Etäisyyden määritys gps-koordinaateilla. Kahden tason pisteen välinen etäisyys Koordinaatit

Pisteiden välisten etäisyyksien laskenta niiden koordinaattien mukaan tasossa on alkeellista, Maan pinnalla se on hieman monimutkaisempaa: harkitsemme pisteiden välisen etäisyyden ja alkuperäisen atsimuutin mittaamista ilman projektiomuunnoksia. Ymmärretään ensin terminologia.

Johdanto

Suuri ympyrän kaaren pituus- lyhin etäisyys minkä tahansa kahden pallon pinnalla sijaitsevan pisteen välillä mitattuna näitä kahta pistettä yhdistävää linjaa pitkin (tällaista linjaa kutsutaan ortodromiksi) ja joka kulkee pallon tai muun pyörimispinnan pintaa pitkin. Pallogeometria eroaa tavallisesta euklidisesta ja etäisyysyhtälöt ovat myös eri muodoissa. Euklidisessa geometriassa lyhin etäisyys kahden pisteen välillä on suora. Pallolla ei ole suoria viivoja. Nämä pallolla olevat viivat ovat osa suuria ympyröitä - ympyröitä, joiden keskipisteet ovat samat kuin pallon keskusta. Alkusuuntainen atsimuutti- atsimuutti, joka lähdettäessä pisteestä A, seuraamalla suurta ympyrää lyhimmän matkan pisteeseen B, päätepiste on piste B. Kun siirrytään pisteestä A pisteeseen B pitkin suurympyräviivaa, atsimuutti nykyinen sijainti loppupisteeseen B on vakio muuttuu. Alkusuuntainen atsimuutti on erilainen kuin vakio, jonka jälkeen atsimuutti nykyisestä pisteestä viimeiseen ei muutu, mutta reitti ei ole lyhin etäisyys kahden pisteen välillä.

Minkä tahansa kahden pallon pinnan pisteen kautta, jos ne eivät ole suoraan toisiaan vastapäätä (eli ne eivät ole antipodeja), voidaan piirtää ainutlaatuinen suurympyrä. Kaksi pistettä jakaa suuren ympyrän kahdeksi kaareksi. Lyhyen kaaren pituus on lyhin etäisyys kahden pisteen välillä. Kahden vastapäisen pisteen väliin voidaan piirtää ääretön määrä suuria ympyröitä, mutta niiden välinen etäisyys on sama millä tahansa ympyrällä ja yhtä suuri kuin puolet ympyrän kehästä tai π*R, missä R on pallon säde.

Tasossa (suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä) suuret ympyrät ja niiden fragmentit, kuten edellä mainittiin, ovat kaaria kaikissa projektioissa, paitsi gnomonisessa projektiossa, jossa suuret ympyrät ovat suoria viivoja. Käytännössä tämä tarkoittaa, että lentokoneet ja muut lentoliikenne käyttävät aina pisteiden välisen minimietäisyyden reittiä polttoaineen säästämiseksi, eli lento suoritetaan suurympyrän matkaa pitkin, koneessa se näyttää kaarelta.

Maan muotoa voidaan kuvata palloksi, joten suurympyrän etäisyysyhtälöt ovat tärkeitä maan pinnan pisteiden välisen lyhimmän etäisyyden laskennassa ja niitä käytetään usein navigoinnissa. Etäisyyden laskeminen tällä menetelmällä on tehokkaampaa ja monissa tapauksissa tarkempaa kuin sen laskeminen projisoiduille koordinaateille (suorakulmaisissa koordinaattijärjestelmissä), koska ensinnäkin tätä varten ei ole tarpeen kääntää maantieteellisiä koordinaatteja suorakaiteen muotoiseksi koordinaattijärjestelmäksi (suorita projektio). muunnokset) ja toiseksi monet projektiot, jos ne valitaan väärin, voivat johtaa merkittäviin pituusvääristymiin projektiovääristymien luonteesta johtuen. Tiedetään, että ei pallo, vaan ellipsoidi kuvaa maan muotoa tarkemmin, mutta tässä artikkelissa käsitellään etäisyyksien laskemista pallolla, laskelmiin käytetään palloa, jonka säde on 6372795 metriä, mikä voi johtaa virhe etäisyyksien laskennassa noin 0,5 %.

Kaavat

On olemassa kolme tapaa laskea suurympyrän pallomainen etäisyys. 1. Pallokosinilause Pienillä etäisyyksillä ja pienellä laskentabittisyvyydellä (desimaalien määrä) kaavan käyttö voi johtaa merkittäviin pyöristysvirheisiin. φ1, λ1; φ2, λ2 - kahden pisteen leveys- ja pituusaste radiaaneina Δλ - koordinaattien pituusasteero Δδ - kulmaero Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Kulmaetäisyyden muuntamiseksi monimetriseksi, kulmaero maan säteen mukaan (6372795 metriä), lopullisen etäisyyden yksiköt ovat yhtä suuria kuin yksiköt, joissa säde ilmaistaan (tässä tapauksessa metriä). 2. Haversine-kaava Käytetään välttämään ongelmia lyhyillä matkoilla. 3. Muokkaus antipodeja varten Edellinen kaava koskee myös antipodeja, sen ratkaisemiseksi käytetään seuraavaa muutosta.

Oma toteutus PHP:ssä

// Maan säde define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Kahden pisteen välinen etäisyys * $φA, $λA - leveysaste, 1. pisteen pituusaste, * $φB, $λB - leveysaste, 2. pisteen pituusaste * Perustuu http://gis-lab.info/ qa /great-circles.html * Mikhail Kobzarev * */ funktio laskeaEtäisyys ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // muuntaa koordinaatit radiaaneiksi $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $pituus1 = $λA * M_PI / 180; $pituus2 = $λB * M_PI / 180; // leveys- ja pituusasteerojen kosinit ja sinit $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2 ); $sl1 = sin($lat1); $sl2 = sin($lat2); $delta = $pitkä2 - $pitkä1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // laskelmat suuren ympyrän pituus $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $ cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Esimerkki funktiokutsusta: $lat1 = 77.1539; $pitkä1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $pitkä2 = -139,55; echo laskeaEtäisyys($lat1, $pitkä1, $lat2, $pitkä2) . "metriä"; // Palauttaa "17166029 metriä"

Opiskelijoiden matematiikan tehtävien ratkaisemiseen liittyy usein monia vaikeuksia. Sivustomme päätarkoitus on auttaa opiskelijaa selviytymään näistä vaikeuksista sekä opettaa hänelle, kuinka soveltaa teoreettisia tietojaan tiettyjen ongelmien ratkaisemiseen kaikissa "Matematiikka" -kurssin osissa.

Aiheeseen liittyvien tehtävien ratkaisua aloittaessaan opiskelijoiden tulee pystyä rakentamaan tasolle piste sen koordinaattien mukaan sekä löytämään tietyn pisteen koordinaatit.

Kahden tasolle A (x A; y A) ja B (x B; y B) otetun pisteen välinen etäisyys lasketaan kaavalla d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), jossa d on janan pituus, joka yhdistää nämä tason pisteet.

Jos janan toinen päistä osuu origon kanssa ja toisella on koordinaatit M (x M; y M), niin d:n laskentakaava on muotoa OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Kahden pisteen välisen etäisyyden laskeminen näiden pisteiden koordinaattien perusteella

Esimerkki 1.

Etsi koordinaattitason pisteet A(2; -5) ja B(-4; 3) yhdistävän janan pituus (kuva 1).

Ratkaisu.

Tehtävän ehto on annettu: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 ja y B = 3. Etsi d.

Käyttämällä kaavaa d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2, saamme:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Kolmesta annetusta pisteestä yhtä kaukana olevan pisteen koordinaattien laskeminen

Esimerkki 2

Etsi pisteen O 1 koordinaatit, joka on yhtä kaukana kolmesta pisteestä A(7; -1) ja B(-2; 2) ja C(-1; -5).

Ratkaisu.

Tehtävän ehdon muotoilusta seuraa, että O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Olkoon halutulla pisteellä O 1 koordinaatit (a; b). Kaavan d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) mukaan löydämme:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Muodostamme kahden yhtälön järjestelmän:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Kun neliöinti vasen ja oikeat osat kirjoitamme yhtälöt:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Yksinkertaistaen, kirjoitamme

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Kun systeemi on ratkaistu, saamme: a = 2; b = -1.

Piste O 1 (2; -1) on yhtä kaukana ehdossa annetuista kolmesta pisteestä, jotka eivät ole yhdellä suoralla. Tämä piste on kolmen tietyn pisteen kautta kulkevan ympyrän keskipiste. (Kuva 2).

3. Abskissan (ordinaatin) laskeminen pisteestä, joka sijaitsee abskissa-akselilla (ordinaatta) ja on tietyllä etäisyydellä tästä pisteestä

Esimerkki 3

Etäisyys pisteestä B(-5; 6) x-akselilla olevaan pisteeseen A on 10. Etsi piste A.

Ratkaisu.

Tehtävän ehdon muotoilusta seuraa, että pisteen A ordinaatta on nolla ja AB = 10.

Merkitään pisteen A - a abskissaa, kirjoitetaan A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Saamme yhtälön √((a + 5) 2 + 36) = 10. Yksinkertaistaen saamme

a 2 + 10a - 39 = 0.

Tämän yhtälön juuret a 1 = -13; ja 2 = 3.

Saamme kaksi pistettä A 1 (-13; 0) ja A 2 (3; 0).

Tutkimus:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Molemmat saadut pisteet sopivat tehtävän ehtoon (Kuva 3).

4. Abskissan (ordinaatin) laskenta pisteessä, joka sijaitsee abskissa-akselilla (ordinaatta) ja on samalla etäisyydellä kahdesta annetusta pisteestä

Esimerkki 4

Etsi Oy-akselilta piste, joka on samalla etäisyydellä pisteistä A (6; 12) ja B (-8; 10).

Ratkaisu.

Olkoon tehtävän ehdon edellyttämän Oy-akselilla olevan pisteen koordinaatit O 1 (0; b) (Oy-akselilla sijaitsevassa pisteessä abskissa on nolla). Ehdosta seuraa, että O 1 A \u003d O 1 B.

Kaavan d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) mukaan löydämme:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Meillä on yhtälö √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) tai 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

Yksinkertaistamisen jälkeen saamme: b - 4 = 0, b = 4.

Tehtäväpisteen ehdon edellyttämä O 1 (0; 4) (Kuva 4).

5. Koordinaattiakseleista ja tietystä pisteestä samalla etäisyydellä olevan pisteen koordinaattien laskeminen

Esimerkki 5

Etsi piste M, joka sijaitsee koordinaattitasolla samalla etäisyydellä koordinaattiakseleista ja pisteestä A (-2; 1).

Ratkaisu.

Tarvittava piste M, kuten piste A (-2; 1), sijaitsee toisessa koordinaattikulmassa, koska se on yhtä kaukana pisteistä A, P 1 ja P 2 (Kuva 5). Pisteen M etäisyydet koordinaattiakseleista ovat samat, joten sen koordinaatit ovat (-a; a), missä a > 0.

Tehtävän ehdoista seuraa, että MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

nuo. |-a| = a.

Kaavan d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) mukaan löydämme:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Tehdään yhtälö:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Neliöinnin ja yksinkertaistamisen jälkeen saamme: a 2 - 6a + 5 = 0. Ratkaisemme yhtälön, löydämme a 1 = 1; ja 2 = 5.

Saamme kaksi pistettä M 1 (-1; 1) ja M 2 (-5; 5), jotka täyttävät tehtävän ehdon.

6. Koordinaattien laskenta pisteelle, joka on samalla määritellyllä etäisyydellä abskissa-akselista (ordinaattisesta) ja tästä pisteestä

Esimerkki 6

Etsi piste M, jonka etäisyys y-akselista ja pisteestä A (8; 6) on yhtä suuri kuin 5.

Ratkaisu.

Tehtävän ehdosta seuraa, että MA = 5 ja pisteen M abskissa on yhtä suuri kuin 5. Olkoon pisteen M ordinaatta yhtä kuin b, niin M(5; b) (Kuva 6).

Kaavan d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) mukaan meillä on:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Tehdään yhtälö:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Yksinkertaistamalla sitä saadaan: b 2 - 12b + 20 = 0. Tämän yhtälön juuret ovat b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Siksi on kaksi pistettä, jotka täyttävät ongelman ehdon: M 1 (5; 2) ja M 2 (5; 10).

Tiedetään, että monet opiskelijat tarvitsevat itsenäisesti ongelmia ratkoessaan jatkuvaa konsultaatiota tekniikoista ja menetelmistä niiden ratkaisemiseksi. Usein opiskelija ei löydä tapaa ratkaista ongelmaa ilman opettajan apua. Opiskelija voi saada tarvittavat neuvot ongelmien ratkaisemiseen nettisivuiltamme.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö ole varma kuinka löytää kahden pisteen välinen etäisyys tasossa?
Avun saaminen tutorilta -.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Tässä artikkelissa tarkastellaan tapoja määrittää etäisyys pisteestä pisteeseen teoreettisesti ja tiettyjen tehtävien esimerkillä. Aloitetaan muutamilla määritelmillä.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Määritelmä 1

Pisteiden välinen etäisyys- tämä on niitä yhdistävän segmentin pituus olemassa olevassa mittakaavassa. Asteikko on asetettava, jotta mittausta varten on pituusyksikkö. Siksi periaatteessa pisteiden välisen etäisyyden löytämisen ongelma ratkaistaan käyttämällä niiden koordinaatteja koordinaattiviivalla, koordinaattitasossa tai kolmiulotteisessa avaruudessa.

Lähtötiedot: koordinaattisuora O x ja siinä oleva mielivaltainen piste A. Yksi reaaliluku on luontainen mihin tahansa suoran pisteeseen: olkoon tämä tietty luku pisteelle A xA, se on pisteen A koordinaatti.

Yleisesti voidaan sanoa, että tietyn janan pituuden estimointi tapahtuu verrattuna segmenttiin, joka on otettu pituusyksiköksi tietyllä asteikolla.

Jos piste A vastaa kokonaislukua reaalilukua, syrjään peräkkäin pisteestä O suoraa pitkin olevaan pisteeseen O A segmentit - pituusyksiköt, voimme määrittää janan O A pituuden vireillä olevien yksikkösegmenttien kokonaismäärällä.

Esimerkiksi piste A vastaa numeroa 3 - päästäksesi siihen pisteestä O, sinun on varattava kolme yksikkösegmenttiä. Jos pisteen A koordinaatti on -4, yksittäiset segmentit piirretään samalla tavalla, mutta eri negatiivisessa suunnassa. Siten ensimmäisessä tapauksessa etäisyys O A on 3; toisessa tapauksessa O A \u003d 4.

Jos pisteen A koordinaatissa on rationaaliluku, niin origosta (pisteestä O) jätetään sivuun kokonaisluku yksikkösegmenttejä ja sitten sen välttämätön osa. Mutta geometrisesti ei aina ole mahdollista tehdä mittauksia. Esimerkiksi koordinaattisuora murtoluku 4 111 näyttää vaikealta jättää sivuun.

Yllä olevalla tavalla on täysin mahdotonta lykätä irrationaalista lukua suoralla. Esimerkiksi kun pisteen A koordinaatti on 11 . Tässä tapauksessa on mahdollista kääntyä abstraktioon: jos pisteen A annettu koordinaatti on suurempi kuin nolla, niin O A \u003d x A (luku otetaan etäisyydeksi); jos koordinaatti on pienempi kuin nolla, niin O A = - x A . Yleensä nämä väitteet pitävät paikkansa mille tahansa reaaliluvulle x A .

Yhteenveto: etäisyys origosta pisteeseen, joka vastaa koordinaattiviivan reaalilukua, on yhtä suuri:

0, jos piste on sama kuin origo;

x A jos x A > 0;

- x A jos x A< 0 .

Tässä tapauksessa on selvää, että janan pituus ei voi olla negatiivinen, joten moduulin etumerkillä kirjoitetaan etäisyys pisteestä O pisteeseen A koordinaatilla x A: O A = x A

Oikea väite olisi: etäisyys pisteestä toiseen on yhtä suuri kuin koordinaattieron moduuli. Nuo. pisteille A ja B, jotka sijaitsevat samalla koordinaattiviivalla missä tahansa paikassa ja joilla on vastaavasti koordinaatit x A ja x B: A B = x B - x A.

Lähtötiedot: pisteet A ja B, jotka sijaitsevat tasossa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa O x y annetuilla koordinaatteilla: A (x A , y A) ja B (x B , y B) .

Piirretään kohtisuorat koordinaattiakseleille O x ja O y pisteiden A ja B kautta ja saadaan tulokseksi projektiopisteet: A x , A y , B x , B y . Pisteiden A ja B sijainnin perusteella seuraavat vaihtoehdot ovat mahdollisia:

Jos pisteet A ja B ovat samat, niiden välinen etäisyys on nolla;

Jos pisteet A ja B ovat suoralla linjalla, joka on kohtisuorassa O x -akseliin nähden (abskissa-akseli), niin pisteet ja osuvat yhteen ja | A B | = | A y B y | . Koska pisteiden välinen etäisyys on yhtä suuri kuin niiden koordinaattien välisen eron moduuli, niin A y B y = y B - y A , ja näin ollen A B = A y B y = y B - y A .

Jos pisteet A ja B sijaitsevat suoralla linjalla, joka on kohtisuorassa O y-akseliin (y-akseli) nähden - analogisesti edellisen kappaleen kanssa: A B = A x B x = x B - x A

Jos pisteet A ja B eivät ole suoralla viivalla, joka on kohtisuorassa jompaankumpaan koordinaattiakseliin nähden, selvitetään niiden välinen etäisyys laskemalla laskentakaava:

Näemme, että kolmio A B C on rakenteeltaan suorakulmainen. Tässä tapauksessa A C = A x B x ja B C = A y B y . Pythagoraan lauseen avulla muodostetaan yhtälö: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 ja sitten muutetaan se: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Tehdään johtopäätös saadusta tuloksesta: etäisyys pisteestä A pisteeseen B tasossa määritetään laskemalla kaavaa käyttäen näiden pisteiden koordinaatteja

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Tuloksena oleva kaava vahvistaa myös aiemmin muodostetut väitteet pisteiden tai tilanteiden yhteensopivuustapauksille, kun pisteet sijaitsevat suorilla, jotka ovat kohtisuorassa akseleita vastaan. Joten pisteiden A ja B yhteensopivuuden tapauksessa yhtäläisyys on totta: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Tilanteessa, jossa pisteet A ja B ovat suoralla linjalla, joka on kohtisuorassa x-akseliin nähden:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Jos pisteet A ja B ovat y-akselia vastaan kohtisuoralla suoralla:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Lähtötiedot: suorakulmainen koordinaattijärjestelmä O x y z, jossa on mielivaltaisia pisteitä annetuilla koordinaatteilla A (x A , y A , z A) ja B (x B , y B , z B) . On tarpeen määrittää näiden pisteiden välinen etäisyys.

Harkitse yleinen tapaus, kun pisteet A ja B eivät ole tasossa, joka on yhdensuuntainen yhden koordinaattitason kanssa. Piirrä pisteiden A ja B tasot, jotka ovat kohtisuorassa koordinaattiakseleita vastaan, ja hanki vastaavat projektiopisteet: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Pisteiden A ja B välinen etäisyys on tuloksena olevan laatikon diagonaali. Tämän laatikon mitan rakenteen mukaan: A x B x , A y B y ja A z B z

Geometrian kurssista tiedetään, että suuntaissärmiön lävistäjän neliö on yhtä suuri kuin sen mittojen neliöiden summa. Tämän väitteen perusteella saadaan yhtäläisyys: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Käyttämällä aiemmin saatuja johtopäätöksiä kirjoitamme seuraavat:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Muunnetaan lauseke:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Lopullinen kaava avaruuden pisteiden välisen etäisyyden määrittämiseksi näyttää tältä:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Tuloksena oleva kaava pätee myös tapauksissa, joissa:

Pisteet täsmäävät;

Ne sijaitsevat samalla koordinaattiakselilla tai suoralla linjalla, joka on yhdensuuntainen yhden koordinaattiakselin kanssa.

Esimerkkejä tehtävien ratkaisemisesta pisteiden välisen etäisyyden löytämiseksi

Esimerkki 1

Lähtötiedot: annetaan koordinaattiviiva ja sillä olevat pisteet annetuilla koordinaatteilla A (1 - 2) ja B (11 + 2). On tarpeen löytää etäisyys vertailupisteestä O pisteeseen A ja pisteiden A ja B välillä.

Ratkaisu

Etäisyys vertailupisteestä pisteeseen on yhtä suuri kuin tämän pisteen koordinaatin moduuli, vastaavasti O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
Pisteiden A ja B välinen etäisyys määritellään näiden pisteiden koordinaattien välisen eron moduulina: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Vastaus: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Esimerkki 2

Lähtötiedot: annettu suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä ja kaksi sen päällä olevaa pistettä A (1 , - 1) ja B (λ + 1 , 3). λ on jokin reaaliluku. On tarpeen löytää kaikki tämän luvun arvot, joilla etäisyys A B on yhtä suuri kuin 5.

Ratkaisu

Pisteiden A ja B välisen etäisyyden selvittämiseksi sinun on käytettävä kaavaa A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Korvaamalla koordinaattien todelliset arvot, saamme: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Ja myös käytämme olemassa olevaa ehtoa, että A B = 5 ja sitten yhtälö on tosi:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Vastaus: A B \u003d 5, jos λ \u003d ± 3.

Esimerkki 3

Lähtötiedot: kolmiulotteinen avaruus suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa O x y z ja siinä olevat pisteet A (1 , 2 , 3) ja B - 7 , - 2 , 4 on annettu.

Ratkaisu

Ongelman ratkaisemiseksi käytämme kaavaa A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Kun reaaliarvot korvataan, saadaan: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Vastaus: | A B | = 9

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tason kahden pisteen välinen etäisyys.
Koordinaattijärjestelmät

Jokaiselle tason pisteelle A on ominaista sen koordinaatit (x, y). Ne ovat yhtäpitäviä vektorin 0А koordinaattien kanssa, jotka tulevat pisteestä 0 - origo.

Olkoot A ja B tason mielivaltaisia pisteitä, joiden koordinaatit (x 1 y 1) ja (x 2, y 2), vastaavasti.

Silloin vektorilla AB on ilmeisesti koordinaatit (x 2 - x 1, y 2 - y 1). On tunnettua, että vektorin pituuden neliö on yhtä suuri kuin sen koordinaattien neliöiden summa. Siksi pisteiden A ja B välinen etäisyys d, tai mikä on sama, vektorin AB pituus määritetään ehdosta

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d \u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Tuloksena oleva kaava antaa sinun löytää etäisyyden minkä tahansa kahden tason pisteen välillä, jos vain näiden pisteiden koordinaatit tunnetaan

Joka kerta kun puhutaan yhden tai toisen tason pisteen koordinaateista, on mielessämme hyvin määritelty koordinaattijärjestelmä x0y. Yleensä tason koordinaattijärjestelmä voidaan valita eri tavoin. Joten x0y-koordinaattijärjestelmän sijasta voidaan harkita x"0y"-koordinaatistoa, joka saadaan kiertämällä vanhoja koordinaattiakseleita aloituspisteen 0 ympäri. vastapäivään nuolet kulmassa α .

Jos jollakin tason pisteellä x0y-koordinaatistossa oli koordinaatit (x, y), niin uudessa x"0y"-koordinaatistossa sillä on muita koordinaatteja (x, y").

Tarkastellaan esimerkkinä pistettä M, joka sijaitsee akselilla 0x" ja joka on pisteen 0 välimatkan päässä 1.

On selvää, että x0y-koordinaattijärjestelmässä tällä pisteellä on koordinaatit (cos α , synti α ), ja koordinaattijärjestelmässä x"0y" koordinaatit ovat (1,0).

Tason A ja B minkä tahansa kahden pisteen koordinaatit riippuvat siitä, kuinka koordinaattijärjestelmä on asetettu tälle tasolle. Mutta näiden pisteiden välinen etäisyys ei riipu siitä, kuinka koordinaattijärjestelmä on määritetty. Hyödynnämme tätä tärkeää seikkaa olennaisesti seuraavassa osiossa.

Harjoitukset

I. Etsi tason pisteiden väliset etäisyydet koordinaateilla:

1) (3.5) ja (3.4); 3) (0,5) ja (5, 0); 5) (-3,4) ja (9, -17);

2) (2, 1) ja (- 5, 1); 4) (0,7) ja (3,3); 6) (8, 21) ja (1, -3).

II. Etsi kolmion ympärysmitta, jonka sivut on annettu yhtälöillä:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 ja y = 1.

III. Koordinaattijärjestelmässä x0y pisteillä M ja N on koordinaatit (1, 0) ja (0,1). Etsi näiden pisteiden koordinaatit uudesta koordinaattijärjestelmästä, joka saadaan myös kiertämällä vanhoja akseleita aloituspisteen ympäri 30° vastapäivään.

IV. x0y-koordinaatistossa pisteillä M ja N on koordinaatit (2, 0) ja (\ / 3/2, - 1/2). Etsi näiden pisteiden koordinaatit uudesta koordinaattijärjestelmästä, joka saadaan kiertämällä vanhoja akseleita aloituspisteen ympäri 30° myötäpäivään.

Aiheeseen liittyvien tehtävien ratkaisua aloittaessaan opiskelijoiden tulee pystyä rakentamaan tasolle piste sen koordinaattien mukaan sekä löytämään tietyn pisteen koordinaatit.

Jos janan toinen päistä osuu origon kanssa ja toisella on koordinaatit M (x M; y M), niin d:n laskentakaava on muotoa OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Kahden pisteen välisen etäisyyden laskeminen näiden pisteiden koordinaattien perusteella

Esimerkki 1.

Etsi koordinaattitason pisteet A(2; -5) ja B(-4; 3) yhdistävän janan pituus (kuva 1).

Ratkaisu.

Tehtävän ehto on annettu: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 ja y B = 3. Etsi d.

Käyttämällä kaavaa d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2, saamme:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Kolmesta annetusta pisteestä yhtä kaukana olevan pisteen koordinaattien laskeminen

Esimerkki 2

Etsi pisteen O 1 koordinaatit, joka on yhtä kaukana kolmesta pisteestä A(7; -1) ja B(-2; 2) ja C(-1; -5).

Ratkaisu.

Tehtävän ehdon muotoilusta seuraa, että O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Olkoon halutulla pisteellä O 1 koordinaatit (a; b). Kaavan d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) mukaan löydämme:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Muodostamme kahden yhtälön järjestelmän:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Kun yhtälöiden vasen ja oikea puoli on neliöity, kirjoitamme:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Yksinkertaistaen, kirjoitamme

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Kun systeemi on ratkaistu, saamme: a = 2; b = -1.

Piste O 1 (2; -1) on yhtä kaukana ehdossa annetuista kolmesta pisteestä, jotka eivät ole yhdellä suoralla. Tämä piste on kolmen tietyn pisteen kautta kulkevan ympyrän keskipiste. (Kuva 2).

3. Abskissan (ordinaatin) laskeminen pisteestä, joka sijaitsee abskissa-akselilla (ordinaatta) ja on tietyllä etäisyydellä tästä pisteestä

Esimerkki 3

Etäisyys pisteestä B(-5; 6) x-akselilla olevaan pisteeseen A on 10. Etsi piste A.

Ratkaisu.

Tehtävän ehdon muotoilusta seuraa, että pisteen A ordinaatta on nolla ja AB = 10.

Merkitään pisteen A - a abskissaa, kirjoitetaan A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Saamme yhtälön √((a + 5) 2 + 36) = 10. Yksinkertaistaen saamme

a 2 + 10a - 39 = 0.

Tämän yhtälön juuret a 1 = -13; ja 2 = 3.

Saamme kaksi pistettä A 1 (-13; 0) ja A 2 (3; 0).

Tutkimus:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Molemmat saadut pisteet sopivat tehtävän ehtoon (Kuva 3).

4. Abskissan (ordinaatin) laskenta pisteessä, joka sijaitsee abskissa-akselilla (ordinaatta) ja on samalla etäisyydellä kahdesta annetusta pisteestä

Esimerkki 4

Etsi Oy-akselilta piste, joka on samalla etäisyydellä pisteistä A (6; 12) ja B (-8; 10).

Ratkaisu.

Olkoon tehtävän ehdon edellyttämän Oy-akselilla olevan pisteen koordinaatit O 1 (0; b) (Oy-akselilla sijaitsevassa pisteessä abskissa on nolla). Ehdosta seuraa, että O 1 A \u003d O 1 B.

Kaavan d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) mukaan löydämme:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Meillä on yhtälö √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) tai 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

Yksinkertaistamisen jälkeen saamme: b - 4 = 0, b = 4.

Tehtäväpisteen ehdon edellyttämä O 1 (0; 4) (Kuva 4).

5. Koordinaattiakseleista ja tietystä pisteestä samalla etäisyydellä olevan pisteen koordinaattien laskeminen

Esimerkki 5

Etsi piste M, joka sijaitsee koordinaattitasolla samalla etäisyydellä koordinaattiakseleista ja pisteestä A (-2; 1).

Ratkaisu.

Tehtävän ehdoista seuraa, että MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

nuo. |-a| = a.

Kaavan d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) mukaan löydämme:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Tehdään yhtälö:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Neliöinnin ja yksinkertaistamisen jälkeen saamme: a 2 - 6a + 5 = 0. Ratkaisemme yhtälön, löydämme a 1 = 1; ja 2 = 5.

Saamme kaksi pistettä M 1 (-1; 1) ja M 2 (-5; 5), jotka täyttävät tehtävän ehdon.

6. Koordinaattien laskenta pisteelle, joka on samalla määritellyllä etäisyydellä abskissa-akselista (ordinaattisesta) ja tästä pisteestä

Esimerkki 6

Etsi piste M, jonka etäisyys y-akselista ja pisteestä A (8; 6) on yhtä suuri kuin 5.

Ratkaisu.

Tehtävän ehdosta seuraa, että MA = 5 ja pisteen M abskissa on yhtä suuri kuin 5. Olkoon pisteen M ordinaatta yhtä kuin b, niin M(5; b) (Kuva 6).

Kaavan d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) mukaan meillä on:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Tehdään yhtälö:

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö ole varma kuinka löytää kahden pisteen välinen etäisyys tasossa?
Saadaksesi tutorin apua - rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.