Lungimea arcului unui cicloid a fost calculată pentru prima dată de arhitectul și matematicianul englez Wren în 1658. Wren a pornit de la considerente mecanice care amintesc de primele lucrări ale lui Torricelli și Roberval. El a considerat rotația unui cerc de rulare la un unghi foarte mic în apropierea punctului „inferior” al cercului generator. Pentru a da forță demonstrativă considerațiilor sugestive ale lui Wren, ar fi necesar să se ia în considerare o serie întreagă de teoreme auxiliare și, în consecință, ar fi necesar să cheltuiască prea multă muncă.

Este mult mai convenabil să folosiți o cale mai lungă, dar blândă. Pentru a face acest lucru, trebuie să luați în considerare curba specială pe care o are fiecare curbă plată - dezvoltarea ei.

Se consideră un arc convex AB al unei linii curbe (Fig. 4.1). Să ne imaginăm că un fir flexibil, inextensibil, de aceeași lungime ca și arcul AB însuși este atașat arcului AB în punctul A, iar acest fir este „înfășurat” pe curbă și se potrivește strâns pe el, astfel încât capătul său să coincidă cu punctul B. Vom „desface” -- îndreptați firul, menținându-l întins, astfel încât partea liberă a firului CM să fie întotdeauna îndreptată tangențial la arcul AB. În aceste condiții, capătul firului va descrie o anumită curbă. Această curbă se numește dezvoltare sau, în latină, evolventă curba originală.

Dacă arcul curbei nu este convex peste tot într-o direcție, dacă este ca curba AB din fig. 4.2, are un punct C la care tangenta la curba trece dintr-o parte in alta (un astfel de punct se numeste punct de inflexiune), atunci in acest caz se poate vorbi despre dezvoltarea curbei, dar rationamentul va avea sa fie putin mai complicat.

Să ne imaginăm că firul este fixat exact în punctul de inflexiune C (Fig. 4.2). Firul, care se desfășoară din arcul BC, va descrie curba BMR - scanarea.

Acum să ne imaginăm un fir înfășurat în jurul arcului AC al curbei originale, dar acest fir este deja alungit: în punctul C o bucată de fir CP este legată de el. Prin înfășurarea firului ACP alungit cu curba CA, obținem un arc ARN, care, împreună cu arcul BMP, formează o singură curbă continuă - continuă, dar nu netedă peste tot: punctul de deformare C al curbei inițiale va corespunde cu vârful (punctul de întoarcere) al curbei BMRNA: curba BMRNA va fi evolventa (măturarea) curbei BCA.

Aceste exemple ne-au ajutat să ne obișnuim cu noile concepte de evolute și involutie. Acum să studiem evoluția curbelor cicloidale.

În timp ce studiem cutare sau cutare curbă, am construit adesea o curbă auxiliară - un „însoțitor” al acestei curbe. Deci, costăm o sinusoidă - un însoțitor al unui cicloid. Acum, pe baza acestui cicloid, vom construi un cicloid auxiliar legat inextricabil de acesta. Se pare că studiul comun al unei astfel de perechi de cicloizi este în unele privințe mai simplu decât studiul unui singur cicloid. Vom numi un astfel de cicloid auxiliar un cicloid însoțitor.

Să considerăm jumătate din arcul cicloidului AMB (Fig. 4.3). Nu ar trebui să ne fie rușine că acest cicloid este situat într-un mod neobișnuit („cu susul în jos”). Să desenăm 4 linii drepte paralele cu linia dreaptă de ghidare AK la distanțe o, 2o, 3oși 4 o. Să construim un cerc generator în poziția corespunzătoare punctului M (în Fig. 4.3 centrul acestui cerc este indicat prin litera O). Să notăm unghiul de rotație MON cu c. Atunci segmentul AN va fi egal cu bc (unghiul c se exprimă în radiani).

Continuăm diametrul NT al cercului generator dincolo de punctul T până la intersecția (în punctul E) cu dreapta PP. Folosind TE ca diametru, vom construi un cerc (cu centrul O 1). Să construim o tangentă în punctul M la cicloidul AMB. Pentru a face acest lucru, punctul M trebuie, după cum știm, să fie legat de punctul T. Să extindem tangenta MT peste punctul T până când se intersectează cu cercul auxiliar și numim punctul de intersecție M 1. De acest punct M 1 vrem să ne ocupăm acum.

Am notat unghiul MON cu c. Prin urmare, unghiul MTN va fi egal cu (unghiul înscris bazat pe același arc). Triunghiul TO 1 M 1 este evident isoscel. Prin urmare, nu numai unghiul O 1 TM 1, ci și unghiul TM 1 O 1 vor fi fiecare egal. Astfel, fracția unghiului TO 1 M 1 din triunghiul TO 1 M 1 rămâne exact p - q radiani (rețineți că unghiul 180? este egal cu p radiani). Să remarcăm, de asemenea, că segmentul NK este în mod evident egal cu b(p - q).

Să considerăm acum un cerc cu centrul O 2, prezentat în Fig. 4.3 cu o linie întreruptă. Din desen este clar ce fel de cerc este acesta. Dacă îl rostogolești fără să aluneci de-a lungul unei linii drepte NE, atunci punctul său B va descrie cicloidul BB. Când cercul punctat se rotește prin unghiul p - c, centrul O 2 va ajunge în punctul O 1, iar raza O 2 B va lua poziția O 1 M 1. Astfel, punctul M 1 pe care l-am construit se dovedește a fi un punct al cicloidului BB.

Construcția descrisă asociază fiecare punct M al cicloidului AMB cu punctul M 1 al cicloidulului VM 1 B. În Fig. 4.4 arată mai clar această corespondență. Cicloidul obtinut in acest fel se numeste insotire. În fig. 4.3 și 4.4, cicloizii reprezentați prin linii groase întrerupte sunt însoțitori în raport cu cicloizii reprezentați prin linii groase și continue.

Din fig. 4.3 este clar că linia dreaptă MM 1 este normală în punctul M 1 cu cicloida însoțitoare. Într-adevăr, această dreaptă trece prin punctul M 1 al cicloidei și prin punctul T de tangență al cercului generator și al dreptei de direcție („cel mai jos” punct al cercului generator, așa cum spuneam cândva; acum s-a dovedit a fi „cel mai înalt” deoarece desenul este rotit). Dar aceeași linie dreaptă, prin construcție, este tangentă la „baza” cicloidului AMB. Astfel, cicloidul original atinge fiecare normal al cicloidul însoțitor. Este învelișul pentru normalele cicloidei însoțitoare, adică. evolutia acestuia. Iar cicloidul „însoțitor” se dovedește a fi pur și simplu o evolventă a cicloidul original!

Angajându-ne în această construcție greoaie, dar în esență simplă, am demonstrat o teoremă remarcabilă descoperită de omul de știință olandez Huygens. Aceasta este teorema: Evoluția unui cicloid este exact aceeași cicloidă, doar deplasată.

După ce am construit un evolut nu pentru un arc, ci pentru întregul cicloidă (ceea ce, desigur, se poate face doar mental), apoi un evolut pentru acest evolut etc., obținem Fig. 4.5, asemănătoare plăcilor.

Să fim atenți la faptul că în demonstrarea teoremei lui Huygens nu am folosit estimări infinitezimale, indivizibile sau aproximative. Nici măcar nu am folosit mecanică, deși uneori am folosit expresii împrumutate de la mecanică. Această dovadă se încadrează complet în spiritul raționamentului folosit de oamenii de știință din secolul al XVII-lea când au dorit să fundamenteze cu strictețe rezultatele obținute folosind diverse considerații de conducere.

Din teorema lui Huygens decurge imediat un corolar important. Luați în considerare segmentul AB din fig. 4.4. Lungimea acestui segment este evident 4 o. Să ne imaginăm acum că un fir este înfășurat în jurul arcului AMB al cicloidei, fixat în punctul A și echipat cu un creion în punctul B. Dacă „înfășuram” firul, creionul se va deplasa de-a lungul dezvoltării cicloidului AMB. , adică în conformitate cu cicloidul VM 1 V. Lungimea firului, egal cu lungimea semi-arcada cicloidei, va fi evident egală cu segmentul AB, adică, după cum am văzut, 4 o. Prin urmare, lungimea L a întregului arc cicloid va fi egală cu 8 o, iar formula L=8 o poate fi considerat acum destul de strict dovedit.

Să calculăm lungimea arcului folosind geometria diferențială. Soluția obținută astfel va fi mult mai scurtă și mai ușoară:

Unde t?

| r(t)|===2sin

5. Ecuația cicloidă parametrică și ecuația în coordonate carteziene

Să presupunem că ni se dă un cicloid format dintr-un cerc de rază a cu centru în punctul A.

Dacă alegem ca parametru de determinare a poziţiei punctului unghiul t=∟NDM prin care raza, care avea la începutul rulării în poziţia verticală AO, a reuşit să se rotească, atunci coordonatele x şi y ale punctului M vor se exprimă după cum urmează:

x= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Deci ecuațiile parametrice ale cicloidei au forma:

Când t se schimbă de la -∞ la +∞, se va obține o curbă constând dintr-un număr infinit de ramuri precum cele prezentate în această figură.

De asemenea, pe lângă ecuația parametrică a cicloidei, există și ecuația sa în coordonate carteziene:

Unde r este raza cercului care formează cicloida.

6. Probleme privind găsirea părților unui cicloid și a figurilor formate dintr-un cicloid

Sarcina nr. 1. Găsiți aria unei figuri delimitate de un arc al unui cicloid a cărui ecuație este dată parametric

iar axa Bou.

Soluţie. Pentru a rezolva această problemă, vom folosi faptele pe care le cunoaștem din teoria integralelor și anume:

Zona unui sector curbat.

Considerăm o funcție r = r(ϕ) definită pe [α, β].

ϕ 0 ∈ [α, β] corespunde lui r 0 = r(ϕ 0) și, prin urmare, punctului M 0 (ϕ 0 , r 0), unde ϕ 0,

r 0 - coordonatele polare ale punctului. Dacă ϕ se modifică, „parcurgând” întregul [α, β], atunci punctul variabil M va descrie o curbă AB, dată fiind

ecuația r = r(ϕ).

Definiție 7.4. Un sector curbat este o figură delimitată de două raze ϕ = α, ϕ = β și o curbă AB definită în polar

coordonate prin ecuația r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Următoarele sunt adevărate

Teorema. Dacă funcția r(ϕ) > 0 și este continuă pe [α, β], atunci aria

sectorul curbiliniu se calculează prin formula:

Această teoremă a fost demonstrată mai devreme în subiect integrală definită.

Pe baza teoremei de mai sus, problema noastră de a găsi aria unei figuri limitate de un arc de cicloid, a cărei ecuație este dată de parametrii parametrici x= a (t – sin t), y= a (1). – cos t), iar axa Ox, se reduce la următoarea soluție .

Soluţie. Din ecuația curbei dx = a(1−cos t) dt. Primul arc al cicloidului corespunde unei modificări a parametrului t de la 0 la 2π. Prin urmare,

Sarcina nr. 2. Aflați lungimea unui arc al cicloidei

Următoarea teoremă și corolarul ei au fost, de asemenea, studiate în calcul integral.

Teorema. Dacă curba AB este dată de ecuația y = f(x), unde f(x) și f ’ (x) sunt continue pe , atunci AB este rectificabilă și

Consecinţă. Fie dat AB parametric

L AB = (1)

Fie funcțiile x(t), y(t) diferențiabile continuu pe [α, β]. Apoi

formula (1) poate fi scrisă după cum urmează

Să facem o schimbare de variabile în această integrală x = x(t), apoi y’(x)= ;

dx= x’(t)dt și deci:

Acum să revenim la rezolvarea problemei noastre.

Soluţie. Avem, și prin urmare

Sarcina nr. 3. Trebuie să găsim aria suprafeței S formată din rotația unui arc al cicloidei

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – cost), 0≤ t ≤ 2π)

În calculul integral, există următoarea formulă pentru găsirea suprafeței unui corp de revoluție în jurul axei x a unei curbe definite parametric pe un segment: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)

Aplicând această formulă la ecuația noastră cicloidă obținem:

Sarcina nr. 4. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea arcului cicloid

De-a lungul axei Ox.

În calculul integral, la studierea volumelor, există următoarea remarcă:

Dacă curba care mărginește un trapez curbiliniu este dată de ecuații parametrice și funcțiile din aceste ecuații îndeplinesc condițiile teoremei privind modificarea variabilei într-o anumită integrală, atunci volumul corpului de revoluție al trapezului în jurul axei Ox va se calculează prin formula

Să folosim această formulă pentru a găsi volumul de care avem nevoie.

Problema este rezolvată.

Concluzie

Deci, în cursul acestei lucrări, au fost clarificate proprietățile de bază ale cicloidului. De asemenea, am învățat cum să construim un cicloid și am aflat semnificația geometrică a unui cicloid. După cum sa dovedit, cicloidul are o uriașă aplicare practică nu numai în matematică, ci și în calcule tehnologice și fizică. Dar cicloidul are alte merite. A fost folosit de oamenii de știință din secolul al XVII-lea atunci când au dezvoltat tehnici pentru studiul liniilor curbe - acele tehnici care au dus în cele din urmă la inventarea calculului diferențial și integral. A fost, de asemenea, una dintre „pietrele de atingere” pe care Newton, Leibniz și primii lor cercetători au testat puterea unor noi metode matematice puternice. În fine, problema brahistocronului a dus la inventarea calculului variațiilor, deci necesare fizicienilor astăzi. Astfel, cicloidul s-a dovedit a fi indisolubil legat de una dintre cele mai interesante perioade din istoria matematicii.

Literatură

1. Berman G.N. Cicloid. – M., 1980

2. Verov S.G. Brachistochrone, sau alt secret al cicloidului // Quantum. – 1975. - Nr. 5

3. Verov S.G. Secretele cicloidului // Quantum. – 1975. - Nr. 8.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Aplicații ale unei integrale definite. Instrucțiuni metodologice și sarcini individuale pentru studenții din anul I ai Facultății de Fizică. - Rostov n/a: UPL RSU, 1994.

5. Gindikin S.G. Epoca stelară a cicloidulului // Quantum. – 1985. - Nr. 6.

6. Fikhtengolts G.M. Curs de calcul diferențial și integral. T.1. – M., 1969

Această linie se numește „plic”. Fiecare linie curbă este un plic al tangentelor sale.

Materia și mișcarea, precum și metoda pe care o constituie, permit tuturor să-și realizeze potențialul în cunoașterea adevărului. Dezvoltarea unei metodologii pentru dezvoltarea unei forme dialectico-materialiste de gândire și stăpânirea unei metode similare de cunoaștere este al doilea pas către rezolvarea problemei dezvoltării și realizării capacităților umane. Fragmentul XX Oportunități...

În această situație, oamenii pot dezvolta nevrastenie - o nevroză, pe baza tabloului clinic al cărei stare este astenia. Atât în ​​cazul neurasteniei, cât și în cazul decompensării psihopatiei neurastenice, esența apărării mentale (psihologice) se reflectă în retragerea din dificultăți în slăbiciune iritabilă cu disfuncții vegetative: fie persoana inconștient „combate” mai mult atacul. ..

Diverse tipuri activități; dezvoltarea imaginației spațiale și a conceptelor spațiale, gândirea figurativă, spațială, logică, abstractă a școlarilor; dezvoltarea capacității de a aplica cunoștințe și abilități geometrice și grafice pentru a rezolva diverse probleme aplicate; familiarizarea cu conținutul și succesiunea etapelor activităților proiectului în domeniul tehnic și...

Arcuri. Spiralele sunt și evolvente ale curbelor închise, de exemplu evolvena unui cerc. Denumirile unor spirale sunt date de asemănarea ecuaţiilor lor polare cu ecuaţiile curbelor în coordonate carteziene, de exemplu: · spirală parabolică (a - r)2 = bj, · spirală hiperbolică: r = a/j. · Tijă: r2 = a/j · si-ci-spirală, ale căror ecuații parametrice au forma: , este o constantă b 2.

Curba ca în figurile de mai jos când b a respectiv.

Dacă b = a, curba este lemniscate

MOLCUL LUI PASCAL
Ecuația polară: r = b + acosθ

Fie OQ linia care leagă centrul lui O cu orice punct Q pe un cerc cu diametrul a care trece prin O. Atunci curba este focarul tuturor punctelor P astfel încât PQ = b.

Curba prezentată în figurile de mai jos când b > a sau b

CISSOIDUL DIOCLELOR
Ecuația în coordonate dreptunghiulare: y 2 = x 3 /(2a - x)

Ecuații parametrice:

Aceasta este o curbă descrisă de un punct P astfel încât distanța OP = distanța RS. Folosit în sarcină dublarea cubului, adică găsirea laturii unui cub care are de două ori volumul unui cub dat

SPIRALA LUI ARHIMEDE
Ecuația polară: r = aθ

Exemplele analizate ne-au ajutat să ne obișnuim cu noile concepte de evolut și involute. Acum suntem suficient de pregătiți pentru a studia dezvoltarea curbelor cicloidale.

În timp ce studiem cutare sau cutare curbă, am construit adesea o curbă auxiliară - un „însoțitor” al acestei curbe.

Orez. 89. Cicloidul și însoțitorul său.

Deci, am construit conchoide ale unei linii drepte și ale unui cerc, o dezvoltare a unui cerc, o sinusoidă - un însoțitor al unui cicloid. Acum, pe baza acestui cicloid, vom construi un cicloid auxiliar legat inextricabil de acesta. Se pare că studiul comun al unei astfel de perechi de cicloizi este în unele privințe mai simplu decât studiul unui singur cicloid. Vom numi un astfel de cicloid auxiliar un cicloid însoțitor.

Să luăm în considerare jumătate din arcul cicloidului AMB (Fig. 89). Nu ar trebui să ne fie rușine că acest cicloid este situat într-un mod neobișnuit („cu susul în jos”).

Să desenăm 4 linii drepte paralele cu linia de ghidare AK la distanțele a, 2a, 3a și 4a. Să construim un cerc generator în poziția corespunzătoare punctului M (în Fig. 89 centrul acestui cerc este indicat prin litera O). Să notăm unghiul de rotație al lui MON cu . Atunci segmentul AN va fi egal (unghiul este exprimat în radiani).

Continuăm diametrul NT al cercului generator dincolo de punctul T până la intersecția (în punctul E) cu dreapta PP. Folosind TE ca diametru vom construi un cerc (cu centru). Să construim o tangentă în punctul M la cicloidul AMB. Pentru a face acest lucru, punctul M trebuie, după cum știm, să fie legat de punctul T (p. 23). Să continuăm tangenta MT dincolo de punctul T până când se intersectează cu cercul auxiliar și numim punctul de intersecție . Acesta este punctul pe care vrem să-l abordăm acum.

Am notat unghiul MON prin Prin urmare, unghiul MTN va fi egal cu (unghiul înscris bazat pe același arc). Triunghiul este evident isoscel. Prin urmare, nu numai unghiul, ci și unghiul vor fi fiecare egal. Astfel, exact radianii rămân pentru fracțiunea unghiului din triunghi (rețineți că un unghi de 180° este egal cu radiani). De asemenea, observăm că segmentul NK este în mod evident egal cu a ().

Să considerăm acum cercul cu centru prezentat în Fig. 89 linie întreruptă. Din desen este clar ce fel de cerc este acesta. Dacă îl rotiți fără alunecare de-a lungul liniei drepte CB, atunci punctul său B va descrie cicloidul BB. Când cercul punctat se rotește prin unghiul , centrul va ajunge la punctul și raza va lua poziția. construit se dovedește a fi un punct al cicloidului BB,

Construcția descrisă asociază fiecare punct M al cicloidei AMB cu un punct al cicloidului din fig. 90 această corespondență este arătată mai clar. Cicloidul obtinut in acest mod se numeste insotire. În fig. 89 și 90, cicloizii reprezentați prin linii groase întrerupte sunt însoțitori în raport cu cicloizii reprezentați prin linii groase și continue.

Din fig. 89 este clar că linia dreaptă este normală într-un punct cu cicloida însoțitoare. Într-adevăr, această dreaptă trece prin punctul cicloidei și prin punctul T de tangență al cercului generator și al dreptei de direcție („cel mai jos” punct al cercului generator, așa cum am spus cândva; acum s-a dovedit a fi „cel mai înalt” deoarece desenul este rotit).

Dar aceeași linie dreaptă, prin construcție, este tangentă la cicloidul „principal” AMB. Astfel, cicloidul original atinge fiecare normal al cicloidul însoțitor. Este învelișul pentru normalii cicloidului însoțitor, adică evoluția acestuia. Și cicloidul „însoțitor” se dovedește a fi pur și simplu o evolventă (desfășurare) a cicloidei originale!

Orez. 91 Corespondența dintre punctele cicloidei și cel însoțitor.

Angajându-ne în această construcție greoaie, dar în esență simplă, am demonstrat o teoremă remarcabilă descoperită de omul de știință olandez Huygens. Iată această teoremă: evoluția unui cicloid este exact aceeași cicloidă, doar deplasată.

După ce am construit un evolut nu pentru un arc, ci pentru întregul cicloidă (ceea ce, desigur, se poate face doar mental), apoi un evolut pentru acest evolut etc., obținem Fig. 91, asemănătoare plăcilor.

Să fim atenți la faptul că în demonstrarea teoremei lui Huygens nu am folosit estimări infinitezimale, indivizibile sau aproximative. Nici măcar nu am folosit mecanică, am folosit uneori expresii împrumutate de la mecanică. Această dovadă se încadrează complet în spiritul raționamentului folosit de oamenii de știință din secolul al XVII-lea când au dorit să fundamenteze cu strictețe rezultatele obținute folosind diverse considerații de conducere.

Din teorema lui Huygens decurge imediat un corolar important. Luați în considerare segmentul AB din fig. 89. Lungimea acestui segment este evident 4a. Să ne imaginăm acum că un fir este înfășurat în jurul arcului AMB al cicloidei, fixat în punctul A și echipat cu un creion în punctul B. Dacă „înfășuram” firul, creionul se va deplasa de-a lungul dezvoltării cicloidului AMB. , adică de-a lungul cicloidului BMB.

Orez. 91 Evoluții succesive ale cicloidei.

Lungimea firului, egală cu lungimea semiarcadei cicloidei, va fi în mod evident egală cu segmentul AB, adică, după cum am văzut, 4a. În consecință, lungimea întregului arc al cicloidului va fi egală cu 8a, iar formula poate fi considerată acum destul de strict dovedită.

Din fig. 89 puteți vedea mai multe: formula nu numai pentru lungimea întregului arc al cicloidului, ci și pentru lungimea oricăruia dintre arcurile sale. Într-adevăr, este evident că lungimea arcului MB este egală cu lungimea segmentului , adică segmentul dublă tangentă în punctul corespunzător al cicloidei, conținut în interiorul cercului generator.