Има много части, чиято информация за формата не може да бъде предадена от две чертежни проекции. За да може информацията за сложната форма на детайла да бъде представена достатъчно пълно, проекцията се използва върху три взаимно перпендикулярни проекционни равнини: фронтална - V, хоризонтална - H и профил - W (да се чете "двойно ve").

Комплексен чертеж Чертеж, представен в три изгледа или проекции, в повечето случаи дава пълна картина на формата и дизайна на детайла (елемент и обект) и се нарича още сложен чертеж. основен чертеж. Ако един чертеж е изграден с координатни оси, той се нарича осев чертеж. без ос Ако чертежът е конструиран без координатни оси, той се нарича безосов профил Ако равнината W е перпендикулярна на фронталните и хоризонталните равнини на проекциите, тогава се нарича профил

Обектът се поставя в тристенен ъгъл, така че формиращият му ръб и основа да са успоредни съответно на фронталната и хоризонталната проекционна равнина. След това се пропускат проекционни лъчи през всички точки на обекта, перпендикулярни и на трите проекционни равнини, върху които се получават фронтални, хоризонтални и профилни проекции на обекта. След проекцията обектът се отстранява от тристенния ъгъл и след това хоризонталната и профилната проекционна равнина се завъртат на 90°, съответно, около осите Ox и Oz, докато се изравнят с равнината на предната проекция и се изчертае част, съдържаща три проекции получено.

Трите проекции на чертежа са свързани помежду си. Фронталните и хоризонталните проекции запазват проекционната връзка на изображенията, т.е. установяват се проекционни връзки между фронтална и хоризонтална, фронтална и профилна, както и хоризонтална и профилна проекция. Проекционните линии определят местоположението на всяка проекция върху чертожното поле. Формата на повечето предмети е комбинация от различни геометрични тела или техни части. Следователно, за да четете и изпълнявате чертежи, трябва да знаете как се изобразяват геометричните тела в системата от три проекции в производството

1. Лицата, успоредни на проекционните равнини, се проектират върху него без изкривяване, в естествен размер. 2. Лицата, перпендикулярни на проекционната равнина, се проектират в сегмент от прави линии. 3. Лицата, разположени наклонени към проекционните равнини, изображения върху тях с изкривяване (намалено)

& 3. pg Писмени въпроси задача 4.1. pp pp, & 5, pp. 37-45, въпроси за писмена работа

Позицията на равнината в пространството се определя:

• три точки, които не лежат на една права;
• права линия и точка извън правата линия;
• две пресичащи се линии;
• две успоредни линии;
• плоска фигура.

В съответствие с това равнината може да бъде посочена на диаграмата:

• проекции на три точки, които не лежат на една и съща линия (Фигура 3.1, а);
• проекции на точка и права (Фигура 3.1,b);
• проекции на две пресичащи се линии (Фигура 3.1c);
• проекции на две успоредни прави (Фигура 3.1d);
• плоска фигура (Фигура 3.1, d);
• следи от самолет;
• линия на най-големия наклон на равнината.

Фигура 3.1 – Методи за дефиниране на равнини

Общ самолете равнина, която не е нито успоредна, нито перпендикулярна на никоя от проекционните равнини.

Следване на самолетае права линия, получена в резултат на пресичането на дадена равнина с една от проекционните равнини.

Една обща равнина може да има три следи: хоризонтална – απ 1, челен – απ 2 и профил – απ 3, която образува при пресичане с известни проекционни равнини: хоризонтална π 1, фронтална π 2 и профил π 3 (Фигура 3.2).

Фигура 3.2 – Следи от обща равнина

3.2. Частични равнини

Частична равнина– равнина, перпендикулярна или успоредна на равнината на проекциите.

Равнината, перпендикулярна на проекционната равнина, се нарича проектираща и върху тази проекционна равнина ще се проектира като права линия.

Свойство на проекционната равнина: всички точки, прави, плоски фигури, принадлежащи на проектиращата равнина, имат проекции върху наклонената следа на равнината(Фигура 3.3).

Фигура 3.3 – Фронтално проектирана равнина, която включва: точки А, IN, СЪС; линии AC, AB, слънце; триъгълна равнина ABC

Равнина на предна проекция – равнина, перпендикулярна на фронталната равнина на проекциите(Фигура 3.4, а).

Хоризонтална проекционна равнина – равнина, перпендикулярна на хоризонталната равнина на проекциите(Фигура 3.4, b).

Профилно-проектираща равнина – равнина, перпендикулярна на профилната равнина на проекциите.

Равнините, успоредни на проекционните равнини, се наричат нивелирани равниниили двойни проектиращи равнини.

Равнина на предно ниво – равнина, успоредна на фронталната равнина на проекциите(Фигура 3.4, c).

Хоризонтална нивелирана равнина – равнина, успоредна на хоризонталната равнина на проекциите(Фигура 3.4, d).

Профилна равнина на нивото – равнина, успоредна на профилната равнина на проекциите(Фигура 3.4, д).

Фигура 3.4 – Диаграми на равнини с определена позиция

3.3. Точка и права в равнина. Принадлежност на точка и права равнина

Една точка принадлежи на равнина, ако принадлежи на която и да е права, лежаща в тази равнина(Фигура 3.5).

Правата принадлежи на равнина, ако има поне две общи точки с равнината(Фигура 3.6).

Фигура 3.5 – Принадлежност на точка към равнина

α = м // н

д∈ н⇒ д∈ α

Фигура 3.6 – Принадлежност към права равнина

Упражнение

Дадена е равнина, определена от четириъгълник (Фигура 3.7, а). Необходимо е да се завърши хоризонталната проекция на върха СЪС.

А	b

Фигура 3.7 – Решение на проблема

Решение :

1. ABCD– плосък четириъгълник, определящ равнина.
2. Нека начертаем диагонали в него A.C.И BD(Фигура 3.7, b), които са пресичащи се прави линии, също определящи една и съща равнина.
3. Според критерия за пресичащи се линии, ще изградим хоризонтална проекция на пресечната точка на тези линии - Кспоред известната му фронтална проекция: А 2 ° С 2 ∩ б 2 д 2 =К 2 .
4. Нека възстановим свързващата линия на проекцията, докато се пресече с хоризонталната проекция на правата линия BD: върху диагоналната проекция б 1 д 1 изграждаме ДА СЕ 1 .
5. През А 1 ДА СЕ 1 извършваме диагонална проекция А 1 СЪС 1 .
6. Точка СЪС 1 се получава през проекционната съединителна линия до пресичането й с хоризонталната проекция на разширения диагонал А 1 ДА СЕ 1 .

3.4. Основни равнинни линии

В една равнина могат да се построят безкрайно много прави, но в равнината лежат специални прави, т.нар. основните линии на самолета (Фигура 3.8 – 3.11).

Право ниво или успоредна на равнинатае права, лежаща в дадена равнина и успоредна на една от проекционните равнини.

Хоризонтално или хоризонтална линия на ниво ч(първи паралел) е права линия, лежаща в дадена равнина и успоредна на хоризонталната равнина на проекциите (π 1)(Фигура 3.8, а; 3.9).

Предна или предно ниво направо f(втори паралел) е права линия, лежаща в дадена равнина и успоредна на фронталната равнина на проекциите (π 2)(Фигура 3.8, b; 3.10).

Ниво на профилна линия стр(трети паралел) е права линия, лежаща в дадена равнина и успоредна на профилната равнина на проекциите (π 3)(Фигура 3.8, c; 3.11).

Фигура 3.8 а – Хоризонтална права линия на нивото в равнината, определена от триъгълника

Фигура 3.8 b – Челна права линия на нивото в равнината, определена от триъгълника

Фигура 3.8 c – Профилна линия на ниво в равнината, определена от триъгълника

Фигура 3.9 – Хоризонтална права линия на нивото в равнината, определена от релсите

Фигура 3.10 – Челна права линия на нивото в равнината, определена от релсите

Фигура 3.11 – Профилна линия на ниво в равнината, определена от релсите

3.5. Взаимно положение на права и равнина

Една права по отношение на дадена равнина може да бъде успоредна и да има обща точка с нея, тоест да се пресича.

3.5.1. Успоредност на права равнина

Признак за успоредност на права равнина: една права е успоредна на равнина, ако е успоредна на която и да е права, принадлежаща на тази равнина(Фигура 3.12).

Фигура 3.12 – Успоредност на права равнина

3.5.2. Пресечна точка на права с равнина

За да конструирате пресечната точка на права линия с обща равнина (Фигура 3.13), трябва:

1. Заключете директно Акъм спомагателната равнина β (равнините с определена позиция трябва да бъдат избрани като спомагателна равнина);
2. Намерете пресечната линия на спомагателната равнина β с дадената равнина α;
3. Намерете пресечната точка на дадена линия Ас линията на пресичане на равнини MN.

Фигура 3.13 – Построяване на пресечната точка на права с равнина

Упражнение

Дадено: направо ABобщо положение, равнина σ⊥π 1. (Фигура 3.14). Построете пресечната точка на права ABс равнина σ.

Решение :

1. Равнината σ е хоризонтално проектирана, следователно хоризонталната проекция на равнината σ е правата линия σ 1 (хоризонтална следа на равнината);
2. Точка ДА СЕтрябва да принадлежи на линията AB ⇒ ДА СЕ 1 ∈А 1 IN 1 и дадена равнина σ ⇒ ДА СЕ 1 ∈σ 1 , следователно, ДА СЕ 1 се намира в пресечната точка на проекциите А 1 IN 1 и σ 1;
3. Фронтална проекция на точката ДА СЕнамираме чрез проекционната комуникационна линия: ДА СЕ 2 ∈А 2 IN 2 .

Фигура 3.14 – Пресечна точка на обща линия с определена равнина

Упражнение

Дадено е: равнина σ = Δ ABC– общо положение, прав Е.Ф.(Фигура 3.15).

Необходимо е да се построи пресечната точка на линия Е.Ф.с равнина σ.

А	b

Фигура 3.15 – Пресечна точка на права и равнина

1. Да сключим права линия Е.Ф.в спомагателна равнина, за която ще използваме хоризонтално проектираната равнина α (Фигура 3.15, а);
2. Ако α⊥π 1, тогава върху проекционната равнина π 1 равнината α се проектира в права линия (хоризонтална следа на равнината απ 1 или α 1), съвпадаща с д 1 Е 1 ;
3. Нека намерим пресечната линия (1-2) на проектиращата равнина α с равнината σ (решението на подобна задача ще бъде разгледано);
4. Права линия (1-2) и определена права линия Е.Ф.лежат в една и съща равнина α и се пресичат в точката К.

Алгоритъм за решаване на проблема (Фигура 3.15, b):

През Е.Ф.Нека начертаем спомагателна равнина α:

3.6. Определяне на видимостта чрез метода на конкурентните точки

При оценката на положението на дадена линия е необходимо да се определи коя точка от линията се намира по-близо (по-далеч) до нас, като наблюдатели, когато гледаме проекционната равнина π 1 или π 2.

Точки, които принадлежат на различни обекти и на една от проекционните равнини техните проекции съвпадат (т.е. две точки се проектират в една), се наричат ​​конкуриращи се на тази проекционна равнина.

Необходимо е отделно да се определи видимостта на всяка проекционна равнина.

Видимост при π 2 (фиг. 3.15)

Нека изберем конкуриращи се точки на π 2 – точки 3 и 4. Нека точка 3∈ VS∈σ, точка 4∈ Е.Ф..

За да се определи видимостта на точките в проекционната равнина π 2, е необходимо да се определи местоположението на тези точки в хоризонталната проекционна равнина, когато се гледа π 2.

Посоката на гледане към π 2 е показана със стрелка.

От хоризонталните проекции на точки 3 и 4, когато се гледа π 2, е ясно, че точка 4 1 е разположена по-близо до наблюдателя от 3 1.

4 1 ∈д 1 Е 1 ⇒ 4∈Е.Ф.⇒ на π 2 ще се вижда точка 4, лежаща на правата линия Е.Ф., следователно, направо Е.Ф.в зоната на разглежданите конкуриращи се точки се намира пред равнината σ и ще се вижда до точката К

Видимост при π 1

За да определим видимостта, избираме точки, които се конкурират на π 1 - точки 2 и 5.

За да се определи видимостта на точките в равнината на проекцията π 1, е необходимо да се определи местоположението на тези точки в равнината на предната проекция, когато се гледа π 1.

Посоката на гледане към π 1 е показана със стрелка.

От фронталните проекции на точки 2 и 5, когато се гледа π 1, е ясно, че точка 2 2 е разположена по-близо до наблюдателя от 5 2.

2 1 ∈А 2 IN 2 ⇒ 2∈AB⇒ на π 1 ще се вижда точка 2, лежаща на правата линия AB, следователно, направо Е.Ф.в областта на разглежданите конкуриращи се точки се намира под равнината σ и ще бъде невидим до точката К– точки на пресичане на правата с равнината σ.

Видимата от двете конкуриращи се точки ще бъде тази, чиито координати „Z“ и/или „Y“ са по-големи.

3.7. Перпендикулярност към права равнина

Знак за перпендикулярност на права равнина: една права е перпендикулярна на равнина, ако е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в дадена равнина.

А	b

Фигура 3.16 – Определяне на права линия, перпендикулярна на равнината

Теорема. Ако правата линия е перпендикулярна на равнината, тогава на диаграмата: хоризонталната проекция на правата линия е перпендикулярна на хоризонталната проекция на хоризонталата на равнината, а фронталната проекция на правата линия е перпендикулярна на фронталната проекция на фронталната (Фигура 3.16, б)

Теоремата се доказва чрез теоремата за проекцията на прав ъгъл в частен случай.

Ако равнината е определена от следи, тогава проекциите на права линия, перпендикулярна на равнината, са перпендикулярни на съответните следи на равнината (Фигура 3.16, а).

Нека е направо стрперпендикулярна на равнината σ=Δ ABCи минава през точката К.

1. Да построим хоризонталните и фронталните прави в равнината σ=Δ ABC : А-1∈σ; А-1//π 1; S-2∈σ; S-2//π 2 .
2. Да възстановим от точката Кперпендикулярна на дадена равнина: стр. 1⊥з 1И p2⊥е 2, или стр. 1⊥απ 1 И p2⊥απ 2

3.8. Взаимно положение на две равнини

3.8.1. Успоредност на равнините

Две равнини могат да бъдат успоредни и пресичащи се.

Знак за успоредност на две равнини: две равнини са взаимно успоредни, ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина.

Упражнение

Равнината на общото положение е дадена α=Δ ABCи точка Е∉α (Фигура 3.17).

През точката Еначертайте равнина β, успоредна на равнина α.

Фигура 3.17 – Построяване на равнина, успоредна на дадена

Решение :

Като пресечни прави на равнината α да вземем например страните на триъгълника AB и BC.

1. През точката Епровеждаме директен м, паралелно, например AB.
2. През точката Е, или през всяка точка, принадлежаща на м, чертаем права линия н, паралелно, например слънце, и m∩n=F.
3. β = м∩ни β//α по дефиниция.

3.8.2. Пресичане на равнини

Резултатът от пресичането на 2 равнини е права линия. Всяка права линия в равнина или в пространството може да бъде уникално определена от две точки. Следователно, за да построите линия на пресичане на две равнини, трябва да намерите две точки, общи за двете равнини, и след това да ги свържете.

Нека разгледаме примери за пресичане на две равнини с различни начини за определянето им: чрез следи; три точки, които не лежат на една права; паралелни линии; пресичащи се линии и др.

Упражнение

Две равнини α и β са определени от следи (Фигура 3.18). Изградете линия на пресичане на равнини.

Фигура 3.18 – Пресечна точка на общи равнини, определени от следи

Процедурата за изграждане на линията на пресичане на равнини:

1. Намерете пресечната точка на хоризонталните следи - това е точката М(нейните прогнози М 1 И М 2, докато М 1 =М, защото М –частна точка, принадлежаща на равнината π 1).
2. Намерете пресечната точка на челните следи - това е точката н(нейните прогнози н 1 и н 2, докато н 2 = н, защото Н -частна точка, принадлежаща на равнината π 2).
3. Изградете линия на пресичане на равнини, като свържете проекциите на получените точки със същото име: М 1 н 1 и М 2 н 2 .

Мн– линия на пресичане на равнини.

Упражнение

Дадена е равнина σ = Δ ABC, равнина α – хоризонтално проектирана (α⊥π 1) ⇒α 1 – хоризонтална следа на равнината (Фигура 3.19).

Построете линията на пресичане на тези равнини.

Решение :

Тъй като равнината α пресича страните ABИ ACтриъгълник ABC, след това точките на пресичане КИ Лтези страни с равнината α са общи за двете дадени равнини, което ще позволи чрез свързването им да се намери желаната пресечна линия.

Точките могат да бъдат намерени като точки на пресичане на прави линии с проектиращата равнина: намираме хоризонтални проекции на точки КИ Л, това е К 1 и Л 1, в пресечната точка на хоризонталната следа (α 1) на дадена равнина α с хоризонтални проекции на страните Δ ABC: А 1 IN 1 и А 1 ° С 1 . След това, използвайки проекционни комуникационни линии, намираме фронталните проекции на тези точки К2И Л 2 върху фронтални проекции на прави линии ABИ AC. Нека свържем проекциите със същото име: К 1 и Л 1 ; К2И Л 2. Начертава се пресечната линия на дадените равнини.

Алгоритъм за решаване на задачата:

KL– пресечна линия Δ ABCи σ (α∩σ = KL).

Фигура 3.19 – Пресечна точка на обща и частна равнини

Упражнение

Дадени са равнини α = m//n и равнина β = Δ ABC(Фигура 3.20).

Построете пресечна линия на дадените равнини.

Решение :

1. За да се намерят точки, общи за двете дадени равнини и определящи пресечната линия на равнините α и β, е необходимо да се използват спомагателни равнини с определена позиция.
2. Като такива равнини ще изберем две спомагателни равнини с определена позиция, например: σ // τ; σ⊥π 2; τ⊥π 2 .
3. Нововъведените равнини се пресичат с всяка от дадените равнини α и β по прави линии, успоредни една на друга, тъй като σ // τ:

— резултатът от пресичането на равнини α, σ и τ са прави линии (4-5) и (6-7);

— резултатът от пресичането на равнини β, σ и τ са прави линии (3-2) и (1-8).

1. Прави (4-5) и (3-2) лежат в равнината σ; тяхната пресечна точка Млежи едновременно в равнините α и β, т.е. на правата линия на пресичане на тези равнини;
2. По същия начин намираме точката н, общи за равнините α и β.
3. Свързване на точките МИ н, нека построим правата на пресичане на равнините α и β.

Фигура 3.20 – Пресечна точка на две равнини в общо положение (общ случай)

Алгоритъм за решаване на задачата:

Упражнение

Дадени са равнини α = Δ ABCи β = а//b. Построете линия на пресичане на дадените равнини (Фигура 3.21).

Фигура 3.21 Решаване на задачата за пресичане на равнина

Решение :

Нека използваме спомагателни секущи равнини с определена позиция. Нека ги въведем по такъв начин, че да намалим броя на конструкциите. Например, нека въведем равнината σ⊥π 2, като оградим правата линия ав спомагателната равнина σ (σ∈ а). Равнината σ пресича равнината α по права линия (1-2) и σ∩β= А. Следователно (1-2)∩ А=К.

Точка ДА СЕпринадлежи на двете равнини α и β.

Следователно точката К, е една от търсените точки, през които минава пресечната линия на дадените равнини α и β.

За да намерим втората точка, принадлежаща на пресечната линия на α и β, завършваме правата bв спомагателната равнина τ⊥π 2 (τ∈ b).

Свързване на точките КИ Л, получаваме правата линия на пресичане на равнините α и β.

3.8.3. Взаимно перпендикулярни равнини

Равнините са взаимно перпендикулярни, ако една от тях минава през перпендикуляра на другата.

Упражнение

Дадена е равнина σ⊥π 2 и права в общо положение – DE(Фигура 3.22)

Изисква се за изграждане DEравнина τ⊥σ.

Решение .

Нека начертаем перпендикуляр CDкъм равнината σ – ° С 2 д 2 ⊥σ 2 (базирано на ).

Фигура 3.22 – Построяване на равнина, перпендикулярна на дадена равнина

По теорема за проекция на прав ъгъл ° С 1 д 1 трябва да е успореден на проекционната ос. Пресичащи се линии CD∩DEопределят равнината τ. И така, τ⊥σ.

Подобни разсъждения в случай на обща равнина.

Упражнение

Дадена е равнина α = Δ ABCи точка Кизвън равнината α.

Необходимо е да се построи равнина β⊥α, минаваща през точката К.

Алгоритъм за решение(Фигура 3.23):

1. Нека изградим хоризонтална линия чи отпред fв дадена равнина α = Δ ABC;
2. През точката Кнека начертаем перпендикуляр bкъм равнината α (наред перпендикулярна на равнината теорема: ако права линия е перпендикулярна на равнина, тогава нейните проекции са перпендикулярни на наклонените проекции на хоризонталните и челните линии, лежащи в равнината:б 2⊥е 2; b 1⊥з 1;
3. Дефинираме равнината β по произволен начин, например β = a∩b, така се построява равнина, перпендикулярна на дадената: α⊥β.

Фигура 3.23 – Построяване на равнина, перпендикулярна на дадено Δ ABC

3.9. Проблеми за самостоятелно решаване

1. Дадена е равнина α = м//н(Фигура 3.24). Известно е, че К∈α.

Постройте челна проекция на точка ДА СЕ.

Фигура 3.24

2. Построяване на следи на права, зададена от отсечка C.B.и идентифицирайте квадрантите, през които преминава (Фигура 3.25).

Фигура 3.25

3. Построете проекциите на квадрат, принадлежащ на равнината α⊥π 2, ако неговият диагонал MN//π 2 (Фигура 3.26).

Фигура 3.26

4. Построяване на правоъгълник ABCDс по-голямата страна слънцена права линия м, въз основа на условието, че отношението на неговите страни е 2 (Фигура 3.27).

Фигура 3.27

5. Дадена е равнина α= а//b(Фигура 3.28). Построете равнина β, успоредна на равнината α и отдалечена от нея на разстояние 20 mm.

Фигура 3.28

6. Дадена е равнина α=∆ ABCи точка д дравнина β⊥α и β⊥π 1 .

7. Дадена е равнина α=∆ ABCи точка дизвън самолета. Изграждане чрез точка ддиректен DE//α и DE//π 1.

Система от три взаимно перпендикулярни равнини

Оформяне на сложен чертеж (диаграма)

За удобство при използване на получените изображения от пространствената система от равнини, нека преминем към равнинната.

За това:

1. Нека приложим метода на въртене на равнината p 1 около оста X, докато се изравни с равнината p 2 (фиг. 1)

2. Комбинирайте равнини p 1 и p 2 в една чертожна равнина (фиг. 2)

Снимка 1	Фигура 2

Проекциите A 1 и A 2 са разположени на една и съща линия на свързване, перпендикулярна на оста X. Тази линия обикновено се нарича линия на свързване на проекцията (фиг. 3).

Фигура 3

Тъй като равнината на проекцията се счита за безкрайна в пространството, границите на равнината p 1, p 2 не е необходимо да се изобразяват (фиг. 4).

Фигура 4

В резултат на комбинирането на равнините p 1 и p 2 се получава сложен чертеж или диаграма (от френското epure drawing), ᴛ.ᴇ. чертеж в системата p 1 и p 2 или в системата от две проекционни равнини. Заменяйки визуалното изображение с диаграма, ние загубихме пространствената картина на местоположението на проекционните равнини и точки. Но диаграмите осигуряват точност и лесни за измерване изображения със значителна простота на конструкцията.

Точка, определена в пространството, може да има различни позиции спрямо проекционните равнини.

Конструирането на точкови изображения може да се извърши по различни начини:

• думи (вербални);
• графично (чертежи);
• визуално изображение (обемно);
• равнинен (сложен чертеж).

маса 1

Пример за изображение на точки, принадлежащи на равнините p 1 и p 2

Точкова позиция	Визуално представяне	Сложна рисунка	Характерни признаци
Точка A принадлежи на равнината p 1			A 1 – под оста X, A 2 – по оста X
Точка B принадлежи на равнина p 1			B 1 – над оста X, B 2 – по оста X
Точка C принадлежи на равнината p 2			C 2 – над оста X, C 1 – по оста X
Точка D принадлежи на равнината p 2			D 1 – по оста X, D 2 – под оста X
Точка E принадлежи на оста X			E 1 съвпада с E 2 и принадлежи на оста X

Снимка 1

Помислете за три взаимно перпендикулярни равнинистр. 1 , p2 , стр. 3 (ориз. 1). Вертикалната равнина p 3 се нарича азпрофилна проекционна равнина. Пресичащи се една с друга, равнини 1 , p2 , p 3 образуват проекционните оси, докато пространството е разделено на 8 октанта.

стр 1 стр 2 = х; -х

стр 1 стр 3 = y; -y

стр 2 стр 3 = z; -z

0 – точка на пресичане на проекционните оси.

Проекционните равнини, пресичащи се по двойки, определят три оси x, y, z, които могат да се разглеждат като система от декартови координати: ос хобикновено се нарича абсцисната ос, оста г– ординатна ос, ос З– приложна ос, точката на пресичане на осите, означена с буквата ОТНОСНО,е началото на координатите.

За да получим сложен чертеж, прилагаме метода на завъртане на равнините p 1 и p 3, докато се изравнят с равнината p 2. Крайният изглед на всички равнини в първия октант е показан на фиг. 2.

Фигура 2

Ето ги брадвите оИ Оз, лежащи в неподвижната равнина p 2, са изобразени само веднъж, оста опоказано два пъти. Това се обяснява с факта, че, въртейки се с равнината p 1, оста гна диаграмата се комбинира с оста Оз, и се върти с равнината p 3, същата тази ос съвпада с оста о.

Всяка точка в пространството се определя с координати. По знаците на координатите можете да определите октанта, в който се намира дадена точка. За да направим това, ще използваме таблицата. 1, в който се разглеждат знаците на координатите в октанти 1–4 (октанти 5–8 не са представени, те имат отрицателна стойност х, А гИ zсе повтарят).

маса 1

х	г	z	Октант
+	+	+	аз
+	_	+	II
+	_	_	III
+	+	_	IV

10.1 Двустенен ъгъл. Ъгъл между равнините

Две пресичащи се прави образуват две двойки вертикални ъгли. Точно както две пресичащи се прави в една равнина образуват двойка вертикални ъгли (фиг. 89, а), така и две пресичащи се равнини в пространството образуват две двойки вертикални двустенни ъгли (фиг. 89, б).

Ориз. 89

Двустенният ъгъл е фигура, която се състои от две полуравнини, които имат обща гранична права и не лежат в една и съща равнина (фиг. 90). Самите полуравнини се наричат ​​лица на двустенния ъгъл, а тяхната обща гранична права се нарича негов ръб.

Ориз. 90

Двустенните ъгли се измерват, както следва.

Нека вземем точка O на ръба p на двустенен ъгъл с лица α и β. Начертайте лъчи a и b от точка O в неговите страни, перпендикулярни на ръба p: a - в лицето α и b - в лицето β (фиг. 91 , а).

Ориз. 91

Ъгъл със страни a, b се нарича линеен двустенен ъгъл.

Големината на линейния ъгъл не зависи от избора на неговия връх на ръба на двустенния ъгъл.

Наистина, нека вземем друга точка O 1 от ръба p и начертаем лъчите a 1 ⊥ p и b 1 ⊥ p в лицата α и β (фиг. 91, b).

Нека нанесем на лъч a отсечката OA, на лъч a 1 отсечката O 1 A 1, равна на отсечката OA, на лъч b отсечката OB и на лъч b 1 отсечката O 1 B 1, равна на отсечката OB (фиг. 91, c).

В правоъгълниците OAA 1 O 1 и 0BB 1 0 1 страните AA 1 и BB 1 са равни на общата им страна OO 1 и са успоредни на нея. Следователно AA 1 = BB 1 и AA 1 || BB 1.

Следователно четириъгълникът ABV 1 A 1 е успоредник (фиг. 91, d), което означава AB = A 1 B 1. Следователно триъгълниците ABO и A 1 B 1 O 1 са равни (по три страни) и ъгъл ab е равен на ъгъл a 1 b 1.

Сега можем да дадем следната дефиниция: големината на двустенния ъгъл е големината на неговия линеен ъгъл.

Ъгълът между пресичащите се равнини е размерът на по-малкия от образуваните от тях двустенни ъгли. Ако този ъгъл е 90 °, тогава равнините се наричат ​​взаимно перпендикулярни. Ъгълът между успоредните равнини се приема за 0°.

Ъгълът между равнините α и β, както и стойността на двустенния ъгъл с лица α и β, се означават с ∠αβ.

Ъгълът между лицата на полиедър, които имат общ ръб, е стойността на двустенния ъгъл, съответстващ на тези лица.

10.2 Свойства на взаимно перпендикулярни равнини

Имот 1. Права, лежаща в една от двете взаимно перпендикулярни равнини и перпендикулярна на тяхната обща права, е перпендикулярна на другата равнина.

Доказателство. Нека равнините α и β са взаимно перпендикулярни и се пресичат по права c. Нека права a лежи в равнината α и a ⊥ с (фиг. 92). Права a пресича c в точка O. Нека начертаем права b в равнината β през точка O, перпендикулярна на права c. Тъй като α ⊥ β, то a ⊥ b. Тъй като a ⊥ b и a ⊥ c, тогава α ⊥ β въз основа на перпендикулярността на правата и равнината.

Ориз. 92

Второто свойство е обратното на първото свойство.

Имот 2. Права, която има обща точка с една от двете взаимно перпендикулярни равнини и е перпендикулярна на другата равнина, лежи в първата от тях.

Доказателство. Нека равнините α и β са взаимно перпендикулярни и се пресичат по права c, правата a ⊥ β и a имат обща точка A с a (фиг. 93). През точка A прекарваме права p в равнината α, перпендикулярна на правата c. Съгласно свойство 1 p ⊥ β. Правите a и p минават през точка A и са перпендикулярни на равнината β. Следователно те съвпадат, тъй като само една права линия минава през точка, перпендикулярна на определена равнина. Тъй като правата p лежи в равнината α, то правата a лежи в равнината α.

Ориз. 93

Следствие от свойство 2 е следният признак за перпендикулярност на права и равнина: ако две равнини, перпендикулярни на трета равнина, се пресичат, тогава линията на тяхното пресичане е перпендикулярна на третата равнина.

Доказателство. Нека две равнини α и β, пресичащи се по права a, са перпендикулярни на равнината γ (фиг. 94). Тогава през произволна точка от правата a прекарваме права, перпендикулярна на равнината γ. Съгласно свойство 2 тази права лежи както в равнината α, така и в равнината β, т.е. съвпада с правата a. И така, a ⊥ γ.

Ориз. 94

10.3 Знак за перпендикулярност на равнините

Да започнем с практически примери. Равнината на врата, окачена на стълб, перпендикулярен на пода, е перпендикулярна на равнината на пода във всяко положение на вратата (фиг. 95). Когато искат да проверят дали равна повърхност (стена, ограда и др.) е поставена вертикално, те правят това с помощта на отвес - въже с товар. Отвесът винаги е насочен вертикално, а стената стои вертикално, ако отвесът, разположен по протежение на нея, не се отклонява. Тези примери ни казват следния прост признак за перпендикулярност на равнините: ако една равнина минава през перпендикуляр към друга равнина, тогава тези равнини са взаимно перпендикулярни.

Ориз. 95

Доказателство. Нека равнината α съдържа права a, перпендикулярна на равнината β (виж фиг. 92). Тогава права a пресича равнина β в точка O. Точка O лежи на права c, по която се пресичат равнини α и β. Нека начертаем права b в равнината β през точка O, перпендикулярна на права c. Тъй като a ⊥ β, тогава a ⊥ b и a ⊥ c. Това означава, че линейните ъгли на двустенните ъгли, образувани от пресичащите се равнини α и β, са прави. Следователно равнините α и β са взаимно перпендикулярни.

Забележете, че всяка две от трите прави a, b и c, разгледани сега (вижте фиг. 92), са взаимно перпендикулярни. Ако построим друга права, минаваща през точка O и перпендикулярна на две от тези три прави, тогава тя ще съвпадне с третата права. Този факт говори за триизмерността на пространството около нас: няма четвърта линия, перпендикулярна на всяка от линиите a, b и c.

Въпроси за самоконтрол

1. Как се изчислява двустенният ъгъл?
2. Как да изчислим ъгъла между равнините?
3. Какви равнини се наричат ​​взаимно перпендикулярни?
4. Какви свойства на взаимно перпендикулярните равнини знаете?
5. Какъв знак за перпендикулярност на равнините знаете?

Задача No4.

Задача No3.

Задача No2.

Задача No1.

Оформяне на сложен чертеж (диаграма)

За удобство при използване на получените изображения от пространствената система от равнини, нека преминем към равнинната.

За това:

1. Приложете метода на завъртане на равнината p 1 около оста X, докато се изравни с равнината p 2 (фиг. 2.7)

2. Комбинирайте равнини p 1 и p 2 в една чертожна равнина (фиг. 2.8)

Ориз. 2.7	Ориз. 2.8

Проекциите A 1 и A 2 са разположени на една и съща линия на свързване, перпендикулярна на оста X. Тази линия се нарича линия на свързване на проекцията (фиг. 2.9).

Тъй като равнината на проекцията се счита за безкрайна в пространството, границите на равнината p 1, p 2 не е необходимо да се изобразяват (фиг. 2.10).

В резултат на комбинирането на равнините p 1 и p 2 се получава сложен чертеж или диаграма (от френския чертеж epure), т.е. чертеж в системата p 1 и p 2 или в системата от две проекционни равнини. Заменяйки визуалното изображение с диаграма, ние загубихме пространствената картина на местоположението на проекционните равнини и точки. Но диаграмите осигуряват точност и лесни за измерване изображения със значителна простота на конструкцията. За да си представите пространствена картина от диаграма, е необходима работа на въображението: например, според фиг. 2.11 трябва да си представите картината, показана на фиг. 2.12.

Ако има проекционна ос в сложния чертеж по проекциите A 1 и A 2, можете да установите позицията на точка A спрямо p 1 и p 2 (вижте фиг. 2.5 и 2.6). Сравнявайки фиг. 2.11 и 2.12 е лесно да се установи, че сегментът A 2 A X е разстоянието от точка A до равнината p 1, а сегментът A 1 A X е разстоянието от точка A до p 2. Местоположението на A 2 над проекционната ос означава, че точка A се намира над равнината p 1. Ако A 1 на диаграмата се намира под оста на проекцията, тогава точка A е пред равнината p 2. По този начин хоризонталната проекция на геометричния образ определя неговото положение спрямо фронталната равнина на проекциите p 2 , а фронталната проекция на геометричния образ - спрямо хоризонталната равнина на проекциите p 1 .

Ориз. 2.11	Ориз. 2.12

§ 4. Характеристики на позицията на точка в системата p 1 и p 2

Точка, определена в пространството, може да има различни позиции спрямо проекционните равнини (фиг. 2.13).

Нека разгледаме възможните варианти за местоположението на точка в пространството на първата четвърт:

1. Точка се намира в пространството на първата четвърт на произволно разстояние от оста X и равнините p 1 p 2, например точки A, B (такива точки се наричат ​​точки на общо положение) (фиг. 2.14 и фиг. 2.15).

3. Точка K принадлежи едновременно на равнината p 1 и p 2, т.е. принадлежи на оста X (фиг. 2.18):

Въз основа на горното можем да направим следното заключение:

1. Ако точка се намира в пространството на първата четвърт, тогава нейната проекция A 2 е разположена над оста X, а A 1 е под оста X; A 2 A 1 – лежат на един и същи перпендикуляр (линия на свързване) към оста X (фиг. 2.14).

2. Ако една точка принадлежи на равнината p 2, тогава нейната проекция C 2 C (съвпада със самата точка C) и проекцията C 1 X (принадлежи на оста X) и съвпада с C X: C 1 C X.

3. Ако една точка принадлежи на равнината p 1, тогава нейната проекция D 1 върху тази равнина съвпада със самата точка D D 1, а проекцията D 2 принадлежи на оста X и съвпада с D X: D 2 D X.

4. Ако една точка принадлежи на оста X, тогава всички нейни проекции съвпадат и принадлежат на оста X: K K 1 K 2 K X.

Упражнение:

1. Характеризирайте позицията на точките в пространството на първата четвърт (фиг. 2.19).

2. Конструирайте визуално изображение и цялостен чертеж на точката според описанието:

а) точка C се намира в първата четвърт и е на еднакво разстояние от равнините p 1 и p 2.

б) точка M принадлежи на равнината p 2.

в) точка K се намира в първата четвърт и нейното разстояние до p 1 е два пъти по-голямо от това до равнината p 2.

г) точка L принадлежи на оста X.

3. Конструирайте сложен чертеж на точка според описанието:

а) точка P се намира в първата четвърт и нейното разстояние от равнината p 2 е по-голямо от това от равнината p 1.

б) точка А се намира в първата четвърт и нейното разстояние до равнината p 1 е 3 пъти по-голямо от това до равнината p 2.

в) точка B се намира в първата четвърт и нейното разстояние до равнината е p 1 =0.

4. Сравнете позицията на точките спрямо проекционните равнини p 1 и p 2 и една с друга. Сравнението се прави въз основа на характеристики или характеристики. За точки тези характеристики са разстоянието до равнините p 1; p 2 (фиг. 2.20).

Прилагането на горната теория при конструирането на изображения на точка може да се извърши по различни начини:

• думи (вербални);
• графично (чертежи);
• визуално изображение (обемно);
• равнинен (сложен чертеж).

Способността да се превежда информация от един метод в друг допринася за развитието на пространственото мислене, т.е. от вербален към визуален (обемен), а след това към планарен и обратно.

Нека да разгледаме това с примери (Таблица 2.1 и Таблица 2.2).

Таблица 2.1

Пример за точково изображение
в система от две проекционни равнини

Квартално пространство	Визуално представяне	Сложна рисунка	Характерни признаци
аз			Фронтална проекция на точка А над оста X, хоризонтална проекция на точка A под оста X
II			Фронтални и хоризонтални проекции на точка B над оста X
III			Фронтална проекция на точка C под оста X, хоризонтална проекция на точка C над оста X
IV			Фронтални и хоризонтални проекции на точка D под оста X

Таблица 2.2

Пример за изображение на точки, принадлежащи на равнините p 1 и p 2

Точкова позиция	Визуално представяне	Сложна рисунка	Характерни признаци
Точка A принадлежи на равнината p 1			A 1 – под оста X, A 2 – по оста X
Точка B принадлежи на равнина p 1			B 1 – над оста X, B 2 – по оста X
Точка C принадлежи на равнината p 2			C 2 – над оста X, C 1 – по оста X
Точка D принадлежи на равнината p 2			D 1 – по оста X, D 2 – под оста X
Точка E принадлежи на оста X			E 1 съвпада с E 2 и принадлежи на оста X

Постройте сложен чертеж на точка А, ако:

1. Точката се намира във II четвърт и е на еднакво разстояние от равнините p 1 и p 2.

2. Точката се намира в третата четвърт и нейното разстояние до равнината p 1 е два пъти по-голямо от това до равнината p 2.

3. Точката се намира в IV четвърт и нейното разстояние до равнината p1 е по-голямо от това до равнината p2.

Определете в кои четвъртини се намират точките (фиг. 2.21).

1. Конструирайте визуално изображение на точките в четвъртините:

а) А – обща позиция през третото тримесечие;

б) Б – общо положение през ІV кв.;

в) C – във втората четвърт, ако разстоянието му от p 1 е 0;

г) D – в първата четвърт, ако разстоянието му от p 2 е 0.

Постройте сложен чертеж от точки A, B, C, D (виж задача 3).

В практиката, изследванията и изображенията, система от две взаимно перпендикулярни равнини не винаги дава възможност за еднозначно решение. Така например, ако преместите точка А по оста X, нейното изображение няма да се промени.

Позицията на точката в пространството (фиг. 2.22) се е променила (фиг. 2.24), но изображенията в комплексния чертеж остават непроменени (фиг. 2.23 и фиг. 2.25).

Ориз. 2.22	Ориз. 2.23
Ориз. 2.24	Ориз. 2.25

За да се реши този проблем, се въвежда система от три взаимно перпендикулярни равнини, тъй като при изготвянето на чертежи, например, машини и техните части, не са необходими две, а повече изображения. На тази основа в някои конструкции при решаване на задачи е необходимо да се въведат p 1, p 2 и други проекционни равнини в системата.

Тези равнини разделят цялото пространство на VIII части, които се наричат ​​октанти (от латинското okto осем). Плоските нямат дебелина, непрозрачни са и безкрайни. Наблюдателят се намира в първата четвърт (за системи p 1, p 2) или първия октант (за системи p 1, p 2, p 3) на безкрайно разстояние от проекционните равнини.

§ 6. Точка в системата p 1, p 2, p 3

Конструкцията на проекции на определена точка А, разположена в първия октант, върху три взаимно перпендикулярни равнини p 1, p 2, p 3 е показана на фиг. 2.27. Използвайки комбинацията от проекционни равнини с равнината p 2 и използвайки метода на завъртане на равнините, получаваме сложен чертеж на точка А (фиг. 2.28):

AA 1 ^ p 1; AA 2 ^ p 2 ; AA 3 ^ p 3,

където A 3 – профилна проекция на точка A; А Х, А y, А Z – аксиални проекции на точка А.

Проекциите A 1, A 2, A 3 се наричат ​​съответно фронтална, хоризонтална и профилна проекция на точка A.

Ориз. 2.27	Ориз. 2.28

Проекционните равнини, пресичащи се по двойки, определят три оси x, y, z, които могат да се разглеждат като система от декартови координати: ос хнаречена абсцисната ос, ос г– ординатна ос, ос З– приложна ос, точката на пресичане на осите, означена с буквата ОТНОСНО,е началото на координатите.

Така зрителят, който гледа обекта, е в първия октант.

За да получим сложен чертеж, прилагаме метода на завъртане на равнините p 1 и p 3 (както е показано на фиг. 2.27), докато се изравнят с равнината p 2. Крайният изглед на всички равнини в първия октант е показан на фиг. 2.29.

Ето ги брадвите оИ Оз, лежащи в неподвижната равнина p 2, са изобразени само веднъж, оста опоказано два пъти. Това се обяснява с факта, че, въртейки се с равнината p 1, оста гна диаграмата се комбинира с оста Оз, и се върти с равнината p 3, същата тази ос съвпада с оста о.

Нека разгледаме фиг. 2.30, където е точката в пространството А, зададени с координати (5,4,6). Тези координати са положителни, а самата тя е в първи октант. Изграждането на изображение на самата точка и нейните проекции върху пространствен модел се извършва с помощта на координатен правоъгълен паралелограм. За да направите това, начертаваме сегменти върху координатните оси, съответстващи на сегментите на дължината: ох = 5, ДА = 4, OAz= 6. На тези сегменти ( ОАx, ОАy, ОАz), тъй като по ръбовете изграждаме правоъгълен паралелепипед. Един от неговите върхове ще определя дадена точка А.

Говорейки за системата от три проекционни равнини в сложен чертеж (фиг. 2.30), е необходимо да се отбележи следното.