Sia definita la funzione nel dominio

Definizione. Espressione

chiamato funzionale vicino.

Esempio.

Per alcuni valori la serie può convergere, per altri valori può divergere.

Esempio.

Trova l'area di convergenza della serie. Questa serie è definita per i valori

Se allora , la serie diverge, poiché il criterio necessario per la convergenza della serie non è soddisfatto; se la serie diverge; if è una progressione geometrica infinitamente decrescente.

Il confronto di questa serie con la serie convergente fornisce la regione di convergenza della serie studiata.

Con i valori della serie funzionale si ottiene una serie numerica

Se per la serie di numeri converge, allora viene chiamato il punto punto di convergenza riga funzionale.

L’insieme dei punti di convergenza di una serie costituisce la regione della sua convergenza. L'area di convergenza è solitamente un intervallo dell'asse.

Se in ogni punto le serie numeriche convergono, allora viene chiamata la serie funzionale convergente in zona.

La somma delle serie funzionali è una funzione della variabile definita nella regione di convergenza della serie

Quali proprietà hanno le funzioni se le proprietà sono conosciute come membri della serie, cioè.

La continuità delle funzioni non è sufficiente per trarre una conclusione sulla continuità.

La convergenza di una serie di funzioni continue in una funzione continua è fornita da una condizione aggiuntiva che esprime una caratteristica importante della convergenza di una serie funzionale.

Definizione. Una serie funzionale si dice convergente nel dominio se esiste un limite di somme parziali di questa serie, cioè .

Definizione. Una serie funzionale si dice uniformemente convergente nella regione se per ogni positivo esiste un numero tale che la disuguaglianza vale per tutti.

Significato geometrico della convergenza uniforme

Se circondiamo il grafico della funzione con una striscia, definita dalla relazione, allora i grafici Tutto funzioni, a partire da un valore sufficientemente grande, interamente giacciono in questa “striscia” che circonda il grafico della funzione limite.

Proprietà di una serie uniformemente convergente .

1. La somma di una serie uniformemente convergente in una regione, composta da funzioni continue, è una funzione continua in questa regione.

2. Tale serie può essere differenziata termine per termine

3. Le serie possono essere integrate termine per termine

Per determinare se una serie funzionale è uniformemente convergente dobbiamo utilizzare il test di convergenza sufficiente di Weierstrass.

Definizione. La serie funzionale si chiama dominato in qualche regione di cambiamento se esiste una serie numerica con termini positivi così convergente che le disuguaglianze valgono per tutta questa regione.

Segno di Weierstrass(convergenza uniforme delle serie funzionali).

Gamma funzionale converge uniformemente nel dominio della convergenza se è dominato in questo dominio.

In altre parole, se le funzioni in qualche area non superano i corrispondenti numeri positivi in valore assoluto e se la serie numerica converge, allora la serie funzionale converge uniformemente in quest'area.

Esempio. Dimostrare la convergenza uniforme delle serie funzionali.

Soluzione. . Sostituiamo il termine comune di questa serie con il termine comune della serie numerica, superando però in valore assoluto ciascun membro della serie. Per fare ciò è necessario determinare in quale punto il termine comune della serie sarà massimo.

La serie numerica risultante converge, il che significa che la serie funzionale converge uniformemente secondo il test di Weierstrass.

Esempio. Trova la somma della serie.

Per trovare la somma di una serie utilizziamo la nota formula per la somma di una progressione geometrica

Differenziando le parti sinistra e destra della formula (1), otteniamo successivamente

Nella somma da calcolare individuiamo i termini proporzionali alla derivata prima e alla derivata seconda:

Calcoliamo le derivate:

Serie di potenze.

Tra le serie funzionali c'è una classe di potenze e serie trigonometriche.

Definizione. Serie funzionali della forma

si chiama potere nei poteri. Le espressioni sono numeri costanti.

Se la serie è una serie di potenze espressa in potenze di .

Dominio di convergenza di una serie di potenze. Il teorema di Abele.

Teorema. Se una serie di potenze converge in un punto, allora converge e, inoltre, in modo assoluto per qualsiasi valore minore in valore assoluto, cioè o nell'intervallo.

Prova.

A causa della convergenza del rad, il suo termine comune deve tendere a zero, quindi tutti i termini di questa serie sono uniformemente limitati: esiste un numero positivo costante , tale che per ogni vale la disuguaglianza ., che per tutti con centro al punto

righe funzionali. Serie di potenze.
Campo di convergenza della serie

Ridere senza motivo è un segno di d'Alembert

È dunque suonata l’ora delle file funzionali. Per padroneggiare con successo l'argomento e, in particolare, questa lezione, è necessario essere esperti nelle solite serie numeriche. Dovresti avere una buona comprensione di cosa sia una serie ed essere in grado di applicare i segni di confronto per studiare la convergenza delle serie. Pertanto, se hai appena iniziato a studiare l'argomento o sei un teiera in matematica superiore, necessario lavorare attraverso tre lezioni in sequenza: File per teiere,Segno di d'Alembert. Segni di Cauchy E Righe alternate. Segno di Leibniz. Sicuramente tutti e tre! Se hai conoscenze e competenze di base nella risoluzione dei problemi con le serie numeriche, sarà abbastanza facile gestire le serie funzionali, poiché non c'è molto materiale nuovo.

In questa lezione considereremo il concetto di serie funzionale (che cos'è in generale), conosceremo le serie di potenze, che si trovano nel 90% dei compiti pratici, e impareremo come risolvere un tipico problema comune di trovare la convergenza raggio, intervallo di convergenza e regione di convergenza di una serie di potenze. Inoltre, consiglio di considerare il materiale espansione delle funzioni in serie di potenze e al principiante verrà fornita un'ambulanza. Dopo un po' di riposo passiamo al livello successivo:

Anche nella sezione delle serie funzionali ce ne sono numerose applicazioni ai calcoli approssimati e le serie di Fourier, a cui, di regola, viene assegnato un capitolo separato nella letteratura educativa, vanno leggermente a parte. Ho solo un articolo, ma è lungo e contiene molti, molti esempi aggiuntivi!

Quindi, i punti di riferimento sono fissati, andiamo:

Il concetto di serie funzionale e di serie di potenze

Se nel limite si ottiene l'infinito, allora anche l'algoritmo risolutivo termina il suo lavoro e diamo la risposta finale al compito: “La serie converge a” (o ad uno dei due”). Vedi il caso n. 3 del paragrafo precedente.

Se nel limite risulta non zero e non infinito, allora abbiamo il caso più comune nella pratica n. 1: la serie converge su un certo intervallo.

In questo caso il limite è . Come trovare l'intervallo di convergenza di una serie? Facciamo una disuguaglianza:

IN QUALSIASI compito di questo tipo sul lato sinistro della disuguaglianza dovrebbe essere risultato del calcolo del limite e sul lato destro della disuguaglianza rigorosamente unità. Non spiegherò perché esattamente questa disuguaglianza e perché ce n'è una a destra. Le lezioni sono pratiche, ed è già molto positivo che alcuni teoremi siano diventati più chiari dai miei racconti che il personale docente non si è impiccato.

La tecnica per lavorare con il modulo e risolvere le doppie disuguaglianze è stata considerata in dettaglio nel primo anno nell'articolo Ambito della funzione, ma per comodità cercherò di commentare tutte le azioni nel modo più dettagliato possibile. Riveliamo la disuguaglianza con il modulo secondo la regola della scuola . In questo caso:

A metà strada dietro.

Nella seconda fase è necessario indagare la convergenza delle serie alle estremità dell'intervallo trovato.

Innanzitutto, prendiamo l'estremità sinistra dell'intervallo e la sostituiamo nella nostra serie di potenze:

È stata ricevuta una serie numerica e dobbiamo esaminarla per verificarne la convergenza (un compito già familiare dalle lezioni precedenti).

1) La serie è alternata di segni.
2) – i termini della serie diminuiscono di modulo. Inoltre, ogni termine successivo della serie è inferiore al precedente in modulo: , quindi la diminuzione è monotona.
Conclusione: la serie converge.

Con l'aiuto di una serie composta da moduli, scopriremo esattamente come:
– converge (serie “di riferimento” della famiglia delle serie armoniche generalizzate).

Pertanto, la serie numerica risultante converge assolutamente.

A - converge.

! Io ricordo che ogni serie positiva convergente è anche assolutamente convergente.

Pertanto, la serie di potenze converge, e in modo assoluto, ad entrambe le estremità dell'intervallo trovato.

Risposta: regione di convergenza delle serie di potenze studiate:

Ha diritto alla vita e un altro disegno della risposta: la serie converge se

A volte, nelle condizioni del problema, è necessario specificare il raggio di convergenza. È ovvio che nell'esempio considerato .

Esempio 2

Trovare la regione di convergenza di una serie di potenze

Soluzione: troviamo l'intervallo di convergenza della serie usando segno d'Alembert (ma non in base all'attributo! - non esiste un attributo simile per le serie funzionali):

La serie converge a

Sinistra dobbiamo andarcene soltanto, quindi moltiplichiamo entrambi i membri della disuguaglianza per 3:

– La serie è alternata di segni.
– – i termini della serie diminuiscono di modulo. Ogni termine successivo della serie è inferiore al precedente in valore assoluto: , quindi la diminuzione è monotona.

Conclusione: la serie converge.

Lo esaminiamo per la natura della convergenza:

Confronta questa serie con la serie divergente.
Usiamo il segno limite di confronto:

Si ottiene un numero finito diverso da zero, il che significa che la serie diverge insieme alla serie.

Quindi la serie converge condizionatamente.

2) Quando – diverge (come dimostrato).

Risposta: L'area di convergenza delle serie di potenze studiate: . Per , la serie converge condizionatamente.

Nell'esempio considerato, il dominio di convergenza della serie di potenze è un semiintervallo e in tutti i punti dell'intervallo la serie di potenze converge assolutamente e a quel punto, come si è scoperto, condizionatamente.

Esempio 3

Trova l'intervallo di convergenza della serie di potenze e studia la sua convergenza agli estremi dell'intervallo trovato

Questo è un esempio fai da te.

Consideriamo un paio di esempi rari, ma che si verificano.

Esempio 4

Trova l'area di convergenza della serie:

Soluzione: utilizzando il test d'Alembert, troviamo l'intervallo di convergenza di questa serie:

(1) Componi il rapporto tra il membro successivo della serie e quello precedente.

(2) Sbarazzarsi della frazione di quattro piani.

(3) I cubi e, secondo la regola delle operazioni con poteri, si riassumono in un unico grado. Al numeratore scomponiamo abilmente il grado, cioè espandere in modo tale che al passaggio successivo riduciamo la frazione di . I fattoriali sono descritti in dettaglio.

(4) Sotto il cubo, dividiamo il numeratore per il denominatore termine per termine, indicando che . In una frazione, riduciamo tutto ciò che può essere ridotto. Il moltiplicatore viene tolto dal segno limite, può essere tolto, poiché non contiene nulla che dipenda dalla variabile "dinamica" "en". Tieni presente che il segno del modulo non viene disegnato, poiché assume valori non negativi per qualsiasi "x".

Al limite si ottiene zero, il che significa che possiamo dare la risposta finale:

Risposta: La serie converge a

E all'inizio sembrava che questa disputa con un "ripieno terribile" sarebbe stata difficile da risolvere. Lo zero o l'infinito nel limite è quasi un regalo, perché la soluzione si riduce notevolmente!

Esempio 5

Trova l'area di convergenza di una serie

Questo è un esempio fai da te. Fai attenzione ;-) La soluzione completa è la risposta alla fine della lezione.

Consideriamo alcuni altri esempi che contengono un elemento di novità in termini di utilizzo delle tecniche.

Esempio 6

Trova l'intervallo di convergenza della serie e studia la sua convergenza agli estremi dell'intervallo trovato

Soluzione: Il termine comune della serie di potenze include il fattore , che garantisce l'alternanza. L'algoritmo della soluzione è completamente preservato, ma durante la compilazione del limite ignoriamo (non scriviamo) questo fattore, poiché il modulo distrugge tutti gli "svantaggi".

Troviamo l'intervallo di convergenza della serie utilizzando il test d'Alembert:

Componiamo la disuguaglianza standard:
La serie converge a
Sinistra dobbiamo andarcene solo modulo, quindi moltiplichiamo entrambi i membri della disuguaglianza per 5:

Ora espandiamo il modulo in modo familiare:

Nel mezzo della doppia disuguaglianza, devi lasciare solo la "x", a questo scopo sottrai 2 da ciascuna parte della disuguaglianza:

è l'intervallo di convergenza delle serie di potenze studiate.

Investighiamo la convergenza della serie alle estremità dell'intervallo trovato:

1) Sostituisci il valore nella nostra serie di potenze :

Fare molta attenzione, il moltiplicatore non prevede alternanza, per nessun "en" naturale. Prendiamo il meno risultante fuori dalla serie e ce ne dimentichiamo, poiché (come qualsiasi moltiplicatore costante) non influenza in alcun modo la convergenza o la divergenza della serie numerica.

Avviso di nuovo che sostituendo il valore nel termine comune della serie di potenze, abbiamo ridotto il fattore . Se ciò non accadesse, ciò significherebbe che abbiamo calcolato in modo errato il limite o espanso in modo errato il modulo.

Occorre quindi studiare la convergenza delle serie numeriche. Qui è più semplice utilizzare il criterio di confronto limite e confrontare questa serie con una serie armonica divergente. Ma, a dire il vero, ero terribilmente stanco dell’ultimo segno di paragone, quindi aggiungerò un po’ di varietà alla soluzione.

Quindi la serie converge a

Moltiplica entrambi i lati della disuguaglianza per 9:

Estraiamo la radice da entrambe le parti, ricordando la battuta della vecchia scuola:

Espansione del modulo:

e aggiungine uno a tutte le parti:

è l'intervallo di convergenza delle serie di potenze studiate.

Investighiamo la convergenza delle serie di potenze agli estremi dell'intervallo trovato:

1) Se , si ottiene la seguente serie di numeri:

Il moltiplicatore è scomparso senza lasciare traccia, perché per qualsiasi valore naturale di "en" .

Lukhov Yu.P. Estratto delle lezioni di matematica superiore. Lezione n. 42 5

Lezione 42

SOGGETTO: Righe funzionali

Piano.

righe funzionali. Area di convergenza.
Convergenza uniforme. Segno di Weierstrass.
Proprietà delle serie uniformemente convergenti: continuità della somma di una serie, integrazione e differenziazione termine per termine.
Serie di potenze. Il teorema di Abele. Dominio di convergenza di una serie di potenze. raggio di convergenza.
Proprietà fondamentali delle serie di potenze: convergenza uniforme, continuità e differenziabilità infinita della somma. Integrazione a termine e differenziazione delle serie di potenze.

righe funzionali. Zona di convergenza

Definizione 40.1. Una somma infinita di caratteristiche

u 1 (x ) + u 2 (x ) +…+ u n (x ) +… , (40.1)

dove u n (x) = f (x, n), viene chiamato gamma funzionale.

Se imposti un valore numerico specifico X , la serie (40.1) si trasformerà in una serie numerica e in base alla scelta del valore X tale serie può convergere o divergere. Solo le serie convergenti hanno valore pratico, quindi è importante determinare tali valori X , per cui la serie funzionale diventa una serie numerica convergente.

Definizione 40.2. Molti valori X , sostituendo che nella serie funzionale (40.1) si ottiene una serie numerica convergente, si chiamaregione di convergenzariga funzionale.

Definizione 40.3. Funzione s(x), definito nell'intervallo di convergenza della serie, che per ciascun valore X dalla regione di convergenza è pari alla somma delle corrispondenti serie numeriche ottenute dalla (40.1) per un dato valore viene chiamato x la somma delle serie funzionali.

Esempio. Troviamo la regione di convergenza e la somma delle serie funzionali

1 + x + x ² +…+ x n +…

Quando | X | ≥ 1, quindi le serie numeriche corrispondenti divergono. Se

| X | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

Pertanto, l'intervallo di convergenza della serie è l'intervallo (-1, 1) e la sua somma ha la forma indicata.

Commento . Esattamente come per le serie numeriche, possiamo introdurre il concetto di somma parziale di una serie funzionale:

s n \u003d 1 + x + x ² + ... + x n

e il resto della serie: r n = s s n .

Convergenza uniforme di una serie funzionale

Definiamo innanzitutto il concetto di convergenza uniforme di una successione numerica.

Definizione 40.4. Sequenza di funzioni si chiama f n (x ). convergente uniformemente alla funzione f sull'insieme X se e

Osservazione 1. Indicheremo la solita convergenza di una sequenza funzionale e convergenza uniforme - .

Osservazione 2 . Notiamo ancora una volta la differenza fondamentale tra convergenza uniforme e convergenza ordinaria: nel caso della convergenza ordinaria, per un prescelto valore di ε, per ciascuna esiste il tuo numero n per cui n > n vale la seguente disuguaglianza:

In questo caso, può risultare che per un dato ε il numero generale N, garantendo il soddisfacimento di questa disuguaglianza per chiunque X , impossibile. Nel caso di convergenza uniforme, tale numero Esiste N, comune a tutti gli x.

Definiamo ora la nozione di convergenza uniforme di una serie funzionale. Poiché ciascuna serie corrisponde a una sequenza delle sue somme parziali, la convergenza uniforme di una serie è definita in termini di convergenza uniforme di questa sequenza:

Definizione 40.5. La serie funzionale si chiamauniformemente convergente sul set X, se su X la successione delle sue somme parziali converge uniformemente.

Segno di Weierstrass

Teorema 40.1. Se la serie numerica converge per tutti e per tutti n = 1, 2,…, allora la serie converge assolutamente ed uniformemente sull’insieme X.

Prova.

Per ogni ε > 0 c c'è un tale numero N, ecco perché

Per i resti r n serie, la stima

Pertanto la serie converge uniformemente.

Commento. Di solito viene chiamata la procedura per selezionare una serie di numeri che soddisfa le condizioni del Teorema 40.1 maggiorazione e questa serie stessa maggiorente per questa gamma funzionale.

Esempio. Per le serie funzionali, la maggiorante di qualsiasi valore X è una serie positiva convergente. Pertanto la serie originale converge uniformemente su (-∞, +∞).

Proprietà delle serie uniformemente convergenti

Teorema 40.2. Se funzioni u n (x ) sono continue in e la serie converge uniformemente in X, allora la sua somma s (x) è anche continuo nel punto x0.

Prova.

Scegliamo ε > 0. Allora, quindi, esiste un numero n 0 quello

- la somma di un numero finito di funzioni continue, quindicontinuo nel punto x0. Esiste quindi δ > 0 tale che Quindi otteniamo:

Cioè, la funzione s (x) è continua per x \u003d x 0.

Teorema 40.3. Sia le funzioni u n (x ) sono continui sul segmento [ un, b ] e la serie converge uniformemente su questo segmento. Allora la serie converge uniformemente anche su [ a, b] e (40.2)

(cioè, nelle condizioni del teorema, la serie può essere integrata termine per termine).

Prova.

Per il Teorema 40.2, la funzione s(x) = continua su [a, b ] e, quindi, è integrabile su di esso, cioè esiste l'integrale a sinistra dell'uguaglianza (40.2). Mostriamo che la serie converge uniformemente alla funzione

Denota

Allora per ogni ε esiste un numero N , che per n > N

Quindi la serie converge uniformemente e la sua somma è uguale a σ ( x) = .

Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 40.4. Sia le funzioni u n (x ) sono continuamente differenziabili sull'intervallo [ un, b ] e una serie composta dalle loro derivate:

(40.3)

converge uniformemente su [ un, b ]. Allora, se la serie converge almeno in un punto, allora converge uniformemente su tutti [ a , b ], la sua somma s (x )= è una funzione continuamente differenziabile e

(le serie possono essere differenziate termine per termine).

Prova.

Definiamo la funzione σ( X ) Come. Per il Teorema 40.3, la serie (40.3) può essere integrata termine per termine:

La serie a destra di questa uguaglianza converge uniformemente su [ un, b ] dal Teorema 40.3. Ma la serie numerica converge per la condizione del teorema, quindi la serie converge uniformemente. Quindi la Funzione σ( T ) è la somma di una serie uniformemente convergente di funzioni continue su [ un, b ] ed è quindi esso stesso continuo. Allora la funzione è continuamente differenziabile su [ un, b ], e, come richiesto per dimostrare.

Definizione 41.1. potere successivo è detta serie funzionale della forma

(41.1)

Commento. Sostituendo x x 0 = t la serie (41.1) può essere ridotta alla forma, per cui è sufficiente dimostrare tutte le proprietà delle serie di potenze per serie della forma

(41.2)

Teorema 41.1 (1° teorema di Abele).Se la serie di potenze (41.2) converge a x \u003d x 0, quindi per qualsiasi x: | x|< | x 0 | la serie (41.2) converge assolutamente. Se la serie (41.2) diverge in x \u003d x 0, allora diverge per qualsiasi x: | x| > | x0|.

Prova.

Se la serie converge allora esiste una costante c > 0:

Pertanto, mentre la serie per | x|<| x 0 | converge perché è la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente. Quindi, la serie per | x|<| x 0 | converge assolutamente.

Se è noto che la serie (41.2) diverge in x = x 0 , allora non può convergere per | x| > | x0| , poiché da quanto dimostrato prima seguirebbe che converge anche nel punto x0.

Quindi, se trovi il più grande dei numeri x0 > 0 tale che (41.2) converge per x \u003d x 0, allora la regione di convergenza di questa serie, come segue dal teorema di Abel, sarà l'intervallo (- x0, x0 ), possibilmente includendo uno o entrambi i confini.

Definizione 41.2. Viene chiamato il numero R ≥ 0 raggio di convergenzaserie di potenze (41.2) se questa serie converge ma diverge. Intervallo (- R, R) viene chiamato intervallo di convergenza serie (41.2).

Esempi.

Per studiare la convergenza assoluta delle serie utilizziamo il test d'Alembert: . Pertanto la serie converge solo quando X = 0 e il raggio della sua convergenza è 0: R = 0.
Utilizzando lo stesso test d'Alembert, si può dimostrare che la serie converge per qualsiasi x, cioè
Per una serie basata sul test d'Alembert, otteniamo:

Pertanto, per 1< X < 1 ряд сходится, при

X< -1 и x > 1 diverge. A X = 1 otteniamo una serie armonica, che, come è noto, diverge, e quando X = -1 la serie converge condizionalmente secondo il criterio di Leibniz. Pertanto, il raggio di convergenza della serie considerata R = 1 e l'intervallo di convergenza è [-1, 1).

Formule per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze.

formula d'Alembert.

Consideriamo una serie di potenze e applichiamo ad essa il test d'Alembert: per la convergenza della serie è necessario che. Se esiste, allora l'area di convergenza è determinata dalla disuguaglianza, cioè

- (41.3)

formula di d'Alembertper calcolare il raggio di convergenza.

Formula di Cauchy-Hadamard.

Usando il test radicale di Cauchy e ragionando in modo simile, otteniamo che è possibile impostare la regione di convergenza di una serie di potenze come un insieme di soluzioni alla disuguaglianza, a condizione che questo limite esista, e, di conseguenza, trovare un'altra formula per il raggio di convergenza:

(41.4)

Formula di Cauchy-Hadamard.

Proprietà delle serie di potenze.

Teorema 41.2 (2° teorema di Abele). Se R il raggio di convergenza della serie (41.2) e questa serie converge a x = R , allora converge uniformemente sull'intervallo (- R, R).

Prova.

La serie con segno positivo converge per il Teorema 41.1. Pertanto la serie (41.2) converge uniformemente nell'intervallo [-ρ, ρ] per il Teorema 40.1. Dalla scelta di ρ segue che l'intervallo di convergenza uniforme (- R, R ), che doveva essere dimostrato.

Corollario 1 . Su ogni segmento che si trova interamente nell'intervallo di convergenza, la somma della serie (41.2) è una funzione continua.

Prova.

I termini della serie (41.2) sono funzioni continue, e la serie converge uniformemente sull'intervallo considerato. Allora la continuità della sua somma segue dal Teorema 40.2.

Conseguenza 2. Se i limiti di integrazione α, β giacciono nell'intervallo di convergenza della serie di potenze, allora l'integrale della somma delle serie è uguale alla somma degli integrali dei termini della serie:

(41.5)

La dimostrazione di questa affermazione segue dal Teorema 40.3.

Teorema 41.3. Se la serie (41.2) ha un intervallo di convergenza (- R , R ), quindi la serie

φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41.6)

ottenuto mediante differenziazione termine per termine della serie (41.2), ha lo stesso intervallo di convergenza (- R, R). In cui

φ΄ (х) = s΄ (x) per | x|< R , (41.7)

cioè, all'interno dell'intervallo di convergenza, la derivata della somma di una serie di potenze è uguale alla somma della serie ottenuta dalla sua differenziazione termine per termine.

Prova.

Scegliamo ρ: 0< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . Allora la serie converge, quindi, cioè se| x| ≤ ρ, allora

Dove Pertanto, i termini della serie (41.6) sono inferiori in valore assoluto rispetto ai termini della serie con segno positivo, che converge secondo il test d'Alembert:

cioè è la maggiorante della serie (41.6) a Pertanto la serie (41.6) converge uniformemente su [-ρ, ρ]. Pertanto, per il Teorema 40.4, l’uguaglianza (41.7) è vera. Dalla scelta di ρ segue che la serie (41.6) converge in ogni punto interno dell'intervallo (- R, R).

Dimostriamo che la serie (41.6) diverge al di fuori di questo intervallo. In effetti, se convergesse a x1 > R , quindi, integrandolo termine a termine sull'intervallo (0, x2), R< x 2 < x 1 , otterremmo che la serie (41.2) converge nel punto x2 , il che contraddice la condizione del teorema. Quindi il teorema è completamente dimostrato.

Commento . La serie (41.6), a sua volta, può essere differenziata termine per termine e questa operazione può essere eseguita quante volte si desidera.

Conclusione: se la serie di potenze converge sull'intervallo (- R, R ), allora la sua somma è una funzione che ha derivate di qualsiasi ordine all'interno dell'intervallo di convergenza, ciascuna delle quali è la somma di una serie ottenuta dall'originale utilizzando la differenziazione termine per termine il corrispondente numero di volte; mentre l'intervallo di convergenza per una serie di derivate di qualsiasi ordine è (- R, R).

Dipartimento di Informatica e Matematica Superiore, KSPU

Argomento 2. Serie funzionali. Serie di potenze

2.1. Righe funzionali

Finora abbiamo considerato le serie i cui membri erano numeri. Passiamo ora allo studio delle serie i cui membri sono funzioni.

Gamma funzionale è chiamata riga

i cui membri sono funzioni dello stesso argomento definite sullo stesso insieme E.

Per esempio,

1.
;

2.
;

Se diamo un argomento X qualche valore numerico
,
, quindi otteniamo una serie di numeri

che può convergere (convergere assolutamente) o divergere.

Se a
la serie numerica risultante converge, quindi il punto
chiamatopunto di convergenza riga funzionale. Si chiama l’insieme di tutti i punti di convergenzaregione di convergenza riga funzionale. Indichiamo l'area di convergenza X, ovviamente,
.

Se per le serie numeriche positive si pone la domanda: “La serie converge o diverge?”, per le serie con segno variabile la domanda è: “Converge come - condizionatamente o assolutamente - o diverge?”, Allora per la serie funzionale serie la domanda principale è: “Converge (converge assolutamente) a cosa X?».

Gamma funzionale
stabilisce una legge secondo la quale ciascun valore dell'argomento
,
, viene assegnato un numero pari alla somma delle serie numeriche
. Sul set, dunque X la funzione è data
, che è chiamato la somma delle serie funzionali.

Esempio 16

Trova l'area di convergenza di una serie funzionale

Soluzione.

Permettere Xè un numero fisso, allora questa serie può essere considerata come una serie numerica con segno positivo per
e alternato a
.

Facciamo una serie di valori assoluti dei membri di questa serie:

cioè per qualsiasi valore X questo limite è minore di uno, il che significa che questa serie converge, e in modo assoluto (poiché abbiamo studiato una serie di valori assoluti dei termini della serie) su tutto l'asse reale.

La regione di convergenza assoluta è quindi l’insieme
.

Esempio 17.

Trova l'area di convergenza di una serie funzionale
.

Soluzione.

Permettere Xè un numero fisso
, allora questa serie può essere considerata come una serie numerica con segno positivo per
e alternato a
.

Consideriamo una serie di valori assoluti dei membri di questa serie:

e applicargli il test di DAlembert.

Secondo il test DAlembert, la serie converge se il valore limite è inferiore a uno, cioè questa serie convergerà se
.

Risolvendo questa disuguaglianza otteniamo:


.

Pertanto, in , la serie composta dai valori assoluti dei termini di questa serie converge, il che significa che la serie originaria converge assolutamente, e in
questa serie diverge.

A
la serie può convergere o divergere, poiché per questi valori X il valore limite è pari a uno. Pertanto, studiamo inoltre la convergenza delle serie di punti
E
.

Sostituendo in questa riga
, otteniamo una serie di numeri
, di cui è noto che si tratta di una serie armonica divergente, quindi il punto
è il punto di divergenza della serie data.

A
si ottiene una serie di numeri alternati

che è noto convergere condizionatamente (vedi Esempio 15), quindi il punto
è il punto di convergenza condizionale della serie.

Pertanto, la regione di convergenza di questa serie è , e la serie converge assolutamente in .

Gamma funzionale

chiamatodominato in qualche intervallo di x, se esiste una serie positiva convergente

che per tutti gli x della data area la condizione
A
. Riga
chiamatomaggiorente.

In altre parole, una serie è dominata se ciascuno dei suoi termini non è maggiore in valore assoluto del termine corrispondente di una serie convergente di segno positivo.

Ad esempio, una riga

è dominato per nessuno X, perché per tutti X la relazione

A
,

e una riga è noto che è convergente.

TeoremaWeierstrass

Una serie dominata in un dominio converge assolutamente in quel dominio.

Consideriamo, ad esempio, le serie funzionali
. Questa serie è dominata per
, perché a
i termini della serie non superano i corrispondenti membri della serie positiva . Pertanto, secondo il teorema di Weierstrass, la serie funzionale considerata converge assolutamente per
.

2.2. Serie di potenze. Il teorema di Abele. Dominio di convergenza di una serie di potenze

Tra la varietà delle serie funzionali, le più importanti dal punto di vista dell'applicazione pratica sono le serie di potenza e quelle trigonometriche. Diamo un'occhiata più da vicino a queste righe.

potere successivo per gradi
è detta serie funzionale della forma

Dove è un numero fisso,
sono numeri detti coefficienti della serie.

A
otteniamo una serie di potenze in potenze X, che assomiglia

Per semplicità considereremo le serie di potenze in potenze X, poiché da tale serie è facile ricavare una serie in potenze
, sostituendo invece X espressione
.

La semplicità e l'importanza della classe delle serie di potenze è dovuta principalmente al fatto che è la somma parziale di una serie di potenze

è un polinomio - una funzione le cui proprietà sono ben studiate e i cui valori possono essere facilmente calcolati utilizzando solo operazioni aritmetiche.

Poiché le serie di potenze sono un caso speciale di serie funzionali, è necessario trovare anche per loro l'area di convergenza. A differenza della regione di convergenza di una serie funzionale arbitraria, che può essere un insieme di forma arbitraria, la regione di convergenza di una serie di potenze ha una forma ben definita. Questo è ciò che dice il seguente teorema.

TeoremaAbele.

Se la serie di potenze
converge ad un certo valore
, allora converge, e in modo assoluto, per tutti i valori di x che soddisfano la condizione
. Se la serie di potenze diverge per un certo valore
, allora diverge anche per valori che soddisfano la condizione
.

Dal teorema di Abele segue che Tutto Punti di convergenza di una serie di potenze in potenze X situato dall'origine delle coordinate oltre qualsiasi punto di divergenza. È ovvio che i punti di convergenza riempiono un certo divario centrato nell'origine. vale il teorema sulla regione di convergenza di una serie di potenze.

Teorema.

Per qualsiasi serie di potenze
c'è un numeroR (R>0)tale che per tutti gli x che giacciono all'interno dell'intervallo
, la serie converge assolutamente e per tutti gli x esterni all'intervallo
, la serie diverge.

NumeroRchiamatoraggio di convergenza serie di potenze e intervallo
– intervallo di convergenza serie di potenze in potenze di x.

Si noti che il teorema non dice nulla sulla convergenza delle serie agli estremi dell'intervallo di convergenza, cioè in punti
. In questi punti, diverse serie di potenze si comportano diversamente: la serie può convergere (in modo assoluto o condizionato), oppure può divergere. Pertanto, la convergenza della serie in questi punti dovrebbe essere verificata direttamente per definizione.

In casi particolari il raggio di convergenza della serie può essere pari a zero o infinito. Se
, quindi la serie di potenze in potenze X converge in un solo punto
; Se
, allora la serie di potenze converge su tutto l’asse reale.

Ancora una volta, notiamo che la serie di potenze
per gradi
può essere ridotto a una serie di potenze
sostituendo
. Se la riga
converge a
, cioè. Per
, quindi dopo la sostituzione inversa otteniamo

 o
.

Pertanto, l’intervallo di convergenza delle serie di potenze
ha la forma
. punto chiamato centro di convergenza. Per chiarezza, è consuetudine rappresentare l'intervallo di convergenza sull'asse numerico (Figura 1)

Pertanto, la regione di convergenza è costituita dall'intervallo di convergenza, al quale possono essere aggiunti punti
se la serie converge in questi punti. L'intervallo di convergenza può essere trovato applicando direttamente il test DAlembert o il test radicale di Cauchy ad una serie composta dai valori assoluti dei membri di tale serie.

Esempio 18.

Trova l'area di convergenza di una serie
.

Soluzione.

Questa serie è una serie di poteri in poteri X, cioè.
. Considera una serie composta dai valori assoluti dei membri di questa serie e utilizza il test dAlembert.

La serie convergerà se il valore limite è inferiore a 1, cioè

, Dove
.

Pertanto, l'intervallo di convergenza di questa serie
, raggio di convergenza
.

Studiamo la convergenza delle serie alle estremità dell'intervallo, nei punti
. Sostituendo in questa serie il valore
, otteniamo la serie

La serie risultante è quindi una serie armonica divergente nel punto
la serie diverge, quindi il punto
non è compreso nella regione di convergenza.

A
otteniamo una serie alternata

che è condizionatamente convergente (Esempio 15), da qui il punto
– punto di convergenza (condizionale).

Quindi la regione di convergenza della serie
, e al punto
la serie converge in modo condizionale e in altri punti in modo assoluto.

Al ragionamento utilizzato per risolvere l'esempio può essere attribuito un carattere generale.

Consideriamo le serie di potenze

Facciamo una serie di valori assoluti dei membri della serie e applichiamo ad essi il segno di D "Alembert.

Se esiste un limite (finito o infinito), allora per la condizione di convergenza del test d'Alembert, la serie convergerà se

Da qui, dalla definizione di intervallo e raggio di convergenza, abbiamo

Applicando il criterio radicale di Cauchy e ragionando in modo simile, si può ottenere un'altra formula per trovare il raggio di convergenza

Esempio 19

Soluzione.

La serie è una serie di potenze in potenze X. Per trovare l'intervallo di convergenza, calcoliamo il raggio di convergenza utilizzando la formula sopra. Per una data serie, la formula per il coefficiente numerico ha la forma

, Poi

Quindi,

Perché R = , allora la serie converge (assolutamente) per tutti i valori X, quelli. regione di convergenza X (–; +).

Si noti che sarebbe possibile trovare l'area di convergenza senza utilizzare formule, ma applicando direttamente il segno D "Alembert:

Poiché il valore del limite non dipende da X e minore di 1, la serie converge per tutti i valori X, quelli. A X(-;+).

Esempio 20

Trova l'area di convergenza di una serie

1!(X+5)+2!(X + 5) 2 +3!(X + 5) 3 +... + P!(X + 5) P +...

Soluzione .

x+ 5), quelli. centro di convergenza X 0 = - 5. Coefficiente numerico della serie UN P =n!.

Trova il raggio di convergenza della serie

Pertanto, l'intervallo di convergenza è costituito da un punto: il centro dell'intervallo di convergenza x = - 5.

Esempio 21

Trova l'area di convergenza di una serie
.

Soluzione.

Questa serie è una serie di potenze in potenze ( X–2), quelli.

centro di convergenza X 0 = 2. Si noti che la serie ha segno positivo per qualsiasi valore fisso X, perché l'espressione ( X- 2) elevato alla potenza di 2 P. Applichiamo alla serie il criterio radicale di Cauchy.

La serie convergerà se il valore limite è inferiore a 1, cioè

,
,
,

quindi il raggio di convergenza
, quindi l'integrale di convergenza

,
.

Pertanto la serie converge assolutamente per X
. Si noti che l’integrale di convergenza è simmetrico rispetto al centro di convergenza X O = 2.

Studiamo la convergenza della serie agli estremi dell'intervallo di convergenza.

Supponendo
, otteniamo una serie numerica con segno positivo

Utilizziamo il criterio di convergenza necessario:

pertanto, la serie numerica diverge e il punto
è il punto di divergenza. Si noti che nel calcolo del limite è stato utilizzato il secondo limite notevole.

Supponendo
, otteniamo la stessa serie di numeri (controlla tu stesso!), quindi il punto
inoltre non è incluso nell'intervallo di convergenza.

Quindi, la regione di convergenza assoluta di questa serie X
.

2.3. Proprietà delle serie di potenze convergenti

Sappiamo che una somma finita di funzioni continue è continua; la somma delle funzioni differenziabili è differenziabile e la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate; la somma finale può essere integrata termine per termine.

Si scopre che per "somme infinite" di funzioni - serie funzionali, nel caso generale, le proprietà non si verificano.

Consideriamo ad esempio le serie funzionali

Ovviamente tutti i membri della serie sono funzioni continue. Troviamo la regione di convergenza di questa serie e la sua somma. Per fare ciò, troviamo le somme parziali della serie

poi la somma della serie

Quindi la somma S(X) di questa serie, in quanto limite di una successione di somme parziali, esiste ed è finita X (-1;1), quindi, questo intervallo è la regione di convergenza della serie. Inoltre, la sua somma è una funzione discontinua, poiché

Quindi, questo esempio mostra che, nel caso generale, le proprietà delle somme finite non hanno analoghi per le serie di somme infinite. Tuttavia, per un caso speciale di serie funzionali - le serie di potenze - le proprietà della somma sono simili alle proprietà delle somme finite.

Gamma funzionale è detta espressione formalmente scritta

tu1 (X) + tu 2 (X) + tu 3 (X) + ... + tu N ( X) + ... , (1)

Dove tu1 (X), tu 2 (X), tu 3 (X), ..., tu N ( X), ... - sequenza di funzioni da una variabile indipendente X.

Una notazione abbreviata di una serie funzionale con sigma:.

Esempi di serie funzionali sono :

(2)

(3)

Dando la variabile indipendente X un certo valore X0 e sostituendola nella serie funzionale (1), otteniamo una serie numerica

tu1 (X 0 ) + tu 2 (X 0 ) + tu 3 (X 0 ) + ... + tu N ( X 0 ) + ...

Se la serie numerica ottenuta converge, allora la serie funzionale (1) si dice convergente per X = X0 ; se diverge, in cui si dice che la serie (1) diverge X = X0 .

Esempio 1. Studiare la convergenza di una serie funzionale(2) per i valori X= 1 e X = - 1 .
Soluzione. A X= 1 otteniamo una serie numerica

che converge secondo il test di Leibniz. A X= - 1 otteniamo una serie numerica

che diverge come prodotto di una serie armonica divergente per – 1. Pertanto, la serie (2) converge a X= 1 e diverge in X = - 1 .

Se tale test per la convergenza della serie funzionale (1) viene eseguito rispetto a tutti i valori della variabile indipendente dal dominio di definizione dei suoi membri, allora i punti di questo dominio saranno divisi in due insiemi: con valori X presa in una di esse, la serie (1) converge, e nell'altra diverge.

L’insieme dei valori di una variabile indipendente per cui converge la serie funzionale si chiama its regione di convergenza .

Esempio 2. Trova l'area di convergenza di una serie funzionale

Soluzione. I membri della serie sono definiti sull'intera linea numerica e formano una progressione geometrica con un denominatore Q= peccato X. Quindi la serie converge se

e diverge se

(i valori non sono possibili). Ma per valori e per altri valori X. Pertanto la serie converge per tutti i valori X, tranne . La regione della sua convergenza è l'intera retta numerica, ad eccezione di questi punti.

Esempio 3. Trova la regione di convergenza di una serie funzionale

Soluzione. I termini della serie formano una progressione geometrica con un denominatore Q= ln X. Pertanto la serie converge se , oppure , da dove . Questa è la regione di convergenza di questa serie.

Esempio 4. Analizzare la convergenza di una serie funzionale

Soluzione. Prendiamo un valore arbitrario. Con questo valore otteniamo una serie numerica

(*)

Trova il limite del suo termine comune

Di conseguenza, la serie (*) diverge per una scelta arbitraria, cioè per qualsiasi valore X. Il dominio della sua convergenza è l’insieme vuoto.

Convergenza uniforme di una serie funzionale e sue proprietà

Passiamo al concetto convergenza uniforme delle serie funzionali . Permettere S(X) è la somma di questa serie e SN ( X) - somma N i primi membri di questa serie. Gamma funzionale tu1 (X) + tu 2 (X) + tu 3 (X) + ... + tu N ( X) + ... si dice uniformemente convergente sull’intervallo [ UN, B] , se per qualsiasi numero arbitrariamente piccolo ε > 0 esiste un numero del genere N, questo per tutti N ≥ N la disuguaglianza sarà soddisfatta

|S(X) − S N ( X)| < ε

per chiunque X dal segmento [ UN, B] .

La proprietà di cui sopra può essere geometricamente illustrata come segue.

Consideriamo il grafico della funzione sì = S(X) . Costruiamo una striscia di larghezza 2 attorno a questa curva. ε N, cioè costruiamo curve sì = S(X) + ε N E sì = S(X) − ε N(sono verdi nella foto sotto).

Quindi per qualsiasi ε N grafico della funzione SN ( X) rientrerà interamente nella fascia in esame. La stessa banda conterrà i grafici di tutte le somme parziali successive.

Qualsiasi serie funzionale convergente che non abbia la caratteristica sopra descritta è non uniformemente convergente.

Consideriamo un'altra proprietà delle serie funzionali uniformemente convergenti:

la somma di una serie di funzioni continue che converge uniformemente su un certo intervallo [ UN, B] , esiste una funzione continua su questo segmento.

Esempio 5 Determina se la somma di una serie funzionale è continua