Dacă ați căutat doar metoda Simpson pe această pagină, atunci vă recomand cu tărie să citiți mai întâi începutul lecției și să vizualizați cel puțin primul exemplu. Din motivul că multe idei și tehnici vor fi similare cu metoda trapezului.
Din nou, să începem cu formula generală
Se consideră integrala definită, unde este o funcție continuă pe segment. Să împărțim segmentul în chiar cantitate egal segmente. Un număr par de segmente este notat cu .
În practică, segmentele pot fi:
Două:
patru:
opt:
zece:
douăzeci:
Nu-mi amintesc alte variante.
Atenţie! Numărul este înțeles ca UN NUMĂR. Acesta este, ESTE INTERZIS reduce, de exemplu, cu doi, obținând . Înregistrare numai mijloace că numărul de segmente uniform. Și nu există reduceri de care să vorbim.
Deci partiția noastră arată astfel:
Termenii sunt similari cu cei ai metodei trapezoidale:
Se numesc puncte noduri.
Formula Simpson pentru calculul aproximativ al integralei definite are următoarea formă:
Unde:
- lungimea fiecăruia dintre segmentele mici sau Etapa;
sunt valorile integrandului la punctele .
Detaliind această acumulare, voi analiza formula mai detaliat:
este suma primelor și ultimelor valori ale integrandului;
este suma membrilor cu chiar indici înmulțiți cu 2;
este suma membrilor cu ciudat indicele se înmulțește cu 4.
Exemplul 4
Calculați integrala aproximativă folosind formula lui Simpson la cel mai apropiat 0,001. Împărțirea începe cu două segmente 
Integrala, apropo, din nou nu este luată.
Soluţie: Atrage imediat atenția asupra tipului de sarcină - este necesar să se calculeze o integrală definită cu o anumită precizie. Ce înseamnă aceasta a fost deja comentat la începutul articolului, precum și exemple concrete din paragraful anterior. În ceea ce privește metoda trapezoidală, există o formulă care vă va permite imediat să determinați numărul necesar de segmente (valoarea lui „en”) pentru a garanta acuratețea necesară. Adevărat, va trebui să găsim derivata a patra și să rezolvăm problema extremală. Cine a înțeles ce vreau să spun și a estimat cantitatea de muncă, a zâmbit. Cu toate acestea, aici nu este de râs, găsirea derivatei a patra a unui astfel de integrand nu va mai fi un megabotan, ci un psihopat clinic. Prin urmare, în practică, aproape întotdeauna se utilizează o metodă simplificată de estimare a erorii.
Începem să decidem. Dacă avem două segmente de partiție, atunci nodurile vor fi încă una: . Și formula lui Simpson ia o formă foarte compactă: 
Să calculăm pasul de partiție: 
Să completăm tabelul de calcul:
Încă o dată comentez cum este completat tabelul:
În linia de sus scriem „contorul” indicilor
În a doua linie, scriem mai întâi limita inferioară a integrării, apoi adăugăm succesiv pasul.
În a treia linie introducem valorile integrandului. De exemplu, dacă , atunci . Câte zecimale să lăsați?Într-adevăr, condiția din nou nu spune nimic despre asta. Principiul este același ca și în metoda trapezoidală, ne uităm la precizia necesară: 0,001. Și adăugați încă 2-3 cifre. Adică, trebuie să rotunjiți până la 5-6 zecimale.
Ca urmare:
Primul rezultat a fost obținut. Acum dubla număr de segmente până la patru: . Formula lui Simpson pentru această partiție ia următoarea formă:
Să calculăm pasul de partiție: 
Să completăm tabelul de calcul: 
Prin urmare:
Estimăm eroarea:
Eroarea este mai mare decât precizia necesară: 
, deci trebuie să dublezi din nou numărul de segmente: .
Formula lui Simpson crește cu un pas rapid:
Să calculăm pasul: 
Să completăm din nou foaia de calcul:
Prin urmare: 
Rețineți că aici este de dorit să descriem calculele mai detaliat, deoarece formula lui Simpson este destul de greoaie și dacă dați imediat:
, atunci această băutură va arăta ca un hack. Și cu o înregistrare mai detaliată, profesorul va avea impresia favorabilă că ai șters cu conștiință cheile microcalculatorului pentru o oră bună. Calcule detaliate pentru cazurile „grele” sunt prezente în calculatorul meu.
Estimăm eroarea:
Eroarea este mai mică decât precizia necesară: 
. Rămâne să luați cea mai precisă aproximare, să o rotunjiți la trei zecimale și să scrieți:
Răspuns: 
precisă la 0,001
Exemplul 5
Calculați o integrală aproximativă folosind formula lui Simpson la cel mai apropiat 0,0001. Împărțirea începe cu două segmente 
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Un exemplu aproximativ de proiectare finală a unei soluții „scurte” și un răspuns la sfârșitul lecției.
În partea finală a lecției, vom lua în considerare câteva exemple mai comune.
Exemplul 6
Calculați valoarea aproximativă a unei integrale definite 
folosind formula Simpson, împărțind segmentul de integrare în 10 părți. Precizia calculului 0,001.
Această integrală este luată, totuși, nu este atât de ușor pentru un începător să o spargă, metoda de soluție corespunzătoare este luată în considerare în exemplul 5 al lecției Integrale complexe. În problemele de calcul aproximativ, integrala nu trebuie neapărat să fie eliminată! Elevii curioși îl pot calcula exact și pot estima eroarea relativă la valoarea aproximativă.
Soluţie: Acordați atenție formulării sarcinii: „Acuratețea calculelor este de 0,001”. Nuanța semantică a acestei formulări sugerează că rezultatele trebuie doar rotunjite la a treia zecimală și să nu obțină o asemenea acuratețe. Astfel, atunci când vi se cere să rezolvați o problemă pe metoda trapezului, metoda Simpson, întotdeauna acordați o atenție deosebită termenilor! După cum știți, este nevoie de grabă atunci când vânați purici.
Folosim formula Simpson:
Cu zece segmente de diviziune, pasul este 
Să completăm tabelul de calcul: 
Este mai rațional să faci masa cu două etaje, astfel încât să nu fii nevoit să „strângi” și totul să se potrivească lizibil pe o foaie de caiet.
Calcule, nu fi leneș, pictează mai detaliat: 
Răspuns: 
Și încă o dată subliniez că aici nu se pune problema de acuratețe. De fapt, răspunsul poate să nu fie , dar, relativ vorbind, . În acest sens, în răspuns, nu este necesar să se atribuie automat terminația „datorie”: „cu o precizie de 0,001”
Exemplul 7
Calculați valoarea aproximativă a integralei definite folosind formula lui Simpson, împărțind segmentul de integrare în 10 părți. Toate calculele trebuie efectuate până la a treia zecimală.
O versiune grosieră a finisajelor și un răspuns la sfârșitul tutorialului care a ajuns la final.
Alte metode sunt de asemenea utilizate pentru calculul aproximativ al unei integrale definite. În special, teoria serie de puteri cu o sarcină standard Calculul aproximativ al unei integrale definite prin extinderea integrandu-lui într-o serie. Dar acesta este materialul celui de-al doilea curs.
Și acum este timpul să dezvăluim teribilul secret al calculului integral. Am creat deja mai mult de o duzină de lecții despre integrale, iar aceasta, ca să spunem așa, este o teorie și un clasic al subiectului. În practică, în special, în calculele de inginerie, pentru a aduce obiectele mai aproape lumea reala aproape imposibil cu funcțiile matematice standard. Imposibil perfect exact calculați, suprafața, volumul, densitatea, de exemplu, pavaj de asfalt. Eroare, să fie de la a zecea, să fie de la a suta zecimală - dar ea va mai fi. De aceea, sute de cărămizi grele au fost scrise folosind metode de calcul aproximative și a fost creat un software serios pentru calcule aproximative. Teoria clasică a calculului integral este de fapt folosită mult mai rar. Dar, apropo, fără el - de asemenea, nicăieri!
Această lecție nu este un record în ceea ce privește volumul, dar mi-a luat un timp neobișnuit de mult să o creez. Am corectat materialul și am repetat structura articolului de mai multe ori, pe măsură ce s-au tras în mod constant noi nuanțe și subtilități. Sper că munca nu a fost în zadar și s-a dovedit destul de logic și accesibil.
Toate cele bune!
Solutii si raspunsuri:
Exemplul 3:Soluţie:
Împărțim segmentul de integrare în 4 părți:
Apoi formula trapezoidală ia următoarea formă:
Să calculăm pasul: 
Să completăm tabelul de calcul:
Pentru a găsi o integrală definită folosind metoda trapezului, aria unui trapez curbiliniu este, de asemenea, împărțită în n trapeze dreptunghiulare cu înălțimi h și baze y 1, y 2, y 3,..y n, unde n este numărul trapez dreptunghiular. Integrala va fi numeric egală cu suma ariilor trapezelor dreptunghiulare (Figura 4).
Orez. 4
n - numărul de împărțiri
Eroarea formulei trapezului este estimată prin număr
Eroarea formulei trapezului scade mai repede cu creșterea decât eroarea formulei dreptunghiului. Prin urmare, formula trapezoidală vă permite să obțineți mai multă precizie decât metoda dreptunghiului.
Formula Simpson
Dacă pentru fiecare pereche de segmente construim un polinom de gradul doi, apoi îl integrăm pe segment și folosim proprietatea de aditivitate a integralei, atunci obținem formula Simpson.
În metoda lui Simpson pentru calcularea integralei definite, întregul interval de integrare este împărțit în subintervale lungime egală h=(b-a)/n. Numărul de segmente de partiție este un număr par. Apoi, pe fiecare pereche de subintervale adiacente, funcția subintegrală f(x) este înlocuită cu un polinom Lagrange de gradul doi (Figura 5).
Orez. 5 Funcția y=f(x) pe segment este înlocuită cu un polinom de ordinul 2
Luați în considerare integrandul pe interval. Să înlocuim acest integrand cu un polinom de interpolare Lagrange de gradul doi care coincide cu y= în punctele:
Să integrăm pe interval:
Introducem o schimbare de variabile:
Având în vedere formulele de înlocuire,
După integrare, obținem formula Simpson:
Valoarea obținută pentru integrală coincide cu aria unui trapez curbiliniu delimitat de o axă, linii drepte și o parabolă care trece prin puncte. Pe un segment, formula lui Simpson va arăta astfel:
În formula parabolă, valoarea funcției f (x) la punctele impare de împărțire x 1, x 3, ..., x 2n-1 are un coeficient de 4, la punctele pare x 2, x 4, ... , x 2n-2 - coeficientul 2 și în două puncte de limită x 0 =a, x n =b - coeficientul 1.
Semnificația geometrică a formulei lui Simpson: aria unui trapez curbiliniu sub graficul funcției f(x) pe un segment este aproximativ înlocuită cu suma ariilor figurilor aflate sub parabole.
Dacă funcția f(x) are o derivată continuă de ordinul al patrulea, atunci valoarea absolută a erorii formulei Simpson nu este mai mare de
unde M - cea mai mare valoare pe segment. Deoarece n 4 crește mai repede decât n 2 , eroarea formulei lui Simpson scade odată cu creșterea n mult mai rapid decât eroarea formulei trapezoidale.
Calculăm integrala
Această integrală este ușor de calculat:
Să luăm n egal cu 10, h=0,1, să calculăm valorile integrandului la punctele de partiție, precum și punctele semiîntregi.
Conform formulei dreptunghiurilor mijlocii, obținem I drept = 0,785606 (eroarea este 0,027%), conform formulei trapezoid I capcană = 0,784981 (eroarea este de aproximativ 0,054. Când folosiți metoda dreptunghiurilor drepte și stângi, eroarea este mai mare de 3%.
Pentru a compara acuratețea formulelor aproximative, calculăm încă o dată integrala
dar acum prin formula Simpson pentru n=4. Împărțim segmentul în patru părți egale cu puncte x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 și calculăm aproximativ valorile al funcției f (x) \u003d 1 / ( 1+x) în aceste puncte: y 0 =1,0000, y 1 =0,8000, y 2 =0,6667, y 3 =0,5714, y 4 =0,5000.
Prin formula lui Simpson, obținem
Să estimăm eroarea rezultatului obținut. Pentru integrandul f(x)=1/(1+x) avem: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , de unde rezultă că pe segmentul . Prin urmare, putem lua M=24, iar eroarea rezultatului nu depășește 24/(2880 4 4)=0,0004. Comparând valoarea aproximativă cu cea exactă, ajungem la concluzia că eroarea absolută a rezultatului obținut prin formula Simpson este mai mică de 0,00011. Aceasta este în conformitate cu estimarea erorii prezentată mai sus și, în plus, indică faptul că formula Simpson este mult mai precisă decât formula trapezoidală. Prin urmare, formula Simpson pentru calculul aproximativ al integralelor definite este utilizată mai des decât formula trapezoidală.
În această metodă, se propune aproximarea integralandului pe un interval parțial printr-o parabolă care trece prin puncte.
(x j, f(x j)), Unde j = i-1; i-0.5; i, adică aproximăm integrandul prin polinomul de interpolare Lagrange de gradul doi:
(10.14)
După integrare, obținem:
(10.15)
Asta e formula lui Simpson
sau formula parabolelor. Pe segment
[a, b] Formula lui Simpson ia forma
(10.16)
O reprezentare grafică a metodei lui Simpson este prezentată în fig. 2.4.
Orez. 10.4. Metoda Simpson
Să scăpăm de indicii fracționali din expresia (2.16) redenumind variabilele:
(10.17)
Apoi formula lui Simpson ia forma
(10.18)
Eroarea formulei (2.18) este estimată prin următoarea expresie:
, (10.19)
Unde h n = b-a, 
. Astfel, eroarea formulei lui Simpson este proporțională cu
O(h 4).
Cometariu. Trebuie remarcat faptul că în formula Simpson, segmentul de integrare este în mod necesar împărțit în chiar numărul de intervale.
10.5. Calculul integralelor definite prin metode
Monte Carlo
Metodele discutate anterior sunt numite determinat , adică lipsit de elementul întâmplării.
Metode Monte Carlo(MMK) sunt metode numerice pentru rezolvarea problemelor matematice folosind simulare variabile aleatoare. MCM permit rezolvarea cu succes a problemelor matematice cauzate de procese probabilistice. Mai mult, atunci când rezolvăm probleme care nu au legătură cu nicio probabilitate, se poate veni în mod artificial un model probabilistic (și chiar mai mult de unul) care să permită rezolvarea acestor probleme. Luați în considerare calculul integralei definite
(10.20)
Când se calculează această integrală folosind formula dreptunghiurilor, intervalul [ a, b] împărțit în N intervale identice, în mijlocul cărora s-au calculat valorile integrandului. Prin calcularea valorilor funcției la noduri aleatorii, puteți obține un rezultat mai precis:
(10.21)
(10.22)
Aici γ i este un număr aleatoriu distribuit uniform pe interval
. Eroarea în calcularea integralei MMK ~ , care este mult mai mare decât cea a metodelor deterministe studiate anterior.
Pe fig. 2.5 prezintă o implementare grafică a metodei Monte Carlo pentru calcularea unei integrale unice cu noduri aleatoare (2.21) și (2.22).
(2.23)
Orez. 10.6. Integrare Monte Carlo (al doilea caz)
După cum se vede în fig. 2.6, curba integrală se află în pătratul unității, iar dacă putem obține perechi de numere aleatoare distribuite uniform pe interval, atunci valorile obținute (γ 1, γ 2) pot fi interpretate ca coordonatele unui punct din pătrat unitar. Apoi, dacă există suficiente din aceste perechi de numere, putem presupune aproximativ că
. Aici S este numărul de perechi de puncte care se încadrează sub curbă și N este numărul total de perechi de numere.
Exemplul 2.1. Calculați următoarea integrală:
Sarcina a fost rezolvată diverse metode. Rezultatele obţinute sunt rezumate în tabel. 2.1.
Tabelul 2.1
Cometariu. Alegerea integralei de tabel ne-a permis să comparăm eroarea fiecărei metode și să aflăm influența numărului de partiții asupra preciziei calculelor.
11 SOLUȚIA APROXIMATĂ A NELINEARĂ
SI ECUATII TRANSCENDENTE
Calculul integralelor folosind formulele dreptunghiurilor, trapezelor și formulei lui Simpson. Estimarea erorilor.
Orientări privind subiectul 4.1:
Calculul integralelor prin formule de dreptunghiuri. Estimarea erorii:
Rezolvarea multor probleme tehnice se reduce la calculul anumitor integrale, a căror exprimare exactă este dificilă, necesită calcule lungi și nu este întotdeauna justificată în practică. Aici, valoarea lor aproximativă este destul de suficientă. De exemplu, trebuie să calculați aria delimitată de o dreaptă a cărei ecuație este necunoscută, axa Xși două ordonate. În acest caz, puteți înlocui această linie cu una mai simplă, pentru care ecuația este cunoscută. Aria trapezului curbiliniu astfel obținut este luată ca valoare aproximativă a integralei dorite. Geometric, ideea din spatele metodei de calcul a integralei definite folosind formula dreptunghiurilor este că aria unui trapez curbiliniu A 1 ABB 1 este înlocuit cu aria unui dreptunghi cu suprafață egală A 1 A 2 B 1 B 2, care, conform teoremei valorii medii, este egală cu
Unde f(c) --- inaltime dreptunghi A 1 A 2 B 1 B 2, care este valoarea integrandului la un punct intermediar c(a< c
Este practic dificil să găsești o asemenea valoare Cu, la care (b-a)f(c) ar fi exact egal cu . Pentru a obține o valoare mai precisă, aria unui trapez curbiliniu este împărțită în n dreptunghiuri ale căror înălțimi sunt egale y 0 , y 1 , y 2 , …, y n -1 si fundatii.
Dacă rezumăm ariile dreptunghiurilor care acoperă aria unui trapez curbiliniu cu un dezavantaj, funcția este nedescrescătoare, atunci în loc de formulă, se folosește formula
Dacă este în exces, atunci
Valorile se găsesc din egalități. Aceste formule sunt numite formule dreptunghiulareși dați un rezultat aproximativ. Odată cu creșterea n rezultatul devine mai precis.
Exemplul 1 . Calculați din formula dreptunghiurilor
Împărțim intervalul de integrare în 5 părți. Apoi . Folosind un calculator sau un tabel, găsim valorile integrandului (cu o precizie de 4 zecimale):
Conform formulei dreptunghiurilor (cu un dezavantaj)
Pe de altă parte, conform formulei Newton-Leibniz
Să găsim eroarea relativă de calcul folosind formula dreptunghiurilor:
Calculul integralelor prin formule trapezoidale. Estimarea erorii:
Semnificația geometrică a următoarei metode pentru calculul aproximativ al integralelor este aceea de a găsi aria unui trapez „rectilin” aproximativ egal.
Să fie necesar să se calculeze suprafața A 1 AmBB 1 trapez curbiliniu, exprimat prin formula .
Să înlocuim arcul AmB coardă ABși în loc de zona unui trapez curbiliniu A 1 AmBB 1 calculați aria trapezului A 1 ABB 1: 
, Unde AA 1Și BB 1 - baza trapezului și A 1 B 1 este înălțimea sa.
Denota f(a)=A 1 A, f(b)=B 1 B.înălțimea trapezului A 1 B 1 \u003d b-a, pătrat 
. Prin urmare, 
sau
Acest așa-zis formulă trapezoidală mică.
Se pune problema calculului numeric al unei integrale determinate, care se rezolvă cu ajutorul unor formule numite cuadratura.
Amintiți-vă cele mai simple formule de integrare numerică.
Să calculăm valoarea numerică aproximativă a lui . Împărțim intervalul de integrare [а, b] în n părți egale prin împărțirea punctelor 
, numite noduri ale formulei de cuadratura. Să fie cunoscute valorile din noduri 
:
Valoare 
se numește interval sau pas de integrare. Rețineți că în practica calculelor -, numărul i este ales mic, de obicei nu este mai mare de 10-20. Pe un interval parțial 
integrandul este înlocuit cu polinomul de interpolare
care reprezintă aproximativ funcţia f(x) pe intervalul luat în considerare.
a) Păstrați un singur prim termen în polinomul de interpolare, atunci
Formula pătratică rezultată
numită formula dreptunghiurilor.
b) Păstrați primii doi termeni în polinomul de interpolare, atunci
(2)
Formula (2) se numește formula trapezoidală.
c) Interval de integrare 
împărțim într-un număr par de 2n părți egale, în timp ce pasul de integrare h va fi egal cu 
. Pe interval 
de lungime 2h, înlocuim integrandul cu un polinom de interpolare de gradul doi, adică păstrăm primii trei termeni în polinom:
Formula de cuadratura rezultată se numește formula lui Simpson
(3)
Formulele (1), (2) și (3) au o semnificație geometrică simplă. În formula dreptunghiurilor, integralul f(x) pe interval 
este înlocuit cu un segment de linie dreaptă y \u003d uk, paralel cu axa x, iar în formula trapezoidală - de un segment de linie dreaptă 
și se calculează aria unui dreptunghi și respectiv a unui trapez rectiliniu, care sunt apoi însumate. În formula lui Simpson, funcția f(x) pe interval 
lungimea 2h este înlocuită cu un trinom pătrat - o parabolă 
se calculează aria unui trapez parabolic curbiliniu, apoi se însumează ariile.
CONCLUZIE
În concluzie, aș dori să notez o serie de caracteristici ale aplicării metodelor discutate mai sus. Fiecare metodă pentru rezolvarea aproximativă a unei integrale definite are avantajele și dezavantajele sale, în funcție de sarcina în cauză, trebuie utilizate metode specifice.
Metoda substituției variabile este una dintre principalele metode de calcul a integralelor nedefinite. Chiar și atunci când integrăm printr-o altă metodă, de multe ori trebuie să apelăm la o schimbare de variabile în calculele intermediare. Succesul integrării depinde în mare măsură de dacă putem găsi o modificare atât de bună a variabilelor care să simplifice integrala dată.
În esență, studiul metodelor de integrare se reduce la a afla ce fel de schimbare a variabilei ar trebui făcută pentru o formă sau alta a integrandului.
Prin urmare, integrarea fiecărei fracții raționale se reduce la integrarea unui polinom și a câtorva fracții simple.
Integrala oricărei funcții raționale poate fi exprimată în termeni de funcții elementare în forma finală și anume:
prin logaritmi - în cazurile celor mai simple fracții de tip 1;
prin funcţii raţionale – în cazul fracţiilor simple de tip 2
prin logaritmi și arctangente – în cazul fracțiilor simple de tip 3
prin funcții raționale și arctangente – în cazul celor mai simple fracții de tip 4. Substituția trigonometrică universală raționalizează întotdeauna integrandul, dar adesea duce la fracții raționale foarte greoaie, pentru care, în special, este practic imposibil să se găsească rădăcinile numitorului. Prin urmare, dacă este posibil, se folosesc substituții parțiale, care raționalizează și integrandul și conduc la fracții mai puțin complexe.
formula Newton-Leibniz este o abordare generală pentru găsirea integralelor definite.
În ceea ce privește metodele de calcul a integralelor definite, acestea practic nu diferă de toate acele metode și metode.
Același lucru este valabil metode de substituție(schimbarea variabilei), metoda de integrare pe părți, aceleași metode de găsire a antiderivatelor pentru funcții trigonometrice, iraționale și transcendentale. Singura particularitate este că atunci când se aplică aceste tehnici, este necesar să se extindă transformarea nu numai la funcția sub-integrală, ci și la limitele integrării. Când schimbați variabila de integrare, nu uitați să modificați limitele de integrare în consecință.
În mod corespunzător din teoremă, condiția de continuitate a funcției este o condiție suficientă pentru integrabilitatea funcției. Dar asta nu înseamnă că integrala definită există doar pentru funcții continue. Clasa de funcții integrabile este mult mai largă. Deci, de exemplu, există o integrală definită de funcții care au un număr finit de puncte de discontinuitate.
Calculul unei integrale definite a unei funcții continue folosind formula Newton-Leibniz se reduce la găsirea unei antiderivate, care există întotdeauna, dar nu este întotdeauna o funcție elementară sau o funcție pentru care se întocmesc tabele care fac posibilă obținerea valorii a integralei. În numeroase aplicații, funcția integrabilă este dată într-un tabel, iar formula Newton-Leibniz nu este direct aplicabilă.
Dacă doriți cel mai precis rezultat, ideal metoda lui Simpson.
Din cele studiate mai sus, se poate trage următoarea concluzie că integrala este utilizată în științe precum fizica, geometria, matematica și alte științe. Cu ajutorul integralei se calculează munca forței, se găsesc coordonatele centrului de masă, drumul parcurs de punctul material. În geometrie, este folosit pentru a calcula volumul unui corp, a găsi lungimea unui arc de curbă etc.
