Los vectores se pueden representar gráficamente mediante segmentos de línea direccional. La longitud se elige en una cierta escala para indicar la magnitud del vector , y la dirección del segmento representa dirección vectorial . Por ejemplo, si asumimos que 1 cm representa 5 km/h, entonces un viento del noreste de 15 km/h estará representado por una línea direccional de 3 cm, como se muestra en la figura.

Vector en el plano es un segmento dirigido. Dos vectores igual si tienen lo mismo valor y dirección.

Considere un vector dibujado desde el punto A hasta el punto B. El punto se llama punto de partida vector, y el punto B se llama punto final. La notación simbólica para este vector es (léase como “vector AB”). Los vectores también se indican con letras en negrita, como U, V y W. Los cuatro vectores en la figura de la izquierda tienen la misma longitud y dirección. Por lo tanto representan igual vientos; eso es,

En el contexto de los vectores, usamos = para indicar su igualdad.

longitud, o magnitud expresado como ||. Para determinar si los vectores son iguales, encontramos sus magnitudes y direcciones.

Ejemplo 1 Los vectores u, , w se muestran en la siguiente figura. Demostrar que u = w.

Solución Primero encontramos la longitud de cada vector usando la fórmula de la distancia:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
De aquí
|u| = | = |w|.
Los vectores u, , y w, como puedes ver en la figura, parecen tener la misma dirección, pero comprobaremos su pendiente. Si las líneas en las que están tienen la misma pendiente, entonces los vectores tienen la misma dirección. Calcular pendientes:
Como u, y w tienen la misma magnitud y la misma dirección,
tu = w.

Tenga en cuenta que los vectores iguales solo requieren la misma magnitud y la misma dirección, no estar en el mismo lugar. La figura superior es un ejemplo de la igualdad de vectores.

Supongamos que una persona da 4 pasos hacia el este y luego 3 pasos hacia el norte. La persona estará entonces a 5 pasos del punto de partida en la dirección que se muestra a la izquierda. Un vector de 4 unidades de largo y con dirección derecha representa 4 pasos al este y un vector de 3 unidades de largo hacia arriba representa 3 pasos al norte. Suma de estos dos vectores es un vector de 5 pasos de magnitud y en la dirección que se muestra. La cantidad también se llama resultante dos vectores

En general, dos vectores distintos de cero u y v se pueden sumar geométricamente colocando el punto inicial del vector v en el punto final del vector u y luego encontrando un vector que tenga el mismo punto inicial que el vector u y el mismo punto final como vector v como se muestra en la siguiente figura.

La suma es un vector representado por un segmento dirigido desde el punto A del vector u hasta el punto final C del vector v. Entonces, si u = y v = , entonces
u+v=+=

También podemos describir la suma de vectores como colocar los puntos iniciales de los vectores juntos, construir un paralelogramo y encontrar la diagonal del paralelogramo. (en la foto a continuación). Esta adición a veces se denomina regla del paralelogramo adición de vectores. La suma de vectores es conmutativa. Como se muestra en la figura, ambos vectores u + v y v + u están representados por el mismo segmento dirigido.

Si dos fuerzas F 1 y F 2 actúan sobre el mismo objeto, resultante fuerza es la suma F 1 + F 2 de estas dos fuerzas separadas.

Ejemplo Dos fuerzas de 15 newtons y 25 newtons actúan sobre el mismo objeto perpendiculares entre sí. Encuentre su suma, o fuerza resultante, y el ángulo que forma con la fuerza mayor.

Solución Dibujemos la condición del problema, en este caso un rectángulo, usando vo para representar el resultado. Para encontrar su valor, usamos el teorema de Pitágoras:
|v| 2 = 152 + 252 aquí |v| denota la longitud o magnitud de v.
|v| = √152 + 252
|v| ≈ 29,2.
Para encontrar la dirección, tenga en cuenta que como OAB es un ángulo recto,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Usando una calculadora, encontramos θ, el ángulo que forma la fuerza grande con la fuerza neta:
θ = bronceado - 1 (0,6) ≈ 31°
El resultante tiene una magnitud de 29,2 y un ángulo de 31° con la fuerza mayor.

Los pilotos pueden corregir la dirección de su vuelo si hay viento lateral. El viento y la velocidad de la aeronave se pueden representar como vientos.

Ejemplo 3. Velocidad y dirección de la aeronave. La aeronave se mueve a lo largo de un acimut de 100° a una velocidad de 190 km/h, mientras que la velocidad del viento es de 48 km/h y su acimut es de 220°. Encuentre la velocidad absoluta de la aeronave y la dirección de su movimiento, teniendo en cuenta el viento.

Solución Primero hagamos un dibujo. Se representa el viento y el vector de velocidad de la aeronave es . El vector de velocidad resultante es v, la suma de los dos vectores. El ángulo θ entre v y se llama ángulo de deriva .


Tenga en cuenta que COA = 100° - 40° = 60°. Entonces el valor de CBA también es igual a 60° (los ángulos opuestos del paralelogramo son iguales). Dado que la suma de todos los ángulos de un paralelogramo es 360° y COB y OAB son de la misma magnitud, cada uno debe ser 120°. Por regla del coseno en OAB, tenemos
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47.524
|v| = 218
Entonces |v| equivale a 218 km/h. De acuerdo a regla del seno , en el mismo triángulo,
48 /senθ = 218 /pecado 120°,
o
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0.1907
θ ≈ 11°
Entonces, θ = 11°, al ángulo entero más cercano. La velocidad absoluta es de 218 km/h, y la dirección de su movimiento, teniendo en cuenta el viento: 100° - 11°, o 89°.

Dado un vector w, podemos encontrar otros dos vectores u y v cuya suma es w. Los vectores u y v se llaman componentes w y el proceso de encontrarlos se llama descomposición , o una representación de un vector por sus componentes vectoriales.

Cuando descomponemos un vector, generalmente buscamos componentes perpendiculares. Sin embargo, muy a menudo, un componente será paralelo al eje x y el otro será paralelo al eje y. Por eso, a menudo se les llama horizontal y vertical componentes vectoriales. En la siguiente figura, el vector w = se descompone como la suma de u = y v = .

La componente horizontal de w es u y la componente vertical es v.

Ejemplo 4 El vector w tiene una magnitud de 130 y una pendiente de 40° con respecto a la horizontal. Descomponga el vector en componentes horizontales y verticales.

Solución Primero hacemos un dibujo con los vectores horizontal y vertical u y v, cuya suma es w.

De ABC, encontramos |u| y |v| usando las definiciones de coseno y seno:
cos40° = |u|/130, o |u| = 130. cos 40° ≈ 100,
sen40° = |v|/130, o |v| = 130.sen40° ≈ 84.
Entonces, la componente w horizontal es 100 hacia la derecha y la componente w vertical es 84 hacia arriba.

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Este capítulo está dedicado al desarrollo del aparato vectorial de la geometría. Usando vectores, puedes probar teoremas y resolver problemas geométricos. En este capítulo se dan ejemplos de este uso de vectores. Pero el estudio de los vectores también es útil porque son muy utilizados en física para describir diversas cantidades físicas, como, por ejemplo, la velocidad, la aceleración, la fuerza.

Muchos Cantidades fisicas, por ejemplo, la fuerza, el desplazamiento de un punto material, la velocidad, se caracterizan no sólo por su valor numérico, sino también por su dirección en el espacio. Estas cantidades físicas se llaman cantidades vectoriales(o corto vectores).

Considere un ejemplo. Deje que actúe sobre el cuerpo una fuerza de 8 N. En la figura, la fuerza está representada por un segmento con una flecha (Fig. 240). La flecha indica la dirección de la fuerza y ​​la longitud del segmento corresponde al valor numérico de la fuerza en la escala seleccionada. Entonces, en la figura 240, una fuerza de 1 N se muestra como un segmento de 0,6 cm de largo, por lo tanto, una fuerza de 8 N se representa como un segmento de 4,8 cm de largo.

Arroz. 240

Haciendo abstracción de las propiedades específicas de las cantidades vectoriales físicas, llegamos al concepto geométrico de vector.

Considere un segmento arbitrario. Sus extremos también se llaman puntos límite del segmento.

Se pueden especificar dos direcciones en un segmento: de un punto límite a otro y viceversa.

Para elegir una de estas direcciones, llamamos a un punto límite del segmento el comienzo del segmento, y el otro - el final del segmento y supondremos que el segmento está dirigido desde el principio hasta el final.

Definición

En las figuras, un vector se representa como un segmento con una flecha que muestra la dirección del vector. Los vectores se indican con dos letras latinas mayúsculas con una flecha encima, por ejemplo . La primera letra indica el comienzo del vector, la segunda, el final (Fig. 242).

Arroz. 242

La Figura 243, a muestra los vectores los puntos A, C, E son los comienzos de estos vectores, y B, D, F son sus extremos. Los vectores a menudo se indican con una letra latina minúscula con una flecha encima: (Fig. 243, b).

Arroz. 243

Para lo que sigue, conviene admitir que cualquier punto del plano es también un vector. En este caso, el vector se llama cero. El comienzo del vector cero coincide con su final. En la figura, dicho vector está representado por un solo punto. Si, por ejemplo, el punto que representa el vector cero se denota con la letra M, entonces este vector cero se puede denotar de la siguiente manera: (Fig. 243, a). El vector cero también se denota con el símbolo En la figura 243 vectores son distintos de cero, y el vector es cero.

La longitud o módulo de un vector distinto de cero es la longitud del segmento AB. La longitud de un vector (vector ) se denota de la siguiente manera: . La longitud del vector nulo se considera cero:

Las longitudes de los vectores que se muestran en las figuras 243, a y 243, 6 son las siguientes:

(cada celda de la figura 243 tiene un lado igual a la unidad de medida de los segmentos).

Igualdad vectorial

Antes de definir vectores iguales, veamos un ejemplo. Considere el movimiento de un cuerpo en el que todos sus puntos se mueven a la misma velocidad y en la misma dirección.

La velocidad de cada punto M del cuerpo es una cantidad vectorial, por lo que se puede representar mediante un segmento dirigido, cuyo comienzo coincide con el punto M (Fig. 244). Como todos los puntos del cuerpo se mueven con la misma velocidad, todos los segmentos dirigidos que representan las velocidades de estos puntos tienen la misma dirección y sus longitudes son iguales.

Arroz. 244

Este ejemplo nos dice cómo determinar la igualdad de vectores.

Primero introduzcamos el concepto de vectores colineales.

Los vectores distintos de cero se llaman colineal, si se encuentran en la misma línea o en líneas paralelas; el vector cero se considera colineal a cualquier vector.

En la Figura 245, los vectores (vector cero) son colineales y los vectores y también son no colineales.

Arroz. 245

Si dos vectores distintos de cero y son colineales, entonces pueden estar dirigidos de la misma manera o de manera opuesta. En el primer caso, los vectores y se llaman codireccional, y en el segundo direcciones opuestas 1 .

La codirección de los vectores y se denota de la siguiente manera: Si los vectores y tienen direcciones opuestas, esto se denota de la siguiente manera: La Figura 245 muestra vectores codirigidos y de dirección opuesta:

El comienzo del vector cero coincide con su final, por lo que el vector cero no tiene ninguna dirección en particular. En otras palabras, cualquier dirección puede considerarse la dirección del vector cero. Estamos de acuerdo en suponer que el vector cero es codireccional con cualquier vector. Así, en la figura 245, etc.

Los vectores colineales distintos de cero tienen propiedades que se ilustran en la Figura 246, a - c.




Arroz. 246

Ahora damos la definición de vectores iguales.

Definición

Así, los vectores y son iguales si . La igualdad de vectores y se denota de la siguiente manera:

Posponer un vector desde un punto dado

Si el punto A es el comienzo del vector, entonces dicen que el vector se pospone desde el punto A(Figura 247). Probemos la siguiente afirmación:

desde cualquier punto M, puede posponer un vector igual a un vector dado, y además, solo uno.




Arroz. 247

De hecho, si es un vector nulo, entonces el vector requerido es el vector . Supongamos que el vector no es cero y que los puntos A y B son su principio y su final. Dibujemos una línea p paralela a AB a través del punto M (Fig. 248; si M es un punto de la línea AB, entonces tomamos la línea AB misma como la línea p). En la recta p, apartamos los segmentos MN y MN", iguales al segmento AB, y elegimos entre los vectores uno que está codirigido con el vector (en la Figura 248 vector). Este vector es el vector deseado, igual al vector . De la construcción se deduce que solo hay un vector de este tipo.




Arroz. 248

Comentario

Los vectores iguales graficados desde diferentes puntos a menudo se denotan con la misma letra. Así es como, por ejemplo, los vectores de igual velocidad de diferentes puntos se indican en la figura 244. A veces se dice que dichos vectores son el mismo vector, pero trazados desde diferentes puntos.

Tareas prácticas

738. Marca los puntos A, B y C que no se encuentran en una línea recta. Dibuja todos los vectores distintos de cero cuyo principio y final coincidan con cualquiera de estos dos puntos. Escriba todos los vectores resultantes e indique el principio y el final de cada vector.

739. Habiendo elegido una escala adecuada, dibuja vectores que representen el vuelo de un avión, primero 300 km al sur de la ciudad A a B, y luego 500 km al este de la ciudad B a C. Luego dibuja un vector que represente el movimiento desde el punto de inicio hasta el punto final.

740. Dibujar vectores de modo que:

741. Dibuja dos vectores no colineales y . Dibujar varios vectores: a) codireccionales con el vector ; b) codireccional con el vector; c) dirigido de forma opuesta al vector ; d) dirigido de forma opuesta al vector .

742. Dibuja dos vectores: a) que tengan longitudes iguales y no colineales; b) de igual longitud y codireccionales; c) que tienen longitudes iguales y direcciones opuestas. ¿En qué caso los vectores resultantes son iguales?

Responder En el caso b).