Hayaang tukuyin ang function sa domain

Kahulugan. Pagpapahayag

tinawag functional malapit.

Halimbawa.

Para sa ilang mga halaga, ang serye ay maaaring magtagpo, para sa iba pang mga halaga maaari itong magkaiba.

Halimbawa.

Hanapin ang lugar ng convergence ng serye. Ang seryeng ito ay tinukoy para sa mga halaga

Kung pagkatapos , ang serye ay nag-iiba, dahil ang kinakailangang pamantayan para sa tagpo ng serye ay hindi nasiyahan; kung ang serye ay magkakaiba; kung ay isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.

Ang paghahambing ng seryeng ito sa convergent series sa ay nagbibigay ng rehiyon ng tagpo ng pinag-aralan na serye.

Gamit ang mga halaga mula sa functional series, isang numerical series ang nakuha

Kung para sa serye ng numero ay nagtatagpo, kung gayon ang punto ay tinatawag convergence point functional na hilera.

Ang set ng lahat ng punto ng convergence ng isang serye ay bumubuo sa rehiyon ng convergence nito. Ang lugar ng convergence ay karaniwang ilang pagitan ng axis.

Kung sa bawat punto ay nagtatagpo ang serye ng numero, kung gayon ang functional na serye ay tinatawag nagtatagpo sa lugar.

Ang kabuuan ng functional series ay ilang function ng variable na tinukoy sa convergence region ng series

Anong mga katangian ang mayroon ang mga pag-andar kung ang mga katangian ay kilala bilang isang miyembro ng serye, ibig sabihin.

Ang pagpapatuloy ng mga pag-andar ay hindi sapat upang makagawa ng konklusyon tungkol sa pagpapatuloy.

Ang convergence ng isang serye ng tuluy-tuloy na function sa isang tuluy-tuloy na function ay ibinibigay ng isang karagdagang kundisyon na nagpapahayag ng isang mahalagang katangian ng convergence ng isang functional series.

Kahulugan. Ang isang functional na serye ay tinatawag na convergent sa domain kung mayroong limitasyon ng mga bahagyang kabuuan ng seryeng ito, ibig sabihin.

Kahulugan. Ang isang functional na serye ay tinatawag na pare-parehong nagtatagpo sa rehiyon kung para sa anumang positibo , mayroong isang bilang na ang hindi pagkakapantay-pantay ay hawak ng lahat.

Geometric na kahulugan ng pare-parehong tagpo

Kung palibutan natin ang graph ng function na may isang strip, na tinukoy ng kaugnayan pagkatapos ay ang mga graph lahat function , simula sa isang sapat na malaking halaga , ganap nakahiga sa "- strip" na ito na nakapalibot sa graph ng limit function .

Mga katangian ng isang pare-parehong convergent na serye .

1. Ang kabuuan ng isang pare-parehong convergent na serye sa ilang rehiyon, na binubuo ng tuluy-tuloy na mga function, ay isang tuluy-tuloy na function sa rehiyong ito.

2. Ang ganitong serye ay maaaring pag-iba-iba ng termino ayon sa termino

3. Ang serye ay maaaring isama ang termino sa pamamagitan ng termino

Upang matukoy kung ang isang functional na serye ay pare-parehong nagtatagpo, dapat nating gamitin ang Weierstrass sufficient convergence criterion.

Kahulugan. Ang functional na serye ay tinatawag nangingibabaw sa ilang rehiyon ng pagbabago kung mayroong ganoong convergent numerical series na may positibong termino na ang mga hindi pagkakapantay-pantay para sa lahat ng rehiyong ito.

Tanda ng Weierstrass(unipormeng convergence ng functional series).

Functional na saklaw nagtatagpo nang pantay sa domain ng convergence kung ito ay nangingibabaw sa domain na ito.

Sa madaling salita, kung ang mga function sa ilang lugar ay hindi lalampas sa mga katumbas na positibong numero sa ganap na halaga at kung ang serye ng numero ay nagtatagpo, kung gayon ang functional na serye ay pare-parehong nagtatagpo sa lugar na ito.

Halimbawa. Patunayan ang pare-parehong convergence ng functional series.

Solusyon. . Palitan natin ang karaniwang termino ng seryeng ito ng karaniwang termino ng numerical na serye, ngunit lumalampas sa bawat miyembro ng serye sa ganap na halaga. Upang gawin ito, kinakailangan upang matukoy kung saan ang karaniwang termino ng serye ay magiging maximum.

Ang nagreresultang numerical series ay nagtatagpo, na nangangahulugan na ang functional series ay pare-parehong nagtatagpo ayon sa Weierstrass test.

Halimbawa. Hanapin ang kabuuan ng serye.

Upang mahanap ang kabuuan ng isang serye, ginagamit namin ang kilalang formula para sa kabuuan ng isang geometric na pag-unlad

Ang pag-iiba sa kaliwa at kanang bahagi ng formula (1), sunud-sunod nating nakuha

Sa kabuuan na kakalkulahin, iisa-isahin namin ang mga terminong proporsyonal sa una at pangalawang derivatives:

Kalkulahin natin ang mga derivatives:

Power series.

Kabilang sa mga functional na serye ay mayroong isang klase ng kapangyarihan at trigonometric series.

Kahulugan. Functional na serye ng form

tinatawag na power in powers. Ang mga expression ay pare-pareho ang mga numero.

Kung ang serye ay isang serye ng kapangyarihan sa mga kapangyarihan ng .

Domain ng convergence ng isang power series. Ang teorama ni Abel.

Teorama. Kung ang isang serye ng kapangyarihan ay nagtatagpo sa isang punto, pagkatapos ay nagtatagpo ito at, higit pa rito, ganap para sa anumang halaga na mas maliit sa ganap na halaga, iyon ay, o sa pagitan.

Patunay.

Dahil sa convergence ng rad, ang karaniwang termino nito ay dapat na may posibilidad na zero, kaya ang lahat ng mga tuntunin ng seryeng ito ay pare-parehong hangganan: mayroong pare-parehong positibong numero , na para sa anumang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong ., na para sa lahat na may sentro sa punto

functional na mga hilera. Power series.
Saklaw ng convergence ng serye

Ang pagtawa ng walang dahilan ay tanda ng d'Alembert

Kaya't ang oras ng mga functional row ay tumama. Upang matagumpay na makabisado ang paksa, at, lalo na, ang araling ito, kailangan mong maging bihasa sa karaniwang serye ng numero. Dapat kang magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa sa kung ano ang isang serye, magagawang ilapat ang mga palatandaan ng paghahambing upang pag-aralan ang serye para sa convergence. Kaya, kung sinimulan mo pa lamang na pag-aralan ang paksa o isang teapot sa mas mataas na matematika, kailangan magtrabaho sa pamamagitan ng tatlong aralin sa pagkakasunud-sunod: Mga hilera para sa mga teapot,Tanda ng d'Alembert. Mga palatandaan ng Cauchy At Alternating row. Leibniz sign. Siguradong tatlo! Kung mayroon kang pangunahing kaalaman at kasanayan sa paglutas ng mga problema sa mga serye ng numero, kung gayon magiging madali ang pakikitungo sa mga serye ng pagganap, dahil walang masyadong bagong materyal.

Sa araling ito, isasaalang-alang natin ang konsepto ng isang functional series (kung ano ito sa pangkalahatan), makilala ang power series, na matatagpuan sa 90% ng mga praktikal na gawain, at matutunan kung paano lutasin ang isang karaniwang karaniwang problema ng paghahanap ng convergence. radius, convergence interval at convergence region ng isang power series. Dagdag pa, inirerekumenda kong isaalang-alang ang materyal sa pagpapalawak ng mga function sa power series, at isang ambulansya ang ibibigay sa baguhan. Pagkatapos ng kaunting pahinga, lumipat kami sa susunod na antas:

Gayundin sa seksyon ng functional series mayroong kanilang marami mga aplikasyon sa tinatayang mga kalkulasyon, at Fourier Series, na, bilang panuntunan, ay inilalaan ng isang hiwalay na kabanata sa literatura na pang-edukasyon, ay bahagyang magkahiwalay. Mayroon lang akong isang artikulo, ngunit ito ay mahaba at marami, maraming karagdagang mga halimbawa!

Kaya, ang mga palatandaan ay nakatakda, tayo ay:

Ang konsepto ng functional series at power series

Kung ang infinity ay nakuha sa limitasyon, pagkatapos ay tinatapos din ng algorithm ng solusyon ang gawain nito, at ibinibigay namin ang pangwakas na sagot sa gawain: "Ang serye ay nagtatagpo sa" (o sa alinman"). Tingnan ang kaso #3 ng nakaraang talata.

Kung sa limitasyon ay lumabas na hindi zero at hindi infinity, pagkatapos ay mayroon kaming pinakakaraniwang kaso sa pagsasanay No. 1 - ang serye ay nagtatagpo sa isang tiyak na agwat.

Sa kasong ito, ang limitasyon ay . Paano mahahanap ang pagitan ng convergence ng isang serye? Gumagawa kami ng hindi pagkakapantay-pantay:

SA ANUMANG gawain ng ganitong uri sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay dapat na limitahan ang resulta ng pagkalkula, at sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay mahigpit yunit. Hindi ko ipapaliwanag kung bakit eksakto ang hindi pagkakapantay-pantay na ito at kung bakit mayroong isa sa kanan. Praktikal ang mga aralin, at napakaganda na ng ilan sa mga theorems ay naging mas malinaw mula sa aking mga kuwento na ang mga tauhan ng pagtuturo ay hindi nagbigti.

Ang pamamaraan ng pagtatrabaho sa module at paglutas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay ay isinasaalang-alang nang detalyado sa unang taon sa artikulo Saklaw ng pag-andar, ngunit para sa kaginhawahan, susubukan kong magkomento sa lahat ng mga aksyon sa mas maraming detalye hangga't maaari. Inihayag namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa modyul ayon sa tuntunin ng paaralan . Sa kasong ito:

Kalahati sa likod.

Sa ikalawang yugto, kinakailangan upang siyasatin ang tagpo ng serye sa mga dulo ng nahanap na pagitan.

Una, kinuha namin ang kaliwang dulo ng agwat at pinapalitan ito sa aming serye ng kapangyarihan:

Sa

Isang numerical series ang natanggap, at kailangan natin itong suriin para sa convergence (isang gawain na pamilyar na sa mga nakaraang aralin).

1) Ang serye ay nagpapalit ng senyales.
2) – ang mga tuntunin ng serye ay bumababa sa modulo. Bukod dito, ang bawat susunod na termino ng serye ay mas mababa kaysa sa nauna sa modulus: , kaya monotonous ang pagbaba.
Konklusyon: ang serye ay nagtatagpo.

Sa tulong ng isang serye na binubuo ng mga module, malalaman natin kung paano:
– nagtatagpo ("sanggunian" na serye mula sa pamilya ng pangkalahatang harmonic series).

Kaya, ang nagresultang serye ng numero ay ganap na nagtatagpo.

sa - nagtatagpo.

! pinaalala ko na ang anumang convergent positive series ay ganap ding convergent.

Kaya, ang serye ng kapangyarihan ay nagtatagpo, at ganap, sa magkabilang dulo ng nahanap na pagitan.

Sagot: rehiyon ng convergence ng pinag-aralan na serye ng kapangyarihan:

Ito ay may karapatan sa buhay at isa pang disenyo ng sagot: The series converges if

Minsan sa kondisyon ng problema kinakailangan na tukuyin ang radius ng convergence. Ito ay malinaw na sa itinuturing na halimbawa.

Halimbawa 2

Hanapin ang rehiyon ng convergence ng isang power series

Solusyon: nakita namin ang pagitan ng tagpo ng serye sa pamamagitan ng paggamit tanda ni d'Alembert (ngunit hindi ayon sa katangian! - walang ganoong katangian para sa functional series):

Ang serye ay nagtatagpo sa

Kaliwa kailangan na nating umalis lamang, kaya pinarami natin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa 3:

– Ang serye ay sign-alternating.
– – ang mga tuntunin ng serye ay bumababa sa modulo. Ang bawat susunod na termino ng serye ay mas mababa kaysa sa nauna sa ganap na halaga: , kaya monotonous ang pagbaba.

Konklusyon: ang serye ay nagtatagpo.

Sinusuri namin ito para sa likas na katangian ng convergence:

Ihambing ang seryeng ito sa divergent na serye.
Ginagamit namin ang tanda ng limitasyon ng paghahambing:

Ang isang may hangganang numero maliban sa zero ay nakuha, na nangangahulugan na ang serye ay nag-iiba kasama ng serye.

Kaya, ang serye ay nagtatagpo nang may kondisyon.

2) Kailan – diverges (tulad ng napatunayan).

Sagot: Ang lugar ng convergence ng pinag-aralan na serye ng kapangyarihan: . Para sa , ang serye ay nagtatagpo nang may kondisyon.

Sa isinasaalang-alang na halimbawa, ang rehiyon ng convergence ng serye ng kapangyarihan ay isang kalahating pagitan, at sa lahat ng mga punto ng pagitan ang serye ng kapangyarihan ganap na nagtatagpo, at sa puntong iyon, tulad ng nangyari, may kondisyon.

Halimbawa 3

Hanapin ang pagitan ng convergence ng power series at siyasatin ang convergence nito sa mga dulo ng nahanap na interval.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself.

Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa na bihira, ngunit nangyayari.

Halimbawa 4

Hanapin ang lugar ng convergence ng serye:

Solusyon: gamit ang d'Alembert test, nakita namin ang pagitan ng convergence ng seryeng ito:

(1) Buuin ang ratio ng susunod na miyembro ng serye sa nauna.

(2) Alisin ang apat na palapag na bahagi.

(3) Ang mga cube at, ayon sa tuntunin ng mga pagpapatakbo na may mga kapangyarihan, ay ibinubuod sa ilalim ng isang antas. Sa numerator ay matalino nating nabubulok ang antas, i.e. palawakin sa paraang sa susunod na hakbang ay bawasan natin ang fraction ng . Ang mga factorial ay inilarawan nang detalyado.

(4) Sa ilalim ng cube, hinahati natin ang numerator sa termino ng denominator ayon sa termino, na nagpapahiwatig na . Sa isang fraction, binabawasan namin ang lahat ng maaaring bawasan. Ang multiplier ay kinuha sa labas ng limitasyon ng sign, maaari itong alisin, dahil walang anuman dito na nakasalalay sa "dynamic" na variable na "en". Pakitandaan na ang module sign ay hindi iginuhit - sa kadahilanang ito ay nangangailangan ng mga hindi negatibong halaga para sa anumang "x".

Sa limitasyon, ang zero ay nakuha, na nangangahulugan na maaari naming ibigay ang pangwakas na sagot:

Sagot: Ang serye ay nagtatagpo sa

At sa una ay tila ang hilera na ito na may "kakila-kilabot na palaman" ay magiging mahirap lutasin. Ang zero o infinity sa limitasyon ay halos isang regalo, dahil ang solusyon ay kapansin-pansing nabawasan!

Halimbawa 5

Hanapin ang lugar ng convergence ng isang serye

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Mag-ingat ;-) Ang buong solusyon ay ang sagot sa pagtatapos ng aralin.

Isaalang-alang ang ilang higit pang mga halimbawa na naglalaman ng isang elemento ng pagiging bago sa mga tuntunin ng paggamit ng mga diskarte.

Halimbawa 6

Hanapin ang pagitan ng convergence ng serye at siyasatin ang convergence nito sa mga dulo ng natagpuang interval.

Solusyon: Kasama sa karaniwang termino ng serye ng kapangyarihan ang factor , na nagsisiguro sa paghahalili. Ang algorithm ng solusyon ay ganap na napanatili, ngunit kapag pinagsama-sama ang limitasyon, binabalewala namin (huwag isulat) ang kadahilanan na ito, dahil sinisira ng module ang lahat ng "minus".

Nahanap namin ang pagitan ng convergence ng serye gamit ang d'Alembert test:

Binubuo namin ang karaniwang hindi pagkakapantay-pantay:
Ang serye ay nagtatagpo sa
Kaliwa kailangan na nating umalis module lamang, kaya pinarami natin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa 5:

Ngayon ay pinalawak namin ang module sa isang pamilyar na paraan:

Sa gitna ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong iwanan lamang ang "x", para sa layuning ito, ibawas ang 2 mula sa bawat bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay:

ay ang pagitan ng convergence ng pinag-aralan na serye ng kapangyarihan.

Sinisiyasat namin ang convergence ng serye sa mga dulo ng nahanap na agwat:

1) Palitan ang halaga sa aming serye ng kapangyarihan :

Maging lubhang maingat, ang multiplier ay hindi nagbibigay ng kahalili, para sa anumang natural na "en". Kinukuha namin ang nagresultang minus sa labas ng serye at nakalimutan ang tungkol dito, dahil ito (tulad ng anumang constant-multiplier) ay hindi nakakaapekto sa convergence o divergence ng numerical series sa anumang paraan.

Pansinin muli na sa kurso ng pagpapalit ng halaga sa karaniwang termino ng serye ng kapangyarihan, binawasan namin ang factor . Kung hindi ito nangyari, nangangahulugan ito na mali ang pagkalkula namin ng limitasyon, o hindi tama ang pagpapalawak ng module.

Kaya, ito ay kinakailangan upang siyasatin ang convergence ng numerical serye. Dito pinakamadaling gamitin ang pamantayan sa paghahambing ng limitasyon at ihambing ang seryeng ito sa isang magkakaibang serye ng harmonic. Ngunit, sa totoo lang, pagod na pagod ako sa pinakahuling tanda ng paghahambing, kaya magdadagdag ako ng iba't ibang solusyon.

Kaya nagtatagpo ang serye kung kailan

I-multiply ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ng 9:

Kinukuha namin ang ugat mula sa parehong bahagi, habang inaalala ang biro ng lumang paaralan:


Pagpapalawak ng module:

at magdagdag ng isa sa lahat ng bahagi:

ay ang pagitan ng convergence ng pinag-aralan na serye ng kapangyarihan.

Sinisiyasat namin ang convergence ng power series sa mga dulo ng nahanap na agwat:

1) Kung , ang sumusunod na serye ng numero ay nakuha:

Ang multiplier ay nawala nang walang bakas, dahil para sa anumang natural na halaga ng "en" .

Lukhov Yu.P. Abstract ng mga lektura sa mas mataas na matematika. Lektura Blg. 42 5

Lektura 42

PAKSANG-ARALIN: functional na mga hilera

Plano.

1. functional na mga hilera. Lugar ng convergence.
2. Uniform convergence. Tanda ng Weierstrass.
3. Mga katangian ng pare-parehong convergent na serye: pagpapatuloy ng kabuuan ng isang serye, term-by-term integration at differentiation.
4. Power series. Ang teorama ni Abel. Domain ng convergence ng isang power series. radius ng convergence.
5. Mga pangunahing katangian ng serye ng kapangyarihan: pare-parehong convergence, pagpapatuloy at walang katapusang pagkakaiba-iba ng kabuuan. Termwise integration at differentiation ng power series.

functional na mga hilera. Lugar ng convergence

Kahulugan 40.1. Isang walang katapusang kabuuan ng mga tampok

u 1 (x ) + u 2 (x ) +…+ u n (x ) +… , (40.1)

kung saan ang u n (x) = f (x, n), ay tinatawag functional range.

Kung nagtakda ka ng isang partikular na halaga ng numero X , ang serye (40.1) ay magiging isang numerical na serye, at depende sa pagpili ng halaga X maaaring magtagpo o magdiverge ang naturang serye. Ang convergent series lang ang may praktikal na halaga, kaya mahalagang matukoy ang mga value na iyon X , kung saan ang functional series ay nagiging convergent numerical series.

Kahulugan 40.2. Maraming halaga X , na pinapalitan kung alin sa functional series (40.1) ang makakakuha ng convergent numerical series, ay tinatawag narehiyon ng convergencefunctional na hilera.

Kahulugan 40.3. Function s(x), tinukoy sa hanay ng convergence ng serye, na para sa bawat halaga X mula sa convergence region ay katumbas ng kabuuan ng kaukulang numerical series na nakuha mula sa (40.1) para sa isang naibigay na halaga x ay tinatawag ang kabuuan ng functional series.

Halimbawa. Hanapin natin ang rehiyon ng convergence at ang kabuuan ng functional series

1 + x + x ² +…+ x n +…

Kailan | x | ≥ 1, kaya ang kaukulang numerical series ay magkakaiba. Kung

| x | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

Samakatuwid, ang hanay ng convergence ng serye ay ang pagitan (-1, 1), at ang kabuuan nito ay may ipinahiwatig na anyo.

Magkomento . Tulad ng para sa numerical series, maaari nating ipakilala ang konsepto ng isang bahagyang kabuuan ng isang functional na serye:

s n \u003d 1 + x + x ² + ... + x n

at ang natitira sa serye: r n = s s n .

Uniform convergence ng isang functional series

Tukuyin muna natin ang konsepto ng pare-parehong convergence ng isang numerical sequence.

Kahulugan 40.4. Pagkakasunod-sunod ng pag-andar f n (x ) ay tinatawag pare-parehong nagtatagpo sa function f sa set X kung at

Puna 1. Ipatukoy natin ang karaniwang convergence ng isang functional sequence at unipormeng convergence - .

Puna 2 . Muli nating pansinin ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng unipormeng convergence at ordinaryong convergence: sa kaso ng ordinaryong convergence, para sa isang napiling halaga ng ε, para sa bawat isa ay umiiral. ang iyong numero N para sa n > N sumusunod ang hindi pagkakapantay-pantay:

Sa kasong ito, maaaring lumabas na para sa isang naibigay na ε ang pangkalahatang numero N, tinitiyak ang katuparan ng hindi pagkakapantay-pantay na ito para sa alinman X , imposible. Sa kaso ng pare-parehong tagpo, tulad ng isang numero N, karaniwan sa lahat ng x, ay umiiral.

Tukuyin natin ngayon ang paniwala ng pare-parehong convergence ng isang functional series. Dahil ang bawat serye ay tumutugma sa isang sequence ng mga partial sums nito, ang pare-parehong convergence ng isang serye ay tinukoy sa mga tuntunin ng pare-parehong convergence ng sequence na ito:

Kahulugan 40.5. Ang functional na serye ay tinatawagpare-parehong nagtatagpo sa set X, kung sa X ang pagkakasunud-sunod ng mga partial sums nito ay pare-parehong nagtatagpo.

Tanda ng Weierstrass

Teorama 40.1. Kung ang serye ng numero ay nagtatagpo para sa lahat at para sa lahat n = 1, 2,…, pagkatapos ay ganap at pare-parehong nagtatagpo ang serye sa set X.

Patunay.

Para sa anumang ε > 0 c may ganyang numero N , kaya naman

Para sa mga natitira r n serye, ang pagtatantya

Samakatuwid, samakatuwid, ang serye ay nagtatagpo nang pantay.

Magkomento. Ang pamamaraan para sa pagpili ng isang serye ng numero na nakakatugon sa mga kondisyon ng Theorem 40.1 ay karaniwang tinatawag mayorisasyon , at ang seryeng ito mismo majorant para sa functional range na ito.

Halimbawa. Para sa functional na serye, ang majorant para sa anumang halaga X ay isang convergent positive series. Samakatuwid, ang orihinal na serye ay pantay na nagtatagpo sa (-∞, +∞).

Mga katangian ng pare-parehong convergent na serye

Teorama 40.2. Kung mga function u n (x ) ay tuloy-tuloy sa at ang serye ay magkakaugnay sa X, pagkatapos ang kabuuan nito ay s (x) ay tuloy-tuloy din sa punto x 0 .

Patunay.

Pinipili namin ang ε > 0. Pagkatapos, samakatuwid, mayroong isang numero n 0 iyon

- ang kabuuan ng isang may hangganang bilang ng mga tuluy-tuloy na function, kayatuloy-tuloy sa punto x 0 . Samakatuwid, mayroong δ > 0 na ganoon Pagkatapos makuha namin:

Iyon ay, ang function na s (x) ay tuloy-tuloy para sa x \u003d x 0.

Teorama 40.3. Hayaan ang mga function na u n (x ) ay tuloy-tuloy sa pagitan [ a , b ] at pare-parehong nagtatagpo ang serye sa segment na ito. Pagkatapos ang serye ay magkakaugnay din sa [ a , b ] at (40.2)

(iyon ay, sa ilalim ng mga kondisyon ng theorem, ang serye ay maaaring isama ang termino sa pamamagitan ng termino).

Patunay.

Sa pamamagitan ng Theorem 40.2, ang function s(x) = tuloy-tuloy sa [a, b ] at, samakatuwid, ay maisasama dito, iyon ay, ang integral sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay (40.2) ay umiiral. Ipakita natin na pare-parehong nagko-converge ang serye sa function

Magpakilala

Pagkatapos para sa anumang ε mayroong isang numero N , na para sa n > N

Kaya naman, ang serye ay nagtatagpo nang pantay, at ang kabuuan nito ay katumbas ng σ ( x ) = .

Ang teorama ay napatunayan.

Teorama 40.4. Hayaan ang mga function na u n (x ) ay patuloy na nakikilala sa pagitan [ a , b ] at isang serye na binubuo ng kanilang mga derivatives:

(40.3)

pare-parehong nagtatagpo sa [ a , b ]. Pagkatapos, kung ang serye ay nagtatagpo ng hindi bababa sa isang punto, kung gayon ito ay magkakaugnay sa lahat ng [ a , b ], ang kabuuan nito s (x )= ay isang patuloy na naiba-iba na function at

(ang serye ay maaaring pag-iba-ibahin ang termino ayon sa termino).

Patunay.

Tukuyin natin ang function σ( X ) Paano. Sa pamamagitan ng Theorem 40.3, ang serye (40.3) ay maaaring isama ang termino ayon sa termino:

Ang serye sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay magkakaugnay sa [ a , b ] sa pamamagitan ng Theorem 40.3. Ngunit ang numerical series ay nagtatagpo sa pamamagitan ng kondisyon ng theorem, samakatuwid, ang serye ay nagkakaisa nang pantay. Pagkatapos ay ang Function σ( t ) ay ang kabuuan ng isang pare-parehong convergent na serye ng tuluy-tuloy na mga function sa [ a , b ] at samakatuwid ay tuloy-tuloy mismo. Pagkatapos ang function ay patuloy na naiba-iba sa [ a , b ], at, bilang kinakailangan upang patunayan.

Kahulugan 41.1. susunod na kapangyarihan ay tinatawag na functional series ng form

(41.1)

Magkomento. Sa pamamagitan ng pagpapalit x x 0 = t ang serye (41.1) ay maaaring bawasan sa anyo, kaya sapat na upang patunayan ang lahat ng katangian ng serye ng kapangyarihan para sa serye ng anyo

(41.2)

Theorem 41.1 (Ang 1st theorem ni Abel).Kung ang power series (41.2) ay nagtatagpo sa x \u003d x 0, pagkatapos ay para sa anumang x: | x |< | x 0 | serye (41.2) ay ganap na nagtatagpo. Kung ang serye (41.2) ay magkakaiba sa x \u003d x 0, pagkatapos ito ay diverges para sa anumang x : | x | > | x 0 |.

Patunay.

Kung ang serye ay nagtatagpo, pagkatapos ay mayroong isang pare-pareho c > 0:

Samakatuwid, habang ang serye para sa | x |<| x 0 | nagtatagpo dahil ito ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Samakatuwid, ang serye para sa | x |<| x 0 | ganap na nagtatagpo.

Kung ito ay kilala na ang serye (41.2) diverges sa x = x 0 , pagkatapos ay hindi ito maaaring magtagpo para sa | x | > | x 0 | , dahil ito ay susunod sa kung ano ang napatunayan kanina na ito ay nagtatagpo din sa punto x 0 .

Kaya, kung nakita mo ang pinakamalaki sa mga numero x 0 > 0 na ang (41.2) ay nagtatagpo para sa x \u003d x 0, pagkatapos ay ang convergence region ng seryeng ito, tulad ng sumusunod mula sa Abel theorem, ay magiging interval (- x 0 , x 0 ), posibleng kabilang ang isa o parehong mga hangganan.

Kahulugan 41.2. Ang numerong R ≥ 0 ay tinatawag radius ng convergencepower series (41.2) kung ang seryeng ito ay nagtatagpo ngunit nag-iiba. Pagitan (- R, R) ay tinatawag pagitan ng convergence serye (41.2).

Mga halimbawa.

1. Upang pag-aralan ang ganap na convergence ng serye, ginagamit namin ang d'Alembert test: . Samakatuwid, ang serye ay nagtatagpo lamang kapag X = 0, at ang radius ng convergence nito ay 0: R = 0.
2. Gamit ang parehong pagsubok sa d'Alembert, maaaring ipakita ng isa na ang serye ay nagtatagpo para sa anuman x, iyon ay
3. Para sa isang serye batay sa d'Alembert test, nakukuha namin ang:

Samakatuwid, para sa 1< x < 1 ряд сходится, при

x< -1 и x > 1 diverges. Sa X = 1 nakakakuha tayo ng isang maharmonya na serye, na, tulad ng alam mo, nag-iiba, at kung kailan X = -1 ang serye ay nagtatagpo ng may kondisyon ayon sa pamantayan ng Leibniz. Kaya, ang radius ng convergence ng itinuturing na serye R = 1, at ang pagitan ng convergence ay [-1, 1).

Mga formula para sa pagtukoy ng radius ng convergence ng isang power series.

1. pormula ng d'Alembert.

Isaalang-alang ang isang serye ng kapangyarihan at ilapat ang d'Alembert test dito: para sa convergence ng serye, ito ay kinakailangan na. Kung mayroon, kung gayon ang area ng convergence ay tinutukoy ng hindi pagkakapantay-pantay, iyon ay

- (41.3)

• pormula ni d'Alembertupang kalkulahin ang radius ng convergence.

1. Cauchy-Hadamard formula.

Gamit ang radikal na pagsubok ng Cauchy at pangangatwiran sa katulad na paraan, nakuha namin na posibleng itakda ang convergence region ng isang power series bilang isang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay, sa kondisyon na umiiral ang limitasyong ito, at, nang naaayon, maghanap ng isa pang formula para sa radius ng convergence:

(41.4)

• Cauchy-Hadamard formula.

Mga katangian ng serye ng kapangyarihan.

Theorem 41.2 (Ang 2nd theorem ni Abel). Kung si R ang convergence radius ng serye (41.2) at ang seryeng ito ay nagtatagpo sa x = R , pagkatapos ay pantay itong nagtatagpo sa pagitan (- R, R).

Patunay.

Ang sign-positive na serye ay nagtatagpo sa pamamagitan ng Theorem 41.1. Samakatuwid, ang serye (41.2) ay pantay na nagtatagpo sa pagitan ng [-ρ, ρ] ng Theorem 40.1. Mula sa pagpili ng ρ sumusunod na ang pagitan ng pare-parehong tagpo (- R, R ), na dapat patunayan.

Bunga 1 . Sa anumang segment na ganap na nasa loob ng pagitan ng convergence, ang kabuuan ng serye (41.2) ay isang tuluy-tuloy na function.

Patunay.

Ang mga tuntunin ng serye (41.2) ay tuluy-tuloy na mga pag-andar, at ang serye ay pantay na nagtatagpo sa pagitan na isinasaalang-alang. Pagkatapos ang pagpapatuloy ng kabuuan nito ay sumusunod mula sa Theorem 40.2.

Bunga 2. Kung ang mga limitasyon ng integration α, β ay nasa loob ng pagitan ng convergence ng power series, kung gayon ang integral ng kabuuan ng serye ay katumbas ng kabuuan ng integrals ng mga tuntunin ng serye:

(41.5)

Ang patunay ng assertion na ito ay sumusunod mula sa Theorem 40.3.

Teorama 41.3. Kung ang serye (41.2) ay may pagitan ng convergence (- R , R ), pagkatapos ay ang serye

φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41.6)

nakuha sa pamamagitan ng term-by-term differentiation ng serye (41.2), ay may parehong pagitan ng convergence (- R, R). Kung saan

φ΄ (х) = s΄ (x) para sa | x |< R , (41.7)

ibig sabihin, sa loob ng pagitan ng convergence, ang derivative ng kabuuan ng isang serye ng kapangyarihan ay katumbas ng kabuuan ng serye na nakuha ng term-by-term na pagkita ng kaibahan nito.

Patunay.

Pinipili namin ang ρ: 0< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . Pagkatapos ang serye ay nagtatagpo, samakatuwid, iyon ay, kung| x | ≤ ρ, pagkatapos

Kung saan, ang mga tuntunin ng serye (41.6) ay mas mababa sa ganap na halaga kaysa sa mga tuntunin ng serye ng positibong tanda, na nagtatagpo ayon sa d'Alembert test:

ibig sabihin, ito ang majorant para sa serye (41.6) sa Samakatuwid, ang serye (41.6) ay pare-parehong nagtatagpo sa [-ρ, ρ]. Samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 40.4, ang pagkakapantay-pantay (41.7) ay totoo. Mula sa pagpili ng ρ sumusunod na ang serye (41.6) ay nagtatagpo sa anumang panloob na punto ng pagitan (- R, R).

Patunayan natin na ang serye (41.6) ay nag-iiba sa labas ng agwat na ito. Sa katunayan, kung ito ay nagtatagpo sa x1 > R , pagkatapos, pagsasama nito ng termino sa pamamagitan ng termino sa pagitan (0, x 2 ), R< x 2 < x 1 , makukuha natin na ang serye (41.2) ay nagtatagpo sa punto x 2 , na sumasalungat sa kondisyon ng theorem. Kaya, ang teorama ay ganap na napatunayan.

Magkomento . Ang serye (41.6), naman, ay maaaring pag-iba-ibahin ang termino ayon sa termino at ang operasyong ito ay maaaring isagawa nang maraming beses hangga't ninanais.

Konklusyon: kung ang serye ng kapangyarihan ay nagtatagpo sa pagitan (- R, R ), kung gayon ang kabuuan nito ay isang function na mayroong mga derivatives ng anumang pagkakasunud-sunod sa loob ng pagitan ng convergence, na ang bawat isa ay ang kabuuan ng isang serye na nakuha mula sa orihinal gamit ang term-by-term differentiation sa kaukulang bilang ng beses; habang ang pagitan ng convergence para sa isang serye ng mga derivatives ng anumang order ay (- R, R).

Department of Informatics and Higher Mathematics, KSPU

Paksa 2. Functional na serye. Power series

2.1. Mga functional na hilera

Sa ngayon, isinasaalang-alang namin ang mga serye na ang mga miyembro ay mga numero. Let us now turn to the study of series which members are functions.

Functional na saklaw ay tinatawag na isang hilera

na ang mga miyembro ay mga function ng parehong argumento na tinukoy sa parehong set E.

Halimbawa,

1.
;

2.
;

Kung magbibigay tayo ng argumento X ilang numerong halaga
,
, pagkatapos ay makakakuha tayo ng serye ng numero

which can converge (converge absolutely) or diverge.

Kung sa
ang resultang serye ng numero ay nagtatagpo, pagkatapos ay ang punto
tinawagconvergence point functional na hilera. Ang hanay ng lahat ng mga punto ng convergence ay tinatawagrehiyon ng convergence functional na hilera. Tukuyin natin ang lugar ng convergence X, malinaw naman,
.

Kung para sa positibong serye ng numero ang tanong ay ibinibigay: "Nagtatagpo ba o naghihiwalay ba ang serye?", Para sa serye ng sign-variable, ang tanong ay: "Nagtatagpo ba ito bilang - may kondisyon o ganap, - o naghihiwalay?", Pagkatapos para sa functional serye ang pangunahing tanong ay: “Converges (converges absolutely) at what X?».

Functional na saklaw
nagtatatag ng batas ayon sa kung saan ang bawat halaga ng argumento
,
, ay itinalaga ng isang numero na katumbas ng kabuuan ng serye ng numero
. Kaya, sa set X ang function ay ibinigay
, na tinatawag na ang kabuuan ng functional series.

Halimbawa 16

Hanapin ang lugar ng convergence ng isang functional series

.

Solusyon.

Hayaan X ay isang nakapirming numero, kung gayon ang seryeng ito ay maaaring ituring bilang isang numerical na serye na may positibong tanda para sa
at alternating sa
.

Gumawa tayo ng isang serye ng mga ganap na halaga ng mga miyembro ng seryeng ito:

ibig sabihin, para sa anumang halaga X ang limitasyong ito ay mas mababa sa isa, na nangangahulugan na ang seryeng ito ay nagtatagpo, at ganap na (mula nang pinag-aralan namin ang isang serye ng mga ganap na halaga ng mga tuntunin ng serye) sa buong tunay na axis.

Kaya, ang rehiyon ng absolute convergence ay ang set
.

Halimbawa 17.

Hanapin ang lugar ng convergence ng isang functional series
.

Solusyon.

Hayaan X ay isang nakapirming numero
, kung gayon ang seryeng ito ay maaaring ituring bilang isang numerical na serye na may positibong tanda para sa
at alternating sa
.

Isaalang-alang ang isang serye ng mga ganap na halaga ng mga miyembro ng seryeng ito:

at ilapat ang DAlembert test dito.

Ayon sa pagsubok ng DAlembert, ang serye ay nagtatagpo kung ang halaga ng limitasyon ay mas mababa sa isa, i.e. magtatagpo ang seryeng ito kung
.

Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin:


.

Kaya, sa , ang serye na binubuo ng mga ganap na halaga ng mga tuntunin ng seryeng ito ay nagtatagpo, na nangangahulugan na ang orihinal na serye ay ganap na nagtatagpo, at sa
nag-iiba ang seryeng ito.

Sa
ang serye ay maaaring magtagpo o maghiwalay, dahil para sa mga halagang ito X ang halaga ng limitasyon ay katumbas ng isa. Samakatuwid, pinag-aaralan din namin ang convergence ng serye ng mga puntos
At
.

Pagpapalit sa row na ito
, nakakakuha kami ng serye ng numero
, tungkol sa kung saan ito ay kilala na ito ay isang maharmonya divergent serye, pagkatapos ay ang punto
ay ang divergence point ng ibinigay na serye.

Sa
isang alternating number series ang nakuha

kung saan ay kilala sa converge converge (tingnan ang Halimbawa 15), kaya ang punto
ay ang punto ng conditional convergence ng serye.

Kaya, ang rehiyon ng convergence ng seryeng ito ay , at ang serye ay ganap na nagtatagpo sa .

Functional na saklaw

tinawagnangingibabaw sa ilang hanay ng x, kung mayroong ganoong convergent positive series

,

na para sa lahat ng x mula sa ibinigay na lugar ang kundisyon
sa
. hilera
tinawagmajorant.

Sa madaling salita, ang isang serye ay nangingibabaw kung ang bawat isa sa mga termino nito ay hindi mas malaki sa ganap na halaga kaysa sa katumbas na termino ng ilang nagtatagpo na serye ng positibong tanda.

Halimbawa, isang hilera

ay nangingibabaw para sa alinman X, dahil para sa lahat X ang relasyon

sa
,

at isang hilera ay kilala na convergent.

TeoramaWeierstrass

Ang isang serye na pinangungunahan sa ilang domain ay ganap na nagtatagpo sa domain na iyon.

Isaalang-alang, halimbawa, ang functional series
. Ang seryeng ito ay dominado para sa
, dahil sa
ang mga tuntunin ng serye ay hindi lalampas sa mga kaukulang miyembro ng positibong serye . Samakatuwid, ayon sa Weierstrass theorem, ang itinuturing na functional series ay ganap na nagtatagpo para sa
.

2.2. Power series. Ang teorama ni Abel. Domain ng convergence ng isang power series

Kabilang sa iba't ibang functional na serye, ang pinakamahalaga mula sa punto ng view ng praktikal na aplikasyon ay kapangyarihan at trigonometriko serye. Tingnan natin ang mga row na ito.

susunod na kapangyarihan sa pamamagitan ng grado
ay tinatawag na functional series ng form

saan ay ilang nakapirming numero
ay mga numero na tinatawag na coefficients ng serye.

Sa
nakakakuha kami ng isang serye ng kapangyarihan sa mga kapangyarihan X, na mukhang

.

Para sa pagiging simple, isasaalang-alang namin ang serye ng kapangyarihan sa mga kapangyarihan X, dahil mula sa naturang serye ay madaling makakuha ng isang serye sa mga kapangyarihan
, papalitan sa halip X pagpapahayag
.

Ang pagiging simple at kahalagahan ng klase ng serye ng kapangyarihan ay dahil sa katotohanan na ang bahagyang kabuuan ng isang serye ng kapangyarihan

ay isang polynomial - isang function na ang mga katangian ay mahusay na pinag-aralan at kung saan ang mga halaga ay madaling kalkulahin gamit lamang ang mga operasyon ng aritmetika.

Dahil ang power series ay isang espesyal na kaso ng isang functional series, kinakailangan din para sa kanila na mahanap ang lugar ng convergence. Sa kaibahan sa rehiyon ng convergence ng isang arbitrary functional series, na maaaring isang set ng arbitrary form, ang rehiyon ng convergence ng isang power series ay may well-defined form. Ito ang sinasabi ng sumusunod na teorama.

TeoramaAbel.

Kung ang power series
nagtatagpo sa ilang halaga
, pagkatapos ito ay nagtatagpo, at ganap, para sa lahat ng mga halaga ng x na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon
. Kung ang serye ng kapangyarihan ay nag-iiba sa ilang halaga
, pagkatapos ay nag-iiba din ito para sa mga halaga na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon
.

Ito ay sumusunod mula sa teorama ni Abel na Lahat mga punto ng tagpo ng isang serye ng kapangyarihan sa mga kapangyarihan X matatagpuan mula sa pinanggalingan ng mga coordinate higit pa sa alinman sa mga divergence point. Malinaw na ang mga punto ng convergence ay pumupuno sa isang tiyak na puwang na nakasentro sa pinanggalingan. ang theorem sa rehiyon ng convergence ng isang power series ay wasto.

Teorama.

Para sa anumang serye ng kapangyarihan
may numeroR (R>0)tulad na para sa lahat ng x na nakahiga sa loob ng pagitan
, ang serye ay ganap na nagtatagpo at para sa lahat ng x na nasa labas ng pagitan
, nag-iiba ang serye.

NumeroRtinawagradius ng convergence serye ng kapangyarihan, at ang pagitan
– pagitan ng convergence serye ng kapangyarihan sa mga kapangyarihan ng x.

Tandaan na ang theorem ay walang sinasabi tungkol sa convergence ng serye sa mga dulo ng interval ng convergence, i.e. sa mga punto
. Sa mga puntong ito, iba ang kilos ng iba't ibang power series: maaaring magtagpo ang serye (ganap o may kondisyon), o maaari itong mag-diverge. Samakatuwid, ang convergence ng serye sa mga puntong ito ay dapat na masuri nang direkta sa pamamagitan ng kahulugan.

Sa partikular na mga kaso, ang radius ng convergence ng serye ay maaaring katumbas ng zero o infinity. Kung
, pagkatapos ay ang serye ng kapangyarihan sa mga kapangyarihan X nagtatagpo sa isang punto lamang
; kung
, pagkatapos ay ang serye ng kapangyarihan ay nagtatagpo sa buong tunay na axis.

Muli, tandaan na ang serye ng kapangyarihan
sa pamamagitan ng grado
maaaring bawasan sa isang serye ng kapangyarihan
sa pamamagitan ng pagpapalit
. Kung ang hilera
nagtatagpo sa
, ibig sabihin. Para sa
, pagkatapos ay pagkatapos ng reverse substitution makuha namin

 o
.

Kaya, ang pagitan ng convergence ng serye ng kapangyarihan
may porma
. punto tinawag sentro ng convergence. Para sa kalinawan, kaugalian na ilarawan ang pagitan ng convergence sa numerical axis (Larawan 1)

Kaya, ang rehiyon ng convergence ay binubuo ng pagitan ng convergence, kung saan maaaring idagdag ang mga puntos
kung ang serye ay nagtatagpo sa mga puntong ito. Ang pagitan ng convergence ay matatagpuan sa pamamagitan ng direktang paglalapat ng DAlembert test o ang radical Cauchy test sa isang serye na binubuo ng mga absolute value ng mga miyembro ng seryeng ito.

Halimbawa 18.

Hanapin ang lugar ng convergence ng isang serye
.

Solusyon.

Ang seryeng ito ay isang serye ng kapangyarihan sa mga kapangyarihan X, ibig sabihin.
. Isaalang-alang ang isang serye na binubuo ng mga ganap na halaga ng mga miyembro ng seryeng ito, at gamitin ang dAlembert test.

Magtatagpo ang serye kung mas mababa sa 1 ang halaga ng limitasyon, ibig sabihin.

, saan
.

Kaya, ang pagitan ng convergence ng seryeng ito
, radius ng convergence
.

Pinag-aaralan namin ang convergence ng serye sa mga dulo ng agwat, sa mga punto
. Pinapalitan sa seryeng ito ang halaga
, nakukuha namin ang serye

.

Ang resultang serye ay isang maharmonya na diverging series, samakatuwid, sa punto
ang serye ay nag-iiba, kaya ang punto
ay hindi kasama sa rehiyon ng convergence.

Sa
nakakakuha kami ng alternating series

,

na may kondisyong nagtatagpo (Halimbawa 15), kaya ang punto
– punto ng tagpo (conditional).

Kaya, ang rehiyon ng convergence ng serye
, at sa punto
ang serye ay nagtatagpo nang may kondisyon, at sa iba pang mga punto - ganap.

Ang pangangatwiran na ginamit sa paglutas ng halimbawa ay maaaring bigyan ng pangkalahatang katangian.

Isaalang-alang ang serye ng kapangyarihan

Gumawa tayo ng isang serye ng mga ganap na halaga ng mga miyembro ng serye at ilapat dito ang tanda ng D "Alembert.

Kung mayroong limitasyon (finite o infinite), sa pamamagitan ng kondisyon ng convergence ng d'Alembert test, ang serye ay magtatagpo kung

,

,

.

Mula dito, mula sa kahulugan ng pagitan at radius ng convergence, mayroon tayo

Ang paglalapat ng radikal na pamantayan ng Cauchy at pangangatwiran sa katulad na paraan, makakakuha ng isa pang formula para sa paghahanap ng radius ng convergence

Halimbawa 19

Solusyon.

Ang serye ay isang serye ng kapangyarihan sa mga kapangyarihan X. Upang mahanap ang pagitan ng convergence, kinakalkula namin ang radius ng convergence gamit ang formula sa itaas. Para sa isang ibinigay na serye, ang formula para sa numerical coefficient ay may anyo

, Pagkatapos

Kaya naman,

kasi R = , pagkatapos ay ang serye ay nagtatagpo (ganap) para sa lahat ng mga halaga X, mga. rehiyon ng convergence X (–; +).

Tandaan na posible na mahanap ang lugar ng convergence nang hindi gumagamit ng mga formula, ngunit direktang inilalapat ang sign D "Alembert:

Dahil ang halaga ng limitasyon ay hindi nakasalalay sa X at mas mababa sa 1, pagkatapos ay nagtatagpo ang serye para sa lahat ng mga halaga X, mga. sa X(-;+).

Halimbawa 20

Hanapin ang lugar ng convergence ng isang serye

1!(X+5)+2!(X + 5) 2 +3!(X + 5) 3 +... + P!(X + 5) P +...

Solusyon .

x + 5), mga. convergence center X 0 = - 5. Numerical coefficient ng serye A P = n!.

Hanapin ang radius ng convergence ng serye

.

Kaya, ang pagitan ng convergence ay binubuo ng isang punto - ang sentro ng pagitan ng convergence x = - 5.

Halimbawa 21

Hanapin ang lugar ng convergence ng isang serye
.

Solusyon.

Ang seryeng ito ay isang serye ng kapangyarihan sa mga kapangyarihan ( X–2), mga.

convergence center X 0 = 2. Tandaan na ang serye ay sign-positive para sa anumang fixed X, dahil ang expression ( X- 2) itinaas sa kapangyarihan ng 2 P. Ilapat natin ang radical Cauchy criterion sa serye.

Magtatagpo ang serye kung mas mababa sa 1 ang halaga ng limitasyon, ibig sabihin.

,
,
,

kaya ang radius ng convergence
, pagkatapos ay ang convergence integral

,
.

Kaya, ang serye ay ganap na nagtatagpo para sa X
. Tandaan na ang integral ng convergence ay simetriko na may paggalang sa sentro ng convergence X O = 2.

Pag-aralan natin ang convergence ng serye sa mga dulo ng interval ng convergence.

Ipagpalagay
, nakakakuha kami ng numerical positive-sign series

Ginagamit namin ang kinakailangang convergence criterion:

samakatuwid, ang mga serye ng numero ay nag-iiba, at ang punto
ay ang punto ng divergence. Tandaan na ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay ginamit sa pagkalkula ng limitasyon.

Ipagpalagay
, nakukuha namin ang parehong serye ng numero (suriin ito sa iyong sarili!), kaya ang punto
ay hindi rin kasama sa pagitan ng convergence.

Kaya, ang rehiyon ng ganap na tagpo ng seryeng ito X
.

2.3. Mga katangian ng convergent power series

Alam namin na ang isang may hangganan na kabuuan ng tuluy-tuloy na mga function ay tuloy-tuloy; ang kabuuan ng mga function na naiba-iba ay naiba, at ang hinango ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivative; ang huling kabuuan ay maaaring isama ang termino sa pamamagitan ng termino.

Ito ay lumiliko na para sa "walang katapusan na kabuuan" ng mga pag-andar - functional series, sa pangkalahatang kaso, ang mga pag-aari ay hindi nagaganap.

Halimbawa, isaalang-alang ang functional series

Malinaw, ang lahat ng mga miyembro ng serye ay patuloy na gumagana. Hanapin natin ang rehiyon ng convergence ng seryeng ito at ang kabuuan nito. Upang gawin ito, makikita namin ang mga bahagyang kabuuan ng serye

pagkatapos ay ang kabuuan ng serye

Kaya ang kabuuan S(X) ng seryeng ito, bilang limitasyon ng pagkakasunod-sunod ng mga bahagyang kabuuan, ay umiiral at may hangganan para sa X (-1;1), samakatuwid, ang agwat na ito ay ang rehiyon ng tagpo ng serye. Bukod dito, ang kabuuan nito ay isang walang tigil na pag-andar, dahil

Kaya, ang halimbawang ito ay nagpapakita na, sa pangkalahatang kaso, ang mga katangian ng finite sums ay walang analogue para sa infinite sums - series. Gayunpaman, para sa isang espesyal na kaso ng functional series - power series - ang mga katangian ng kabuuan ay katulad ng mga katangian ng finite sums.

Functional na saklaw ay tinatawag na isang pormal na nakasulat na pagpapahayag

u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... , (1)

saan u1 (x), u 2 (x), u 3 (x), ..., u n ( x), ... - pagkakasunud-sunod ng mga function mula sa isang malayang variable x.

Isang pinaikling notasyon ng isang functional na serye na may sigma:.

Ang mga halimbawa ng functional series ay :

(2)

(3)

Pagbibigay ng malayang baryabol x ilang halaga x0 at pinapalitan ito sa functional na serye (1), kumuha kami ng numerical series

u1 (x 0 ) + u 2 (x 0 ) + u 3 (x 0 ) + ... + u n ( x 0 ) + ...

Kung ang nakuhang numerical series ay nagtatagpo, ang functional series (1) ay sinasabing converge para sa x = x0 ; kung ito ay diverges, na sinasabing series (1) diverges at x = x0 .

Halimbawa 1. Siyasatin ang convergence ng isang functional series(2) para sa mga halaga x= 1 at x = - 1 .
Solusyon. Sa x= 1 nakakakuha tayo ng serye ng numero

na nagtatagpo ayon sa Leibniz test. Sa x= - 1 nakakakuha tayo ng serye ng numero

,

na diverges bilang produkto ng isang divergent harmonic series sa pamamagitan ng – 1. Kaya, ang serye (2) ay nagtatagpo sa x= 1 at diverges sa x = - 1 .

Kung ang naturang pagsubok para sa convergence ng functional series (1) ay isinasagawa na may paggalang sa lahat ng mga halaga ng independiyenteng variable mula sa domain ng kahulugan ng mga miyembro nito, kung gayon ang mga punto ng domain na ito ay mahahati sa dalawang set: na may mga halaga x kinuha sa isa sa mga ito, ang serye (1) ay nagtatagpo, at sa isa pa ay nag-iiba ito.

Ang hanay ng mga halaga ng isang independiyenteng variable kung saan ang functional series ay nagtatagpo ay tinatawag na nito rehiyon ng convergence .

Halimbawa 2. Hanapin ang lugar ng convergence ng isang functional series

Solusyon. Ang mga miyembro ng serye ay tinukoy sa buong linya ng numero at bumubuo ng isang geometric na pag-unlad na may denominator q= kasalanan x. Kaya ang serye ay nagtatagpo kung

at diverges kung

(hindi posible ang mga halaga). Ngunit para sa mga halaga at para sa iba pang mga halaga x. Samakatuwid, ang serye ay nagtatagpo para sa lahat ng mga halaga x, maliban sa . Ang rehiyon ng convergence nito ay ang buong linya ng numero, maliban sa mga puntong ito.

Halimbawa 3. Hanapin ang rehiyon ng convergence ng isang functional series

Solusyon. Ang mga tuntunin ng serye ay bumubuo ng isang geometric na pag-unlad na may denominator q=ln x. Samakatuwid, ang serye ay nagtatagpo kung , o , kung saan . Ito ang rehiyon ng convergence ng seryeng ito.

Halimbawa 4. Siyasatin ang convergence ng isang functional series

Solusyon. Kumuha tayo ng di-makatwirang halaga. Sa halagang ito, nakakakuha kami ng serye ng numero

(*)

Hanapin ang limitasyon ng karaniwang termino nito

Dahil dito, ang serye (*) ay nag-iiba para sa isang arbitraryong napili, i.e. para sa anumang halaga x. Ang domain ng convergence nito ay ang empty set.

Uniform convergence ng isang functional series at mga katangian nito

Lumipat tayo sa konsepto pare-parehong convergence ng functional series . Hayaan s(x) ay ang kabuuan ng seryeng ito, at sn ( x) - kabuuan n ang mga unang miyembro ng seryeng ito. Functional na saklaw u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... ay tinatawag na pare-parehong convergent sa pagitan [ a, b] , kung para sa anumang arbitraryong maliit na numero ε > 0 mayroong ganoong numero N, para sa lahat yan n ≥ N ang hindi pagkakapantay-pantay ay masisiyahan

|s(x) − s n ( x)| < ε

para sa sinuman x mula sa segment [ a, b] .

Ang ari-arian sa itaas ay maaaring ilarawan sa geometriko bilang mga sumusunod.

Isaalang-alang ang graph ng function y = s(x) . Bumubuo kami ng isang strip ng lapad 2 sa paligid ng curve na ito. ε n, ibig sabihin, gumagawa kami ng mga kurba y = s(x) + ε n At y = s(x) − ε n(sila ay berde sa larawan sa ibaba).

Pagkatapos ay para sa anumang ε n function graph sn ( x) ay ganap na namamalagi sa banda na isinasaalang-alang. Ang parehong banda ay maglalaman ng mga graph ng lahat ng kasunod na bahagyang kabuuan.

Anumang convergent functional series na walang feature na inilarawan sa itaas ay hindi pare-parehong convergent.

Isaalang-alang ang isa pang pag-aari ng pare-parehong convergent functional series:

ang kabuuan ng isang serye ng mga tuluy-tuloy na pag-andar na nagkakaisa sa ilang pagitan [ a, b] , mayroong isang function na tuluy-tuloy sa segment na ito.

Halimbawa 5 Tukuyin kung ang kabuuan ng isang functional na serye ay tuloy-tuloy

Solusyon. Hanapin natin ang kabuuan n ang mga unang miyembro ng seryeng ito:

Kung x> 0 , pagkatapos

,

Kung x < 0 , то

Kung x= 0 , pagkatapos

At samakatuwid.

Ipinakita ng aming pag-aaral na ang kabuuan ng seryeng ito ay isang hindi tuloy-tuloy na pag-andar. Ang graph nito ay ipinapakita sa figure sa ibaba.

Weierstrass test para sa pare-parehong convergence ng functional series

Lumapit tayo sa pamantayan ng Weierstrass sa pamamagitan ng konsepto karamihan ng functional series . Functional na saklaw

u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ...