Tři kolmé roviny. Soustava tří vzájemně kolmých rovin

Existuje mnoho dílů, jejichž tvarové informace nelze zprostředkovat dvěma projekcemi výkresu. Aby byla informace o složitém tvaru součásti prezentována dostatečně plnohodnotně, používá se promítání na tři vzájemně kolmé promítací roviny: čelní - V, horizontální - H a profilovou - W (čti „dvojité ve“).

Komplexní výkres Výkres prezentovaný ve třech pohledech nebo projekcích ve většině případů poskytuje úplný obrázek o tvaru a designu součásti (položky a předmětu) a nazývá se také komplexní výkres. hlavní výkres. Pokud je výkres vytvořen se souřadnicovými osami, nazývá se výkres osy. bezosový Pokud je výkres konstruován bez souřadnicových os, nazývá se bezosový profil Pokud je rovina W kolmá na čelní a vodorovnou rovinu průmětů, pak se nazývá profil

Objekt je umístěn do trojbokého rohu tak, aby jeho formativní hrana a základna byly rovnoběžné s čelní a horizontální projekční rovinou. Poté procházejí projekční paprsky všemi body předmětu kolmo na všechny tři promítací roviny, na které se získá čelní, horizontální a profilový průmět předmětu. Po projekci je objekt odstraněn z trojbokého úhlu a poté se horizontální a profilová projekční rovina otočí o 90° kolem os Ox a Oz, dokud nejsou zarovnány s rovinou čelní projekce, a nakreslí se nákres části obsahující tři projekce. získané.

Tři průměty výkresu jsou vzájemně propojeny. Čelní a horizontální projekce zachovávají projekční spojení obrazů, to znamená, že jsou vytvořena projekční spojení mezi čelní a horizontální, frontální a profilovou, stejně jako horizontální a profilovou projekcí. Čáry projekce definují umístění každé projekce na kreslicím poli. Tvar většiny objektů je kombinací různých geometrických těles nebo jejich částí. Proto pro čtení a provádění výkresů potřebujete vědět, jak jsou geometrická tělesa zobrazována v systému tří projekcí ve výrobě

1. Tváře rovnoběžné s projekčními rovinami se na něj promítají bez zkreslení, v přirozené velikosti. 2. Plochy kolmé k promítací rovině se promítají v segmentu přímek. 3. Tváře umístěné šikmo k promítacím rovinám, obrazy na nich zkreslené (redukované)

& 3. str otázky písemně úkol 4.1. str pp, & 5, str. 37-45, otázky k písemnému zadání

Poloha letadla v prostoru je určena:

tři body, které neleží na stejné přímce;
přímka a bod vně přímky;
dvě protínající se čáry;
dvě rovnoběžné čáry;
plochá postava.

V souladu s tím může být rovina specifikována na diagramu:

projekce tří bodů, které neleží na stejné přímce (obrázek 3.1, a);
průměty bodu a přímky (obrázek 3.1,b);
průměty dvou protínajících se čar (obrázek 3.1c);
průměty dvou rovnoběžných čar (obrázek 3.1d);
plochý obrázek (obrázek 3.1, d);
stopy letadla;
čára největšího sklonu roviny.

Obrázek 3.1 – Metody pro definování rovin

Obecná rovina je rovina, která není ani rovnoběžná, ani kolmá k žádné z promítacích rovin.

Po letadle je přímka získaná jako výsledek průsečíku dané roviny s jednou z promítacích rovin.

Obecná rovina může mít tři stopy: horizontální – απ 1, čelní – απ 2 a profil – απ 3, kterou tvoří, když se protne se známými promítacími rovinami: horizontální π 1, čelní π 2 a profil π 3 (obrázek 3.2).

Obrázek 3.2 – Stopy obecné roviny

3.2. Částečné roviny

Částečná rovina– rovina kolmá nebo rovnoběžná s rovinou průmětu.

Rovina kolmá k promítací rovině se nazývá průmětna a na tuto průmětnu se bude promítat jako přímka.

Vlastnost promítací roviny: všechny body, čáry, ploché obrazce patřící do promítací roviny mají průměty na nakloněnou stopu roviny(Obrázek 3.3).

Obrázek 3.3 – Čelně promítající rovina, která obsahuje: body A, V, S; linky AC, AB, slunce; trojúhelníková rovina ABC

Přední projekční rovina – rovina kolmá k čelní rovině průmětů(Obrázek 3.4, a).

Horizontální projekční rovina – rovina kolmá k vodorovné rovině průmětů(Obrázek 3.4, b).

Profil-promítací rovina – rovina kolmá k profilové rovině průmětů.

Roviny rovnoběžné s promítacími rovinami se nazývají roviny roviny nebo dvojité promítací roviny.

Přední rovina – rovina rovnoběžná s čelní rovinou průmětů(Obrázek 3.4, c).

Vodorovná rovina – rovina rovnoběžná s vodorovnou rovinou průmětů(Obrázek 3.4, d).

Profilová rovina úrovně – rovina rovnoběžná s profilovou rovinou projekcí(Obrázek 3.4, e).

Obrázek 3.4 – Schémata rovin konkrétní polohy

3.3. Bod a přímka v rovině. Příslušnost bodu a přímé roviny

Bod patří do roviny, pokud patří k jakékoli přímce ležící v této rovině(Obrázek 3.5).

Přímka patří k rovině, pokud má s rovinou alespoň dva společné body(Obrázek 3.6).

Obrázek 3.5 – Příslušnost bodu k rovině

α = m // n

D∈ n⇒ D∈ α

Obrázek 3.6 – Příslušnost k rovné rovině

Cvičení

Je dána rovina definovaná čtyřúhelníkem (obrázek 3.7, a). Je nutné dokončit horizontální projekci vrcholu S.


A	b

Obrázek 3.7 – Řešení problému

Řešení :

abeceda– plochý čtyřúhelník vymezující rovinu.
Nakreslíme do něj úhlopříčky A.C. A BD(Obrázek 3.7, b), které jsou protínajícími se přímkami, které rovněž definují stejnou rovinu.
Podle kritéria protínajících se čar sestrojíme vodorovný průmět průsečíku těchto čar - K podle jeho známé čelní projekce: A 2 C 2 ∩ B 2 D 2 =K 2 .
Obnovme spojnici průmětu, dokud se neprotne s vodorovným průmětem přímky BD: na diagonální projekci B 1 D 1 stavíme NA 1 .
Přes A 1 NA 1 provedeme diagonální promítání A 1 S 1 .
Tečka S 1 se získá prostřednictvím spojovací čáry projekce, dokud se neprotne s vodorovným průmětem prodloužené diagonály A 1 NA 1 .

3.4. Hlavní rovinné čáry

V rovině lze sestrojit nekonečné množství přímek, ale v rovině leží speciální přímky, tzv. hlavní linie letadla (Obrázek 3.8 – 3.11).

Rovná úroveň popř rovnoběžně s rovinou je přímka ležící v dané rovině a rovnoběžná s jednou z promítacích rovin.

Horizontální popř vodorovná čára úrovně h(první rovnoběžka) je přímka ležící v dané rovině a rovnoběžná s vodorovnou rovinou průmětů (π 1)(Obrázek 3.8, a; 3.9).

Přední popř přední úroveň rovně F(druhá rovnoběžka) je přímka ležící v dané rovině a rovnoběžná s čelní rovinou průmětů (π 2)(Obrázek 3.8, b; 3.10).

Linie profilu úrovně p(třetí rovnoběžka) je přímka ležící v dané rovině a rovnoběžná s profilovou rovinou průmětů (π 3)(Obrázek 3.8, c; 3.11).

Obrázek 3.8 a – Vodorovná přímka úrovně v rovině definované trojúhelníkem

Obrázek 3.8 b – Čelní přímka úrovně v rovině definované trojúhelníkem

Obrázek 3.8 c – Linie profilu úrovně v rovině definované trojúhelníkem

Obrázek 3.9 – Vodorovná přímka nivelety v rovině vymezené kolejemi

Obrázek 3.10 – Čelní přímka nivelety v rovině definované kolejemi

Obrázek 3.11 – Linie profilu úrovně v rovině definované kolejemi

3.5. Vzájemná poloha přímky a roviny

Přímka vzhledem k dané rovině může být rovnoběžná a může s ní mít společný bod, tedy protínat se.

3.5.1. Rovnoběžnost přímé roviny

Znak rovnoběžnosti přímé roviny: přímka je rovnoběžná s rovinou, pokud je rovnoběžná s jakoukoli přímkou patřící do této roviny(Obrázek 3.12).

Obrázek 3.12 – Rovnoběžnost přímé roviny

3.5.2. Průsečík přímky s rovinou

Chcete-li sestrojit průsečík přímky s obecnou rovinou (obrázek 3.13), musíte:

Přímý závěr A na pomocnou rovinu β (jako pomocnou rovinu je třeba zvolit roviny konkrétní polohy);
Najděte přímku průsečíku pomocné roviny β s danou rovinou α;
Najděte průsečík dané čáry A s průsečíkem rovin MN.

Obrázek 3.13 – Konstrukce bodu setkání přímky s rovinou

Cvičení

Dané: rovné AB obecná poloha, rovina σ⊥π 1. (Obrázek 3.14). Sestrojte průsečík čáry AB s rovinou σ.

Řešení :

Rovina σ je vodorovně průmětná, proto je vodorovný průmět roviny σ přímka σ 1 (vodorovná stopa roviny);
Tečka NA musí patřit do řady AB ⇒ NA 1 ∈A 1 V 1 a dané rovině σ ⇒ NA 1 ∈σ 1 , tedy NA 1 se nachází v průsečíku výstupků A 1 V 1 a ai;
Čelní projekce bodu NA najdeme prostřednictvím projekční komunikační linky: NA 2 ∈A 2 V 2 .

Obrázek 3.14 – Průsečík obecné přímky s konkrétní rovinou

Cvičení

Je dáno: rovina σ = Δ ABC– celková poloha, rovná E.F.(Obrázek 3.15).

Je nutné sestrojit průsečík přímky E.F. s rovinou σ.


A	b

Obrázek 3.15 – Průsečík přímky a roviny

Uzavřeme rovnou čáru E.F. do pomocné roviny, pro kterou použijeme vodorovně promítající rovinu α (obrázek 3.15, a);
Je-li α⊥π 1, pak na promítací rovinu π 1 se rovina α promítá do přímky (vodorovná stopa roviny απ 1 nebo α 1), která se shoduje s E 1 F 1 ;
Nalezněme průsečík (1-2) promítací roviny α s rovinou σ (budeme zvažovat řešení podobného problému);
Přímka (1-2) a určená přímka E.F. leží ve stejné rovině α a protínají se v bodě K.

Algoritmus pro řešení problému (obrázek 3.15, b):

Přes E.F. Nakreslíme pomocnou rovinu α:

3.6. Určení viditelnosti metodou konkurenčních bodů

Při posuzování polohy dané přímky je třeba určit, který bod přímky se nám jako pozorovatelům při pohledu na promítací rovinu π 1 nebo π 2 nachází blíže (dále).

Body, které patří různým objektům a na jedné z promítacích rovin se jejich projekce shodují (to znamená, že se dva body promítají do jednoho), se nazývají konkurenční na této projekční rovině..

Viditelnost je nutné určit samostatně na každé projekční rovině.

Viditelnost při π 2 (obr. 3.15)

Zvolme body soutěžící na π 2 – body 3 a 4. Nechť bod 3∈ VS∈σ, bod 4∈ E.F..

Pro určení viditelnosti bodů na promítací rovině π 2 je nutné při pohledu na π 2 určit umístění těchto bodů na vodorovné promítací rovině.

Směr pohledu k π 2 je znázorněn šipkou.

Z vodorovných průmětů bodů 3 a 4 je při pohledu na π 2 zřejmé, že bod 4 1 se nachází blíže k pozorovateli než 3 1.

4 1 ∈E 1 F 1 ⇒ 4∈E.F.⇒ na π 2 bude viditelný bod 4, ležící na přímce E.F., tedy rovnou E.F. v oblasti uvažovaných soutěžních bodů se nachází před rovinou σ a bude viditelná až do bodu K

Viditelnost při π 1

Pro určení viditelnosti vybíráme body, které soutěží na π 1 - body 2 a 5.

Pro určení viditelnosti bodů na promítací rovině π 1 je nutné při pohledu na π 1 určit umístění těchto bodů na čelní promítací rovině.

Směr pohledu k π 1 je znázorněn šipkou.

Z čelních průmětů bodů 2 a 5 je při pohledu na π 1 zřejmé, že bod 2 2 se nachází blíže pozorovateli než 5 2.

2 1 ∈A 2 V 2 ⇒ 2∈AB⇒ na π bude viditelný 1 bod 2, ležící na přímce AB, tedy rovnou E.F. v oblasti uvažovaných soutěžních bodů se nachází pod rovinou σ a bude neviditelný až do bodu K– průsečíky přímky s rovinou σ.

Viditelný ze dvou konkurenčních bodů bude ten, jehož souřadnice „Z“ a/nebo „Y“ jsou větší.

3.7. Kolmost k přímé rovině

Znak kolmosti rovné roviny: přímka je kolmá k rovině, pokud je kolmá ke dvěma protínajícím se přímkám ležícím v dané rovině.


A	b

Obrázek 3.16 – Definice přímky kolmé k rovině

Teorém. Je-li přímka kolmá k rovině, pak na obrázku: vodorovný průmět přímky je kolmý na vodorovný průmět vodorovné roviny a čelní průmět přímky je kolmý na průmět nárysu roviny. přední (obrázek 3.16, b)

Věta je dokázána pomocí věty o promítání pravého úhlu ve speciálním případě.

Pokud je rovina definována stopami, pak průměty přímky kolmé k rovině jsou kolmé na odpovídající stopy roviny (obrázek 3.16, a).

Ať je to rovné p kolmá k rovině σ=Δ ABC a prochází bodem K.

Sestrojme vodorovné a čelní přímky v rovině σ=Δ ABC : A-1∈σ; A-1//π 1 ; S-2∈σ; S-2//π 2.
Vraťme se od bodu K kolmá k dané rovině: p 1⊥h 1 A p2⊥f 2 nebo p 1⊥απ 1 A p2⊥απ 2

3.8. Relativní poloha dvou rovin

3.8.1. Paralelnost rovin

Dvě roviny mohou být rovnoběžné a protínající se.

Znak rovnoběžnosti dvou rovin: dvě roviny jsou vzájemně rovnoběžné, pokud jsou dvě protínající se přímky jedné roviny odpovídajícím způsobem rovnoběžné se dvěma protínajícími se přímkami jiné roviny.

Cvičení

Obecná polohová rovina je dána α=Δ ABC a tečka F∉α (obrázek 3.17).

Skrz bod F nakreslete rovinu β rovnoběžnou s rovinou α.

Obrázek 3.17 – Konstrukce roviny rovnoběžné s danou rovinou

Řešení :

Jako protínající se přímky roviny α vezměme například strany trojúhelníku AB a BC.

Skrz bod F provádíme přímý m paralelně, např. AB.
Skrz bod F nebo prostřednictvím jakéhokoli bodu, který k němu patří m, nakreslíme přímku n paralelně, např. slunce, a m∩n=F.
β = m∩n a P//a podle definice.

3.8.2. Průsečík rovin

Výsledkem průniku 2 rovin je přímka. Jakákoli přímka v rovině nebo v prostoru může být jednoznačně definována dvěma body. Proto, abyste mohli sestrojit průsečík dvou rovin, měli byste najít dva společné body pro obě roviny a poté je spojit.

Uvažujme příklady průniku dvou rovin s různými způsoby jejich definování: stopami; tři body, které neleží na stejné přímce; rovnoběžky; protínající se čáry atd.

Cvičení

Dvě roviny α a β jsou definovány stopami (obrázek 3.18). Sestrojte průsečík rovin.

Obrázek 3.18 – Průsečík obecných rovin definovaných stopami

Postup pro konstrukci průsečíku rovin:

Najděte průsečík vodorovných stop - to je bod M(její projekce M 1 A M 2, zatímco M 1 =M, protože M – soukromý bod patřící do roviny π 1).
Najděte průsečík frontálních stop – to je bod N(její projekce N 1 a N 2, zatímco N 2 = N, protože N – soukromý bod patřící do roviny π 2).
Sestrojte průsečík rovin spojením průmětů výsledných bodů stejného jména: M 1 N 1 a M 2 N 2 .

MN– průsečík rovin.

Cvičení

Daná rovina σ = Δ ABC, rovina α – vodorovně vyčnívající (α⊥π 1) ⇒α 1 – vodorovná stopa roviny (obrázek 3.19).

Sestrojte průsečík těchto rovin.

Řešení :

Protože rovina α protíná strany AB A AC trojúhelník ABC, pak průsečíky K A L tyto strany s rovinou α jsou společné oběma daným rovinám, což umožní jejich spojením najít požadovanou průsečíkovou přímku.

Body lze nalézt jako průsečíky přímek s promítací rovinou: najdeme vodorovné průměty bodů K A L, to je K 1 a L 1, v průsečíku vodorovné stopy (α 1) dané roviny α s vodorovnými průměty stran Δ ABC: A 1 V 1 a A 1 C 1. Poté pomocí projekčních komunikačních čar najdeme čelní průměty těchto bodů K2 A L 2 na čelních průmětech přímek AB A AC. Propojme stejnojmenné projekce: K 1 a L 1 ; K2 A L 2. Nakreslí se průsečík daných rovin.

Algoritmus pro řešení problému:

KL– průsečík Δ ABC a σ (α∩σ = KL).

Obrázek 3.19 – Průsečík obecných a partikulárních rovin

Cvičení

Dané roviny α = m//n a rovina β = Δ ABC(Obrázek 3.20).

Sestrojte průsečík daných rovin.

Řešení :

Pro nalezení bodů společných oběma daným rovinám a definujících průsečík rovin α a β je nutné použít pomocné roviny konkrétní polohy.
Jako takové roviny zvolíme dvě pomocné roviny konkrétní polohy, např.: σ // τ; σ⊥π 2; τ⊥π 2 .
Nově zavedené roviny se protínají s každou z daných rovin α a β podél přímek navzájem rovnoběžných, protože σ // τ:

— výsledkem průsečíku rovin α, σ a τ jsou přímky (4-5) a (6-7);

— výsledkem průsečíku rovin β, σ a τ jsou přímky (3-2) a (1-8).

Přímky (4-5) a (3-2) leží v rovině σ; jejich průsečík M současně leží v rovinách α a β, tedy na přímce průsečíku těchto rovin;
Podobně najdeme pointu N, společné pro roviny α a β.
Spojování teček M A N, sestrojme přímku průsečíku rovin α a β.

Obrázek 3.20 – Průsečík dvou rovin v obecné poloze (obecný případ)

Algoritmus pro řešení problému:

Cvičení

Dané roviny α = Δ ABC a β = A//b. Sestrojte průsečík daných rovin (obrázek 3.21).

Obrázek 3.21 Řešení problému průsečíku rovin

Řešení :

Použijme pomocné sečné roviny konkrétní polohy. Představme je tak, abychom omezili počet staveb. Zaveďme například rovinu σ⊥π 2 uzavřením přímky A do pomocné roviny σ (σ∈ A). Rovina σ protíná rovinu α podél přímky (1-2) a σ∩β= A. Proto (1-2)∩ A=K.

Tečka NA patří do obou rovin α a β.

Proto bod K, je jedním z požadovaných bodů, kterým prochází průsečík daných rovin α a β.

Abychom našli druhý bod náležející přímce průsečíku α a β, přímku uzavřeme b do pomocné roviny τ⊥π 2 (τ∈ b).

Spojování teček K A L, získáme přímku průsečíku rovin α a β.

3.8.3. Vzájemně kolmé roviny

Roviny jsou vzájemně kolmé, pokud jedna z nich prochází kolmicí ke druhé.

Cvičení

Je-li dána rovina σ⊥π 2 a přímka v obecné poloze – DE(Obrázek 3.22)

Nutné k proražení DE rovina τ⊥σ.

Řešení .

Nakreslíme kolmici CD do roviny σ – C 2 D 2 ⊥σ 2 (na základě ).

Obrázek 3.22 – Konstrukce roviny kolmé k dané rovině

Podle věty o promítání pravého úhlu C 1 D 1 musí být rovnoběžné s osou promítání. Protínající se čáry CD∩DE definujte rovinu τ. Takže, τ⊥σ.

Podobná úvaha v případě obecné roviny.

Cvičení

Daná rovina α = Δ ABC a tečka K mimo rovinu α.

Je potřeba sestrojit rovinu β⊥α procházející bodem K.

Algoritmus řešení(Obrázek 3.23):

Postavíme vodorovnou čáru h a přední F v dané rovině α = Δ ABC;
Skrz bod K nakreslíme kolmici b do roviny α (podél kolmá k rovinné větě: je-li přímka kolmá k rovině, pak jsou její průměty kolmé k nakloněným průmětům vodorovných a čelních přímek ležících v rovině:b 2⊥f 2; b 1⊥h 1;
Rovinu β definujeme libovolným způsobem, například β = a∩b, tedy sestrojí se rovina kolmá k dané rovině: α⊥β.

Obrázek 3.23 – Konstrukce roviny kolmé k danému Δ ABC

3.9. Problémy řešit samostatně

1. Je dána rovina α = m//n(Obrázek 3.24). Je známo že K∈α.

Sestrojte čelní průmět bodu NA.

Obrázek 3.24

2. Sestrojte stopy úsečky dané úsečkou C.B. a identifikujte kvadranty, kterými prochází (obrázek 3.25).

Obrázek 3.25

3. Sestrojte průměty čtverce patřícího do roviny α⊥π 2, je-li jeho úhlopříčka MN//π 2 (obrázek 3.26).

Obrázek 3.26

4. Sestrojte obdélník abeceda s větší stranou slunce na přímce m, na základě podmínky, že poměr jeho stran je 2 (obrázek 3.27).

Obrázek 3.27

5. Je dána rovina α= A//b(Obrázek 3.28). Sestrojte rovinu β rovnoběžnou s rovinou α a vzdálenou od ní ve vzdálenosti 20 mm.

Obrázek 3.28

6. Je dána rovina α=∆ ABC a tečka D D rovina β⊥α a β⊥π 1 .

7. Je dána rovina α=∆ ABC a tečka D z letadla. Sestavte průchozí bod D Přímo DE//α a DE//π 1.

Soustava tří vzájemně kolmých rovin

Vytvoření složitého výkresu (diagramu)

Pro pohodlí použití výsledných obrázků z prostorového systému rovin přejděme k rovinnému.

Pro tohle:

1. Aplikujme metodu rotace roviny p 1 kolem osy X, dokud se nevyrovná s rovinou p 2 (obr. 1)

2. Spojte roviny p 1 a p 2 do jedné kreslicí roviny (obr. 2)


Obrázek 1	Obrázek 2

Průměty A 1 a A 2 jsou umístěny na stejné spojnici kolmé k ose X. Tato čára se obvykle nazývá spojnice promítání (obr. 3).

Obrázek 3

Vzhledem k tomu, že projekční rovina je považována za nekonečnou v prostoru, nemusí být hranice roviny p 1, p 2 znázorňovány (obr. 4).

Obrázek 4

V důsledku spojení rovin p 1 a p 2 se získá složitá kresba nebo diagram (z francouzské kresby epure), ᴛ.ᴇ. kreslení v soustavě p 1 a p 2 nebo v soustavě dvou promítacích rovin. Nahrazením vizuálního obrazu diagramem jsme ztratili prostorový obraz umístění promítacích rovin a bodů. Ale diagramy poskytují přesnost a snadno měřitelné obrázky s významnou jednoduchostí konstrukce.

Bod definovaný v prostoru může mít různé polohy vzhledem k promítacím rovinám.

Obrazy bodů lze vytvářet různými způsoby:

slova (slovní);
graficky (kresby);
vizuální obraz (objemový);
rovinný (složitý výkres).

stůl 1

Ukázka obrazu bodů patřících do rovin p 1 a p 2

Pozice bodu	Vizuální obraz	Komplexní kresba	Charakteristické znaky
Bod A patří do roviny p 1			A 1 – pod osou X, A 2 – na ose X
Bod B patří rovině p 1			B 1 – nad osou X, B 2 – na ose X
Bod C patří do roviny p 2			C 2 – nad osou X, C 1 – na ose X
Bod D patří do roviny p 2			D 1 – na ose X, D 2 – pod osou X
Bod E patří k ose X			E 1 se shoduje s E 2 a patří k ose X

Obrázek 1

Uvažujme tři vzájemně kolmé roviny p 1 , p2 , p 3 ( rýže. 1). Vertikální rovina p 3 se nazývá já rovina promítání profilu. Vzájemně se protínající roviny 1 , p2 , p 3 tvoří osy promítání, přičemž prostor je rozdělen na 8 oktantů.

p 1 p 2 = x; -X

p 1 p 3 = y; -y

p 2 p 3 = z; -z

0 – průsečík os promítání.

Promítací roviny, protínající se ve dvojicích, definují tři osy x, y, z, které lze považovat za systém kartézských souřadnic: os X obvykle nazývaná osa úsečky, osa y– pořadnice, osa Z– aplikovaná osa, průsečík os, označený písmenem O, je počátek souřadnic.

Abychom získali komplexní výkres, použijeme metodu otáčení rovin p 1 a p 3, dokud nejsou zarovnány s rovinou p 2. Konečný pohled na všechny roviny v prvním oktantu je na Obr. 2.

Obrázek 2

Tady jsou osy Ach A Oz, ležící v pevné rovině p 2, jsou znázorněny pouze jednou, osa Ach zobrazen dvakrát. To se vysvětluje tím, že při rotaci s rovinou p 1 je osa y na diagramu je kombinována s osou Oz a rotující s rovinou p 3, tato osa se shoduje s osou Ach.

Jakýkoli bod v prostoru je určen souřadnicemi. Podle znamének souřadnic můžete určit oktant, ve kterém se daný bod nachází. K tomu použijeme tabulku. 1, ve kterém se uvažují znaménka souřadnic v oktantech 1–4 (oktanty 5–8 nejsou uvedeny, mají zápornou hodnotu X, A y A z se opakují).

stůl 1

X	y	z	oktant
+	+	+	já
+	_	+	II
+	_	_	III
+	+	_	IV

10.1 Úhel vzepětí. Úhel mezi rovinami

Dvě protínající se čáry tvoří dva páry vertikálních úhlů. Tak jako dvě protínající se přímky v rovině tvoří dvojici vertikálních úhlů (obr. 89, a), tak dvě protínající se roviny v prostoru tvoří dvě dvojice vertikálních dihedrálních úhlů (obr. 89, b).

Rýže. 89

Dihedrální úhel je obrazec, který se skládá ze dvou polorovin, které mají společnou hraniční přímku a neleží ve stejné rovině (obr. 90). Samotné poloroviny se nazývají plochy dihedrálního úhlu a jejich společná hraniční přímka se nazývá jeho hrana.

Rýže. 90

Dihedrální úhly se měří následovně.

Vezměme bod O na hraně p úhlu dihedrálního úhlu s plochami α a β.. Nakreslete paprsky a a b z bodu O na jeho plochách, kolmých k hraně p: a - v ploše α a b - v ploše β (obr. 91 a).

Rýže. 91

Úhel se stranami a, b se nazývá lineární dihedrální úhel.

Velikost lineárního úhlu nezávisí na volbě jeho vrcholu na hraně dihedrálního úhlu.

Vezměme si jiný bod O 1 hrany p a nakreslete paprsky a 1 ⊥ p a b 1 ⊥ p v plochách α a β (obr. 91, b).

Vynesme na paprsek a segment OA, na paprsek a 1 segment O 1 A 1, rovný segmentu OA, na paprsek b segment OB a na paprsek b 1 segment O 1 B 1, rovný segmentu OB (obr. 91, c).

V obdélnících OAA 1 O 1 a 0BB 1 0 1 se strany AA 1 a BB 1 rovnají jejich společné straně OO 1 a jsou s ní rovnoběžné. Proto AA 1 = BB 1 a AA 1 || BB 1.

V důsledku toho je čtyřúhelník ABV 1 A 1 rovnoběžník (obr. 91, d), což znamená AB = A 1 B 1. Proto jsou trojúhelníky ABO a A 1 B 1 O 1 stejné (na třech stranách) a úhel ab je roven úhlu a 1 b 1.

Nyní můžeme dát následující definici: velikost dihedrálního úhlu je velikost jeho lineárního úhlu.

Úhel mezi protínajícími se rovinami je velikost menšího z dihedrálních úhlů jimi vytvořených. Je-li tento úhel 90°, pak se roviny nazývají vzájemně kolmé. Předpokládá se, že úhel mezi rovnoběžnými rovinami je 0°.

Úhel mezi rovinami α a β, stejně jako hodnota dihedrálního úhlu s plochami α a β, se označuje ∠αβ.

Úhel mezi plochami mnohostěnu, které mají společnou hranu, je hodnota úhlu vzepětí odpovídající těmto plochám.

10.2 Vlastnosti vzájemně kolmých rovin

Nemovitost 1. Přímka ležící v jedné ze dvou vzájemně kolmých rovin a kolmá k jejich společné přímce je kolmá na druhou rovinu.

Důkaz. Nechť jsou roviny α a β vzájemně kolmé a protínají se podél přímky c. Nechť přímka a leží v rovině α a a ⊥ с (obr. 92). Přímka a protíná c v nějakém bodě O. Narýsujme přímku b v rovině β bodem O, kolmou na přímku c. Protože α ⊥ β, pak a ⊥ b. Protože a ⊥ b a a ⊥ c, pak α ⊥ β na základě kolmosti přímky a roviny.

Rýže. 92

Druhá vlastnost je opakem první vlastnosti.

Nemovitost 2. Přímka, která má společný bod s jednou ze dvou vzájemně kolmých rovin a je kolmá na druhou rovinu, leží v první z nich.

Důkaz. Nechť jsou roviny α a β vzájemně kolmé a protínají se podél přímky c, přímka a ⊥ β a a mají společný bod A s a (obr. 93). Bodem A vedeme přímku p v rovině α, kolmou na přímku c. Podle vlastnosti 1 p ⊥ β. Přímky a a p procházejí bodem A a jsou kolmé k rovině β. Proto se shodují, protože bodem prochází pouze jedna přímka, kolmá na určitou rovinu. Protože přímka p leží v rovině α, pak přímka a leží v rovině α.

Rýže. 93

Důsledkem vlastnosti 2 je následující znaménko kolmosti přímky a roviny: pokud se protínají dvě roviny kolmé na třetí rovinu, pak je přímka jejich průsečíku kolmá na třetí rovinu.

Důkaz. Nechť dvě roviny α a β, protínající se podél přímky a, jsou kolmé k rovině γ (obr. 94). Potom libovolným bodem přímky a vedeme přímku kolmou k rovině γ. Podle vlastnosti 2 leží tato přímka jak v rovině α, tak v rovině β, tj. shoduje se s přímkou a. Takže ⊥ γ.

Rýže. 94

10.3 Znaménko kolmosti rovin

Začněme praktickými příklady. Rovina dveří zavěšených na zárubni kolmé k podlaze je v libovolné poloze dveří kolmá k rovině podlahy (obr. 95). Když chtějí zkontrolovat, zda je rovná plocha (zeď, plot atd.) instalována svisle, udělají to pomocí olovnice - lana se zátěží. Olovnice je vždy nasměrována svisle a stěna stojí svisle, pokud se olovnice, která se nachází podél ní, neodchyluje. Tyto příklady nám říkají následující jednoduché znamení kolmosti rovin: jestliže rovina prochází kolmicí k jiné rovině, pak jsou tyto roviny vzájemně kolmé.

Rýže. 95

Důkaz. Nechť rovina α obsahuje přímku a kolmou k rovině β (viz obr. 92). Potom přímka a protíná rovinu β v nějakém bodě O. Bod O leží na přímce c, podél které se protínají roviny α a β. Narýsujme přímku b v rovině β bodem O, kolmou na přímku c. Protože a ⊥ β, pak a ⊥ b a a ⊥ c. To znamená, že lineární úhly dihedrálních úhlů tvořených protínajícími se rovinami α a β jsou přímé. Proto jsou roviny α a β vzájemně kolmé.

Všimněte si, že každé dvě ze tří nyní uvažovaných přímek a, b a c (viz obr. 92) jsou vzájemně kolmé. Pokud postavíme další přímku procházející bodem O a kolmou na dvě z těchto tří přímek, pak se bude shodovat s přímkou třetí. Tato skutečnost hovoří o trojrozměrnosti prostoru kolem nás: neexistuje žádná čtvrtá přímka kolmá na každou z přímek a, b a c.

Otázky pro sebeovládání

Jak se vypočítá dihedrální úhel?
Jak vypočítat úhel mezi rovinami?
Jaké roviny se nazývají vzájemně kolmé?
Jaké znáte vlastnosti vzájemně kolmých rovin?
Jaký znak kolmosti rovin znáte?

Úkol č. 4.

Úkol č. 3.

Úkol č. 2.

Úkol č. 1.

Vytvoření složitého výkresu (diagramu)

Pro pohodlí použití výsledných obrázků z prostorového systému rovin přejděme k rovinnému.

Pro tohle:

1. Aplikujte metodu otáčení roviny p 1 kolem osy X, dokud se nezarovná s rovinou p 2 (obr. 2.7).

2. Spojte roviny p 1 a p 2 do jedné kreslicí roviny (obr. 2.8)


Rýže. 2.7	Rýže. 2.8

Průměty A 1 a A 2 jsou umístěny na stejné spojnici kolmé k ose X. Tato čára se nazývá spojnice promítání (obr. 2.9).

Vzhledem k tomu, že promítací rovina je považována za nekonečnou v prostoru, nemusí být hranice roviny p 1, p 2 znázorňovány (obr. 2.10).

V důsledku spojení rovin p 1 a p 2 se získá složitý výkres nebo diagram (z francouzského epure drawing), tzn. kreslení v soustavě p 1 a p 2 nebo v soustavě dvou promítacích rovin. Nahrazením vizuálního obrazu diagramem jsme ztratili prostorový obraz umístění promítacích rovin a bodů. Ale diagramy poskytují přesnost a snadno měřitelné obrázky s významnou jednoduchostí konstrukce. Představit si prostorový obrázek z diagramu vyžaduje práci představivosti: např. podle Obr. 2.11 si musíte představit obrázek na Obr. 2.12.

Pokud je v komplexním výkresu osa promítání podél průmětů A 1 a A 2, můžete určit polohu bodu A vzhledem k p 1 a p 2 (viz obr. 2.5 a 2.6). Porovnání Obr. 2.11 a 2.12 je snadné stanovit, že úsečka A 2 A X je vzdálenost od bodu A k rovině p 1 a úsečka A 1 A X je vzdálenost od bodu A k p 2. Umístění A 2 nad osou promítání znamená, že bod A je umístěn nad rovinou p 1. Pokud se A 1 na diagramu nachází pod osou promítání, pak je bod A před rovinou p 2. Horizontální projekce geometrického obrazu tedy určuje jeho polohu vzhledem k frontální rovině projekcí p2 a frontální projekce geometrického obrazu - vzhledem k horizontální rovině projekcí p1.


Rýže. 2.11	Rýže. 2.12

§ 4. Charakteristika polohy bodu v soustavě p 1 a p 2

Bod definovaný v prostoru může mít různé polohy vzhledem k promítacím rovinám (obr. 2.13).

Zvažme možné možnosti umístění bodu v prostoru prvního čtvrtletí:

1. Bod se nachází v prostoru první čtvrti v libovolné vzdálenosti od osy X a rovin p 1 p 2, např. body A, B (takové body se nazývají body obecné polohy) (obr. 2.14 a obr. 2.15).

3. Bod K patří současně do roviny p 1 i p 2, to znamená, že patří do osy X (obr. 2.18):

Na základě výše uvedeného můžeme vyvodit následující závěr:

1. Nachází-li se bod v prostoru první čtvrtiny, pak je jeho průmět A 2 umístěn nad osou X a A 1 je pod osou X; A 2 A 1 – leží na stejné kolmici (spojovací čáře) k ose X (obr. 2.14).

2. Patří-li bod do roviny p 2, pak jeho průmět C 2 C (shoduje se se samotným bodem C) a průmět C 1 X (patří do osy X) a shoduje se s C X: C 1 C X.

3. Jestliže bod patří do roviny p 1, pak se jeho průmět D 1 do této roviny shoduje se samotným bodem D D 1 a průmět D 2 náleží ose X a shoduje se s D X: D 2 D X.

4. Pokud bod patří do osy X, pak se všechny jeho průměty shodují a patří k ose X: K K 1 K 2 K X.

Cvičení:

1. Charakterizujte polohu bodů v prostoru první čtvrtiny (obr. 2.19).

2. Sestrojte vizuální obraz a obsáhlý nákres bodu podle popisu:

a) bod C se nachází v první čtvrtině a je stejně vzdálený od rovin p 1 a p 2.

b) bod M patří do roviny p 2.

c) bod K se nachází v první čtvrtině a jeho vzdálenost k p 1 je dvakrát větší než k rovině p 2.

d) bod L náleží ose X.

3. Sestrojte složitý výkres bodu podle popisu:

a) bod P leží v první čtvrtině a jeho vzdálenost od roviny p 2 je větší než od roviny p 1.

b) bod A se nachází v první čtvrtině a jeho vzdálenost k rovině p 1 je 3x větší než k rovině p 2.

c) bod B se nachází v první čtvrtině a jeho vzdálenost od roviny je p 1 =0.

4. Porovnejte polohu bodů vzhledem k promítacím rovinám p 1 a p 2 a mezi sebou navzájem. Srovnání se provádí na základě vlastností nebo vlastností. Pro body jsou těmito charakteristikami vzdálenost k rovinám p 1; p 2 (obr. 2.20).

Aplikace výše uvedené teorie při konstrukci obrazů bodu může být provedena různými způsoby:

slova (slovní);
graficky (kresby);
vizuální obraz (objemový);
rovinný (složitý výkres).

Schopnost překládat informace z jedné metody do druhé přispívá k rozvoji prostorového myšlení, tzn. od verbálního k vizuálnímu (objemovému) a poté k rovinnému a naopak.

Podívejme se na to s příklady (tabulka 2.1 a tabulka 2.2).

Tabulka 2.1

Příklad obrázku tečky
v systému dvou promítacích rovin

Čtvrtinový prostor	Vizuální obraz	Komplexní kresba	Charakteristické znaky
já			Čelní průmět bodu A nad osu X, horizontální průmět bodu A pod osu X
II			Čelní a horizontální průměty bodu B nad osu X
III			Čelní průmět bodu C pod osu X, horizontální průmět bodu C nad osu X
IV			Čelní a horizontální průměty bodu D pod osu X

Tabulka 2.2

Ukázka obrazu bodů patřících do rovin p 1 a p 2

Pozice bodu	Vizuální obraz	Komplexní kresba	Charakteristické znaky
Bod A patří do roviny p 1			A 1 – pod osou X, A 2 – na ose X
Bod B patří rovině p 1			B 1 – nad osou X, B 2 – na ose X
Bod C patří do roviny p 2			C 2 – nad osou X, C 1 – na ose X
Bod D patří do roviny p 2			D 1 – na ose X, D 2 – pod osou X
Bod E patří k ose X			E 1 se shoduje s E 2 a patří k ose X

Sestrojte komplexní výkres bodu A, pokud:

1. Bod se nachází ve čtvrti II a je stejně vzdálen od rovin p 1 a p 2.

2. Bod se nachází ve třetí čtvrtině a jeho vzdálenost k rovině p 1 je dvakrát větší než k rovině p 2.

3. Bod se nachází ve čtvrti IV a jeho vzdálenost k rovině p1 je větší než k rovině p2.

Určete, ve kterých čtvrtích se body nacházejí (obr. 2.21).

1. Vytvořte vizuální představu bodů ve čtvrtinách:

a) A – všeobecná pozice ve třetím čtvrtletí;

b) B – celková pozice ve IV. čtvrtletí;

c) C – ve druhé čtvrtině, pokud její vzdálenost od p 1 je 0;

d) D – v první čtvrtině, je-li její vzdálenost od p 2 0.

Sestrojte komplexní výkres bodů A, B, C, D (viz úkol 3).

V praxi, výzkumu a zobrazování systém dvou vzájemně kolmých rovin ne vždy poskytuje možnost jednoznačného řešení. Pokud tedy například posunete bod A podél osy X, jeho obraz se nezmění.

Poloha bodu v prostoru (obr. 2.22) se změnila (obr. 2.24), ale obrázky ve složité kresbě zůstávají nezměněny (obr. 2.23 a obr. 2.25).


Rýže. 2.22	Rýže. 2.23

Rýže. 2.24	Rýže. 2.25

K vyřešení tohoto problému je zaveden systém tří vzájemně kolmých rovin, protože při sestavování výkresů, například strojů a jejich částí, nejsou zapotřebí dva, ale více obrázků. Na tomto základě je v některých konstrukcích při řešení úloh nutné zavést do soustavy p 1, p 2 a další promítací roviny.

Tyto roviny rozdělují celý prostor na VIII části, které se nazývají oktanty (z latinského okto osm). Roviny nemají žádnou tloušťku, jsou neprůhledné a nekonečné. Pozorovatel se nachází v první čtvrtině (pro soustavy p 1, p 2) nebo prvním oktantu (u soustav p 1, p 2, p 3) v nekonečné vzdálenosti od promítacích rovin.

§ 6. Bod v soustavě p 1, p 2, p 3

Konstrukce průmětů určitého bodu A, umístěného v prvním oktantu, na tři vzájemně kolmé roviny p 1, p 2, p 3 je znázorněna na Obr. 2.27. Kombinací promítacích rovin s rovinou p 2 a metodou otáčení rovin získáme komplexní nákres bodu A (obr. 2.28):

AAi^p1; AA2^p2; AA 3 ^ p 3,

kde A 3 – profilový průmět bodu A; А Х, А y, А Z – osové průměty bodu A.

Průměty A 1, A 2, A 3 se nazývají čelní, horizontální a profilový průmět bodu A.


Rýže. 2.27	Rýže. 2.28

Promítací roviny, protínající se ve dvojicích, definují tři osy x, y, z, které lze považovat za systém kartézských souřadnic: os X nazývaná osa úsečky, osa y– pořadnice, osa Z– aplikovaná osa, průsečík os, označený písmenem O, je počátek souřadnic.

Divák, který se dívá na objekt, je tedy v prvním oktantu.

Pro získání složité kresby použijeme metodu otáčení rovin p 1 a p 3 (jak je znázorněno na obr. 2.27), dokud nejsou zarovnány s rovinou p 2. Konečný pohled na všechny roviny v prvním oktantu je na Obr. 2.29.

Podívejme se na Obr. 2.30, kde je bod ve vesmíru A, daný souřadnicemi (5,4,6). Tyto souřadnice jsou kladné a ona sama je v prvním oktantu. Konstrukce obrazu samotného bodu a jeho projekce na prostorový model se provádí pomocí souřadnicového pravoúhlého rovnoběžníku. Za tímto účelem vykreslíme segmenty na souřadnicových osách, které odpovídají délkovým segmentům: Aha = 5, OAy = 4, OAz= 6. Na těchto segmentech ( ОАx, ОАy, ОАz), stejně jako na okrajích, postavíme obdélníkový rovnoběžnostěn. Jeden z jeho vrcholů bude definovat daný bod A.