Definición de variable aleatoria. Muchos eventos aleatorios pueden cuantificarse mediante variables aleatorias.

Random es una cantidad que toma valores dependiendo de una combinación de circunstancias aleatorias.

Las variables aleatorias son: el número de pacientes en el consultorio médico, el número de estudiantes en la audiencia, el número de nacimientos en la ciudad, la esperanza de vida persona individual, la velocidad de una molécula, la temperatura del aire, un error al medir algún valor, etc. urn mostrará un número que es una variable aleatoria.

Hay variables aleatorias discretas y continuas.

Una variable aleatoria se llama discreta si toma un conjunto contable de valores: el número de letras en una página arbitraria de un libro, la energía de un electrón en un átomo, el número de cabellos en la cabeza de una persona, el número de granos en las orejas, el número de moléculas en un volumen dado de gas, etc.

continuo valor aleatorio toma cualquier valor dentro de algún intervalo: temperatura corporal, masa de grano en espigas, la coordenada del lugar donde la bala dio en el blanco (tomamos la bala como punto material), etc.

Distribución de una variable aleatoria discreta. Una variable aleatoria discreta se considera dada si se indican sus posibles valores y sus correspondientes probabilidades. Denota una variable aleatoria discreta X, su significado x 1 x 2 ,…., y las probabilidades P(x1)= pag 1, pag (x 2)= pág. 2 etc. Población X y P se llama la distribución de una variable aleatoria discreta(Tabla 1).

tabla 1

La variable aleatoria es el número del deporte en el juego "Sportlo-10". El número total de especies es de 49. Indique la distribución de esta variable aleatoria (Cuadro 3).

Tabla 3

Sentido 1 = 0 corresponde a tal caso en el que tres veces seguidas el evento PERO no sucedió La probabilidad de este evento complejo, según el teorema de la multiplicación de probabilidades (2.6), es igual a
Sentido yo= 1 se refiere al caso en que ocurrió el evento A en uno de los tres juicios. Por la fórmula (2.6) obtenemos

Desde en l = 1 también ocurren otros dos eventos complejos: (A y A y A) y (A y A y A), entonces es necesario, usando el teorema de la suma de probabilidades (2.4), obtener la probabilidad total para l = 1, sumando la expresión anterior tres veces:

Sentido yo= 2 corresponde al caso en que el evento A ocurrió en dos de los tres ensayos. Por un razonamiento similar al anterior, obtenemos la probabilidad total para este caso:

A 1 = 3 el evento A aparece en los tres ensayos. Usando el teorema de la multiplicación de probabilidad, encontramos

A caso general La distribución binomial determina la probabilidad de que ocurra el evento A. yo veces en PAGS pruebas:

Con base en observaciones a largo plazo, la llamada de un médico a una casa determinada se estima con una probabilidad de 0,5. Encuentre la probabilidad de que dentro de seis días haya cuatro llamadas al médico; PENSILVANIA)= 0,5, norte = 6,1 = 4. T Usamos la fórmula (2.10):

Características numéricas de una variable aleatoria discreta. En muchos casos, junto con la distribución de una variable aleatoria o en su lugar, la información sobre estas cantidades puede ser proporcionada por parámetros numéricos llamados características numéricas de una variable aleatoria. Consideremos el más común de ellos.

La expectativa matemática (valor medio) de una variable aleatoria es la suma de los productos de todos sus valores posibles.
sobre las probabilidades de estos valores:

Vamos con una gran cantidad de pruebas. PAGS variable aleatoria discreta X toma valores x v x 2 ,..., x norte respectivamente metro 1, metro gramo,..., t p una vez. El valor medio es

si un PAGS es grande, entonces las frecuencias relativas t 1 /p, t 2 /p,... tenderá a las probabilidades, y el valor medio - a la expectativa matemática. Es por eso que la expectativa matemática a menudo se identifica con el valor promedio.

Encuentre la expectativa matemática para una variable aleatoria discreta, que viene dada por el número en el borde al lanzar un dado (ver Tabla 2).

Usamos la fórmula (2.11):

Encuentre la expectativa matemática para una variable aleatoria discreta, que está determinada por la circulación de "Sportloto" (ver Tabla 3). De acuerdo con la fórmula (2.11), encontramos

Los valores posibles de una variable aleatoria discreta están dispersos alrededor de su expectativa matemática, algunos de ellos exceden M(X), parte es menos M(X).¿Cómo estimar el grado de dispersión de una variable aleatoria en relación con su valor medio? Puede parecer que para resolver tal problema, uno debería calcular las desviaciones de todas las variables aleatorias de su expectativa matemática. X-M(X), y luego encuentre la expectativa matemática (media) de estas desviaciones: M[X - M(X)]. Sin prueba, notamos que este valor es igual a cero, ya que las desviaciones de las variables aleatorias de la expectativa matemática tienen valores tanto positivos como negativos. Por tanto, es recomendable tener en cuenta bien los valores absolutos de las desviaciones M[X - M(X)], o sus cuadrados M[X - M(X)] 2 . La segunda opción resulta preferible, por lo que llegan al concepto de la varianza de una variable aleatoria.

La dispersión de una variable aleatoria es la expectativa matemática de la desviación al cuadrado de una variable aleatoria de su expectativa matemática:

Significa que la varianza es igual a la diferencia entre la expectativa matemática del cuadrado de la variable aleatoria X y el cuadrado de su expectativa matemática.

Encuentra la varianza de una variable aleatoria, que viene dada por el número en el borde al lanzar un dado (ver Tabla 2).

La expectativa matemática de esta distribución es 3.5. Escribamos los cuadrados de la desviación de las variables aleatorias de la expectativa matemática: (1 - 3.5) 2 = 6.25; (2 - 3,5) 2 = 2,25; (3 - 3,5) 2 = 0,25; (4 - 3,5) 2 = 0,25; (5 - 3,5) 2 = 2,25; (6 - 3,5) 2 = 6,25. Según la fórmula (2.12), teniendo en cuenta (2.11), encontramos la dispersión:

Como se desprende de (2.12), la varianza tiene la dimensión del cuadrado de la dimensión de la variable aleatoria. Para estimar la distancia de una variable aleatoria en unidades de la misma dimensión, se introduce el concepto Desviación Estándar, por lo que se entiende Raíz cuadrada de la dispersión:

Distribución y características de una variable aleatoria continua. Una variable aleatoria continua no puede especificarse por la misma ley de distribución que una discreta. En este caso, proceda de la siguiente manera.

Sea dP la probabilidad de que una variable aleatoria continua X toma valores entre X y X+ dx. Es obvio que Irm es más intervalo dx, más probable dP: dP ~ dx. Además, la probabilidad también debe depender del propio valor aleatorio, cerca del cual se encuentra el intervalo, por lo tanto

dónde f(x)- densidad de probabilidad, o función de distribución de probabilidad. Muestra cómo cambia la probabilidad relacionada con el intervalo. dx variable aleatoria, dependiendo del valor de esta variable en sí:

Integrando la expresión (2.15) dentro de los límites apropiados, encontramos la probabilidad de que la variable aleatoria tome algún valor en el intervalo (ab):

La condición de normalización para una variable aleatoria continua tiene la forma

Como se puede ver en (2.19), esta función es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores menores que X:

Para una variable aleatoria continua, la esperanza matemática y la varianza se escriben, respectivamente, como

Definición. Una variable aleatoria es una variable que, como resultado de un experimento, toma cualquier valor del conjunto de sus posibles valores, y es imposible predecir cuál antes del experimento.

Las variables aleatorias son, por ejemplo, la cantidad de puntos que caen cuando se lanza un dado, la cantidad de visitantes de la farmacia durante el día, la cantidad de manzanas en un árbol, etc.

Las variables aleatorias también son la temperatura del paciente a una hora del día seleccionada al azar, la masa de una tableta de algún fármaco seleccionada al azar, la altura de un estudiante seleccionado al azar, etc.

O

Sin embargo, desde un punto de vista matemático, existe una diferencia fundamental entre variables aleatorias como, por ejemplo, el número de visitantes de la farmacia durante el día (denotemos esta variable aleatoria X 1) y el crecimiento de un estudiante seleccionado al azar de un grupo. cierto grupo de estudiantes (valor X 2), hay una diferencia fundamental, a saber: para el valor X 1, puede enumerar todos sus valores posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6, .. .), mientras que para el valor de X 2 esto no se puede hacer, ya que este valor, como resultado de la medición, puede tomar cualquier valor del segmento , donde

y - respectivamente, la altura mínima y máxima de los alumnos del grupo.

Las variables aleatorias generalmente se denotan con letras mayúsculas del alfabeto latino - X, Y, Z, etc., y sus posibles valores - con las correspondientes letras minúsculas con índices numéricos. Por ejemplo, los valores de una variable aleatoria x se denotan de la siguiente manera: x 1, x 2, x 3, etc.

El concepto de variables aleatorias discretas y continuas

Definición. Una variable aleatoria se llama discreta si el conjunto de todos sus valores posibles es un conjunto de valores finito o infinito, pero necesariamente contable, es decir, un conjunto de este tipo, cuyos elementos pueden numerarse (al menos teóricamente) y escribirse en la secuencia adecuada.

Definición. Una variable aleatoria se llama continua si el conjunto de sus posibles valores es algún intervalo finito o infinito del eje numérico.

Con base en estas definiciones, las variables aleatorias enumeradas anteriormente como la cantidad de puntos que caen al lanzar un dado, la cantidad de visitantes de la farmacia durante el día, la cantidad de manzanas por. árbol, son variables aleatorias discretas, y como la temperatura del paciente a una hora fija del día, la masa de una tableta de algún fármaco seleccionada al azar, la altura de un estudiante seleccionado al azar, son variables continuas.

Variables aleatorias discretas

Miremos más de cerca variables aleatorias discretas, y, como regla, restringiremos nuestra consideración a tales variables aleatorias para las cuales el número de valores posibles es finito.

La información más completa sobre una variable aleatoria discreta viene dada por la ley de distribución de esta variable.

Definición. La ley de distribución de una variable aleatoria discreta es la correspondencia entre todos los valores posibles de esta variable aleatoria y sus correspondientes probabilidades.

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta a menudo se especifica en forma de una tabla de dos líneas, cuya primera fila enumera todos los valores posibles de esta variable (por regla general, en orden ascendente), y la segunda fila enumera las probabilidades correspondientes a estos valores en la Tabla 1:

Ejemplo 2 Hay diez grupos de estudiantes con 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 y 11 estudiantes respectivamente. Escriba una ley de distribución para una variable aleatoria X, definida como el número de estudiantes en un grupo seleccionado al azar.

Solución. Los posibles valores de la variable aleatoria X considerada son los siguientes (en orden ascendente):

8, 9, 10, 11 y 12.

Dado que la variable aleatoria X toma un valor de 8, si el grupo seleccionado al azar es un grupo de 8 estudiantes (llamémoslo evento A), la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor
, es igual a la probabilidad de este evento aleatorio:
.

La probabilidad de un evento aleatorio A de acuerdo con la definición clásica de probabilidad es
porque de 10 grupos, dos tienen 8 estudiantes cada uno.

Así, para la probabilidad de un valor, obtenemos:

.

De manera similar, puedes encontrar las probabilidades de los valores restantes de la variable aleatoria X:

lo que nos permite componer la ley de distribución deseada (Tabla 2):

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta también se puede especificar usando una fórmula que permite que cada valor posible de esta variable determine la probabilidad correspondiente.

Variables aleatorias discretas y continuas

Como regla general, en la fabricación de productos, el proceso de su producción está influenciado por muchos factores diferentes, como resultado de lo cual hay una dispersión en los valores de los indicadores de calidad del producto. Así, los indicadores de calidad de los productos o servicios fabricados deben ser considerados como variables aleatorias.

Variable aleatoria se llama tal valor que, como resultado de las pruebas dentro de un cierto intervalo, puede tomar varios valores numéricos (según STB GOST R 50779.10, una variable aleatoria es una variable que puede tomar cualquier valor de un conjunto dado de valores y con la cual se asocia una distribución de probabilidad).

Variables aleatorias discretas se denominan aquellas que, como resultado de las pruebas, sólo pueden tomar valores separados, aislados y no pueden tomar valores intermedios entre ellos. Por ejemplo, el número de piezas defectuosas en un lote solo puede ser un número entero positivo 1, 2, 3, etc., pero no puede ser 1,3; 1.7 etc

Variable aleatoria continua se llama tal valor que, como resultado de las pruebas, puede tomar cualquier valor numérico de una serie continua de sus posibles valores dentro de un cierto intervalo.

Por ejemplo, las dimensiones reales de las piezas mecanizadas son variables aleatorias de tipo continuo, ya que pueden tomar cualquier valor numérico dentro de ciertos límites.

Las posibilidades de que las variables aleatorias tomen ciertos valores numéricos durante las pruebas se evalúan mediante probabilidades.

Se denomina al conjunto de valores de variables aleatorias dispuestas en orden ascendente con indicación de sus probabilidades para cada uno de los valores distribución de variables aleatorias (según STB GOST R 50779.10 distribución es una función que determina la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dado o pertenezca a un conjunto de valores dado).

La distribución de una variable aleatoria se puede presentar en forma tabular, gráfica y con la ayuda de estimaciones estadísticas.

Al presentar la distribución de una variable aleatoria en forma tabular, cada número de la unidad de producto en estudio (número de medición) corresponde al valor del indicador de calidad para esta unidad de producto (resultado de la medición).

Al presentar la distribución de una variable aleatoria en forma gráfica, se traza un gráfico de distribución en coordenadas, el valor de la variable aleatoria - la probabilidad (frecuencia, frecuencia) del valor de la variable aleatoria.

La siguiente figura muestra los gráficos de la distribución de variables aleatorias discretas y continuas.

Figura - Gráfica de la distribución de una variable aleatoria discreta

Figura - Gráfica de la distribución de una variable aleatoria continua

Hay distribuciones teóricas y empíricas de variables aleatorias. En distribuciones teóricas, la evaluación de posibles valores de una variable aleatoria se realiza mediante probabilidades, y en distribuciones empíricas, mediante frecuencias o frecuencias obtenidas como resultado de pruebas.

Como consecuencia, distribución empírica de una variable aleatoria es un conjunto de sus valores experimentales, dispuestos en orden ascendente, indicando las frecuencias o frecuencias para cada uno de los valores (según STB GOST R 50779.10 asignación de frecuencia es la relación empírica entre los valores de una característica y sus frecuencias o sus frecuencias relativas).

Mesa. Un ejemplo de una representación tabular de la distribución teórica de una variable aleatoria discreta

Gráficamente, la distribución empírica de una variable aleatoria discreta se puede representar como gráfico de barras , formado por un conjunto de columnas de igual ancho, cuyas alturas son proporcionales a las frecuencias de valores discretos de una variable aleatoria.

Figura - Gráfico de barras de una variable aleatoria discreta.

Si la variable aleatoria es continua, surgen algunas dificultades con la presentación de su distribución en forma de tabla o gráfico. Por tanto, en la práctica, al estudiar variables aleatorias de tipo continuo, los valores obtenidos se dividen en intervalos iguales de manera que el valor del intervalo sea algo mayor que el error de medida de la cantidad en estudio. Luego, las frecuencias no se calculan por los valores reales de la variable aleatoria, sino por intervalos. Por tanto, la tabla de distribución empírica de una variable aleatoria de tipo continuo tendrá la siguiente forma.

Mesa. Distribución empírica de una variable aleatoria de tipo continuo.

Intervalo de valores X	Significado aritmetico	Frecuencia F i	Frecuencia metro i
160,031 - 160,033
160,033 - 160,035
160,035 - 160,037
160,037 - 160,039
160,039 - 160,041
160,041 - 160,043
160,043 - 160,045
160,045 - 160,047
		F i = 100	metro i = 1

La distribución empírica de una variable continua aleatoria se puede representar gráficamente como un histograma de distribución, un polígono de frecuencia o un polígono de frecuencia acumulada.

Histograma de distribución es un conjunto de rectángulos que se tocan, cuyas bases son iguales a los intervalos de división de una variable aleatoria continua, y las áreas son proporcionales a las frecuencias con las que los valores de la variable aleatoria caen en estos intervalos (según STB GOST R 50779.10 gráfico de barras (distribución) es una representación gráfica de la distribución de frecuencias para una característica cuantitativa, formada por rectángulos contiguos, cuyas bases son los intervalos de clases, y las áreas son proporcionales a las frecuencias de estas clases).

Figura - Histograma de la distribución de una variable continua aleatoria.

Polígono de frecuencia es una línea quebrada que se obtiene conectando puntos cuyas abscisas son iguales a los puntos medios de los intervalos de partición, y las ordenadas son iguales a las frecuencias correspondientes.

Figura - Polígono de frecuencias de una variable continua aleatoria.

Polígono acumulativo frecuencias es una línea discontinua que se obtiene conectando puntos cuyas abscisas son iguales a los límites superiores de los intervalos de partición y cuyas ordenadas son iguales a frecuencias acumulativas o frecuencias acumulativas (frecuencias relativas acumulativas).

Figura - Polígono de frecuencias acumuladas de un valor aleatorio continuo.

En las descripciones teóricas de variables aleatorias de tipo continuo se utiliza la función de distribución. La distribución teórica de una variable continua aleatoria se puede representar gráficamente como integral, integral inversa, diferencial funciones y funciones de distribucion intensidad.

Sea X una variable aleatoria y x un número real (con X< х ). Evento X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X< х) = F(х)

F(X) se llama función de distribución probabilidades variable aleatoria o función de distribución integral.

Para una variable aleatoria discreta, la función de distribución integral F(X) se determina fácilmente a partir de una tabla o gráfico.

Así, para el ejemplo anterior de la distribución de una variable aleatoria discreta (en X< 4):

F(X) = P( X ) = P( X=1) + P( X=2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

La gráfica de la función de distribución integral de una variable aleatoria discreta se verá como una curva escalonada. Las ordenadas de la curva para cualquier valor de X representarán la suma de las probabilidades de los valores anteriores.

Figura - Función de distribución integral de una variable aleatoria discreta

La probabilidad de que una variable aleatoria durante la prueba esté dentro de los límites de dos valores dados x 1 y x 2 (x 2 > x 1) es igual al incremento de la función integral en esta área, es decir

P(x 1 ≤ X ≤ X 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X 1 )

Si volvemos al ejemplo anterior de la distribución de una variable aleatoria discreta, entonces para x1 = 2 y x2 = 3:

P(2≤X≤3) = P(X< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Para una variable aleatoria continua, el gráfico de la función de distribución integral se verá como una curva monótonamente creciente. En la práctica, las frecuencias de distribución teóricas se determinan utilizando la función de distribución acumulativa.

Figura - Función de distribución acumulativa

variable aleatoria continua

La función de distribución acumulada inversa es igual a la diferencia entre la unidad y la función de distribución acumulada.

Densidad de distribución (función de distribución diferencial) variable aleatoria se llama la primera derivada de la función de distribución integral:

Para una descripción analítica de una variable aleatoria continua en la teoría de la confiabilidad, usamos función de intensidad , igual a la relación entre la función de distribución diferencial y la función de distribución integral inversa:

Figura - La función de intensidad de una variable aleatoria continua.

Tema 3.

Variables aleatorias y funciones de distribución

El concepto de variable aleatoria.

El concepto de variable aleatoria

Función de distribución de una variable aleatoria, sus propiedades

Variables aleatorias con distribución discreta

El concepto de una variable aleatoria con una distribución discreta

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta.

Ejemplos de distribuciones discretas

Variables aleatorias con distribución absolutamente continua

El concepto de variable aleatoria con una distribución absolutamente continua

Ley de distribución de una variable aleatoria absolutamente continua. Densidad, sus propiedades.

Ejemplos de distribuciones absolutamente continuas

El concepto de un vector aleatorio.

El concepto de un vector aleatorio

Variables aleatorias independientes

Distribución conjunta de variables aleatorias

El concepto de variable aleatoria.

Desde el surgimiento de la teoría de la probabilidad, su tarea principal ha sido estudiar no las propiedades probabilísticas de los experimentos con resultados aleatorios, sino las cantidades numéricas asociadas con estos experimentos, que es natural llamar variables aleatorias. Por ejemplo, puede que no nos interesen los pares de números de las caras superiores de los dados, sino su suma; el número de éxitos o fracasos antes del primer éxito en el esquema de Bernoulli.

A menudo, en la literatura se pueden encontrar variaciones sobre el tema de la siguiente definición: Variable aleatoria se denomina variable que, según el resultado de la prueba, toma valores que dependen del caso.

Por lo tanto, una variable aleatoria es un valor numérico, cuyo valor depende de qué tipo de resultado (elemental) se produjo como resultado de un experimento con un resultado aleatorio. El conjunto de todos los valores que puede tomar una variable aleatoria se llama conjunto de posibles valores de esta variable aleatoria.

Daremos una definición más rigurosa, ya que el concepto de variable aleatoria es uno de esos conceptos clave que conectan la teoría de la probabilidad con el análisis matemático y forman la base conceptual de la estadística matemática.

Definición. Variable aleatoria es una función X = X(ω) definida sobre el espacio de eventos elementales Ω para el cual el evento (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Condición (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из PERO. Además, a través de eventos (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

Comentario. Así, una variable aleatoria es una función cuyo dominio de definición es el espacio de eventos elementales Ω, y el conjunto de valores es un conjunto numérico, posiblemente todo el conjunto de los números reales R.

La σ-álgebra de los eventos A es el dominio de definición de probabilidad, si la consideramos como una función.

Comentario . “El término “variable aleatoria” es algo inexacto, el término “función de probabilidad” sería más apropiado, la variable independiente es un punto en el espacio de los eventos elementales, es decir el resultado de un experimento o un caso. (W. Feller "Introducción a la teoría de la probabilidad", cap. IX)

Las variables aleatorias se denotan con las letras del alfabeto griego:  (xi),  (este),  o letras mayúsculas del alfabeto latino X, Y,... Escribiremos los valores de una variable aleatoria como secuencia finita o infinita X 1 ,X 2 ,, X norte,; y 1 ,y 2 ,,y norte ,

Comentario . Anteriormente introdujimos el concepto de probabilidad en relación con algunos eventos. Ahora pasamos a hablar de funciones. El evento más obvio que se puede asociar al concepto de función es la adopción por parte de ésta de algún valor (específico o perteneciente al intervalo)

Para estudiar las propiedades probabilísticas de una variable aleatoria, es necesario conocer la regla que permite encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor de un subconjunto de sus valores. Cualquier regla de este tipo se llama la ley de distribución de probabilidad o distribución (de probabilidades) de una variable aleatoria.(la palabra "probabilidad" generalmente se omite)

La ley de distribución general inherente a todas las variables aleatorias es función de distribución.

Definición. Todo el conjunto de probabilidades P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает ley de distribución de la variable aleatoria X en general. A menudo, por brevedad, la ley de distribución de una variable aleatoria se denomina simplemente distribución de una variable aleatoria.

Definición. Función F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется la función de distribución de la variable aleatoria X.

El valor de la función de distribución en el punto x es igual a la probabilidad del evento (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

Se suele decir que el valor de la función de distribución en el punto x es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor que x.

Geométricamente, esto significa lo siguiente: F(x) es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor representado por el punto de la recta numérica ubicado a la izquierda del punto x.

Comentario . La función de distribución también se llama función integral, o ley integral de distribución de una variable aleatoria X

La función de distribución tiene la siguiente propiedades:

0≤ F(x)≤1 (porque por definición, la función de distribución es una probabilidad)

F(x 1) ≤ F(x 2) para x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lím F(x) = 0 cuando x → - ∞ , lím F(x) = 1 cuando x → + ∞

PAGS (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F (x 1) - F (x 2)

F(x) es una función continua por la izquierda, es decir F(x) = F(x - 0), donde F(x - 0) = lím F(y) cuando y → x - 0 (límite izquierdo)

Comentario . Para enfatizar a qué variable aleatoria pertenece la función de distribución F(x), a esta función a veces se le asigna un subíndice que denota una variable aleatoria particular. Por ejemplo, F X (x) = P (X< х}

Comentario. En algunas publicaciones, la función de distribución se define como F(x) = P(X ≤ x). Tal definición no cambia nada en la esencia del concepto de la función de distribución, solo cambia la última quinta propiedad. La función en este caso resulta ser continua por la derecha.

Digresión: "¿Qué es una función?"

Tengamos dos conjuntos X e Y, y Y es un conjunto de números. Y sea dada la regla f, según la cual cada elemento (punto) del conjunto X está asociado con (uno y sólo uno) elemento (número) del conjunto Y. La regla f junto con los conjuntos X e Y definen el función f. La notación y=f(x) significa que la regla f se aplicó a algún punto x del conjunto X, y como resultado obtuvimos un punto y del conjunto Y. X se llama argumento (variable independiente), y y es el valor (variable dependiente) de la función f en el punto X. Al conjunto X se le llama dominio de definición (área de ajuste) de la función, dicen que sobre este conjunto se da la función, al conjunto Y se le llama conjunto de valores de la función. El conjunto X no es necesariamente un conjunto de números. Así, una variable aleatoria es una función definida sobre un espacio no numérico de eventos elementales.

VALORES ALEATORIOS

Un valor aleatorio es una cantidad que, como resultado de la prueba, tomará un único valor posible, y que no se conoce de antemano.

Discreta es una variable aleatoria que toma valores posibles separados y aislados con ciertas probabilidades.

Una variable continua es una variable aleatoria que puede tomar todos los valores de algún intervalo finito o infinito.

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta es la correspondencia entre los posibles valores de una variable aleatoria y sus probabilidades. Esta ley se da en forma de tabla, fórmula o gráfico.

Para variables aleatorias discretas, una de las más comunes es la llamada ley de distribución binomial, a la que conduce el esquema de Bernoulli de repetición de pruebas. La fórmula (8) es la expresión analítica de esta ley.

Ejemplo 11.

Se transmite un mensaje a través del canal de comunicación utilizando un código que consta de dos caracteres. La probabilidad de que aparezca el primero es 2/3. Pasaron tres señales. Encuentre la ley de distribución para las ocurrencias del primer signo.

Solución.

Por condición norte=4, R=2/3, q=1/3. Valores posibles del número de ocurrencias del primer signo: 0, 1, 2 y 3. Encuentra sus probabilidades usando la fórmula (8):

Esta ley se puede presentar en forma de tabla.

X
P1/27	1/27	2/9	4/9	8/27

Una función de distribución es una función que determina la probabilidad de que una variable aleatoria X como resultado de la prueba tomará un valor menor que X, eso es

Geométricamente, esto significa que una variable aleatoria con una probabilidad R tomará el valor que está representado en el eje numérico por el punto a la izquierda X.

Para una variable aleatoria continua, la función de distribución es una función continua diferenciable por partes. Las principales propiedades se derivan de la definición:

1. Los valores de la función de distribución pertenecen al segmento, es decir

2. F(X) es una función no decreciente, es decir, si

3. La probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor contenido en el intervalo [ a,b[, es igual al incremento de la función de distribución en este intervalo

Para una variable aleatoria continua, la probabilidad de aceptar un solo valor es cero. Por lo tanto, para variables aleatorias continuas

Ejemplo 12.

Valor aleatorio X dada por la función de distribución

Encuentre la probabilidad de que como resultado de la prueba X tomará el valor perteneciente al segmento [-1; 0,5].

Solución.

Se sigue de la condición de que X es una variable aleatoria continua que puede tomar un valor de 0 a 1.

Densidad de probabilidad continuo variable aleatoria X llamar a la primera derivada de la función de distribución

función de distribución F(x) es una de las antiderivadas de la densidad de distribución. Basado en la definición de densidad o ley diferencial distribución y su relación con la función de distribución, es fácil mostrar las siguientes propiedades:

1. La densidad de distribución de una variable aleatoria continua es una función no negativa

2. Probabilidad de acertar en una variable aleatoria X en el intervalo es igual a

(16)

3. De la propiedad 2 obtenemos una expresión para la función de distribución

(17)

4. Condición de normalización

(18)

Ejemplo 13 valor discreto X dado por tabla

X
R	0,1	0,3	0,4	0,2

Encuentre la función de distribución y construya su gráfica.

Solución.

1. Si , entonces , ya que X no puede ser menos de 2.

En este caso, en el intervalo (-¥, X) solo hay un valor de la variable aleatoria X (X=2). Es por eso

Para cualquier valor de argumento X funciones F(x), satisfaciendo esta desigualdad, en el intervalo (-¥, X) acierta dos valores de una variable aleatoria ( X=2 y X=3). porque los acontecimientos que X aceptará que los valores dados son inconsistentes (o X=2 o X=3), entonces

4. Del mismo modo, si

Por lo tanto, la función de distribución se verá como

Construimos un gráfico de la función de distribución.

Arroz. 1 - Gráfico de la función de distribución

variable aleatoria discreta

Ejemplo 14. Densidad de distribución de errores de medición

Una variable aleatoria es una variable cuyo valor se obtiene como resultado de nuevos cálculos o mediciones y no puede determinarse sin ambigüedades por las condiciones de su ocurrencia.

Es decir, una variable aleatoria representa eventos aleatorios numéricos.

Las variables aleatorias se dividen en dos clases:

Variables aleatorias discretas: los valores de estas cantidades son números naturales a los que, como eventos individuales, se les asignan frecuencias y probabilidades.

Variables aleatorias continuas: pueden tomar cualquier valor de un determinado intervalo (intervalo). Dado que existe un número infinito de valores numéricos en el intervalo de X1 a X2, la probabilidad de que la variable aleatoria XiЄ(X1,X2) tome un determinado valor es infinitamente pequeña. Teniendo en cuenta que es imposible enumerar todos los valores de una variable aleatoria continua, en la práctica se utiliza el valor medio del intervalo (X1,X2).

Para variables aleatorias discretas, la función y \u003d P (x) se denomina función de distribución de la variable aleatoria y tiene un gráfico: se denomina polígono de distribución.

Se distinguen los siguientes grupos de características numéricas: características de posición (esperanza matemática, moda, mediana, cuantil, etc.), dispersión (varianza, desviación estándar, etc.), características de la forma de densidad de distribución (sesgo, curtosis, etc.) .

La expectativa matemática (valor promedio por distribución) es un número real, determinado según el tipo de SV X por la fórmula:

La expectativa matemática existe si la serie (respectivamente, la integral) en el lado derecho de la fórmula converge absolutamente. Si mX = 0, entonces CV X se llama centrado (denotado por ).

Propiedades de la expectativa matemática:

donde C es una constante;

M = C×M[X];

M = M[X]+M[Y],

para cualquier CB X e Y;

M = M[X]×M[Y] + KXY,

donde KXY = M es la covarianza de los CV de X e Y.

El momento inicial del k-ésimo orden (k = 0, 1, 2, ...) de la distribución de SV X es un número real determinado por la fórmula:

nk=M=

El momento central del k-ésimo orden de la distribución de SV X es el número determinado por la fórmula:

mk = M[(X-mX)k]=

De las definiciones de momentos, en particular, se sigue que: n0 = m0 = 1, n1 = mX, m2 = DX = sX2.

El modo SWNT es el número real Mo(X) = x*, definido como el punto máximo del PR f(x). Una moda puede tener un solo valor (distribución unimodal) o múltiples valores (distribución multimodal).

La mediana de la SWNT es un número real Me(X) = x0 que satisface la condición: P(X< x0} = P{X ³ x0} или F(x0) = 0,5.

Un cuantil de nivel p es un número real tp que satisface la ecuación: F(tp) = p. En particular, de la definición de la mediana se sigue que x0 = t0.5.

La varianza de SV X es un número no negativo D[X] = DX, definido por la fórmula:

DX = M[(X-mX)2] = M - mX2 =

La dispersión existe si la serie (respectivamente, la integral) en el lado derecho de la igualdad converge. Propiedades de dispersión:

D[C] = 0, donde C es una constante;

D = C2×D[X];

la varianza obviamente no cambia con el sesgo CB X;

D = D[X] + D[Y] + 2×KXY,

donde KXY = M - covarianza de CB X e Y;

Un número no negativo sХ = se denomina desviación estándar de RV X. Tiene la dimensión de RV X y define algún intervalo de dispersión rms estándar, simétrico con respecto a la expectativa matemática. (El valor de sX a veces se denomina desviación estándar). CV X se llama estandarizado si mX = 0 y sX = 1. Si el valor X = const (es decir, X no es aleatorio), entonces D[X] = 0.

Un indicador de la asimetría de PR es el coeficiente de asimetría (“sesgo”) de la distribución: A = m3/s3X. El indicador de la curtosis de PR es el coeficiente de curtosis (“puntualidad”) de la distribución: E = (m4/s4X)-3. En particular, para una distribución normal, E = 0.

Un conjunto ordenado de n variables aleatorias (CV) X1, X2, ..., Xn, consideradas juntas en este experimento, se denomina CV n-dimensional o vector aleatorio y se denota = (X1, X2, ..., Xn).

La función de distribución (FD) de un vector aleatorio n-dimensional es una función de n variables reales x1, x2, ..., xn, definida como la probabilidad de cumplimiento conjunto de n desigualdades: F(x1, x2, ... xn) = P(X1< x1, X2 < x2,..., Xn < xn}. В частности, для двумерного случайного вектора (X, Y) по определению ФР имеем: F(x, y) = P{X < x, Y < y}. ФР F (х, у) обладает следующими свойствами:

1 0 £ F(x, y) £ 1;

2 F(x, y) - función no decreciente de sus argumentos;

4.

La propiedad 4 se conoce comúnmente como la condición de consistencia. Significa que los DF de los componentes individuales de un vector aleatorio se pueden encontrar pasando al límite de la función de distribución conjunta de estos componentes. La probabilidad de que un punto aleatorio en el plano (X, Y) caiga en un rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas se puede calcular usando el DF usando la fórmula:

P(x1 £ X< x2, y1 £ Y < y2} = F(x1, y1)+ F(x2, y2)- F(x1, y2)- F(x2, y1).

Un vector aleatorio bidimensional (X,Y) se denomina vector aleatorio de tipo discreto (RDV) si el conjunto de sus posibles valores G(x,y) es como mucho contable. Su ley de distribución se puede especificar mediante una tabla bidimensional de la lista de posibles valores de pares de componentes ((хi, yi) | (хi, yi) О G(x, y)) y correspondiente a cada par de probabilidades pij = P(X = xi, Y = yj ) que satisfacen la condición

Un vector aleatorio bidimensional (X, Y) se denomina vector aleatorio de tipo continuo (CBNT) si existe una función no negativa f(x, y) llamada densidad de distribución de probabilidad (DP) del vector aleatorio que :

f(x, y) = , entonces F(x, y) = .

El PR de probabilidades tiene las siguientes propiedades:

f(x, y) ³ 0, (x, y) í R2;

es la condición de normalización.

Las PR de las probabilidades de los componentes individuales de un vector aleatorio se expresan como integrales de la densidad conjunta:

f(x) = f(y) = .

La probabilidad de que un punto aleatorio caiga en un área S cuadrada arbitraria en el plano está determinada por la fórmula

P((X, Y) О S)= .

La densidad de distribución de probabilidad condicional de la componente aleatoria X, siempre que la componente Y haya tomado un cierto valor y, es la función f(x/y) de la variable real x О R: f(x/y) = f(x , y)/f(y) . Del mismo modo, se determina la densidad de probabilidad condicional de la componente aleatoria Y, siempre que la componente X haya tomado un determinado valor x: f(y/x) = f(x, y)/f(x). Los RV X1, X2, ..., Xn se denominan independientes (en conjunto) si para eventos (Xi í Bi), i = 1, 2, ..., n, donde B1, B2, ... Bn son subconjuntos de la recta numérica, se cumple la siguiente igualdad: P(X1 Î B1, X2 Î B2, ... Xn Î Bn) = P(X1 Î B1)× P(X2 Î B2)× ... ×P(Xn Î Bn).

Teorema: XV X1, X2, .... Xn son independientes si y sólo si en cualquier punto x = (x1, x2, ..., xn) se cumple la siguiente igualdad: F(x1, x2, ..., xn ) = F(x1) × F (x2) × ... × F (xn) (o f(x1, x2, ..., xn) = f(x1) × f(x2) × ... × f (xn)).

Para un vector aleatorio bidimensional (X, Y), se introducen las siguientes características numéricas.

El momento inicial de orden r + s de un vector aleatorio (X, Y) es un número real nr,s, definido por la fórmula:

nr,s = M =

El momento inicial nr,s existe si la integral (respectivamente, la serie) en el lado derecho de la igualdad converge absolutamente. En particular, nr,0 = M son los correspondientes momentos iniciales de la componente X. El vector con coordenadas no aleatorias (mX, mY) = (n1,0, n0,1) se denomina expectativa del vector aleatorio (X , Y) o el centro de dispersión.

El momento central de orden r + s de un vector aleatorio (X, Y) es el número real mr,s definido por la fórmula

señor,s = M[(X-mX)r (Y-mY)s] =

El momento central mr,s existe si la integral (respectivamente, la serie) en el lado derecho de la igualdad converge absolutamente. Un vector con coordenadas no aleatorias (DX, DY) = (m2,0, m0,2) se denomina varianza de un vector aleatorio.

El momento central m1,1 se denomina momento de correlación (covarianza): KXY = M = M[(X-mX)×(Y-mY)] = M-mX mY.

El coeficiente de correlación de dos componentes aleatorios X e Y de un vector aleatorio es la covarianza normalizada

rXY = KXY/(sXsY).

Propiedades de covarianza (y coeficiente de correlación).

El concepto de variable aleatoria. Variables aleatorias discretas y continuas. Función de distribución de probabilidad y sus propiedades. Densidad de distribución de probabilidad y sus propiedades. Características numéricas de las variables aleatorias: expectativa matemática, dispersión y sus propiedades, desviación estándar, moda y mediana; momentos inicial y central, asimetría y curtosis. Características numéricas de la media aritmética de n variables aleatorias independientes.

El concepto de variable aleatoria

Aleatorio se llama una cantidad que, como resultado de las pruebas, toma uno u otro (pero solo uno) valor posible, desconocido de antemano, cambiando de prueba a prueba y dependiendo de circunstancias aleatorias. A diferencia de un evento aleatorio, que es una característica cualitativa de un resultado de prueba aleatorio, una variable aleatoria caracteriza cuantitativamente el resultado de la prueba. Ejemplos de una variable aleatoria son el tamaño de una pieza de trabajo, el error en el resultado de medir cualquier parámetro de un producto o entorno. Entre las variables aleatorias encontradas en la práctica, se pueden distinguir dos tipos principales: discretas y continuas.

Discreto es una variable aleatoria que toma un conjunto finito o infinito de valores contables. Por ejemplo: la frecuencia de aciertos con tres tiros; el número de productos defectuosos en un lote de n piezas; el número de llamadas que llegan a la central telefónica durante el día; la cantidad de fallas de los elementos del dispositivo durante un cierto período de tiempo al probar su confiabilidad; el número de disparos antes del primer golpe en el blanco, etc.

continuo Se denomina variable aleatoria a la que puede tomar cualquier valor de algún intervalo finito o infinito. Obviamente, el número de valores posibles de una variable aleatoria continua es infinito. Por ejemplo: un error en la medición del alcance del radar; tiempo de actividad del chip; error de fabricación de piezas; concentración de sal en el agua de mar, etc.

Las variables aleatorias generalmente se denotan con las letras X, Y, etc., y sus posibles valores son x, y, etc. Para especificar una variable aleatoria, no es suficiente enumerar todos sus posibles valores. También es necesario saber con qué frecuencia puede aparecer uno u otro de sus valores como resultado de pruebas en las mismas condiciones, es decir, es necesario establecer las probabilidades de su ocurrencia. El conjunto de todos los valores posibles de una variable aleatoria y sus correspondientes probabilidades constituye la distribución de una variable aleatoria.

Leyes de distribución de una variable aleatoria

ley de distribucion Una variable aleatoria es una correspondencia entre los posibles valores de una variable aleatoria y sus correspondientes probabilidades. Se dice que una variable aleatoria obedece a una ley de distribución dada. Dos variables aleatorias se llaman independiente, si la ley de distribución de uno de ellos no depende de qué valores posibles haya tomado el otro valor. De lo contrario, las variables aleatorias se llaman dependiente. Varias variables aleatorias se llaman mutuamente independientes, si las leyes de distribución de cualquier número de ellos no dependen de qué valores posibles hayan tomado las otras cantidades.

La ley de distribución de una variable aleatoria se puede dar en forma de tabla, función de distribución o densidad de distribución. Una tabla que contiene los valores posibles de una variable aleatoria y las probabilidades correspondientes es la forma más simple de especificar la ley de distribución de una variable aleatoria.

\begin(matriz)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_(n-1)&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_(n-1 )&p_n\\\hline\end(matriz)

La especificación tabular de la ley de distribución solo se puede utilizar para una variable aleatoria discreta con un número finito de valores posibles. La forma tabular de especificar la ley de una variable aleatoria también se denomina serie de distribución.

Para mayor claridad, la serie de distribución se presenta gráficamente. En una representación gráfica en un sistema de coordenadas rectangulares, todos los valores posibles de una variable aleatoria se grafican a lo largo del eje de abscisas y las probabilidades correspondientes se grafican a lo largo del eje de ordenadas. Los puntos (x_i,p_i) conectados por segmentos de línea recta se llaman polígono de distribución(Figura 5). Cabe recordar que la conexión de puntos (x_i,p_i) se realiza únicamente con fines de claridad, ya que en los intervalos entre x_1 y x_2, x_2 y x_3, etc. no existen valores que la variable aleatoria X pueda tomar, por lo que las probabilidades de que ocurra en estos intervalos son cero.

El polígono de distribución, como la serie de distribución, es una de las formas de especificar la ley de distribución de una variable aleatoria discreta. Pueden tener diferentes formas, pero todos comparten el mismo propiedad comun: la suma de las ordenadas de los vértices del polígono de distribución, que es la suma de las probabilidades de todos los valores posibles de una variable aleatoria, siempre es igual a uno. Esta propiedad se deriva del hecho de que todos los valores posibles de la variable aleatoria X forman un grupo completo de eventos incompatibles, cuya suma de probabilidades es igual a uno.

Función de distribución de probabilidad y sus propiedades

La función de distribución es la forma más general de establecer la ley de distribución. Se utiliza para especificar variables aleatorias discretas y continuas. Por lo general, se denota F(x) . función de distribución determina la probabilidad de que una variable aleatoria X tome valores menores que un número real fijo x, es decir, F(x)=P\(X función de distribución integral.

La interpretación geométrica de la función de distribución es muy sencilla. Si se considera una variable aleatoria como un punto aleatorio X del eje Ox (Fig. 6), que, como resultado de la prueba, puede tomar una u otra posición en el eje, entonces la función de distribución F(x) es la probabilidad de que el punto aleatorio X, como resultado de la prueba, caiga a los puntos x de la izquierda.

Para una variable aleatoria discreta X que puede tomar los valores, la función de distribución tiene la forma

F(x)=\suma\limites_(x_i
donde la desigualdad x_i

Una variable aleatoria continua tiene una función de distribución continua, la gráfica de esta función tiene la forma de una curva suave (Fig. 8).

Considere las propiedades generales de las funciones de distribución.

Propiedad 1. La función de distribución es no negativa, una función encerrada entre cero y uno:

0\leqslant(F(x))\leqslant1

La validez de esta propiedad se deriva del hecho de que la función de distribución F(x) se define como la probabilidad de un evento aleatorio de que X

Propiedad 2. La probabilidad de que una variable aleatoria caiga en el intervalo [\alpha;\beta) es igual a la diferencia entre los valores de la función de distribución en los extremos de este intervalo, es decir

P\(\alfa\leqslant(X)<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)

De ello se deduce que la probabilidad de cualquier valor individual de una variable aleatoria continua es cero.

Propiedad 3. La función de distribución de una variable aleatoria es una función no decreciente, es decir F(\beta)\geqslant(F(\alpha)).

Propiedad 4. En menos infinito, la función de distribución es igual a cero, y en más infinito, es igual a uno, es decir \lim_(x\to-\infty)F(x)=0 y \lim_(x\to+\infty)F(x)=1.

Ejemplo 1. La función de distribución de una variable aleatoria continua viene dada por la expresión

F(x)=\begin(casos)0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 0\end(casos).

Encuentre el coeficiente a y grafique F(x) . Determine la probabilidad de que la variable aleatoria X como resultado del experimento tome un valor en el intervalo .

Solución. Dado que la función de distribución de una variable aleatoria continua X es continua, entonces para x=3 obtenemos a(3-1)^2=1 . Por lo tanto a=\frac(1)(4) . El gráfico de la función F(x) se muestra en la fig. 9.

Con base en la segunda propiedad de la función de distribución, tenemos

P\(1\leqslant(X)<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.

Distribución de densidad de probabilidad y sus propiedades

La función de distribución de una variable aleatoria continua es su característica probabilística. Pero tiene un inconveniente, que consiste en que es difícil juzgar la naturaleza de la distribución de una variable aleatoria en una pequeña vecindad de uno u otro punto del eje numérico. Una representación más visual de la naturaleza de la distribución de una variable aleatoria continua está dada por una función llamada densidad de distribución de probabilidad, o función de distribución diferencial de una variable aleatoria.

Densidad de distribución f(x) es igual a la derivada de la función de distribución F(x), es decir

F(x)=F"(x).

El significado de la densidad de distribución f(x) es que indica con qué frecuencia aparece la variable aleatoria X en alguna vecindad del punto x cuando se repiten los experimentos. La curva que representa la densidad de distribución f(x) de una variable aleatoria se llama curva de distribución.

Considerar propiedades de densidad de distribución.

Propiedad 1. La densidad de distribución no es negativa, es decir

F(x)\geqslant0.

Propiedad 2. La función de distribución de una variable aleatoria es igual a la integral de la densidad en el intervalo de -\infty ax, es decir

F(x)=\int\limits_(-\infty)^(x)f(x)\,dx.

Propiedad 3. La probabilidad de que una variable aleatoria continua X alcance el segmento (\alpha;\beta) es igual a la integral de la densidad de distribución tomada sobre este segmento, es decir

P\(\alpha\leqslant(X)\leqslant\beta\)=\int\limits_(\alpha)^(\beta)f(x)\,dx.

Propiedad 4. La integral en límites infinitos de la densidad de distribución es igual a uno:

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=1.

Ejemplo 2. La variable aleatoria X está sujeta a la ley de distribución con densidad

F(x)=\begin(casos)0,&x<0\\a\sin{x},&0\pi\end(casos)

Determinar el coeficiente a; construir un gráfico de la densidad de distribución; encuentre la probabilidad de acertar una variable aleatoria en el área de 0 a \frac(\pi)(2) determine la función de distribución y construya su gráfica.

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(- a\cos(x))\Bigl|_(0)^(\pi)=2a.

Teniendo en cuenta la propiedad 4 de la densidad de distribución, encontramos a=\frac(1)(2) . Por lo tanto, la densidad de distribución se puede expresar de la siguiente manera:

F(x)=\begin(casos)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0\pi\end(casos).

El gráfico de la densidad de distribución en la fig. 10. Por la propiedad 3, tenemos

P\!\izquierda\(0

Para determinar la función de distribución, usamos la propiedad 2:

F(x)=\frac(1)(2)\int\limits_(0)^(x)\sin(x)\,dx=\Bigl.(\-\frac(1)(2)\cos( x))\Bigl|_(0)^(x)=\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\cos(x).

Así, tenemos

F(x)=\begin(casos)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0\pi\end(casos).

El gráfico de la función de distribución se muestra en la fig. once

Características numéricas de las variables aleatorias

La ley de distribución caracteriza completamente una variable aleatoria desde un punto de vista probabilístico. Pero al resolver una serie de problemas prácticos, no es necesario conocer todos los valores posibles de una variable aleatoria y las probabilidades correspondientes, sino que es más conveniente utilizar algunos indicadores cuantitativos. Tales indicadores se llaman números. Características de una variable aleatoria. Los principales son la esperanza matemática, la varianza, los momentos de varios órdenes, la moda y la mediana.

La esperanza matemática a veces se denomina valor medio de una variable aleatoria. Considere una variable aleatoria discreta X tomando los valores x_1,x_2,\ldots,x_n con probabilidades respectivamente p_1,p_2,\ldots,p_n Determinemos la media aritmética de los valores de una variable aleatoria, ponderada por las probabilidades de su ocurrencia. Así, calculamos el valor medio de una variable aleatoria, o su expectativa matemática M(X) :

M(X)=\frac(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)(p_1+p_2+\cdots+p_n)=\frac(\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i)(\sum\limits_( i=1)^(n)p_i).

Dado que \sum\limits_(i=1)^(n)p_i=1 obtenemos

M(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i).~~~~~~~(4.1)

Asi que, expectativa matemática Una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles y las probabilidades correspondientes.

Para una variable aleatoria continua, la expectativa matemática

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)xf(x)\,dx.

Expectativa matemática de una variable aleatoria continua X , cuyos posibles valores pertenecen al segmento ,

M(X)=\int\limits_(a)^(b)xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)

Usando la función de distribución de probabilidad F(x), la expectativa matemática de una variable aleatoria se puede expresar de la siguiente manera:

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)x\,d(F(x)).

Propiedades de expectativa

Propiedad 1. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Propiedad 2. La esperanza matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas:

M(XY)=M(X)M(Y).

Propiedad 3. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma:

M(c)=c.

Propiedad 4. Del signo de expectativa se puede sacar un multiplicador constante de una variable aleatoria:

M(cX)=cM(X).

Propiedad 5. La expectativa matemática de la desviación de una variable aleatoria de su expectativa matemática es cero:

M(X-M(X))=0.

Ejemplo 3. Encuentre la expectativa matemática del número de productos defectuosos en una muestra de cinco productos, si la variable aleatoria X (el número de productos defectuosos) está dada por una serie de distribución.

\begin(matriz)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&0&1&2&3&4&5\\\hline(P)&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\ !0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end(matriz)

Solución. Por la fórmula (4.1) encontramos

M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\ !0010 =1,\!25.

Moda M_0 de una variable aleatoria discreta se llama su valor más probable.

Moda M_0 de una variable aleatoria continua se llama su valor, que corresponde al mayor valor de la densidad de distribución. Geométricamente, la moda se interpreta como la abscisa del punto del máximo global de la curva de distribución (Fig. 12).

Mediana M_e de variable aleatoria se llama su valor por el cual la igualdad

P\(X Yo\).

Desde un punto de vista geométrico, la mediana es la abscisa del punto en el que el área de la figura delimitada por la curva de distribución de probabilidad y el eje de abscisas se divide por la mitad (Fig. 12). Dado que toda el área delimitada por la curva de distribución y el eje x es igual a uno, la función de distribución en el punto correspondiente a la mediana es 0,5, es decir

F(M_e)=P\(X

Con la ayuda de la varianza y la desviación estándar, se puede juzgar la dispersión de una variable aleatoria alrededor de la expectativa matemática. Como medida de dispersión de una variable aleatoria, se utiliza la expectativa matemática de la desviación al cuadrado de una variable aleatoria de su expectativa matemática, que se denomina varianza de la variable aleatoria X y denotemos D[X] :

D[X]=M((X-M(X))^2).

Para una variable aleatoria discreta, la varianza es igual a la suma de los productos de las desviaciones al cuadrado de los valores de la variable aleatoria de su expectativa matemática por las probabilidades correspondientes:

D[X]=\sum\limits_(i=1)^(n)(x_i-M(X))^2p_i.

Para una variable aleatoria continua cuya ley de distribución viene dada por la densidad de distribución de probabilidad f(x), la varianza

D[X]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(x-M(X))^2f(x)\,dx.

La dimensión de la varianza es igual al cuadrado de la dimensión de la variable aleatoria y por tanto no puede interpretarse geométricamente. Estas deficiencias se ven privadas de la desviación estándar de una variable aleatoria, que se calcula mediante la fórmula

\sigma=\sqrt(D[X]).

Propiedades de la dispersión de variables aleatorias

Propiedad 1. La varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estas variables:

D=D[X]+D[Y].

Propiedad 2. La varianza de una variable aleatoria es igual a la diferencia entre la esperanza matemática del cuadrado de la variable aleatoria X y el cuadrado de su esperanza matemática:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3).

Propiedad 3. La dispersión de un valor constante es cero:

D[c]=0.

Propiedad 4. Un factor constante de una variable aleatoria se puede sacar del signo de la varianza elevándolo primero al cuadrado:

D=c^2D[X].

Propiedad 5. La varianza del producto de dos variables aleatorias independientes X e Y está determinada por la fórmula

D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

Ejemplo 4. Calcular la varianza del número de productos defectuosos para la distribución del ejemplo 3.

Solución. Por definición de varianza

Una generalización de las principales características numéricas de una variable aleatoria es el concepto de momentos de una variable aleatoria.

El momento inicial del q-ésimo orden variable aleatoria se llama la expectativa matemática del valor X^q:

El momento inicial de primer orden es la esperanza matemática y el momento central de segundo orden es la varianza de la variable aleatoria.

El momento central normalizado de tercer orden sirve como una característica del sesgo o asimetría de la distribución ( factor de asimetría):

A_s=\frac(\mu_(()_3))(\sigma^3).

El momento central normalizado de cuarto orden sirve como una característica de la distribución en pico o en la parte superior plana ( exceso):

E=\frac(\mu_(()_4))(\sigma^4)-3.

Ejemplo 5. La variable aleatoria X viene dada por la distribución de densidad de probabilidad

F(x)=\begin(casos)0,&x<0;\\ax^2,&02.\end(casos).

Encuentre el coeficiente a, la expectativa matemática, la varianza, la asimetría y la curtosis.

Solución. El área delimitada por la curva de distribución es numéricamente igual a

\int\limits_(0)^(2)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(2)x^2\,dx=\left.(a\,\frac(x^) 3)(3))\right|_(0)^(2)=\frac(8)(3)\,a.

Dado que esta área debe ser igual a uno, encontramos a=\frac(3)(8) . Usando la fórmula (4.2), encontramos la esperanza matemática:

M(X)=\int\limits_(0)^(2)xf(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^3\,dx= \left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^4)(4))\right|_(0)^(2)=1,\!5.

La dispersión está determinada por la fórmula (4.3). Para hacer esto, primero encontramos la expectativa matemática del cuadrado de una variable aleatoria:

M(X^2)=\int\limits_(0)^(2)x^2f(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^4 \,dx=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^5)(5))\right|_(0)^(2)=2,\!4.

De este modo,

\begin(alineado)D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\ \ \sigma(X)&=\sqrt(D(X))=\sqrt(0,\!15)\approx0,\!3873.\end(alineado)

Usando los momentos iniciales, calculamos los momentos centrales de tercer y cuarto orden:

\begin(alineado)\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\ int\limits_0^2(x^3f(x)\,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^5\,dx)=\left.(\frac(3)( 8)\cdot\frac(x^6)(6))\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2(x^4f(x)\ ,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^6\,dx)=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^7)(7 ))\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4 +2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\ \&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4 =0,\!0696.\\ A_s&=\frac(\mu_3)(\sigma^3)=-\frac(0,\!05)((0,\!3873)^3)=-0,\ !86.\\ E&=\frac(\mu_4)(\sigma^4)-3=\frac(0,\!0696)((0,\!3873)^4)-3=-0,\! 093.\end(alineado)

Características numéricas de la media aritmética de n variables aleatorias independientes

Dejar x_1,x_2,\ldots,x_n- valores de la variable aleatoria X obtenidos de n ensayos independientes. La esperanza matemática de una variable aleatoria es igual a M(X) y su varianza es D[X] . Estos valores se pueden considerar como variables aleatorias independientes X_1,X_2,\ldots,X_n con las mismas expectativas y varianzas matemáticas:

M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.

La media aritmética de estas variables aleatorias

\overline(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)\frac(X_i)(n).

Usando las propiedades de expectativa matemática y dispersión de una variable aleatoria, podemos escribir:

\begin(alineado)M(\overline(X))&=M\!\left(\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right)=\frac( 1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline(X)]&= D\!\left[\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\frac(1)(n^2)\sum\limits_(i=1 )^(n)D=\frac(D[X])(n).~~~~~~~(4.5)\end(alineado)

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