11వ ప్రొఫైల్ క్లాస్‌లో బీజగణిత పాఠం అభివృద్ధి

ఈ పాఠాన్ని గణితం MBOU సెకండరీ స్కూల్ నంబర్ 6 యొక్క ఉపాధ్యాయుడు టుపిట్సినా O.V.

అంశంలో అంశం మరియు పాఠం సంఖ్య:"సమీకరణ-పరిణామానికి దారితీసే అనేక పరివర్తనల అప్లికేషన్", అంశంలో పాఠం నం. 7, 8: "సమీకరణం-పరిణామం"

విషయం:బీజగణితం మరియు గణిత విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభం - గ్రేడ్ 11 (S.M. నికోల్స్కీ పాఠ్య పుస్తకం ప్రకారం ప్రొఫైల్ శిక్షణ)

పాఠం రకం: "విజ్ఞానం మరియు నైపుణ్యాల క్రమబద్ధీకరణ మరియు సాధారణీకరణ"

పాఠం రకం: వర్క్‌షాప్

గురువు పాత్ర: కొత్త పరిస్థితులలో, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడంలో పద్ధతి యొక్క పర్యవసానంగా మరియు అనువర్తనానికి దారితీసే సమీకరణానికి దారితీసే, కావలసిన పద్ధతిని లేదా పరివర్తన పద్ధతులను ఎంచుకోవడానికి కాంప్లెక్స్‌లో జ్ఞానాన్ని స్వతంత్రంగా వర్తించే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడానికి విద్యార్థుల అభిజ్ఞా కార్యకలాపాలను నిర్దేశిస్తుంది.

అవసరమైన సాంకేతిక పరికరాలు:మల్టీమీడియా పరికరాలు, వెబ్‌క్యామ్.

ఉపయోగించిన పాఠం:

1. ఉపదేశ అభ్యాస నమూనా- సమస్యాత్మక పరిస్థితిని సృష్టించడం,
2. బోధనాపరమైన అర్థం- శిక్షణ మాడ్యూళ్లను సూచించే షీట్లు, సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పనుల ఎంపిక,
3. విద్యార్థి కార్యాచరణ రకం- సమూహం (పాఠాలలో సమూహాలు ఏర్పడతాయి - కొత్త జ్ఞానం యొక్క "ఆవిష్కరణలు", వివిధ స్థాయిల అభ్యాసం మరియు అభ్యాసం కలిగిన విద్యార్థుల నుండి పాఠాలు నం. 1 మరియు 2), ఉమ్మడి లేదా వ్యక్తిగత సమస్య పరిష్కారం,
4. వ్యక్తిత్వ ఆధారిత విద్యా సాంకేతికతలు: మాడ్యులర్ శిక్షణ, సమస్య-ఆధారిత అభ్యాసం, శోధన మరియు పరిశోధన పద్ధతులు, సామూహిక సంభాషణ, కార్యాచరణ పద్ధతి, పాఠ్య పుస్తకం మరియు వివిధ వనరులతో పని చేయడం,
5. ఆరోగ్య-పొదుపు సాంకేతికతలు- ఒత్తిడిని తగ్గించడానికి, శారీరక విద్య నిర్వహించబడుతుంది,
6. సామర్థ్యాలు:

- ప్రాథమిక స్థాయిలో విద్యా మరియు అభిజ్ఞా- విద్యార్థులకు సమీకరణం యొక్క భావన తెలుసు - పర్యవసానంగా, సమీకరణం యొక్క మూలం మరియు సమీకరణానికి దారితీసే పరివర్తన పద్ధతులు - పర్యవసానంగా, వారు సమీకరణాల మూలాలను కనుగొనగలరు మరియు ఉత్పాదక స్థాయిలో వాటి ధృవీకరణను చేయగలరు;

- అధునాతన స్థాయిలో- విద్యార్థులు పరివర్తనల యొక్క ప్రసిద్ధ పద్ధతులను ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు, సమీకరణాల యొక్క అనుమతించదగిన విలువల ప్రాంతాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణాల మూలాలను తనిఖీ చేయవచ్చు; అన్వేషణ-ఆధారిత లక్షణాలను ఉపయోగించి లాగరిథమ్‌లను లెక్కించండి;సమాచార - విద్యార్థులు స్వతంత్రంగా వివిధ రకాల వనరులలో విద్యా సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన సమాచారాన్ని శోధిస్తారు, సంగ్రహిస్తారు మరియు ఎంచుకుంటారు.

సందేశాత్మక లక్ష్యం:

కోసం పరిస్థితులు సృష్టించడం:

సమీకరణాల గురించి ఆలోచనల నిర్మాణం - పరిణామాలు, మూలాలు మరియు పరివర్తన పద్ధతులు;

సమీకరణాలను మార్చడానికి గతంలో అధ్యయనం చేసిన పద్ధతుల యొక్క తార్కిక పరిణామం ఆధారంగా అర్థ సృష్టి యొక్క అనుభవాన్ని రూపొందించడం: సమీకరణాన్ని సమాన శక్తికి పెంచడం, లాగరిథమిక్ సమీకరణాలను శక్తివంతం చేయడం, హారం నుండి సమీకరణాన్ని విముక్తి చేయడం, నిబంధనలను తీసుకురావడం;

పరివర్తన పద్ధతి యొక్క ఎంపికను నిర్ణయించడంలో నైపుణ్యాల ఏకీకరణ, సమీకరణాన్ని మరింత పరిష్కరించడం మరియు సమీకరణం యొక్క మూలాలను ఎంచుకోవడం;

తెలిసిన మరియు నేర్చుకున్న సమాచారం ఆధారంగా సమస్యను సెట్ చేయడం, ఇంకా తెలియని వాటిని తెలుసుకోవడానికి అభ్యర్థనలను రూపొందించడం వంటి నైపుణ్యాలను నేర్చుకోవడం;

విద్యార్థుల అభిజ్ఞా ఆసక్తులు, మేధో మరియు సృజనాత్మక సామర్థ్యాల ఏర్పాటు;

తార్కిక ఆలోచన అభివృద్ధి, విద్యార్థుల సృజనాత్మక కార్యాచరణ, ప్రాజెక్ట్ నైపుణ్యాలు, వారి ఆలోచనలను వ్యక్తీకరించే సామర్థ్యం;

సహనం యొక్క భావం ఏర్పడటం, సమూహంలో పనిచేసేటప్పుడు పరస్పర సహాయం;

సమీకరణాల స్వతంత్ర పరిష్కారంపై ఆసక్తిని మేల్కొల్పడం;

పనులు:

సమీకరణాలను ఎలా మార్చాలనే దాని గురించి జ్ఞానం యొక్క పునరావృతం మరియు క్రమబద్ధీకరణను నిర్వహించండి;

- సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మరియు వాటి మూలాలను తనిఖీ చేయడానికి పద్ధతుల నైపుణ్యాన్ని నిర్ధారించడానికి;

- విద్యార్థుల విశ్లేషణాత్మక మరియు విమర్శనాత్మక ఆలోచన అభివృద్ధిని ప్రోత్సహించడానికి; సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి సరైన పద్ధతులను సరిపోల్చండి మరియు ఎంచుకోండి;

- పరిశోధన నైపుణ్యాలు, సమూహ పని నైపుణ్యాల అభివృద్ధికి పరిస్థితులను సృష్టించండి;

పరీక్షకు సిద్ధం కావడానికి అధ్యయనం చేసిన మెటీరియల్‌ని ఉపయోగించేలా విద్యార్థులను ప్రోత్సహించండి;

ఈ పని యొక్క పనితీరులో మీ పనిని మరియు మీ సహచరుల పనిని విశ్లేషించండి మరియు అంచనా వేయండి.

ప్రణాళికాబద్ధమైన ఫలితాలు:

*వ్యక్తిగతం:

తెలిసిన మరియు నేర్చుకున్న సమాచారం ఆధారంగా పనిని సెట్ చేసే నైపుణ్యాలు, ఇంకా తెలియని వాటిని తెలుసుకోవడానికి అభ్యర్థనలను రూపొందించడం;

సమస్యను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన సమాచార వనరులను ఎంచుకునే సామర్థ్యం; విద్యార్థుల అభిజ్ఞా ఆసక్తులు, మేధో మరియు సృజనాత్మక సామర్థ్యాల అభివృద్ధి;

తార్కిక ఆలోచన అభివృద్ధి, సృజనాత్మక కార్యాచరణ, ఒకరి ఆలోచనలను వ్యక్తీకరించే సామర్థ్యం, ​​వాదనలను నిర్మించే సామర్థ్యం;

పనితీరు ఫలితాల స్వీయ-అంచనా;

జట్టుకృషి నైపుణ్యాలు;

*మెటాసబ్జెక్ట్:

ప్రధాన విషయాన్ని హైలైట్ చేసే సామర్థ్యం, ​​పోల్చడం, సాధారణీకరించడం, సారూప్యతను గీయడం, తార్కికం యొక్క ప్రేరక పద్ధతులను వర్తింపజేయడం, సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు పరికల్పనలను ముందుకు తీసుకురావడం,

పరీక్షకు సన్నాహకంగా సంపాదించిన జ్ఞానాన్ని అన్వయించగల సామర్థ్యం;

* విషయం:

సమీకరణాలను ఎలా మార్చాలనే దాని గురించి జ్ఞానం,

వివిధ రకాల సమీకరణాలతో అనుబంధించబడిన నమూనాను ఏర్పాటు చేయగల సామర్థ్యం మరియు మూలాలను పరిష్కరించడంలో మరియు ఎంచుకోవడంలో,

పాఠ్య లక్ష్యాలను సమగ్రపరచడం:

1. (ఉపాధ్యాయుని కోసం) సమీకరణాలను మార్చే మార్గాలు మరియు వాటిని పరిష్కరించే పద్ధతుల యొక్క సమగ్ర దృక్పథాన్ని విద్యార్థులలో ఏర్పరచడం;
2. (విద్యార్థుల కోసం) వివిధ విధులను కలిగి ఉన్న సమీకరణాల రకాలతో అనుబంధించబడిన గణిత పరిస్థితులను గమనించడం, పోల్చడం, సాధారణీకరించడం, విశ్లేషించడం వంటి సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడం. పరీక్ష కోసం తయారీ.

పాఠం I దశ:

పరివర్తన సమీకరణాల (ఇన్‌పుట్ డయాగ్నస్టిక్స్) యొక్క వివిధ పద్ధతుల అప్లికేషన్ రంగంలో ప్రేరణను పెంచడానికి జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం

జ్ఞానాన్ని నవీకరించే దశస్వీయ-పరీక్షతో పరీక్ష పని రూపంలో నిర్వహించబడుతుంది. మునుపటి పాఠాలలో పొందిన జ్ఞానం ఆధారంగా, విద్యార్థుల నుండి చురుకైన మానసిక కార్యకలాపాలు అవసరం మరియు ఈ పాఠంలో పనిని పూర్తి చేయడానికి అవసరమైన అభివృద్ధి పనులు ప్రతిపాదించబడ్డాయి.

ధృవీకరణ పని

1. అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సెట్‌లో తెలియని వాటి పరిమితి అవసరమయ్యే సమీకరణాలను ఎంచుకోండి:

a) = X-2; బి) 3 \u003d X-2; సి) =1;

d) (= (; ఇ) = ; ఇ) +6 =5;

g) = ; h) = .

(2) పరిమితులు ఉన్న ప్రతి సమీకరణం యొక్క చెల్లుబాటు అయ్యే విలువల పరిధిని పేర్కొనండి.

(3) అటువంటి సమీకరణం యొక్క ఉదాహరణను ఎంచుకోండి, ఇక్కడ పరివర్తన మూలం యొక్క నష్టానికి కారణం కావచ్చు (ఈ అంశంపై మునుపటి పాఠాల పదార్థాలను ఉపయోగించండి).

స్క్రీన్‌పై హైలైట్ చేయబడిన రెడీమేడ్ వాటి ప్రకారం ప్రతి ఒక్కరూ స్వతంత్రంగా సమాధానాలను తనిఖీ చేస్తారు. చాలా కష్టమైన పనులు విశ్లేషించబడతాయి మరియు పరిమితులు ఉన్న ఉదాహరణలు a, c, g, h, విద్యార్థులు ప్రత్యేక శ్రద్ధ వహిస్తారు.

సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, సమీకరణం ద్వారా అనుమతించబడిన విలువల పరిధిని నిర్ణయించడం లేదా అదనపు విలువలను నివారించడానికి మూలాలను తనిఖీ చేయడం అవసరం అని నిర్ధారించబడింది. సమీకరణానికి దారితీసే సమీకరణాలను మార్చడానికి గతంలో అధ్యయనం చేసిన పద్ధతులు - ఒక పర్యవసానంగా పునరావృతమవుతుంది. అంటే, విద్యార్థులు తదుపరి పనిలో వారు ప్రతిపాదించిన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సరైన మార్గాన్ని కనుగొనడానికి ప్రేరేపించబడ్డారు.

పాఠం యొక్క II దశ:

సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో వారి జ్ఞానం, నైపుణ్యాలు మరియు సామర్థ్యాల ఆచరణాత్మక అనువర్తనం.

సమూహాలకు ఈ అంశం యొక్క సమస్యలపై సంకలనం చేయబడిన మాడ్యూల్‌తో షీట్లు ఇవ్వబడ్డాయి. మాడ్యూల్‌లో ఐదు అభ్యాస అంశాలు ఉన్నాయి, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి నిర్దిష్ట పనులను నిర్వహించడానికి ఉద్దేశించబడింది. వివిధ స్థాయిల అభ్యాసం మరియు అభ్యాసం ఉన్న విద్యార్థులు పాఠంలో వారి కార్యకలాపాల పరిధిని స్వతంత్రంగా నిర్ణయిస్తారు, కానీ ప్రతి ఒక్కరూ సమూహాలలో పని చేయడం వలన, జ్ఞానం మరియు నైపుణ్యాలను సర్దుబాటు చేయడం, వెనుకబడిన వారిని తప్పనిసరి, ఇతరులను అధునాతన మరియు అధునాతనమైన మరియు సృజనాత్మక స్థాయిలు.

పాఠం మధ్యలో, తప్పనిసరి భౌతిక నిమిషం నిర్వహించబడుతుంది.

విద్యా మూలకం సంఖ్య	అసైన్‌మెంట్‌లతో కూడిన విద్యా అంశం	విద్యా సామగ్రి అభివృద్ధికి గైడ్
UE-1	పర్పస్: ఫంక్షన్ల లక్షణాల ఆధారంగా సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన పద్ధతులను నిర్ణయించడం మరియు సమర్థించడం. వ్యాయామం: కింది సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పరివర్తన పద్ధతిని పేర్కొనండి: ఎ) )= -8); బి) = సి) (=( d) ctg + x 2 -2x = ctg +24; ఇ) = ; f) = sinx. 2) విధి: ప్రతిపాదిత సమీకరణాలలో కనీసం రెండింటిని పరిష్కరించండి. పరిష్కరించబడిన సమీకరణాలలో ఏ పద్ధతులు ఉపయోగించబడ్డాయో వివరించండి.	నిబంధన 7.3 p.212 నిబంధన 7.4 p.214 నిబంధన 7.5 p.217 నిబంధన 7.2 పేజి 210
UE-2	పర్పస్: హేతుబద్ధమైన పద్ధతులు మరియు పరిష్కార పద్ధతులను నేర్చుకోవడం వ్యాయామం: పరిష్కారం యొక్క హేతుబద్ధమైన పద్ధతులను ఉపయోగించి పరిష్కరించగల పై లేదా స్వీయ-ఎంచుకున్న (మునుపటి పాఠాల నుండి పదార్థాలను ఉపయోగించండి) సమీకరణాల నుండి ఉదాహరణలను ఇవ్వండి, అవి ఏమిటి? (సమీకరణం యొక్క మూలాలను తనిఖీ చేసే మార్గంపై ఉద్ఘాటన)
UE-3	ప్రయోజనం: సంక్లిష్టత యొక్క అధిక స్థాయి సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో సంపాదించిన జ్ఞానాన్ని ఉపయోగించడం వ్యాయామం: = (లేదా ( = (	నిబంధన 7.5
UE-4	టాపిక్ యొక్క నైపుణ్యం స్థాయిని సెట్ చేయండి: తక్కువ - 2 కంటే ఎక్కువ సమీకరణాల పరిష్కారం; మీడియం - 4 కంటే ఎక్కువ సమీకరణాల పరిష్కారం; అధిక - 5 కంటే ఎక్కువ సమీకరణాల పరిష్కారం
UE-5	అవుట్‌పుట్ నియంత్రణ: మీరు ఉపయోగించే సమీకరణాలను మార్చే అన్ని పద్ధతులను ప్రదర్శించే పట్టికను రూపొందించండి మరియు ప్రతి పద్ధతికి మీరు పరిష్కరించిన సమీకరణాల ఉదాహరణలను వ్రాసి, అంశం యొక్క పాఠం 1 నుండి ప్రారంభించండి: “సమీకరణాలు - పరిణామాలు”	నోట్బుక్లలో సారాంశాలు

పాఠం యొక్క III దశ:

అవుట్‌పుట్ డయాగ్నొస్టిక్ పని, విద్యార్థుల ప్రతిబింబాన్ని సూచిస్తుంది, ఇది పరీక్ష రాయడానికి మాత్రమే కాకుండా, ఈ విభాగంలో పరీక్షకు సంసిద్ధతను కూడా చూపుతుంది.

పాఠం ముగింపులో, అన్ని విద్యార్ధులు, మినహాయింపు లేకుండా, తమను తాము మూల్యాంకనం చేస్తారు, అప్పుడు ఉపాధ్యాయుని అంచనా వస్తుంది. ఉపాధ్యాయుడు మరియు విద్యార్థి మధ్య విభేదాలు తలెత్తితే, ఉపాధ్యాయుడు విద్యార్థికి నిష్పాక్షికంగా అంచనా వేయడానికి అదనపు పనిని అందించవచ్చు. ఇంటి పనినియంత్రణ పనికి ముందు పదార్థాన్ని సమీక్షించడం లక్ష్యంగా పెట్టుకుంది.

రచయితలు S.M. నికోల్స్కీ, M.K. పొటాపోవ్, N.N. రెషెట్నికోవ్, A.V. షెవ్కిన్ యొక్క బోధనా సామగ్రి ప్రకారం "సమీకరణాలు - పరిణామాలు" అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేసేటప్పుడు బీజగణితం పాఠాన్ని నిర్వహించేటప్పుడు మరియు గ్రేడ్ 11 లో విశ్లేషణను ప్రారంభించేటప్పుడు ఈ ప్రదర్శనను ఉపయోగించవచ్చు.

డాక్యుమెంట్ కంటెంట్‌ని వీక్షించండి
"పరిణామాల సమీకరణాలు. సమీకరణ పరిణామానికి దారితీసే ఇతర పరివర్తనాలు"

సమీకరణాలు - పరిణామాలు

మౌఖిక పని

• ఏ సమీకరణాలను కరోలరీ సమీకరణాలు అంటారు?
• పర్యవసాన సమీకరణానికి పరివర్తన అంటారు
• ఏ పరివర్తనాలు సహసంబంధ సమీకరణానికి దారితీస్తాయి?

మౌఖిక పని

• √ x= 6
• √ x-2 = 3
• 3 √x= 4;
• √ x 2 \u003d 9
• √ x+4=-2
• √x+1+√x+2=-2

పరిష్కారాలు లేవు

పరిష్కారాలు లేవు

మౌఖిక పని

పరిష్కారాలు లేవు

పరివర్తనాలు సహసంబంధ సమీకరణానికి దారితీస్తాయి

పరివర్తన

సమీకరణం యొక్క మూలాలపై ప్రభావం

సమాన శక్తికి సమీకరణాన్ని పెంచడం

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

సంవర్గమాన సమీకరణాల పొటెన్షియేషన్, అనగా. భర్తీ:

log a f(x)=log a g(x) f(x)= g(x)

అదనపు మూలాలకు దారితీయవచ్చు

హారం నుండి సమీకరణాన్ని విడుదల చేయడం:

అదనపు మూలాల రూపానికి దారితీయవచ్చు, అనగా. ఆ సంఖ్యలు x i దేనికి లేదా

f(x)-f(x) వ్యత్యాసాన్ని సున్నాతో భర్తీ చేయడం, అనగా. సారూప్య నిబంధనల తగ్గింపు

అదనపు మూలాల రూపానికి దారితీయవచ్చు, అనగా. ప్రతి ఫంక్షన్ f(x) నిర్వచించబడని సంఖ్యలు.

ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, పర్యవసాన సమీకరణానికి పరివర్తన జరిగితే, పర్యవసాన సమీకరణం యొక్క అన్ని మూలాలు అసలు సమీకరణం యొక్క మూలాలు కాదా అని తనిఖీ చేయడం అవసరం.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడంలో పొందిన మూలాలను తనిఖీ చేయడం తప్పనిసరి భాగం.

№ 8.2 2 (ఎ) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి :

2) నం. 8.23(ఎ)

№ 8.24 (ఎ, సి) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి :

№ 8.25 (ఎ, సి) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి :

№ 8.28 (ఎ, సి) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి :

№ 8.29 (ఎ, సి) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి :

ఇంటి పని

• రన్ నం. 8.24 (బి, డి), పేజి 236
• నం. 8.25(బి, డి)
• 8.28 (బి, డి)
• 8.29 (బి, డి)

తరగతి: 11

వ్యవధి: 2 పాఠాలు.

పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం:

• (ఉపాధ్యాయుని కోసం)విద్యార్థులలో అహేతుక సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతుల యొక్క సమగ్ర దృక్పథాన్ని ఏర్పరచడం.
• (విద్యార్థులకు)గణిత పరిస్థితులను గమనించడం, పోల్చడం, సాధారణీకరించడం, విశ్లేషించడం వంటి సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడం (స్లయిడ్ 2). పరీక్ష కోసం తయారీ.

మొదటి పాఠ్య ప్రణాళిక(స్లయిడ్ 3)

1. జ్ఞాన నవీకరణ
2. సిద్ధాంతం యొక్క విశ్లేషణ: సమాన శక్తికి సమీకరణాన్ని పెంచడం
3. సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో వర్క్‌షాప్

రెండవ పాఠం యొక్క ప్రణాళిక

1. సమూహాలపై భిన్నమైన స్వతంత్ర పని "పరీక్షలో అహేతుక సమీకరణాలు"
2. పాఠాల సారాంశం
3. ఇంటి పని

పాఠాల కోర్సు

I. జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం

లక్ష్యం:పాఠం యొక్క అంశం యొక్క విజయవంతమైన అభివృద్ధికి అవసరమైన భావనలను పునరావృతం చేయండి.

ఫ్రంట్ పోల్

ఏ రెండు సమీకరణాలు సమానమైనవిగా చెప్పబడ్డాయి?

సమీకరణం యొక్క ఏ రూపాంతరాలను సమానమైనదిగా పిలుస్తారు?

- అనువర్తిత రూపాంతరం యొక్క వివరణతో ఈ సమీకరణాన్ని సమానమైన దానితో భర్తీ చేయండి: (స్లయిడ్ 4)

a) x + 2x +1; బి) 5 = 5; సి) 12x = -3; d) x = 32; ఇ) = -4.

అసలు సమీకరణం యొక్క సమీకరణం-పరిణామం అని ఏ సమీకరణాన్ని పిలుస్తారు?

– పర్యవసాన సమీకరణం అసలు సమీకరణం యొక్క మూలం కాని మూలాన్ని కలిగి ఉండగలదా? ఈ మూలాలను ఏమని పిలుస్తారు?

- సమీకరణం యొక్క ఏ రూపాంతరాలు సమీకరణ-పరిణామాలకు దారితీస్తాయి?

అంకగణిత వర్గమూలం అంటే ఏమిటి?

"సమాన శక్తికి సమీకరణాన్ని పెంచడం" అనే పరివర్తనపై ఈ రోజు మరింత వివరంగా నివసిద్దాం.

II. సిద్ధాంతం యొక్క విశ్లేషణ: సమాన శక్తికి సమీకరణాన్ని పెంచడం

విద్యార్థుల చురుకైన భాగస్వామ్యంతో ఉపాధ్యాయుల వివరణ:

లెట్ 2m(mN) స్థిరమైన సరి సహజ సంఖ్య. అప్పుడు సమీకరణం యొక్క పరిణామంf(x) =g(x) సమీకరణం (f(x)) = (g(x)).

చాలా తరచుగా ఈ ప్రకటన అహేతుక సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో ఉపయోగించబడుతుంది.

నిర్వచనం. మూలం యొక్క గుర్తు క్రింద తెలియని వాటిని కలిగి ఉన్న సమీకరణాన్ని అహేతుకం అంటారు.

అహేతుక సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, క్రింది పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి: (స్లయిడ్ 5)

శ్రద్ధ! 2 మరియు 3 పద్ధతులు అవసరం తప్పనిసరితనిఖీలు.

ODZ ఎల్లప్పుడూ అదనపు మూలాలను తొలగించడానికి సహాయం చేయదు.

ముగింపు:అహేతుక సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, సాంకేతిక, పరిష్కార విశ్లేషణ, ధృవీకరణ (స్లయిడ్ 6) అనే మూడు దశల ద్వారా వెళ్లడం చాలా ముఖ్యం.

III. సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో వర్క్‌షాప్

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

స్క్వేర్ చేయడం ద్వారా సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలో చర్చించిన తర్వాత, సమానమైన సిస్టమ్‌కు వెళ్లడం ద్వారా పరిష్కరించండి.

ముగింపు: పూర్ణాంక మూలాలతో సరళమైన సమీకరణాల పరిష్కారం ఏదైనా తెలిసిన పద్ధతి ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది.

బి) \u003d x - 2

సమీకరణంలోని రెండు భాగాలను ఒకే శక్తికి పెంచడం ద్వారా పరిష్కరించడం ద్వారా, విద్యార్థులు x = 0, x = 3 -, x = 3 + మూలాలను పొందుతారు, ఇవి ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా తనిఖీ చేయడం కష్టం మరియు సమయం తీసుకుంటాయి. (స్లయిడ్ 7). సమానమైన వ్యవస్థకు మార్పు

అదనపు మూలాలను త్వరగా వదిలించుకోవడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. షరతు x ≥ 2 x ద్వారా మాత్రమే సంతృప్తి చెందుతుంది.

సమాధానం: 3+

ముగింపు: సమానమైన సిస్టమ్‌కు వెళ్లడం ద్వారా అహేతుక మూలాలను తనిఖీ చేయడం మంచిది.

c) \u003d x - 3

ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే ప్రక్రియలో, మేము రెండు మూలాలను పొందుతాము: 1 మరియు 4. రెండు మూలాలు సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు సంతృప్తి చెందుతాయి, కానీ x \u003d 1 కోసం, అంకగణిత వర్గమూలం యొక్క నిర్వచనం ఉల్లంఘించబడుతుంది. ODZ సమీకరణం అదనపు మూలాలను తొలగించడంలో సహాయం చేయదు. సమానమైన వ్యవస్థకు మారడం సరైన సమాధానం ఇస్తుంది.

ముగింపు:అంకగణిత వర్గమూలాన్ని నిర్ణయించడానికి అన్ని పరిస్థితులపై మంచి జ్ఞానం మరియు అవగాహన ముందుకు సాగడానికి సహాయపడుతుందిసమానమైన పరివర్తనలు చేయడం.

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేయడం ద్వారా, మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము

x + 13 - 8 + 16 \u003d 3 + 2x - x, రాడికల్‌ను కుడి వైపుకు వేరు చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది

26 - x + x \u003d 8. సమీకరణంలోని రెండు భాగాలను వర్గీకరించడానికి తదుపరి దశలను వర్తింపజేయడం, 4వ డిగ్రీ సమీకరణానికి దారి తీస్తుంది. ODZ సమీకరణానికి పరివర్తన మంచి ఫలితాన్ని ఇస్తుంది:

ODZ సమీకరణాన్ని కనుగొనండి:

x = 3.

తనిఖీ చేయండి: - 4 = , 0 = 0 సరైనది.

ముగింపు:కొన్నిసార్లు ODZ సమీకరణం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కారాన్ని నిర్వహించడం సాధ్యమవుతుంది, అయితే తప్పకుండా తనిఖీ చేయండి.

పరిష్కారం: ODZ సమీకరణం: -2 - x ≥ 0 x ≤ -2.

x ≤ -2 కోసం,< 0, а ≥ 0.

కాబట్టి, సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు ప్రతికూలంగా ఉంటుంది మరియు కుడి వైపు ప్రతికూలంగా ఉంటుంది; కాబట్టి అసలు సమీకరణానికి మూలాలు లేవు.

సమాధానం: మూలాలు లేవు.

ముగింపు:సమీకరణం యొక్క స్థితిలో పరిమితిపై సరైన తార్కికం చేసిన తర్వాత, మీరు సమీకరణం యొక్క మూలాలను సులభంగా కనుగొనవచ్చు లేదా అవి ఉనికిలో లేవని నిర్ధారించవచ్చు.

ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే ఉదాహరణను ఉపయోగించి, సమీకరణం యొక్క డబుల్ స్క్వేర్‌ను చూపండి, "రాడికల్స్ యొక్క ఏకాంతం" అనే పదబంధం యొక్క అర్ధాన్ని మరియు కనుగొనబడిన మూలాలను తనిఖీ చేయవలసిన అవసరాన్ని వివరించండి.

h) + = 1.

ఈ సమీకరణాల పరిష్కారం అసలు వేరియబుల్‌కి తిరిగి వచ్చే వరకు వేరియబుల్‌ను మార్చే పద్ధతి ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది. తదుపరి దశ పనులను భరించే వారికి ముందుగా అందించే నిర్ణయాన్ని ముగించండి.

పరీక్ష ప్రశ్నలు

• సరళమైన అహేతుక సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి?
• సమాన శక్తికి సమీకరణాన్ని పెంచేటప్పుడు ఏమి గుర్తుంచుకోవాలి? ( అదనపు మూలాలు కనిపించవచ్చు)
• అహేతుక మూలాలను తనిఖీ చేయడానికి ఉత్తమ మార్గం ఏమిటి? ( ODZ మరియు సమీకరణం యొక్క రెండు భాగాల సంకేతాల యాదృచ్చికం కోసం షరతులను ఉపయోగించడం)
• అహేతుక సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు గణిత పరిస్థితులను విశ్లేషించగలగడం ఎందుకు అవసరం? ( సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే పద్ధతి యొక్క సరైన మరియు శీఘ్ర ఎంపిక కోసం).

IV. సమూహాలపై భిన్నమైన స్వతంత్ర పని "పరీక్షలో అహేతుక సమీకరణాలు"

శిక్షణ స్థాయిల ప్రకారం తరగతి సమూహాలుగా (ఒక్కొక్కరు 2-3 మంది వ్యక్తులు) విభజించబడింది, ప్రతి సమూహం ఒక పనితో ఒక ఎంపికను ఎంచుకుంటుంది, ఎంచుకున్న పనులను చర్చిస్తుంది మరియు పరిష్కరిస్తుంది. అవసరమైనప్పుడు, సలహా కోసం ఉపాధ్యాయుడిని సంప్రదించండి. వారి సంస్కరణ యొక్క అన్ని పనులను పూర్తి చేసిన తర్వాత మరియు ఉపాధ్యాయుని సమాధానాలను తనిఖీ చేసిన తర్వాత, సమూహ సభ్యులు వ్యక్తిగతంగా పాఠం యొక్క మునుపటి దశ యొక్క g) మరియు h) సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని పూర్తి చేస్తారు. ఎంపికలు 4 మరియు 5 కోసం (సమాధానాలు మరియు ఉపాధ్యాయుని నిర్ణయాన్ని తనిఖీ చేసిన తర్వాత), అదనపు పనులు బోర్డులో వ్రాయబడతాయి, ఇవి వ్యక్తిగతంగా నిర్వహించబడతాయి.

పాఠాల ముగింపులో అన్ని వ్యక్తిగత పరిష్కారాలు ధృవీకరణ కోసం ఉపాధ్యాయునికి అందజేయబడతాయి.

ఎంపిక 1

సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

ఎ) = 6;
బి) = 2;
సి) \u003d 2 - x;
d) (x + 1) (5 - x) (+ 2 = 4.

ఎంపిక 5

1. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

a) = ;
బి) = 3 - 2x;

2. సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:

అదనపు పనులు:

v. పాఠాల సారాంశం

పరీక్ష అసైన్‌మెంట్‌లను పూర్తి చేయడంలో మీరు ఎలాంటి ఇబ్బందులు ఎదుర్కొన్నారు? ఈ ఇబ్బందులను అధిగమించడానికి ఏమి అవసరం?

VI. ఇంటి పని

అహేతుక సమీకరణాలను పరిష్కరించే సిద్ధాంతాన్ని పునరావృతం చేయండి, పాఠ్యపుస్తకంలో పేరా 8.2 చదవండి (ఉదాహరణ 3కి శ్రద్ధ వహించండి).

నం. 8.8 (a, c), No. 8.9 (a, c), No. 8.10 (a)ను పరిష్కరించండి.

సాహిత్యం:

1. నికోల్స్కీ S.M., పొటాపోవ్ M.K., N.N. రెషెట్నికోవ్ N.N., షెవ్కిన్ A.V. బీజగణితం మరియు గణిత విశ్లేషణ ప్రారంభం , 11వ తరగతి విద్యాసంస్థల పాఠ్యపుస్తకం, M .: విద్య, 2009.
2. మోర్డ్కోవిచ్ A.G. సమీకరణాల పరిష్కారానికి సంబంధించిన కొన్ని పద్దతి సమస్యలపై. పాఠశాలలో గణితం. -2006. -సంఖ్య 3.
3. M. షాబునిన్. సమీకరణాలు. హైస్కూల్ విద్యార్థులకు మరియు ప్రవేశానికి ఉపన్యాసాలు. మాస్కో, "చిస్టీ ప్రూడీ", 2005. (లైబ్రరీ "ఫస్ట్ ఆఫ్ సెప్టెంబర్")
4. ఇ.ఎన్. బాలయన్. సమస్య పరిష్కారంపై వర్క్‌షాప్. అహేతుక సమీకరణాలు, అసమానతలు మరియు వ్యవస్థలు. రోస్టోవ్-ఆన్-డాన్, "ఫీనిక్స్", 2006.
5. గణితం. పరీక్ష-2011కి ప్రిపరేషన్. F.F చే సవరించబడింది. లైసెంకో, S.Yu. కులబుఖోవ్ లెజియన్-M, రోస్టోవ్-ఆన్-డాన్, 2010.

కొన్ని పరివర్తనలు పరిష్కరించబడుతున్న సమీకరణం నుండి సమానమైన సమీకరణాలకు, అలాగే అసలైన సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాన్ని సులభతరం చేసే పర్యవసాన సమీకరణాలకు తరలించడానికి అనుమతిస్తుంది. ఈ మెటీరియల్‌లో, ఈ సమీకరణాలు ఏమిటో మేము మీకు తెలియజేస్తాము, ప్రధాన నిర్వచనాలను రూపొందించండి, వాటిని సచిత్ర ఉదాహరణలతో వివరిస్తాము మరియు అసలు సమీకరణం యొక్క మూలాలు పర్యవసాన సమీకరణం లేదా సమానమైన సమీకరణం యొక్క మూలాల నుండి ఎలా లెక్కించబడతాయో వివరిస్తాము.

Yandex.RTB R-A-339285-1

సమానమైన సమీకరణాల భావన

నిర్వచనం 1

సమానమైనదిఒకే మూలాలు లేదా మూలాలు లేని సమీకరణాలను అంటారు.

ఈ రకమైన నిర్వచనాలు తరచుగా వివిధ పాఠ్యపుస్తకాలలో కనిపిస్తాయి. కొన్ని ఉదాహరణలు ఇద్దాం.

నిర్వచనం 2

f (x) = g (x) సమీకరణం r (x) = s (x) సమానమైన మూలాలను కలిగి ఉంటే లేదా రెండింటికి మూలాలు లేనట్లయితే సమీకరణంగా పరిగణించబడుతుంది.

నిర్వచనం 3

ఒకే మూలాలు కలిగిన సమీకరణాలు సమానమైనవిగా పరిగణించబడతాయి. అలాగే, అవి సమానంగా మూలాలు లేని రెండు సమీకరణాలుగా పరిగణించబడతాయి.

నిర్వచనం 4

సమీకరణం f (x) \u003d g (x) p (x) \u003d h (x) సమీకరణం వలె ఒకే మూలాలను కలిగి ఉంటే, అప్పుడు అవి ఒకదానికొకటి సమానంగా పరిగణించబడతాయి.

మేము ఒక యాదృచ్ఛిక మూలాల గురించి మాట్లాడేటప్పుడు, ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య ఒక సమీకరణానికి మూలం అయితే, అది మరొక సమీకరణానికి పరిష్కారంగా సరిపోతుంది. సమానమైన సమీకరణాలలో ఏదీ మరొకదానికి సరిపడని మూలాన్ని కలిగి ఉండదు.

అటువంటి సమీకరణాలకు మేము అనేక ఉదాహరణలు ఇస్తాము.

ఉదాహరణ 1

ఉదాహరణకు, 4 x \u003d 8, 2 x \u003d 4 మరియు x \u003d 2 సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది - రెండు. అలాగే, x · 0 = 0 మరియు 2 + x = x + 2 సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే వాటి మూలాలు ఏవైనా సంఖ్యలు కావచ్చు, అంటే వాటి పరిష్కారాల సెట్‌లు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. x = x + 5 మరియు x 4 = - 1 సమీకరణాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి, వీటిలో ప్రతిదానికి పరిష్కారం లేదు.

స్పష్టత కోసం, సమానం కాని సమీకరణాల యొక్క అనేక ఉదాహరణలను పరిగణించండి.

ఉదాహరణ 2

ఉదాహరణకు, x = 2 మరియు x 2 = 4 ఉంటుంది, ఎందుకంటే వాటి మూలాలు భిన్నంగా ఉంటాయి. x x \u003d 1 మరియు x 2 + 5 x 2 + 5 సమీకరణాలకు కూడా ఇది వర్తిస్తుంది, ఎందుకంటే సెకనులో పరిష్కారం ఏదైనా సంఖ్య కావచ్చు మరియు రెండవది రూట్ 0 కాకూడదు.

పైన ఇచ్చిన నిర్వచనాలు అనేక వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాలకు కూడా అనుకూలంగా ఉంటాయి, అయితే, మేము రెండు, మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ మూలాల గురించి మాట్లాడుతున్నప్పుడు, "సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం" అనే వ్యక్తీకరణ మరింత సముచితమైనది. అందువల్ల, సంగ్రహంగా చెప్పాలంటే: సమానమైన సమీకరణాలు ఒకే పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న లేదా ఏదీ లేని సమీకరణాలు.

అనేక వేరియబుల్స్ కలిగి ఉన్న మరియు ఒకదానికొకటి సమానమైన సమీకరణాల ఉదాహరణలను తీసుకుందాం. కాబట్టి, x 2 + y 2 + z 2 = 0 మరియు 5 x 2 + x 2 y 4 z 8 = 0 మూడు వేరియబుల్‌లను కలిగి ఉంటాయి మరియు మూడు సందర్భాలలో 0కి సమానమైన ఒక పరిష్కారం మాత్రమే ఉంటుంది. మరియు x + y = 5 మరియు x y = 1 సమీకరణాల జత ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉండవు, ఉదాహరణకు, 5 మరియు 3 విలువలు మొదటిదానికి అనుకూలంగా ఉంటాయి, కానీ దీనికి పరిష్కారం కాదు. రెండవది: వాటిని మొదటి సమీకరణంలోకి మార్చినప్పుడు, మనకు సరైన సమానత్వం లభిస్తుంది మరియు రెండవది - తప్పు.

పరస్పర సమీకరణాల భావన

పాఠ్యపుస్తకాల నుండి తీసుకున్న సహసంబంధ సమీకరణాల నిర్వచనాల యొక్క అనేక ఉదాహరణలను కోట్ చేద్దాం.

నిర్వచనం 5

f (x) = g (x) సమీకరణం యొక్క పరిణామం p (x) = h (x) సమీకరణం అవుతుంది, అయితే మొదటి సమీకరణం యొక్క ప్రతి మూలం అదే సమయంలో రెండవది యొక్క మూలం.

నిర్వచనం 6

మొదటి సమీకరణం రెండవది వలె అదే మూలాలను కలిగి ఉంటే, రెండవది మొదటి దాని యొక్క పర్యవసానంగా ఉంటుంది.

అటువంటి సమీకరణాలకు కొన్ని ఉదాహరణలను తీసుకుందాం.

ఉదాహరణ 3

కాబట్టి, x 2 = 32 అనేది x - 3 = 0 యొక్క పర్యవసానంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే మొదటిది మూడుకి సమానమైన ఒక మూలాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది మరియు ఇది రెండవ సమీకరణం యొక్క మూలం కూడా అవుతుంది, కాబట్టి ఈ నిర్వచనం సందర్భంలో, ఒక సమీకరణం మరొక దాని పర్యవసానంగా ఉంటుంది. మరొక ఉదాహరణ: సమీకరణం (x - 2) (x - 3) (x - 4) = 0 అనేది x - 2 x - 3 x - 4 2 x - 4 యొక్క పర్యవసానంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే రెండవ సమీకరణం రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. 2 మరియు 3, అదే సమయంలో మొదటి మూలాలుగా ఉంటాయి.

పై నిర్వచనం నుండి, మూలాలు లేని ఏదైనా సమీకరణం ఏదైనా సమీకరణం యొక్క పర్యవసానంగా ఉంటుందని మేము నిర్ధారించగలము. ఈ వ్యాసంలో రూపొందించబడిన అన్ని నియమాల యొక్క కొన్ని ఇతర పరిణామాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

నిర్వచనం 7

1. ఒక సమీకరణం మరొకదానికి సమానం అయితే, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి మరొక దాని పర్యవసానంగా ఉంటుంది.
2. రెండు సమీకరణాలలో ప్రతి ఒక్కటి మరొకదాని పర్యవసానంగా ఉంటే, ఈ సమీకరణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి.
3. సమీకరణాలు ఒకదానికొకటి పర్యవసానంగా ఉంటేనే అవి ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి.

పర్యవసాన సమీకరణం లేదా సమానమైన సమీకరణం యొక్క మూలాల నుండి సమీకరణం యొక్క మూలాలను ఎలా కనుగొనాలి

మేము నిర్వచనాలలో వ్రాసిన వాటి ఆధారంగా, ఒక సమీకరణం యొక్క మూలాలు మనకు తెలిసినప్పుడు, సమానమైన వాటి మూలాలు కూడా మనకు తెలుసు, ఎందుకంటే అవి సమానంగా ఉంటాయి.

పర్యవసాన సమీకరణం యొక్క అన్ని మూలాలను మనకు తెలిస్తే, రెండవ సమీకరణం యొక్క మూలాలను మనం గుర్తించవచ్చు, దాని యొక్క పర్యవసానంగా ఉంటుంది. ఇది చేయుటకు, మీరు అదనపు మూలాలను కలుపు తీయాలి. ఇది ఎలా జరుగుతుంది అనే దాని గురించి మేము ఒక ప్రత్యేక కథనాన్ని వ్రాసాము. దీన్ని చదవమని మేము మీకు సలహా ఇస్తున్నాము.

మీరు టెక్స్ట్‌లో పొరపాటును గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

నేటి అంశాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి, ఏ సమీకరణాన్ని పర్యవసాన సమీకరణం అని పిలుస్తారు, ఏ సిద్ధాంతాలు "విశ్రాంతి లేనివి" మరియు ఏ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం ఏ దశలను కలిగి ఉంటుందో మనం పునరావృతం చేయాలి.

నిర్వచనం. x నుండి ef సమీకరణం యొక్క ప్రతి మూలం xకి సమానంగా ఉంటే (మేము దానిని నంబర్ వన్ ద్వారా సూచిస్తాము) అదే సమయంలో x నుండి pe సమీకరణం యొక్క మూలం, x నుండి బూడిదకు సమానం (మేము దానిని సంఖ్య రెండు ద్వారా సూచిస్తాము) , అప్పుడు సమీకరణం రెండును సమీకరణం ఒకటి యొక్క పరిణామం అంటారు.

సిద్ధాంతం నాలుగు. x నుండి ef సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా x నుండి సమానంగా ఉంటే, x నుండి అదే వ్యక్తీకరణ బూడిదతో గుణించండి, ఇది:

మొదటిది, x నుండి సమానమైన eff సమీకరణం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో (అనుమతించదగిన విలువల పరిధిలో) ప్రతిచోటా అర్థవంతంగా ఉంటుంది.

రెండవది, ఈ ప్రాంతంలో ఎక్కడా అది అదృశ్యం కాదు, అప్పుడు మనం x నుండి ef సమీకరణాన్ని పొందుతాము, x నుండి బూడిదతో గుణిస్తే xకి సమానం, x నుండి బూడిదతో గుణించబడుతుంది, దాని ODZలో ఇచ్చిన దానికి సమానం.

పర్యవసానం సిద్ధాంతం నాలుగుమరొక "ప్రశాంతత" ప్రకటన: సమీకరణంలోని రెండు భాగాలను ఒకే సున్నా కాని సంఖ్యతో గుణిస్తే లేదా భాగించినట్లయితే, ఇచ్చిన దానికి సమానమైన సమీకరణం పొందబడుతుంది.

సిద్ధాంతం ఐదు. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఉంటే

ef నుండి x నుండి xకి సమానం అనేది ODZ సమీకరణంలో ప్రతికూలం కాదు, ఆపై దాని రెండు భాగాలను అదే సరి శక్తి nకి పెంచిన తర్వాత, x నుండి x శక్తికి eff సమీకరణం xకి x శక్తికి సమానం, దాని o de ze లో ఈ సమీకరణానికి సమానం.

సిద్ధాంతం ఆరు. a సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉండనివ్వండి మరియు ఒకదానికి సమానంగా ఉండకూడదు మరియు eff సున్నా కంటే x నుండి ఎక్కువగా ఉండనివ్వండి,

x నుండి zhe సున్నా కంటే ఎక్కువ, టోలోలాగరిథమిక్ సమీకరణం అనేది x నుండి బేస్ a వరకు ef యొక్క సంవర్గమానం, x నుండి బేస్ a వరకు zhe యొక్క లాగరిథమ్‌కు సమానం,

x నుండి ef సమీకరణానికి సమానం x నుండి సమానం .

మేము ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, ఏదైనా సమీకరణాల పరిష్కారం మూడు దశల్లో జరుగుతుంది:

మొదటి దశ సాంకేతికమైనది. అసలు సమీకరణం నుండి రూపాంతరాల గొలుసు సహాయంతో, మేము చాలా సరళమైన సమీకరణానికి వస్తాము, దానిని మనం పరిష్కరించి మూలాలను కనుగొంటాము.

రెండవ దశ పరిష్కారం యొక్క విశ్లేషణ. మేము చేసిన పరివర్తనలను మేము విశ్లేషిస్తాము మరియు అవి సమానంగా ఉన్నాయో లేదో తెలుసుకుంటాము.

మూడవ దశ ధృవీకరణ. పర్యవసాన సమీకరణానికి దారితీసే పరివర్తనలను చేసేటప్పుడు వాటిని అసలు సమీకరణంలోకి మార్చడం ద్వారా కనుగొనబడిన అన్ని మూలాలను తనిఖీ చేయడం తప్పనిసరి.

ఈ పాఠంలో, ఏ పరివర్తనలను వర్తింపజేసేటప్పుడు ఈ సమీకరణం పర్యవసాన సమీకరణంలోకి వెళ్తుందో మనం కనుగొంటాము. కింది పనులను పరిగణించండి.

వ్యాయామం 1

ఏ సమీకరణం x మైనస్ మూడు సమానం రెండు సమీకరణం యొక్క పరిణామం?

పరిష్కారం

సమీకరణం x మైనస్ మూడు సమానం రెండు ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది - x ఐదుకు సమానం. ఈ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా x మైనస్ ఆరు వ్యక్తీకరణతో గుణించండి, పదాలను జోడించి, చతురస్రాకార సమీకరణం x స్క్వేర్ మైనస్ పదకొండు x ప్లస్ ముప్పై సున్నాకి సమానం. దాని మూలాలను గణిద్దాం: x మొదటిది ఐదుకి సమానం; x సెకను ఆరుకు సమానం. ఇది ఇప్పటికే రెండు మూలాలను కలిగి ఉంది. సమీకరణం x స్క్వేర్ మైనస్ పదకొండు x ప్లస్ ముప్పై సమానం సున్నా ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది - x ఐదుకు సమానం; సమీకరణం యొక్క x మైనస్ మూడు సమానం రెండు, కాబట్టి x స్క్వేర్డ్ మైనస్ పదకొండు x ప్లస్ ముప్పై సమీకరణం x మైనస్ మూడు సమానం రెండు యొక్క పరిణామం.

టాస్క్ 2

x-3=2 సమీకరణం యొక్క పరిణామం ఏ ఇతర సమీకరణం?

పరిష్కారం

సమీకరణంలో x మైనస్ మూడు సమానం రెండు, మేము దానిలోని రెండు భాగాలను వర్గీకరిస్తాము, తేడా యొక్క వర్గానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేసి, నిబంధనలను జోడించినప్పుడు, మనకు వర్గ సమీకరణం x స్క్వేర్డ్ మైనస్ ఆరు, x ప్లస్ ఐదు సున్నాకి సమానం.

దాని మూలాలను గణిద్దాం: x మొదటిది ఐదుకి సమానం, x రెండవది ఒకదానికి సమానం.

మూలం x సమానం ఒకటి సమీకరణం x మైనస్ మూడు సమానం రెండుకు అతీతం. అసలు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేయబడినందున ఇది జరిగింది (ఒక సరి శక్తి). కానీ అదే సమయంలో, దాని ఎడమ వైపు - x మైనస్ మూడు - ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు (పరిస్థితులు సిద్ధాంతం ఐదు) కాబట్టి సమీకరణం x స్క్వేర్ మైనస్ ఆరు x ప్లస్ ఐదు సమానం సున్నా సమీకరణం x మైనస్ మూడు సమానం రెండు యొక్క పరిణామం.

టాస్క్ 3

సమీకరణం కోసం సమీకరణాన్ని కనుగొనండి

x ప్లస్ వన్ నుండి బేస్ త్రీకి సంవర్గమానం ప్లస్ x ప్లస్ త్రీ నుండి బేస్ త్రీకి సమానం.

పరిష్కారం

మేము ఏకత్వాన్ని మూడు ఆధారం మూడు యొక్క లాగరిథమ్‌గా సూచిస్తాము, సంవర్గమాన సమీకరణాన్ని శక్తివంతం చేస్తాము, గుణకారాన్ని నిర్వహిస్తాము, పదాలను జోడించి వర్గ సమీకరణం x స్క్వేర్డ్ ప్లస్ నాలుగు x సున్నాకి సమానం. దాని మూలాలను గణిద్దాం: x మొదటిది సున్నాకి సమానం, x రెండవది మైనస్ నాలుగుకి సమానం. సంవర్గమాన సమీకరణానికి x అనే మూలం మైనస్ ఫోర్‌కి సమానం, ఎందుకంటే ఇది లాగరిథమిక్ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం అయినప్పుడు, ఎక్స్‌ప్రెషన్స్ x ప్లస్ వన్ మరియు x ప్లస్ త్రీ ప్రతికూల విలువలను తీసుకుంటాయి - షరతులు ఉల్లంఘించబడతాయి. సిద్ధాంతం ఆరు.

కాబట్టి x స్క్వేర్డ్ ప్లస్ ఫోర్ x ఈక్వేషన్ ఈక్వేషన్ యొక్క పరిణామం సున్నా.

ఈ ఉదాహరణల పరిష్కారం ఆధారంగా, మనం చేయవచ్చు ముగింపు:సమీకరణం యొక్క డొమైన్‌ను విస్తరించడం ద్వారా ఇచ్చిన సమీకరణం నుండి పర్యవసాన సమీకరణం పొందబడుతుంది. మరియు అటువంటి పరివర్తనలను చేసేటప్పుడు ఇది సాధ్యమవుతుంది

1) వేరియబుల్ కలిగి ఉన్న హారంలను వదిలించుకోవడం;

2) సమీకరణంలోని రెండు భాగాలను ఒకే సమాన శక్తికి పెంచడం;

3) లాగరిథమ్‌ల సంకేతాల నుండి మినహాయింపు.

గుర్తుంచుకోండి! సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే ప్రక్రియలో సమీకరణం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ విస్తరించినట్లయితే, కనుగొనబడిన అన్ని మూలాలను తనిఖీ చేయడం అవసరం.

టాస్క్ 4

సమీకరణాన్ని x మైనస్ మూడుని x మైనస్ ఐదుతో భాగించండి ప్లస్ ఒకటి xతో భాగించబడుతుంది x ప్లస్ ఐదుని x సార్లు x మైనస్ ఐదుతో భాగిస్తే సమానం.

పరిష్కారం

మొదటి దశ సాంకేతికమైనది.

పరివర్తనల గొలుసును చేద్దాం, సరళమైన సమీకరణాన్ని పొందండి మరియు దాన్ని పరిష్కరించండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము సమీకరణంలోని రెండు భాగాలను భిన్నాల యొక్క సాధారణ హారం ద్వారా గుణిస్తాము, అంటే x వ్యక్తీకరణ ద్వారా xminus fiveతో గుణించబడుతుంది.

మనకు చతురస్రాకార సమీకరణం x చదరపు మైనస్ మూడు x మైనస్ పది సమానం సున్నా. మూలాలను గణిద్దాం: x మొదటిది ఐదుకి సమానం, x రెండవది మైనస్ రెండుకి సమానం.

రెండవ దశ పరిష్కారం యొక్క విశ్లేషణ.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, మేము దాని యొక్క రెండు భాగాలను వేరియబుల్ కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణ ద్వారా గుణించాము. సమీకరణం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ విస్తరించిందని దీని అర్థం. అందువల్ల, మూలాలను తనిఖీ చేయడం అవసరం.

మూడవ దశ ధృవీకరణ.

x మైనస్ రెండుకి సమానం అయినప్పుడు, సాధారణ హారం అదృశ్యం కాదు. కాబట్టి x సమానం మైనస్ రెండు ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం.

x ఐదుకి సమానం అయినప్పుడు, సాధారణ హారం సున్నాకి వెళుతుంది. కాబట్టి x ఐదుకి సమానం - ఒక అదనపు మూలం.

సమాధానం: మైనస్ రెండు.

టాస్క్ 5

x మైనస్ ఆరు యొక్క సమీకరణ వర్గమూలాన్ని పరిష్కరించండి నాలుగు మైనస్ x వర్గమూలానికి సమానం.

పరిష్కారం

మొదటి దశ సాంకేతికమైనది .

ఒక సాధారణ సమీకరణాన్ని పొందేందుకు మరియు దానిని పరిష్కరించడానికి, మేము పరివర్తనల గొలుసును చేస్తాము.

ఈ సమీకరణంలోని రెండు భాగాలను చతురస్రం (సమాన శక్తి) చేద్దాం, x లను ఎడమ వైపుకు మరియు సంఖ్యలను సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు తరలించండి, ఇలాంటి నిబంధనలను ఇవ్వండి, మనకు లభిస్తుంది: రెండు x పదికి సమానం. X ఐదుకి సమానం.

రెండవ దశ పరిష్కారం యొక్క విశ్లేషణ.

సమానత్వం కోసం ప్రదర్శించిన పరివర్తనలను తనిఖీ చేద్దాం.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, మేము దాని రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేసాము. సమీకరణం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ విస్తరించిందని దీని అర్థం. అందువల్ల, మూలాలను తనిఖీ చేయడం అవసరం.

మూడవ దశ ధృవీకరణ.

మేము కనుగొన్న మూలాలను అసలు సమీకరణంలోకి మారుస్తాము.

x ఐదుకి సమానం అయితే, నాలుగు మైనస్ x యొక్క వ్యక్తీకరణ వర్గమూలం నిర్వచించబడలేదు, కాబట్టి x ఈక్వల్ టు ఫైవ్ అనేది అదనపు మూలం. కాబట్టి ఈ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు.

సమాధానం: సమీకరణానికి మూలాలు లేవు.

టాస్క్ 6

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి x స్క్వేర్డ్ ప్లస్ టూ x మైనస్ ఏడు యొక్క సహజ సంవర్గమానం x మైనస్ ఒకటి యొక్క సహజ సంవర్గమానానికి సమానం.

పరిష్కారం

మొదటి దశ సాంకేతికమైనది .

పరివర్తనల గొలుసును చేద్దాం, సరళమైన సమీకరణాన్ని పొందండి మరియు దాన్ని పరిష్కరించండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము శక్తివంతం చేస్తాము

సమీకరణం, మేము అన్ని నిబంధనలను సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపుకు బదిలీ చేస్తాము, మేము ఒకే విధమైన నిబంధనలను ఇస్తాము, మేము చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పొందుతాము x చదరపు ప్లస్ x మైనస్ ఆరు సున్నాకి సమానం. మూలాలను గణిద్దాం: x మొదటిది రెండింటికి సమానం, x రెండవది మైనస్ మూడుకి సమానం.

రెండవ దశ పరిష్కారం యొక్క విశ్లేషణ.

సమానత్వం కోసం ప్రదర్శించిన పరివర్తనలను తనిఖీ చేద్దాం.

ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే ప్రక్రియలో, మేము లాగరిథమ్‌ల సంకేతాలను వదిలించుకున్నాము. సమీకరణం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ విస్తరించిందని దీని అర్థం. అందువల్ల, మూలాలను తనిఖీ చేయడం అవసరం.

మూడవ దశ ధృవీకరణ.

మేము కనుగొన్న మూలాలను అసలు సమీకరణంలోకి మారుస్తాము.

x రెండు సమానం అయితే, మనకు సహజ సంవర్గమానం ఐక్యత యొక్క సహజ సంవర్గమానానికి సమానం అవుతుంది -

సరైన సమానత్వం.

కాబట్టి, x ఈక్వేషన్ యొక్క మూలం రెండు.

x మైనస్ మూడు అయితే, x స్క్వేర్డ్ ప్లస్ టూ x మైనస్ ఏడు యొక్క సహజ సంవర్గమానం మరియు x మైనస్ ఒకటి యొక్క సహజ సంవర్గమానం నిర్వచించబడలేదు. కాబట్టి x ఈక్వల్ టు మైనస్ త్రీ అనేది ఒక అదనపు మూలం.

సమాధానం: రెండు.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు మూడు దశలను వేరు చేయడం ఎల్లప్పుడూ అవసరమా? మీరు ఇంకా ఎలా తనిఖీ చేయవచ్చు?

ఈ ప్రశ్నలకు మేము తదుపరి పాఠంలో సమాధానాలను పొందుతాము.