Kahden autonomisen järjestelmän kuvaamat mallit differentiaaliyhtälöt.

vaihetaso. Vaihe muotokuva. isokliinimenetelmä. pääisokliinit. Vakaustilan vakaus. Lineaariset järjestelmät. Tärkeimmät pistetyypit: solmu, satula, tarkennus, keskus. Esimerkki: kemialliset reaktiot ensimmäinen tilaus.

Mielenkiintoisimmat tulokset biologisten järjestelmien ominaisuuksien kvalitatiivisesta mallintamisesta saatiin kahden differentiaaliyhtälön malleilla, jotka mahdollistavat kvalitatiivisen tutkimuksen menetelmällä vaihetaso. Tarkastellaan kahden autonomisen tavallisen yleisen differentiaaliyhtälön järjestelmää

(4.1)

P(x,y), Q(x,y)- jatkuvat funktiot, jotka on määritelty jollain alueella G Euklidinen taso ( x,y- suorakulmaiset koordinaatit) ja joilla on tällä alueella jatkuvat derivaatat, joiden kertaluokka on vähintään ensimmäinen.

Alue G voi olla joko rajoittamaton tai rajoitettu. Jos muuttujia x, y niillä on tietty biologinen merkitys (ainepitoisuudet, lajien runsaus), useimmiten alue G on oikean puolitason positiivinen kvadrantti:

0 £ x< ¥ ,0 £ y< ¥ .

Ainepitoisuuksia tai lajien runsautta voidaan rajoittaa myös ylhäältä aluksen tilavuudella tai elinympäristön pinta-alalla. Sitten muuttujien valikoimalla on muoto:

0 £ x< x 0 , 0 £ y< y 0 .

Muuttujat x, y muuttaa ajassa yhtälöjärjestelmän (4.1) mukaisesti niin, että jokainen järjestelmän tila vastaa muuttujien arvojen paria ( x, y).

Päinvastoin jokaiselle muuttujaparille ( x, y) vastaa järjestelmän tiettyä tilaa.

Tarkastellaan tasoa koordinaattiakselilla, jolle muuttujien arvot piirretään x,y. Jokainen piste M tämä taso vastaa tiettyä järjestelmän tilaa. Tällaista tasoa kutsutaan vaihetasoksi ja se kuvaa järjestelmän kaikkien tilojen kokonaisuutta. Pistettä M(x, y) kutsutaan kuvaavaksi tai edustavaksi pisteeksi.

Anna alkuun t = t 0 edustaa pisteen koordinaatteja M 0 (x(t 0),y(t 0)). Jokaisena seuraavana hetkenä t kuvauspiste liikkuu muuttujien arvojen muutosten mukaan x(t),y(t). Pisteiden joukko M(x(t), y(t)) vaihetasolla, jonka sijainti vastaa järjestelmän tiloja muuttujan muuttuessa ajan myötä x(t), y(t) yhtälöiden (4.1) mukaan kutsutaan vaiheen liikerata.

Vaihekulkureittien joukko muuttujien eri alkuarvoille antaa helposti näkyvän "muotokuvan" järjestelmästä. Rakennus vaiheen muotokuva voit tehdä johtopäätöksiä muuttujien muutosten luonteesta x, y tietämättä alkuperäisen yhtälöjärjestelmän analyyttisiä ratkaisuja(4.1).

Vaihemuotokuvan kuvaamiseksi on tarpeen rakentaa vektorisuuntainen kenttä järjestelmän liikeradalle vaihetason jokaisessa pisteessä. Määrittämällä lisäyksenD t>0,saamme vastaavat lisäykset D x ja D y ilmauksista:

D x=P(x,y)D t,

D y=Q(x,y)D t.

vektorin suunta dy/dx kohdassa ( x, y) riippuu funktioiden etumerkistä P(x, y), Q(x, y) ja voidaan antaa taulukosta:

P(x,y)>0, Q(x,y)>0
P(x,y)<0,Q(x,y)<0
P(x,y)>0,Q(x,y)<0
P(x,y)<0,Q(x,y)>0

.(4.2)

Ratkaisu tähän yhtälöön y=y(x, c), tai implisiittisesti F(x,y)=c, missä Kanssa on integroinnin vakio, antaa yhtälön (4.2) integraalikäyrien perheen - vaiheradat järjestelmä (4.1) koneessa x, y.

Isokliininen menetelmä

Vaihemuotokuvan rakentamiseen käytetään isokliinimenetelmä - vaihetasolle piirretään viivat, jotka leikkaavat integraalikäyrät tietyssä kulmassa. Isookliiniyhtälö on helppo saada kohdasta (4.2). Laitetaan

missä MUTTA– tietty vakio. Merkitys MUTTA edustaa vaiheradan tangentin kulman tangenttia ja voi ottaa arvoja -¥ kohtaan + ¥ . Korvaaminen sen sijaan dy/dx kohdassa (4.2) määrä MUTTA saamme isokliiniyhtälön:

.(4.3)

Yhtälö (4.3) määrittää kussakin tason pisteessä vastaavan integraalikäyrän ainoan tangentin, paitsi pisteen, jossa P(x,y)= 0, Q (x,y) = 0 , jossa tangentin suunnasta tulee epämääräinen, koska derivaatan arvosta tulee määrittelemätön:

.

Tämä piste on kaikkien isokliinien leikkauspiste - erityinen kohta. Samalla se hävittää muuttujien aikaderivaatat x ja y.

Siten singulaaripisteessä muuttujien muutosnopeudet ovat nolla. Siksi vaiheratojen (4.2) differentiaaliyhtälöiden singulaaripiste vastaa järjestelmän paikallaan oleva tila(4.1), ja sen koordinaatit ovat muuttujien stationäärisiä arvoja x, y.

Erityisen kiinnostavia ovat pääisokliinit:

dy/dx=0, P(x,y)=0 – vaakasuuntaisten tangenttien isokliini ja

dy/dx=¥ , Q(x,y)=0 – pystytangenttien isokliini.

Rakentamalla pääisokliinit ja etsimällä niiden leikkauspiste (x,y), jonka koordinaatit täyttävät ehdot:

niin löydämme vaihetason kaikkien isokliinien leikkauspisteen, jossa vaiheratojen tangenttien suunta on määrittelemätön. Se - yksittäinen piste, joka vastaa järjestelmän paikallaan oleva tila(Kuva 4.2).

Järjestelmässä (4.1) on niin monta stationääristä tilaa kuin on pääisokliinien leikkauspisteitä vaihetasolla.

Jokainen vaiherata vastaa dynaamisen järjestelmän liikesarjaa, joka kulkee samojen tilojen läpi ja eroaa toisistaan ​​vasta aikareferenssin alussa.

Jos Cauchyn lauseen ehdot täyttyvät, niin avaruuden jokaisen pisteen kautta x, y, t kulkee yhden integraalikäyrän läpi. Sama pätee autonomian ansiosta vaiheratojen kohdalla: ainutlaatuinen vaiherata kulkee vaihetason jokaisen pisteen läpi.

Vakaustilan vakaus

Olkoon systeemi tasapainossa.

Tällöin edustava piste sijaitsee yhdessä järjestelmän singulaaripisteistä, jossa määritelmän mukaan:

.

Se, onko yksittäinen piste stabiili vai ei, määräytyy sen mukaan, lähteekö edustava piste pienellä poikkeamalla paikallaan olevasta tilasta vai ei. Sovellettuina kahden yhtälön järjestelmään, kielen stabiilisuuden määritelmäe, dseuraavasti.

Tasapainotila on stabiili, jos jollakin tietyllä alueella poikkeaa tasapainotilasta (e )alue voidaan määrittää d (e ), joka ympäröi tasapainotilaa ja jolla on ominaisuus, ettei alueen sisällä alkavaa liikerataa d , ei koskaan saavuta rajaa e . (Kuva 4.4)

Suurelle järjestelmäryhmälle - karkeita järjestelmiä – joiden käyttäytymisen luonne ei muutu pienellä yhtälön tyypin muutoksella, tietoa käyttäytymisen tyypistä stationaarisen tilan läheisyydessä voidaan saada tutkimalla ei alkuperäistä, vaan yksinkertaistettua linearisoitu järjestelmä.

Lineaariset järjestelmät.

Harkitse kahden hengen järjestelmää lineaariset yhtälöt:

.(4.4)

Tässä a, b, c, d- vakiot, x, y- Suorakulmaiset koordinaatit vaihetasolla.

Yleistä ratkaisua haetaan muodossa:

.(4.5)

Korvaa nämä lausekkeet lausekkeessa (4.4) ja pienennä e l t:

(4.6)

Algebrallinen yhtälöjärjestelmä (4.6) tuntemattomien kanssa A, B sillä on nollasta poikkeava ratkaisu vain, jos sen determinantti, joka koostuu tuntemattomien kertoimista, on yhtä suuri kuin nolla:

.

Laajentamalla tätä determinanttia, saamme järjestelmän ominaisyhtälön:

.(4.7)

Tämän yhtälön ratkaisu antaa indikaattorin arvotl 1,2 , joiden alle nollasta poikkeavat arvot ovat mahdollisia A ja B yhtälön (4.6) ratkaisut. Nämä arvot ovat

.(4.8)

Jos radikaalilauseke on negatiivinen, niinl 1,2 kompleksikonjugaattiluvut. Oletetaan, että yhtälön (4.7) molemmilla juurilla on nollasta poikkeavat reaaliosat ja että useita juuria ei ole. Tällöin järjestelmän (4.4) yleinen ratkaisu voidaan esittää eksponentien ja eksponentien lineaarisena yhdistelmänäl 1 , l 2 :

(4.9)

Järjestelmän mahdollisten liikeratojen luonteen analysoimiseksi vaihetasolla käytämme lineaarinen homogeeninen koordinaattimuunnos, joka tuo järjestelmän kanoninen muoto:

,(4.10)

mikä mahdollistaa kätevämmän esityksen vaihetasolla verrattuna alkuperäiseen järjestelmään (4.4). Otetaan käyttöön uudet koordinaatitξ , η kaavojen mukaan:

(4.1)

Lineaarialgebran kurssista tiedetään, että jos reaaliosat eivät ole nollal 1 , l 2 alkuperäinen järjestelmä (4.4) voidaan aina muuntaa muunnosten (4.11) avulla kanoniseen muotoon (4.10) ja tutkia sen käyttäytymistä vaihetasollaξ , η . Harkitse erilaisia ​​tapauksia, jotka voivat esiintyä tässä.

Juuret λ 1 , λ 2 – voimassa ja samalla merkillä

Tässä tapauksessa muunnoskertoimet ovat todellisia, siirrymme todellisesta tasostax,ytodelliseen tasoon ξ, η. Jakamalla toisen yhtälön (4.10) ensimmäisellä, saadaan:

.(4.12)

Integroimalla tämän yhtälön löydämme:

Missä .(4.13)

Sovitaan, että ymmärrämme λ:lla 2 ominaisyhtälön juuri, jolla on suuri moduuli, joka ei riko päättelymme yleisyyttä. Sitten, koska tarkasteltavassa tapauksessa juuret λ 1 , λ2 – voimassa ja samalla merkillä,a>1 , ja käsittelemme parabolisia integraalikäyriä.

Kaikki integraalikäyrät (paitsi akseli η , joka vastaa ) kosketa akselin alkupisteessä ξ, joka on myös yhtälön (4.11) integraalikäyrä. Koordinaattien origo on yksittäinen piste.

Selvitetään nyt edustavan pisteen liikkeen suunta vaihereittejä pitkin. Jos λ 1, λ 2 ovat negatiivisia, niin, kuten yhtälöistä (4.10) voidaan nähdä, |ξ|, |η| pienenee ajan myötä. Edustuspiste lähestyy origoa, mutta ei koskaan saavuta sitä. Muuten tämä olisi ristiriidassa Cauchyn lauseen kanssa, jonka mukaan vain yksi vaiherata kulkee vaihetason kunkin pisteen läpi.

Sellainen yksittäinen piste, jonka läpi integraalikäyrät kulkevat, aivan kuin paraabelien perhe kulkee origon läpi, kutsutaan solmuksi (kuva 1). 4.5)

Solmutyyppinen tasapainotila λ:ssa 1, λ 2 < 0 on Ljapunovin mukaan stabiili, koska edustava piste liikkuu kaikkia integraalikäyriä pitkin kohti koordinaattien origoa. se vakaa solmu. Jos λ 1, λ 2 > 0 siis |ξ|, |η| kasvaa ajan myötä ja edustava piste siirtyy pois origosta. Tässä tapauksessa yksikköpiste– epävakaa solmu .

Vaihetasolla x, y integraalikäyrien käyttäytymisen yleinen kvalitatiivinen luonne säilyy, mutta integraalikäyrien tangentit eivät ole yhteensopivia koordinaattiakseleiden kanssa. Näiden tangenttien kaltevuuskulma määräytyy kertoimien suhteen α , β , γ , δ yhtälöissä (4.11).

Juuret λ 1 , λ 2 ovat voimassa ja niillä on erilaiset merkit.

Muunna kohteesta koordinaatit x,y koordinaatteihin ξ, η taas todellista. Kanonisten muuttujien yhtälöt ovat jälleen muodossa (4.10), mutta nyt merkit λ 1, λ 2 eri. Vaiheradan yhtälöllä on muoto:

Missä , (4.14)

Integroimalla (4.14), löydämme

(4.15)

se yhtälö määrittelee hyperbolisen tyypin käyrien perheen, jossa molemmat koordinaattiakselit ovat asymptootit (at a=1 meillä olisi tasakylkisten hyperbolien perhe). Koordinaattiakselit ovat myös tässä tapauksessa integraalikäyriä– nämä ovat ainoat integraalikäyrät, jotka kulkevat origon läpi. Jokainenjoista koostuu kolmesta vaiheesta: kaksi liikettä kohti tasapainotilaa (tai poispäin tasapainotilasta) ja tasapainotilasta. Kaikki muut integraalikäyrät– ovat hyperboleja, jotka eivät kulje origon läpi (kuva 1). 4.6) Tätä yksittäistä pistettä kutsutaan "satula ». Vuoristosatulan lähellä olevat tasoviivat käyttäytyvät satulan läheisyydessä kuin vaiheradat.

Tarkastellaan edustavan pisteen liikkeen luonnetta vaiheratoja pitkin lähellä tasapainotilaa. Olkoon esim.λ 1 > 0, λ 2<0 . Sitten edustava piste sijoitetaan akselille ξ , siirtyy pois origosta ja sijoitetaan akselille η – lähestyy loputtomasti koordinaattien alkupistettä, saavuttamatta sitä rajallisessa ajassa. Missä tahansa edustava piste on alkuhetkellä (lukuun ottamatta singulaaripistettä ja asymptootin pisteitä η =0), se siirtyy lopulta pois tasapainotilasta, vaikka se liikkuisi alussa yhtä integraalikäyrää pitkin kohti singulaaripistettä.

Se on selvää satulatyyppinen yksikköpiste on aina epävakaa . Vain erityisesti valituissa alkuolosuhteissa asymptoottiinη =0 järjestelmä lähestyy tasapainotilaa. Tämä ei kuitenkaan ole ristiriidassa sen väitteen kanssa, että järjestelmä on epävakaa. Jos lasket, että kaikki järjestelmän alkutilat vaihetasolla ovat yhtä todennäköisiä, sitten sellaisen alkutilan todennäköisyys, joka vastaa liikettä suunnassa to yksikköpiste on yhtä suuri kuin nolla. Siksi mikä tahansa todellinen liike poistaa järjestelmän tasapainotilasta.Palataan koordinaatteihinx,y,saamme saman laadullisen kuvan kulkureittien liikkeen luonteesta origon ympärillä.

Solmun ja satulan tarkasteltujen tapausten välinen raja on tapaus kun esimerkiksi yksi tunnusomaisista indikaattoreista λ 1 , katoaa, mikä tapahtuu, kun järjestelmän determinantti- ilmaisu adbc=0(katso kaava 4.8 ). Tässä tapauksessa yhtälöiden (4.4) oikeanpuoleisten kertoimet ovat verrannollisia toisiinsa:

ja systeemillä on tasapainotiloihinsa kaikki suoran pisteet:

Loput integraalikäyrät ovat yhdensuuntaisia ​​viivoja, joilla on kaltevuus , jota pitkin edustavat pisteet joko lähestyvät tasapainotilaa tai siirtyvät siitä pois, riippuen ominaisyhtälön λ toisen juuren merkistä 2 = a+d.(Kuva 4. 7 ) Tässä tapauksessa tasapainotilan koordinaatit riippuvat muuttujien alkuarvosta.

Juuret λ 1 , λ 2 – monimutkainenkonjugaatti

Tässä tapauksessa ihan oikeastix ja y me teemme niillä on monimutkaisia ​​konjugaatteja ξ , η (4.10) . Kuitenkin ottamalla käyttöön vielä yksi välimuunnos, on myös tässä tapauksessa mahdollista pelkistää harkinta todelliseksi lineaariseksi homogeeniseksi muunnokseksi. Laitetaan:

(4.16)

missä a, b, ja u, v – todellisia arvoja. Voidaan osoittaa, että muunnos alkaenx,y to u, v on oletuksiemme mukaan todellinen, lineaarinen, homogeeninen nollasta poikkeavan determinantin kanssa. Yhtälöistä johtuen(4.10, 4.16) meillä on:

missä

(4.17)

Jakamalla toinen yhtälöstä ensimmäisellä, saamme:

joka on helpompi integroida, jos vaihdamme napakoordinaattijärjestelmään (r, φ ) . Vaihdon jälkeen saamme mistä:

.(4.18)

Siis vaihetasollau, vkyseessä on logaritmisen spiraalien perhe, joista jokaisella onasymptoottinen piste alkuperässä.Yksittäispiste, joka on kaikkien spiraalien muotoisten integraalikäyrien asymptoottinen piste, sisäkkäinen ystäväystävä, soitti keskittyä ( kuva 4.8 ) .

Tarkastellaan edustavan pisteen liikkeen luonnetta vaihereittejä pitkin. Kerrotaan ensimmäinen yhtälöistä (4.17) luvullau, ja toinen v ja lisäämällä saamme:

Missä

Päästää a 1 < 0 (a 1 = Reλ ) . Esittävä piste lähestyy sitten jatkuvasti origoa saavuttamatta sitä äärellisessä ajassa. Tämä tarkoittaa, että vaiheradat ovat kiertyviä spiraaleja ja vastaavat vaimennettuja värähtelyjä muuttujia. Se - vakaa keskittyminen .

Vakaan fokuksen tapauksessa, kuten stabiilin solmun tapauksessa, ei ainoastaan ​​Lyapunov-ehto täyty, vaan myös tiukempi vaatimus. Eli mahdollisilla alkupoikkeamilla järjestelmä palaa lopulta niin lähelle tasapainoasemaa kuin halutaan. Sellaista vakautta, jossa alkupoikkeamat eivät vain kasva, vaan heikkenevät nollaan, kutsutaan absoluuttinen vakaus .

Jos kaavassa (4.18) a 1 >0 , silloin edustava piste siirtyy pois origosta, ja olemme tekemisissä epävakaa tarkennus . Kun siirrytään lentokoneestau, vvaihetasollex, yspiraalit pysyvät myös spiraaleina, mutta ne vääristyvät.

Mieti nyt tilannetta, jolloina 1 =0 . Vaiheen liikeradat koneessau, vtulee olemaan ympyröitä joka lentokoneessax,ysopivat ellipseihin:

Siten kloa 1=0 erityisen pisteen kauttax= 0,y= 0 integraalikäyrä ei kulje. Tällaista eristettyä singulaaripistettä, jonka lähellä integraalikäyrät ovat suljettuja käyriä, erityisesti toisiinsa upotettuja ja singulaaripisteen sulkevia ellipsejä, kutsutaan keskipisteeksi.

Siten kuusi tasapainotyyppiä on mahdollista, riippuen ominaisyhtälön (4.7) juurien luonteesta. Näkymä vaiheradoista koneessa x, y näille kuudelle tapaukselle on esitetty kuvassa. 4.9.

Riisi. 4.9.Lineaarisen yhtälöjärjestelmän (4.4) vaihekuvatyypit stationaarisen tilan läheisyydessä.

Viisi tasapainotilatyyppiä ovat karkeita, niiden luonne ei muutu riittävän pienillä muutoksilla yhtälöiden (4.4) oikealla puolella. Tässä tapauksessa muutosten tulee olla pieniä paitsi oikealla puolella myös niiden ensimmäisen kertaluvun johdannaisissa. Kuudes tasapainotila - keskus - ei ole karkea. Pienillä muutoksilla yhtälöiden oikean puolen parametreissa se siirtyy vakaaseen tai epävakaaseen fokukseen.

Bifurkaatiokaavio

Otetaan käyttöön merkintä:

. (4.11)

Sitten ominaisyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa:

. (4.12)

Tarkastellaan tasoa, jolla on suorakulmaiset suorakulmaiset koordinaatit s , D ja merkitse siihen alueet, jotka vastaavat yhtä tai toista tasapainotilatyyppiä, joka määräytyy ominaisyhtälön juurien luonteen mukaan

.(4.13)

Tasapainotilan stabiilisuuden ehtona on y:n negatiivisen reaaliosan läsnäolol 1 ja l 2 . Välttämätön ja riittävä ehto tälle on eriarvoisuuksien täyttyminens > 0, D > 0 . Kaaviossa (4.15) tämä ehto vastaa parametritason ensimmäisellä neljänneksellä olevia pisteitä. Yksittäinen piste on painopiste, josl 1 ja l 2 monimutkainen. Tämä ehto vastaa niitä tason pisteitä, joille , nuo. pisteet paraabelin kahden haaran välissäs 2 = 4 D. Semiaxis pisteet s = 0, D>0, vastaavat keskustyypin tasapainotiloja. Samoinl 1 ja l 2 - voimassa olevat, mutta erilaiset merkit, ts. yksittäinen piste on satula jos D<0, jne. Tuloksena saadaan parametritason osiokaavio s, D, alueiksi, jotka vastaavat erityyppisiä tasapainotiloja.

Riisi. 4.10. Bifurkaatiokaavio

lineaarisen yhtälöjärjestelmän osalta 4.4

Jos lineaarisen järjestelmän kertoimet a, b, c, d riippuu jostakin parametrista, sitten kun tämä parametri muuttuu, myös arvot muuttuvats , D . Kun rajoja ylitetään, vaihemuotokuvan luonne muuttuu laadullisesti. Siksi tällaisia ​​rajoja kutsutaan bifurkaatiorajoilla - rajan vastakkaisilla puolilla järjestelmässä on kaksi topologisesti erilaista vaihekuvaa ja vastaavasti kaksi erilaista käyttäytymistä.

Kaavio näyttää, kuinka tällaiset muutokset voivat tapahtua. Jos jätetään pois erikoistapaukset - koordinaattien origo - on helppo nähdä, että satula voi mennä solmuun, vakaaseen tai epävakaaseen y-akselin ylittäessä. Vakaa solmu voi joko siirtyä satulaan tai vakaaseen fokukseen ja niin edelleen. Huomaa, että stabiili solmu-stabiili fokus ja epävakaa solmu-epävakaa fokussiirtymät eivät ole bifurkaatioita, koska vaiheavaruuden topologia ei muutu tässä tapauksessa. Puhumme tarkemmin vaiheavaruuden topologiasta ja bifurkaatiosiirtymistä luennossa 6.

Bifurkaatiosiirtymien aikana singulaaripisteen stabiilisuuden luonne muuttuu. Esimerkiksi vakaa tarkennus keskustan läpi voi muuttua epävakaaksi tarkennuksena. Tätä bifurkaatiota kutsutaan Andronov-Hopf haarautuminen sitä tutkineiden tiedemiesten nimien mukaan. Tällä bifurkaatiolla epälineaarisissa järjestelmissä syntyy rajasykli ja järjestelmä muuttuu itsevärähteleväksi (ks. luento 8).

Esimerkki. Lineaaristen kemiallisten reaktioiden järjestelmä

Aine X virtaa ulkopuolelta sisään vakionopeudella, muuttuu aineeksi Y ja aineen pitoisuuteen verrannollisella nopeudella Y, otetaan pois reaktiopallosta. Kaikki reaktiot ovat ensiluokkaisia, lukuun ottamatta aineen sisäänvirtausta ulkopuolelta, joka on nollakertaa. Reaktiokaavio näyttää tältä:

(4.14)

ja sitä kuvaa yhtälöjärjestelmä:

(4.15)

Saamme kiinteät pitoisuudet rinnastamalla oikeanpuoleiset puolet nollaan:

.(4.16)

Harkitse järjestelmän vaihekuvaa. Jaetaan järjestelmän (4.16) toinen yhtälö ensimmäisellä. Saamme:

.(4.17)

Yhtälö (4.17) määrittää muuttujien käyttäytymisen vaihetasolla. Tehdään tästä järjestelmästä vaihekuva. Ensin piirretään pääisokliinit vaihetasolle. Pystytangenttien isokliinin yhtälö:

Vaakasuuntaisten tangenttien isokliinin yhtälö:

Singulaaripiste (stationaaritila) sijaitsee pääisokliinien leikkauskohdassa.

Määritetään nyt, missä kulmassa koordinaattiakselit leikkaavat integraalikäyrät.

Jos x= 0, siis.

Siten integraalikäyrien tangentin kulman tangentti y=y(x), ylittää y-akselin x=0, on negatiivinen ylemmässä puolitasossa (muista, että muuttujat x, y niillä on pitoisuusarvot, ja siksi olemme kiinnostuneita vain vaihetason oikeasta yläkvadrantista). Tässä tapauksessa tangentin kaltevuuskulman tangentin arvo kasvaa etäisyyden myötä origosta.

Harkitse akselia y= 0. Tämän akselin leikkauskohdassa integraalikäyrät kuvataan yhtälöllä

klo abskissa-akselin ylittävien integraalikäyrien kaltevuuden tangentti on positiivinen ja kasvaa nollasta äärettömään kasvaessa x.

klo .

Sitten, kun kaltevuus kasvaa edelleen, kaltevuuden tangentti laskee absoluuttisessa arvossa, pysyen negatiivisena ja pyrkii arvoon -1 x ® ¥ . Kun tiedät integraalikäyrien tangenttien suunnan pääisokliinilla ja koordinaattiakseleilla, on helppo muodostaa kokonaiskuva vaihereitoista.

Singulaaripisteen stabiilisuuden luonne määritetään Lyapunov-menetelmällä. Järjestelmän ominaisdeterminantti on muotoa:

.

Laajentamalla determinanttia, saamme järjestelmän ominaisyhtälön: , eli ominaisyhtälön juuret ovat molemmat negatiivisia. Siksi järjestelmän stationaarinen tila on vakaa solmu. Samalla aineen pitoisuus X pyrkii liikkumattomaan tilaan aina monotonisesti, aineen Y pitoisuus voi kulkea min tai max. Värähtelevät järjestelmät tällaisessa järjestelmässä ovat mahdottomia.

Päästää zq - funktion f(z) singulaaripiste, t.s. f(z) mutta on tässä vaiheessa analyyttinen (etenkään sitä ei ehkä määritellä siellä). Jos pisteen naapurustossa on sellainen puhjennut alue zq (eli joukko O z - zq f(z) on siis aliattinen zo nimeltään eristetty yksittäinen piste toimintoja f(z). Tämä määritelmä säilyy myös asiassa zn = oo, jos jodi on pisteen puhkaiseva alue zq = oo ymmärrä joukkoa z > minä - jonkin ympyrän ilmaantuminen, jonka keskipiste on origossa. Toisin sanoen yksittäinen piste zq sanotaan olevan eristetty, jos tämän pisteen lähistöllä on muita yksittäispisteitä, jotka eroavat zq. Kaikkialla alla otamme huomioon vain yksiarvoisen merkin yksittäispisteet (funktio f(z) oletetaan olevan ainutlaatuinen).

Riippuen funktion käyttäytymisestä f(z) klo z -> zq Yksittäisiä pisteitä on kolmenlaisia. Eristetty yksittäinen piste zq-funktiot f(z) nimeltään:

1) irrotettava yksittäinen piste jos on rajallinen raja

2) napa jos on raja

3) olennainen kohta, jos f(z) ei ole äärellistä eikä ääretöntä rajaa z-> zq.

ESIMERKKI 26.1. Osoittakaamme, että kaikki kolme singulaaripistetyyppiä toteutuvat. Harkitse f(z)= piste zq = 0 on eristetty

tämän funktion yksittäinen piste. Kaavan (22.12) avulla saadaan laajennus

josta seuraa, että on olemassa lim fi(z)= 1. Siksi zq = 0 on

on funktion irrotettava yksittäinen piste fi(z).

Toiminto f'j(z) =--- on napa jossain pisteessä zo= 1 koska

2 r"X

Harkitse nyt toimintoa )z(z)= e 1 ^ r ja näytä se zo = O on tämän funktion olennainen yksittäinen piste. Kun yritetään z nollaan todellista akselia pitkin, funktion f vasen ja oikea raja (z) erilainen: lim Kanssa 1 / 1 = 0,lim 1 /* = os. Tämä tarkoittaa,

x->0-0 x->0+0

mitä f:i(z) sillä ei ole äärellistä eikä ääretöntä rajaa 2:lle -> Ai, eli zq = 0 on tämän funktion oleellisesti yksittäinen piste. (Huomaa, että kuten pointti näyttää z-iy nollaan kuvitteellisella akselifunktiolla

ei ole rajaa ollenkaan.)

Tietenkin on myös eristämättömiä yksittäispisteitä. Esimerkiksi. funktiolla on navat pisteissä z n = -, P= ±1, ±2,...

Näin ollen Zq = 0 on tämän funktion eristämätön singulaarinen piste: missä tahansa tämän pisteen (mielisesti pienessä) naapurustossa on muita singulaaripisteitä g s.

Päästää zo- funktion viimeinen eristetty singulaaripiste f(z). Sitten f(z) on samanlainen jossain puhjennetussa naapurustossa 0 pisteen Zo zo tätä naapurustoa voidaan pitää renkaana, jonka sisäsäde r = 0. Lauseen 25.1 mukaan tarkasteltavassa ympäristössä funktio f(z) voidaan laajentaa Laurent-sarjaan (25.2). Osoitamme, että funktion käyttäytyminen 2:lle -> zq (eli yksikköpisteen tyyppi zo) riippuu hajotuksen (25.2) pääosan muodosta; tämä seikka selittää termin "pääosa" alkuperän.

LAUSE 2G.2. Funktion f(z) eristetty yksittäinen piste zo on poistettavissa, jos ja vain jos Lorap-laajennuksella tämän pisteen lävistetyssä ympäristössä on oid

nuo. koostuu vain oikeasta osasta, ja kaikki pääosan kertoimet ovat yhtä suuria kuin luoti.

Todiste. 1. Anna zo on irrotettava yksittäinen piste. Osoittakaamme, että funktion Laurent-laajennus f(z) on muotoa (26.1). Yksittäispisteestä lähtien zo irrotettava, silloin on rajallinen raja f(z) = A. Näin ollen f(z) rajoittuu johonkin pisteen 0 z - zq puhkaisualueeseen zo, nuo. )(z) kaikille z tästä naapurustosta. Ota mikä tahansa R. U р /?| ja käytä kaavoja (25.3) Laurent-sarjan kertoimille:

Laajennuksen pääosan kertoimille n =- 1,-2,... Tällaisille arvoille P meillä on p~n-e 0 klo R-> 0. Arvosta lähtien R voidaan valita mielivaltaisesti pieneksi herra~" voi olla mielivaltaisen pieni. Koska |c t,| ^ Mr~n ja cn eivät ole riippuvaisia ​​p:stä, silloin cn = 0 for ja= - 1, -2,..., joka oli todistettava.

2. Oletetaan nyt, että Laurent-laajennuksella on muoto (26.1). Sarja (26.1) on tehosarja ja. siksi se yhtyy ei vain puhkaistuun, vaan myös koko naapurustoon z-zq piste mukaan lukien zo; sen summa S(z) on analyyttinen z ja S(z) = )(z) 0z - zo R. Siksi on olemassa äärellinen raja )(z)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - Siksi yksikköpiste zq

Z->Zo Z-*Zo

kertakäyttöinen. Lause on todistettu.

Kommentti. Lauseen todistuksesta seuraa, että irrotettavan singulaaripisteen lävistetyssä ympäristössä 0 z - zo funktio f(z) sopii yhteen funktion S(r) kanssa, joka on analyyttinen koko naapurustossa z - zo . Siksi, jos laitamme /(th) = S(zq), sitten muuttamatta funktion arvoja f(z) missä tahansa pisteytetyn alueen kohdassa teemme tästä funktiosta analyyttisen r:ssä, ts. "poistaa" ominaisuus. Tämä selittää termin "irrotettava singulaarisuus". On luonnollista pitää tällaisia ​​pisteitä funktion säännöllisinä pisteinä, ei yksittäisinä pisteinä f(z).

Harkitse esimerkiksi funktiota

Esimerkissä 26.1 osoitettiin, että Pm(n) = 1. ts. yksittäinen piste

zq = 0 on irrotettava. Asettamalla /i(0) = 1, eliminoimme siten singulaarisuuden ja saamme funktion, joka on analyyttinen kohdassa zq = 0 (ja koko tasossa C).

Luonnehditaan nyt navat Laurentin laajennuksilla.

Lause 26.3. Funktion f(z) eristetty singulaaripiste Zo on napa silloin ja vain jos, kun Laurentin laajennuksen pääosassa, jonka keskusta on Zq, on vain äärellinen määrä erillisiä

nollakertoimista n:llä:

Todiste. 1. Anna zq - napa, ts. lim /( z) = oo.

Osoittakaamme, että funktion Laurent-laajennus f(z) on muotoa (2G.2). Koska lim f(z)= oo. silloin on olemassa pisteen reikäalue

ki zq. jossa f(z) on analyyttinen eikä siinä ole nollia. Sitten funktio g(z) = 1 /f(z) on myös analyyttinen tällä rei'itetyllä alueella, ja lim g(z)= 0. Siksi Zo onko kertakäyttöinen *-? *0

funktion yksittäinen piste g(z). Määritellään uudelleen g(z) pisteessä zo, laittaa g(zo)= 0. Sitten g(z) muuttuu analyyttiseksi (ei-puhkaistun) pisteen koko ympäristössä z 0 , ja z0 on sen eristetty nolla. Merkitse N tämän nollan monikerta (kertaluku). Kuten §23 osoitti, pisteen läheisyydessä zq-funktio g(z) edustaa muodossa (katso (23.2))

ja (z$) f 0 ja y>(z) on analyyttinen jossain pisteen läheisyydessä zo- Koska ip(z) jatkuva pisteessä zo ja g>(zo) F 0" sitten ip(z) ei myöskään ole nollia jossain tämän pisteen läheisyydessä. Siksi toiminto 1 /-p(z) on myös analyyttinen tällä alueella ja siksi laajenee siinä Taylor-sarjassa:

Avaamalla sulut ja muuttamalla kertoimien nimiä, kirjoitamme viimeisen laajennuksen muotoon

missä c_jv = 1>o f 0. Näin ollen f(r):n Laurentin laajennuksen pääosa sisältää vain äärellisen määrän termejä; olemme saavuttaneet vaaditun tasa-arvon (26.2).

2. Päästä sisään pisteen reikäalue th toiminto )(z) edustaa Laurentin laajennus (26.2) (laajennetussa muodossa, katso (26.3)), jonka pääosa sisältää vain äärellisen määrän termejä, ja Kanssa- d" f 0. Meidän on todistettava se Zq - funktionapa f(z). Kerrotaan yhtäläisyys (26.3) luvulla (G - G o) iV , saamme funktion

Sarja kohdassa (26.4) on potenssisarja, joka konvergoi analyyttiseen funktioon ei vain lävistetyssä, vaan myös koko pisteen ympäristössä Zq. Siksi toiminto h(z) tulee analyyttiseksi tällä alueella, jos laajennamme sitä th asettamalla h(zo)= s_dg f 0. Sitten

Siten piste o on napa, ja Lause 26.3 on todistettu.

Nollafunktion monikertaisuus (järjestys). g(z)= 1//(r) kutsutaan napajärjestys funktio /(r). Jos N- navan järjestys on sitten th g(z)= (r - Zo)N ip(z), ja mene) F 0, ja kuten Lauseen 26.3 todistuksen ensimmäisessä osassa näkyy, f(r):n laajennus on muotoa (26.3), missä c_/v f 0. Kääntäen, jos f(r) laajenee sarjaan (26.3) ja e-z F 0 siis

t.s. N- funktion f(r) navan järjestys. Tällä tavalla, funktion zq-navan järjestys/(G) on yhtä suuri kuin Laurentin laajennuksen pääosan johtavan nollasta poikkeavan kertoimen numero pisteen zq lävistetyssä ympäristössä(eli yhtä suuri kuin tällainen luku N, mitä s_dg f 0 ja sp= 0 at P > N).

Todistakaamme seuraava väite, joka on kätevä) sovelluksille.

Seuraus 26.4. Piste zq on fiktion N kertaluvun napa/(G) jos ja vain jos/(G) edustaa muodossa

missä h(z) on analyyttinen funktio pisteen läheisyydessä th ja h(zo)f 0.

Todiste. Toiminto cp(z) = l/h(z) on analyyttinen jossain pisteen r ympäristössä. Seurauksen 26.4 ehto vastaa seuraavaa:

Siksi zq - monikertaisuus nolla N toimintoja g(z). ja siten moninaisuusnapa N funktiot /(2).

II esimerkki 26.5. Etsi funktion yksittäiset pisteet ja määritä niiden tyyppi.

T e u c io n Pisteet, joissa (z 2 + 1 )(z+ H) 2 = 0. Jos z 2 L- 1 = 0 ja sitten 2 = ±g jos (z 4 - H) 2 = 0, niin z= -3. Siksi funktiolla on kolme yksittäistä pistettä z= r, 22 = -r, Z3 = - 3. Harkitse z:

G - ensimmäisen asteen napa (käytimme Corollary 26.4:ää). Samalla tavalla voidaan todistaa, että 22 = -i myös ensimmäisen luokan pylväs. Meillä on 2 tunnin ajan:

Siirrytään olennaisesti yksittäisten kohtien tarkasteluun.

Lause 26.6. Funktion f(z) eristetty singulaaripiste zq on oleellisesti singulaarinen silloin ja vain, jos Laurentin laajennuksen pääosassa, jonka keskipiste on zq, on äärettömän monta erilaista. nolla, kertoimet p.

Todiste. Lause 26.6 seuraa suoraan lauseista 26.2 ja 26.3. Todellakin, jos kohta zq on olennaisesti yksikkö, silloin Laurentin laajennuksen pääosa ei voi olla poissa tai sisältää äärellisen määrän termejä (muuten piste Zq on joko irrotettava tai sauva). Siksi pääosan termien lukumäärän on oltava ääretön.

Päinvastoin, jos pääosassa on äärettömän monta jäsentä, niin Zq ei voi olla irrotettava piste eikä napa. Näin ollen tämä kohta on pohjimmiltaan yksittäinen.

Määritelmän mukaan oleellisesti singulaaripisteelle on tunnusomaista se, että funktiolla f(2) ei ole äärellistä eikä ääretöntä rajaa. z ->zq. Täydellisen käsityksen siitä, kuinka epäsäännöllistä funktion käyttäytyminen oleellisesti singulaarisen pisteen läheisyydessä on, antaa seuraava lause.

Lause 26.7 (Sochockin lause). Jos zq on oleellisesti singulaari, niin funktion f(z), sitten mille tahansa kompleksiluvulle L, mukaan lukien A = oo, on pisteiden z n sarja siten, että z n -> zo ja lim f(zn) = MUTTA.

n->os

Todiste. Harkitse ensin tapausta A = oo. Lauseen 2G.2 todistuksen ensimmäisessä osassa totesimme, että jos f(z) on rajoittunut johonkin pisteen r0 punkturoituun ympäristöön, silloin kaikki kertoimet c, n = - Pääosan 1, - 2,... ovat yhtä kuin nolla (ja näin ollen singulaarisuus th:ssä on poistettavissa). Koska olettaen, että r on oleellisesti yksittäinen piste, funktio /(r) on rajoittamaton missä tahansa pisteen r pisteytetyssä ympäristössä. Otetaan joku kapea naapurusto 0 Z siten, että f(zi) > 1 (jos |/(r)| z - zo R/2 on piste z-2 , jossa |/(dd)| > 2 jne.: puhjennetulla alueella O 71. On selvää, että rn -e go ja lim /(r«) = oo. Eli tapauksessa A = oo, Lause 26.7

todistettu.

Anna nyt A f oo. Oletetaan ensin, että alueella 0 on puhjennut alue

= -yy---- on analyyttinen tällä rei'itetyllä alueella ja näin ollen

/(G) - MUTTA

näin ollen r on funktion Φ(r) eristetty singulaaripiste. Näytämme. että r0 on Φ(r:n) oleellisesti singulaaripiste. Anna sen olla väärin. Silloin on olemassa raja lim Φ(r), joko äärellinen tai ääretön. Koska

/(r) = A +, silloin on olemassa myös Hsh /(r), mikä on ristiriidassa ehdon kanssa

F(g) ~ :-*z 0

näkemys lauseesta. Siten r0 on funktion Φ(r) oleellisesti singulaaripiste. Edellä todistetun mukaan on olemassa pisteiden r n sarja, jossa r n o ja lim Φ(r n) = oo. Täältä

Olemme osoittaneet vaaditun väitteen olettaen, että f(r) F A jossain pisteen r lävistetyssä ympäristössä. Oletetaan nyt, että tämä ei ole totta, ts. missä tahansa mielivaltaisen pienessä pisteen th:n lävistetyssä ympäristössä on sellainen piste G", että f(r") = A. Sitten millä tahansa P puhkaisualueella 0 f(z u) = L. Siten vaadittu väite on tosi P-juo

kaikissa tapauksissa ja Lause 26.7 on todistettu.

(Sokhotskin) Lauseen 26.7 mukaan missä tahansa (mielisesti pienessä) olennaisesti singulaarisen pisteen lävistetyssä ympäristössä funktio f(r) ottaa arvoja mielivaltaisesti lähellä mitä tahansa lukua laajennetussa kompleksitasossa C.

Eristettyjen singulaaripisteiden tutkimiseen on usein hyödyllisiä perusfunktioiden Taylor-laajennuksia.

ESIMERKKI 2G.8. Määritä funktion singulaaripisteen tyyppi zq = 0

Ratkaistu ja e. Laajennamme osoittajaa ja nimittäjää Taylor-sarjassa r:n potenssilla. Korvataan (22.11) 3 z r:n sijaan ja vähentämällä 1, saamme

Käyttämällä (22.12) saamme nimittäjän laajennuksen:

Sarjat näissä laajennuksissa konvergoivat koko kompleksitasossa €. Meillä on

ja /2(2) ovat analogisia pisteen läheisyydessä zo = 0 (ja jopa koko tasossa) ja /2(20) F 0 siis h(z) on myös analyyttinen jossain pisteen gF 0 ympäristössä. Seurauksen 26.4 mukaan piste Zo = 0 on järjestyksen napa N = 4.

II esimerkki 26.9. Etsi funktion yksittäispisteet f(z)= sin j - ja määritä niiden tyyppi.

P e in e ja e. Funktiolla on yksi lopullinen yksikköpiste zq = 1. Muissa pisteissä C:stä funktio w =--- analyyttinen; siis syntifunktio w tulee olemaan analyyttinen.

Korvaaminen sinin laajennuksessa (22.12) - r:n sijaan saamme

Olemme saaneet syntifunktion laajennuksen Laurent-sarjassa pisteen 20 = 1 puhkaisualueella. Koska tuloksena oleva laajennus sisältää äärettömän monta termiä, joilla on negatiivinen potenssi (r - 1), niin zq = 1 on olennainen yksikköpiste (tässä tapauksessa Laurentin laajennus koostuu vain pääosasta, ja oikea osa puuttuu).

Huomaa, että tässä tapauksessa oli myös mahdollista määrittää singulaarisuuden luonne suoraan määritelmästä turvautumatta sarjalaajennukseen. Todellakin, on sekvenssejä (r") ja (2"), jotka suppenevat zo= 1, ja niin f(z"n)= 1, /(2") = 0 (määritä tällaiset sekvenssit itse). f(z) ei ole rajaa milloin z -> 1 ja siitä se pointti zq - 1 on olennaisesti yksikkö.

Otetaan käyttöön käsite funktion Laurent-laajennuksesta pisteen ympäristössä Zq = 00 ja ota huomioon laajennuksen ja singulaarisuuden luonteen välinen yhteys tässä vaiheessa. Huomaa, että eristetyn yksittäisen pisteen ja sen tyypin (irrotettava, napainen tai olennaisesti yksittäinen) määritelmät siirtyvät tapaukseen zq = oc muuttumaton. Mutta lauseet 26.2. 26.3 ja 26.6, jotka liittyvät Laurentin laajennusten luonteeseen, on muutettava. Pointti on, että jäsenet c n (z - 2o) s. P= -1,-2,..., pääosa, joka määrittää funktion "epäsäännöllisyyden" lähellä päätepistettä Zq, koska 2 on yleensä oo, he käyttäytyvät "oikein" (yleensä 0). Päinvastoin, jäsenet säännöllisesti osa P= 1,2,... yleensä oo; ne määrittävät singulaarisuuden luonteen Zq = oo. Siksi suurin osa oo:n naapuruston laajentumisesta tulee olemaan positiivisia voimia omaavat termit P, ja oikein - negatiivisella.

Otetaan käyttöön uusi muuttuja w = 12. Toiminto tv = 1/2, laajennettu siten, että u(oo) = 0, yksi yhteen ja kartoittaa naapuruston yhdenmukaisesti z > R pisteitä zq = 00 |w|:n läheisyydessä wq = 0. Jos funktio f(z) analytiikka puhjennetulla alueella R z Zq = oc, sitten funktio G(w) = f(l/w) on analyyttinen keltaisella alueella 0 wo = 0. Koska 2 -> oo on w-> 0 siis

Siksi G(w) on pisteessä wq = 0 on samaa tyyppiä oleva singuliteetti kuin f(z) pisteessä Zq = 00. Laajennetaan funktiota G(w) Laurent-sarjassa pisteen wo = 0 lävistetyssä ympäristössä:

(26.5) oikealla puolella olevat summat edustavat laajennuksen oikeaa ja pääosaa, vastaavasti. Siirrytään muuttujaan z, korvaamalla w = 1/z:

merkitsee P\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ " \u003d kanssa p ja sen huomaaminen G(l/z) = f(z), saamme

Hajoamista (2G.G) kutsutaan F(z)-funktion Laurent-laajennus pisteen zq lävistetyssä ympäristössä= oo. (2G.6):n ensimmäistä summaa kutsutaan oikea osa, ja toinen summa on pääosa tämä hajoaminen. Koska nämä summat vastaavat laajennuksen (26.5) oikeita ja pääosia, laajennus (26.6) tyydyttää Lauseen 26.2, 26.3 ja 26.6 analogit. Siten seuraava lause on Lauseen 26.2 analogi.

Lause 26.10. Eristetty yksittäinen pisteZq - os (toiminnot/(G) on irrotettavissa, jos ja vain jos Laurent-laajennuksella tämän pisteen puhjennetussa naapurustossa on muoto

t.s. koostuu vain oikeasta osasta.

Laitamme /(oo) = co. Funktio, jonka määrittelee sarja (26.7), joka suppenee naapurustossa z > R pisteet 2o \u003d oc, kutsutaan analyyttinen pisteessä z o = oo. (Huomaa, että tämä määritelmä vastaa funktion analyyttisuutta G(w) pisteessä voi = 0.)

Esimerkki 26.11. Tutki funktion singulaaripistettä zq = oo

Koska raja on siis rajallinen zo = oo on funktion f(r) irrotettava singulaaripiste. Jos laitamme /(oo) = lim J(z)= 0 siis f(z) tulee

tic kohdassa Zo= os. Näytämme kuinka vastaava laajennus (26.7) löydetään. Siirrytään muuttujaan w = 1 fz. Korvaaminen z= 1 /?e, saamme

(viimeinen yhtälö pätee pisteen ww = 0 punkturoidussa ympäristössä, mutta laajennetaan määritelmää (7(0) = 0). Tuloksena olevalla funktiolla on singulaaripisteitä w =± minä, w =-1/3, ja pisteessä Wq = 0 on analyyttinen. Laajentava toiminto G(w) asteittain w(kuten tehtiin esimerkissä 25.7) ja korvaamalla tuloksena olevaan tehosarjaan w = 1/z voidaan saada funktion laajennus (26.7). f(z).

Lause 26.3 tapaukselle zo= oo kirjoitetaan uudelleen seuraavassa muodossa.

Lause 26.12. Eristetty yksittäinen piste mennä = os funktio f(z) on napa silloin ja vain jos se on Laurentin laajennuksen pääosa (26.6) sillä on vain äärellinen määrä nollasta poikkeavia kertoimia Kanssa":

Tässä sarja on säännöllinen osa ja suluissa oleva polynomi on laajennuksen pääosa. Napan monikertaisuus oc:ssa määritellään navan moninkertaisuudeksi wq = 0 funktiota G(z). On helppo nähdä, että navan monikertaisuus on sama kuin numero N vuonna (26.8).

Q p | (i 2 + 1) (z + 3) 2

Tehtävä. Näytä, että toiminto f(z) =-- -- on mukana

kohta zo = oo napajärjestys 3.

Lause 26.6 olennaisesta singulaaripisteestä kirjoitetaan uudelleen tapaukselle zo= os melkein sanatarkasti, emmekä käsittele sitä yksityiskohtaisesti.

Peruskäsitteet ja määritelmät:

Analyyttisen funktion f(z) nolla on piste "a", jolle f(a)=0.

Funktion f(z) kertaluvun ”n” nolla on piste ”a”, jos mutta fn(a)¹0.

Singulaarista pistettä "a" kutsutaan funktion f(z) eristetyksi singulaariseksi pisteeksi, jos tämän pisteen ympäristössä ei ole muita singulaaripisteitä kuin "a".

Eristettyjä yksittäispisteitä on kolmea tyyppiä: .

1 irrotettava erikoispiste;

3 olennaista yksikkökohtaa.

Singulaaripisteen tyyppi voidaan määrittää perustuen tietyn funktion käyttäytymiseen löydetyssä singulaaripisteessä sekä löydetyn singulaaripisteen läheisyydessä olevalle funktiolle saadun Laurent-sarjan muodosta.

Singulaaripisteen tyypin määrittäminen siinä olevan funktion käyttäytymisen perusteella.

1. Irrotettavat yksittäispisteet.

Funktion f(z) eristettyä singulaaripistettä a kutsutaan irrotettavaksi, jos on olemassa äärellinen raja .

2. Puolat.

Funktion f(z) eristettyä singulaaripistettä a kutsutaan napaksi if .

3. Merkittävät yksittäiset pisteet.

Funktion f(z) eristettyä singulaaripistettä a kutsutaan oleelliseksi singulaaripisteeksi, jos äärellistä tai ääretöntä ei ole olemassa.

Seuraava suhde tapahtuu funktion nollien ja napojen välillä.

Jotta piste a olisi funktion f(Z) kertaluku n, on välttämätöntä ja riittävää, että tämä piste on funktion n kertaluvun nolla.

Jos n=1 napaa kutsutaan yksinkertaiseksi.

Määritelmä: Yksiarvoisen merkin eristettyä yksittäistä pistettä kutsutaan:

a) irrotettava, jos hajoamisen pääosa puuttuu;

b) napa, jos pääosassa on äärellinen määrä jäseniä;

c) oleellisesti yksittäinen piste, jos pääosa sisältää äärettömän määrän termejä.

a) Siten irrotettavan singulaaripisteen läheisyydessä laajennus on muotoa:

se ilmaisee funktion ympyrän kaikissa pisteissä |z-a|

Keskuksessa z=a yhtälö on epätosi, koska funktiolla z=a on epäjatkuvuus, ja oikea puoli on jatkuva. Jos keskellä olevan funktion arvoa muutetaan siten, että se on yhtä suuri kuin oikean puolen arvo, niin aukko eliminoituu - tästä syystä nimi - irrotettava.

b) M kertaluvun navan läheisyydessä Laurent-sarjan laajennus on muotoa:

c) Yksinkertaisen pylvään läheisyydessä

Vähennykset ja niiden laskentakaavat.

Analyyttisen funktion f(z) jäännös eristetyssä singulaaripisteessä z 0 on kompleksiluku, joka on yhtä suuri kuin integraalin arvo , otettuna positiiviseen suuntaan ympyrää L, jonka keskipiste on z 0 ja joka sijaitsee funktion f(z) analyyttisyysalueella (eli renkaassa 0).<|z-z0|

Funktion f(z) jäännös eristetyssä singulaaripisteessä z 0 on merkitty symbolilla Res f(z 0) tai Res (f(z); z 0). Tällä tavalla,

Resf(z0)= . (22.15.1)

Jos laitamme n=-1 kaavaan (22.15.1), saamme:

C-1 =

tai Res f(z 0) = C-1,

nuo. funktion f(z) jäännös singulaaripisteen z 0 suhteen on yhtä suuri kuin ensimmäisen negatiivisen eksponentin omaavan termin kerroin funktion f(z) laajennuksessa Laurentin sarjassa.

Vähennysten laskeminen.

Säännölliset tai irrotettavat yksittäispisteet. Ilmeisesti jos z=z 0 on funktion f(z) säännöllinen tai irrotettava singulaaripiste, niin Res f(z 0)=0 (näissä tapauksissa Laurentin hajotuksessa ei ole pääosaa, joten c-1= 0).

napa. Olkoon piste z 0 funktion f(z) yksinkertainen napa. Sitten Laurent-sarja funktiolle f(z) pisteen z 0 ympäristössä on muotoa:

Täältä

Siten, siirtämällä tämä yhtälö rajaan z --z 0 , saamme

Res f(z0)=

Pohjimmiltaan erityinen kohta. Jos piste z 0 on funktion f(z) oleellisesti singulaaripiste, niin funktion jäännöksen laskemiseksi tässä pisteessä määritetään yleensä suoraan kerroin c-1 funktion laajennuksessa Laurent-sarjassa.

Tapahtuman luokittelu. Summa, tapahtumien tulo, niiden ominaisuudet, graafinen esitys.

Tapahtumat on jaettu:

1. Satunnainen

2. Uskottava

3. Mahdotonta

Luotettava - tämä on tapahtuma, joka tapahtuu välttämättä näissä olosuhteissa (yötä seuraa aamu).

Satunnainen on tapahtuma, joka voi tapahtua tai ei (kokeen läpäiseminen).

Mahdoton on tapahtuma, joka ei tapahdu annetuissa olosuhteissa (ota vihreä kynä laatikosta, jossa on vain punaisia).

yksittäinen piste

matematiikassa.

1) Yhtälön F antaman käyrän singulaaripiste ( x, y) = 0, - piste M 0 ( x 0, y 0), jossa molemmat funktion F ( x, y) katoaa:

Jos lisäksi kaikki funktion F ( x, y) pisteessä M 0 ovat yhtä suuret kuin nolla, niin O. t.:tä kutsutaan kaksinkertaiseksi. Jos ensimmäisten derivaattojen katoamisen myötä pisteessä M 0 kaikki toiset derivaatat katoavat, mutta kaikki kolmannet derivaatat eivät ole yhtä suuria kuin nolla, niin O.t.:tä kutsutaan kolmiosaiseksi ja niin edelleen. Kun tutkitaan käyrän rakennetta lähellä kaksoiso. t.:ta, tärkeä rooli on lausekkeen merkillä

Jos Δ > 0, niin O.t.:tä kutsutaan eristetyksi; esimerkiksi käyrä v 2 - x 4 + 4x 2= 0 origo on eristetty O. t. (katso riisi. yksi ). Jos Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - 4= 0 koordinaattien origo on solmu O. t. (katso riisi. 2 ). Jos Δ = 0, niin O.t.-käyrä on joko eristetty tai sille on tunnusomaista se, että käyrän eri haaroilla on tässä kohdassa yhteinen tangentti, esimerkiksi: tangentti ja muodostavat pisteen, kuten käyrä v 2 - x 3= 0 (katso riisi. 3 , a); b) 2. tyyppinen huippu - käyrän eri haarat sijaitsevat samalla puolella yhteistä tangenttia, kuten käyrä (y - x 2)2-x5= 0 (katso riisi. 3 , b); c) itsekosketuspiste (käyrälle v 2 - x 4= 0 origo on itsekosketuspiste; (cm. riisi. 3 , sisään). Määritellyn O. t.:n ohella on monia muita O. t.:itä erityisnimillä; Esimerkiksi asymptoottinen piste on spiraalin huippu, jossa on ääretön määrä kierroksia (ks. riisi. neljä ), taitekohta, kulmapiste jne.

2) Differentiaaliyhtälön singulaaripiste on piste, jossa differentiaaliyhtälön oikean puolen osoittaja ja nimittäjä katoavat samanaikaisesti (katso Differentiaaliyhtälöt)

jossa P ja Q ovat jatkuvasti differentioituvia funktioita. Olettaen, että O. t. sijaitsee koordinaattien origossa ja käyttämällä Taylorin kaavaa (katso Taylorin kaava), voimme esittää yhtälön (1) muodossa

missä P 1 ( x, y) ja Q 1 ( x, y) ovat äärettömän pieniä suhteessa

Nimittäin, jos λ 1 ≠ λ 2 ja λ 1 λ 2 > 0 tai λ 1 = λ 2, niin O.t. on solmu; kaikki integraalikäyrät, jotka kulkevat solmun riittävän pienen lähialueen pisteiden läpi, tulevat siihen. Jos λ 1 ≠ λ 2 ja λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 ja β ≠ ​​0, niin O.t. on kohdistus; kaikki integraalikäyrät, jotka kulkevat pisteiden läpi riittävän pienellä tarkennusalueella, ovat spiraaleja, joissa on ääretön määrä kierroksia missä tahansa mielivaltaisen pienessä fokuksen ympäristössä. Jos lopulta λ 1,2 = ± iβ, β ≠ 0, silloin O. t:n luonnetta ei määritetä lineaarisilla termeillä P ( x, y) ja Q ( x, y), kuten kaikissa edellä mainituissa tapauksissa; tässä O. t. voi olla painopiste tai keskus, tai sillä voi olla monimutkaisempi luonne. Keskustan läheisyydessä kaikki integraalikäyrät ovat suljettuja ja sisältävät keskipisteen niiden sisällä. Joten esimerkiksi piste (0, 0) on yhtälöiden solmu klo" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; katso riisi. 5 , a) ja y" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; katso riisi. 5 , b), yhtälön satula y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; cm. riisi. 6 ), yhtälön painopiste y" =(x + y) / (x - y) (λ 1 = 1 - i, λ 2 = 1 + i; cm. riisi. 7 ) ja yhtälön keskipiste y" = -x / y(λ 1 = -i, λ 2 = i; cm. riisi. kahdeksan ).

Jos x, y) ja Q ( x, y) ovat analyyttisiä, korkeamman asteen O. t.:n lähialue voidaan jakaa alueisiin: D 1 - täynnä integraalikäyriä, molemmat päät menevät O. t.:iin (elliptiset alueet), D 2 - täynnä integraalikäyriä, toinen pää menee O. t.:iin (paraboliset alueet) ja D 3 - alueet, joita rajoittaa kaksi integraalikäyrää, jotka sisältyvät O. t.:iin, joiden välissä on hyperbolien (hyperbolisten alueiden) tyyppiset integraalikäyrät (katso. riisi. 9 ). Jos O.-pisteeseen ei tule integraalikäyriä, niin O-pistettä kutsutaan stabiiliksi pisteeksi. Vakaan O.t.:n ympäristö koostuu suljetuista integraalikäyristä, jotka sisältävät O.t.:n sisällään ja joiden välissä sijaitsevat spiraalit (ks. riisi. kymmenen ).

O.t.-differentiaaliyhtälöiden tutkimus, eli pohjimmiltaan integraalikäyräperheiden käyttäytymisen tutkimus O.t.M.Lyapunov a:n, A. Poincarén ym.).

3) Yksiarvoisen analyyttisen funktion singulaaripiste on piste, jossa funktion analyyttisyys rikotaan (katso Analyyttiset funktiot). Jos naapurustossa on O. t. a, vapaa muista O. t., sitten kohta a kutsutaan eristetyksi O. t. Jos a on eristetty O. t. ja on olemassa äärellinen a, jota kutsutaan irrotettavaksi O. t. f(a)= b, se on mahdollista saavuttaa a tulee korjatun funktion tavallinen piste. Esimerkiksi piste z= 0 on irrotettava O.T. funktiolle f 1 ( z) = f(z), jos z≠ 0 ja f 1(0),=1, piste z= 0 on tavallinen piste [ f 1 (z) on pisteessä analyyttinen z= 0]. Jos a- eristettyä O. t.:tä ja a:ta kutsutaan napaksi tai funktion oleellisesti singulaaripisteeksi f(z), jos Laurent-sarja) toimii f(z) eristetyn O. t:n läheisyydessä ei sisällä negatiivisia potenssia z - a, jos a- irrotettava O. t., sisältää rajallisen määrän negatiivisia tehoja z - a, jos a- napa (tässä tapauksessa navan järjestys R määritellään a - olennaisesti yksittäisen pisteen suurimmaksi tehoksi. Esimerkiksi funktiolle

p = 2, 3, …)

piste z= 0 on järjestyksen napa R, toimintoa varten

piste z= 0 on olennainen singulaaripiste.

Potenssisarjan konvergenssiympyrän rajalla tulee olla vähintään yksi O. m funktiota, jota annetulla potenssisarjalla edustaa tämän ympyrän sisällä. Kaikki yksiarvoisen analyyttisen funktion olemassaolon rajapisteet (luonnollinen raja) ovat tämän funktion rajapisteitä. Siten kaikki yksikköympyrän pisteet | z| = 1 ovat erityisiä funktiolle

Moniarvoiselle analyyttiselle funktiolle käsite "O. t." vaikeampaa. O. t.:n lisäksi funktion Riemannin pinnan erillisillä arkeilla (eli yksiarvoisten analyyttisten elementtien O. t.:llä) mikä tahansa haarapiste on myös funktion O. t.. Riemannin pinnan eristetyt haarapisteet (eli haarapisteet, joissa joissakin niiden lähiöissä ei ole muita O.t.-funktioita missään lehdissä) luokitellaan seuraavasti. Jos a on äärellinen haarapiste ja on olemassa äärellinen a, sitä kutsutaan kriittiseksi napaksi. Jos a on äärettömän kertaluokan eristetty haarapiste ja a:ta kutsutaan transsendentaaliseksi O. t. Kaikkia muita eristettyjä haarapisteitä kutsutaan kriittisiksi olennaisesti singulaaripisteiksi. Esimerkkejä: piste z= 0 on tavallinen kriittinen piste funktiolle f ( z) = loki z ja funktion kriittinen olennainen singulaaripiste f (z) = syntiloki z.

Mikä tahansa O. t., paitsi irrotettava, on este analyyttiselle jatkamiselle, ts. analyyttinen jatkaminen irrotettavan O. t:n läpi kulkevalla käyrällä on mahdotonta.

Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. 1969-1978 .

Katso, mitä "erikoispiste" on muissa sanakirjoissa:

Pisteet tästä. Katso myös singulaaripiste (differentiaaliyhtälöt). Ominaisuus tai singulaarisuus matematiikassa on piste, jossa matemaattista objektia (yleensä funktiota) ei ole määritelty tai se käyttäytyy epäsäännöllisesti (esimerkiksi piste, jossa ... ... Wikipedia

Analyyttinen toiminto on kohta, jossa analyyttisyysehtoja rikotaan. Jos analyyttinen funktio f(z) on määritelty jossain pisteen z0 ympäristössä kaikkialla… Fyysinen tietosanakirja

Analyyttinen funktio on kohta, jossa funktion analyyttisyys rikotaan... Suuri Ensyklopedinen sanakirja

yksittäinen piste- [Ja.N. Luginsky, M.S. Fezi Žilinskaja, Yu.S. Kabirov. English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Power Industry, Moskova, 1999] Sähkötekniikan aiheet, peruskäsitteet FI yksikkökohta ... Teknisen kääntäjän käsikirja

1) Analyyttisen funktion f(z) OT on este kompleksisen muuttujan z funktion f(z) elementin analyyttiselle jatkumiselle jollakin polulla tämän muuttujan tasolla. Määrittele analyyttinen funktio f(z) jollain ... ... Matemaattinen tietosanakirja

Analyyttinen funktio, piste, jossa funktion analyyttisyys rikotaan. * * * SINGULAARIPISTE Analyyttisen funktion SINGULAARIPISTE, piste, jossa funktion analyyttisyys rikotaan... tietosanakirja

yksittäinen piste- ypatingasis taškas statusas T ala automatika atitikmenys: engl. yksikköpiste vok. singularer Punkt, m rus. yksikköpiste, fpranc. pistehiukkanen, m; point singulier, m … Automatikos terminų žodynas

yksittäinen piste- ypatingasis taškas statusas T ala fizika atitikmenys: engl. yksikköpiste vok. singularer Punkt, m rus. yksikköpiste, fpranc. point singulier, m … Fizikos terminų žodynas

Taylor-sarjat toimivat tehokkaana työkaluna ympyrässä zol analyyttisten funktioiden tutkimiseen Rengasmaisella alueella analyyttisten funktioiden tutkimiseksi käy ilmi, että on mahdollista rakentaa laajennuksia funktioiden positiivisiin ja negatiivisiin potenssiin (z - zq). muoto, joka yleistää Taylorin laajennukset. Sarjaa (1), joka ymmärretään kahden sarjan summana, kutsutaan Laurent-sarjaksi. On selvää, että sarjan (1) konvergenssialue on kunkin sarjan (2) konvergenssialueiden yhteinen osa. Etsitään hänet. Ensimmäisen sarjan konvergenssialue on ympyrä, jonka säde määräytyy Cauchyn-Hadamardin kaavalla Konvergenssiympyrän sisällä sarja (3) konvergoi analyyttiseksi funktioksi, ja missä tahansa ympyrässä, jonka säde on pienempi, se suppenee ehdottomasti ja tasaisesti. Toinen sarja on muuttujan suhteen potenssisarja. Sarja (5) konvergoituu konvergenssipiirissään kompleksisen muuttujan m-*oo analyyttiseen funktioon, ja missä tahansa pienemmän säteen ympyrässä se konvergoi absoluuttisesti ja tasaisesti, mikä tarkoittaa, että sarjan (4) konvergenssialue on ympyrän ulkonäkö - Jos silloin on sarjojen (3) ja (4) konvergenssialue - pyöreä rengas, jossa sarja (1) konvergoi analyyttiseksi funktioksi. Lisäksi missä tahansa renkaassa se suppenee ehdottomasti ja tasaisesti. Esimerkki 1. Määritä rad Laurent-sarjan konvergenssialue Eristetyt singulaaripisteet ja niiden luokitus (z), joka on yksiarvoinen ja apoliittinen ympyrärenkaassa, voidaan esittää tässä renkaassa konvergentin sarjan summana, jonka kertoimet Cn määritetään yksiselitteisesti ja lasketaan kaavoilla jossa 7p on ympyrä, jonka säde on m. Kiinnitetään mielivaltainen piste z renkaan R sisälle Rakennamme ympyröitä, joiden keskipisteet ovat pisteessä r ja joiden säteet täyttävät epäyhtälöt ja harkitsemme uutta rengasta. Kaikille ympyrän 7d* pisteille £ tasaisesti suppenevan sarjan 1 1 summan suhde täyttyy. Siksi murto-osa ^ voidaan esittää vi- /" / Hieman eri tavalla kaikille pisteille ξ ympyrä ir> meillä on suhde Siksi murto-osa ^ voidaan esittää tasaisesti konvergentin sarjan summana kaavoissa (10) ja (12) ovat analyyttisiä funktioita ympyrärenkaassa. Siksi Cauchyn lauseen mukaan vastaavien integraalien arvot eivät muutu, jos ympyrät 7/r ja 7r/ korvataan millä tahansa ympyrällä. Tämä mahdollistaa kaavojen (10) ja (12) yhdistämisen. Korvaamalla kaavan (8) oikealla puolella olevat integraalit niiden lausekkeilla (9) ja (11) vastaavasti saadaan haluttu laajennus. Koska z on mielivaltainen renkaan pisteestä seuraa, että sarja ( 14) konvergoi funktioon f(z) kaikkialla tässä renkaassa, ja missä tahansa renkaassa sarja konvergoi tähän funktioon absoluuttisesti ja tasaisesti. Osoittakaamme nyt, että muodon (6) hajoaminen on ainutlaatuinen. Oletetaan, että tapahtuu vielä yksi hajoaminen. Sitten kaikkialla renkaan R sisällä on Kehällä sarjat (15) suppenevat tasaisesti. Kerro yhtälön molemmat puolet (jossa m on kiinteä kokonaisluku ja integroi molemmat sarjat termi kerrallaan. Tämän seurauksena saamme vasemmalle puolelle ja oikealle - Csh. Siten (4, \u003d St. Since m on mielivaltainen luku, jolloin viimeistä yhtälösarjaa (6), jonka kertoimet lasketaan kaavoilla (7), kutsutaan renkaan 7) funktion f(z) Laurent-sarjaksi, sillä Laurent-sarjan kertoimet ovat Käytännössä käytetään harvoin, koska ne vaativat pääsääntöisesti hankalia laskelmia.Yleensä, mikäli mahdollista, käytetään alkeisfunktioiden valmiita Taylor-laajennuksia.Laajennuksen ainutlaatuisuuden perusteella mikä tahansa laillinen menetelmä johtaa samaan tulokseen Esimerkki 2 Tarkastellaan eri alueiden funktioiden Laurent-sarjan laajennuksia olettaen, että Fuisciuksella /(r) on kaksi singulaaripistettä: Siksi rengasalueita on kolme ja keskitetty pisteeseen r = 0. joissa kussakin funktio f(r) on analyyttinen: a) ympyrä on ympyrän ulkopuoli (kuva 27). Etsitään funktion /(z) Laurent-laajennukset jokaiselta näistä alueista. Esitetään /(z) alkeismurtolukujen summana a) Ympyrämuunnosrelaatio (16) seuraavasti Käyttämällä geometrisen progression termien summan kaavaa saadaan b) Funktion -z rengas pysyy suppenevana tässä renkaassa, koska sarja (19) funktiolle j^j |z| > 1 eroaa. Siksi muunnamme funktion /(z) seuraavasti: soveltamalla kaavaa (19) uudelleen saadaan, että Tämä sarja konvergoi for. Korvaamalla laajennukset (18) ja (21) suhteeksi (20) saadaan c) Ympyrän ulkopuoli funktiolle -z, jossa |z| > 2 hajoaa, ja sarja (21) funktiolle Esitetään funktio /(z) seuraavassa muodossa: /<*>Käyttämällä kaavoja (18) ja (19) saadaan TAI 1 Tämä esimerkki osoittaa, että samalle funktiolle f(z) Laurent-laajennuksella on yleisesti ottaen erilainen erilaisille renkaille. Esimerkki 3. Etsi funktion Laurent-sarjan 8 Laurent-sarjan hajotus Eristetyt singulaaripisteet ja niiden luokittelu rengasmaisella alueella A Käytämme funktion f (z) esitystä seuraavassa muodossa: ja muunna toinen termi käyttämällä kaava geometrisen progression termien summalle, saadaan Korvaamalla löydetyt lausekkeet kaavaan (22), meillä on esimerkki 4. Laajenna funktio Laurent-sarjassa ohuen zq = 0:n läheisyydessä. , meillä on Olkoon Tämä laajennus pätee mihin tahansa pisteeseen z Ф 0. Tässä tapauksessa rengasmainen alue on koko kompleksitaso, josta yksi on heitetty ulos pisteestä z - 0. Tämä alue voidaan määritellä seuraavalla suhteella: Tämä funktio on analyyttinen alueella Laurent-sarjan kertoimien kaavoista (13) voidaan saada Kouiw-epäyhtälöt samalla perustelulla kuin edellisessä kappaleessa. jos funktio f(z) on rajattu ympyrään, jossa M on vakio), niin eristetyt singulaaripisteet Pistettä zo kutsutaan funktion f(z) eristetyksi singulaaripisteeksi, jos pisteen ( tätä joukkoa kutsutaan joskus myös pisteen 2o punkturoituneeksi ympäristöksi, jossa funktio f(z) on yksiarvoinen ja analyyttinen. Itse pisteessä zo funktiota ei joko ole määritelty tai se ei ole yksiarvoinen ja analyyttinen. Singulaarisia pisteitä erotetaan kolmea tyyppiä riippuen funktion /(z) käyttäytymisestä lähestyttäessä pistettä zo. Eristetyn singulaaripisteen sanotaan olevan: 1) irrotettava, jos on olemassa äärellinen 2) pmusach, jos 3) oleellisesti singulaaripiste, jos funktiolla f(z) ei ole rajaa Laurenti 16. Funktion f(z) eristetty singulaaripiste z0 on irrotettava piste, jos ja vain, jos funktion f(z) Laurent-laajennus pisteen zo läheisyydessä ei sisällä pääosaa, ts. on muotoa Let zo - irrotettava yksikköpiste. Silloin on olemassa äärellinen funktio, joten funktio f(z) on rajoitettu pisteen r prokologiseen ympäristöön. Asetetaan Cauchyn epäyhtälöiden perusteella Koska p on mahdollista valita mielivaltaisen pieneksi, niin kaikki kertoimet pisteessä r. negatiiviset potenssit (z - 20) ovat yhtä kuin nolla: Päinvastoin, anna Laurentin funktion /(r) laajennus pisteen zq läheisyydessä sisältää vain oikean osan, eli sillä on muoto (23) ja, siksi on Taylor. On helppo nähdä, että z -* z0 funktiolla /(r) on raja-arvo: Lause 17. Funktion f(z) eristetty singulaaripiste zq on poistettavissa silloin ja vain, jos funktio J(z) on rajoittuu johonkin pisteen zq puhkaistuun alueeseen, Zgmechai ei. Olkoon r0 f(r:n) irrotettava singulaaripiste. Olettaen, että funktio f(r) on analyyttinen jossain ympyrässä, jonka keskipiste on piste. Tämä määrittää pisteen nimen - kertakäyttöinen. Laurent 18. Funktion f(z) eristetty singulaaripiste zq on napa silloin ja vain, jos funktion f(z) Laurentin laajennuksen pääosa pisteen ympäristössä sisältää äärellisen (ja positiivisen) luvun nollasta poikkeavia termejä, eli sen muoto on 4 Olkoon z0 napa. Siitä lähtien on olemassa pisteen z0 punkturoitu ympäristö, jossa funktio f(z) on analyyttinen ja nollasta poikkeava. Sitten analyyttinen funktio määritellään tässä naapurustossa ja siten piste zq on funktion irrotettava yksikköpiste (nolla) tai missä h(z) on analyyttinen funktio, h(z0) ∩ 0. on analyyttinen funktion naapurustossa. pisteen zq, ja mistä saamme, että Oletetaan nyt, että funktiolla f(z) on muodon (24) hajotus pisteen zo punkturoidussa ympäristössä. Tämä tarkoittaa, että tässä ympäristössä funktio f(z) on analyyttinen yhdessä funktion kanssa. Funktiolle g(z) pätee laajennus, josta on selvää, että zq on funktion g(z) irrotettava singulaaripiste ja on olemassa. Sitten funktio pyrkii 0:aan - funktion napaan On vielä yksi yksinkertainen tosiasia. Piste Zq on funktion f(z) napa, jos ja vain jos funktio g(z) = y voidaan laajentaa analyyttiseksi funktioksi pisteen zq läheisyydessä asettamalla g(z0) = 0. Järjestys funktion f(z) napaa kutsutaan funktion jfa nolla-asteeksi. Lauseet 16 ja 18 sisältävät seuraavan väitteen. Laurent 19. Eristetty singulaariohut on oleellisesti singulaarinen, jos ja vain jos Laurentin laajennuksen pääosa tämän pisteen puhkaisualueella sisältää äärettömän monta nollasta poikkeavaa termiä. Esimerkki 5. Funktion singulaaripiste on zo = 0. Meillä on Laurent-sarja Eristetyt singulaaripisteet ja niiden luokittelu Siksi zo = 0 on irrotettava singulaaripiste. Laurent-sarjan funktion /(z) laajennus nollapisteen läheisyydessä sisältää vain oikean osan: Esimerkki7. f(z) = Funktion f(z) singulaaripiste on zq = 0. Tarkastellaan tämän funktion käyttäytymistä reaali- ja imaginaariakselilla: reaaliakselilla kohdassa x 0, imaginaariakselilla Siksi ei äärellinen eikä imaginaarinen akseli. ääretöntä rajaa f(z) kohdassa z -* 0 ei ole olemassa. Näin ollen piste r0 = 0 on funktion f(z) oleellisesti singulaaripiste. Etsitään funktion f(z) Laurentin laajennus nollapisteen läheisyydestä. Jokaiselle monimutkaiselle C:lle olemme asettaneet. Tällöin Laurentin laajennus sisältää äärettömän määrän termejä, joiden potenssit ovat negatiiviset z.