu cel inițial:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Să ne uităm la coeficienții lui $y$: $3$ se încadrează în $6$ de două ori, așa că înmulțim prima ecuație cu $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Coeficienții lui $y$ sunt acum egali, așa că îi scadem pe al doilea din prima ecuație: $$

Acum să găsim $y$:

Răspuns: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistemul #2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Să transformăm prima expresie:

Să ne ocupăm de al doilea:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

În total, sistemul nostru inițial va lua următoarea formă:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Privind coeficienții lui $a$, vedem că prima ecuație trebuie înmulțită cu $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Pe a doua o scădem din prima construcție:

Acum găsiți $a$:

Răspuns: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Asta e tot. Sper că acest tutorial video vă va ajuta să înțelegeți acest subiect dificil, și anume, rezolvarea sistemelor de ecuații liniare simple. Vor fi mult mai multe lecții pe această temă în continuare: vom analiza exemple mai complexe, unde vor fi mai multe variabile, iar ecuațiile în sine vor fi deja neliniare. Pe curând!

Rezolvarea sistemelor liniare ecuații algebrice(SLAE) este, fără îndoială, cel mai important subiect al cursului de algebră liniară. Un număr mare de probleme din toate ramurile matematicii sunt reduse la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acești factori explică motivul creării acestui articol. Materialul articolului este selectat și structurat astfel încât cu ajutorul lui să puteți

alege metoda optimă pentru rezolvarea sistemului tău de ecuații algebrice liniare,
studiază teoria metodei alese,
rezolvați sistemul dvs. de ecuații liniare, luând în considerare în detaliu soluțiile exemplelor și problemelor tipice.

Scurtă descriere a materialului articolului.

În primul rând, dăm toate definițiile și conceptele necesare și introducem unele notații.

În continuare, avem în vedere metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și care au o soluție unică. În primul rând, să ne concentrăm pe metoda Cramer, în al doilea rând, vom prezenta metoda matriceală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații, iar în al treilea rând, vom analiza metoda Gauss (metoda eliminării succesive a variabilelor necunoscute). Pentru a consolida teoria, cu siguranță vom rezolva mai multe SLAE-uri în diferite moduri.

După aceea, se procedează la rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau matricea principală a sistemului este degenerată. Să formulăm teorema Kronecker - Capelli, care ne permite să stabilim compatibilitatea SLAE. Să analizăm soluția sistemelor (în cazul compatibilității lor) folosind conceptul de bază minoră a unei matrice. Vom lua în considerare și metoda Gauss și vom descrie în detaliu soluțiile exemplelor.

Asigurați-vă că vă opriți asupra structurii soluției generale a sistemelor omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare. Să prezentăm conceptul unui sistem fundamental de soluții și să arătăm cum să scriem decizie comună SLAE cu ajutorul vectorilor sistemului fundamental de soluții. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la câteva exemple.

În concluzie, luăm în considerare sistemele de ecuații care se reduc la cele liniare, precum și diverse probleme, în soluția cărora apar SLAE-uri.

Navigare în pagină.

Definiții, concepte, denumiri.

Vom lua în considerare sisteme de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute (p poate fi egal cu n ) de forma

Variabile necunoscute, - coeficienți (unele numere reale sau complexe), - membri liberi (și numere reale sau complexe).

Această formă de SLAE se numește coordona.

ÎN formă matriceală acest sistem de ecuații are forma ,
Unde - matricea principală a sistemului, - matricea-coloana de variabile necunoscute, - matricea-coloana de membri liberi.

Dacă adăugăm la matricea A ca (n + 1)-a coloană coloana matricei de termeni liberi, atunci obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, matricea mărită este desemnată cu litera T, iar coloana de membri liberi este separată printr-o linie verticală de restul coloanelor, adică

Prin rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare numit un set de valori ale variabilelor necunoscute, care transformă toate ecuațiile sistemului în identități. Ecuația matriceală pentru valorile date ale variabilelor necunoscute se transformă și ea într-o identitate.

Dacă un sistem de ecuații are cel puțin o soluție, atunci se numește comun.

Dacă sistemul de ecuații nu are soluții, atunci se numește incompatibil.

Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit; dacă există mai multe soluții, atunci - incert.

Dacă termenii liberi ai tuturor ecuațiilor sistemului sunt egali cu zero , atunci sistemul este apelat omogen, in caz contrar - eterogen.

Rezolvarea sistemelor elementare de ecuații algebrice liniare.

Dacă numărul de ecuații de sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci vom numi astfel de SLAE-uri elementar. Astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul unui sistem omogen, toate variabilele necunoscute sunt egale cu zero.

Am început să studiem astfel de SLAE-uri în liceu. Când le-am rezolvat, am luat o ecuație, am exprimat o variabilă necunoscută în termenii altora și am înlocuit-o în ecuațiile rămase, apoi am luat următoarea ecuație, am exprimat următoarea variabilă necunoscută și am înlocuit-o în alte ecuații și așa mai departe. Sau au folosit metoda adunării, adică au adăugat două sau mai multe ecuații pentru a elimina unele variabile necunoscute. Nu ne vom opri în detaliu asupra acestor metode, deoarece sunt în esență modificări ale metodei Gauss.

Principalele metode de rezolvare a sistemelor elementare de ecuații liniare sunt metoda Cramer, metoda matriceală și metoda Gauss. Să le rezolvăm.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda lui Cramer.

Să rezolvăm un sistem de ecuații algebrice liniare

în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, adică .

Fie determinantul matricei principale a sistemului, și sunt determinanţi ai matricelor care se obţin din A prin înlocuire 1, 2, …, al n-lea coloana respectiv la coloana de membri liberi:

Cu o astfel de notație, variabilele necunoscute sunt calculate prin formulele metodei lui Cramer ca . Așa se găsește soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare prin metoda Cramer.

Exemplu.

Metoda Cramer .

Soluţie.

Matricea principală a sistemului are forma . Calculați determinantul acestuia (dacă este necesar, consultați articolul):

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer.

Compuneți și calculați determinanții necesari (determinantul se obține prin înlocuirea primei coloane din matricea A cu o coloană de membri liberi, determinantul - prin înlocuirea coloanei a doua cu o coloană de membri liberi, - prin înlocuirea celei de-a treia coloane a matricei A cu o coloană de membri liberi ):

Găsirea variabilelor necunoscute folosind formule :

Răspuns:

Principalul dezavantaj al metodei lui Cramer (dacă poate fi numită un dezavantaj) este complexitatea calculării determinanților atunci când numărul de ecuații ale sistemului este mai mare de trei.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei (folosind matricea inversă).

Fie sistemul de ecuații algebrice liniare dat sub formă de matrice , unde matricea A are dimensiunea n cu n și determinantul său este diferit de zero.

Deoarece , atunci matricea A este inversabilă, adică există o matrice inversă . Dacă înmulțim ambele părți ale egalității cu din stânga, atunci obținem o formulă pentru găsirea matricei coloanei de variabile necunoscute. Deci am obținut soluția sistemului de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații liniare metoda matricei.

Soluţie.

Rescriem sistemul de ecuații sub formă de matrice:

Deoarece

atunci SLAE poate fi rezolvat prin metoda matricei. Folosind matricea inversă, soluția acestui sistem poate fi găsită ca .

Să construim o matrice inversă folosind o matrice de complemente algebrice ale elementelor matricei A (dacă este necesar, vezi articolul):

Rămâne de calculat - matricea variabilelor necunoscute prin înmulțirea matricei inverse pe coloana-matrice a membrilor liberi (dacă este necesar, vezi articolul):

Răspuns:

sau într-o altă notație x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Problema principală în găsirea de soluții la sisteme de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei este complexitatea găsirii matricei inverse, în special pentru matrice pătrată de ordin mai mare decât a treia.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss.

Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în excluderea succesivă a variabilelor necunoscute: mai întâi, x 1 este exclus din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua, apoi x 2 este exclus din toate ecuațiile, începând de la a treia, și așa mai departe, până la doar variabila necunoscută. x n rămâne în ultima ecuație. Se numește un astfel de proces de transformare a ecuațiilor sistemului pentru eliminarea succesivă a variabilelor necunoscute metoda Gauss directă. După finalizarea executării directe a metodei gaussiene, x n este găsit din ultima ecuație, x n-1 este calculat din penultima ecuație folosind această valoare și așa mai departe, x 1 este găsit din prima ecuație. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit metoda Gauss inversă.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Excludem variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, adăugați prima ecuație înmulțită cu la a doua ecuație a sistemului, adăugați prima înmulțită cu la a treia ecuație și așa mai departe, adăugați prima înmulțită cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un .

Am ajunge la același rezultat dacă am exprima x 1 în termeni de alte variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am înlocui expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, acționăm în mod similar, dar numai cu o parte a sistemului rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, adăugați al doilea înmulțit cu la a treia ecuație a sistemului, adăugați al doilea înmulțit cu la a patra ecuație și așa mai departe, adăugați al doilea înmulțit cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, trecem la eliminarea necunoscutului x 3, acționând în același timp cu partea din sistem marcată în figură

Deci continuăm cursul direct al metodei Gauss până când sistemul ia forma

Din acest moment începem cursul invers al metodei Gauss: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea x n obținută găsim x n-1 din penultima ecuație, și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuaţie.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații liniare metoda gaussiana.

Soluţie.

Să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la ambele părți ale celei de-a doua și a treia ecuații, adăugăm părțile corespunzătoare ale primei ecuații, înmulțite cu și, respectiv, cu:

Acum eliminăm x 2 din a treia ecuație adăugând la stânga ei și părțile potrivite laturile stânga și dreapta ale celei de-a doua ecuații, înmulțite cu:

Pe aceasta, cursul înainte al metodei Gauss este finalizat, începem cursul invers.

Din ultima ecuație a sistemului de ecuații rezultat, găsim x 3:

Din a doua ecuație obținem .

Din prima ecuație găsim variabila necunoscută rămasă și aceasta completează cursul invers al metodei Gauss.

Răspuns:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

ÎN caz general numărul de ecuații de sistem p nu se potrivește cu numărul de variabile necunoscute n:

Astfel de SLAE-uri pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă infinite de soluții. Această afirmație se aplică și sistemelor de ecuații a căror matrice principală este pătrată și degenerată.

Teorema Kronecker-Capelli.

Înainte de a găsi o soluție la un sistem de ecuații liniare, este necesar să se stabilească compatibilitatea acestuia. Răspunsul la întrebarea când SLAE este compatibil și când este incompatibil dă Teorema Kronecker–Capelli:
pentru ca un sistem de p ecuații cu n necunoscute (p poate fi egal cu n ) să fie compatibil este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică Rank( A)=Rang(T).

Să considerăm ca exemplu aplicarea teoremei Kronecker-Cappelli pentru determinarea compatibilității unui sistem de ecuații liniare.

Exemplu.

Aflați dacă sistemul de ecuații liniare are solutii.

Soluţie.

. Să folosim metoda limitării minorilor. Minor de ordinul doi diferit de zero. Să trecem peste minorii de ordinul trei care îl înconjoară:

Deoarece toți minorii de ordinul al treilea învecinați sunt egali cu zero, rangul matricei principale este de doi.

La rândul său, rangul matricei augmentate este egal cu trei, deoarece minorul de ordinul al treilea

diferit de zero.

Prin urmare, Rang(A) , prin urmare, conform teoremei Kronecker-Capelli, putem concluziona că sistemul original de ecuații liniare este inconsecvent.

Răspuns:

Nu există un sistem de soluții.

Deci, am învățat să stabilim inconsistența sistemului folosind teorema Kronecker-Capelli.

Dar cum să găsești soluția SLAE dacă compatibilitatea acestuia este stabilită?

Pentru a face acest lucru, avem nevoie de conceptul de bază minoră a unei matrice și de teorema privind rangul unei matrice.

Minorul de ordinul cel mai înalt al matricei A, altul decât zero, este numit de bază.

Din definirea bazei minore rezultă că ordinea acesteia este egală cu rangul matricei. Pentru o matrice A diferită de zero, pot exista mai multe minore de bază; există întotdeauna un minor de bază.

De exemplu, luați în considerare matricea .

Toate minorele de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero, deoarece elementele celui de-al treilea rând al acestei matrice sunt suma elementelor corespunzătoare din primul și al doilea rând.

Următorii minori de ordinul doi sunt de bază, deoarece nu sunt zero

Minorii nu sunt de bază, deoarece sunt egale cu zero.

Teorema rangului matricei.

Dacă rangul unei matrice de ordinul p cu n este r, atunci toate elementele rândurilor (și coloanelor) ale matricei care nu formează baza minoră aleasă sunt exprimate liniar în termenii elementelor corespunzătoare ale rândurilor (și coloanelor). ) care formează baza minoră.

Ce ne oferă teorema rangului matricei?

Dacă, prin teorema Kronecker-Capelli, am stabilit compatibilitatea sistemului, atunci alegem orice minor de bază al matricei principale a sistemului (ordinea sa este egală cu r) și excludem din sistem toate ecuațiile care nu formează minorul de bază ales. SLAE obținut în acest fel va fi echivalent cu cel inițial, deoarece ecuațiile aruncate sunt încă redundante (conform teoremei rangului matricei, ele sunt o combinație liniară a ecuațiilor rămase).

Ca urmare, după eliminarea ecuațiilor excesive ale sistemului, sunt posibile două cazuri.

Dacă numărul de ecuații r din sistemul rezultat este egal cu numărul de variabile necunoscute, atunci acesta va fi definit și singura soluție poate fi găsită prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Exemplu.

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemului este egal cu doi, deoarece minorul de ordinul doi diferit de zero. Rang matrice extins este, de asemenea, egal cu doi, deoarece singurul minor de ordinul al treilea este egal cu zero

iar minorul de ordinul doi considerat mai sus este diferit de zero. Pe baza teoremei Kronecker-Capelli, se poate afirma compatibilitatea sistemului original de ecuații liniare, deoarece Rank(A)=Rank(T)=2 .

Ca bază minoră, luăm . Este format din coeficienții primei și celei de-a doua ecuații:

A treia ecuație a sistemului nu participă la formarea minorului de bază, așa că o excludem din sistemul bazat pe teorema rangului matricei:

Astfel am obținut un sistem elementar de ecuații algebrice liniare. Să o rezolvăm prin metoda lui Cramer:

Răspuns:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Dacă numărul de ecuații r din SLAE rezultat este mai mic decât numărul de variabile necunoscute n, atunci lăsăm termenii care formează minorul de bază în părțile din stânga ecuațiilor și transferăm termenii rămași în părțile din dreapta ale ecuațiilor. a sistemului cu semnul opus.

Variabilele necunoscute (există r dintre ele) rămase în partea stângă a ecuațiilor se numesc principal.

Sunt numite variabile necunoscute (există n - r) care au ajuns în partea dreaptă gratuit.

Acum presupunem că variabilele necunoscute libere pot lua valori arbitrare, în timp ce principalele variabile necunoscute r vor fi exprimate în termeni de variabile necunoscute libere într-un mod unic. Expresia lor poate fi găsită prin rezolvarea SLAE rezultată prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Să luăm un exemplu.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Aflați rangul matricei principale a sistemului prin metoda minorilor limitrofe. Să luăm un 1 1 = 1 ca un minor de ordinul întâi diferit de zero. Să începem să căutăm un minor de ordinul doi diferit de zero în jurul acestui minor:

Așa că am găsit un minor diferit de zero de ordinul doi. Să începem să căutăm un minor de ordinul al treilea care nu se limitează la zero:

Astfel, rangul matricei principale este de trei. Rangul matricei augmentate este, de asemenea, egal cu trei, adică sistemul este consecvent.

Minorul non-zero găsit de ordinul al treilea va fi luat drept cel de bază.

Pentru claritate, arătăm elementele care formează baza minoră:

Lăsăm termenii care participă la minorul de bază în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm restul cu semne opuse în partea dreaptă:

Oferim variabilelor necunoscute libere x 2 și x 5 valori arbitrare, adică luăm , unde sunt numere arbitrare. În acest caz, SLAE ia forma

Rezolvăm sistemul elementar de ecuații algebrice liniare obținut prin metoda Cramer:

Prin urmare, .

În răspuns, nu uitați să indicați variabile necunoscute gratuite.

Răspuns:

Unde sunt numerele arbitrare.

Rezuma.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații algebrice liniare de formă generală, aflăm mai întâi compatibilitatea acestuia folosind teorema Kronecker-Capelli. Dacă rangul matricei principale nu este egal cu rangul matricei extinse, atunci ajungem la concluzia că sistemul este inconsecvent.

Dacă rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci alegem minorul de bază și renunțăm la ecuațiile sistemului care nu participă la formarea minorului de bază ales.

Dacă ordinea bazei minore este egală cu numărul de variabile necunoscute, atunci SLAE are o soluție unică, care poate fi găsită prin orice metodă cunoscută de noi.

Dacă ordinea bazei minore este mai mică decât numărul de variabile necunoscute, atunci lăsăm termenii cu principalele variabile necunoscute în partea stângă a ecuațiilor sistemului, transferăm termenii rămași în partea dreaptă și atribuim valori arbitrare. la variabilele necunoscute libere. Din sistemul de ecuații liniare rezultat, găsim principalele variabile necunoscute prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Folosind metoda Gauss, se pot rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare de orice fel fără investigația lor preliminară pentru compatibilitate. Procesul de eliminare succesivă a variabilelor necunoscute face posibilă tragerea unei concluzii atât despre compatibilitatea, cât și despre inconsecvența SLAE, iar dacă există o soluție, face posibilă găsirea acesteia.

Din punct de vedere al muncii computaționale, este de preferat metoda Gaussiană.

Priveste descriere detaliatași a analizat exemple în articolul Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Înregistrarea soluției generale a sistemelor algebrice liniare omogene și neomogene folosind vectorii sistemului fundamental de soluții.

În această secțiune, ne vom concentra asupra sistemelor comune omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare care au un număr infinit de soluții.

Să ne ocupăm mai întâi de sisteme omogene.

Sistem de decizie fundamental Un sistem omogen de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute este o mulțime de (n – r) soluții liniar independente ale acestui sistem, unde r este ordinul bazei minore a matricei principale a sistemului.

Dacă desemnăm soluții liniar independente ale unui SLAE omogen ca X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sunt coloane de matrice de dimensiunea n prin 1 ) , atunci soluția generală a acestui sistem omogen este reprezentată ca o combinație liniară de vectori ai sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrari С 1 , С 2 , …, С (n-r), adică .

Ce înseamnă termenul de soluție generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (oroslau)?

Semnificația este simplă: formula specifică toate soluțiile posibile la SLAE inițial, cu alte cuvinte, luând orice set de valori ale constantelor arbitrare C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , conform formulei pe care o avem va obține una dintre soluțiile SLAE omogen original.

Astfel, dacă găsim un sistem fundamental de soluții, atunci putem seta toate soluțiile acestui SLAE omogen ca .

Să arătăm procesul de construire a unui sistem fundamental de soluții pentru un SLAE omogen.

Alegem minorul de bază al sistemului original de ecuații liniare, excludem toate celelalte ecuații din sistem și transferăm în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semne opuse toți termenii care conțin variabile necunoscute libere. Să dăm variabilelor necunoscute libere valorile 1,0,0,…,0 și să calculăm principalele necunoscute prin rezolvarea sistemului elementar rezultat de ecuații liniare în orice mod, de exemplu, prin metoda Cramer. Astfel, se va obține X (1) - prima soluție a sistemului fundamental. Dacă dăm necunoscutelor libere valorile 0,1,0,0,…,0 și calculăm principalele necunoscute, atunci obținem X (2) . Și așa mai departe. Dacă dăm variabilelor necunoscute libere valorile 0,0,…,0,1 și calculăm principalele necunoscute, atunci obținem X (n-r) . Așa se va construi sistemul fundamental de soluții al SLAE omogen și soluția sa generală poate fi scrisă sub forma .

Pentru sistemele neomogene de ecuații algebrice liniare, soluția generală este reprezentată ca

Să ne uităm la exemple.

Exemplu.

Aflați sistemul fundamental de soluții și soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemelor omogene de ecuații liniare este întotdeauna egal cu rangul matricei extinse. Să găsim rangul matricei principale prin metoda franjării minorilor. Ca un minor de ordinul întâi, diferit de zero, luăm elementul a 1 1 = 9 din matricea principală a sistemului. Găsiți minorul de ordinul doi care se limitează la zero:

Se găsește un minor de ordinul doi, diferit de zero. Să trecem prin minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta în căutarea unuia diferit de zero:

Toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei principale și extinse este de doi. Să luăm minorul de bază. Pentru claritate, notăm elementele sistemului care îl formează:

A treia ecuație a SLAE originală nu participă la formarea minorului de bază, prin urmare, poate fi exclusă:

Lăsăm termenii care conțin principalele necunoscute în partea dreaptă a ecuațiilor și transferăm termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă:

Să construim un sistem fundamental de soluții la sistemul omogen original de ecuații liniare. Sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE constă din două soluții, deoarece SLAE original conține patru variabile necunoscute, iar ordinea minorului său de bază este două. Pentru a găsi X (1), dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații
.