Que es una variable aleatoria. Cuantos valores puede tomar una variable aleatoria discreta

Uno de los conceptos básicos más importantes de la teoría de la probabilidad es el concepto de variable aleatoria.

Una variable aleatoria es una cantidad que, como resultado de un experimento, puede tomar uno u otro valor, y no se sabe de antemano cuál.

Ejemplos de variables aleatorias:

1) el número de aciertos con tres tiros;

2) el número de llamadas recibidas por la central telefónica por día;

3) tasa de acierto con 10 disparos.

En los tres ejemplos dados, las variables aleatorias pueden tomar valores separados y aislados, que se pueden enumerar de antemano.

Entonces, en el ejemplo 1) estos valores son:

en el ejemplo 2):

en el ejemplo 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Este tipo de variables aleatorias, que toman solo valores separados entre sí, que pueden enumerarse de antemano, se denominan variables aleatorias discontinuas o discretas.

Hay variables aleatorias de otro tipo, por ejemplo:

1) abscisa del punto de impacto cuando se dispara;

2) el error de pesar el cuerpo en una balanza analítica;

3) la velocidad de la aeronave en el momento de alcanzar una determinada altitud;

4) el peso de un grano de trigo tomado al azar.

Los posibles valores de tales variables aleatorias no están separados entre sí; continuamente llenan un cierto vacío, que a veces tiene límites claramente definidos y, más a menudo, límites indefinidos y vagos.

Tales variables aleatorias, cuyos posibles valores llenan continuamente un cierto intervalo, se denominan variables aleatorias continuas.

El concepto de variable aleatoria juega un papel muy importante en la teoría de la probabilidad. Si la teoría de probabilidad "clásica" operaba principalmente con eventos, entonces la teoría de probabilidad moderna prefiere, siempre que sea posible, operar con variables aleatorias.

Demos ejemplos de métodos de transición de eventos a variables aleatorias típicos de la teoría de la probabilidad.

Se realiza un experimento, como resultado del cual algún evento puede aparecer o no. En lugar de un evento, podemos considerar una variable aleatoria, que es igual a 1 si ocurre el evento, y es igual a 0 si no ocurre el evento. La variable aleatoria es obviamente discontinua; tiene dos valores posibles: 0 y 1. Esta variable aleatoria se denomina variable aleatoria característica del evento. En la práctica, muchas veces resulta más conveniente operar con sus características variables aleatorias que con eventos. Por ejemplo, si se realiza una serie de experimentos, en cada uno de los cuales es posible que ocurra el evento, entonces el número total de ocurrencias del evento es igual a la suma de las variables aleatorias características del evento en todos los experimentos. A la hora de resolver muchos problemas prácticos, el uso de esta técnica resulta muy conveniente.

Por otro lado, muy a menudo, para calcular la probabilidad de un evento, resulta conveniente asociar este evento con alguna variable aleatoria continua (o un sistema de variables continuas).

Supongamos, por ejemplo, que se midan las coordenadas de algún objeto O para construir un punto M que represente este objeto en un panorama (barrido) del área. Nos interesa el evento que consiste en que el error R en la posición del punto M no exceda el valor especificado (Fig. 2.4.1). Denotemos errores aleatorios en la medición de coordenadas de objetos. Obviamente, el evento es equivalente a golpear un punto aleatorio M con coordenadas dentro de un círculo de radio centrado en el punto O. En otras palabras, para que ocurra el evento, las variables aleatorias y deben satisfacer la desigualdad

La probabilidad de un evento no es más que la probabilidad de cumplir la desigualdad (2.4.1). Esta probabilidad se puede determinar si se conocen las propiedades de las variables aleatorias.

Tal conexión orgánica entre eventos y variables aleatorias es muy característica de la moderna teoría de la probabilidad, que, siempre que es posible, pasa del "esquema de eventos" al "esquema de variables aleatorias". El último esquema, en comparación con el primero, es un aparato mucho más flexible y universal para resolver problemas relacionados con fenómenos aleatorios.

Valor aleatorio- esta es una cantidad que, como resultado de la experiencia, toma uno de los muchos valores, y la aparición de uno u otro valor de esta cantidad antes de su medición no puede predecirse con precisión.

Formal definición matemática lo siguiente: sea un espacio de probabilidad, entonces una variable aleatoria es una función que es medible con respecto a y el σ-álgebra de Borel en . El comportamiento probabilístico de una variable aleatoria separada (independientemente de otras) está completamente descrito por su distribución.

Definición [editar]

Espacio de eventos elementales [editar]

El espacio de los eventos elementales en el caso de lanzar un dado

Si se lanza un dado, la cara superior puede ser una de las seis caras con un número de puntos del uno al seis. La pérdida de cualquier cara en este caso en la teoría de la probabilidad se llama evento elemental, es decir

El conjunto de todas las caras. forma un espacio de eventos elementales, cuyos subconjuntos se denominan eventos aleatorios. En el caso de una sola tirada de un dado, ejemplos de eventos son

Álgebra de eventos[editar]

Un conjunto de eventos aleatorios forma un álgebra de eventos si se cumplen las siguientes condiciones:

Si, en lugar de la tercera condición, cumple otra condición: la unión de una subfamilia numerable de también pertenece a , entonces el conjunto de eventos aleatorios forma una σ-álgebra de eventos.

El álgebra de eventos es un caso especial de la σ-álgebra de conjuntos.

La más pequeña entre todas las álgebras posibles, cuyos elementos son todos intervalos en la línea real, se llama álgebra σ de Borel en el conjunto de números reales.

Probabilidad [editar]

Si a cada evento elemental se le asigna un número para el cual se cumple la condición:

entonces se considera que las probabilidades de los eventos elementales están dadas. La probabilidad de un evento, como subconjunto contable del espacio de eventos elementales, se define como la suma de las probabilidades de aquellos eventos elementales que pertenecen a ese evento. El requisito de contabilidad es importante, porque de lo contrario la suma será indefinida.

Considere un ejemplo de cómo determinar la probabilidad de varios eventos aleatorios. Por ejemplo, si un evento es un conjunto vacío, entonces su probabilidad es cero:

Si el evento es el espacio de eventos elementales, entonces su probabilidad es igual a uno:

La probabilidad de un evento (un subconjunto del espacio de eventos elementales) es igual a la suma de las probabilidades de esos eventos elementales que incluyen el evento en consideración.

Definición de una variable aleatoria [editar]

Una variable aleatoria es una función medible con respecto a y un álgebra σ de Borel en .

Una variable aleatoria también se puede definir de otra forma equivalente. Una función se llama variable aleatoria si para cualquier número real y un conjunto de eventos tales que , pertenece

Ejemplos [editar]

es igual a la media aritmética de todos los valores recibidos.

es decir, la esperanza matemática no está definida.

Clasificación [editar]

variables aleatorias puede tomar valores discretos, continuos y discretos-continuos. En consecuencia, las variables aleatorias se clasifican en discretas, continuas y discretas-continuas (mixtas).

En el esquema de prueba, se puede definir tanto una variable aleatoria separada (unidimensional/escalar) como un sistema completo de variables aleatorias interrelacionadas unidimensionales (multidimensional/vectorial).

Un ejemplo de variable aleatoria mixta es el tiempo de espera al pasar por la carretera en la ciudad en una intersección no regulada.
En esquemas infinitos (discretos o continuos), es conveniente describir cuantitativamente resultados inicialmente elementales. Por ejemplo, números de gradaciones de tipos de accidentes en el análisis de accidentes de tráfico; tiempo de actividad del instrumento para el control de calidad, etc.
Los valores numéricos que describen los resultados de los experimentos pueden no caracterizar necesariamente los resultados elementales individuales en el esquema de prueba, sino que también corresponden a algunos eventos más complejos.

Por un lado, varios valores numéricos pueden asociarse simultáneamente con un esquema de prueba y con eventos individuales en él, que deben analizarse juntos.

Por ejemplo, las coordenadas (abscisa, ordenada) de algún tipo de explosión de proyectil al disparar a un objetivo terrestre; dimensiones métricas (largo, ancho, etc.) de la pieza bajo control de calidad; los resultados de un examen médico (temperatura, presión, pulso, etc.) al diagnosticar a un paciente; datos censales (por edad, sexo, riqueza, etc.).

Dado que los valores de las características numéricas de los esquemas de prueba corresponden en el esquema a algunos eventos aleatorios (con sus ciertas probabilidades), estos valores en sí mismos son aleatorios (con las mismas probabilidades). Por lo tanto, tales características numéricas suelen denominarse variables aleatorias. En este caso, la distribución de probabilidades para los valores de una variable aleatoria se denomina ley de distribución de una variable aleatoria.

Métodos de descripción[editar]

Es posible configurar parcialmente una variable aleatoria, describiendo así todas sus propiedades probabilísticas como una variable aleatoria separada, utilizando la función de distribución, la densidad de probabilidad y la función característica, determinando las probabilidades de sus posibles valores. La función de distribución F(x) es la probabilidad de que los valores de la variable aleatoria sean menores que el número real x. De esta definición se deduce que la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria caiga en el intervalo

Una variable aleatoria, por lo general, puede tomar valores en cualquier espacio medible. Entonces, a menudo se le llama vector aleatorio o elemento aleatorio. Por ejemplo,

Véase también [editar]

proceso aleatorio
función de distribución
Valor esperado

notas [editar]

1 2 Chernova N. I. Capítulo 1. § 2. Teoría elemental de la probabilidad // Teoría de la probabilidad. - Tutorial. - Novosibirsk: Estado de Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.
Chernova N. I. Capítulo 3. § 1. Álgebra y sigma-álgebra de eventos // Teoría de la probabilidad. - Tutorial. - Novosibirsk: Estado de Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.
Chernova N. I. CAPÍTULO 1 § 2. Teoría elemental de la probabilidad // Teoría de la probabilidad. - Tutorial. - Novosibirsk: Estado de Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.
1 2 Chernova N. I. Capítulo 6. Variables aleatorias y sus distribuciones § 1. Variables aleatorias // Teoría de la probabilidad. - Tutorial. - Novosibirsk: Estado de Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.

literatura [editar]

Gnedenko B.V. Curso de teoría de la probabilidad. - 8ª edición. agregar. y correcto. - M.: Editorial URSS, 2005. - 448 p.
Matemático diccionario enciclopédico/ Cap. edición Prokhorov Yu. V. - 2ª ed. - M .: "Enciclopedia soviética", 1998. - 847 p.
Tikhonov V.I., Kharisov V.N. Análisis estadístico y síntesis de dispositivos y sistemas de ingeniería de radio. - Libro de texto para universidades. - M.: Radio y comunicación, 1991. - 608 p. - ISBN 5-256-00789-0
Chernova N. I. Teoría de probabilidad. - Tutorial. - Novosibirsk: Estado de Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.

Definición. Una variable aleatoria es una variable que, como resultado de un experimento, toma cualquier valor del conjunto de sus posibles valores, y es imposible predecir cuál antes del experimento.

Las variables aleatorias son, por ejemplo, la cantidad de puntos que caen cuando se lanza un dado, la cantidad de visitantes de la farmacia durante el día, la cantidad de manzanas en un árbol, etc.

Las variables aleatorias también son la temperatura del paciente a una hora del día seleccionada al azar, la masa de una tableta de algún fármaco seleccionada al azar, la altura de un estudiante seleccionado al azar, etc.

O

Sin embargo, desde un punto de vista matemático, existe una diferencia fundamental entre variables aleatorias como, por ejemplo, el número de visitantes de la farmacia durante el día (denotemos esta variable aleatoria X 1) y el crecimiento de un estudiante seleccionado al azar de un grupo. cierto grupo de estudiantes (valor X 2), hay una diferencia fundamental, a saber: para el valor X 1, puede enumerar todos sus valores posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6, .. .), mientras que para el valor de X 2 esto no se puede hacer, ya que este valor, como resultado de la medición, puede tomar cualquier valor del segmento , donde

y - respectivamente, la altura mínima y máxima de los alumnos del grupo.

Las variables aleatorias generalmente se denotan con letras mayúsculas del alfabeto latino - X, Y, Z, etc., y sus posibles valores - con las correspondientes letras minúsculas con índices numéricos. Por ejemplo, los valores de una variable aleatoria x se denotan de la siguiente manera: x 1, x 2, x 3, etc.

El concepto de variables aleatorias discretas y continuas

Definición. Una variable aleatoria se llama discreta si el conjunto de todos sus valores posibles es un conjunto de valores finito o infinito, pero necesariamente contable, es decir, un conjunto de este tipo, cuyos elementos pueden numerarse (al menos teóricamente) y escribirse en la secuencia adecuada.

Definición. Una variable aleatoria se llama continua si el conjunto de sus posibles valores es algún intervalo finito o infinito del eje numérico.

Con base en estas definiciones, las variables aleatorias enumeradas anteriormente como la cantidad de puntos que caen al lanzar un dado, la cantidad de visitantes de la farmacia durante el día, la cantidad de manzanas por. árbol, son variables aleatorias discretas, y como la temperatura del paciente a una hora fija del día, la masa de una tableta de algún fármaco seleccionada al azar, la altura de un estudiante seleccionado al azar, son variables continuas.

Variables aleatorias discretas

Miremos más de cerca variables aleatorias discretas, y, como regla, restringiremos nuestra consideración a tales variables aleatorias para las cuales el número de valores posibles es finito.

La información más completa sobre una variable aleatoria discreta viene dada por la ley de distribución de esta variable.

Definición. La ley de distribución de una variable aleatoria discreta es la correspondencia entre todos los valores posibles de esta variable aleatoria y sus correspondientes probabilidades.

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta a menudo se especifica en forma de una tabla de dos líneas, cuya primera fila enumera todos los valores posibles de esta variable (por regla general, en orden ascendente), y la segunda fila enumera las probabilidades correspondientes a estos valores en la Tabla 1:

Ejemplo 2 Hay diez grupos de estudiantes con 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 y 11 estudiantes respectivamente. Escriba una ley de distribución para una variable aleatoria X, definida como el número de estudiantes en un grupo seleccionado al azar.

Solución. Los posibles valores de la variable aleatoria X considerada son los siguientes (en orden ascendente):

8, 9, 10, 11 y 12.

Dado que la variable aleatoria X toma un valor de 8, si el grupo seleccionado al azar es un grupo de 8 estudiantes (llamémoslo evento A), la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor
, es igual a la probabilidad de este evento aleatorio:
.

La probabilidad de un evento aleatorio A de acuerdo con la definición clásica de probabilidad es
porque de 10 grupos, dos tienen 8 estudiantes cada uno.

Así, para la probabilidad de un valor, obtenemos:

De manera similar, puedes encontrar las probabilidades de los valores restantes de la variable aleatoria X:

lo que nos permite componer la ley de distribución deseada (Tabla 2):

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta también se puede especificar usando una fórmula que permite que cada valor posible de esta variable determine la probabilidad correspondiente.

Variables aleatorias discretas y continuas

Como regla general, en la fabricación de productos, el proceso de su producción está influenciado por muchos factores diferentes, como resultado de lo cual hay una dispersión en los valores de los indicadores de calidad del producto. Así, los indicadores de calidad de los productos o servicios fabricados deben ser considerados como variables aleatorias.

Variable aleatoria se llama tal valor que, como resultado de las pruebas dentro de un cierto intervalo, puede tomar varios valores numéricos (según STB GOST R 50779.10, una variable aleatoria es una variable que puede tomar cualquier valor de un conjunto dado de valores y con la cual se asocia una distribución de probabilidad).

Variables aleatorias discretas se denominan aquellas que, como resultado de las pruebas, sólo pueden tomar valores separados, aislados y no pueden tomar valores intermedios entre ellos. Por ejemplo, el número de piezas defectuosas en un lote solo puede ser un número entero positivo 1, 2, 3, etc., pero no puede ser 1,3; 1.7 etc

Variable aleatoria continua se llama tal valor que, como resultado de las pruebas, puede tomar cualquier valor numérico de una serie continua de sus posibles valores dentro de un cierto intervalo.

Por ejemplo, las dimensiones reales de las piezas mecanizadas son variables aleatorias de tipo continuo, ya que pueden tomar cualquier valor numérico dentro de ciertos límites.

Las posibilidades de que las variables aleatorias tomen ciertos valores numéricos durante las pruebas se evalúan mediante probabilidades.

Se denomina al conjunto de valores de variables aleatorias dispuestas en orden ascendente con indicación de sus probabilidades para cada uno de los valores distribución de variables aleatorias (según STB GOST R 50779.10 distribución es una función que determina la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dado o pertenezca a un conjunto de valores dado).

La distribución de una variable aleatoria se puede presentar en forma tabular, gráfica y con la ayuda de estimaciones estadísticas.

Al presentar la distribución de una variable aleatoria en forma tabular, cada número de la unidad de producto en estudio (número de medición) corresponde al valor del indicador de calidad para esta unidad de producto (resultado de la medición).

Al presentar la distribución de una variable aleatoria en forma gráfica, se traza un gráfico de distribución en coordenadas, el valor de la variable aleatoria - la probabilidad (frecuencia, frecuencia) del valor de la variable aleatoria.

La siguiente figura muestra los gráficos de la distribución de variables aleatorias discretas y continuas.

Figura - Gráfica de la distribución de una variable aleatoria discreta

Figura - Gráfica de la distribución de una variable aleatoria continua

Hay distribuciones teóricas y empíricas de variables aleatorias. En distribuciones teóricas, la evaluación de posibles valores de una variable aleatoria se realiza mediante probabilidades, y en distribuciones empíricas, mediante frecuencias o frecuencias obtenidas como resultado de pruebas.

Como consecuencia, distribución empírica de una variable aleatoria es un conjunto de sus valores experimentales, dispuestos en orden ascendente, indicando las frecuencias o frecuencias para cada uno de los valores (según STB GOST R 50779.10 asignación de frecuencia es la relación empírica entre los valores de una característica y sus frecuencias o sus frecuencias relativas).

Mesa. Un ejemplo de una representación tabular de la distribución teórica de una variable aleatoria discreta

Gráficamente, la distribución empírica de una variable aleatoria discreta se puede representar como gráfico de barras , formado por un conjunto de columnas de igual ancho, cuyas alturas son proporcionales a las frecuencias de valores discretos de una variable aleatoria.

Figura - Gráfico de barras de una variable aleatoria discreta.

Si la variable aleatoria es continua, surgen algunas dificultades con la presentación de su distribución en forma de tabla o gráfico. Por tanto, en la práctica, al estudiar variables aleatorias de tipo continuo, los valores obtenidos se dividen en intervalos iguales de manera que el valor del intervalo sea algo mayor que el error de medida de la cantidad en estudio. Luego, las frecuencias no se calculan por los valores reales de la variable aleatoria, sino por intervalos. Por tanto, la tabla de distribución empírica de una variable aleatoria de tipo continuo tendrá la siguiente forma.

Mesa. Distribución empírica de una variable aleatoria de tipo continuo.

Intervalo de valores X	Significado aritmetico	Frecuencia F i	Frecuencia metro i
160,031 - 160,033
160,033 - 160,035
160,035 - 160,037
160,037 - 160,039
160,039 - 160,041
160,041 - 160,043
160,043 - 160,045
160,045 - 160,047
		F i = 100	metro i = 1

La distribución empírica de una variable continua aleatoria se puede representar gráficamente como un histograma de distribución, un polígono de frecuencia o un polígono de frecuencia acumulada.

Histograma de distribución es un conjunto de rectángulos que se tocan, cuyas bases son iguales a los intervalos de división de una variable aleatoria continua, y las áreas son proporcionales a las frecuencias con las que los valores de la variable aleatoria caen en estos intervalos (según STB GOST R 50779.10 gráfico de barras (distribución) es una representación gráfica de la distribución de frecuencias para una característica cuantitativa, formada por rectángulos contiguos, cuyas bases son los intervalos de clases, y las áreas son proporcionales a las frecuencias de estas clases).

Figura - Histograma de la distribución de una variable continua aleatoria.

Polígono de frecuencia es una línea quebrada que se obtiene conectando puntos cuyas abscisas son iguales a los puntos medios de los intervalos de partición, y las ordenadas son iguales a las frecuencias correspondientes.

Figura - Polígono de frecuencias de una variable continua aleatoria.

Polígono acumulativo frecuencias es una línea discontinua que se obtiene conectando puntos cuyas abscisas son iguales a los límites superiores de los intervalos de partición y cuyas ordenadas son iguales a frecuencias acumulativas o frecuencias acumulativas (frecuencias relativas acumulativas).

Figura - Polígono de frecuencias acumuladas de un valor aleatorio continuo.

En las descripciones teóricas de variables aleatorias de tipo continuo se utiliza la función de distribución. La distribución teórica de una variable continua aleatoria se puede representar gráficamente como integral, integral inversa, diferencial funciones y funciones de distribucion intensidad.

Sea X una variable aleatoria y x un número real (con X< х ). Evento X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X< х) = F(х)

F(X) se llama función de distribución probabilidades variable aleatoria o función de distribución integral.

Para una variable aleatoria discreta, la función de distribución integral F(X) se determina fácilmente a partir de una tabla o gráfico.

Así, para el ejemplo anterior de la distribución de una variable aleatoria discreta (en X< 4):

F(X) = P( X ) = P( X=1) + P( X=2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

La gráfica de la función de distribución integral de una variable aleatoria discreta se verá como una curva escalonada. Las ordenadas de la curva para cualquier valor de X representarán la suma de las probabilidades de los valores anteriores.

Figura - Función de distribución integral de una variable aleatoria discreta

La probabilidad de que una variable aleatoria durante la prueba esté dentro de los límites de dos valores dados x 1 y x 2 (x 2 > x 1) es igual al incremento de la función integral en esta área, es decir

P(x 1 ≤ X ≤ X 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X 1 )

Si volvemos al ejemplo anterior de la distribución de una variable aleatoria discreta, entonces para x1 = 2 y x2 = 3:

P(2≤X≤3) = P(X< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Para una variable aleatoria continua, el gráfico de la función de distribución integral se verá como una curva monótonamente creciente. En la práctica, las frecuencias de distribución teóricas se determinan utilizando la función de distribución acumulativa.

Figura - Función de distribución acumulativa

variable aleatoria continua

La función de distribución acumulada inversa es igual a la diferencia entre la unidad y la función de distribución acumulada.

Densidad de distribución (función de distribución diferencial) variable aleatoria se llama la primera derivada de la función de distribución integral:

Para una descripción analítica de una variable aleatoria continua en la teoría de la confiabilidad, usamos función de intensidad , igual a la relación entre la función de distribución diferencial y la función de distribución integral inversa:

Figura - La función de intensidad de una variable aleatoria continua.

Tema 3.

Variables aleatorias y funciones de distribución

El concepto de variable aleatoria.

El concepto de variable aleatoria

Función de distribución de una variable aleatoria, sus propiedades

Variables aleatorias con distribución discreta

El concepto de una variable aleatoria con una distribución discreta

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta.

Ejemplos de distribuciones discretas

Variables aleatorias con distribución absolutamente continua

El concepto de variable aleatoria con una distribución absolutamente continua

Ley de distribución de una variable aleatoria absolutamente continua. Densidad, sus propiedades.

Ejemplos de distribuciones absolutamente continuas

El concepto de un vector aleatorio.

El concepto de un vector aleatorio

Variables aleatorias independientes

Distribución conjunta de variables aleatorias

El concepto de variable aleatoria.

Desde el surgimiento de la teoría de la probabilidad, su tarea principal ha sido estudiar no las propiedades probabilísticas de los experimentos con resultados aleatorios, sino las cantidades numéricas asociadas con estos experimentos, que es natural llamar variables aleatorias. Por ejemplo, puede que no nos interesen los pares de números de las caras superiores de los dados, sino su suma; el número de éxitos o fracasos antes del primer éxito en el esquema de Bernoulli.

A menudo, en la literatura se pueden encontrar variaciones sobre el tema de la siguiente definición: Variable aleatoria se denomina variable que, según el resultado de la prueba, toma valores que dependen del caso.

Por lo tanto, una variable aleatoria es un valor numérico, cuyo valor depende de qué tipo de resultado (elemental) se produjo como resultado de un experimento con un resultado aleatorio. El conjunto de todos los valores que puede tomar una variable aleatoria se llama conjunto de posibles valores de esta variable aleatoria.

Daremos una definición más rigurosa, ya que el concepto de variable aleatoria es uno de esos conceptos clave que conectan la teoría de la probabilidad con el análisis matemático y forman la base conceptual de la estadística matemática.

Definición. Variable aleatoria es una función X = X(ω) definida sobre el espacio de eventos elementales Ω para el cual el evento (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Condición (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из PERO. Además, a través de eventos (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

Comentario. Así, una variable aleatoria es una función cuyo dominio de definición es el espacio de eventos elementales Ω, y el conjunto de valores es un conjunto numérico, posiblemente todo el conjunto de los números reales R.

La σ-álgebra de los eventos A es el dominio de definición de probabilidad, si la consideramos como una función.

Comentario . “El término “variable aleatoria” es algo inexacto, el término “función de probabilidad” sería más apropiado, la variable independiente es un punto en el espacio de los eventos elementales, es decir el resultado de un experimento o un caso. (W. Feller "Introducción a la teoría de la probabilidad", cap. IX)

Las variables aleatorias se denotan con las letras del alfabeto griego:  (xi),  (este),  o letras mayúsculas del alfabeto latino X, Y,... Escribiremos los valores de una variable aleatoria como secuencia finita o infinita X 1 ,X 2 ,, X norte,; y 1 ,y 2 ,,y norte ,

Comentario . Anteriormente introdujimos el concepto de probabilidad en relación con algunos eventos. Ahora pasamos a hablar de funciones. El evento más obvio que se puede asociar al concepto de función es la adopción por parte de ésta de algún valor (específico o perteneciente al intervalo)

Para estudiar las propiedades probabilísticas de una variable aleatoria, es necesario conocer la regla que permite encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor de un subconjunto de sus valores. Cualquier regla de este tipo se llama la ley de distribución de probabilidad o distribución (de probabilidades) de una variable aleatoria.(la palabra "probabilidad" generalmente se omite)

La ley de distribución general inherente a todas las variables aleatorias es función de distribución.

Definición. Todo el conjunto de probabilidades P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает ley de distribución de la variable aleatoria X en caso general. A menudo, por brevedad, la ley de distribución de una variable aleatoria se denomina simplemente distribución de una variable aleatoria.

Definición. Función F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется la función de distribución de la variable aleatoria X.

El valor de la función de distribución en el punto x es igual a la probabilidad del evento (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

Se suele decir que el valor de la función de distribución en el punto x es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor que x.

Geométricamente, esto significa lo siguiente: F(x) es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor representado por el punto de la recta numérica ubicado a la izquierda del punto x.

Comentario . La función de distribución también se llama función integral, o ley integral de distribución de una variable aleatoria X

La función de distribución tiene la siguiente propiedades:

0≤ F(x)≤1 (porque por definición, la función de distribución es una probabilidad)

F(x 1) ≤ F(x 2) para x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lím F(x) = 0 cuando x → - ∞ , lím F(x) = 1 cuando x → + ∞

PAGS (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F (x 1) - F (x 2)

F(x) es una función continua por la izquierda, es decir F(x) = F(x - 0), donde F(x - 0) = lím F(y) cuando y → x - 0 (límite izquierdo)

Comentario . Para enfatizar a qué variable aleatoria pertenece la función de distribución F(x), a esta función a veces se le asigna un subíndice que denota una variable aleatoria particular. Por ejemplo, F X (x) = P (X< х}

Comentario. En algunas publicaciones, la función de distribución se define como F(x) = P(X ≤ x). Tal definición no cambia nada en la esencia del concepto de la función de distribución, solo cambia la última quinta propiedad. La función en este caso resulta ser continua por la derecha.

Digresión: "¿Qué es una función?"

Tengamos dos conjuntos X e Y, y Y es un conjunto de números. Y sea dada la regla f, según la cual cada elemento (punto) del conjunto X está asociado con (uno y sólo uno) elemento (número) del conjunto Y. La regla f junto con los conjuntos X e Y definen el función f. La notación y=f(x) significa que la regla f se aplicó a algún punto x del conjunto X, y como resultado obtuvimos un punto y del conjunto Y. X se llama argumento (variable independiente), y y es el valor (variable dependiente) de la función f en el punto X. Al conjunto X se le llama dominio de definición (área de ajuste) de la función, dicen que sobre este conjunto se da la función, al conjunto Y se le llama conjunto de valores de la función. El conjunto X no es necesariamente un conjunto de números. Así, una variable aleatoria es una función definida sobre un espacio no numérico de eventos elementales.

VALORES ALEATORIOS

Un valor aleatorio es una cantidad que, como resultado de la prueba, tomará un único valor posible, y que no se conoce de antemano.

Discreta es una variable aleatoria que toma valores posibles separados y aislados con ciertas probabilidades.

Una variable continua es una variable aleatoria que puede tomar todos los valores de algún intervalo finito o infinito.

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta es la correspondencia entre los posibles valores de una variable aleatoria y sus probabilidades. Esta ley se da en forma de tabla, fórmula o gráfico.

Para variables aleatorias discretas, una de las más comunes es la llamada ley de distribución binomial, a la que conduce el esquema de Bernoulli de repetición de pruebas. La fórmula (8) es la expresión analítica de esta ley.

Ejemplo 11.

Se transmite un mensaje a través del canal de comunicación utilizando un código que consta de dos caracteres. La probabilidad de que aparezca el primero es 2/3. Pasaron tres señales. Encuentre la ley de distribución para las ocurrencias del primer signo.

Solución.

Por condición norte=4, R=2/3, q=1/3. Valores posibles del número de ocurrencias del primer signo: 0, 1, 2 y 3. Encuentra sus probabilidades usando la fórmula (8):

Esta ley se puede presentar en forma de tabla.

X
P1/27	1/27	2/9	4/9	8/27

Una función de distribución es una función que determina la probabilidad de que una variable aleatoria X como resultado de la prueba tomará un valor menor que X, eso es

Geométricamente, esto significa que una variable aleatoria con una probabilidad R tomará el valor que está representado en el eje numérico por el punto a la izquierda X.

Para una variable aleatoria continua, la función de distribución es una función continua diferenciable por partes. Las principales propiedades se derivan de la definición:

1. Los valores de la función de distribución pertenecen al segmento, es decir

2. F(X) es una función no decreciente, es decir, si

3. La probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor contenido en el intervalo [ a,b[, es igual al incremento de la función de distribución en este intervalo

Para una variable aleatoria continua, la probabilidad de aceptar un solo valor es cero. Por lo tanto, para variables aleatorias continuas

Ejemplo 12.

Valor aleatorio X dada por la función de distribución

Encuentre la probabilidad de que como resultado de la prueba X tomará el valor perteneciente al segmento [-1; 0,5].

Solución.

Se sigue de la condición de que X es una variable aleatoria continua que puede tomar un valor de 0 a 1.

Densidad de probabilidad continuo variable aleatoria X llamar a la primera derivada de la función de distribución

función de distribución F(x) es una de las antiderivadas de la densidad de distribución. Basado en la definición de densidad o ley diferencial distribución y su relación con la función de distribución, es fácil mostrar las siguientes propiedades:

1. La densidad de distribución de una variable aleatoria continua es una función no negativa

2. Probabilidad de acertar en una variable aleatoria X en el intervalo es igual a

(16)

3. De la propiedad 2 obtenemos una expresión para la función de distribución

(17)

4. Condición de normalización

(18)

Ejemplo 13 valor discreto X dado por tabla

X
R	0,1	0,3	0,4	0,2

Encuentre la función de distribución y construya su gráfica.

Solución.

1. Si , entonces , ya que X no puede ser menos de 2.

En este caso, en el intervalo (-¥, X) solo hay un valor de la variable aleatoria X (X=2). Es por eso

Para cualquier valor de argumento X funciones F(x), satisfaciendo esta desigualdad, en el intervalo (-¥, X) acierta dos valores de una variable aleatoria ( X=2 y X=3). porque los acontecimientos que X aceptará que los valores dados son inconsistentes (o X=2 o X=3), entonces

4. Del mismo modo, si

Por lo tanto, la función de distribución se verá como

Construimos un gráfico de la función de distribución.

Arroz. 1 - Gráfico de la función de distribución

variable aleatoria discreta

Ejemplo 14. Densidad de distribución de errores de medición

LEY DE DISTRIBUCIÓN Y CARACTERÍSTICAS

VALORES ALEATORIOS

Variables aleatorias, su clasificación y métodos de descripción.

Un valor aleatorio es una cantidad que, como resultado de un experimento, puede tomar uno u otro valor, pero cuál no se conoce de antemano. Para una variable aleatoria, por lo tanto, solo se pueden especificar valores, uno de los cuales necesariamente tomará como resultado del experimento. Estos valores serán referidos como posibles valores de la variable aleatoria. Dado que una variable aleatoria caracteriza cuantitativamente el resultado aleatorio de un experimento, puede considerarse como una característica cuantitativa de un evento aleatorio.

Las variables aleatorias se suelen denotar con letras mayúsculas del alfabeto latino, por ejemplo, X..Y..Z, y sus posibles valores con las letras minúsculas correspondientes.

Hay tres tipos de variables aleatorias:

discreto; Continuo; Mezclado.

Discreto se llama una variable aleatoria de este tipo, cuyo número de valores posibles forma un conjunto contable. A su vez, un conjunto contable es un conjunto cuyos elementos pueden numerarse. La palabra "discreto" proviene del latín discretus, que significa "discontinuo, que consta de partes separadas".

Ejemplo 1. Una variable aleatoria discreta es el número de piezas defectuosas X en un lote de nfl. De hecho, los posibles valores de esta variable aleatoria son una serie de números enteros de 0 a n.

Ejemplo 2. Una variable aleatoria discreta es el número de disparos antes del primer impacto en el blanco. Aquí, como en el Ejemplo 1, los valores posibles se pueden numerar, aunque en el caso límite el valor posible es un número infinitamente grande.

continuo se denomina variable aleatoria, cuyos valores posibles llenan continuamente un cierto intervalo del eje numérico, a veces denominado intervalo de existencia de esta variable aleatoria. Así, en cualquier intervalo finito de existencia, el número de valores posibles de una variable aleatoria continua es infinitamente grande.

Ejemplo 3. Una variable aleatoria continua es el consumo de electricidad en la empresa durante un mes.

Ejemplo 4. Una variable aleatoria continua es el error en la medida de altura usando un altímetro. Que se sepa por el principio de funcionamiento del altímetro que el error se encuentra en el rango de 0 a 2 m Por lo tanto, el intervalo de existencia de esta variable aleatoria es el intervalo de 0 a 2 m.

Ley de distribución de variables aleatorias.

Se considera que una variable aleatoria está completamente especificada si en el eje numérico se indican sus posibles valores y se establece la ley de distribución.

La ley de distribución de una variable aleatoria Se denomina relación a la que establece una relación entre los posibles valores de una variable aleatoria y las probabilidades correspondientes.

Se dice que una variable aleatoria está distribuida de acuerdo con una ley dada, o sujeta a una ley de distribución dada. Un número de probabilidades, una función de distribución, una densidad de probabilidad, una función característica se utilizan como leyes de distribución.

La ley de distribución da una descripción probable completa de una variable aleatoria. De acuerdo con la ley de distribución, es posible juzgar antes de la experiencia qué valores posibles de una variable aleatoria aparecerán con más frecuencia y cuáles con menos frecuencia.

Para una variable aleatoria discreta, la ley de distribución se puede dar en forma de tabla, analíticamente (en forma de fórmula) y gráficamente.

La forma más simple de especificar la ley de distribución de una variable aleatoria discreta es una tabla (matriz), que enumera en orden ascendente todos los valores posibles de una variable aleatoria y sus probabilidades correspondientes, es decir

Tal tabla se llama una serie de distribución de una variable aleatoria discreta. una

Los eventos X 1 , X 2 ,..., X n , consistentes en que, como resultado de la prueba, la variable aleatoria X tomará los valores x 1 , x 2 ,... x n, respectivamente , son inconsistentes y las únicas posibles (porque la tabla enumera todos los valores posibles de una variable aleatoria), es decir formar un grupo completo. Por tanto, la suma de sus probabilidades es igual a 1. Así, para cualquier variable aleatoria discreta

(Esta unidad se distribuye de alguna manera entre los valores de la variable aleatoria, de ahí el término "distribución").

Una serie de distribución se puede mostrar gráficamente si los valores de una variable aleatoria se trazan a lo largo del eje de abscisas y sus probabilidades correspondientes a lo largo del eje de ordenadas. La conexión de los puntos obtenidos forma una línea quebrada, llamada polígono o polígono de la distribución de probabilidad (Fig. 1).

Ejemplo Se juega la lotería: un coche que vale 5000 den. unidades, 4 televisores por valor de 250 den. unidad, 5 VCR por valor de 200 den. unidades En total, se venden 1000 boletos para 7 den. unidades Redacte la ley de distribución de las ganancias netas recibidas por el participante de la lotería que compró un boleto.

Solución. Los posibles valores de la variable aleatoria X - ganancias netas por boleto - son 0-7 = -7 den. unidades (si el boleto no ganó), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unidades (si el boleto ganó la videograbadora, la televisión o el automóvil, respectivamente). Dado que de 1000 boletos el número de no ganadores es 990, y las ganancias indicadas son 5, 4 y 1, respectivamente, y usando la definición clásica de probabilidad, obtenemos.

Una extensión del concepto de eventos aleatorios, consistente en la aparición de determinados valores numéricos como resultado de un experimento, es valor aleatorio X.

Definición. Aleatorio llaman una cantidad que, como resultado del experimento, toma un solo valor de parte de su totalidad y que no se sabe de antemano cuál.

Valor aleatorio, por ejemplo, es un modelo razonable para describir datos geológicos, teniendo en cuenta la influencia de varios factores en el campo físico.

Además del resultado de un experimento separado, no se puede predecir el valor exacto de una variable aleatoria; solo se pueden establecer sus patrones estadísticos, es decir, determinar las probabilidades de los valores de una variable aleatoria. Por ejemplo, medidas propiedades físicas rocas son observaciones de las correspondientes variables aleatorias.

Entre las variables aleatorias con las que tiene que lidiar un geólogo, se pueden distinguir dos tipos principales: discreto y cantidades continuo.

Definición. Discreto Una variable aleatoria es aquella que puede tomar un conjunto finito o infinito de valores contables.

Como ejemplos típicos de una variable aleatoria discreta, pueden estar todos los resultados del trabajo de campo, todos los resultados de experimentos, muestras traídas del campo, etc.

Todos los valores posibles de una variable aleatoria forman un grupo completo de eventos, es decir , donde es finito o infinito. Por lo tanto, se puede decir que valor aleatorio generaliza el concepto de evento aleatorio.

Que se obtenga como resultado de la investigación la siguiente serie de datos sobre la composición cuantitativa de una determinada raza: 4; 3; una; 2; 5; cuatro; 2; 2; 3; una; 5; cuatro; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Se realizaron un total de 20 pruebas. Para que sea conveniente trabajar con los datos, se transformaron: los valores obtenidos se ordenaron de forma ascendente y se calculó el número de ocurrencias de cada uno de los valores. Como resultado, obtuvimos (Tabla 7.1):

Definición. La distribución ascendente de datos se llama clasificación.

Definición. El valor observado de algún signo de una variable aleatoria se denomina variante.

Definición. Una serie formada por una variante se llama serie variacional.

Definición. Un cambio en algún signo de una variable aleatoria se llama variado.

Definición. El número que muestra cuántas veces varía una variante dada se llama frecuencia y se denota por .

Definición. Probabilidad la aparición de esta opción es igual a la relación de la frecuencia a la cantidad total de la serie de variación

(1)

Teniendo en cuenta las definiciones introducidas, reescribiremos la Tabla 7.1.

Tabla 7.2. fila clasificada

Opción	1	2	3	4	5	6
Frecuencia	3	4	3	3	6	1
Probabilidad	3/20	4/20	3/20	3/20	6/20	1/20

A análisis estadístico Los datos experimentales se utilizan principalmente cantidades discretas. La tabla 7.3 muestra las principales características numéricas de estas cantidades, que son de gran importancia práctica en el procesamiento de datos experimentales.

Tabla 7.3. Características numéricas de las variables aleatorias

n pag

Característica (parámetro) de una variable aleatoria y su designación

Fórmula para encontrar las características de una variable aleatoria

Nota

Valor esperado