Să considerăm un triunghi arbitrar ABC și un punct D care nu se află în planul acestui triunghi. Conectați acest punct cu segmente la vârfurile triunghiului ABC. Ca rezultat, obținem triunghiuri ADC , CDB , ABD . Suprafața delimitată de patru triunghiuri ABC, ADC, CDB și ABD se numește tetraedru și se notează DABC.
Triunghiurile care alcătuiesc un tetraedru se numesc fețele sale.
Laturile acestor triunghiuri se numesc margini ale tetraedrului. Și vârfurile lor sunt vârfurile unui tetraedru
Tetraedrul are 4 fețe, 6 coasteși 4 vârfuri.
Două coaste care nu au varf comun sunt numite opuse.
Adesea, pentru comoditate, se numește una dintre fețele tetraedrului bază, iar celelalte trei fețe sunt fețe laterale.
Astfel, tetraedrul este cel mai simplu poliedru, ale cărui fețe sunt patru triunghiuri.
Dar este și adevărat că orice piramidă triunghiulară arbitrară este un tetraedru. Atunci este și adevărat că se numește tetraedru o piramidă cu un triunghi la bază.
Înălțimea tetraedrului numit segment care leagă un vârf de un punct situat pe faţa opusă şi perpendicular pe acesta.
Mediana unui tetraedru numit segment care leagă vârful cu punctul de intersecție al medianelor feței opuse.
tetraedru bimedian se numește segment care leagă punctele medii ale muchiilor de încrucișare ale tetraedrului.
Deoarece un tetraedru este o piramidă cu bază triunghiulară, volumul oricărui tetraedru poate fi calculat folosind formula
- S este zona oricărei fețe,
- H- înălțimea coborâtă la această față
Tetraedru obișnuit - un tip special de tetraedru
Un tetraedru în care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale se numește corect.
Proprietățile unui tetraedru regulat:
- Toate marginile sunt egale.
- Toate unghiurile plane ale unui tetraedru obișnuit sunt de 60°
- Deoarece fiecare dintre vârfurile sale este un vârf de trei triunghiuri regulate, suma unghiurilor plane de la fiecare vârf este de 180°
- Orice vârf al unui tetraedru regulat este proiectat către ortocentrul feței opuse (până la punctul de intersecție al înălțimilor triunghiului).
Să ni se dă un tetraedru regulat ABCD cu muchii egale cu a . DH este înălțimea sa.
Să facem construcții suplimentare BM - înălțimea triunghiului ABC și DM - înălțimea triunghiului ACD .
Înălțimea BM este egală cu BM și este egală
Luați în considerare triunghiul BDM , unde DH , care este înălțimea tetraedrului, este și înălțimea acestui triunghi.
Înălțimea unui triunghi coborât pe latura MB poate fi găsită folosind formula
, Unde
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Înlocuiți aceste valori în formula înălțimii. obține
Să scoatem 1/2a. obține
Aplicați formula diferența de pătrate
După câteva transformări minore, obținem
Volumul oricărui tetraedru poate fi calculat folosind formula
,
Unde ,
Înlocuind aceste valori, obținem
Astfel, formula de volum pentru un tetraedru obișnuit este
Unde A– marginea tetraedrului
Calcularea volumului unui tetraedru dacă sunt cunoscute coordonatele vârfurilor acestuia
Să ni se dea coordonatele vârfurilor tetraedrului
Desenați vectori din vârful , , .
Pentru a găsi coordonatele fiecăruia dintre acești vectori, scădeți coordonatele de început corespunzătoare din coordonatele de sfârșit. obține
Din formula de bază pentru volumul unui tetraedru
Unde S este zona oricărei fețe și H- înălțimea coborâtă pe acesta, puteți deriva un număr de formule care exprimă volumul în termeni de diferite elemente ale tetraedrului. Dăm aceste formule pentru tetraedru ABCD.
(2) ,
unde ∠ ( ANUNȚ,ABC) este unghiul dintre muchie ANUNȚși planul de față ABC;
(3) ,
unde ∠ ( ABC,ABD) este unghiul dintre fețe ABCși ABD;
unde | AB,CD| - distanta dintre coastele opuse ABși CD, ∠ (AB,CD) este unghiul dintre aceste muchii.
Formulele (2)–(4) pot fi folosite pentru a găsi unghiurile dintre drepte și plane; Este deosebit de utilă formula (4), cu ajutorul căreia puteți găsi distanța dintre liniile oblice ABși CD.
Formulele (2) și (3) sunt similare cu formula S = (1/2)ab păcat C pentru aria unui triunghi. Formulă S = rp formula similara
Unde r este raza sferei înscrise a tetraedrului, Σ este suprafața sa totală (suma ariilor tuturor fețelor). Există, de asemenea, o formulă frumoasă care leagă volumul unui tetraedru cu o rază R domeniul de aplicare descris ( Formula Crelle):
unde Δ este aria unui triunghi ale cărui laturi sunt numeric egale cu produsele muchiilor opuse ( AB× CD, AC× BD,ANUNȚ× î.Hr). Din formula (2) și teorema cosinusului pentru unghiuri triedrice (vezi Trigonometrie sferică), se poate deriva o formulă similară cu formula lui Heron pentru triunghiuri.
Definiția unui tetraedru
Tetraedru- cel mai simplu corp poliedric, ale cărui fețe și bază sunt triunghiuri.
Calculator online
Un tetraedru are patru fețe, fiecare dintre ele formată din trei laturi. Tetraedrul are patru vârfuri, fiecare cu trei margini.
Acest organism este împărțit în mai multe tipuri. Mai jos este clasificarea lor.
- Tetraedru izoedric- toate fețele sale sunt aceleași triunghiuri;
- tetraedru ortocentric- toate înălțimile trasate de la fiecare vârf până la fața opusă au aceeași lungime;
- Tetraedru dreptunghiular- muchiile care emană dintr-un vârf formează un unghi de 90 de grade între ele;
- cadru;
- Proporțional;
- incentric.
Formule ale volumului tetraedrului
Volumul unui corp dat poate fi găsit în mai multe moduri. Să le analizăm mai detaliat.
Prin produsul mixt al vectorilor
Dacă tetraedrul este construit pe trei vectori cu coordonate:
A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)A= (A X , A y , A z )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b X , b y , b z )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c X , c y , c z ) ,
atunci volumul acestui tetraedru este produsul mixt al acestor vectori, adică un astfel de determinant:
Volumul unui tetraedru prin determinantV = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_x & c_vmatrix & c_vmatrix )V =6 1 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ A X b X c X A y b y c y A z b z c z ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
Sarcina 1Sunt cunoscute coordonatele celor patru vârfuri ale octaedrului. A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9), B(8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D (7 , 1 2 , 1 ). Găsiți-i volumul.
Soluţie
A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9)
B(8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D (7 , 1 2 , 1 )
Primul pas este de a determina coordonatele vectorilor pe care este construit corpul dat.
Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți fiecare coordonată a vectorului scăzând coordonatele corespunzătoare a două puncte. De exemplu, coordonatele vectoriale A B → \overrightarrow(AB) A B, adică un vector direcționat dintr-un punct A A A până la punctul B B B, acestea sunt diferențele coordonatelor corespunzătoare ale punctelor B B Bși A A A:
A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )
A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C=
(1
−
1
,
2
−
4
,
3
−
9
)
=
(0
,
−
2
,
−
6
)
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -opt)ANUNȚ=
(7
−
1
,
1
2
−
4
,
1
−
9
)
=
(6
,
8
,
−
8
)
Acum găsim produsul mixt al acestor vectori, pentru aceasta compunem un determinant de ordinul trei, presupunând în același timp că A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= A, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)ANUNȚ= c.
∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ − 1−1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6) \cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ A X b X cX Ay by cy Az bz cz ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 7 0 6 3 − 2 8 − 6 − 6 − 8 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8
Adică volumul unui tetraedru este:
V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = 1 6 ⋅ ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 1 6 ⋅ ∣ = 1 6 ⋅ 268 ⋅ 268 ⋅ 4 ⋅ 268 ⋅ 4 ⋅ 268 ⋅ 268 ⋅ 268 ⋅ (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)=\frac(1)(6)\cdot \begin(vmatrix) 7 & 3 & - 6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=\frac(1)(6)\cdot268\approx44.8\text( cm)^3
Răspuns
44,8 cm3. 44,8\text(cm)^3.
Formula pentru volumul unui tetraedru izoedric de-a lungul laturii sale
Această formulă este valabilă doar pentru calcularea volumului unui tetraedru izoedric, adică a unui tetraedru în care toate fețele sunt triunghiuri regulate identice.
Volumul unui tetraedru izoedricV = 2 ⋅ a 3 12 V=\frac(\sqrt(2)\cdot a^3)(12)
a a
Sarcina 2Aflați volumul unui tetraedru dacă latura lui este dată egală cu 11 cm 11\text( cm)
Soluţie
a=11 a=11
Substitui a a
V = 2 ⋅ a 3 12 = 2 ⋅ 1 1 3 12 ≈ 156.8 cm 3 3)(12)\approx156.8\text(cm)^3
Răspuns
156,8 cm3. 156,8\text(cm)^3.