Kentänvoimakkuus levyjen välillä. Tasaisen kondensaattorin levyjen välinen vetovoima

Lukukausi 3. Luento4.

Luento 4. Varautuneiden johtimien sähkökenttä.

Sähköstaattisen kentän energia.

Kenttä lähellä johdinta. Johtimien ja kondensaattorien kapasitanssi. (Litteiden, sylinterimäisten ja pallomaisten kondensaattorien kapasiteetit). Kiinteiden maksujen järjestelmän energia. Varautuneen johtimen, kondensaattorin energia. Sähköstaattisen kentän energiatiheys.

Sähköstaattisessa teoriassa oli kätevää määrittää liittyvät Sähkövoima, tiedä. Ajatellaan yksittäisiä maksuja yksi kerrallaan, vaikka järjestelmämme olisi kokoelma useista maksuista, ja hylkäämme ajatuksen "toimista etänä". Samoista syistä haluaisimme määritellä muunnelman sähköisestä potentiaalienergiasta varausyksikköä kohti, jotta voimme ajatella potentiaalienergian määrää, joka voidaan saada tai menettää yhdellä sähkökentässä olevalla varauksella.

Sähköpotentiaali mitataan coulomb jouleina, joka tunnetaan myös voltteina. Itse asiassa kutsumme usein sähköpotentiaalia "jännitteeksi", nämä kaksi ovat synonyymejä tarkoituksiinmme. Kuten gravitaatiopotentiaali, myös sähköpotentiaali on skalaarisuure. Se on pohjimmiltaan mitta sähköpotentiaalin energian muutoksesta varausyksikköä kohti.

Kun johdin viedään ulkopintaan sähkökenttä Varaukset johtimen sisällä alkavat liikkua ulkoisen kentän voimien vaikutuksesta, kunnes tasapaino saavutetaan. Tämä johtaa sähkövarauksen uudelleen jakautumiseen johtimen sisällä. Johtimen alueet, jotka olivat aiemmin sähköisesti neutraaleja, saavat kompensoimattoman sähkövarauksen. Tämän seurauksena sähkökenttä ilmestyy (tai, kuten sanotaan, indusoituu) johtimeen

. Sähkövarausten tasapainon ehto:

Näin voimme nähdä, että potentiaalierolla on myös yksikköjä sähkökenttä etäisyydellä. Tämä on tietyllä tavalla järkevää, koska riittää, että sähköpotentiaalin ero kulkee sähkökentän läpi. Koska sähkökentässä on newtonien yksikköä riipusta kohti, voimme tehdä seuraavan havainnon.

Jos vapautat positiivisen varauksen, joka kiihtyy spontaanisti korkean potentiaalin alueilla alhaiseen potentiaaliin - positiivisilla varauksilla on taipumus minimaaliseen sähköpotentiaaliin. Sitä vastoin negatiiviset varaukset tavoittelevat maksimaalista sähköpotentiaalia. Työtä on tehtävä positiivisilla varauksilla niiden saattamiseksi suurempaan potentiaaliin, työ on tehtävä negatiivisilla varauksilla, jotta ne viedään alhaisemman potentiaalin alueille.

,

nuo. kentänvoimakkuus johtimen sisällä:

Siksi saamme tasa-arvosta johtimen sisällä. Siksi tämä ehto täyttyy myös johtimen rajalla. Nuo. johtimen pinta on ekvipotentiaali pinta- , siksi sähkökentän voimalinjat ovat kohtisuorassa johtimen pintaan nähden kussakin pisteessä .

Pistekuormissa sähkökenttä määritellään avaruuden läpi, lukuun ottamatta kuorman oikeaa puolta, ja toimii samalla tavalla kuin sen sähköpotentiaali. Ei ole selvää paikkaa kutsua "tyhjäksi". Emme myöskään voi yhdistää maadoitusjohtoa yhteen elektroniin. Loppujen lopuksi lähes aina pistevarauksen potentiaali määritellään nollaksi äärettömällä etäisyydellä itse varauksesta. Tämä on todella kätevää, uskokaa tai älkää, ja se osoittaa selvästi, että ainoa tapa päästä eroon pistekuorman aiheuttamasta potentiaalista on poistaa kuorma kokonaan.

ladattu johdin .

Jos yksittäiseen johtimeen välitetään ulkoinen sähkövaraus, niin varausten tasapainon ehto johtaa jälleen ehtoon:

,johtimen sisällä.

Tästä seuraa, että kaikki ulkoiset varaukset sijaitsevat johtimen pinnalla, koska. kentänvoimakkuus johtimen sisällä on nolla, ja Gaussin lauseen mukaan mille tahansa johtimen sisällä olevalle suljetulle pinnalle (mukaan lukien johtimen ulkopinta):

Kuvassa 3 on esitetty sähkökentän vertailu pistekuorman sähköpotentiaaliin kuorman etäisyyden funktiona. Muista: voit mitata vain sähköpotentiaalin eroja. Nopea huomautus hämmennyksen selvittämiseksi myöhemmin: kun puhutaan pistevarauksista, kuten elektroneista sähkökentissä tai atomeista kiteessä, käytämme usein kätevämpää energiayksikköä, elektronivolttia. Ajan myötä löydämme elektronivoltin yhä useammin, ja tämä osoittautuu erittäin käteväksi, kun olemme kiireisiä pienen määrän varausten laskemisessa.

.

Koska tässä tapauksessa johtimen pinta on myös ekvipotentiaalinen, sähkökentän voimalinjat suunnataan kohtisuoraan johtimen pintaan nähden sen jokaisessa pisteessä.

Gaussin lauseesta seuraa, että lähellä johtimen pintaa

Sähkösiirtymävektorin suuruus on yhtä suuri kuin ulkoisten varausten pintatiheys.

Sähköpotentiaali noudattaa myös superpositiota, kuten sähkövoima. Sähköinen kokonaispotentiaali jossain vaiheessa useista pistevarauksista on vain yksittäisistä pistevarauksista johtuvien sähköisten potentiaalien summa. Sähköpotentiaali on skalaari, meidän ei tarvitse huolehtia komponenteista, sähköpotentiaalit ovat vain niiden panosten lukumäärä.

Kuten superpositioperiaatteesta voi odottaa, kahden varauksen välinen potentiaali on nolla, ja se tulee hyvin suureksi jokaisen kuorman lähellä, kuten myös sähkökenttä. Sähköpotentiaali tasossa, joka sisältää sähköisen dipolin. Sähköpotentiaalin korkeusasteikko. Viivat edustavat potentiaalintasauspiirejä.

Varaus johtimen pinnalla jakautuu siten, että pintapotentiaali pysyy vakiona. Tämä johtaa siihen, että varaustiheys johtimen pinnalla ei ole sama. Esimerkiksi johtimien terävissä osissa varaustiheys on suurempi kuin syvennyksissä. Tässä suhteessa syntyy erilaisia ​​​​ilmiöitä, esimerkiksi "latauksen tyhjeneminen". Jos johdin on ilmassa, ilman ionisaatio tapahtuu kärjen lähellä ja kuljettaa pois osan sähkövarauksesta - ilmiö, jota kutsutaan "sähkökuuliksi".

Siten sähkövoimalla tehtävä varaukseen liittyvä työ liittyy varauksen sähköisen potentiaalienergian muutokseen. Yhdistämällä nämä kaksi tosiasiaa voimme helposti yhdistää työn ja mahdollisen eron. Sähköstaattisen teorian kohteessa sanoimme, että sähköstaattisessa tasapainossa olevan johtimen nettovaraus on vain johtimen pinnalla. Toisaalta sanoimme, että sähkökenttä aivan johtimen pinnan ulkopuolella on kohtisuorassa pintaan nähden ja että johtimen sisällä oleva kenttä on nolla.

Tämä tarkoittaa myös sitä, että kaikki pisteet johtimen pinnalla, jotka ovat varautuneet sähköstaattisessa tasapainossa, ovat samassa potentiaalissa. Mielivaltainen kuljettaja, jolla on positiivinen varaus. Yhtälö 23 antaa meille hyvin yleisen tuloksen: ei ole työtä siirtää kuormaa kahden pisteen välillä, joilla on sama sähköpotentiaali.

Sähköinen kuvantamismenetelmä .

Jos ekvipotentiaalipinta korvataan johtavalla, ja tämän pinnan erottama kentän osa hylätään, kenttäkuvio ei muussa osassa muutu. Päinvastoin, jos kenttäkuvaa täydennetään kuvitteellisilla varauksilla siten, että johtava pinta voidaan korvata potentiaalintasaisella, alkuperäinen kenttäkuva ei muutu.

Koska sähkökenttä ja siirtymä ovat aina kohtisuorassa, työtä ei tehdä liikuttaessa johtimen pinnan poikki. Koska valittu polku on täysin mielivaltainen, tämä tarkoittaa, että se on totta kahdelle pinnan pisteelle. Potentiaalit ja ajurit ladattu.

Sähköpotentiaali on pinnalla vakio. Sähköpotentiaali on vakio sisällä ja sen arvo on sama kuin arvo pinnalla. Kuorman siirtäminen sisältä pinnalle tai kahden pinnan pisteen välillä ei vaadi työtä.

Esimerkki.Etsi pistevarauksen vetovoima äärettömään johtavaan tasoon . Tätä varten täydennämme kuvaa toisella samantyyppisellä, mutta vastakkaisen merkin varauksella, joka sijaitsee symmetrisesti tasoon nähden. Silloin taso osuu ekvipotentiaalipinnan kanssa, joten taso voidaan hylätä ja varausten välinen vuorovaikutusvoima voidaan löytää: .

Tämä pätee tietysti vain ihanteellisiin kuljettajiin. Jos läsnä on muita hajottavia voimia, tämä ei pidä paikkaansa ja kuorman siirtäminen vaatii työtä hajaantuvan voiman läsnä ollessa. Kitkan tai viskositeetin sähköinen analogi on vastus.

Pintaa, jonka kaikki pisteet ovat samassa sähköpotentiaalissa, kutsutaan ekvipotentiaalipinnaksi. Potentiaaliero kahden pinnan pisteen välillä on nolla, joten työtä ei vaadita kuorman siirtämiseksi tasaisella nopeudella potentiaalintasauspintaa pitkin. Siksi johtimen pinta on ekvipotentiaalipinta. Potentiaalitasauspinnoilla on yksinkertainen yhteys kenttään: kenttä on kohtisuorassa ekvipotentiaalipintaan nähden kaikissa pisteissä.

Varautuneen johtimen energia .

Yksittäisen varautuneen johtimen energia määritellään varausjärjestelmän energiaksi: . Johtimessa, joten yksinäisen johtimen energia:

.

Kuvassa Kuva 10 esittää ekvipotentiaalipinnat ja sähkökenttäviivat yhden pistevarauksen, dipolin ja kahden samansuuruisen varauksen osalta. Huomaa, että kun olet piirtänyt sähkökenttäviivat, ekvipotentiaalipintojen piirtäminen on triviaalia ja käänteistä.

Sähkökenttäviivat ovat sinisiä viivoja ja punaiset viivat ovat yhden pistevarauksen, sähködipolin ja kahden samansuuruisen varauksen ekvipotentiaalipintoja. Kuinka voimme todella muuttaa yhden esineen sähköpotentiaalia - yleensä kutsumme sitä intensiteetiksi - suhteessa toiseen? Lataaminen induktiolla tai ajamalla on kaksi tapaa, mutta hieman hankalaa. Jännitelähteenä tunnettu laite on piirielementti, jossa on kaksi napaa, jossa näiden kahden navan välillä on jatkuva potentiaaliero.

Varattujen johtimien järjestelmälle: .

Erityisesti kahdelle johtimelle, joiden varaukset q ovat samansuuruisia, mutta eri etumerkillä, energia on yhtä suuri: .

Kommentti . Potentiaalieron suuruus olla nimeltään jännitystä ruumiiden välillä.

Sen, mikä on kytketty lähteen "negatiiviseen" napaan, on jännite "positiivisen" liittimen alapuolella. Akut ovat esimerkki vakiojännitelähteestä, ja kodin seinäpistorasiat ovat toinen esimerkki jännitelähteestä. Ihanteelliset jännitelähteet ilmaistaan ​​aina oppikirjassa, eli ne tarjoavat jatkuvan potentiaalieron. Todellisilla jännitelähteillä on aina rajoituksia, ensisijaisesti tuotettavan energian määrä.

Yhteinen lähde vakiojännite. Nyt kun tiedämme vähän jännitteistä ja johtimista, olemme lähestymässä yksinkertaisten sähköpiirien kuvaamista. Esittelemme nyt ensimmäisen todellisen piirielementtimme, kondensaattorin. Kondensaattori on elektroninen komponentti, jota käytetään varastoimaan sähkövarausta, sitä käytetään käytännössä missä tahansa virtapiiri. Kondensaattorit ovat käyttömuistin ja flash-muistin selkäranka, ja ne ovat kriittisiä melkein kaikille virtalähteille.

Kokemus osoittaa, että yksittäisen johtimen varauksen ja sen potentiaalin välillä on lineaarinen suhde: . Suhteellisuustekijä Kanssa olla nimeltään sähkökerroin astiat tai sähköinen kapasiteetti . Sähkökapasiteetin yksikkö on Farad (

).

Se on yksi elektroniikan peruspilareista. Kuvassa 12 on tyypillinen kondensaattorirakenne - kaksi metallilevyä, joiden keskellä on pieni määrä erikoismateriaalia. On vaikea uskoa, että monimutkaiset laitteet, kuten tietokoneet, perustuvat näin yksinkertaiseen suunnitteluun, mutta se on totta.

Piirissä käytettyinä levyt on kytketty jännitelähteen, kuten akun, plus- ja negatiivisiin napoihin. Kuorma molemmissa levyissä on sama, mutta sillä on päinvastainen etumerkki. Pohjimmiltaan kahden levyn asettaminen eri potentiaaliin tarkoittaa, että elektronit haluavat siirtyä levylle, jolla on korkein potentiaali ja poistua levyltä, jolla on pienempi potentiaali. Tämän rakenteen kapasiteetti. Varauksen liike levyjen välillä pysähtyy, kun levyjen potentiaaliero osuu yhteen jännitelähteen potentiaalieron kanssa.

Kondensaattori Sitä kutsutaan kahden johtimen järjestelmäksi, jotka on varattu samalla suuruudella, mutta eri etumerkillä. Johtimet kutsutaan kondensaattorilevyt .

Kondensaattorin kapasitanssi määräytyy kaavan mukaan.

Kondensaattori on perinteisesti merkitty.

Kondensaattorien kytkentä

Kondensaattori myydään tämän potentiaalieron vuoksi, ja siksi se varastoi sähköä jonkin ajan kuluttua, jolloin se voidaan hakea tiettyyn sovellukseen. Voit ajatella sitä energian varastoimisena tai vasteen viivästymisenä sähköiskunvaimentimena jännite-erojen muuttamiseksi.

Kahden johtimen tietyn järjestelyn kapasitanssi riippuu niiden geometriasta ja suhteellisesta järjestelystä. Yleinen rakenne on rinnakkaislevykondensaattori, kuten kuvassa näkyy. Sähköstaattisen teorian kohteena todistamme kahden rinnakkaisen levyn välisen sähkökentän pysyvyyden ilman todistetta. Mutta mikä on levyjen välinen kenttä?

Harkitse kahden kondensaattorin C 1 ja C 2 sarjakytkentää. Kondensaattorien välinen piste A on erotettu muusta piiristä, joten sen sähkövaraus ei voi muuttua. Koska minkä tahansa pisteen alkuvaraus oli nolla, niin . Näin ollen pisteen A vieressä olevien kondensaattorilevyjen varaukset ovat suuruudeltaan yhtä suuret, mutta etumerkillisesti vastakkaiset. Mutta koska levyjen varauksen arvo on yhtä suuri kuin kondensaattorien varaus, niin. Pisteen A kokonaisvaraus on nolla, joten jos hylkäämme tämän pisteen yhdessä levyjen kanssa, mikään ei muutu piirissä. Koska äärilevyjen varaukset ovat myös suuruudeltaan samat, mutta eri etumerkillä, niin tuloksena olevalla kondensaattorilla on sama varaus suuruudeltaan.

Kohdassa 8 havaitaan, että sähkökenttä litteän johtavan levyn päällä määritellään seuraavasti: missä on varaus levyn pinta-alayksikköä kohti. Tämä tuo meidät hyödyllisempään ilmaisuun kentälle: Tämä taas ei pidä paikkaansa levyjen reunojen lähellä, joissa kenttä ei ole vakio. Yhdistämällä tämä edelliseen, voimme löytää yhtälön 24 rinnakkaislevykondensaattorin kapasitanssin. Rinnakkaisen levykondensaattorin kapasitanssi.

Yhtälöstä 26 voimme nähdä, että kondensaattorit voivat varastoida enemmän varausta levyjen kasvaessa. Sama tapahtuu, kun levyt lähestyvät. Kun levyt ovat lähempänä toisiaan, vastakkaiset varaukset kohdistavat voimakkaamman voiman toisiinsa, jolloin levyille voidaan varastoida enemmän massaa. Yhtälöstä 24 potentiaalierossa oleva C-arvon kondensaattori tallentaa varauksen.

KAIKKI YHTEENSÄ . Sarjaan kytkettyjen kondensaattorien varaukset ovat suuruudeltaan samat. Sarjaan kytkettyjen kondensaattorien kokonaisvaraus on yhtä suuri kuin kunkin kondensaattorin varaus.

Tässä tapauksessa kokonaisjännite on yhtä suuri kuin kondensaattoreiden jännitteiden summa: U YLEINEN \u003d U 1 + U 2. Kondensaattorien varaukset ovat samat: q 1 \u003d q 2 \u003d q. Sitten . Siksi .

Kun kondensaattorit kytketään sarjaan, niiden kapasitanssit lisätään käänteislain mukaan .

Kapasitanssilaskenta kondensaattoreiden rinnakkaiskytkentää varten.

Tässä tapauksessa kondensaattoreiden jännitteet ovat samat: U 1 \u003d U 2 \u003d U.

Kokonaisvaraus on yhtä suuri kuin varausten summa: q GEN = q 1 + q 2 tai C GEN U=C 1 U+C 2 U.

Sitten C YLEISTÄ =C 1 +C 2 . Kun kondensaattorit kytketään rinnan, niiden kapasitanssit kasvavat.

Kondensaattorin energia :

.

Kondensaattorin kokonaisvaraus on nolla. Kondensaattori varastoi sähköenergiaa erottamalla sähkövaraukset.

Esimerkkejä kondensaattoreiden kapasitanssin laskemisesta .

Tasainen (ilma) lauhdutin tarkoittaa kahta yhdensuuntaista levyä, joiden välinen etäisyys on paljon pienempi kuin levyjen mitat, joten levyjen välistä kenttää voidaan pitää yhtenäisenä. Levyjen välissä on tyhjiö (ilma), joten  = 1.

Tässä tapauksessa kenttäkuviota laskettaessa voidaan käyttää äärettömän varautuneen tason kentälle saatuja tuloksia. Koska levyjen varaukset ja pinta-alat ovat suuruudeltaan yhtä suuret, kunkin levyn luoman kentänvoimakkuuden suuruus on sama: mutta intensiteettivektorien suunnat ovat erilaiset (intensiteettivektori negatiivisesti varautuneesta levystä on esitetty katkoviiva). Levyjen välillä intensiteettivektorit suunnataan samalla tavalla, joten kokonaisintensiteetti on yhtä suuri kuin kunkin levyn luomien kenttävoimakkuuksien summa:

.

Levyjen ulkopuolella kentänvoimakkuusvektorit on suunnattu vastakkain, joten kentänvoimakkuus ulkopuolella on nolla. Täten, kondensaattorissa kentänvoimakkuus on nollasta poikkeava vain levyjen välillä.

Koska sähköstaattinen kenttä on konservatiivisen voiman kenttä, integraali ei riipu liikeradan muodosta G, joten levyjen välinen potentiaaliero löytyy levyjä yhdistävää kohtisuoraa pitkin, jonka pituus on yhtä suuri kuin d:, missä d on levyjen välinen etäisyys. Sitten määritelmän mukainen litteän (ilma)kondensaattorin kapasitanssi on yhtä suuri:

Sylinterimäinen (ilma) lauhdutin koostuu kahdesta koaksiaalisylinteristä

samanpituisia, sisäkkäisiä toisiinsa siten, että levyjen välinen etäisyys on paljon pienempi kuin levyjen mitat.

Anna kondensaattorin pituus L, sisävuorauksen varaus on positiivinen: q > 0. Pinnoitussäteet R 1 ja R 2, anna R 1 <R 2. Kentänvoimakkuus levyjen välillä etäisyyden päässä r sisävuorauksesta, ts. varten R 1 <r <R 2, löydämme Gaussin lauseen avulla:

.

Sitten levyjen välinen jännite: .

Siksi sylinterimäisen (ilma)kondensaattorin sähköinen kapasiteetti: .

Kanssa pallomainen (ilma) lauhdutin edustaa kahta sisäkkäistä samankeskistä palloa levyjen säteiden kanssa R 1 ja R 2 ,R 1 <R 2. Olkoon sisävuorauksen varaus q> 0. Kentänvoimakkuus vuorausten välillä etäisyyden päässä r sisävuoresta ( R 1 <r <R 2) löydämme Gaussin lauseen avulla:

.

Levyjen välinen jännitys: .

Siksi pallomaisen (ilma)kondensaattorin kapasitanssi .

Sähköstaattisen kentän tilavuusenergiatiheys.

Harkitse tasaista ilmalauhdutinta. Ladatun kondensaattorin energia

.

Kondensaattorin levyjen välisen tilan määrä. Koska levyjen välisen kentän katsotaan olevan homogeeninen, tämän kentän tilavuusyksikkö on energia . Tätä arvoa kutsutaan tilavuusenergiatiheys .

Siinä tapauksessa, että kenttä ei ole tasainen, tilavuusenergiatiheys on .

Aineessa sähkökentän tilavuusenergiatiheys .

Homogeenisen isotrooppisen dielektrisen aineen tapauksessa .

Koska , sitten , missä

Sähkökentän energia tyhjiössä on aineen polarisaation energiaa.

Esimerkki . Tarkastellaan varautunutta ohutseinäistä palloa, jonka säde on R. Koska samannimiset varaukset hylkivät toisiaan pallolla, hylkivillä voimilla on taipumus venyttää pallon pintaa. Voimme olettaa, että pallon sisältä seiniin vaikuttaa lisäpaine p, halkeaa pallon ja aiheutuu pinnalla olevasta sähkövarauksesta. Etsitään R.

Kentänvoimakkuus pallon sisällä on nolla, joten sähkökentän tilavuusenergiatiheys w eroaa nollasta vain pallon ulkopuolella.

Pallon säteen lievä lisäys DR sen tilavuus kasvaa, kun taas siinä ympäröivän tilan osassa, joka joutui pallon sisälle, tilavuusenergiatiheys on yhtä suuri kuin nolla. Siksi ulkoisen kentän energian muutos on yhtä suuri kuin missä S on pinta-ala. Mutta pallon laajentuessa pallon sisällä olevat painevoimat tekevät työn . Siitä lähtien mistä.

Esimerkki . Etsitään levyihin vaikuttavat voimat ladatussa litteässä kondensaattorissa, joka on irrotettu virtalähteestä.

Levyt ovat vastakkaisesti varattuja, joten ne houkuttelevat. Oletetaan, että levyt ovat lähellä toisiaan vähän. x. Sitten lauhduttimen tilavuus pienenee dV = xS, joten kondensaattorin energia on pienentynyt dW = wdV. Houkuttelevat voimat toimivat A = fx. Koska A= dW, sitten fx = wxS. Siksi voiman suuruus on F = wS. Näiden voimien aiheuttama lisäpaine on yhtä suuri kuin.

Yllä olevat esimerkit osoittavat, että sähkökentässä oleviin kappaleisiin kohdistuu voimia, jotka aiheuttavat tilavuusenergiatiheyttä vastaavan lisäpaineen.

Sähkökentän olemassaolon aiheuttama paine on yhtä suuri kuin tilavuusenergiatiheys .

Voimat , vaikuttaa vartaloon jonkin kentän puolelta, kutsutaan pondemotoriksi .

Vastakkaisesti varautuneet kondensaattorilevyt vetävät toisiaan puoleensa.

Makroskooppisiin varautuneisiin kappaleisiin vaikuttavia mekaanisia voimia kutsutaanpohdiskelua .

Laskemme tasaisen kondensaattorin levyihin vaikuttavat ponderomotoriset voimat. Tässä tapauksessa kaksi vaihtoehtoa on mahdollista:

    Kondensaattori on ladattu ja irrotettu ladatusta akusta(tässä tapauksessa levyjen varausten määrä pysyy vakiona q = konst).

Kun kondensaattorin toinen levy poistetaan toisesta, työ on tehty

jonka vuoksi järjestelmän potentiaalienergia kasvaa:

Tässä tapauksessa dA = dW. Yhdistämällä näiden lausekkeiden oikeat puolet saadaan


(12.67)

Tässä tapauksessa erotettaessa levyjen välinen etäisyys merkittiin x.

    Kondensaattori ladattu, mutta ei irrotettu akusta(tässä tapauksessa siirrettäessä yhtä kondensaattorilevyistä jännite pysyy vakiona ( U = konst). Tässä tapauksessa, kun yksi levy siirtyy pois toisesta, kondensaattorikentän potentiaalienergia pienenee, koska varaukset "vuotavat" levyistä, joten


Mutta

, sitten


Tuloksena oleva lauseke osuu yhteen kaavan kanssa

. Se voidaan esittää myös toisessa muodossa, jos varauksen q sijasta otetaan käyttöön pintatiheys:


(12.68)

Kenttä on yhtenäinen. Kondensaattorin kentänvoimakkuus on

, missä x on levyjen välinen etäisyys. Korvaaminen kaavaan

U 2 \u003d E 2 x 2, saamme, että litteän kondensaattorin levyjen vetovoima


(12.69)

Nämä voimat eivät vaikuta vain levyihin. Koska levyt puolestaan ​​kohdistavat painetta niiden väliin asetettuun eristeeseen ja muuttavat sitä, syntyy painetta eristeessä


(S on jokaisen levyn pinta-ala).

Dielektrissä oleva paine on


(12.70)

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Esimerkki 12.5. Tasaisille lautasille ilman lauhdutin käytetään 1,5 kV potentiaalieroa. Levyn ala 150 cm 2 ja niiden välinen etäisyys on 5 mm. Kun kondensaattori oli irrotettu jännitelähteestä, lasi asetettiin levyjen väliseen tilaan (ε 2 =7). Määrittele:

1) levyjen välinen potentiaaliero dielektrisen lisäyksen jälkeen; 2) kondensaattorin kapasitanssi ennen ja jälkeen dielektrisen asennuksen; 3) levyjen pintavarauksen tiheys ennen ja jälkeen eristeen lisäämisen.

Annettu: U 1 \u003d 1,5 kV \u003d 1,5 ∙ 10 3 V; S \u003d 150 cm 2 \u003d 1,5 ∙ 10 -2 m 2; e 1 = 1; d=5mm=5∙10 -3 m.

Etsi: 1) U2; 2) C1C2; 3) σ 1 , σ 2

Päätös . Koska

(σ on kondensaattorilevyjen pintavaraustiheys), sitten ennen eristeen syöttöä σd=U 1 ε 0 ε 1 ja dielektrisen σd=U 2 ε 0 ε 2 lisäämisen jälkeen, joten


Kondensaattorin kapasitanssi ennen ja jälkeen dielektrisen käyttöönoton


ja

Levyjen varaus jännitelähteestä irrotuksen jälkeen ei muutu, ts. q=vakio. Siksi levyjen pintavarauksen tiheys ennen ja jälkeen dielektrisen käyttöönoton


Vastaus: 1) U 2 \u003d 214V; 2) C1 \u003d 26,5 pF; C2 \u003d 186pF; 3) σ 1 = σ 2 = 2,65 μC/m 2.

Esimerkki 12.7. Tasaisen kondensaattorin levyjen välinen rako täytetään anisotrooppisella dielektrillä, jonka läpäisevyys ε vaihtelee levyihin nähden kohtisuorassa suunnassa lineaarisen lain mukaan.ε = α + βх alkaen ε 1 ε asti 2 , ja ε 2 > ε 1 . Jokaisen vuorauksen pinta-alaS, niiden välinen etäisyysd. Selvitä kondensaattorin kapasitanssi.

Annettu:S; d; e 1; ε 2

Löytö: KANSSA.

Päätös . Dielektrisyysvakio ε vaihtelee lineaarisesti, ε = α + βx, missä x mitataan vuorauksesta, jonka läpäisevyys on yhtä suuri kuin ε 1 . Ottaen huomioon, että ε (0) = ε 1, ε (d) = ε 2, saadaan riippuvuus

. Etsi levyjen välinen potentiaaliero:


Kondensaattorin kapasitanssi on


Vastaus:

Esimerkki 12.7. Tasaisen kondensaattorin levyjen välissä, joka on ladattu potentiaalieroon U , kaksi eristekerrosta asetetaan yhdensuuntaisesti sen levyjen kanssa. Kerrosten paksuus ja eristeiden permittiivisyys ovat vastaavastid 1 , d 2 , ε 1 , ε 2 . Määritä sähköstaattisten kenttien voimakkuus dielektrisissä kerroksissa.

Annettu: U; d 1 , d 2 , ε 1 , ε 2

Löytö: E 1 , E 2 .

Päätös . Kondensaattorilevyjen yli oleva jännite, kun otetaan huomioon, että kenttä kussakin dielektrisessä kerroksessa on tasainen,

U=E1d1 +E2d2. (yksi)

Sähköinen siirtymä molemmissa dielektrisissä kerroksissa on sama, joten voimme kirjoittaa

D=D1=D2= ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 (2)

Lausekkeista (1) ja (2) löydämme halutun


(3)

Kaavasta (2) seuraa, että


Vastaus:

;

Esimerkki 12.7. Levyn alue S litteä kondensaattori on 100 cm 2 . Levyjen välinen tila täytetään tiiviisti kahdella eristekerroksella - kiillelevyllä (ε 1 =7) paksu d 1 = 3,5 mm ja parafiini (ε 2 =2) paksuus d 2 = 5 mm. Määritä tämän kondensaattorin kapasitanssi.

Annettu: S= 100 cm 2 =10 -2 m 2 ; ε 1 =7; d 1 =3,5mm = 3,5∙10 -3 m;, e 1 =2; d 1 =3,5mm = 5∙10 -3 m;

Löytö: KANSSA.

Päätös . Kondensaattorin kapasiteetti


jossa = - varaus kondensaattorilevyillä (- pintavaraustiheys levyillä); \u003d - levyjen potentiaaliero, joka on yhtä suuri kuin dielektristen kerrosten jännitteiden summa: U \u003d U 1 +U 2. Sitten


(1)

Jännitteet U 1 ja U 2 löytyvät kaavoista


;

(2)

jossa E1 ja E2 - sähköstaattisen kentän voimakkuus dielektrisen aineen ensimmäisessä ja toisessa kerroksessa; D on sähköinen siirtymä dielektrissä (sama molemmissa tapauksissa). Ottaen huomioon sen

Ja annettu kaava (2), lausekkeesta (1) löydämme kondensaattorin halutun kapasitanssin


Vastaus: C \u003d 29,5 pF.

Esimerkki 12.7. Kolmen kondensaattorin akku, jotka on kytketty sarjaan C 1 \u003d 1 μF; Kanssa 2 \u003d 2uF ja C 3 \u003d 4 μF on kytketty EMF-lähteeseen. Kondensaattorin akun lataus q \u003d 40 μC. Määritä: 1) jännite U 1 , U 2 ja U 3 jokaisessa kondensaattorissa; 2) EMF-lähde; 3) kondensaattoripankin kapasiteetti.

Annettu : C 1 \u003d 1 μF = 1 ∙ 10 -6 F; C 2 \u003d 2 μF \u003d 2 ∙ 10 -6 F ja C 3 \u003d 4 μF \u003d 4 ∙ 10 -6 F; q \u003d 40 μC \u003d F 410 -6 .

Etsi: 1) U 1 , U 2 , U 3 ; 2) ξ; 3) C.

Päätös . Kun kondensaattorit kytketään sarjaan, kaikkien levyjen varaukset ovat itseisarvoltaan yhtä suuret

q 1 \u003d q 2 \u003d q 3 \u003d q.

Kondensaattorin jännite






Lähteen EMF on yhtä suuri kuin kunkin sarjaan kytketyn kondensaattorin jännitteiden summa:

ξ \u003d U 1 + U 2 + U 3

Kun se on kytketty sarjaan, kunkin kondensaattorin kapasitanssien käänteisluvut lasketaan yhteen:


Missä on kondensaattoripankin haluttu kapasiteetti


Vastaus: 1) U 1 \u003d 40 V; U 2 \u003d 20 V, U 3 = 10 V; 2) Ɛ= 70V; 3) C \u003d 0,571 µF.

Esimerkki 12.7. Kaksi samankapasiteettista litteää ilmakondensaattoria on kytketty sarjaan ja kytketty EMF-lähteeseen. Kuinka ja kuinka monta kertaa kondensaattorien varaus muuttuu, jos yksi niistä upotetaan öljyyn, jonka dielektrisyysvakio ε=2,2.

Annettu: C 1 \u003d C 2 \u003d C; q \u003d 40 μC \u003d 40 ∙ 10 -6 F ; ε 1 =1; ε 2 =2,2.

Löytö: .

Päätös . Kun kondensaattorit kytketään sarjaan, molempien kondensaattorien varaukset ovat yhtä suuret. Ennen upottamista dielektriseen (öljyyn) kunkin kondensaattorin varaus


missä ξ \u003d U 1 + U 2 (kun kondensaattorit on kytketty sarjaan, lähteen EMF on yhtä suuri kuin kunkin kondensaattorin jännitteiden summa).

Kun yksi kondensaattoreista on upotettu eristeeseen, kondensaattorien varaukset ovat jälleen samat ja vastaavasti ensimmäisessä ja toisessa kondensaattorissa ovat yhtä suuret.

q = CU 1 = ε 2 CU 2

(ottaen huomioon, että ε 1 =1), josta, jos otamme huomioon, että ξ = U 1 + U 2, saadaan


(2)

Jakamalla (2) (1) saadaan haluttu suhde


Vastaus:

, eli kondensaattorien varaus kasvaa kertoimella 1,37.

Esimerkki 12.7. Kondensaattorit, joiden kapasitanssi on C, on kytketty kuvan a mukaisesti. määrittää kapasitanssin yleinen tämä kondensaattorien kytkentä. .


Päätös . Jos irrotat kondensaattorin C 4 piiristä, saat kondensaattoreiden kytkennän, joka on helppo laskea. Koska kaikkien kondensaattorien kapasiteetit ovat samat (C 2 \u003d C 3 ja C 5 \u003d C 6), molemmat rinnakkaiset haarat ovat symmetrisiä, joten haaroissa tasaisesti sijaitsevien pisteiden A ja B potentiaalien on oltava samat. Kondensaattori C 4 on siis kytketty pisteisiin, joissa potentiaaliero on nolla. Siksi kondensaattoria C4 ei ole ladattu, ts. se voidaan sulkea pois ja ongelmatilanteessa esitettyä kaaviota voidaan yksinkertaistaa (kuva b).

Tämä piiri koostuu kolmesta rinnakkaisesta haarasta, joista kahdessa on kaksi kondensaattoria sarjassa.


Vastaus: C yhteensä = 2C.

Esimerkki 12.7. Litteä lauhdutin teholla C 1 \u003d 4pF ladattu potentiaalieroonU 1 = 100V. Kun kondensaattori oli irrotettu jännitelähteestä, kondensaattorilevyjen välinen etäisyys kaksinkertaistui. Määritä: 1) potentiaalieroU 2 kondensaattorilevyillä niiden erottamisen jälkeen; 2) ulkoisten voimien työ työntää levyjä erilleen.

Annettu: C 1 \u003d 4pF \u003d 4 ∙ 10 -12 F; U 1 \u003d 100 V; d 2 \u003d 2d 1.

Löytö: 1) U2;2)A.

Päätös . Kondensaattorilevyjen varaus jännitelähteestä irrotuksen jälkeen ei muutu, ts. Q = vakio. Siksi

C 1 U 1 \u003d C 2 U 2, (1)

jossa C 2 ja U 2 ovat vastaavasti kondensaattorilevyjen kapasitanssi ja potentiaaliero sen jälkeen, kun ne on siirretty erilleen.

Ottaen huomioon, että litteän kondensaattorin kapasitanssi

, kaavasta (1) saadaan haluttu potentiaaliero


(2)

Kun kondensaattori on irrotettu jännitelähteestä, kahden varautuneen levyn järjestelmää voidaan pitää suljettuna, jolle energian säilymisen laki täyttyy: ulkoisten voimien työ A on yhtä suuri kuin järjestelmän energian muutos.

A \u003d L 2 - L 1 (3)

missä W 1 ja W 2 ovat kondensaattorikentän energia alku- ja lopputilassa, vastaavasti.

Olettaen että

ja

(q – const), kaavasta (3) saadaan haluttu ulkoisten voimien työ

[ottaen huomioon, että q=C 1 U 1 ja kaava (2)].

Vastaus : 1) U 2 \u003d 200 V; 2) A \u003d 40nJ.

Esimerkki 12.7. Kiinteä dielektrinen pallo, jonka sädeR=5cm ladattu tasaisesti irtotiheydellä ρ=5nC/m 3 . Määritä palloa ympäröivän tilan sähköstaattisen kentän energia.

Annettu: R = 5 cm = 5-10 -2 m; ρ = 5nC/m 3 = 5∙10 -9 C / m 3.

Löytö: W.

Päätös . Varautuneen pallon kenttä on pallosymmetrinen, joten tilavuusvaraustiheys on sama kaikissa pisteissä, jotka sijaitsevat yhtä etäisyydellä pallon keskustasta.

E energia elementaarisessa pallomaisessa kerroksessa (se valitaan eristeen ulkopuolelta, jossa energia tulisi määrittää) tilavuudella dV (katso kuva)

missä dV = 4πr 2 dr (r on elementaarisen pallomaisen kerroksen säde; dr on sen paksuus);

(ε=1 – kenttä tyhjiössä; E – sähköstaattinen kentän voimakkuus).

Löydämme Gaussin lauseen avulla intensiteetin E kentällä tyhjiössä ja valitsemme mentaalisesti pallon, jonka säde on r suljetuksi pinnaksi (katso kuva). Tällöin koko pallon panos, joka muodostaa tarkasteltavan kentän, pääsee pinnan sisään ja Gaussin lauseen mukaan


Missä

Korvaamalla löydetyt lausekkeet kaavaan (1) saadaan


Palloa ympäröivän tilan sisältämä energia,

Vastaus: L = 6,16∙10 -13 J.

Esimerkki 12.7. Tasokondensaattori levyjen pinta-alallaSja niiden välinen etäisyys ℓ varaus ilmoitetaanq, jonka jälkeen kondensaattori irrotetaan jännitelähteestä. Määritä vetovoimaFkondensaattorilevyjen väliin, jos levyjen välisen väliaineen dielektrisyysvakio on yhtä suuri kuin ε.

Annettu : S; ℓ; q; ε .

Löytö: F.

Päätös . Kondensaattorilevyjen varaus jännitelähteestä irrotuksen jälkeen ei muutu, ts. q=vakio. Oletetaan, että vetovoiman F vaikutuksesta kondensaattorilevyjen välinen etäisyys on muuttunut d:llä . Silloin voima F toimii

Energian säilymislain mukaan tämä työ on yhtä suuri kuin kondensaattorin energiahäviö, ts.


. (3)

Korvaaminen varautuneen kondensaattorin energian kaavaan

tasaisen kondensaattorin kapasitanssin lauseke

, saamme


(4)


Vastaus:

Esimerkki 12.7. TasolevykondensaattoriSja niiden välinen etäisyys ℓ kytketty vakiojännitelähteeseenU. Määritä vetovoimaFkondensaattorilevyjen väliin, jos levyjen välisen väliaineen dielektrisyysvakio on yhtä suuri kuin ε.

Annettu : S; ℓ; U; ε .

Löytö: F.

Päätös . Kondensaattorilevyillä ylläpidetään ongelman tilanteen mukaan vakiojännite, ts. U = vakio Oletetaan, että vetovoiman F vaikutuksesta kondensaattorilevyjen välinen etäisyys on muuttunut dℓ. Silloin voima F toimii

Energian säilymislain mukaan tämä työ menee tässä tapauksessa kondensaattorin energian lisäämiseen (vertaa edelliseen tehtävään), ts.

josta saamme lausekkeiden (1) ja (2) perusteella


(3)

Korvaaminen kondensaattorin energian kaavaan

tasaisen kondensaattorin kapasitanssin lauseke

, saamme


(4)

Korvaamalla energia-arvon (4) kaavaan (3) ja suorittamalla differentioinnin, löydämme halutun vetovoiman kondensaattorilevyjen välillä


.

jossa "-"-merkki osoittaa, että voima F on vetovoima.

Vastaus :