Tarkastellaan muuttujaa, joka noudattaa Markovin stokastista prosessia. Oletetaan, että sen nykyinen arvo on 10 ja vuoden aikana tapahtunutta muutosta kuvaa funktio 0(0, 1), missä a) on normaali todennäköisyysjakauma matemaattisella odotuksella // ja keskihajonnalla o. Mikä todennäköisyysjakauma kuvaa tämän muuttujan muutosta kahden vuoden aikana?
Muuttujan muutosta kahden vuoden jälkeen kuvataan kahden normaalijakauman summalla, joissa on nolla matemaattista odotusta ja yksikkökeskihajonta. Koska muuttuja on Markovin, nämä jakaumat ovat toisistaan riippumattomia. Lisäämällä kaksi riippumatonta normaalijakaumaa saadaan normaalijakauma, jonka matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin kunkin termin matemaattisten odotusten summa ja varianssi on niiden varianssien summa. Näin ollen matemaattinen odotus tarkasteltavan muuttujan muutoksista kahden vuoden aikana on nolla ja varianssi on 2,0. Siksi muuttujan arvon muutos kahden vuoden jälkeen on satunnaismuuttuja, jonka todennäköisyysjakauma on φ(0, %/2).
Harkitse seuraavaksi muuttujan muutosta kuuden kuukauden aikana. Tämän muuttujan muutosten varianssi yhden vuoden aikana on yhtä suuri kuin näiden muutosten varianssien summa ensimmäisen ja toisen kuuden kuukauden aikana. Oletamme, että nämä varianssit ovat samat. Tällöin muuttujan muutosten varianssi kuuden kuukauden aikana on 0,5 ja keskihajonta on 1/0,5. Siksi muuttujan muutoksen todennäköisyysjakauma kuuden kuukauden aikana on φ(0, \DW)
Samanlaisen päättelyn avulla voimme todistaa, että muuttujan muutoksella kolmen kuukauden aikana on jakauma 0(0, ^/0.25). Yleisesti ottaen muuttujan muutosta T pituisen ajanjakson aikana kuvaa todennäköisyysjakauma φ(0, \[T) ).
Näiden ilmaisujen neliöjuuret voivat tuntua oudolta. Ne johtuvat siitä, että Markovin prosessin analyysissä muuttujan muutosten varianssit peräkkäisinä ajankohtina summautuvat, mutta standardipoikkeamat eivät. Esimerkissämme muuttujan muutosten varianssi yhden vuoden aikana on 1,0, joten tämän muuttujan muutosten varianssi kahdelta vuodelta on 2,0 ja kolmen vuoden kuluttua 3,0. Samaan aikaan standardipoikkeama
Muuttujien muutokset kahden ja kolmen vuoden jälkeen ovat \/2 ja \/3, vastaavasti. Tarkkaan ottaen meidän ei pidä sanoa, että muuttujan muutosten keskihajonna yhden vuoden aikana on 1,0 vuodessa. On sanottava, että se on yhtä suuri kuin "yksikön neliöjuuri vuodessa". Tämä selittää, miksi epävarmuuden määrää pidetään usein verrannollisena ajan neliöjuureen.
Wiener-prosessit
Prosessia, jolle edellä käsitelty muuttuja koskee, kutsutaan Wiener-prosessiksi. Kyseessä on Markovin stokastisen prosessin erikoistapaus, jolloin muuttujan muutosten odotus on nolla ja niiden varianssi on 1,0. Tätä prosessia käytetään laajalti fysiikassa kuvaamaan hiukkasen liikettä, joka osallistuu suureen määrään törmäyksiä molekyylien kanssa (tämä ilmiö on ns. ruskea liike(Brownian liike)).
Muodollisesti ottaen muuttuja z noudattaa Wiener-prosessia, jos sillä on seuraavat ominaisuudet.
OMAISUUS 1. Az:n muutos pienellä aikavälillä At tyydyttää tasa-arvon
Az = ey/At, (12.1)
jossa e on satunnaismuuttuja, joka noudattaa standardoitua normaalijakaumaa φ(0.1).
Ominaisuus 2. Arvot Az kahdella pienellä aikavälillä At ovat riippumattomia.
Ensimmäisestä ominaisuudesta seuraa, että suurella Az on normaalijakauma, jossa matemaattinen odotusarvo on nolla, keskihajonna on VAt ja varianssi on yhtä suuri kuin At. Toinen ominaisuus tarkoittaa, että suure 2 noudattaa Markovin prosessia.
Tarkastellaan muuttujan z kasvua suhteellisen pitkän ajanjakson T aikana. Tätä muutosta voidaan merkitä z(T) - z(0). Se voidaan esittää muuttujan r kasvun summana N suhteellisen pienen At pituisen ajanjakson aikana. Tässä
Siten,
z(t)z(o) = J2?^t' (12,2)
r = 1
missä?r,r = 1,2,...,LG ovat satunnaismuuttujia, joiden todennäköisyysjakauma on φ(0,1). Wiener-prosessin toisesta ominaisuudesta seuraa, että määrät?
?; ovat toisistaan riippumattomia. Lausekkeesta (12.2) seuraa, että satunnaismuuttujalla z(T) - z(0) on normaalijakauma, jonka matemaattinen odotus on nolla, varianssi on NAt = T ja keskihajonta on y/T. Nämä johtopäätökset ovat yhdenmukaisia edellä esitettyjen tulosten kanssa. Esimerkki 12.1
Oletetaan, että Wiener-prosessia noudattavan satunnaismuuttujan r:n arvo ajan alkuhetkellä on 25 ja aika mitataan vuosina. Ensimmäisen vuoden lopussa muuttujan arvo jakautuu normaalisti odotusarvolla 25 ja keskihajonnan ollessa 1,0. Viidennen vuoden lopussa muuttujan arvolla on normaalijakauma, jonka keskiarvo on 25 ja keskihajonta n/5, ts. 2.236. Muuttujan arvon epävarmuus jossain vaiheessa tulevaisuudessa, mitattuna sen keskihajonnalla, kasvaa Neliöjuuri ennustetun intervallin pituudesta. ?
Matemaattisessa analyysissä käytetään laajalti siirtymistä rajalle, kun pienten muutosten arvo pyrkii nollaan. Esimerkiksi kun At -> 0, suuruus Ax = aAt muuttuu suureksi dx = adt. Stokastisten prosessien analysoinnissa käytetään samanlaista merkintää. Esimerkiksi At -> 0, yllä kuvattu prosessi Az pyrkii Wiener-prosessiin dz.
Kuvassa Kuva 12.1 näyttää kuinka muuttujan z liikerata muuttuu, kun At -> 0. Huomaa, että tämä kuvaaja on rosoinen. Tämä johtuu siitä, että muuttujan z muutos ajan kuluessa At on verrannollinen v^Af:n arvoon, ja kun At:n arvosta tulee pieni, luku \/At on paljon suurempi kuin At. Tämän vuoksi Wiener-prosessilla on kaksi kiehtovaa ominaisuutta.
1. Sen liikeradan odotettu pituus, jonka muuttuja z kulkee minkä tahansa ajanjakson aikana, on ääretön.
2. Muuttujan z odotettu osumien määrä millä tahansa tietyllä arvolla millä tahansa ajanjaksolla on ääretön.
Yleistetty Wiener-prosessi
Stokastisen prosessin ryömintänopeus tai ryömintäkerroin on muuttujan keskimääräinen muutos aikayksikköä kohti, ja varianssinopeus tai diffuusiokerroin on vaihtelun määrä aikayksikköä kohti. Edellä käsitellyn Wiener-pääprosessin dz drift-nopeus on nolla ja varianssi on 1,0. Nollapoikkeama tarkoittaa, että muuttujan z odotusarvo kulloinkin on yhtä suuri kuin sen nykyinen arvo. Prosessin yksikkövarianssi tarkoittaa, että muuttujan z muutoksen varianssi aikavälissä T on yhtä suuri kuin sen pituus.
Riisi. 12.1. Osakekurssin muutos esimerkissä
Yleistetty Wiener-prosessi x:lle voidaan määritellä dz:n avulla seuraavasti.
dx - adt + bdz, (12.3)
missä a ja b ovat vakioita.
Yhtälön (12.3) merkityksen ymmärtämiseksi on hyödyllistä tarkastella kahta oikealla puolella olevaa termiä erikseen. Termi a dt tarkoittaa, että muuttujan x odotettu ryömintänopeus on 0 yksikköä aikayksikköä kohti. Ilman toista termiä yhtälö (12.3) muuttuu yhtälöksi
dx=adt,
mistä se seuraa
dx
Integroimalla tämän yhtälön ajan myötä saamme
x = xo + a?,
missä xo on muuttujan x arvo nollahetkellä. Näin ollen ajanjakson T aikana muuttuja x kasvaa ee:n arvolla. Termiä b dz voidaan pitää kohinana tai muuttujan x kulkeman liikeradan vaihteluna. Tämän kohinan suuruus on b kertaa suurempi kuin Wiener-prosessin arvo. Wiener-prosessin keskihajonta on 1,0. Tästä seuraa, että b dz:n keskihajonta on yhtä suuri kuin b. Lyhyillä aikaväleillä AL muuttujan x muutos määritetään yhtälöillä (12.1) ja (12.3).
Axe \u003d aAb + bEY / Ab,
jossa e, kuten aiemmin, on satunnaismuuttuja, jolla on standardisoitu normaalijakauma. Suurella Ax on siis normaalijakauma, jonka matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin aAb, keskihajonna on 6n/D7 ja varianssi on b2D/. Samanlainen päättely voi osoittaa, että muuttujan x muutoksella mielivaltaisen aikavälin T aikana on normaalijakauma matemaattisen odotuksen c.T, keskihajonnan bu/T ja varianssin b2T kanssa. Näin ollen yleisen Wiener-prosessin (12.3) odotettu ryömintänopeus (eli keskimääräinen ryömintämuutos aikayksikköä kohti) on yhtä suuri kuin a ja varianssi (eli muuttujan varianssi aikayksikköä kohti) on b2. Tämä prosessi on esitetty kuvassa. 12.2. Havainnollistetaan latausta seuraavalla esimerkillä.
Esimerkki 12.2
Ajatellaanpa tilannetta, jossa yrityksen lyhytaikaisiin kassapositioihin (käteispositioon) sijoitettu osuus tuhansissa dollareissa on yleisen Wiener-prosessin alainen, jonka ajonopeus on 20 000 dollaria vuodessa ja varianssi 900 000 dollaria vuodessa. vuosi. Ensimmäisellä hetkellä omaisuuden osuus on $ 50 000. Vuoden kuluttua tällä omaisuuden osuudella on normaalijakauma, jonka matemaattinen odotus on $ 70 000 ja keskihajonna l/900, ts. 30 dollaria. Kuusi kuukautta myöhemmin se jaetaan normaalisti 60 000 dollarin odotuksin ja keskihajonnan ollessa 30 dollaria\DC >= 21,21 dollaria. Keskihajonnan avulla mitattuihin lyhytaikaisiin käteisvaroihin sijoitettujen varojen osuuteen liittyvä epävarmuus kasvaa ennustetun intervallin pituuden neliöjuuri. Huomaa, että tämä osuus omaisuudesta voi muuttua negatiiviseksi (kun yritys ottaa lainaa). ?
Ito prosessi
Iton stokastinen prosessi on yleistetty Wiener-prosessi, jossa parametrit a ja b ovat muuttujasta x ja ajasta t riippuvia funktioita. Ito-prosessi voidaan ilmaista seuraavalla kaavalla.
dx = a(x, t)dt + b(x, t)d,z,?
Sekä tämän prosessin odotettu ryömintänopeus että varianssi muuttuvat ajan myötä. Lyhyessä ajassa t:stä At:een muuttuja muuttuu arvosta
x x + ah missä
Ax = a(x, t) At + b(x, t)e\fAt.
Tämä suhde sisältää hieman venytystä. Se liittyy siihen, että tarkastelemme muuttujan x ajautumista ja varianssia vakioita, jotka aikavälillä t - At ovat a(x, t) ja b(x, t)2, vastaavasti.
materiaali synsetistä
Nämä materiaalit ovat lyhennetty sähköinen versio kirjasta "Stochastic World". LaTexistä muuntamisen jälkeen ilmestyi väistämättömiä esineitä, jotka poistetaan vähitellen. Tietoja löydetyistä virheistä tai puutteista uusin versio vilpitön pyyntö raportoida esimerkiksi tämän sivun yläreunassa olevalla "keskustelu"-välilehdellä tai postitse matemaattisesti. Tämä auttaa sinua suuresti parantamaan kirjaa. Myös yleiset kommentit ovat tervetulleita: mistä pidit ja mistä et. Jos haluat lukea kirjaa verkkoselaimella, sinun tulee lukea ohjeet selaimen asettamisesta kaavojen miellyttävämpään katseluun.
Ystävällisin terveisin Stepanov Sergei Sergeevich.
satunnaisia tapahtumia
Stokastiset yhtälöt
Stokastisten prosessien keskiarvot
Stokastisten prosessien todennäköisyydet
Stokastiset integraalit
Yhtälöjärjestelmät
Stokastinen luonne
Stokastinen yhteiskunta
Yhteenveto
satunnaisia tapahtumia
Ehdottomasti määrättyjä tapahtumia ja prosesseja ei ole olemassa. Universumi puhuu meille todennäköisyysteorian kielellä. Lukijan oletetaan tuntevan sen hyvin, joten muistutetaan vain aiheen jatkotutkimuksen kannalta välttämättömät tosiasiat.
Ensimmäinen osa on johdanto, se johtaa tarpeeseen käyttää stokastista differentiaaliyhtälöt erilaisten järjestelmien tutkimisessa. Sitten keskustellaan todennäköisyystiheyden käsitteestä, jonka avulla voidaan laskea havaitut arvot keskimäärin. Deterministiseen dynamiikkaan vaikuttavan kohinan taustalla on Gaussin todennäköisyys. Satunnaismuuttujien välinen stokastinen yhteys ja päinvastoin niiden riippumattomuus ovat tärkeitä eri objektien välisten kuvioiden ja niiden ominaisuuksien havaitsemisessa. Luvun keskeinen osa on Additive Walk -malli. Tämän yksinkertaisen mallin yleistäminen johtaa meidät seuraavassa luvussa stokastisiin differentiaaliyhtälöihin. Viimeinen jakso Martingaleja ja ilmaista juustoa sisältää joukon muodollisia määritelmiä, jotka voidaan haluttaessa jättää pois.
Stokastiset yhtälöt
Tämä luku on keskeinen. Se esittelee mielenkiintomme tärkeimmän matemaattisen kohteen - stokastiset differentiaaliyhtälöt. Käytämme epämuodollisinta, intuitiivisin tapaa uskoen, että konkreettisten käytännön tulosten saaminen on tärkeämpää kuin niiden matemaattisesti tiukka perustelu.
Stokastiset yhtälöt edustavat melko luonnollista aikajatkuvaa rajaa edellisessä luvussa käsitellyille diskreeteille satunnaisprosesseille. Jatkuvan yhtälön ratkaisemisessakin palaamme jatkuvasti sen erilliseen vastineeseen sekä yleisten analyyttisten tulosten saamiseksi että numeerisia simulaatioita varten. Poikkeuksellisen tärkeä luvun tulos on Iton lemma, jonka avulla opimme löytämään täsmällisiä yhtälöiden ratkaisuja joihinkin yksinkertaisiin, mutta käytännön sovellusten kannalta tärkeisiin ongelmiin. Sitten käsitellään satunnaisprosessin autokorrelaatiofunktion ja sen spektriominaisuuksien laskentamenetelmiä. Lopuksi käsittelemme yhtälöjärjestelmien aihetta, johon palaamme johdonmukaisemmin kuudennessa luvussa.
Keskiarvot
Differentiaaliyhtälö satunnaisfunktiolle x(t) on vain yksi mahdollisista kielistä stokastisen prosessin kuvaamiseen. Tilanteessa, jossa järjestelmä kehittyy ajan myötä, myös keskiarvot muuttuvat ja noudattavat tiettyjä differentiaaliyhtälöitä. Itse asiassa heidän ratkaisunsa on suorin tapa saada käytännössä hyödyllisiä tuloksia.
Aloitamme tämän luvun johtamalla dynaamisen yhtälön keskiarvoille. Sitä käytetään yksinkertaisen lausekkeen saamiseksi todennäköisyystiheydelle tilanteessa, jossa järjestelmällä on stationäärinen toiminto. Sitten analysoimme yksityiskohtaisesti kahta stokastista ongelmaa: Feller-yhtälöä ja logistista yhtälöä. Lopuksi tarkastelemme menetelmää keskiarvojen laajentamiseksi potenssisarjaksi ajassa ja kvasideterminististä approksimaatiota.
Todennäköisyydet
Toinen tapa saada tietoa stokastisen prosessin käyttäytymisestä on ratkaista ehdollisen todennäköisyystiheyden yhtälöt, joille tämä luku on omistettu.
Päällä yksinkertaisia esimerkkejä menetelmiä tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi esitetään. Sitten pohditaan kysymystä reunaehdoista, jotka luontevimmin otetaan huomioon Fokker-Planck-yhtälön avulla. Keskimääräinen aika rajan saavuttamiseen lasketaan ja konstruoidaan yksinkertainen menetelmä Fokker-Planck-yhtälön ratkaisemiseksi reunaehtojen läsnä ollessa. Yhtälöiden x(t) ratkaisut kirjoitetaan usein Gaussin satunnaismuuttujan avulla.
Stokastiset integraalit
Kuten tavallisessa analyysissä, jos stokastinen differentiaatio määritellään, on luonnollista ottaa käyttöön myös stokastinen integraatio. Vastaava tekniikka antaa meille toisen työkalun suhteiden saamiseksi joskus melko yleisille satunnaisille prosesseille. Tämä on erittäin kaunis stokastisen matematiikan osa, jota käytetään aktiivisesti myös opetus- ja tieteellisessä kirjallisuudessa.
Differentiaaliyhtälöissä on kaksi äärettömän pientä muutosta, dt:hen verrannollinen poikkeama ja kohinan haihtuvuus. Näin ollen kahden tyyppisiä integraaleja on mahdollista. Ensimmäisessä osiossa tarkastellaan stokastisia integraaleja yli dt:n, tutkitaan niiden pääominaisuuksia ja löydetään joidenkin integraalien esitys tavallisilla satunnaismuuttujilla. Toinen osa käsittelee Itô-integraalia over . Lisäksi saadaan olosuhteet, joissa stokastisen differentiaaliyhtälön ratkaisu on ainutlaatuinen, ja harkitaan iteratiivista menetelmää tämän ratkaisun muodostamiseksi.
Yhtälöjärjestelmät
Yksiulotteiset stokastiset yhtälöt mahdollistavat vain suhteellisen yksinkertaisten järjestelmien kuvaamisen. Jopa tavalliselle fyysiselle oskillaattorille on välttämätöntä ratkaista kahden ensimmäisen asteen yhtälön järjestelmä. Todellisuus sisään yleinen tapaus-- on moniulotteinen. Se antaa meille monia esimerkkejä melko monimutkaisista, mutta erittäin mielenkiintoisista satunnaisista prosesseista.
Kuten yksiulotteisessa tapauksessa, aloitamme diskreeteillä prosesseilla, joiden yleistäminen jatkuvaan tapaukseen johtaa meidät stokastisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmään. Itse asiassa tämä luku toistaa suurimman osan edellisten lukujen tuloksista. Tensori- ja matriisialgebraan luottavaisille vastaavat yleistykset toimivat vain tapana toistaa jo tunnettua materiaalia. Moniulotteisten perusyhtälöiden johtamisen jälkeen tarkastellaan joidenkin ongelmien ratkaisuja.
Stokastinen luonne
Tässä luvussa on esimerkkejä luonnollisista systeemeistä, joita kuvataan luonnollisesti käyttämällä stokastisia differentiaaliyhtälöitä. Nämä järjestelmät kattavat laajan valikoiman sovelluksia fysiikasta biologiaan, mutta ne eivät vaadi syvällistä asiantuntemusta. Useimmat osat eivät liity toisiinsa, ja ne voidaan lukea missä tahansa järjestyksessä, toisistaan riippumatta. Ensimmäisen stokastisen differentiaaliyhtälön kirjoitti Paul Langevin vuonna 1908. Tästä tämä luku alkaa.
Stokastinen yhteiskunta
Tähän lukuun on koottu esimerkkejä stokastisten menetelmien soveltamisesta rahoitusmarkkinoilla ja taloustieteessä. Hintojen ja taloudellisten indikaattoreiden epävakaa luonne johtaa siihen, että vastaavien järjestelmien dynamiikka on olennaisesti stokastinen ja Ito-yhtälöiden termillä on johtava rooli.
Ensin tehdään lyhyt poikkeama rahoitusmarkkinoihin ja rahoitusinstrumenttien hintojen empiirisiin ominaisuuksiin. Harkitse sitten diversifikaatioteoriaa ja beta-kertoimia. Stokastiset menetelmät ovat erittäin hyödyllisiä tutkittaessa monimutkaisia rahoitusinstrumentteja. Esimerkki tällaisesta työkalusta on vaihtoehto. Tarkastelemme sen pääominaisuuksia ja kahta eri tavoilla johdamme Black-Scholes -kaavan. Sen jälkeen tarkastellaan yksinkertaista yksitekijän tuottokäyrämallia.
Tutkasignaalien havaitseminen on epävarmaa, koska samaan aikaan esiintyy myös satunnaisia vaihteluita eli "kohinaa". Jos kohinajännitteiden tai -virtojen tarkat arvot voitaisiin ennustaa, ne voitaisiin vähentää kokonaissignaalista ja sitten tehdä varma päätös joko signaalin olemassaolosta tai puuttumisesta. Mutta tällainen ennuste on mahdotonta, koska kohinajännitteet ilmenevät ionien - ja elektronien - kaoottisen lämpöliikkeen vuoksi vastaanottimen elementeissä ja antennia ympäröivässä tilassa. Parasta, mitä voidaan tehdä, on kuvata jännitevaihtelut tilastollisesti niiden arvojen todennäköisyysjakaumien avulla ja suunnitella näiden tilastojen avulla vastaanotin, joka saavuttaa suurimman mahdollisen määrän onnistuneita havaintoja useiden kokeiden aikana. Tässä luvussa on tilastollinen kuvaus melusta, ja seuraavassa luvussa esitellään erilaisia onnistumisen ja epäonnistumisen kriteerejä tilastollisissa tilanteissa, jotka osoittavat, mitä seikkoja tulee ottaa huomioon haettaessa optimaalista vastaanotinrakennetta.
Jos jännite jossain kohdassa tutkavastaanottimessa, kuten ensimmäisen vahvistinputken hilassa, tallennettaisiin ajan funktiona, tietue olisi täysin virheellinen ja näyttäisi siltä, että arvoja ei voi laskea tai ennustaa tästä vaihtelevasta jännitteestä. Jos jännitteet rekisteröidään samanaikaisesti kunkin identtisten vastaanottimien joukon vastaavissa kohdissa samoissa olosuhteissa,
ne eroavat yksityiskohtaisesti vastaanottimesta toiseen. Jotkut tietueiden karkeat tai keskimääräiset ominaisuudet olisivat kuitenkin melkein samat. Tutkimalla suurta määrää tällaisia tietueita ja määrittämällä suhteelliset taajuudet, joilla tarkasteltavat suureet kulkevat erilaisia merkityksiä, on mahdollista kuvata vaihtelevien jännitysten käyttäytymistä tilastollisesti. Tällainen kuvaus on tehty todennäköisyysteorian kielellä, mikä mahdollistaa loogisten johtopäätösten tekemisen vaihtelevien jännitysten ominaisuuksista. Lyhyt katsaus todennäköisyysteoriaan on esitetty liitteessä B. Täydellisen perehtymisen saamiseksi lukijan tulee tutustua johonkin liitteen B kirjallisuudessa luetelluista oppikirjoista. Tässä luvussa käytetään todennäköisyysteoriaa melun vaihteluiden analysointiin.
Aikafunktiota, kuten yllä mainittua vaihtelujännitteen tallennusta, kutsutaan aikasekvenssiksi, ja sarja aikajaksoja, jotka saadaan suurelta määrältä vastaanottimia samoissa olosuhteissa, tunnetaan ryhmänä. Satunnaisfunktiota, jonka arvot kuvataan vain todennäköisyysjakaumien järjestelmällä, jota käsitellään tarkemmin jäljempänä, kutsutaan usein stokastiseksi prosessiksi. Jos mittauksia tehdään jatkuvasti ajassa, tapahtuu jatkuva stokastinen prosessi. Monissa tapauksissa suuret mitataan vain erillisinä peräkkäisinä ajankohtina. Tämä johtaa diskreettiin stokastiseen prosessiin. Jälkimmäisistä esimerkkinä ovat tunnin tai vuorokauden lämpötilahavainnot sääasemilla. Käsittelemme pääasiassa jatkuvia prosesseja, mutta monia käsitteitä voidaan soveltaa samassa määrin erillisiin prosesseihin. Jokaista ryhmän jäsentä kutsutaan stokastisen prosessin oivallukseksi.
Jos aikasekvenssien ryhmän jäsen valitaan sattumanvaraisesti, todennäköisyys, että sen x-arvo kulloinkin on välillä
missä on muuttujan x todennäköisyystiheysfunktio. Tällä tarkoitamme suhteessa yllä olevaan
esimerkkinä seuraava. Jos jännitteet mitataan samoissa pisteissä suuressa määrässä identtisiä vastaanottimia, tällaisessa välissä olevien arvojen määrä on yhtä suuri kuin välin pituus kerrottuna riittävän pienellä välin pituudella). Monissa tapauksissa se ei riipu ajankohdasta, jolloin mittaukset tehdään. Todennäköisyystiheysfunktio on stokastisen prosessin tilastollisen kuvauksen perusta, mutta sinänsä se on riittämätön, koska se ei kerro mitään siitä, miten x:n tiettynä ajankohtana mitattu arvo liittyy pisteessä mitattuihin arvoihin. muut ajankohdat.
Merkitään yhteisen todennäköisyysjakauman tiheysfunktion kautta peräkkäisinä ajanhetkenä mitatun aikasekvenssin arvot
määritellään väitteellä, että epätasa-arvojen täyttymisen todennäköisyys
on yhtäsuuri Jatkuvan stokastisen prosessin täydelliseen kuvaukseen tarvitaan jakaumafunktiot kaikille mahdollisille aikapisteiden valinnaille kaikille positiivisille kokonaisluvuille.Kaikki nämä funktiot normalisoidaan niin, että relaatio
todennäköisyyden määritelmän mukaan. Lisäksi niiden on oltava johdonmukaisia, jotta yli-integroinnilla voidaan saada alemman kertaluvun jakautumisfunktio
"extra"-muuttujan muutosväli. Esimerkiksi,
Kaikki muuttujat, joille tasa-arvo pätee
kutsutaan tilastollisesti riippumattomiksi.
Yhteinen jakautumistiheysfunktio määritellään toiminnallisesti käyttämällä erilaisten arvoyhdistelmien suhteellisia esiintymistiheyksiä ja tarkasteltuja aikapisteitä. Mutta on selvää, että on mahdotonta määrittää täydellistä jakelufunktiojärjestelmää tällä tavalla. Sen sijaan hypoteettisten jakaumien saamiseksi rakennetaan prosessiteoria soveltamalla fysiikan lakeja tilanteisiin, jotka syntyvät sellaisilla tieteenaloilla kuin tilastomekaniikka tai termodynamiikka. Stokastisten prosessien teorian avulla lasketaan joitain havainnoitavissa olevia keskiarvoja ja laskettuja arvoja verrataan kokemuksesta saatuihin. Kun tilanne on liian monimutkainen sellaiselle analyysille, kuten taloustieteessä ja luultavasti jopa meteorologiassa, stokastiselle prosessille ehdotetaan yksinkertainen tilastollinen "malli". Tämä malli antaa jakautumisfunktion, joka sisältää useita tuntemattomia parametreja, joiden arvot on arvioitu käytettävissä olevan tiedon perusteella. Sitten tehdään loogiset johtopäätökset ja, jos mahdollista, verrataan lisähavaintojen tuloksiin. Onneksi on olemassa laaja teoreettinen pohja, jonka avulla voimme tarkastella sähköisiä kohinaprosesseja, joita kohdataan signaalintunnistusongelmissa. Joitakin fyysisiä perusteita kuvataan alla kohdassa Sec. 3. Mutta ensin meidän on keskusteltava joistakin käsitteistä, joita tullaan soveltamaan stokastisten prosessien analysoinnissa.
Niin kauan kuin tutkavastaanotin pidetään vakiolämpötilassa ja kytketty kiinteään antenniin,
johon signaali ei vaikuta, vastaanottimen kohinan tilastollinen kuvaus ei riipu aikareferenssin valinnasta. Tämä tarkoittaa, että yhteisen todennäköisyysjakauman tiheys riippuu vain mittausten välisistä aikaväleistä, ei itse aikapisteistä.Tällaisia stokastisia prosesseja kutsutaan stationäärisiksi. Ellei toisin mainita, oletetaan, että tutkituilla aikasarjoilla on tämä aikainvarianssin tai stationaarisuuden ominaisuus.
Pitkällä tietueella kiinteän aikasekvenssin yhdestä toteutuksesta useimpien aikoina on samat ominaisuudet. Ilmeisesti suuri määrä yhdeltä kokoonpanon jäseneltä otettuja segmenttejä luo kokonaisuuden, jolla on samat tilastolliset ominaisuudet kuin pääkokoonpanolla. Jos mitattu muuttuja liittyy mekaaninen järjestelmä, kuten kaasu, tai sähkö, kuten piiri, ja jos järjestelmä kulkee ajan mittaan kaikkien kokeen tekijän luomien ulkoisten olosuhteiden kanssa yhteensopivien tilojen läpi, yllä oleva oletus pätee. Erityisesti pitkästä otoksesta löydetyt keskiarvot prosessin yhdestä toteutuksesta ovat yhtä suuret kuin ryhmän kaikkien jäsenten keskiarvot jossain vaiheessa. Tämän ominaisuuden omaavia stokastisia prosesseja kutsutaan ergodisiksi.
Esimerkiksi kiinteän aikasekvenssin keskimääräinen tai "matemaattinen odotus" määritellään yhtälöllä
missä on yksittäisen havainnon todennäköisyystiheysfunktio. Tämä x:n keskiarvo ei riipu ajasta. Toisaalta aikakeskiarvo x voidaan määrittää kaavalla
Stacionaarisuuden vuoksi tämä aikakeskiarvo ei riipu ajankohdasta, jolloin keskiarvon laskeminen alkaa. Jos lisäksi stokastinen prosessi on ergodinen, sama pätee argumentin x muiden funktioiden odotukseen.
On helppo kuvitella prosesseja, jotka eivät ole ergodisia, kuten missä x:n arvo siirtyy vähitellen alueelle, josta se ei voi sitten lähteä, tai jos tällaisia "saappaavia" alueita on useita. Mutta tässä kirjassa oletetaan, että kaikki tutkittavat vaihteluprosessit ovat ergodisia. Tällaisen oletuksen paikkansapitävyyden tulee perustua niiden teorioiden menestykseen, joissa se on hyväksytty, koska vaikka tämä oletus vahvistaa intuitio, sitä on mahdotonta testata kokeellisesti. Ergodiciteettioletus on olennainen kaikissa ongelmissa, joissa tilastolliset parametrit on arvioitava prosessin yhden kokeellisen toteutuksen perusteella.
Kaikki prosessin ajallinen kehitys (olipa deterministinen tai todennäköisyys) todennäköisyyksien suhteen analysoituna on satunnainen prosessi (toisin sanoen kaikki ajassa kehittyvät prosessit ovat todennäköisyysteorian kannalta stokastisia).
Stokastisuus matematiikassa
Termin käyttö stokastisuus matematiikassa Vladislav Bortskevitšin teosten ansioksi, joka käytti sitä merkityksessä olettaa, joka puolestaan viittaa antiikin kreikkalaisiin filosofeihin sekä J. Bernoulli Ars Conjectandin työhön (lat. arvaamisen taito).
Matematiikan satunnaistutkimuksella, erityisesti todennäköisyysteoriassa, on suuri rooli.
Monte Carlo -menetelmien käyttö vaatii paljon satunnaismuuttujia, mikä johti psekehittämiseen, jotka olivat paljon nopeampia kuin aiemmin tilastolliseen otantaan käytetyt taulukkomuodostusmenetelmät.
Yksi ohjelmista, joissa Monte Carlo -menetelmiä käytetään käytännössä, on MCNP.
Biologia
SISÄÄN biologiset järjestelmät otettiin käyttöön "stokastisen kohinan" käsite, joka auttaa vahvistamaan sisäistä palautesignaalia. Sitä käytetään diabeetikkojen aineenvaihdunnan säätelyyn. On myös käsite "puhesignaalien stokastisuus".
Lääke
Syöpä on esimerkki tällaisista stokastisista vaikutuksista.
Kirjoita arvostelu artikkelista "Stokastisuus"
Huomautuksia
Linkit
- Index Funds Advisorsilta
- Muodostettu musiikki: ajattelu ja matematiikka sävellyksessä kirjoittanut Iannis Xenakis, ISBN 1-57647-079-2
- Taajuus ja kielellisen rakenteen syntyminen kirjoittaneet Joan Bybee ja Paul Hopper (toim.), ISBN 1-58811-028-1 /ISBN 90-272-2948-1 (EUR)
Ote, joka kuvaa stokastisuutta
"Ei, hän on oikeassa", ajatteli vanha prinsessa, jonka kaikki vakaumus tuhoutui ennen hänen korkeutensa ilmestymistä. - Hän on oikeassa; mutta miten on mahdollista, että emme tienneet tätä peruuttamattomassa nuoruudessamme? Ja se oli niin yksinkertaista ”, vanha prinsessa ajatteli astuessaan vaunuihin.Elokuun alussa Helenin tapaus oli täysin ratkaistu ja hän kirjoitti kirjeen miehelleen (jonka hän luuli pitävän hänestä kovasti), jossa hän ilmoitti miehelle aikomuksestaan mennä naimisiin NN:n kanssa ja että hän oli solminut avioliiton. uskontoa ja että hän pyytää häntä suorittamaan kaikki avioeron edellyttämät muodollisuudet, jotka tämän kirjeen haltija välittää hänelle.
"Sur ce je prie Dieu, mon ami, de vous avoir sous sa sainte et puissante garde. Votre amie Helene.
["Sitten rukoilen Jumalaa, että sinä, ystäväni, olisit hänen pyhän vahvan suojansa alla. Ystäväsi Elena"]
Tämä kirje tuotiin Pierren taloon hänen ollessaan Borodinon kentällä.
Toisen kerran, jo Borodinon taistelun lopussa, paennut Raevskin patterista, Pierre sotilasjoukkojen kanssa suuntasi rotkoa pitkin Knyazkoviin, saapui pukeutumisasemalle ja, nähdessään verta ja kuultuaan huutoja ja huokauksia, jatkoi kiireesti eteenpäin. sekoittumassa sotilasjoukkoon.
Yksi asia, jonka Pierre nyt koko sielunsa voimalla halusi, oli päästä mahdollisimman pian pois niistä kauheista vaikutelmista, joissa hän eli sinä päivänä, palata tavallisiin elämänolosuhteisiin ja nukahtaa rauhallisesti huoneessaan sängylleen. Vain tavallisissa elämänolosuhteissa hän tunsi pystyvänsä ymmärtämään itsensä ja kaiken, mitä oli nähnyt ja kokenut. Mutta näitä tavallisia elämänolosuhteita ei löytynyt mistään.
Vaikka pallot ja luodit eivät vihellyt täällä tiellä, jota pitkin hän käveli, mutta joka puolelta se oli sama kuin siellä, taistelukentällä. Siellä oli sama kärsimys, kiusatut ja joskus oudon välinpitämättömät kasvot, sama veri, samat sotilaan päällystakit, samat ampumisen äänet, vaikkakin etäisiä, mutta silti pelottavia; lisäksi siellä oli tukkoisuutta ja pölyä.
Käveltyään noin kolme versiota korkeaa Mozhaisk-tietä pitkin Pierre istuutui sen reunalle.
Hämärä laskeutui maan päälle ja aseiden jyrinä vaimeni. Pierre, nojaten käteensä, makasi ja makasi niin pitkän ajan, katsoen varjoja, jotka liikkuivat hänen ohitseen pimeydessä. Hänestä tuntui lakkaamatta, että tykinkuula lensi kauhealla vihellyksellä häntä kohti; hän nyökkäsi ja nousi ylös. Hän ei muistanut, kuinka kauan hän oli ollut täällä. Keskellä yötä kolme sotilasta raahasivat oksia, asettuivat hänen viereensä ja alkoivat sytyttää tulta.
Sotilaat katsoivat sivuttain Pierreen, sytyttivät tulen, laittoivat siihen keilahatun, murensivat siihen keksejä ja laittoivat laardia. Syötävän ja rasvaisen ruoan miellyttävä tuoksu sulautui savun hajuun. Pierre nousi ylös ja huokaisi. Sotilaat (heitä oli kolme) söivät kiinnittämättä huomiota Pierreen ja juttelivat keskenään.
- Kyllä, kumpi sinä olet? yksi sotilaista kääntyi yhtäkkiä Pierren puoleen, ilmeisesti tarkoittaen tällä kysymyksellä sitä, mitä Pierre ajatteli, nimittäin: jos haluat syödä, annamme, kerro vain, oletko rehellinen ihminen?
- Minä? minä? .. - sanoi Pierre, tuntien tarvetta vähätellä hänen sosiaalista asemaansa mahdollisimman paljon ollakseen lähempänä ja ymmärrettävämpää sotilaita kohtaan. - Olen todellinen miliisi upseeri, vain minun ryhmäni ei ole täällä; Tulin taisteluun ja menetin omani.
- Sinä näet! sanoi yksi sotilaista.
Toinen sotilas pudisti päätään.
- No, syö, jos haluat, kavardachka! - sanoi ensimmäinen ja antoi Pierrelle puulusikan nuoleen sitä.
Pierre istuutui tulen ääreen ja alkoi syödä kavardachokia, ruokaa, joka oli kattilassa ja joka näytti hänestä herkullisimmalta kaikista ruoista, joita hän oli koskaan syönyt. Kun hän ahneesti kumartui kattilan yli, otti pois suuria lusikoita, pureskeli peräkkäin ja hänen kasvonsa näkyivät tulen valossa, sotilaat katsoivat häntä hiljaa.
- Missä tarvitset sitä? Sinä sanot! yksi heistä kysyi uudelleen.
- Olen Mozhaiskissa.
- Sinusta tuli, sir?
- Joo.
- Mikä sinun nimesi on?
- Pjotr Kirillovich.
- No, Pjotr Kirillovich, mennään, viemme sinut. Täydessä pimeydessä sotilaat menivät yhdessä Pierren kanssa Mozhaiskiin.
Kukot lauloivat jo, kun he saavuttivat Mozhaiskin ja alkoivat kiivetä jyrkkää kaupunkivuorta. Pierre käveli sotilaiden mukana unohtaen täysin, että hänen majatalonsa oli vuoren alla ja että hän oli jo ohittanut sen. Hän ei olisi muistanut tätä (hän oli niin ymmällään), ellei hänen luojansa olisi törmännyt häneen vuoren puolella, joka meni etsimään häntä ympäri kaupunkia ja palasi majataloonsa. Vuokranantaja tunnisti Pierren hatusta, joka loisti valkoisena pimeässä.
"Teidän ylhäisyytenne", hän sanoi, "olemme epätoivoisia. Mitä sinä kävelet? Missä olet, kiitos!
"Voi kyllä", sanoi Pierre.
Sotilaat pysähtyivät.
No, löysitkö omasi? yksi heistä sanoi.
- No, näkemiin! Pjotr Kirillovich näyttää siltä? Hyvästi, Pjotr Kirillovich! muut äänet sanoivat.
"Hyvästi", sanoi Pierre ja meni luojansa kanssa majataloon.
"Meidän täytyy antaa heille!" ajatteli Pierre kurottaen taskuunsa. "Ei, älä", ääni sanoi hänelle.
Majatalon ylähuoneissa ei ollut tilaa: kaikilla oli kiire. Pierre meni pihalle ja peitti itsensä päällään ja makasi vaunuissaan.
Heti kun Pierre laski päänsä tyynylle, hän tunsi olevansa nukahtamassa; mutta yhtäkkiä, melkein todellisuuden selkeydellä, kuului puomi, puomi, laukausten puomi, kuului huokauksia, huutoja, kuorien iskuja, veren ja ruudin hajua ja kauhun tunnetta, kuoleman pelkoa otti hänet kiinni. Hän avasi silmänsä peloissaan ja nosti päänsä päällystakkinsa alta. Kaikki oli hiljaista ulkona. Vain portilla, juttelemassa talonmiehen kanssa ja roiskumassa mudan läpi, käveli säännöllistä kävellä. Pierren pään yläpuolella, lankkukatoksen tumman alapinnan alla, kyyhkyset lepasivat hänen noustessaan tekemästään liikkeestä. Rauhallinen, iloinen Pierrelle sillä hetkellä, vahva majatalon tuoksu, heinän, lannan ja tervan hajua kaadettiin koko pihalle. Kahden mustan markiisin välissä näkyi kirkas tähtitaivas.
"Luojan kiitos, ettei tätä ole enää", ajatteli Pierre ja sulki jälleen päänsä. "Voi, kuinka kauheaa pelko on, ja kuinka häpeällisesti annoin itseni sille! Ja he… he olivat lujia, rauhallisia koko ajan, loppuun asti…” hän ajatteli. Pierren ymmärryksen mukaan he olivat sotilaita - niitä, jotka olivat akussa, niitä, jotka ruokkivat häntä, ja niitä, jotka rukoilivat ikonia. He - nämä omituiset, hänelle tähän asti tuntemattomat, ne erottuivat hänen ajatuksissaan selvästi ja terävästi kaikista muista ihmisistä.
Ei voida määrittää järjestelmän alkutilasta.
Stokastiset järjestelmät ovat järjestelmiä, joissa muutos on satunnainen. Satunnaisten vaikutusten tapauksessa tiedot järjestelmän tilasta eivät riitä ennustamaan myöhempänä ajankohtana.
Stokastinen: Havaintosarjan määrittämän prosessin määritelmä.
Katso myös
Wikimedia Foundation. 2010 .
Synonyymit:Katso, mitä "stokastinen" on muissa sanakirjoissa:
- [gr. stochastikos joka osaa arvata] satunnainen, todennäköisyys, epäjärjestys, arvaamaton. Vieraiden sanojen sanakirja. Komlev N.G., 2006. stokastinen (gr. stochasis arvaus) satunnainen, tai todennäköisyys, esimerkiksi s. prosessiprosessi, luonne ... ... Venäjän kielen vieraiden sanojen sanakirja
Todennäköisyys, satunnainen; arvaamaton. Muurahainen. luonnollinen, pakollinen venäjän synonyymien sanakirja. stokastinen adj., synonyymien määrä: 4 satunnaista (44) ... Synonyymien sanakirja
Suuri Ensyklopedinen sanakirja
Todennäköisyysteorian lakien ohjaama, satunnainen. Geologinen sanakirja: 2 osaa. M.: Nedra. Toimittanut K. N. Paffengolts et al. 1978 ... Geologinen tietosanakirja
Englanti stokastinen; Saksan kieli stochastisch. Tilastoissa satunnainen tai todennäköinen; esim. S.-prosessi on prosessi, jonka ajan muutoksen luonnetta ei voida ennustaa tarkasti. Antinazi. Sosiologian tietosanakirja, 2009... Sosiologian tietosanakirja
stokastinen- voi voi. stokastinen, saksa stochastisch gr. stochasinen arvelu. matto. Satunnainen, esiintyy todennäköisyydellä, jota ei voida ennustaa. C.prosessi. Stokastisuus ja no. Krysin 1998. Lex. TSB 2: Stokastinen/chesky… Venäjän kielen gallismien historiallinen sanakirja
stokastinen- tikimybinis statusas T ala automatika atitikmenys: engl. stokastinen vok. stochastischrus. stokastinen pranc. stochastique ryšiai: sinonimas – stochastinis … Automatikos terminų žodynas
Aya, oh [kreikka. stochasi arvaus] Kirja. Satunnainen, todennäköisyys, mahdollinen. C eli muutokset taloudessa. C. luonnon evoluutioprosessi. * * * stokastinen (kreikan sanasta stochastikós, joka osaa arvata), satunnainen, todennäköisyys ... tietosanakirja
Stokastinen- eli satunnaisesti, ilman ilmeistä säännöllistä syytä ... Fyysinen antropologia. Kuvitettu selittävä sanakirja.
Stokastinen- (kreikan sanasta stochastikos, joka osaa arvata) satunnainen, todennäköisyys ... Modernin luonnontieteen alku
Kirjat
- , F. S. Nasyrov. Kirja on omistettu reaalimuuttujan funktioteorian ja differentiaaliyhtälöiden teorian menetelmien soveltamiselle stokastisessa analyysissä. materiaaliset kannet yleinen teoria paikallisia aikoja varten...
- Paikalliset ajat, symmetriset integraalit ja stokastinen analyysi, Nasyrov F.S. Kirja on omistettu reaalimuuttujan funktioteorian ja differentiaaliyhtälöiden teorian menetelmien soveltamiselle stokastisessa analyysissä. Materiaali kattaa paikallisen ajan yleisen teorian…
