Pisteen K(x 0; y 0) läpi kulkeva suoran y = kx + a kanssa samansuuntainen suora löytyy kaavasta:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Missä k on suoran kaltevuus.

Vaihtoehtoinen kaava:
Suoraa, joka kulkee pisteen M 1 (x 1 ; y 1) kautta ja on yhdensuuntainen suoran Ax+By+C=0 kanssa, esittää yhtälö

A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)

Esimerkki #1. Laadi pisteen M 0 (-2.1) kautta kulkevan suoran yhtälö ja samalla:
a) yhdensuuntainen suoran 2x+3y -7 = 0 kanssa;
b) kohtisuorassa suoraa 2x+3y -7 = 0 vastaan.
Ratkaisu . Esitetään kaltevuusyhtälö muodossa y = kx + a . Tätä varten siirrämme kaikki arvot paitsi y:lle oikea puoli: 3v = -2x + 7 . Sitten jaetaan oikea puoli kertoimella 3 . Saamme: y = -2/3x + 7/3
Etsi yhtälö NK, joka kulkee pisteen K(-2;1) kautta, joka on yhdensuuntainen suoran y = -2 / 3 x + 7 / 3 kanssa
Korvaamalla x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 saamme:
y-1 = -2/3 (x-(-2))
tai
y = -2/3 x -1/3 tai 3v + 2x +1 = 0

Esimerkki #2. Kirjoita yhtälö suorasta, joka on yhdensuuntainen suoran 2x + 5y = 0 kanssa ja muodostaa yhdessä koordinaattiakseleiden kanssa kolmion, jonka pinta-ala on 5.
Ratkaisu . Koska suorat ovat yhdensuuntaiset, halutun suoran yhtälö on 2x + 5y + C = 0. Suorakulmaisen kolmion pinta-ala, jossa a ja b ovat sen haarat. Etsi halutun suoran leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa:
;
.
Joten A(-C/2,0), B(0,-C/5). Korvaa kaavassa alue: . Saamme kaksi ratkaisua: 2x + 5y + 10 = 0 ja 2x + 5y - 10 = 0 .

Esimerkki #3. Kirjoita pisteen (-2; 5) ja yhdensuuntaisen suoran 5x-7y-4=0 läpi kulkevan suoran yhtälö.
Ratkaisu. Tämä suora voidaan esittää yhtälöllä y = 5/7 x – 4/7 (tässä a = 5/7). Halutun suoran yhtälö on y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), ts. 7(y-5)=5(x+2) tai 5x-7y+45=0.

Esimerkki #4. Ratkaisemalla esimerkin 3 (A=5, B=-7) kaavalla (2) saadaan 5(x+2)-7(y-5)=0.

Esimerkki numero 5. Kirjoita pisteen (-2;5) läpi kulkevan suoran ja yhdensuuntaisen suoran 7x+10=0 yhtälö.
Ratkaisu. Tässä A=7, B=0. Kaava (2) antaa 7(x+2)=0, so. x+2=0. Kaavaa (1) ei voida soveltaa, koska tätä yhtälöä ei voida ratkaista y:n suhteen (tämä suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa).

Suoran ominaisuudet euklidisessa geometriassa.

On äärettömän monta viivaa, jotka voidaan vetää minkä tahansa pisteen läpi.

Kahden eri pisteen kautta on vain yksi suora viiva.

Kaksi ei-yhtenäistä suoraa tasossa joko leikkaavat yhdessä pisteessä tai ovat

rinnakkainen (seuraa edellistä).

Kolmiulotteisessa avaruudessa on kolme vaihtoehtoa kahden viivan suhteelliselle sijainnille:

• linjat leikkaavat;

• suorat viivat ovat yhdensuuntaisia;

• suorat leikkaavat.

Suoraan linja- ensimmäisen kertaluvun algebrallinen käyrä: suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä suora

on annettu tasossa ensimmäisen asteen yhtälöllä (lineaarinen yhtälö).

Suoran suoran yleinen yhtälö.

Määritelmä. Mikä tahansa tason suora voidaan antaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä

Ah + Wu + C = 0,

ja jatkuvaa A, B ei ole sama kuin nolla samaan aikaan. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan yleistä

suora yhtälö. Vakioiden arvoista riippuen A, B ja FROM Seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- viiva kulkee origon kautta

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva vai niin

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva OU

. B = C = 0, A ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa OU

. A = C = 0, B ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa vai niin

Suoran yhtälö voidaan esittää muodossa useita muotoja riippuen mistä tahansa

alkuolosuhteet.

Pisteen ja normaalivektorin suoran yhtälö.

Määritelmä. Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä vektori komponenteilla (A, B)

kohtisuorassa yhtälön antamaa suoraa vastaan

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö A(1, 2) kohtisuorassa vektoriin nähden (3, -1).

Ratkaisu. Muodostetaan kohdissa A \u003d 3 ja B \u003d -1 suoran yhtälö: 3x - y + C \u003d 0. Kertoimen C löytämiseksi

korvaamme tuloksena olevaan lausekkeeseen annetun pisteen A koordinaatit. Saamme: 3 - 2 + C = 0, joten

C = -1. Yhteensä: haluttu yhtälö: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.

Olkoon kaksi pistettä avaruudessa M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja M2 (x 2, y 2, z 2), sitten suora yhtälö,

kulkee näiden pisteiden läpi:

Jos jokin nimittäjistä on nolla, vastaava osoittaja on asetettava nollaksi. Käytössä

tasossa, yllä kirjoitettua suoran yhtälöä on yksinkertaistettu:

jos x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, jos x 1 = x 2 .

Murto-osa = k nimeltään kaltevuustekijä suoraan.

Esimerkki. Etsi pisteiden A(1, 2) ja B(3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu. Yllä olevaa kaavaa soveltamalla saamme:

Pisteen ja kaltevuuden suoran yhtälö.

Jos suoran suoran yleinen yhtälö Ah + Wu + C = 0 tuo muotoon:

ja nimetä , niin tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan

yhtälö suorasta kulmasta k.

Pisteessä olevan suoran ja suuntausvektorin yhtälö.

Analogisesti pisteen kanssa, joka ottaa huomioon normaalivektorin läpi kulkevan suoran yhtälön, voit syöttää tehtävän

pisteen läpi kulkeva suora ja suoran suuntavektori.

Määritelmä. Jokainen nollasta poikkeava vektori (α 1 , α 2), jonka komponentit täyttävät ehdon

Aα 1 + Bα 2 = 0 nimeltään suoran suuntavektori.

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi yhtälö suoralle, jolla on suuntavektori (1, -1) ja joka kulkee pisteen A(1, 2) kautta.

Ratkaisu. Etsimme halutun suoran yhtälön muodossa: Ax + By + C = 0. Määritelmän mukaan

kertoimien on täytettävä seuraavat ehdot:

1 * A + (-1) * B = 0, so. A = B.

Sitten suoran yhtälöllä on muoto: Ax + Ay + C = 0, tai x + y + C / A = 0.

klo x = 1, y = 2 saamme C/A = -3, eli haluttu yhtälö:

x + y - 3 = 0

Segmenttien suoran yhtälö.

Jos suoran yleisessä yhtälössä Ah + Wu + C = 0 C≠0, niin jakamalla -C:llä saadaan:

tai missä

Kertoimien geometrinen merkitys on, että kerroin a on leikkauspisteen koordinaatti

suora akselilla Vai niin, a b- suoran ja akselin leikkauspisteen koordinaatti OU.

Esimerkki. Suoran suoran yleinen yhtälö on annettu x - y + 1 = 0. Etsi tämän suoran yhtälö segmenteissä.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normaali suoran yhtälö.

Jos yhtälön molemmat puolet Ah + Wu + C = 0 jakaa numerolla , jota kutsutaan

normalisoiva tekijä, sitten saamme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -suoran suoran normaaliyhtälö.

Normalisointitekijän etumerkki ± on valittava siten, että μ * C< 0.

R- origosta viivaan pudonneen kohtisuoran pituus,

a φ - kulma, jonka tämä kohtisuora muodostaa akselin positiivisen suunnan kanssa Vai niin.

Esimerkki. Annettu suoran suoran yleinen yhtälö 12x - 5v - 65 = 0. Pakollinen kirjoittamiseen eri tyyppejä yhtälöt

tämä suora viiva.

Tämän suoran yhtälö segmenteissä:

Tämän suoran yhtälö kaltevuuden kanssa: (jaa 5:llä)

Suoran linjan yhtälö:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälöllä segmenteissä, esimerkiksi suorilla,

akselien suuntaisesti tai origon kautta.

Tason viivojen välinen kulma.

Määritelmä. Jos annetaan kaksi riviä y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, sitten näiden viivojen välinen terävä kulma

määritellään nimellä

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​jos k 1 = k 2. Kaksi viivaa ovat kohtisuorassa

jos k 1 \u003d -1 / k 2 .

Lause.

Suoraan Ah + Wu + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ovat rinnakkaisia, kun kertoimet ovat verrannollisia

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jos myös С 1 \u003d λС, niin viivat ovat samat. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit

löytyy ratkaisuna näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan.

Määritelmä. Pisteen kautta kulkeva suora M 1 (x 1, y 1) ja kohtisuorassa linjaan nähden y = kx + b

esitetään yhtälöllä:

Etäisyys pisteestä viivaan.

Lause. Jos piste annetaan M(x 0, y 0), sitten etäisyys linjaan Ah + Wu + C = 0 määritelty:

Todiste. Anna pointin M 1 (x 1, y 1)- kohtisuoran kanta on pudonnut pisteestä M tietylle

suoraan. Sitten pisteiden välinen etäisyys M ja M 1:

(1)

Koordinaatit x 1 ja 1 löytyy ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on tietyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa kulkevan suoran yhtälö

annettu rivi. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö in tähän suuntaan. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö. Kahden viivan välinen kulma. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehto. Kahden suoran leikkauspisteen määrittäminen

Esimerkkejä ongelmista ratkaisujen kanssa

Etsi kahden pisteen (-1, 2) ja (2, 1) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu.

Yhtälön mukaan

uskoen siihen x 1 = -1, y 1 = 2, x 2 = 2, y 2 \u003d 1 (riippumatta siitä, mitä pistettä pidetään ensimmäisenä, mikä - toisena), saamme

yksinkertaistamisen jälkeen saamme lopulta halutun yhtälön muodossa

x + 3y - 5 = 0.

Kolmion sivut saadaan yhtälöistä: (AB ) 2 x + 4 y + 1 = 0, (AC ) x - y + 2 = 0, (eKr ) 3 x + 4 y -12 = 0. Etsi kolmion kärkien koordinaatit.

Ratkaisu.

Vertexin koordinaatit A löytää ratkaisemalla sivuyhtälöistä koostuva järjestelmä AB ja AC:

kahden järjestelmän lineaariset yhtälöt kahden tuntemattoman kanssa ratkaisemme alkeisalgebrasta tunnetuilla menetelmillä ja saamme

Vertex A on koordinaatit

Vertexin koordinaatit B löytää ratkaisemalla sivujen yhtälöjärjestelmä AB ja eKr:

saamme .

Vertexin koordinaatit C saamme ratkaisemalla järjestelmän sivujen yhtälöistä eKr ja AC:

Vertex C on koordinaatit.

A (2, 5) yhdensuuntainen linjan 3 kanssax - 4 y + 15 = 0.

Ratkaisu.

Osoitetaan, että jos kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, niin niiden yhtälöt voidaan aina esittää siten, että ne eroavat toisistaan ​​vain vapailla termeillä. Itse asiassa kahden suoran rinnakkaisuuden ehdosta seuraa, että .

Merkitse t näiden suhteiden kokonaisarvo. Sitten

ja siitä seuraa siitä

A 1 = A 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Jos kaksi riviä

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ja

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

ovat yhdensuuntaisia, ehdot (1) täyttyvät ja korvataan ensimmäisellä yhtälöllä A 1 ja B 1 kaavoilla (1), meillä on

A 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,

tai jakamalla yhtälön molemmat puolet :lla, saamme

Vertaamalla saatua yhtälöä toisen rivin yhtälöön A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, huomaamme, että nämä yhtälöt eroavat vain vapaassa termissä; näin ollen olemme todistaneet väitteen. Aloitetaan nyt ongelman ratkaiseminen. Kirjoitamme halutun suoran yhtälön siten, että se eroaa tämän suoran yhtälöstä vain vapaalla termillä: halutun yhtälön kaksi ensimmäistä termiä otetaan tästä yhtälöstä ja sen vapaa termi merkitään C. Sitten haluttu yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon

3x - 4y + C = 0, (3)

ja päätettäväksi C.

Antamalla yhtälö (3) arvolle C kaikki mahdolliset reaaliarvot, saamme joukon suoria, jotka ovat samansuuntaisia ​​annetun kanssa. Yhtälö (3) ei siis ole yhden suoran yhtälö, vaan koko riviperhe, joka on yhdensuuntainen tämän suoran 3 kanssa. x - 4y+ 15 = 0. Tästä suoraperheestä tulisi erottaa se, joka kulkee pisteen läpi A(2, 5).

Jos suora kulkee pisteen läpi, pisteen koordinaattien on täytettävä suoran yhtälö. Ja niin me määrittelemme C, jos kohdassa (3) korvataan nykyisten koordinaattien sijaan x ja y pisteen koordinaatit A, eli x = 2, y= 5. Saamme ja C = 14.

Löyty arvo C korvaamme kohdan (3), ja haluttu yhtälö kirjoitetaan seuraavasti:

3x - 4y + 14 = 0.

Sama ongelma voidaan ratkaista toisella tavalla. Koska yhdensuuntaisten viivojen kaltevuus on yhtä suuri kuin toistensa kanssa, ja tietylle suoralle 3 x - 4y+ 15 = 0 kaltevuus, silloin halutun suoran kaltevuus on myös yhtä suuri kuin .

Nyt käytämme yhtälöä y - y 1 = k(x - x 1) nippu suoria viivoja. Piste A(2, 5), jonka läpi suora kulkee, on meille tiedossa, ja siksi se korvautuu suorien viivojen kynän yhtälöön y - y 1 = k(x - x 1) arvot, saamme

tai yksinkertaistamisen jälkeen 3 x - 4y+ 14 = 0, eli sama kuin ennen.

Etsi yhtälöt pisteen läpi kulkeville suorilleA (3, 4) 60 astetta linjaan 2 nähdenx + 3 y + 6 = 0.

Ratkaisu.

Ongelman ratkaisemiseksi meidän tulisi määrittää viivojen I ja II kaltevuus (katso kuva). Merkitään näitä kertoimia vastaavasti arvolla k 1 ja k 2 , ja tämän suoran kaltevuus - läpi k. On selvää, että.

Kahden suoran välisen kulman määritelmän perusteella, määritettäessä tietyn suoran ja suoran välistä kulmaa, seuraan kaavan murtoluvun osoittajassa

vähennä annetun suoran kaltevuus, koska sitä on käännettävä vastapäivään pisteen ympäri C kunnes se osuu linjaan I.

Ottaen huomioon sen, saamme

Määritettäessä suoran II ja tietyn suoran välistä kulmaa on vähennettävä viivan II kaltevuus saman murtoluvun osoittajassa, ts. k 2, koska linjaa II tulee kiertää vastapäivään pisteen ympäri B kunnes se osuu yhteen tämän rivin kanssa:

Etsi pisteen läpi kulkevan suoran yhtälöA (5, -1) kohtisuorassa linjaa 3 vastaanx - 7 y + 14 = 0.

Ratkaisu.

Jos kaksi riviä

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

ovat kohtisuorassa, niin tasa-arvo

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0,

tai mikä on sama,

A 1 A 2 = -B 1 B 2 ,

ja siitä seuraa siitä

Näiden ilmaisujen yleistä merkitystä merkitään t.

Mistä se sitten seuraa

A 2 = B 1 t, B 2 = -A 1 t.

Korvaa nämä arvot A 2 ja B 2 ja toisen suoran yhtälö, saamme

B 1 tx - A 1 ty + C 2 = 0.

tai jakamalla t tasa-arvon molemmin puolin, meillä on

Vertaamalla saatua yhtälöä ensimmäisen suoran yhtälöön

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

Huomaa, että heillä on kertoimet at x ja y vaihdettiin paikkoja, ja ensimmäisen ja toisen termin välinen merkki vaihtui päinvastaiseksi, kun taas vapaat termit ovat erilaisia.

Aloitetaan nyt ongelman ratkaiseminen. Halutaan kirjoittaa suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan ​​3 x - 7y+ 14 = 0, edellä tehdyn johtopäätöksen perusteella edetään seuraavasti: vaihdamme kertoimet x ja y, ja niiden välinen miinusmerkki korvataan plusmerkillä, vapaa termi on merkitty kirjaimella C. Otetaan 7 x + 3y + C= 0. Tämä yhtälö on suoraperheen yhtälö, joka on kohtisuorassa suoraa 3 vastaan x - 7y+ 14 = 0. Määrittele C siitä ehdosta, että haluttu suora kulkee pisteen läpi A(5, -1). Tiedetään, että jos suora kulkee pisteen läpi, tämän pisteen koordinaattien on täytettävä suoran yhtälö. Korvaa viimeisessä yhtälössä 5 sen sijaan x ja sen sijaan -1 y, saamme

Tämä arvo C Korvaa viimeinen yhtälö ja saa

7x + 3y - 32 = 0.

Ratkaisemme saman ongelman eri tavalla käyttäen yhtälöä lyijykynä

y - y 1 = k(x - x 1).

Tämän suoran kaltevuus 3 x - 7y + 14 = 0

sitten siihen nähden kohtisuoran linjan kaltevuus,

Korvaamalla yhtälössä lyijykynä , ja sen sijaan x 1 ja y 1 annetun pisteen koordinaatit A(5, -1), etsi tai 3 y + 3 = -7x+ 35 ja lopuksi 7 x + 3y- 32 = 0, eli sama kuin ennen.

Yhtälöt käyriä on runsaasti Kun luet talouskirjallisuutta.Osoitkaamme joitain näistä käyristä.

välinpitämättömyyskäyrä - käyrä, joka esittää kahden tuotteen erilaisia ​​yhdistelmiä, joilla on sama kuluttajaarvo tai hyöty kuluttajalle.

Kuluttajan budjettikäyrä on käyrä, joka esittää kahden tavaran eri määrien yhdistelmiä, jotka kuluttaja voi ostaa tietyllä rahatulonsa tasolla.

Tuotantomahdollisuuksien käyrä - käyrä, joka esittää kahden tavaran tai palvelun erilaisia ​​yhdistelmiä, jotka voidaan tuottaa täystyöllisyydellä ja täydellä tuotannolla taloudessa, jossa resurssit ovat jatkuvat ja teknologia muuttumaton.

Investointien kysyntäkäyrä - käyrä, joka esittää koron dynamiikkaa ja sijoitusten volyymiä eri koroilla.

Phillipsin käyrä- käyrä, joka osoittaa vakaan suhteen olemassaolon työttömyysasteen ja inflaatioasteen välillä.

Lafferin käyrä- käyrä, joka näyttää verokantojen ja verotulojen välisen suhteen, paljastaen sellaisen veroprosentin, jolla verotulot saavuttavat maksiminsa.

Jo pelkkä termien luettelointi osoittaa, kuinka tärkeää taloustieteilijöille on pystyä rakentamaan kaavioita ja analysoimaan käyrien yhtälöitä, jotka ovat suoria viivoja ja toisen asteen käyriä - ympyrä, ellipsi, hyperbeli, paraabeli. Lisäksi laajaa tehtäväluokkaa ratkaistaessa on valittava tasolta alue, jota rajoittavat tietyt käyrät, joiden yhtälöt on annettu ja useimmiten nämä tehtävät muotoillaan seuraavasti: etsitään paras tuotantosuunnitelma annetuille resursseille. Resurssien jakaminen tapahtuu yleensä epäyhtälöiden muodossa, joiden yhtälöt on annettu. Siksi on etsittävä suurimmat tai pienimmät arvot, jotka jokin funktio on ottanut epäyhtälisyysjärjestelmän yhtälöiden määrittämältä alueelta.

Analyyttisessä geometriassa linja lentokoneessa määritellään joukoksi pisteitä, joiden koordinaatit täyttävät yhtälön F(x,y)=0. Tässä tapauksessa funktiolle F on asetettava rajoituksia niin, että toisaalta tällä yhtälöllä on ääretön joukko ratkaisuja ja toisaalta, jotta tämä ratkaisujoukko ei täytä "palaa tasosta" ”. Tärkeä riviluokka ovat ne, joille funktio F(x,y) on polynomi kahdessa muuttujassa, jolloin yhtälön F(x,y)=0 määrittelemää suoraa kutsutaan ns. algebrallinen. Ensimmäisen asteen yhtälön antamat algebralliset viivat ovat suoria. Toisen asteen yhtälö, jolla on ääretön määrä ratkaisuja, määrittelee ellipsin, hyperbolin, paraabelin tai kahdeksi suoraksi jakautuvan suoran.

Olkoon tasossa suorakaiteen muotoinen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä. Tasossa oleva suora voidaan antaa jollakin yhtälöistä:

kymmenen. Suoran suoran yleinen yhtälö

Ax + By + C = 0. (2.1)

Vektori n(А,В) on ortogonaalinen suoraa viivaan nähden, luvut A ja B eivät ole yhtä aikaa nolla.

kaksikymmentä. Viivayhtälö ja kaltevuus

y - y o = k (x - x o), (2.2)

missä k on suoran kaltevuus, eli k = tg a , missä a - suoran akselin Оx, M (x o , y o) kanssa muodostaman kulman arvo - jokin suoraan kuuluva piste.

Yhtälö (2.2) saa muotoa y = kx + b, jos M (0, b) on suoran ja Oy-akselin leikkauspiste.

kolmekymmentä. Segmenttien suoran yhtälö

x/a + y/b = 1, (2.3)

missä a ja b ovat koordinaattiakseleiden suoralla viivalla leikattujen segmenttien arvot.

40 . Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö on A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2):

. (2.4)

viisikymmentä. Tietyn vektorin suuntaisen pisteen A(x 1 , y 1) läpi kulkevan suoran yhtälö a(m, n)

. (2.5)

60 . Normaali suoran yhtälö

rn o - p = 0, (2,6)

missä r on tämän suoran mielivaltaisen pisteen M(x, y) säde, n o on yksikkövektori, joka on kohtisuorassa tätä suoraa vastaan ​​ja on suunnattu origosta suoralle; p on etäisyys origosta suoraan.

Normaalilla koordinaattimuodossa on muoto:

x cos a + y sin a - p \u003d 0,

missä - x-akselin kanssa kulkevan suoran muodostaman kulman arvo.

Pisteeseen A (x 1, y 1) keskitettyjen viivojen yhtälöllä on muoto:

y-y 1 = l (x-x 1),

missä l on säteen parametri. Jos säteen antaa kaksi leikkaavaa suoraa A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, niin sen yhtälö on muotoa:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2) = 0,

missä l ja m ovat säteen parametrit, jotka eivät käänny nollaan samaan aikaan.

Linjojen y \u003d kx + b ja y \u003d k 1 x + b 1 välinen kulma saadaan kaavasta:

tg j = .

Yhtälö 1 + k 1 k = 0 on välttämätön ja riittävä ehto sille, että suorat ovat kohtisuorassa.

Tehdä kaksi yhtälöä

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

asettaa saman suoran, on välttämätöntä ja riittävää, että niiden kertoimet ovat verrannollisia:

A 1 / A 2 = B 1 / B 2 = C 1 / C 2.

Yhtälöt (2.7), (2.8) määrittelevät kaksi erilaista yhdensuuntaista suoraa, jos A 1 /A 2 = B 1 /B 2 ja B 1 /B 2¹ C1/C2; suorat leikkaavat, jos A 1 /A 2¹B1/B2.

Etäisyys d pisteestä M o (x o, y o) suoraan on pisteestä M o suoralle vedetyn kohtisuoran pituus. Jos suora on annettu normaaliyhtälöllä, niin d =ê r noin n o - r ê , missä r o on pisteen M o sädevektori tai koordinaattimuodossa d =ê x o cos a + y o sin a - r ê .

Toisen asteen käyrän yleisellä yhtälöllä on muoto

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0.

Oletetaan, että yhtälön a 11, a 12, a 22 kertoimien joukossa on muita kuin nolla.

Yhtälö ympyrästä, jonka keskipiste on pisteessä C(a, b) ja jonka säde on yhtä suuri kuin R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R2. (2.9)

Ellipsikutsutaan pisteiden paikkaa, joiden etäisyyksien summa kahdesta annetusta pisteestä F 1 ja F 2 (foci) on vakioarvo, joka on yhtä suuri kuin 2a.

Kanoninen (yksinkertaisin) ellipsin yhtälö

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Yhtälön (2.10) antama ellipsi on symmetrinen koordinaattiakseleiden suhteen. Vaihtoehdot a ja b nimeltään akselin akselit ellipsi.

Olkoon a>b, jolloin polttopisteet F 1 ja F 2 ovat Ox-akselilla etäisyyden päässä
c= alkuperästä. Suhde c/a = e < 1 называется epäkeskisyys ellipsi. Etäisyydet ellipsin pisteestä M(x, y) sen polttopisteisiin (polttosädevektorit) määritetään seuraavilla kaavoilla:

r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x.

Jos< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x.

Jos a = b, niin ellipsi on ympyrä, jonka keskipiste on säteen alkupisteessä a.

Hyperboliakutsutaan pisteiden paikkaa, jonka etäisyyksien ero kahdesta annetusta pisteestä F 1 ja F 2 (foci) on absoluuttisesti yhtä suuri kuin annettu luku 2a.

Hyperbolin kanoninen yhtälö

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Yhtälön (2.11) antama hyperbola on symmetrinen koordinaattiakseleiden suhteen. Se leikkaa Ox-akselin pisteissä A (a,0) ja A (-a,0) - hyperbolin kärjessä eikä leikkaa Oy-akselia. Parametri a nimeltään todellinen puoliakseli, b -kuvitteellinen akseli. Parametri c= on etäisyys fokuksesta origoon. Suhde c/a = e >1 kutsutaan epäkeskisyys hyperbolia. Suorat, joiden yhtälöt y =± b/a x kutsutaan asymptootteja hyperbolia. Etäisyydet hyperbolin pisteestä M(x,y) sen polttopisteisiin (polttosädevektorit) määritetään seuraavilla kaavoilla:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

Kutsutaan hyperbolia, jossa a = b tasasivuinen, sen yhtälö x 2 - y 2 \u003d a 2 ja asymptoottien yhtälö y \u003d± x. Hyperbolat x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ja
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 kutsutaan konjugoitu.

paraabelion pisteiden sijainti, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä (focus) ja tietystä suorasta (suuntaviiva).

Paraabelin kanonisella yhtälöllä on kaksi muotoa:

1) y 2 \u003d 2px - paraabeli on symmetrinen Ox-akselin suhteen.

2) x 2 \u003d 2py - paraabeli on symmetrinen Oy-akselin suhteen.

Molemmissa tapauksissa p>0 ja paraabelin kärki, eli symmetria-akselilla oleva piste, sijaitsevat origossa.

Paraabeli, jonka yhtälöllä y 2 = 2рx on fokus F(р/2,0) ja suunta x = - р/2, pisteen M(x, y) polttosädevektori r = x+ р/2.

Paraabeli, jonka yhtälöllä x 2 =2py on fokus F(0, p/2) ja suuntaviiva y = - p/2; paraabelin pisteen M(x, y) polttosädevektori on r = y + p/2.

Yhtälö F(x, y) = 0 määrittää suoran, joka jakaa tason kahteen tai useampaan osaan. Yhdessä näistä osista epäyhtälö F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Toisin sanoen viiva
F(x, y)=0 erottaa sen tason osan, jossa F(x, y)>0, tason osasta, jossa F(x, y)<0.

Suora, jonka yhtälö on Ax+By+C = 0, jakaa tason kahteen puolitasoon. Käytännössä selvittääksemme, missä puolitasossa meillä on Ax + By + C<0, а в какой Ax+By+C>0, käytä keskeytyspistemenetelmää. Tätä varten otetaan ohjauspiste (ei tietenkään suoralla, jonka yhtälö on Ax + By + C = 0) ja tarkista mikä merkki lausekkeella Ax + By + C on tässä pisteessä. Samalla merkillä on osoitettu lauseke koko puolitasossa, jossa ohjauspiste sijaitsee. Toisessa puolitasossa Ax+By+C on päinvastainen etumerkki.

Epälineaariset epäyhtälöt kahden tuntemattoman kanssa ratkaistaan ​​samalla tavalla.

Ratkaistaan ​​esimerkiksi epäyhtälö x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Se voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Yhtälö (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 määrittää ympyrän, jonka keskipiste on pisteessä C(2,-3) ja jonka säde on 5. Ympyrä jakaa tason kahteen osaan - sisempään ja ulkoinen. Selvittääksemme, missä heistä tämä epäyhtälö tapahtuu, otamme ohjauspisteen sisäalueelta, esimerkiksi ympyrän keskipisteen C(2,-3). Korvaamalla pisteen C koordinaatit epäyhtälön vasemmalle puolelle, saadaan negatiivinen luku -25. Tästä syystä kaikissa ympyrän sisällä olevissa pisteissä epätasa-arvo
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Esimerkki 1.5.Muodosta pisteen A(3,1) kautta kulkevien ja 45 o kulmassa suoraa 2x+3y-1 = 0 päin olevien suorien yhtälöt.

Ratkaisu.Haemme muodossa y=kx+b. Koska suora kulkee pisteen A kautta, sen koordinaatit täyttävät suoran yhtälön, ts. 1=3k+b,Þ b = 1-3k. Viivojen välinen kulma
y= k 1 x+b 1 ja y= kx+b määritellään kaavalla tg j = . Koska alkuperäisen suoran 2x+3y-1=0 kaltevuus k 1 on -2/3, ja kulma j = 45 o , niin meillä on yhtälö k:n määrittämiseksi:

(2/3 + k)/(1 - 2/3 k) = 1 tai (2/3 + k)/(1 - 2/3 k) = -1.

Meillä on kaksi k:n arvoa: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Löytämällä vastaavat b:n arvot kaavalla b=1-3k, saadaan kaksi haluttua suoraa, joiden yhtälöt ovat: x - 5y + 2 = 0 ja
5x + y - 16 = 0.

Esimerkki 1.6. Millä parametrin arvolla t suorat, joiden yhtälöt 3tx-8y+1 = 0 ja (1+t)x-2ty = 0 ovat yhdensuuntaiset?

Ratkaisu.Yleisten yhtälöiden antamat suorat ovat yhdensuuntaisia, jos kertoimet at x ja y suhteellinen, ts. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Ratkaisemalla tuloksena olevan yhtälön löydämme t: t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3.

Esimerkki 1.7. Etsi kahden ympyrän yhteisen sointeen yhtälö:
x 2 +y 2 =10 ja x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Ratkaisu.Etsi ympyröiden leikkauspisteet, tätä varten ratkaisemme yhtälöjärjestelmän:

.

Ratkaisemalla ensimmäisen yhtälön löydämme arvot x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1. Toisesta yhtälöstä - vastaavat arvot y: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. Nyt saamme yhteisen sointeen yhtälön, kun tiedämme kaksi pistettä A (3,1) ja B (1,3), jotka kuuluvat tähän riviin: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3) tai y+ x - 4 = 0.

Esimerkki 1.8. Miten tasossa sijaitsevat pisteet, joiden koordinaatit täyttävät ehdot (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

Ratkaisu.Järjestelmän ensimmäinen epäyhtälö määrittelee ympyrän sisäosan, ei sisällä rajaa, ts. ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä (3,3) ja säde . Toinen epäyhtälö määrittelee puolitason, jonka määrittelee suora, jonka yhtälö on x = y, ja koska epäyhtälö on tiukka, itse suoran pisteet eivät kuulu puolitasoon ja kaikki tämän suoran alapuolella olevat pisteet viiva kuuluu puolitasoon. Koska etsimme pisteitä, jotka täyttävät molemmat epäyhtälöt, haluttu alue on puoliympyrän sisäosa.

Esimerkki 1.9.Laske neliön sivun pituus, joka on piirretty ellipsiin, jonka yhtälö on x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1.

Ratkaisu.Päästää M(s, s)- neliön kärki, joka sijaitsee ensimmäisellä neljänneksellä. Silloin neliön sivu on 2 Kanssa. Koska piste M kuuluu ellipsiin, sen koordinaatit täyttävät yhtälön ellipsistä c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, mistä
c = ab/ ; joten neliön sivu on 2ab/ .

Esimerkki 1.10.Hyperbolin y = asymptoottien yhtälön tunteminen± 0,5 x ja yksi sen pisteistä M (12, 3), laadi hyperbolin yhtälö.

Ratkaisu.Kirjoitamme hyperbolin kanonisen yhtälön: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Hyperbolin asymptootit saadaan yhtälöistä y =± 0,5 x, joten b/a = 1/2, joten a=2b. Koska M- hyperbelin piste, niin sen koordinaatit täyttävät hyperbelin yhtälön, ts. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Koska a = 2b, löydämme b: b 2 =9Þ b = 3 ja a = 6. Tällöin hyperbelin yhtälö on x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

Esimerkki 1.11.Laske paraabeliin kirjoitetun säännöllisen kolmion ABC sivun pituus parametrin kanssa R, olettaen, että piste A osuu yhteen paraabelin kärjen kanssa.

Ratkaisu.Paraabelin kanoninen yhtälö parametrin kanssa R on muotoa y 2 = 2рx, sen kärki on sama kuin origon ja paraabeli on symmetrinen x-akselin suhteen. Koska suora AB muodostaa 30 o kulman akselin Ox kanssa, suoran yhtälö on: y = x. paljon kaavioita

Näin ollen voimme löytää pisteen B koordinaatit ratkaisemalla yhtälöjärjestelmän y 2 =2px, y = x, josta x = 6p, y = 2p. Näin ollen pisteiden A(0,0) ja B(6p,2p) välinen etäisyys on 4p.