11वीं प्रोफ़ाइल कक्षा में बीजगणित पाठ का विकास

पाठ का संचालन गणित एमबीओयू माध्यमिक विद्यालय संख्या 6 तुपित्स्या ओ.वी. के शिक्षक द्वारा किया गया था।

विषय में विषय और पाठ संख्या:"एक समीकरण-परिणाम की ओर ले जाने वाले कई परिवर्तनों का अनुप्रयोग", पाठ संख्या 7, 8 विषय में: "समीकरण-परिणाम"

विषय:बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत - ग्रेड 11 (एस.एम. निकोल्स्की द्वारा पाठ्यपुस्तक के अनुसार प्रोफ़ाइल प्रशिक्षण)

सबक का प्रकार: "ज्ञान और कौशल का व्यवस्थितकरण और सामान्यीकरण"

पाठ का प्रकार: कार्यशाला

शिक्षक की भूमिका: वांछित विधि या परिवर्तन के तरीकों का चयन करने के लिए एक जटिल में ज्ञान को स्वतंत्र रूप से लागू करने की क्षमता विकसित करने के लिए छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि को निर्देशित करें, जिससे समीकरण - नई परिस्थितियों में समीकरण को हल करने में विधि का परिणाम और अनुप्रयोग हो।

आवश्यक तकनीकी उपकरण:मल्टीमीडिया उपकरण, वेब कैमरा।

इस्तेमाल किया सबक:

1. डिडक्टिक लर्निंग मॉडल- एक समस्याग्रस्त स्थिति पैदा करना,
2. शैक्षणिक साधन- प्रशिक्षण मॉड्यूल का संकेत देने वाली चादरें, समीकरणों को हल करने के लिए कार्यों का चयन,
3. छात्र गतिविधि का प्रकार- समूह (पाठों में समूह बनते हैं - नए ज्ञान की "खोज", सीखने और सीखने की विभिन्न डिग्री वाले छात्रों से पाठ संख्या 1 और 2), संयुक्त या व्यक्तिगत समस्या समाधान,
4. व्यक्तित्व-उन्मुख शैक्षिक प्रौद्योगिकियां: मॉड्यूलर प्रशिक्षण, समस्या-आधारित शिक्षा, खोज और अनुसंधान के तरीके, सामूहिक संवाद, गतिविधि विधि, पाठ्यपुस्तक और विभिन्न स्रोतों के साथ काम करना,
5. स्वास्थ्य-बचत प्रौद्योगिकियां- तनाव दूर करने के लिए शारीरिक शिक्षा की जाती है,
6. दक्षताओं:

- बुनियादी स्तर पर शैक्षिक और संज्ञानात्मक- छात्र एक समीकरण की अवधारणा को जानते हैं - एक परिणाम, एक समीकरण की जड़ और एक समीकरण की ओर ले जाने वाले परिवर्तन के तरीके - एक परिणाम, वे समीकरणों की जड़ों को खोजने और उत्पादक स्तर पर उनका सत्यापन करने में सक्षम होते हैं;

- उन्नत स्तर पर- छात्र परिवर्तन के प्रसिद्ध तरीकों का उपयोग करके समीकरणों को हल कर सकते हैं, समीकरणों के स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र का उपयोग करके समीकरणों की जड़ों की जांच कर सकते हैं; अन्वेषण-आधारित गुणों का उपयोग करके लघुगणक की गणना करें;सूचना के - छात्र स्वतंत्र रूप से विभिन्न प्रकार के स्रोतों में शैक्षिक समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक जानकारी की खोज, निकालने और चयन करते हैं।

उपदेशात्मक लक्ष्य:

के लिए परिस्थितियाँ बनाना:

समीकरणों के बारे में विचारों का निर्माण - परिणाम, मूल और परिवर्तन के तरीके;

समीकरणों को बदलने के पहले अध्ययन किए गए तरीकों के तार्किक परिणाम के आधार पर अर्थ निर्माण के अनुभव का गठन: एक समीकरण को एक सम शक्ति तक बढ़ाना, लॉगरिदमिक समीकरणों को प्रबल करना, हर से एक समीकरण को मुक्त करना, समान शब्दों को लाना;

परिवर्तन विधि की पसंद का निर्धारण करने, समीकरण को और हल करने और समीकरण की जड़ों को चुनने में कौशल का समेकन;

ज्ञात और सीखी गई जानकारी के आधार पर किसी समस्या को स्थापित करने के कौशल में महारत हासिल करना, जो अभी तक ज्ञात नहीं है उसका पता लगाने के लिए अनुरोध करना;

छात्रों की संज्ञानात्मक रुचियों, बौद्धिक और रचनात्मक क्षमताओं का गठन;

तार्किक सोच का विकास, छात्रों की रचनात्मक गतिविधि, परियोजना कौशल, अपने विचार व्यक्त करने की क्षमता;

समूह में काम करते समय सहिष्णुता, पारस्परिक सहायता की भावना का गठन;

समीकरणों के स्वतंत्र समाधान में रुचि जगाना;

कार्य:

समीकरणों को बदलने के तरीके के बारे में ज्ञान की पुनरावृत्ति और व्यवस्थितकरण को व्यवस्थित करें;

- समीकरणों को हल करने और उनकी जड़ों की जांच करने के तरीकों की महारत सुनिश्चित करने के लिए;

- छात्रों की विश्लेषणात्मक और आलोचनात्मक सोच के विकास को बढ़ावा देना; समीकरणों को हल करने के लिए इष्टतम विधियों की तुलना करना और उनका चयन करना;

- अनुसंधान कौशल, समूह कार्य कौशल के विकास के लिए स्थितियां बनाना;

छात्रों को परीक्षा की तैयारी के लिए अध्ययन की गई सामग्री का उपयोग करने के लिए प्रेरित करना;

इस कार्य के निष्पादन में अपने काम और अपने साथियों के काम का विश्लेषण और मूल्यांकन करें।

नियोजित परिणाम:

*व्यक्तिगत:

ज्ञात और सीखी गई जानकारी के आधार पर कार्य निर्धारित करने का कौशल, जो अभी तक ज्ञात नहीं है उसे खोजने के लिए अनुरोध उत्पन्न करना;

समस्या को हल करने के लिए आवश्यक सूचना के स्रोतों को चुनने की क्षमता; छात्रों के संज्ञानात्मक हितों, बौद्धिक और रचनात्मक क्षमताओं का विकास;

तार्किक सोच का विकास, रचनात्मक गतिविधि, किसी के विचारों को व्यक्त करने की क्षमता, तर्क बनाने की क्षमता;

प्रदर्शन परिणामों का स्व-मूल्यांकन;

टीमवर्क कौशल;

*मेटाविषय:

मुख्य बात को उजागर करने, तुलना करने, सामान्य करने, एक सादृश्य बनाने, तर्क के आगमनात्मक तरीकों को लागू करने, समीकरणों को हल करते समय परिकल्पनाओं को सामने रखने की क्षमता,

परीक्षा की तैयारी में अर्जित ज्ञान की व्याख्या और लागू करने की क्षमता;

*विषय:

समीकरणों को बदलने का ज्ञान,

विभिन्न प्रकार के समीकरणों से जुड़े पैटर्न को स्थापित करने और जड़ों को हल करने और चुनने में इसका उपयोग करने की क्षमता,

पाठ उद्देश्यों को एकीकृत करना:

1. (शिक्षक के लिए) समीकरणों को बदलने के तरीकों और उन्हें हल करने के तरीकों के समग्र दृष्टिकोण के छात्रों में गठन;
2. (छात्रों के लिए) विभिन्न कार्यों वाले समीकरणों के प्रकार से जुड़ी गणितीय स्थितियों का निरीक्षण, तुलना, सामान्यीकरण, विश्लेषण करने की क्षमता का विकास। परीक्षा की तैयारी।

पाठ का चरण I:

समीकरणों (इनपुट डायग्नोस्टिक्स) को बदलने के विभिन्न तरीकों के आवेदन के क्षेत्र में प्रेरणा बढ़ाने के लिए ज्ञान को अद्यतन करना

ज्ञान को अद्यतन करने का चरणस्व-परीक्षण के साथ एक परीक्षण कार्य के रूप में किया जाता है। पिछले पाठों में प्राप्त ज्ञान के आधार पर विकासात्मक कार्य प्रस्तावित हैं, जिसमें छात्रों से सक्रिय मानसिक गतिविधि की आवश्यकता होती है और इस पाठ में कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक है।

सत्यापन कार्य

1. उन समीकरणों को चुनें जिनमें सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर अज्ञात के प्रतिबंध की आवश्यकता होती है:

ए) = एक्स -2; बी) 3 \u003d एक्स -2; ग) = 1;

डी) (= (; ई) =; ई) +6 = 5;

जी) =; एच) =।

(2) प्रत्येक समीकरण के मान्य मूल्यों की सीमा निर्दिष्ट करें, जहाँ प्रतिबंध हैं।

(3) ऐसे समीकरण का एक उदाहरण चुनें, जहां परिवर्तन से जड़ का नुकसान हो सकता है (इस विषय पर पिछले पाठों की सामग्री का उपयोग करें)।

हर कोई स्क्रीन पर हाइलाइट किए गए तैयार किए गए उत्तरों के अनुसार स्वतंत्र रूप से उत्तरों की जांच करता है। सबसे कठिन कार्यों का विश्लेषण किया जाता है और छात्र उदाहरण ए, सी, जी, एच पर विशेष ध्यान देते हैं, जहां प्रतिबंध मौजूद हैं।

यह निष्कर्ष निकाला गया है कि समीकरणों को हल करते समय, समीकरण द्वारा अनुमत मूल्यों की सीमा निर्धारित करना या बाहरी मूल्यों से बचने के लिए जड़ों की जांच करना आवश्यक है। एक समीकरण की ओर ले जाने वाले समीकरणों को बदलने के पहले अध्ययन किए गए तरीके - एक परिणाम दोहराया जाता है। अर्थात्, विद्यार्थियों को आगे के कार्य में उनके द्वारा प्रस्तावित समीकरण को हल करने का सही तरीका खोजने के लिए प्रेरित किया जाता है।

पाठ का द्वितीय चरण:

समीकरणों को हल करने में उनके ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का व्यावहारिक अनुप्रयोग।

समूहों को इस विषय के मुद्दों पर संकलित मॉड्यूल के साथ शीट दी जाती हैं। मॉड्यूल में पांच शिक्षण तत्व शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक का उद्देश्य कुछ कार्यों को करना है। सीखने और सीखने की विभिन्न डिग्री वाले छात्र स्वतंत्र रूप से पाठ में अपनी गतिविधियों का दायरा निर्धारित करते हैं, लेकिन चूंकि हर कोई समूहों में काम करता है, इसलिए ज्ञान और कौशल को समायोजित करने की एक सतत प्रक्रिया है, जो पिछड़ रहे हैं उन्हें अनिवार्य करने के लिए, दूसरों को उन्नत और रचनात्मक स्तर।

पाठ के मध्य में एक अनिवार्य भौतिक मिनट आयोजित किया जाता है।

शैक्षिक तत्व की संख्या	असाइनमेंट के साथ शैक्षिक तत्व	शैक्षिक सामग्री के विकास के लिए गाइड
यूई-1	उद्देश्य: कार्यों के गुणों के आधार पर समीकरणों को हल करने के लिए मुख्य विधियों को निर्धारित करना और उचित ठहराना। व्यायाम: निम्नलिखित समीकरणों को हल करने के लिए रूपांतरण विधि निर्दिष्ट करें: ए)) = -8); बी) = ग) (=( डी) सीटीजी + एक्स 2 -2 एक्स = सीटीजी +24; ई) =; च) = पाप एक्स। 2) कार्य: प्रस्तावित समीकरणों में से कम से कम दो को हल करें। वर्णन करें कि हल किए गए समीकरणों में किन विधियों का उपयोग किया गया था।	खंड 7.3 पी.212 खंड 7.4 पृष्ठ 214 खंड 7.5 पृष्ठ 217 खंड 7.2 पृष्ठ 210
यूई-2	उद्देश्य: तर्कसंगत तकनीकों और हल करने के तरीकों में महारत हासिल करना व्यायाम: उपरोक्त या स्व-चयनित (पिछले पाठों की सामग्री का उपयोग करें) समीकरणों से उदाहरण दें जिन्हें समाधान के तर्कसंगत तरीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, वे क्या हैं? (समीकरण की जड़ों की जांच करने के तरीके पर जोर दें)
यूई-3	उद्देश्य: उच्च स्तर की जटिलता के समीकरणों को हल करने में अर्जित ज्ञान का उपयोग करना व्यायाम: = (या ( = (	खंड 7.5
यूई-4	विषय की महारत का स्तर निर्धारित करें: कम - 2 से अधिक समीकरणों का समाधान नहीं; माध्यम - 4 से अधिक समीकरणों का समाधान नहीं; उच्च - 5 से अधिक समीकरणों का समाधान
यूई-5	आउटपुट नियंत्रण: एक तालिका बनाएं जिसमें आपके द्वारा उपयोग किए जाने वाले समीकरणों को बदलने के सभी तरीकों को प्रस्तुत करने के लिए और प्रत्येक विधि के लिए आपके द्वारा हल किए गए समीकरणों के उदाहरण लिखें, विषय के पाठ 1 से शुरू करें: "समीकरण - परिणाम"	नोटबुक में सार

पाठ का तृतीय चरण:

आउटपुट डायग्नोस्टिक कार्य, छात्रों के प्रतिबिंब का प्रतिनिधित्व करना, जो न केवल एक परीक्षा लिखने के लिए तत्परता दिखाएगा, बल्कि इस खंड में परीक्षा के लिए भी तत्परता दिखाएगा।

पाठ के अंत में, सभी छात्र, बिना किसी अपवाद के, स्वयं का मूल्यांकन करते हैं, फिर शिक्षक का मूल्यांकन आता है। यदि शिक्षक और छात्र के बीच असहमति उत्पन्न होती है, तो शिक्षक इसका मूल्यांकन करने में सक्षम होने के लिए छात्र को एक अतिरिक्त कार्य की पेशकश कर सकता है। गृहकार्यनियंत्रण कार्य से पहले सामग्री की समीक्षा करने के उद्देश्य से।

इस प्रस्तुति का उपयोग बीजगणित पाठ आयोजित करते समय और 11 वीं कक्षा में विश्लेषण शुरू करते समय "समीकरण - परिणाम" विषय का अध्ययन करते समय लेखकों एस.एम. निकोल्स्की, एम.के. पोटापोव, एन.एन. रेशेतनिकोव, ए.वी. शेवकिन की शिक्षण सामग्री के अनुसार किया जा सकता है।

दस्तावेज़ सामग्री देखें
"परिणाम के समीकरण। समीकरण कोरोलरी की ओर ले जाने वाले अन्य परिवर्तन"

समीकरण - परिणाम

मौखिक कार्य

• कोरोलरी समीकरण किन समीकरणों को कहते हैं?
• परिणाम समीकरण में संक्रमण को क्या कहते हैं
• कौन-से परिवर्तन उपफल समीकरण की ओर ले जाते हैं?

मौखिक कार्य

• एक्स = 6
• √ एक्स-2 = 3
• 3 x = 4;
• एक्स 2 \u003d 9
• √ एक्स+4=-2
• √x+1+√x+2=-2

कोई समाधान नहीं

कोई समाधान नहीं

मौखिक कार्य

कोई समाधान नहीं

कोरोलरी समीकरण की ओर ले जाने वाले परिवर्तन

परिवर्तन

समीकरण की जड़ों पर प्रभाव

एक सम शक्ति के लिए एक समीकरण उठाना

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

लघुगणकीय समीकरणों की क्षमता, अर्थात्। प्रतिस्थापन:

लॉग a f(x)=log a g(x) f(x)= जी(एक्स)

बाहरी जड़ों को जन्म दे सकता है

हर से समीकरण जारी करना:

बाहरी जड़ों की उपस्थिति का कारण बन सकता है, अर्थात। वे संख्याएँ x i जिसके लिए or

अंतर f(x)-f(x) को शून्य से बदलना, अर्थात। समान सदस्यों की कमी

बाहरी जड़ों की उपस्थिति का कारण बन सकता है, अर्थात। वे संख्याएँ जिनमें से प्रत्येक के लिए फलन f(x) परिभाषित नहीं है।

यदि, इस समीकरण को हल करते समय, परिणाम समीकरण के लिए एक संक्रमण किया जाता है, तो यह जांचना आवश्यक है कि परिणाम समीकरण के सभी मूल मूल समीकरण की जड़ें हैं या नहीं।

प्राप्त मूलों की जाँच करना समीकरण को हल करने का एक अनिवार्य हिस्सा है।

№ 8.2 2 (एक) प्रश्न हल करें :

2) संख्या 8.23 ​​(ए)

№ 8.24 (ए, सी) प्रश्न हल करें :

№ 8.25 (ए, सी) प्रश्न हल करें :

№ 8.28 (ए, सी) प्रश्न हल करें :

№ 8.29 (ए, सी) प्रश्न हल करें :

गृहकार्य

• रन नंबर 8.24 (बी, डी), पी। 236
• संख्या 8.25 (बी, डी)
• 8.28 (बी, डी)
• 8.29 (बी, डी)

कक्षा: 11

अवधि: 2 सबक।

पाठ का उद्देश्य:

• (शिक्षक के लिए)छात्रों के बीच अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीकों के बारे में समग्र दृष्टिकोण का गठन।
• (छात्रों के लिए)गणितीय स्थितियों का निरीक्षण, तुलना, सामान्यीकरण, विश्लेषण करने की क्षमता का विकास (स्लाइड 2)। परीक्षा की तैयारी।

पहला पाठ योजना(स्लाइड 3)

1. ज्ञान अद्यतन
2. सिद्धांत का विश्लेषण: एक समीकरण को सम घात तक बढ़ाना
3. समीकरण हल करने पर कार्यशाला

दूसरे पाठ की योजना

1. समूहों पर विभेदित स्वतंत्र कार्य "परीक्षा पर तर्कहीन समीकरण"
2. पाठों का सारांश
3. गृहकार्य

पाठ का कोर्स

I. ज्ञान को अद्यतन करना

लक्ष्य:पाठ के विषय के सफल विकास के लिए आवश्यक अवधारणाओं को दोहराएं।

सामने मतदान।

किन दो समीकरणों को तुल्य कहा जाता है?

समीकरण के किन परिवर्तनों को समतुल्य कहा जाता है?

- लागू किए गए परिवर्तन की व्याख्या के साथ इस समीकरण को एक समकक्ष के साथ बदलें: (स्लाइड 4)

ए) एक्स + 2x +1; बी) 5 = 5; ग) 12x = -3; डी) एक्स = 32; ई) = -4।

मूल समीकरण का समीकरण-परिणाम किस समीकरण को कहते हैं?

- क्या परिणामी समीकरण का कोई मूल हो सकता है जो मूल समीकरण का मूल नहीं है? इन जड़ों को क्या कहा जाता है?

- समीकरण के कौन से परिवर्तन समीकरण-परिणामों की ओर ले जाते हैं?

एक अंकगणितीय वर्गमूल क्या है?

आइए आज हम "समीकरण को सम घात" में परिवर्तन के बारे में अधिक विस्तार से बताते हैं।

द्वितीय. सिद्धांत का विश्लेषण: एक समीकरण को सम घात तक बढ़ाना

छात्रों की सक्रिय भागीदारी के साथ शिक्षक द्वारा स्पष्टीकरण:

चलो 2एम (एमN) एक निश्चित सम प्राकृत संख्या है। तब समीकरण का परिणामएफ(एक्स) =जी(x) समीकरण है (एफ(एक्स)) = (जी(एक्स))।

बहुत बार इस कथन का प्रयोग अपरिमेय समीकरणों को हल करने में किया जाता है।

परिभाषा। एक समीकरण जिसमें मूल के चिह्न के नीचे अज्ञात होता है, अपरिमेय कहलाता है।

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया जाता है: (स्लाइड 5)

ध्यान! तरीके 2 और 3 की आवश्यकता है अनिवार्यचेक

ओडीजेड हमेशा बाहरी जड़ों को खत्म करने में मदद नहीं करता है।

निष्कर्ष:अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, तीन चरणों से गुजरना महत्वपूर्ण है: तकनीकी, समाधान विश्लेषण, सत्यापन (स्लाइड 6)।

III. समीकरण हल करने पर कार्यशाला

प्रश्न हल करें:

वर्ग द्वारा समीकरण को कैसे हल किया जाए, इस पर चर्चा करने के बाद, एक समान प्रणाली को पारित करके हल करें।

निष्कर्ष: पूर्णांक जड़ों वाले सरलतम समीकरणों का हल किसी भी परिचित विधि से किया जा सकता है।

बी) \u003d एक्स - 2

समीकरण के दोनों भागों को समान घात तक बढ़ाने पर विद्यार्थियों को मूल x = 0, x = 3 -, x = 3 + प्राप्त होते हैं, जिन्हें प्रतिस्थापन द्वारा जाँचना कठिन और समय लेने वाला होता है। (स्लाइड 7)। एक समकक्ष प्रणाली में संक्रमण

आपको जल्दी से बाहरी जड़ों से छुटकारा पाने की अनुमति देता है। शर्त x 2 केवल x से संतुष्ट होती है।

उत्तर: 3+

निष्कर्ष: एक समान प्रणाली से गुजरकर अपरिमेय जड़ों की जांच करना बेहतर है।

सी) \u003d एक्स - 3

इस समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में, हमें दो जड़ें मिलती हैं: 1 और 4। दोनों जड़ें समीकरण के बाईं ओर संतुष्ट करती हैं, लेकिन x \u003d 1 के लिए, अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा का उल्लंघन होता है। ODZ समीकरण बाहरी जड़ों को खत्म करने में मदद नहीं करता है। एक समकक्ष प्रणाली में संक्रमण सही उत्तर देता है।

निष्कर्ष:अंकगणितीय वर्गमूल को निर्धारित करने के लिए सभी शर्तों का एक अच्छा ज्ञान और समझ से आगे बढ़ने में मदद मिलती हैसमकक्ष परिवर्तन कर रहे हैं।

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें समीकरण प्राप्त होता है

x + 13 - 8 + 16 \u003d 3 + 2x - x, रेडिकल को दाईं ओर से अलग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

26 - x + x \u003d 8. समीकरण के दोनों भागों का वर्ग करने के लिए आगे के चरणों को लागू करने से, 4 डिग्री का समीकरण बन जाएगा। ODZ समीकरण में परिवर्तन एक अच्छा परिणाम देता है:

ODZ समीकरण ज्ञात कीजिए:

एक्स = 3.

जाँच करें: - 4 =, 0 = 0 सही है।

निष्कर्ष:कभी-कभी ODZ समीकरण की परिभाषा का उपयोग करके समाधान निकालना संभव होता है, लेकिन जांचना सुनिश्चित करें।

हल: ODZ समीकरण: -2 - x ≥ 0 x ≤ -2।

एक्स -2 के लिए,< 0, а ≥ 0.

इसलिए, समीकरण का बायां पक्ष ऋणात्मक है, और दायां पक्ष गैर-ऋणात्मक है; इसलिए मूल समीकरण का कोई मूल नहीं है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

निष्कर्ष:समीकरण की स्थिति में प्रतिबंध पर सही तर्क करने के बाद, आप आसानी से समीकरण की जड़ों को ढूंढ सकते हैं, या यह स्थापित कर सकते हैं कि उनका अस्तित्व नहीं है।

इस समीकरण को हल करने के उदाहरण का उपयोग करते हुए, समीकरण का दोहरा वर्ग दिखाएँ, "रेडिकल्स का एकांत" वाक्यांश का अर्थ और पाए गए जड़ों की जाँच करने की आवश्यकता की व्याख्या करें।

एच) + = 1.

इन समीकरणों का समाधान चर को मूल चर में वापस आने तक बदलने की विधि द्वारा किया जाता है। अगले चरण के कार्यों का सामना करने वालों को पहले प्रस्ताव देने का निर्णय समाप्त करें।

परीक्षण प्रश्न

• सबसे सरल अपरिमेय समीकरणों को कैसे हल करें?
• सम घात के समीकरण को बढ़ाते समय क्या याद रखना चाहिए? ( बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं)
• अपरिमेय जड़ों की जांच करने का सबसे अच्छा तरीका क्या है? ( समीकरण के दोनों भागों के संकेतों के संयोग के लिए ODZ और शर्तों का उपयोग करना)
• अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय गणितीय स्थितियों का विश्लेषण करने में सक्षम होना क्यों आवश्यक है? ( एक समीकरण को हल करने के लिए एक विधि के सही और त्वरित चुनाव के लिए)।

चतुर्थ। समूहों पर विभेदित स्वतंत्र कार्य "परीक्षा पर तर्कहीन समीकरण"

प्रशिक्षण के स्तर के अनुसार कक्षा को समूहों (प्रत्येक में 2-3 लोग) में विभाजित किया जाता है, प्रत्येक समूह एक कार्य के साथ एक विकल्प चुनता है, चयनित कार्यों पर चर्चा करता है और हल करता है। जब आवश्यक हो, सलाह के लिए शिक्षक से संपर्क करें। अपने संस्करण के सभी कार्यों को पूरा करने और शिक्षक द्वारा उत्तरों की जाँच करने के बाद, समूह के सदस्य व्यक्तिगत रूप से पाठ के पिछले चरण के समीकरण g) और h) के हल को पूरा करते हैं। विकल्प 4 और 5 (उत्तरों और शिक्षक के निर्णय की जाँच के बाद) के लिए, अतिरिक्त कार्य बोर्ड पर लिखे जाते हैं, जो व्यक्तिगत रूप से किए जाते हैं।

पाठ के अंत में सभी व्यक्तिगत समाधान सत्यापन के लिए शिक्षक को सौंपे जाते हैं।

विकल्प 1

समीकरणों को हल करें:

ए) = 6;
बी) = 2;
ग) \u003d 2 - एक्स;
डी) (एक्स + 1) (5 - एक्स) (+ 2 = 4.

विकल्प 5

1. समीकरण हल करें:

ए) =;
बी) = 3 - 2x;

2. समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

अतिरिक्त काम:

वी पाठों का सारांश

परीक्षा सत्रीय कार्यों को पूरा करने में आपको किन कठिनाइयों का अनुभव हुआ? इन कठिनाइयों को दूर करने के लिए क्या आवश्यक है?

VI. गृहकार्य

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के सिद्धांत को दोहराएं, पाठ्यपुस्तक में पैराग्राफ 8.2 पढ़ें (उदाहरण 3 पर ध्यान दें)।

हल संख्या 8.8 (ए, सी), संख्या 8.9 (ए, सी), संख्या 8.10 (ए)।

साहित्य:

1. निकोल्स्की एस.एम., पोटापोव एम.के., एन.एन. रेशेतनिकोव एन.एन., शेवकिन ए.वी. बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत , शैक्षणिक संस्थानों की 11 वीं कक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक, एम।: शिक्षा, 2009।
2. मोर्दकोविच ए.जी. समीकरणों के समाधान से संबंधित कुछ पद्धति संबंधी मुद्दों पर। स्कूल में गणित। -2006। -संख्या 3।
3. एम शबुनिन। समीकरण। हाई स्कूल के छात्रों और प्रवेशकों के लिए व्याख्यान। मॉस्को, "चिस्टे प्रूडी", 2005। (लाइब्रेरी "फर्स्ट ऑफ सितंबर")
4. ई.एन. बालायन। समस्या समाधान पर कार्यशाला। अपरिमेय समीकरण, असमानताएँ और प्रणालियाँ। रोस्तोव-ऑन-डॉन, "फीनिक्स", 2006।
5. गणित। परीक्षा-2011 की तैयारी। एफ.एफ द्वारा संपादित। लिसेंको, एस यू। कुलाबुखोव लीजन-एम, रोस्तोव-ऑन-डॉन, 2010।

कुछ परिवर्तन हमें हल किए जा रहे समीकरण से समतुल्य समीकरणों के साथ-साथ परिणामी समीकरणों में जाने की अनुमति देते हैं, जो मूल समीकरण के समाधान को सरल करता है। इस सामग्री में, हम आपको बताएंगे कि ये समीकरण क्या हैं, मुख्य परिभाषाएं तैयार करते हैं, उन्हें उदाहरण के साथ चित्रित करते हैं और समझाते हैं कि मूल समीकरण की जड़ों की गणना परिणाम समीकरण या समकक्ष समीकरण की जड़ों से कैसे की जाती है।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

समतुल्य समीकरणों की अवधारणा

परिभाषा 1

बराबरऐसे समीकरण कहलाते हैं जिनके मूल समान हों, या वे जिनमें कोई मूल न हो।

इस प्रकार की परिभाषाएँ अक्सर विभिन्न पाठ्यपुस्तकों में पाई जाती हैं। आइए कुछ उदाहरण दें।

परिभाषा 2

समीकरण f (x) = g (x) को समीकरण r (x) = s (x) के समतुल्य माना जाता है यदि उनके मूल समान हों या दोनों का कोई मूल न हो।

परिभाषा 3

समान जड़ों वाले समीकरणों को समतुल्य माना जाता है। साथ ही, वे दो समीकरण माने जाते हैं जिनका समान रूप से कोई मूल नहीं होता है।

परिभाषा 4

यदि समीकरण f (x) \u003d g (x) में समीकरण p (x) \u003d h (x) के समान जड़ों का सेट है, तो उन्हें एक दूसरे के संबंध में समकक्ष माना जाता है।

जब हम जड़ों के मेल खाने वाले सेट के बारे में बात करते हैं, तो हमारा मतलब है कि यदि एक निश्चित संख्या एक समीकरण की जड़ है, तो यह दूसरे समीकरण के समाधान के रूप में फिट होगी। समतुल्य समीकरणों में से कोई भी ऐसा मूल नहीं हो सकता जो दूसरे के लिए उपयुक्त न हो।

हम ऐसे समीकरणों के कई उदाहरण देते हैं।

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, 4 x \u003d 8, 2 x \u003d 4 और x \u003d 2 समतुल्य होंगे, क्योंकि उनमें से प्रत्येक की केवल एक जड़ है - दो। साथ ही, x · 0 = 0 और 2 + x = x + 2 तुल्य होंगे, क्योंकि उनके मूल कोई भी संख्या हो सकते हैं, अर्थात् उनके हलों के समुच्चय समान होते हैं। समीकरण x = x + 5 और x 4 = - 1 भी समतुल्य होंगे, जिनमें से प्रत्येक का कोई हल नहीं है।

स्पष्टता के लिए, गैर-समतुल्य समीकरणों के कई उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, x = 2 और x 2 = 4 होंगे, क्योंकि उनके मूल भिन्न हैं। यही समीकरण x x \u003d 1 और x 2 + 5 x 2 + 5 पर लागू होता है, क्योंकि दूसरे में समाधान कोई भी संख्या हो सकती है, और दूसरे में जड़ 0 नहीं हो सकती।

ऊपर दी गई परिभाषाएं कई चर वाले समीकरणों के लिए भी उपयुक्त हैं, हालांकि, जब हम दो, तीन या अधिक जड़ों के बारे में बात कर रहे हैं, तो अभिव्यक्ति "समीकरण का समाधान" अधिक उपयुक्त है। इस प्रकार, संक्षेप में: समतुल्य समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनका समाधान समान होता है या बिल्कुल भी नहीं होता है।

आइए समीकरणों के उदाहरण लेते हैं जिनमें कई चर होते हैं और एक दूसरे के बराबर होते हैं। तो, x 2 + y 2 + z 2 = 0 और 5 x 2 + x 2 y 4 z 8 = 0 में प्रत्येक में तीन चर शामिल हैं और तीनों मामलों में 0 के बराबर केवल एक समाधान है। और समीकरणों की जोड़ी x + y = 5 और x y = 1 एक दूसरे के संबंध में समान नहीं होगी, उदाहरण के लिए, मान 5 और 3 पहले के लिए उपयुक्त हैं, लेकिन इसका समाधान नहीं होगा दूसरा: जब उन्हें पहले समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हमें सही समानता मिलती है, और दूसरे में - असत्य।

कोरोलरी समीकरणों की अवधारणा

आइए हम पाठ्यपुस्तकों से लिए गए उप-समीकरणों की परिभाषाओं के कई उदाहरण उद्धृत करें।

परिभाषा 5

समीकरण f (x) = g (x) का परिणाम समीकरण p (x) = h (x) होगा, बशर्ते कि पहले समीकरण का प्रत्येक मूल उसी समय दूसरे का मूल हो।

परिभाषा 6

यदि पहले समीकरण की जड़ें दूसरे के समान हैं, तो दूसरा पहले का परिणाम होगा।

आइए ऐसे समीकरणों के कुछ उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 3

तो, x 2 = 32 x - 3 = 0 का परिणाम होगा, क्योंकि पहले का केवल एक मूल तीन के बराबर है, और यह दूसरे समीकरण का मूल भी होगा, इसलिए इस परिभाषा के संदर्भ में, एक समीकरण दूसरे का परिणाम होगा। एक अन्य उदाहरण: समीकरण (x - 2) (x - 3) (x - 4) = 0, x - 2 x - 3 x - 4 2 x - 4 का परिणाम होगा क्योंकि दूसरे समीकरण के दो मूल हैं, के बराबर 2 और 3, जो एक ही समय में पहले की जड़ें होंगी।

उपरोक्त परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोई भी समीकरण जिसका मूल नहीं है, वह भी किसी समीकरण का परिणाम होगा। इस आलेख में तैयार किए गए सभी नियमों के कुछ अन्य परिणाम यहां दिए गए हैं:

परिभाषा 7

1. यदि एक समीकरण दूसरे के समतुल्य है, तो उनमें से प्रत्येक दूसरे का परिणाम होगा।
2. यदि दो समीकरणों में से प्रत्येक एक दूसरे का परिणाम है, तो ये समीकरण एक दूसरे के तुल्य होंगे।
3. समीकरण एक दूसरे के संबंध में तभी समतुल्य होंगे जब उनमें से प्रत्येक एक दूसरे का परिणाम हो।

परिणाम समीकरण या समकक्ष समीकरण की जड़ों से समीकरण की जड़ें कैसे खोजें

परिभाषाओं में हमने जो लिखा है उसके आधार पर, जब हम एक समीकरण की जड़ों को जानते हैं, तो हम समकक्षों की जड़ों को भी जानते हैं, क्योंकि वे संयोग करेंगे।

यदि हम परिणाम समीकरण के सभी मूल जानते हैं, तो हम दूसरे समीकरण की जड़ों को निर्धारित कर सकते हैं, जिसका यह परिणाम है। ऐसा करने के लिए, आपको बस बाहरी जड़ों को बाहर निकालने की जरूरत है। यह कैसे किया जाता है, इसके बारे में हमने एक अलग लेख लिखा था। हम आपको इसे पढ़ने की सलाह देते हैं।

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आज के विषय का अध्ययन करने के लिए, हमें यह दोहराना होगा कि किस समीकरण को परिणाम समीकरण कहा जाता है, कौन से प्रमेय "बेचैन" होते हैं और किसी भी समीकरण के समाधान में कौन से चरण होते हैं।

परिभाषा।यदि x से समीकरण ef का प्रत्येक मूल x के बराबर है (हम इसे नंबर एक से निरूपित करते हैं) उसी समय x से समीकरण pe की जड़, x से राख के बराबर है (हम इसे संख्या दो से निरूपित करते हैं) , तो समीकरण दो को समीकरण एक का परिणाम कहा जाता है।

प्रमेय चार।यदि x से समीकरण ef के दोनों पक्ष x से समान हैं, तो x से समान व्यंजक ash से गुणा करें, जो है:

सबसे पहले, यह x से समीकरण eff की परिभाषा (स्वीकार्य मानों की सीमा में) के क्षेत्र में हर जगह समझ में आता है, जो x से बराबर है।

दूसरे, इस क्षेत्र में कहीं भी यह गायब नहीं होता है, तो हमें x से ef का समीकरण मिलता है, x से राख से गुणा किया जाता है x के बराबर होता है, x से राख से गुणा किया जाता है, जो इसके ODZ में दिए गए के बराबर होता है।

परिणाम प्रमेय चारएक और "शांत" कथन है: यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो एक समीकरण प्राप्त होता है जो दिए गए के बराबर होता है।

प्रमेय पांच. यदि समीकरण के दोनों पक्ष

ODZ समीकरण में x से ef बराबर x गैर-ऋणात्मक है, फिर इसके दोनों भागों को समान घात n तक बढ़ाने के बाद, हम समीकरण eff को x से x की घात x के घात के बराबर प्राप्त करते हैं x, इस समीकरण के o de ze में समतुल्य है।

प्रमेय छह. मान लीजिए a शून्य से बड़ा है, और एक के बराबर नहीं है, और eff x से शून्य से बड़ा है,

x से zhe शून्य से बड़ा है, टोलोलोगरिदमिक समीकरण x से आधार a तक ef का लघुगणक है, x से आधार a तक zh के लघुगणक के बराबर है,

x से समीकरण ef के बराबर है, x . के समान है .

जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं कि किसी भी समीकरण का हल तीन चरणों में होता है:

पहला चरण तकनीकी है। मूल समीकरण से परिवर्तनों की एक श्रृंखला की मदद से, हम काफी सरल समीकरण पर आते हैं, जिसे हम हल करते हैं और जड़ों को ढूंढते हैं।

दूसरा चरण समाधान का विश्लेषण है। हम उन परिवर्तनों का विश्लेषण करते हैं जो हमने किए और पता लगाया कि क्या वे समकक्ष हैं।

तीसरा चरण सत्यापन है। मूल समीकरण में उन्हें प्रतिस्थापित करके पाए गए सभी जड़ों की जाँच करना अनिवार्य है, जब परिवर्तन करते हैं जो परिणाम समीकरण को जन्म दे सकते हैं।

इस पाठ में, हम यह जानेंगे कि किन परिवर्तनों को लागू करते समय यह समीकरण एक परिणामी समीकरण में बदल जाता है? निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें।

अभ्यास 1

कौन सा समीकरण समीकरण x घटा तीन बराबर दो का परिणाम है?

समाधान

समीकरण x घटा तीन बराबर दो का एक ही मूल है - x पांच के बराबर है। इस समीकरण के दोनों पक्षों को व्यंजक x घटा छह से गुणा करें, समान पदों को जोड़ें और द्विघात समीकरण x वर्ग घटा ग्यारह x जमा तीस बराबर शून्य प्राप्त करें। आइए इसकी जड़ों की गणना करें: x पहला पांच के बराबर है; x सेकंड छह के बराबर है। इसमें पहले से ही दो जड़ें हैं। समीकरण x वर्ग घटा ग्यारह x जमा तीस बराबर शून्य में एक मूल होता है - x पांच के बराबर होता है; समीकरण का x घटा तीन बराबर दो है, इसलिए x वर्ग माइनस ग्यारह x जमा तीस समीकरण का परिणाम है x घटा तीन बराबर दो।

टास्क 2

समीकरण x-3=2 का परिणाम कौन सा अन्य समीकरण है?

समाधान

समीकरण में x माइनस थ्री बराबर दो, हम इसके दोनों भागों को वर्गाकार करते हैं, अंतर के वर्ग के लिए सूत्र लागू करते हैं, समान पदों को जोड़ते हैं, हमें द्विघात समीकरण x वर्ग माइनस छह, x जमा पांच बराबर शून्य मिलता है।

आइए इसकी जड़ों की गणना करें: x पहला पांच के बराबर है, x दूसरा एक के बराबर है।

मूल x एक के बराबर है, समीकरण के लिए बाहरी है x घटा तीन बराबर दो। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि मूल समीकरण के दोनों पक्ष चुकता (एक सम घात) थे। लेकिन साथ ही, इसका बायां भाग - x घटा तीन - ऋणात्मक हो सकता है (शर्तें प्रमेय पांच) तो समीकरण x वर्ग माइनस छह x जमा पांच बराबर शून्य समीकरण x घटा तीन बराबर दो का परिणाम है।

टास्क 3

समीकरण के लिए समीकरण खोजें-

x जमा एक से आधार तीन का लघुगणक जोड़ x जमा तीन से आधार तीन का लघुगणक एक के बराबर होता है।

समाधान

हम तीन आधार तीन के लघुगणक के रूप में एकता का प्रतिनिधित्व करते हैं, लघुगणक समीकरण को प्रबल करते हैं, गुणा करते हैं, समान पदों को जोड़ते हैं और द्विघात समीकरण x वर्ग जमा चार x बराबर शून्य प्राप्त करते हैं। आइए इसकी जड़ों की गणना करें: x पहला शून्य के बराबर है, x दूसरा शून्य से चार के बराबर है। लॉगरिदमिक समीकरण के लिए रूट एक्स माइनस फोर के बराबर है, क्योंकि जब इसे लॉगरिदमिक समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो एक्स प्लस वन और एक्स प्लस थ्री नकारात्मक मान लेते हैं - शर्तों का उल्लंघन होता है प्रमेय छह.

तो समीकरण x वर्ग जोड़ चार x बराबर शून्य इस समीकरण का परिणाम है।

इन उदाहरणों के समाधान के आधार पर, हम कर सकते हैं निष्कर्ष:परिणाम समीकरण दिए गए समीकरण से समीकरण के डोमेन का विस्तार करके प्राप्त किया जाता है। और इस तरह के परिवर्तन करते समय यह संभव है

1) एक चर वाले हर से छुटकारा पाना;

2) समीकरण के दोनों भागों को समान सम घात तक बढ़ाना;

3) लघुगणक के संकेतों से छूट।

याद रखें!यदि समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र का विस्तार होता है, तो सभी जड़ों की जांच करना अनिवार्य है।

टास्क 4

समीकरण को हल करें x घटा तीन गुणा x घटा पांच जमा एक x से विभाजित x गुणा पांच गुणा x घटा पांच है।

समाधान

पहला चरण तकनीकी है।

आइए परिवर्तनों की एक श्रृंखला करें, सबसे सरल समीकरण प्राप्त करें और इसे हल करें। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण के दोनों भागों को भिन्नों के एक उभयनिष्ठ हर से गुणा करते हैं, अर्थात व्यंजक x को xminus पांच से गुणा करते हैं।

हमें द्विघात समीकरण x वर्ग घटा तीन x घटा दस बराबर शून्य मिलता है। आइए जड़ों की गणना करें: x पहला पांच के बराबर है, x दूसरा शून्य से दो के बराबर है।

दूसरा चरण समाधान का विश्लेषण है।

समीकरण को हल करते समय, हमने इसके दोनों भागों को एक चर वाले व्यंजक से गुणा किया। इसका मतलब है कि समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र का विस्तार हुआ है। इसलिए जड़ों की जांच जरूरी है।

तीसरा चरण सत्यापन है।

जब x माइनस टू के बराबर होता है, तो उभयनिष्ठ हर गायब नहीं होता है। तो x बराबर घटा दो इस समीकरण का मूल है।

जब x पांच के बराबर होता है, तो सामान्य भाजक शून्य हो जाता है। इसलिए x पांच के बराबर है - एक बाहरी मूल।

उत्तर : माइनस टू।

टास्क 5

समीकरण को हल करें x घटा छह का वर्गमूल चार ऋण x के वर्गमूल के बराबर है।

समाधान

पहला चरण तकनीकी है .

एक सरल समीकरण प्राप्त करने और इसे हल करने के लिए, हम परिवर्तनों की एक श्रृंखला करते हैं।

आइए इस समीकरण के दोनों भागों का वर्ग (एक सम घात) करें, x को बाईं ओर ले जाएँ, और संख्याओं को समीकरण के दाईं ओर ले जाएँ, समान पद दें, हमें मिलता है: दो x दस के बराबर होता है। एक्स पांच के बराबर है।

दूसरा चरण समाधान का विश्लेषण है।

आइए तुल्यता के लिए किए गए परिवर्तनों की जाँच करें।

एक समीकरण को हल करते समय, हमने उसके दोनों पक्षों को चुकता कर दिया। इसका मतलब है कि समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र का विस्तार हुआ है। इसलिए जड़ों की जांच जरूरी है।

तीसरा चरण सत्यापन है।

हम पाए गए जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

यदि x पांच के बराबर है, तो चार घटा x का व्यंजक वर्गमूल अपरिभाषित है, इसलिए x के बराबर पांच एक बाहरी मूल है। तो इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

उत्तर: समीकरण का कोई मूल नहीं है।

टास्क 6

समीकरण को हल करें x वर्ग जमा दो x घटा सात का प्राकृतिक लघुगणक x ऋण एक के प्राकृतिक लघुगणक के बराबर है।

समाधान

पहला चरण तकनीकी है .

आइए परिवर्तनों की एक श्रृंखला करें, सबसे सरल समीकरण प्राप्त करें और इसे हल करें। ऐसा करने के लिए, हम प्रबल करते हैं

समीकरण, हम सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हम समान शब्द देते हैं, हमें एक द्विघात समीकरण मिलता है x वर्ग प्लस x ऋण छह शून्य के बराबर है। आइए जड़ों की गणना करें: x पहला दो के बराबर है, x दूसरा शून्य से तीन के बराबर है।

दूसरा चरण समाधान का विश्लेषण है।

आइए तुल्यता के लिए किए गए परिवर्तनों की जाँच करें।

इस समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में हमें लघुगणक के चिह्नों से छुटकारा मिल गया। इसका मतलब है कि समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र का विस्तार हुआ है। इसलिए जड़ों की जांच जरूरी है।

तीसरा चरण सत्यापन है।

हम पाए गए जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

यदि x दो के बराबर है, तो हमें एकता का प्राकृतिक लघुगणक एकता के प्राकृतिक लघुगणक के बराबर होता है -

सही समानता।

अत: x बराबर दो इस समीकरण का मूल है।

यदि x माइनस थ्री है, तो x स्क्वेयर प्लस टू x माइनस सात का नेचुरल लॉगरिदम और x माइनस वन का नेचुरल लॉगरिदम अपरिभाषित है। तो x बराबर माइनस थ्री एक बाहरी मूल है।

उत्तर: दो।

क्या समीकरण को हल करते समय हमेशा तीन चरणों में अंतर करना आवश्यक है? आप और कैसे जांच सकते हैं?

इन सवालों के जवाब हमें अगले पाठ में मिलेंगे।