(esimerkkejä ongelmanratkaisusta)

yksinäinen kapellimestari

Esimerkki 7.1.

Etsi säteisen pallomaisen johtimen kapasitanssi R 1, jota ympäröi viereinen samankeskinen dielektrinen kerros, jonka permittiivisyys  ja ulkosäde R 2 .

Ratkaisu.

Menetelmä 1. Ilmoitetaan varausjohtimelle ja selvitetään sähkökentän voimakkuus ympäröivästä tilasta. Sähkösiirtymäkentän suuruus on

varten

, siksi:

.

Johtimen jännite edustaa seuraavaa ilmaisua:

Kapasitanssin arvo saadaan määritelmän mukaan lausekkeesta:

.

Menetelmä 2. Tarkastellaan dielektrillä ympäröityä johtavaa palloa sarjaan kytkettyjen pallokondensaattorien järjestelmänä (katso kuva). Käyttämällä harjoituksen 7.4 tulosta kapasitanssiarvoille saamme:,

. Koko järjestelmän kapasiteetti määräytyy lausekkeen mukaan

,

mikä tietysti on sama kuin menetelmässä 1 saatu tulos.

Litteä kondensaattori

Esimerkki 7.2.

Levyjen välissä oleva tila litteä kondensaattori täytetty dielektrillä, jonka läpäisevyys riippuu etäisyydestä x johonkin lain mukaisista päällysteistä

, jossa  1 on vakio, d - levyjen välinen etäisyys. Jokaisen vuorauksen pinta-ala S. Selvitä kondensaattorin kapasitanssi.

Ratkaisu.

Kuvitellaan epähomogeenisella dielektrillä täytetty kondensaattori äärettömänä sarjaan kytkettyjen alkeiskondensaattoreiden järjestelmänä, jonka kapasitanssi on yhtä suuri kuin

. Koko järjestelmän kapasiteetti määräytyy lausekkeella:

Mistä saamme:

.

Pallomainen kondensaattori

Esimerkki 7.3.

Selvitä pallokondensaattorin kapasitanssi, jonka levyjen säteet a ja b, ja a < b r kondensaattorin keskelle

, missä

.

Ratkaisu.

Menetelmä 1.

Kuten edellisessä esimerkissä, pallomainen kondensaattori, jolla on epätasainen mutta pallosymmetrinen dielektrinen jakautuma, voidaan esittää järjestelmänä elementaarisista pallomaisista kondensaattoreista, jotka on kytketty sarjaan kapasitanssien kanssa

ja etsi järjestelmän kapasiteetti as

.

Menetelmä 2.

Sähkösiirtymäkentän suuruus tässä tapauksessa on yhtä suuri

, ja tämän kentän voimakkuus määritetään lausekkeella Jännitearvo, tässä tapauksessa, on yhtä suuri kuin ja kapasitanssiarvo.

Sylinterimäinen kondensaattori

Esimerkki 7.4.

Selvitä pituisen sylinterimäisen kondensaattorin kapasitanssi l, jonka levyjen säteet a ja b, ja a < b, jos levyjen välinen tila on täytetty dielektrillä, jonka läpäisevyys riippuu etäisyydestä r kondensaattorin akselille as

, missä

.

Ratkaisu. Kuvittele sylinterimäinen kondensaattori sarjaan kytkettyinä peruskondensaattoreina, joilla on kapasitanssi

. Koko peruskondensaattorijärjestelmän kapasitanssin arvo löytyy suhteesta

Täältä saamme vihdoin vastauksen:

.

Esimerkki 7.5.

Sylinterimäisellä kondensaattorilla on levyn ulkohalkaisija .Mikä pitäisi olla sisävuorauksen halkaisija niin, että tietyllä jännitteellä kondensaattorin yli jännitystä sähkökenttä sisävuorauksessa

oli minimi?

Ratkaisu. Sähkökentän voimakkuuden suuruus sisävuorauksessa

löytää seuraavista suhteista. Sylinterimäisen kondensaattorin kapasitanssiarvon korvaaminen (katso harjoitus 7.5) johtaa lauseeseen:

.

Löytääksemme ääripään, löydämme nimittäjän derivaatan (koska osoittajalla on kiinteä arvo)

.

Ymmärrämme sen nollaan, löydämme

. Että se vastaa minimiä

, voidaan varmistaa ottamalla toinen derivaatta ja määrittämällä sen etumerkki kohdassa

.

Kondensaattorien kytkentä

Esimerkki 7.6.

Neljä kondensaattoria kapasitanssien kanssa

ja kytketty kuvan osoittamalla tavalla. Mikä suhde kondensaattoreiden kapasitanssien tulee täyttää, jotta pisteiden välinen potentiaaliero ja oli yhtä suuri kuin nolla?

Ratkaisu. Koska varaus on sama sarjakytketyillä kondensaattoreilla 1 ja 2, suhde toteutuu

.

Samanlaisen suhteen on oltava kondensaattoreilla 3 ja 4:

.

Pisteiden väliin ja ei ollut potentiaalieroa, on välttämätöntä, että yhtäläisyydet

ja

. Jakamalla termillä maksujen yhtäläisyyttä ilmaisevat suhteet ja vähentämällä yhtäläisillä potentiaalieroilla saadaan

.

Keskinäinen kapasitanssi

Esimerkki 7.7.

Kaksi johdinta on hyvin kaukana toisistaan. Yhden kapasiteetti C 1, sen lataus K yksi . Toisen johtimen kapasitanssi C 2, lataus K 2. Aluksi lataamaton kondensaattori FROM kytketty ohuilla johtimilla näihin johtimiin. Etsi lataus q kondensaattori C.

R

ratkaisu. Kondensaattorin kytkemisen ja sähköstaattisen tasapainon saavuttamisen jälkeen johtimien ja kondensaattorilevyjen varaukset ja potentiaalit ovat kuvan mukaiset. Etäjohtimien potentiaalit suhteutetaan niihin kohdistuviin varauksiin suhteilla:

,

. Kondensaattorin ylittävälle jännitteelle kirjoitamme suhteen:

josta kondensaattorin varauksen arvo voidaan saada algebrallisesti ja esittää muodossa.

ONGELMA 1. Tasaisen kondensaattorin levyjen välinen tila täytetään ilman rakoa kahdella eristekerroksella, jotka ovat samansuuntaisia ​​levyjen kanssa. Ensimmäinen kerros on paksu posliinia d 1 = 2 mm, toinen - paksu eboniitti
d 2 = 1,5 mm. Määritä kapasiteetti C tällainen kondensaattori, jos levyjen pinta-ala S\u003d 100 cm 2.

ANALYYSI. Ongelman ratkaisemiseksi edustamme dielektristä kondensaattoria kahtena sarjaan kytkettynä kondensaattorina. Kondensaattorin yli oleva jännite on U= U 1 +U 2, missä U 1 ja U 2 - jännitteet dielektrisillä kerroksilla. Kondensaattorin kapasitanssin selvittäminen FROM, sinun pitää tietää U 1 ja U 2. Tätä varten tulee käyttää lujuuden ja potentiaalin välistä suhdetta ja olosuhteita kahden eristeen rajapinnassa ja huomioida myös, että siirtymävektorin normaalikomponentti ei muutu rajapinnan ylittäessä.

RATKAISU. Kondensaattorin kapasitanssi on C= q/U= q/(U 1 +U 2), (2.3.1)

missä q- levyvaraus (kuva 2.3.1).

Kondensaattorin sisällä oleva kenttä on tasainen, joten voiman ja potentiaalin välinen suhde antaa

U 1 = E 1 d 1 , U 2 = E 2 d 2; siksi .

Intensiteettivektori suhteutetaan sähköiseen siirtymävektoriin suhteella tai .

Koska

Missä on pintavarauksen tiheys, saamme

Tarkastetaan mitta: .

Korvaamalla arvot, saamme:

VASTAUS: FROM= 98,3 pF.

ONGELMA 2. Kaksi litteää kondensaattoria, joilla on sama sähköinen kapasiteetti ( C 1 = C 2) kytketty akkuun sarjaan ja kytketty virtalähteeseen sähkömotorinen voima. Miten potentiaaliero muuttuu U 1 ensimmäisen kondensaattorin levyillä, jos toisen kondensaattorin levyjen välinen tila täytettynä virtalähdettä sammuttamatta dielektrillä, jonka permittiivisyys on e = 7 (kuva 2.3.2)?

ANALYYSI. Ennen toisen kondensaattorin täyttämistä dielektrillä potentiaaliero molempien kondensaattorien levyillä oli sama

Täytön jälkeen virtalähdettä ei sammutettu, joten kondensaattoripariston kokonaispotentiaaliero pysyi samana, se vain jakautui kondensaattorien kesken. Koska toisen kondensaattorin kapasitanssi on kasvanut e kertaa, voit löytää uuden potentiaalieron ensimmäisen kondensaattorin yli.

RATKAISU. Dielektrillä täytön jälkeen kondensaattoreiden väliset potentiaalierot tasaantuivat

, (2.3.2.)

missä q on kondensaattorilevyn varaus, q¹ q 0 , ensimmäisen kondensaattorin kapasitanssi ei ole muuttunut, C 1 ¢ = C 1 = C.

Klo sarjaliitäntä Kondensaattorien lataus jokaisessa levyssä ja koko akussa on sama, missä sitten

sitten (2.3.3)

Korvaamalla (2.3.3) arvolla (2.3.2) saadaan

Haluttu suhde on

VASTAUS:

ONGELMA 3. Koaksiaalikaapelin keskisydämen säde on 1,5 cm, vaipan säde on 3,5 cm Keskisydämen ja vaipan väliin kohdistetaan potentiaaliero 2300 V. Laske sähkökentän voimakkuus etäisyydellä 2 cm kaapelin akselista.

ANALYYSI. Kaapelia voidaan verrata sylinterimäiseen kondensaattoriin. Sähkökenttä vain keskusasunto luodaan. Tämän kentän voimakkuus tulisi määritellä äärettömän varautuneen hehkulangan kentän voimakkuudeksi.

RATKAISU. Kaapelin kentänvoimakkuus on

.(2.3.4)

Kaapeli on tasaisesti ladattu, joten t= q/ .

Varaus voidaan määrittää, jos kondensaattorin kapasitanssi tunnetaan C, q= CU 0, sitten t= CU 0 / . (2.3.5)

Tiedetään, että sylinterimäisen kondensaattorin kapasitanssi määritetään kaavalla: (2.3.6)

Käyttämällä lausekkeita (2.3.5) ja (2.3.6) saadaan . (2.3.7)

Korvataan (2.3.7) tasa-arvoon (2.3.4):

Kaavan oikeellisuus ulottuvuuden suhteen on ilmeinen. Korvaamalla arvot, saamme

ONGELMA 4. Tasainen ilman lauhdutin levyalueen kanssa S\u003d 500 cm 2, kytketty virtalähteeseen, jonka EMF ξ \u003d 300 V. Määritä työ MUTTA ulkoiset voimat työntämään levyt erilleen etäisyydeltä d 1 = 1 cm ennen d 2 \u003d 3 cm kahdessa tapauksessa: a) levyt irrotetaan virtalähteestä ennen siirtymistä toisistaan; b) pidennysvaiheessa olevat levyt pysyvät kytkettyinä siihen.

ANALYYSI. Ensimmäisessä tapauksessa kahden ladatun ja virtalähteestä irrotetun levyn järjestelmää voidaan pitää eristettynä järjestelmänä, johon nähden energian säilymislaki pätee. Tässä tapauksessa ulkoisten voimien työ on yhtä suuri kuin järjestelmän energian muutos , missä W 2 – kondensaattorikentän energia lopputilassa (levyjen välisen etäisyyden kanssa d 2), W 1 – kondensaattorin kentän energia alkutilassa ( d= d 1).

Toisessa tapauksessa levyt pysyvät kytkettyinä virtalähteeseen, eikä kahden levyn järjestelmä ole enää eristetty (levyjen varaus siirtyy, kun niitä siirretään erilleen, akun napoihin). Potentiaaliero pysyy muuttumattomana, kun levyt siirretään erilleen U= ξ. Tässä tapauksessa ja U= konst,a C on muuttumassa. Tasainen kondensaattorin kapasitanssi C= e 0 S/d vähenee, joten levyjen varaus pienenee, q= CU ja kondensaattorin kentänvoimakkuus E= U/d.

Tässä tapauksessa laskemme työn integraalina , (2.3.8)

missä E 1 – yhden levyn varauksen synnyttämän kentän voimakkuus.

RATKAISU. Ensimmäisessä Tässä tapauksessa kunkin lähteestä irrotetun levyn varaus q ei muutu, kun niitä siirretään erilleen, q = C 1 x .

Kondensaattorin sähkökentän energia on

siksi . (2.3.9)

Sähkötehot ovat vastaavasti samat (2.3.10)

Korvaamalla (2.3.10) arvolla (2.3.9) saadaan

Tarkastetaan mitta: .

Korvaamalla arvot, saamme .

Harkitse toinen tapaus.

Ilmaistaan ​​jännitystä E 1 kenttä ja lataus q etäisyyden läpi X levyjen väliin (kuva 2.3.3).

(2.3.11)

. (2.3.12)

Korvaamalla lausekkeet (2.3.11) ja (2.3.12) kaavaan (2.3.8) saadaan

Tarkastetaan mitta: . Korvaamalla arvot, saamme

VASTAUS:

Kaksi toistensa suuntaista litteää levyä, jotka on erotettu eristeellä, muodostavat litteän kondensaattorin. Tämä on yksinkertaisin edustaja kondensaattoreista, jotka on suunniteltu varastoimaan erilaisia ​​​​energiaa. Jos levyille annetaan suuruudeltaan samansuuruinen varaus, mutta eri suuruus, johtimien väliset kentät kaksinkertaistuvat. Yhden johtimen varauksen suhdetta kondensaattorin levyjen väliseen jännitteeseen kutsutaan sähkökapasiteetiksi:

Jos levyjen järjestely on muuttumaton, sitä voidaan pitää vakiona johtimien mille tahansa varaukselle. Kansainvälisessä mittausjärjestelmässä sähkökapasiteetin yksikkö on Farad (F). Tasaisen kondensaattorin vahvuus on yhtä suuri kuin johtimien luomien vahvuuksien summa (E 1 +E 2 ... + E n ). Vektoriarvot. Sähkökapasiteetin arvo on suoraan verrannollinen levyjen pinta-alaan ja kääntäen verrannollinen niiden väliseen etäisyyteen. Tämä tarkoittaa, että kondensaattorin kapasitanssin lisäämiseksi on tarpeen tehdä levyjen pinta-alasta suurempi ja samalla vähentää niiden välistä etäisyyttä. Käytetystä dielektristä riippuen litteä kondensaattori voi olla:

• Paperi.
• Kiille.
• Polystyreeni.
• Keraaminen.
• ilmaa.

Harkitse laitteen periaatetta paperikondensaattorin esimerkillä. Parafiinikäsiteltyä paperia käytetään tässä tapauksessa dielektrisenä aineena. Kahden kalvoliuskan väliin asetetaan eriste, jotka toimivat johtimina. Koko rakenne on rullattu rullaksi, johon laitetaan johtimet kiinnitystä varten.Tämä malli asetetaan keraamiseen tai metalliseen koteloon. Tasainen ilmakondensaattori ja muun tyyppiset varauksen varastointilaitteet ovat rakenteeltaan samanlaisia, vain materiaaleja, joiden mukaan kondensaattori itse on nimetty, käytetään dielektrisenä väliaineena. Kun ratkaiset ongelmia, joissa on tarpeen löytää tarvittavat suuret, älä unohda käyttää dielektristä ominaisuutta - permittiivisyys ympäristöön.

Radiotekniikassa käytetään neste- ja kuivanestekondensaattoreita, nestekondensaattoreita, joihin on sijoitettu hapetettu alumiinilevy. Tämä aine sijaitsee metallikotelossa. Käytetty elektrolyytti on boorihapon ja joidenkin muiden seosten liuos. Asemien kuivanäkymä saadaan taittamalla kolme nauhaa, joista yksi on alumiinia, toinen metallia ja niiden välissä on viskoosisella elektrolyytillä kyllästetty sideharso. Rulla asetetaan alumiinikoteloon ja täytetään bitumilla. Litteällä kondensaattorilla on laaja valikoima sovelluksia ja alhaiset kustannukset. Valitettavasti nämä mallit eivät korvaa paristoja meille, koska litteän kondensaattorin energia on hyvin pieni ja lataus "vuotaa" hyvin nopeasti. Ne eivät sovellu sähkönlähteiksi, mutta niillä on yksi etu - ladatessaan matalavastuspiirin kautta ne vapauttavat kertyneen energian välittömästi.