Tenk på en variabel som adlyder en Markov stokastisk prosess. La oss anta at dens nåværende verdi er 10, og endringen i løpet av året beskrives av funksjonen 0(0, 1), der a) er en normal sannsynlighetsfordeling med matematisk forventning // og standardavvik o. Hvilken sannsynlighetsfordeling beskriver endringen i denne variabelen over to år?
Endringen i variabelen etter to år beskrives ved summen av to normalfordelinger med null matematiske forventninger og enhetsstandardavvik. Fordi variabelen er Markovian, er disse fordelingene uavhengige av hverandre. Ved å legge til to uavhengige normalfordelinger får vi en normalfordeling, hvis matematiske forventning er lik summen av de matematiske forventningene til hvert av leddene, og variansen er summen av deres varians. Dermed er den matematiske forventningen til endringer i variabelen som vurderes over to år null, og variansen er 2,0. Derfor er endringen i variabelens verdi etter to år en tilfeldig variabel med en sannsynlighetsfordeling φ(0, %/2).
Vurder deretter endringen i variabelen over seks måneder. Variansen av endringer i denne variabelen i løpet av ett år er lik summen av variansene til disse endringene i løpet av første og andre seks måneder. Vi antar at disse variasjonene er de samme. Da er variansen av endringer i variabelen over seks måneder 0,5, og standardavviket er 1/0,5. Derfor er sannsynlighetsfordelingen for endringen i variabelen i løpet av seks måneder φ(0, \DW)
Lignende resonnement lar oss bevise at endringen i variabelen over tre måneder har en fordeling på 0(0, ^/0,25). Generelt sett er endringen av en variabel over en tidsperiode med lengde T beskrevet av sannsynlighetsfordelingen φ(0, \[T) ).
Kvadratrøttene i disse uttrykkene kan virke merkelige. De oppstår fra det faktum at i analysen av en Markov-prosess, summeres variansene av endringer i en variabel på påfølgende tidspunkter, men standardavvik gjør det ikke. I vårt eksempel er variansen av endringer i en variabel i løpet av ett år 1,0, så variansen av endringer i denne variabelen for to år er 2,0, og etter tre år er den 3,0. Samtidig er standardavviket
av endringer i variabler etter to og tre år er henholdsvis \/2 og \/3. Vi skal strengt tatt ikke si at standardavviket for endringer i en variabel på ett år er 1,0 per år. Det skal sies at det er lik "kvadratroten av enhet per år." Dette forklarer hvorfor mengden av usikkerhet ofte anses å være proporsjonal med kvadratroten av tid.
Wiener-prosesser
Prosessen som variabelen diskutert ovenfor er gjenstand for kalles Wiener-prosessen. Det er et spesielt tilfelle av Markovs stokastiske prosess, når forventningen til endringer i variabelen er null, og deres varians er 1,0. Denne prosessen er mye brukt i fysikk for å beskrive bevegelsen til en partikkel involvert i et stort antall kollisjoner med molekyler (dette fenomenet kalles brownsk bevegelse(Brownsk bevegelse)).
Formelt sett adlyder en variabel z en Wiener-prosess hvis den har følgende egenskaper.
EIENDOM 1. Endringen i Az over et lite tidsintervall At tilfredsstiller likheten
Az = ey/At, (12.1)
hvor e er en tilfeldig variabel som følger den standardiserte normalfordelingen φ(0,1).
Egenskap 2. Verdiene Az på to små tidsintervaller At er uavhengige.
Det følger av den første egenskapen at mengden Az har en normalfordeling, der den matematiske forventningen er lik null, standardavviket er lik VAt, og variansen er lik At. Den andre egenskapen betyr at kvantum 2 følger en Markov-prosess.
Betrakt en økning i variabelen z over en relativt lang tidsperiode T. Denne endringen kan betegnes som z(T) - z(0). Den kan representeres som summen av økningen i variabelen r over N relativt små tidsintervaller med lengde At. Her
Derfor,
z(t)z(o) = J2?^t' (12.2)
r=1
hvor?r,r = 1,2,...,LG er stokastiske variabler som har en sannsynlighetsfordeling φ(0,1). Av den andre egenskapen til Wiener-prosessen følger det at mengdene?
?; er uavhengige av hverandre. Det følger av uttrykk (12.2) at den stokastiske variabelen z(T) - z(0) har en normalfordeling, hvor den matematiske forventningen er null, variansen er NAt = T, og standardavviket er y/T. Disse konklusjonene stemmer overens med resultatene angitt ovenfor. Eksempel 12.1
Anta at verdien av r til en tilfeldig variabel som adlyder Wiener-prosessen i det første øyeblikket er 25, og tiden måles i år. Ved utgangen av det første året er verdien av variabelen normalfordelt med en forventet verdi på 25 og et standardavvik på 1,0. Ved utgangen av det femte året har verdien av variabelen en normalfordeling med et gjennomsnitt på 25 og et standardavvik på n/5, dvs. 2.236. Usikkerheten til en variabels verdi på et tidspunkt i fremtiden, målt ved standardavviket, øker med Kvadratrot fra lengden på det forutsagte intervallet. ?
I matematisk analyse er overgangen til grensen mye brukt, når verdien av små endringer har en tendens til null. For eksempel, når At -> 0, blir mengden Ax = aAt til mengden dx = adt. I analysen av stokastiske prosesser brukes lignende notasjon. For eksempel, som At -> 0, tenderer prosessen Az beskrevet ovenfor til Wiener-prosessen dz.
På fig. Figur 12.1 viser hvordan banen til variabelen z endres som At -> 0. Merk at denne grafen er taggete. Dette er fordi endringen i variabelen z over tid At er proporsjonal med verdien av v^Af, og når verdien av At blir liten, er tallet \/At mye større enn At. På grunn av dette har Wiener-prosessen to spennende egenskaper.
1. Den forventede lengden på banen som variabelen z reiser i løpet av en hvilken som helst tidsperiode er uendelig.
2. Det forventede antallet treff av variabelen z med en bestemt verdi i en hvilken som helst tidsperiode er uendelig.
Generalisert wienerprosess
Driftshastigheten, eller driftkoeffisienten, til en stokastisk prosess er den gjennomsnittlige endringen i en variabel per tidsenhet, og variansraten, eller diffusjonskoeffisienten, er mengden fluktuasjon per tidsenhet. Driftshastigheten til hoved Wiener-prosessen dz diskutert ovenfor er null og variansen er 1,0. Nulldrift betyr at den forventede verdien av variabelen z til enhver tid er lik dens nåværende verdi. Enhetsvariansen til prosessen betyr at variansen av endringen i variabelen z i tidsintervallet T er lik lengden.
Ris. 12.1. Endring i aksjekurs i eksempelet
Den generaliserte Wiener-prosessen for x kan defineres i form av dz som følger.
dx - adt + bdz, (12.3)
hvor a og b er konstanter.
For å forstå betydningen av ligning (12.3), er det nyttig å vurdere de to begrepene på høyre side hver for seg. Begrepet a dt betyr at forventet drifthastighet til variabelen x er 0 enheter per tidsenhet. Uten det andre leddet blir likning (12.3) til likning
dx=adt,
hvor det følger det
dx
Integrering av denne ligningen over tid, får vi
x = xo + a?,
hvor xo er verdien av variabelen x ved null tid. Således, over en tidsperiode T, øker variabelen x med verdien av ee. Begrepet b dz kan tenkes på som støy, eller variasjon i banen som variabelen x reiser. Størrelsen på denne støyen er b ganger større enn verdien av Wiener-prosessen. Standardavviket til Wiener-prosessen er 1,0. Det følger at standardavviket til b dz er lik b. På korte tidsintervaller AL bestemmes endringen i variabelen x av ligningene (12.1) og (12.3).
Ax \u003d aAb+bEY / Ab,
hvor e, som før, er en stokastisk variabel med en standardisert normalfordeling. Så, mengden Ax har en normalfordeling, den matematiske forventningen er lik aAb, standardavviket er 6n/D7, og variansen er b2D/. Lignende resonnement kan vise at endringen i variabelen x i løpet av et vilkårlig tidsintervall T har en normalfordeling med den matematiske forventningen c.T, standardavvik bu/T og varians b2T. Dermed er den forventede drifthastigheten til den generaliserte Wiener-prosessen (12.3) (dvs. gjennomsnittlig driftendring per tidsenhet) lik a, og variansen (dvs. variansen til variabelen per tidsenhet) er b2. Denne prosessen er vist i fig. 12.2. La oss illustrere nedlastingen med følgende eksempel.
Eksempel 12.2
Tenk på en situasjon der andelen av et selskaps eiendeler investert i kortsiktige kontantposisjoner (kontantposisjon) målt i tusenvis av dollar er gjenstand for en generalisert Wiener-prosess med en driftrate på $20 000 per år og en variasjon på $900 000 per år. år. I første øyeblikk er andelen av eiendeler $ 50 000. Etter et år vil denne andelen av eiendeler ha en normalfordeling med en matematisk forventning på $ 70 000 og et standardavvik på l/900, dvs. 30 USD. Seks måneder senere vil den bli normalfordelt med en forventning på 60 000 USD og et standardavvik på 30 USD\DC >= 21,21 USD. Usikkerheten knyttet til andelen av eiendeler investert i kortsiktige kontantekvivalenter målt ved bruk av standardavviket øker etter hvert som kvadratroten av lengden av det predikerte intervallet. Merk at denne andelen av eiendeler kan bli negativ (når selskapet låner). ?
Ito-prosessen
Den stokastiske Ito-prosessen er en generalisert wienerprosess der parametrene a og b er funksjoner avhengig av variabelen x og tiden t. Ito-prosessen kan uttrykkes med følgende formel.
dx = a(x, t)dt + b(x, t)d,z,?
Både den forventede drifthastigheten og variansen til denne prosessen endres over tid. I løpet av kort tid fra t til At endres variabelen fra
x til x + ah hvor
Ax = a(x, t) At + b(x, t)e\fAt.
Dette forholdet inneholder litt strekk. Det henger sammen med at vi tar for oss driften og variansen til variabelen x konstanter, som på tidsintervallet fra t til At er lik henholdsvis a(x, t) og b(x, t)2.
materiale fra synset
Disse materialene er en forkortet elektronisk versjon av boken "Stochastic World". Etter konverteringen fra LaTex dukket det opp uunngåelige artefakter, som gradvis vil bli eliminert. Om feil eller mangler funnet i siste versjon seriøs forespørsel rapporter for eksempel i "diskusjon"-fanen øverst på denne siden eller via mail mathsite. Dette vil hjelpe deg mye med å forbedre boken. Generelle kommentarer er også velkomne: hva du likte og hva du ikke likte. For å lese boken i en nettleser bør du lese rådene om hvordan du konfigurerer nettleseren din for en mer komfortabel visning av formler.
Med vennlig hilsen Stepanov Sergey Sergeevich.
tilfeldige hendelser
Stokastiske ligninger
Gjennomsnittsverdier av stokastiske prosesser
Sannsynligheter for stokastiske prosesser
Stokastiske integraler
Ligningssystemer
Stokastisk natur
Stokastisk samfunn
Sammendrag
tilfeldige hendelser
Absolutt bestemte hendelser og prosesser eksisterer ikke. Universet snakker til oss på sannsynlighetsteoriens språk. Det antas at leseren er godt kjent med det, så bare de fakta som er nødvendige for videre studier av emnet huskes.
Den første delen er innledende, den fører til behovet for å bruke stokastisk differensiallikninger i studiet av ulike systemer. Deretter diskuteres begrepet sannsynlighetstetthet, som lar en beregne de observerte verdiene på gjennomsnittet. Gaussisk sannsynlighet ligger til grunn for støyen som påvirker deterministisk dynamikk. Den stokastiske sammenhengen mellom tilfeldige variabler og omvendt deres uavhengighet er viktig for å oppdage mønstre mellom ulike objekter og deres egenskaper. Hoveddelen av kapitlet er Additiv gåmodell. Det er generaliseringen av denne enkle modellen som vil lede oss i neste kapittel til stokastiske differensialligninger. Siste avsnitt Martingales og gratis ost inneholder en rekke formelle definisjoner, som kan utelates om ønskelig.
Stokastiske ligninger
Dette kapittelet er nøkkelen. Den introduserer det viktigste matematiske objektet av vår interesse - stokastiske differensialligninger. Vi vil bruke den mest uformelle, intuitive måten, og tro at det å oppnå spesifikke praktiske resultater er viktigere enn deres matematisk strenge begrunnelse.
Stokastiske ligninger representerer en ganske naturlig tidskontinuerlig grense for de diskrete tilfeldige prosessene som ble vurdert i forrige kapittel. Selv når vi løser en kontinuerlig ligning, vil vi hele tiden gå tilbake til dens diskrete motpart, både for å oppnå generelle analytiske resultater og for numeriske simuleringer. Et usedvanlig viktig resultat av kapittelet er Itos lemma, ved hjelp av dette vil vi lære å finne eksakte løsninger av ligninger i noen enkle, men viktige problemer for praktiske anvendelser. Deretter diskuteres metoder for å beregne autokorrelasjonsfunksjonen til en tilfeldig prosess og dens spektrale egenskaper. Avslutningsvis vil vi berøre temaet ligningssystemer, som vi vil komme mer konsekvent tilbake til i sjette kapittel.
Gjennomsnitt
En differensialligning for en tilfeldig funksjon x(t) er bare ett av de mulige språkene for å beskrive en stokastisk prosess. I en situasjon der systemet utvikler seg over tid, endres også gjennomsnittsverdiene og overholder visse differensialligninger. Faktisk er løsningen deres den mest direkte måten å oppnå praktisk nyttige resultater på.
Vi begynner dette kapittelet med å utlede den dynamiske ligningen for gjennomsnitt. Det vil bli brukt for å få et enkelt uttrykk for sannsynlighetstettheten i en situasjon hvor systemet har et stasjonært regime. Vi analyserer deretter i detalj to stokastiske problemer: Feller-ligningen og den logistiske ligningen. Avslutningsvis vil vi vurdere metoden for å utvide gjennomsnittsverdier til en potensserie i tid og den kvasi-deterministiske tilnærmingen.
Sannsynligheter
En annen måte å få informasjon om oppførselen til en stokastisk prosess på er å løse ligninger for den betingede sannsynlighetstettheten, som dette kapittelet er viet til.
På enkle eksempler metoder for å løse slike ligninger vil bli demonstrert. Deretter vil vi vurdere spørsmålet om grenseforhold, som er mest naturlig tatt i betraktning ved bruk av Fokker-Planck-ligningen. Gjennomsnittlig tid for å nå grensen vil bli beregnet og en enkel metode for å løse Fokker-Planck-ligningen i nærvær av grenseforhold vil bli konstruert. Vi skriver ofte løsningene til likningene x(t) ved å bruke en Gaussisk stokastisk variabel.
Stokastiske integraler
Som i vanlig analyse, hvis stokastisk differensiering er definert, er det naturlig å introdusere stokastisk integrasjon også. Den tilsvarende teknikken vil gi oss et annet verktøy for å oppnå relasjoner for noen ganger ganske generelle tilfeldige prosesser. Dette er en veldig vakker del av stokastisk matematikk, som også brukes aktivt i pedagogisk og vitenskapelig litteratur.
Det er to uendelige endringer i differensialligninger, drift proporsjonal med dt og støyvolatilitet. Følgelig er to typer integraler mulige. I den første delen tar vi for oss stokastiske integraler over dt, studerer hovedegenskapene deres og finner en representasjon av noen integraler i form av vanlige tilfeldige variabler. Den andre delen tar for seg Itô-integralet over . Videre vil det bli oppnådd forhold under hvilke løsningen av den stokastiske differensialligningen er unik, og en iterativ metode for å konstruere denne løsningen vil bli vurdert.
Ligningssystemer
Endimensjonale stokastiske ligninger gjør det mulig å beskrive bare relativt enkle systemer. Selv for en vanlig fysisk oscillator er det nødvendig å løse et system med to førsteordens ligninger. Virkeligheten i generell sak-- er flerdimensjonal. Det gir oss mange eksempler på ganske komplekse, men ekstremt interessante tilfeldige prosesser.
Som i det endimensjonale tilfellet vil vi starte med diskrete prosesser, hvis generalisering til det kontinuerlige tilfellet vil føre oss til et system av stokastiske differensialligninger. Dette kapittelet gjentar faktisk de fleste resultatene fra tidligere kapitler. For de som er trygge på tensor og matrisealgebra, tjener de tilsvarende generaliseringene bare som en måte å gjenta allerede kjent materiale. Etter utledning av de grunnleggende flerdimensjonale ligningene, vil løsninger av noen problemer bli vurdert.
Stokastisk natur
Dette kapittelet gir eksempler på naturlige systemer som er naturlig beskrevet ved bruk av stokastiske differensialligninger. Disse systemene dekker et bredt spekter av bruksområder fra fysikk til biologi, men krever ikke dyp kunnskap innen de aktuelle områdene. De fleste avsnitt er ikke relatert til hverandre og kan leses i hvilken som helst rekkefølge, uavhengig av hverandre. Den første stokastiske differensialligningen ble skrevet av Paul Langevin i 1908. Det er her dette kapittelet begynner.
Stokastisk samfunn
Dette kapittelet har samlet noen eksempler på anvendelse av stokastiske metoder på finansmarkeder og økonomi. Den flyktige naturen til priser og økonomiske indikatorer fører til at dynamikken til de tilsvarende systemene i hovedsak er stokastisk, og begrepet i Ito-ligningene spiller en ledende rolle.
Først vil vi gjøre en kort digresjon inn i finansmarkedene og de empiriske egenskapene til prisene på finansielle instrumenter. Vurder deretter teorien om diversifisering og beta - koeffisienter. Stokastiske metoder er svært nyttige når man studerer komplekse finansielle instrumenter. Et eksempel på et slikt verktøy er et alternativ. Vi vil vurdere hovedegenskapene og to forskjellige måter vi utleder Black-Scholes-formelen. Deretter vil en enkel en-faktor avkastningskurvemodell bli vurdert.
Deteksjon av radarsignaler er usikker på grunn av at tilfeldige svingninger, eller «støy», også er tilstede samtidig. Hvis det var mulig å forutsi de nøyaktige verdiene av støyspenninger eller strømmer, kunne de trekkes fra det totale signalet, og deretter kunne en bestemt beslutning tas enten om tilstedeværelse eller fravær av et signal. Men en slik prediksjon er umulig, siden støyspenninger vises på grunn av den kaotiske termiske bevegelsen av ioner - og elektroner i elementene i mottakeren og i rommet rundt antennen. Det beste som kan gjøres er å beskrive spenningsfluktuasjonene statistisk i form av sannsynlighetsfordelingene til verdiene deres, og bruke denne statistikken til å designe en mottaker som oppnår høyest mulig antall vellykkede deteksjoner over et stort antall forsøk. Dette kapittelet gir en statistisk beskrivelse av støy, og neste kapittel introduserer ulike kriterier for suksess og fiasko i statistiske situasjoner, og angir hvilke hensyn som bør tas når man søker etter optimal mottakerdesign.
Hvis spenningen på et tidspunkt i radarmottakeren, for eksempel rutenettet til det første forsterkerrøret, ble registrert som en funksjon av tid, ville registreringen være fullstendig uberegnelig, og det ser ut til at det ikke er noen måte å beregne eller forutsi verdiene av denne svingende spenningen. Hvis spenningene samtidig ble registrert ved de tilsvarende punktene til hvert av settet med identiske mottakere under de samme forholdene,
de vil variere i detalj fra mottaker til mottaker. Noen grove eller gjennomsnittlige egenskaper til postene vil imidlertid være nesten de samme. Ved å studere et stort antall slike poster og bestemme de relative frekvensene med hvilke mengdene som vurderes ulike betydninger, er det mulig å beskrive oppførselen til fluktuerende spenninger statistisk. En slik beskrivelse er laget på sannsynlighetsteoriens språk, som gjør det mulig å trekke logiske konklusjoner om egenskapene til fluktuerende spenninger. En kort oversikt over sannsynlighetsteori er gitt i vedlegg B. For en mer fullstendig kjennskap til den bør leseren studere en av lærebøkene som er listet opp i litteraturen til vedlegg B. I dette kapittelet vil sannsynlighetsteori bli brukt for å analysere støysvingninger.
En funksjon av tid som flunevnt ovenfor kalles en tidssekvens, og et sett med tidssekvenser som det oppnådd fra et stort antall mottakere under de samme forholdene er kjent som et ensemble. En tilfeldig funksjon hvis verdier bare beskrives av et system med sannsynlighetsfordelinger, som vil bli diskutert mer detaljert nedenfor, kalles ofte en stokastisk prosess. Hvis målinger gjøres kontinuerlig i tid, skjer en kontinuerlig stokastisk prosess. I mange tilfeller måles mengder kun på separate påfølgende tidspunkter. Dette resulterer i en diskret stokastisk prosess. Et eksempel på det siste er time- eller daglig temperaturobservasjoner på meteorologiske stasjoner. Vi vil hovedsakelig behandle kontinuerlige prosesser, men mange av begrepene kan i like stor grad brukes på diskrete prosesser. Hvert medlem av ensemblet kalles en realisering av den stokastiske prosessen.
Hvis et medlem av et ensemble av tidssekvenser velges tilfeldig, er sannsynligheten for at x-verdien til enhver tid ligger mellom
hvor er til variabelen x. Med dette mener vi i forhold til ovenstående
eksempel følgende. Hvis spenningene måles på de samme punktene i et stort antall identiske mottakere, er antallet verdier som ligger i et slikt intervall lik lengden på intervallet multiplisert med en tilstrekkelig liten lengde av intervallet). I mange tilfeller vil det ikke avhenge av tidspunktet for målingene. Sannsynlighetstetthetsfunksjonen er grunnlaget for den statistiske beskrivelsen av en stokastisk prosess, men i seg selv er den utilstrekkelig, siden den ikke sier noe om hvordan verdien av x, målt på et tidspunkt, er relatert til verdiene målt kl. andre tidspunkt.
La oss betegne verdiene til tidssekvensen målt ved påfølgende tidspunkter gjennom tetthetsfunksjonen til felles sannsynlighetsfordeling
er definert av utsagnet om at sannsynligheten for oppfyllelse av ulikhetene
er lik For en fullstendig beskrivelse av en kontinuerlig stokastisk prosess kreves det å spesifisere fordelingsfunksjoner for alle mulige valg av tidspunkt for alle positive heltall Alle disse funksjonene normaliseres slik at relasjonen
i henhold til definisjonen av sannsynlighet. I tillegg må de være konsistente slik at en lavere ordens distribusjonsfunksjon kan oppnås ved å integrere over
endringsintervallet til den "ekstra" variabelen. For eksempel,
Eventuelle variabler som er likeverdige
kalles statistisk uavhengige.
Feer operasjonelt definert ved å bruke de relative frekvensene for forekomst av ulike kombinasjoner av verdier for og de betraktede tidspunktene. Men det er åpenbart umulig å bestemme hele systemet med distribusjonsfunksjoner på denne måten. I stedet, for å oppnå hypotetiske fordelinger, konstrueres en teori om prosesser ved å anvende fysikkens lover på situasjoner som oppstår i slike vitenskapsfelt som statistisk mekanikk eller termodynamikk. Ved hjelp av teorien om stokastiske prosesser beregnes noen gjennomsnittsverdier som er tilgjengelige for observasjon, og de beregnede verdiene sammenlignes med erfaringsmessige. Når situasjonen er for kompleks for en slik analyse, slik som i økonomi og sannsynligvis også i meteorologi, foreslås en enkel statistisk «modell» for den stokastiske prosessen. Denne modellen gir en distribusjonsfunksjon som inneholder flere ukjente parametere hvis verdier er estimert basert på tilgjengelige data. Deretter trekkes logiske konklusjoner og om mulig sammenlignes med resultatene av ytterligere observasjoner. Heldigvis er det et stort teoretisk grunnlag som lar oss vurdere elektriske støyprosesser som oppstår i signaldeteksjonsproblemer. Noen fysiske fundamenter vil bli skissert nedenfor, i avsnitt. 3. Men først må vi diskutere noen begreper som vil bli brukt i analysen av stokastiske prosesser.
Så lenge radarmottakeren holdes på en konstant temperatur og koblet til en fast antenne,
som ikke påvirkes av signalet, vil den statistiske beskrivelsen av støyen ved mottakeren ikke avhenge av valg av tidsreferanse. Dette betyr at tettheten til felles sannsynlighetsfordeling kun avhenger av intervallene mellom målingene, og ikke av selve tidspunktene Slike stokastiske prosesser kalles stasjonære. Med mindre annet er angitt, vil vi anta at de studerte tidssekvensene har denne egenskapen tidsinvarians eller stasjonaritet.
En lang registrering av en enkelt implementering av en stasjonær tidssekvens for de fleste ganger har de samme egenskapene. Tilsynelatende vil et stort antall segmenter tatt fra ett medlem av ensemblet skape et ensemble med de samme statistiske egenskapene som hovedensemblet. Hvis den målte variabelen er relatert til mekanisk system, som en gass eller elektrisk, som en krets, og hvis systemet over tid passerer gjennom alle tilstander som er kompatible med de ytre forholdene skapt av eksperimentatoren, er antakelsen ovenfor gyldig. Spesielt er gjennomsnittene funnet over et langt utvalg på en implementering av prosessen lik gjennomsnittene for alle medlemmer av ensemblet på et tidspunkt. Stokastiske prosesser med denne egenskapen kalles ergodiske.
For eksempel er gjennomsnittet eller "matematisk forventning" til en stasjonær tidssekvens definert av likheten
hvor er til en enkelt observasjon. Denne gjennomsnittsverdien av x avhenger ikke av tid. På den annen side kan tidsgjennomsnittet x bestemmes av formelen
På grunn av stasjonaritetstilstanden avhenger ikke dette tidsgjennomsnittet av tidspunktet da gjennomsnittsberegningen starter. Hvis den stokastiske prosessen i tillegg er ergodisk, gjelder det samme for forventningen til andre funksjoner til argumentet x.
Det er lett å forestille seg prosesser som ikke er ergodiske, for eksempel hvor verdien av x gradvis beveger seg inn i en region som den da ikke kan forlate, eller om det finnes en rekke slike "fangende" regioner. Men i denne boken vil det antas at alle fluktuasjonsprosesser som studeres er ergodiske. Gyldigheten av en slik antakelse må være basert på suksessen til teoriene der den er akseptert, siden selv om denne antagelsen bekreftes av intuisjon, er det umulig å teste den eksperimentelt. Ergodisitetsantagelsen er avgjørende for alle problemer der de statistiske parameterne må estimeres på grunnlag av en enkelt eksperimentell implementering av prosessen.
Enhver utvikling av en prosess i tid (enten deterministisk eller sannsynlig) når den analyseres i form av sannsynligheter vil være en tilfeldig prosess (med andre ord, alle prosesser som utvikler seg over tid, sett fra sannsynlighetsteoretisk synspunkt, er stokastiske).
Stokastisitet i matematikk
Bruk av begrepet stokastisitet i matematikk tilskrevet verkene til Vladislav Bortskevich, som brukte det i betydningen hypotese, som igjen viser oss til de antikke greske filosofene, samt til arbeidet til J. Bernoulli Ars Conjectandi (lat. kunsten å gjette).
Feltet tilfeldig forskning i matematikk, spesielt i sannsynlighetsteori, spiller en stor rolle.
Bruken av Monte Carlo-metoder krever et stort antall tilfeldige variabler, som følgelig førte til utviklingen av pseudo-tilfeldige tallgeneratorer, som var mye raskere enn tabellgenereringsmetodene som tidligere ble brukt for statistisk prøvetaking.
Et av programmene hvor Monte Carlo-metoder i praksis brukes er MCNP.
Biologi
I biologiske systemer konseptet "stokastisk støy" ble introdusert, som bidrar til å forsterke det interne tilbakemeldingssignalet. Det brukes til å kontrollere metabolismen til diabetikere. Det er også konseptet "stokastisitet av talesignaler".
Medisin
Kreft er et eksempel på slike stokastiske effekter.
Skriv en anmeldelse om artikkelen "Stokastisitet"
Notater
Linker
- fra Index Funds Advisors
- Formalisert musikk: tanke og matematikk i komposisjon av Iannis Xenakis, ISBN 1-57647-079-2
- Frekvens og fremveksten av språklig struktur av Joan Bybee og Paul Hopper (red.), ISBN 1-58811-028-1 /ISBN 90-272-2948-1 (Eur.)
Et utdrag som karakteriserer stokastisitet
"Nei, hun har rett," tenkte den gamle prinsessen, hvis overbevisning ble ødelagt før hans høyhet viste seg. - Hun har rett; men hvordan kan det ha seg at vi i vår uopprettelige ungdom ikke visste dette? Og det var så enkelt, "tenkte den gamle prinsessen og gikk inn i vognen.I begynnelsen av august var Helens sak fullstendig avgjort, og hun skrev et brev til mannen sin (som hun trodde var veldig glad i henne) der hun informerte ham om at hun hadde til hensikt å gifte seg med NN og at hun hadde gått inn i den ene sanne. religion og at hun ber ham om å fullføre alle formaliteter som er nødvendige for skilsmissen, som bæreren av dette brevet vil formidle til ham.
«Sur ce je prie Dieu, mon ami, de vous avoir sous sainte et puissante garde. Votre amie Helene.
["Da ber jeg til Gud om at du, min venn, skal være under hans hellige sterke dekke. Din venn Elena"]
Dette brevet ble brakt til Pierres hus mens han var på Borodino-feltet.
Den andre gangen, allerede på slutten av slaget ved Borodino, etter å ha rømt fra Raevsky-batteriet, kom Pierre med mengder av soldater langs ravinen til Knyazkov, nådde dressingstasjonen og, da han så blod og hørte skrik og stønn, gikk han raskt videre. , blir blandet inn i mengden av soldater.
En ting Pierre nå ønsket av all sin sjels styrke, var å komme seg ut av de forferdelige inntrykkene han levde i den dagen så snart som mulig, vende tilbake til de vanlige livsforholdene og sovne fredelig inn i rommet på sengen. Bare under vanlige livsforhold følte han at han ville være i stand til å forstå seg selv og alt han hadde sett og opplevd. Men disse vanlige livsforholdene var ingen steder å finne.
Selv om kulene og kulene ikke plystret her langs veien som han gikk langs, men fra alle kanter var det det samme som det var der, på slagmarken. Det var de samme lidende, plagede og noen ganger merkelig likegyldige ansikter, det samme blodet, den samme soldatens ytterfrakker, de samme lydene av skyting, om enn fjernt, men likevel skremmende; i tillegg var det tetthet og støv.
Etter å ha gått rundt tre verst langs den høye Mozhaisk-veien, satte Pierre seg på kanten.
Skumringen senket seg over jorden, og buldret fra kanonene stilnet. Pierre, støttet på armen, la seg ned og lå så lenge og så på skyggene som beveget seg forbi ham i mørket. Ustanselig forekom det ham at med en forferdelig fløyte fløy en kanonkule mot ham; han krympet seg og reiste seg. Han husket ikke hvor lenge han hadde vært her. Midt på natten plasserte tre soldater seg ved siden av ham og begynte å lage ild.
Soldatene, som så sidelengs på Pierre, tente bål, satte en bowlerhatt på den, smuldret kjeks i den og satte smult. Den behagelige lukten av spiselig og fet mat smeltet sammen med lukten av røyk. Pierre reiste seg og sukket. Soldatene (det var tre av dem) spiste uten å ta hensyn til Pierre, og snakket seg imellom.
– Ja, hvilken blir du? en av soldatene snudde seg plutselig til Pierre, og mente tydeligvis med dette spørsmålet hva Pierre tenkte, nemlig: hvis du vil spise, vil vi gi, bare si meg, er du en ærlig person?
- JEG? meg? .. - sa Pierre og følte behovet for å bagatellisere sin sosiale posisjon så mye som mulig for å være nærmere og mer forståelig for soldatene. – Jeg er en ekte militsoffiser, bare troppen min er ikke her; Jeg kom til slaget og tapte mitt.
- Du ser! sa en av soldatene.
Den andre soldaten ristet på hodet.
– Vel, spis, hvis du vil, kavardachka! - sa den første og ga Pierre, slikket den, en treskje.
Pierre satte seg ved bålet og begynte å spise kavardachok, maten som var i gryten og som for ham syntes den deiligste av all maten han noen gang hadde spist. Mens han grådig, bøyde seg over gryten, tok bort store skjeer, tygget den ene etter den andre og ansiktet hans var synlig i lyset av ilden, så soldatene stille på ham.
– Hvor trenger du det? Du sier! spurte en av dem igjen.
- Jeg er i Mozhaisk.
- Ble du, sir?
- Ja.
- Hva heter du?
- Pjotr Kirillovich.
- Vel, Pyotr Kirillovich, la oss gå, vi tar deg. I fullstendig mørke dro soldatene sammen med Pierre til Mozhaisk.
Hanene gal allerede da de nådde Mozhaisk og begynte å bestige det bratte byfjellet. Pierre gikk sammen med soldatene, og glemte helt at gjestgiveriet hans lå under fjellet og at han allerede hadde passert det. Han ville ikke ha husket dette (han var i en slik tilstand av forvirring) hvis hans befrier ikke hadde truffet ham på halvparten av fjellet, som gikk for å lete etter ham rundt i byen og vendte tilbake til gjestgiveriet hans. Huseieren kjente igjen Pierre på hatten hans, som lyste hvitt i mørket.
«Deres eksellens,» sa han, «vi er desperate. Hva går du? Hvor er du, vær så snill!
"Å ja," sa Pierre.
Soldatene stoppet opp.
Vel, fant du din? sa en av dem.
- Vel, adjø! Pjotr Kirillovich, ser det ut til? Farvel, Pyotr Kirillovich! sa andre stemmer.
«Farvel,» sa Pierre og gikk sammen med befrieren sin til vertshuset.
"Vi må gi dem!" tenkte Pierre og strakte seg etter lommen. "Nei, ikke gjør det," sa en stemme til ham.
Det var ikke plass i de øverste rommene på vertshuset: alle var opptatt. Pierre gikk inn i gården og dekket seg med hodet og la seg i vognen.
Så snart Pierre la hodet på puten, kjente han at han sovnet; men plutselig, med nesten virkelighetens klarhet, hørtes en bom, bom, bom av skudd, stønn, skrik, smell av skjell ble hørt, det luktet blod og krutt, og en følelse av redsel, frykt for døden grep ham. Han åpnet øynene i frykt og løftet hodet fra under frakken. Alt var stille ute. Bare ved porten, snakket med vaktmesteren og klasket gjennom gjørmen, var en slags orden. Over hodet til Pierre, under den mørke undersiden av plankebaldakinen, flagret duer fra bevegelsen han gjorde mens han reiste seg. En fredelig, gledelig for Pierre i det øyeblikket, sterk lukt av gjestgiveri, lukten av høy, gjødsel og tjære ble helt over hele gårdsplassen. Mellom de to svarte markisene kunne man se en klar stjernehimmel.
"Takk Gud for at dette ikke er mer," tenkte Pierre og lukket hodet igjen. «Å, så forferdelig frykt er, og hvor skammelig jeg ga meg opp til den! Og de...de var faste, rolige hele tiden, til det siste...» tenkte han. Etter Pierres forståelse var de soldater - de som var på batteriet, og de som matet ham, og de som ba til ikonet. De - disse merkelige, hittil ukjente for ham, de var tydelig og skarpt skilt i hans tanker fra alle andre mennesker.
Kan ikke bestemmes ut fra den opprinnelige tilstanden til systemet.
Stokastiske systemer er systemer der endringen er tilfeldig. Med tilfeldige innvirkninger er ikke data om systemets tilstand nok til å forutsi på et senere tidspunkt.
Stokastisk: Definisjon av en prosess bestemt av en serie observasjoner.
se også
Wikimedia Foundation. 2010 .
Synonymer:Se hva "Stokastisk" er i andre ordbøker:
- [gr. stochastikos som vet å gjette] tilfeldig, sannsynlighet, uorden, uforutsigbar. Ordbok med fremmedord. Komlev N.G., 2006. stokastisk (gr. stochasis gjetning) tilfeldig, eller sannsynlighet, for eksempel, s. prosessprosess, karakter ... ... Ordbok for utenlandske ord i det russiske språket
Probabilistisk, tilfeldig; uforutsigbar. Maur. naturlig, obligatorisk ordbok over russiske synonymer. stokastisk adj., antall synonymer: 4 tilfeldige (44) ... Synonymordbok
Stor encyklopedisk ordbok
Kontrollert av sannsynlighetsteoriens lover, tilfeldig. Geologisk ordbok: i 2 bind. M.: Nedra. Redigert av K. N. Paffengolts et al. 1978 ... Geologisk leksikon
Engelsk stokastisk; tysk stokastisk. I statistikk, tilfeldig eller sannsynlig; f.eks. S. prosess er en prosess, arten av endringen i tid kan ikke forutsies nøyaktig. Antinazi. Encyclopedia of Sociology, 2009 ... Encyclopedia of Sociology
stokastisk- Åh åh. stokastisk, tysk stokastisk gr. stochasis formodning. matte. Tilfeldig, forekommer med en sannsynlighet som ikke kan forutsies. C.prosess. Stokastisitet og vel. Krysin 1998. Lex. TSB 2: Stokastisk/Chesky... Historisk ordbok for gallisisme av det russiske språket
stokastisk- tikimybinis statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. stokastisk vok. stochastischrus. stokastisk pranc. stochastique ryšiai: sinonimas – stochastinis … Automatikos terminų žodynas
Aya, å [gresk. stochasis gjetning] Bok. Tilfeldig, sannsynlig, mulig. C dvs. endringer i økonomien. C. naturens utviklingsprosess. * * * stokastisk (fra gresk stochastikós som vet hvordan man gjetter), tilfeldig, sannsynlighet ... encyklopedisk ordbok
Stokastisk- det vil si tilfeldig, uten en åpenbar vanlig grunn ... Fysisk antropologi. Illustrert forklarende ordbok.
Stokastisk- (fra den greske stochastikos som vet å gjette) tilfeldig, sannsynlig ... Begynnelsen av moderne naturvitenskap
Bøker
- , F.S. Nasyrov. Boken er viet anvendelsen av metoder for teorien om funksjoner til en reell variabel og teorien om differensialligninger i stokastisk analyse. materialdeksler generell teori lokale tider for...
- Lokal tid, symmetriske integraler og stokastisk analyse, Nasyrov F.S. Boken er viet bruken av metoder for teorien om funksjoner til en reell variabel og teorien om differensialligninger i stokastisk analyse. Materialet dekker den generelle teorien om lokal tid for...
