Poisson-prosessissa ajan muutoksen todennäköisyys (t, t~\~h) ei riipu ajan muutosten määrästä (0, t). Yksinkertaisin yleistys on hylätä tämä oletus. Oletetaan nyt, että jos n muutosta tapahtuu ajassa (0, t), niin uuden ajanmuutoksen todennäköisyys (t, t h) on \nh plus termi, joka on suurempaa pienuusluokkaa kuin /r; Yhden prosessia kuvaavan vakion X sijasta meillä on vakioiden X0, Xj, X2 sarja

On kätevää ottaa käyttöön joustavampi terminologia. Sen sijaan, että väittäisimme, että ajassa (0, t) tapahtui n muutosta, sanomme, että järjestelmä on tilassa En. Uusi muutos aiheuttaa sitten siirtymän En->En+1. Puhtaassa lisääntymisprosessissa siirtyminen En:stä on mahdollista vain En+1:een. Tälle prosessille on tunnusomaista seuraavat oletukset.

Postulaatteja. Jos järjestelmä on hetkellä t tilassa En(n ~ 0, 1, 2,...), niin todennäköisyys, että ajan (t, t -) - h) aikana tapahtuu siirtyminen En + 1:een on yhtä suuri kuin Xn/r -|~ o (A). Muiden muutosten todennäköisyys on pienempi kuin h.

") Koska pidämme h:ta positiivisena arvona, niin tarkasti ottaen Pn (t) kohdassa (2.4) tulisi katsoa oikeaksi derivaatta. Mutta todellisuudessa tämä on tavallinen kaksipuolinen derivaatta. Todellakin termi o (K) kaavassa (2.2 ) ei riipu t:stä ​​eikä siksi muutu, jos t korvataan t − h:lla. Tällöin ominaisuus (2.2) ilmaisee jatkuvuuden ja (2.3) on differentioituva tavallisessa mielessä. Tämä huomautus pätee myös seuraavassa, eikä sitä toisteta.

Tämän oletuksen tunnusmerkki on, että aika, jonka järjestelmä viettää missä tahansa yksittäisessä tilassa, on merkityksetön: riippumatta siitä, kuinka kauan järjestelmä pysyy yhdessä tilassa, äkillinen siirtyminen toiseen tilaan on yhtä mahdollista.

Olkoon taas P„(t) todennäköisyys, että hetkellä t järjestelmä on tilassa En. Funktiot Pn(t) täyttävät differentiaaliyhtälöjärjestelmän, joka voidaan johtaa käyttämällä edellisen osan argumentteja, ainoana muutoksena, joka (2.2) korvataan

Pn (t-\-h) = Pn (0(1- V0 + Pn-1 (0\-ih + 0 (A) - (3.1))

Siten saamme pääasiallisen differentiaaliyhtälöiden järjestelmän:

p "n (t) \u003d -lnPn (t) + ln_xPn_x (t) ("> 1),

P "0 (t) \u003d -10P0 (t).

Voimme laskea P0(t) ja sitten peräkkäin kaikki Pn(t). Jos järjestelmän tila on muutosten lukumäärä ajassa (0, (), niin alkutila on £0, jolloin PQ (0) = 1 ja siten P0 (t) - e~k "". Järjestelmän ei kuitenkaan tarvitse lähteä tilasta £0 (katso esimerkki 3, b) Jos hetkellä 0 järjestelmä on tilassa £, niin

P. (0) = 1. Pn (0) = 0 n Φ I:lle. (3.3)

Nämä alkuolosuhteet määrittää yksilöllisesti ratkaisut)