เส้นที่ผ่านจุด K(x 0; y 0) และขนานกับเส้น y = kx + a หาได้จากสูตร:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

โดยที่ k คือความชันของเส้นตรง

สูตรทางเลือก:
เส้นที่ผ่านจุด M 1 (x 1 ; y 1) และขนานกับเส้น Ax+By+C=0 แสดงโดยสมการ

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

ตัวอย่าง # 1 เขียนสมการเส้นตรงที่ลากผ่านจุด M 0 (-2.1) และในเวลาเดียวกัน:
ก) ขนานกับเส้นตรง 2x+3y -7 = 0;
b) ตั้งฉากกับเส้น 2x+3y -7 = 0
วิธีการแก้ . ลองแทนสมการความชันเป็น y = kx + a การทำเช่นนี้เราโอนค่าทั้งหมดยกเว้น y ถึง ด้านขวา: 3y = -2x + 7 . จากนั้นเราหารด้านขวาด้วยสัมประสิทธิ์ 3 . เราได้: y = -2/3x + 7/3
หาสมการ NK ผ่านจุด K(-2;1) ขนานกับเส้นตรง y = -2 / 3 x + 7 / 3
แทนที่ x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 เราได้รับ:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
หรือ
y = -2 / 3 x - 1 / 3 หรือ 3y + 2x +1 = 0

ตัวอย่าง # 2 เขียนสมการของเส้นตรงขนานกับเส้นตรง 2x + 5y = 0 แล้วสร้างรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากับ 5 ร่วมกับแกนพิกัด
วิธีการแก้ . เนื่องจากเส้นขนานกัน สมการของเส้นที่ต้องการคือ 2x + 5y + C = 0 พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ a และ b คือขาของมัน ค้นหาจุดตัดของเส้นที่ต้องการด้วยแกนพิกัด:
;
.
ดังนั้น A(-C/2,0), B(0,-C/5) แทนที่ในสูตรสำหรับพื้นที่: . เราได้รับสองวิธีแก้ปัญหา: 2x + 5y + 10 = 0 และ 2x + 5y - 10 = 0 .

ตัวอย่าง #3 เขียนสมการของเส้นที่ผ่านจุด (-2; 5) และเส้นขนาน 5x-7y-4=0 .
วิธีการแก้. เส้นตรงนี้สามารถแทนด้วยสมการ y = 5/7 x – 4/7 (ในที่นี้ a = 5/7) สมการของเส้นที่ต้องการคือ y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)) เช่น 7(y-5)=5(x+2) หรือ 5x-7y+45=0 .

ตัวอย่าง #4 การแก้ตัวอย่างที่ 3 (A=5, B=-7) โดยใช้สูตร (2) เราพบ 5(x+2)-7(y-5)=0

ตัวอย่างที่ 5 เขียนสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (-2;5) และเส้นตรงขนาน 7x+10=0
วิธีการแก้. ที่นี่ A=7, B=0. สูตร (2) ให้ 7(x+2)=0, เช่น x+2=0. สูตร (1) ใช้ไม่ได้ เนื่องจากสมการนี้ไม่สามารถแก้ไขได้เทียบกับ y (เส้นตรงนี้ขนานกับแกน y)

คุณสมบัติของเส้นตรงในเรขาคณิตแบบยุคลิด

มีเส้นมากมายที่สามารถลากผ่านจุดใดก็ได้

ผ่านจุดที่ไม่ตรงกันสองจุดใด ๆ จะมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียว

เส้นที่ไม่บังเอิญสองเส้นในระนาบที่ตัดกันที่จุดเดียวหรือ are

ขนานกัน (ต่อจากอันที่แล้ว)

ในพื้นที่สามมิติ มีสามตัวเลือกสำหรับตำแหน่งสัมพัทธ์ของสองบรรทัด:

• เส้นตัดกัน

• เส้นตรงขนานกัน

• เส้นตรงตัดกัน

ตรง ไลน์- เส้นโค้งพีชคณิตของลำดับแรก: ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เส้นตรง

ให้บนระนาบโดยสมการของดีกรีหนึ่ง (สมการเชิงเส้น)

สมการทั่วไปของเส้นตรง

คำนิยาม. เส้นใดๆ ในระนาบสามารถกำหนดได้โดยสมการลำดับที่หนึ่ง

อา + วู + C = 0,

และค่าคงที่ A, Bไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน สมการลำดับแรกนี้เรียกว่า ทั่วไป

สมการเส้นตรงขึ้นอยู่กับค่าของค่าคงที่ A, Bและ จากกรณีพิเศษต่อไปนี้เป็นไปได้:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- เส้นผ่านต้นทาง

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( โดย + C = 0)- เส้นตรงขนานกับแกน โอ้

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( ขวาน + C = 0)- เส้นตรงขนานกับแกน OU

. B = C = 0, A ≠ 0- เส้นตรงกับแกน OU

. A = C = 0, B ≠ 0- เส้นตรงกับแกน โอ้

สมการของเส้นตรงสามารถแสดงเป็น แบบต่างๆแล้วแต่กรณี

เงื่อนไขเบื้องต้น

สมการของเส้นตรงโดยจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก

คำนิยาม. ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบ (A, B)

ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดโดยสมการ

อา + วู + C = 0

ตัวอย่าง. หาสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด เอ(1, 2)ตั้งฉากกับเวกเตอร์ (3, -1).

วิธีการแก้. มาเขียนที่ A \u003d 3 และ B \u003d -1 สมการของเส้นตรง: 3x - y + C \u003d 0 เพื่อหาสัมประสิทธิ์ C

เราแทนที่พิกัดของจุดที่กำหนด A ลงในนิพจน์ผลลัพธ์ เราได้รับ: 3 - 2 + C = 0 ดังนั้น

ค = -1 รวม: สมการที่ต้องการ: 3x - y - 1 \u003d 0

สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุด

ให้สองคะแนนในช่องว่าง M 1 (x 1 , y 1 , z 1)และ M2 (x 2, y 2 , z 2),แล้ว สมการเส้นตรง,

ผ่านจุดเหล่านี้:

หากตัวส่วนใดมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวเศษที่ตรงกันควรตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ บน

ระนาบ สมการของเส้นตรงที่เขียนด้านบนนั้นง่ายขึ้น:

ถ้า x 1 ≠ x 2และ x = x 1, ถ้า x 1 = x 2 .

เศษส่วน = kเรียกว่า ปัจจัยความชัน ตรง.

ตัวอย่าง. จงหาสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด A(1, 2) และ B(3, 4)

วิธีการแก้. ใช้สูตรข้างต้นเราได้รับ:

สมการของเส้นตรงโดยจุดและความชัน

ถ้าสมการทั่วไปของเส้นตรง อา + อู๋ + C = 0นำมาสู่แบบฟอร์ม:

และกำหนด จากนั้นสมการผลลัพธ์จะเรียกว่า

สมการเส้นตรงที่มีความชัน k

สมการของเส้นตรงบนจุดและเวกเตอร์กำกับ

โดยการเปรียบเทียบกับจุดที่พิจารณาสมการของเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ปกติ คุณสามารถเข้าสู่ภารกิจ

เส้นตรงผ่านจุดและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

คำนิยาม. ทุกเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (α 1 , α 2)ซึ่งส่วนประกอบตรงตามเงื่อนไข

Aα 1 + Bα 2 = 0เรียกว่า เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

อา + วู + C = 0

ตัวอย่าง. หาสมการของเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ทิศทาง (1, -1) และผ่านจุด A(1, 2)

วิธีการแก้. เราจะมองหาสมการของเส้นตรงที่ต้องการในรูปแบบ: ขวาน + โดย + C = 0ตามคำจำกัดความว่า

สัมประสิทธิ์ต้องเป็นไปตามเงื่อนไข:

1 * A + (-1) * B = 0 เช่น เอ = บี

จากนั้นสมการของเส้นตรงจะมีรูปแบบดังนี้ ขวาน + อาย + C = 0,หรือ x + y + C / A = 0

ที่ x=1, y=2เราได้รับ C/ A = -3, เช่น. สมการที่ต้องการ:

x + y - 3 = 0

สมการของเส้นตรงในส่วน

หากในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ah + Wu + C = 0 C≠0 จากนั้นหารด้วย -C เราจะได้:

หรือ ที่ไหน

ความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์คือสัมประสิทธิ์ a คือพิกัดของจุดตัด

ตรงด้วยเพลา โอ้,เอ ข- พิกัดจุดตัดของเส้นกับแกน อ.

ตัวอย่าง. จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง x - y + 1 = 0หาสมการของเส้นตรงนี้เป็นส่วนๆ

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1

สมการปกติของเส้นตรง

ถ้าทั้งสองข้างของสมการ อา + อู๋ + C = 0หารด้วยตัวเลข , ซึ่งเรียกว่า

ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานแล้วเราจะได้

xcosφ + ysinφ - p = 0 -สมการปกติของเส้นตรง.

ต้องเลือกเครื่องหมาย±ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ μ * C< 0.

R- ความยาวของเส้นตั้งฉากลดลงจากจุดกำเนิดถึงเส้น

เอ φ - มุมที่เกิดขึ้นจากแนวตั้งฉากนี้กับทิศทางบวกของแกน โอ้.

ตัวอย่าง. จากสมการทั่วไปของเส้นตรง 12x - 5y - 65 = 0. จำเป็นต้องเขียน ประเภทต่างๆสมการ

เส้นตรงนี้

สมการของเส้นตรงนี้ในส่วนต่างๆ:

สมการของเส้นตรงนี้ที่มีความชัน: (หารด้วย 5)

สมการของเส้นตรง:

cos φ = 12/13; บาป φ= -5/13; พี=5

ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกเส้นตรงที่สามารถแสดงด้วยสมการในส่วนต่างๆ เช่น เส้นตรง

ขนานกับแกนหรือผ่านจุดกำเนิด

มุมระหว่างเส้นบนระนาบ

คำนิยาม. ถ้าให้สองบรรทัด y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2แล้วมุมแหลมระหว่างเส้นเหล่านี้

จะถูกกำหนดเป็น

เส้นสองเส้นขนานกัน if k 1 = k 2. เส้นสองเส้นตั้งฉากกัน

ถ้า k 1 \u003d -1 / k 2 .

ทฤษฎีบท.

โดยตรง อา + อู๋ + C = 0และ A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0ขนานกันเมื่อสัมประสิทธิ์เป็นสัดส่วน

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. ถ้ายัง С 1 \u003d λСแล้วเส้นจะตรงกัน พิกัดจุดตัดของสองเส้น

พบว่าเป็นคำตอบของระบบสมการของเส้นเหล่านี้

สมการของเส้นที่ลากผ่านจุดที่กำหนดจะตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

คำนิยาม. เส้นที่ลากผ่านจุด ม 1 (x 1, y 1)และตั้งฉากกับเส้น y = kx + b

แสดงโดยสมการ:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

ทฤษฎีบท. หากได้รับคะแนน M(x 0, y 0),จากนั้นระยะทางถึงเส้น อา + อู๋ + C = 0กำหนดเป็น:

การพิสูจน์. ให้ประเด็น ม 1 (x 1, y 1)- ฐานตั้งฉากหลุดจากจุด เอ็มสำหรับให้

โดยตรง. แล้วระยะห่างระหว่างจุด เอ็มและ M 1:

(1)

พิกัด x 1และ 1สามารถหาคำตอบของระบบสมการได้ดังนี้

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด M 0 ตั้งฉาก

เส้นที่กำหนด ถ้าเราแปลงสมการแรกของระบบเป็นรูปแบบ:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,

จากนั้น แก้ เราได้รับ:

การแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สมการของเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนดใน ทิศทางนี้. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด มุมระหว่างสองเส้น เงื่อนไขของการขนานและความตั้งฉากของสองเส้น การหาจุดตัดของสองเส้น

ตัวอย่างปัญหาในการแก้ปัญหา

หาสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุด: (-1, 2) และ (2, 1)

วิธีการแก้.

ตามสมการ

เชื่อในมัน x 1 = -1, y 1 = 2, x 2 = 2, y 2 \u003d 1 (ไม่ว่าจุดใดที่ถือว่าเป็นจุดแรกซึ่ง - จุดที่สอง) เราจะได้

หลังจากการทำให้เข้าใจง่ายในที่สุดเราก็ได้สมการที่ต้องการในรูปแบบ

x + 3y - 5 = 0.

ด้านของสามเหลี่ยมหาได้จากสมการ: (AB ) 2 x + 4 y + 1 = 0, (AC ) x - y + 2 = 0, (BC ) 3 x + 4 y -12 = 0. ค้นหาพิกัดของจุดยอดของสามเหลี่ยม

วิธีการแก้.

พิกัดจุดยอด อาหาโดยการแก้ระบบที่ประกอบด้วยสมการข้าง ABและ AC:

ระบบสอง สมการเชิงเส้นด้วยสองสิ่งที่ไม่รู้ เราแก้ด้วยวิธีการที่รู้จักจากพีชคณิตเบื้องต้น และเราได้

จุดสุดยอด อามีพิกัด

พิกัดจุดยอด บีหาโดยการแก้ระบบสมการของด้าน ABและ BC:

เราได้รับ .

พิกัดจุดยอด คเราได้จากการแก้ระบบจากสมการของด้าน BCและ AC:

จุดสุดยอด คมีพิกัด.

อา (2, 5) ขนานกับเส้น 3x - 4 y + 15 = 0.

วิธีการแก้.

ให้เราพิสูจน์ว่าถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน สมการของพวกมันสามารถแสดงในลักษณะที่ต่างกันได้เฉพาะในรูปของพจน์อิสระเท่านั้น อันที่จริงจากเงื่อนไขของการขนานกันของสองบรรทัด มันเป็นไปตามนั้น .

แสดงโดย tมูลค่ารวมของความสัมพันธ์เหล่านี้ แล้ว

และด้วยเหตุนี้จึงเป็นไปตามนั้น

อา 1 = อา 2 t, บี 1 = บี 2 t. (1)

ถ้าสองบรรทัด

อา 1 x + บี 1 y + ค 1 = 0 และ

อา 2 x + บี 2 y + ค 2 = 0

ขนานกัน เป็นไปตามเงื่อนไข (1) และแทนที่ในสมการแรกเหล่านี้ อา 1 และ บี 1 ตามสูตร (1) จะได้

อา 2 tx + บี 2 ty + ค 1 = 0,

หรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วย เราจะได้

เปรียบเทียบสมการผลลัพธ์กับสมการของเส้นที่สอง อา 2 x + บี 2 y + ค 2 = 0 เราสังเกตว่าสมการเหล่านี้ต่างกันในเทอมอิสระเท่านั้น ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ข้อเรียกร้อง ตอนนี้เรามาเริ่มแก้ปัญหากัน เราเขียนสมการของเส้นตรงที่ต้องการในลักษณะที่จะแตกต่างจากสมการของเส้นตรงนี้โดยเทอมอิสระเท่านั้น: สองพจน์แรกในสมการที่ต้องการจะนำมาจากสมการนี้ และเทอมอิสระของมันจะเป็น เขียนแทนด้วย ค. จากนั้นสามารถเขียนสมการที่ต้องการได้ในรูป

3x - 4y + ค = 0, (3)

และจะถูกกำหนด ค.

ให้ในสมการ (3) กับค่า คค่าจริงทั้งหมดที่เป็นไปได้ เราได้ชุดของเส้นขนานกับค่าที่กำหนด ดังนั้น สมการ (3) จึงไม่ใช่สมการของเส้นเดียว แต่ของทั้งตระกูลของเส้นตรงที่ขนานกับเส้น 3 . นี้ x - 4y+15 = 0 จากตระกูลของเส้นนี้ เราควรแยกเส้นที่ผ่านจุดนั้นออก อา(2, 5).

หากเส้นผ่านจุดใดจุดหนึ่ง พิกัดของจุดนั้นจะต้องเป็นไปตามสมการของเส้นตรง ดังนั้นเราจึงกำหนด ค, ถ้าใน (3) เราแทนพิกัดปัจจุบัน xและ yพิกัดจุด อา, เช่น. x = 2, y= 5. เราได้และ ค = 14.

พบค่า คเราแทนที่ด้วย (3) และสมการที่ต้องการจะถูกเขียนดังนี้:

3x - 4y + 14 = 0.

ปัญหาเดียวกันสามารถแก้ไขได้ในอีกทางหนึ่ง เนื่องจากความชันของเส้นคู่ขนานเท่ากัน และสำหรับเส้น 3 . ที่กำหนด x - 4y+ 15 = 0 ความชัน แล้วความชันของเส้นที่ต้องการก็จะเท่ากับ .

ตอนนี้เราใช้สมการ y - y 1 = k(x - x 1) มัดเส้นตรง Dot อา(2, 5) ที่เส้นตรงผ่านเป็นที่รู้จักสำหรับเราและดังนั้นจึงแทนที่เป็นสมการของดินสอของเส้นตรง y - y 1 = k(x - x 1) ค่าที่เราได้รับ

หรือหลังการทำให้เข้าใจง่าย 3 x - 4y+14 = 0, คือเหมือนเดิม

หาสมการของเส้นที่ลากผ่านจุดอา (3, 4) ที่ 60 องศาถึงเส้น 2x + 3 y + 6 = 0.

วิธีการแก้.

ในการแก้ปัญหา เราควรกำหนดความชันของเส้น I และ II (ดูรูป) ให้เราแสดงถึงสัมประสิทธิ์เหล่านี้ตามลำดับโดย k 1 และ k 2 , และความชันของเส้นตรงนี้ - ถึง k. เป็นที่ชัดเจนว่า

ตามคำจำกัดความของมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น เมื่อกำหนดมุมระหว่างเส้นตรงที่กำหนดกับเส้นตรง ฉันจะทำตามตัวเศษของเศษส่วนในสูตร

ลบความชันของเส้นที่กำหนด เนื่องจากต้องหมุนทวนเข็มนาฬิการอบจุด คจนกระทั่งตรงกับบรรทัดที่ 1

เมื่อพิจารณาแล้ว เราจะได้

เมื่อกำหนดมุมระหว่างเส้น II และเส้นที่กำหนด เราควรลบความชันของเส้น II ในตัวเศษของเศษส่วนเดียวกัน นั่นคือ k 2 เนื่องจากบรรทัด II ควรหมุนทวนเข็มนาฬิการอบจุด บีจนมาบรรจบกับบรรทัดนี้ว่า

หาสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดอา (5, -1) ตั้งฉากกับเส้น 3x - 7 y + 14 = 0.

วิธีการแก้.

ถ้าสองบรรทัด

อา 1 x + บี 1 y + ค 1 = 0, อา 2 x + บี 2 y + ค 2 = 0

ตั้งฉากแล้วเท่ากัน

อา 1 อา 2 + บี 1 บี 2 = 0,

หรือที่เหมือนกันคือ

อา 1 อา 2 = -บี 1 บี 2 ,

และด้วยเหตุนี้จึงเป็นไปตามนั้น

ความหมายทั่วไปของนิพจน์เหล่านี้จะแสดงโดย t.

แล้วมันตามมาด้วยเหตุใด

อา 2 = บี 1 t, บี 2 = -อา 1 t.

แทนค่าเหล่านี้ อา 2 และ บี 2 และสมการของเส้นตรงที่สอง จะได้

บี 1 tx - อา 1 ty + ค 2 = 0.

หรือหารด้วย tความเสมอภาคทั้งสองฝ่าย เราจะมี

เปรียบเทียบสมการผลลัพธ์กับสมการเส้นตรงเส้นแรก

อา 1 x + บี 1 y + ค 1 = 0,

สังเกตว่าพวกมันมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ xและ yเปลี่ยนสถานที่และเครื่องหมายระหว่างคำที่หนึ่งและสองเปลี่ยนเป็นตรงกันข้ามในขณะที่เงื่อนไขอิสระต่างกัน

มาเริ่มแก้ปัญหากันเลย ต้องการเขียนสมการเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นตรง 3 x - 7y+ 14 = 0 ตามข้อสรุปข้างต้น เราดำเนินการดังนี้: เราสลับค่าสัมประสิทธิ์ที่ xและ yและเครื่องหมายลบระหว่างทั้งสองจะถูกแทนที่ด้วยเครื่องหมายบวก คำอิสระจะแสดงด้วยตัวอักษร ค. มารับ7 .กัน x + 3y + ค= 0 สมการนี้เป็นสมการของตระกูลของเส้นตั้งฉากกับเส้น 3 x - 7y+ 14 = 0. กำหนด คจากเงื่อนไขที่เส้นที่ต้องการลากผ่านจุด อา(5, -1). เป็นที่ทราบกันดีว่าถ้าเส้นหนึ่งผ่านจุดใดจุดหนึ่ง พิกัดของจุดนี้จะต้องเป็นไปตามสมการของเส้นตรง แทนที่ในสมการสุดท้าย 5 แทน xและ -1 แทน y, เราได้รับ

ค่านี้ คแทนที่ในสมการสุดท้ายและรับ

7x + 3y - 32 = 0.

เราแก้ปัญหาเดียวกันด้วยวิธีที่ต่างออกไป โดยใช้สมการของดินสอเส้น

y - y 1 = k(x - x 1).

ความชันของเส้นตรงนี้ 3 x - 7y + 14 = 0

แล้วความชันของเส้นตั้งฉากกับมัน

แทนสมการของดินสอเส้น , และแทน x 1 และ y 1 พิกัดของจุดที่กำหนด อา(5, -1), ค้นหา หรือ 3 y + 3 = -7x+35 และสุดท้ายคือ 7 x + 3y- 32 = 0, คือเหมือนเดิม

สมการเส้นโค้งมีมากมายเมื่ออ่านวรรณกรรมทางเศรษฐกิจ ให้เราชี้ให้เห็นเส้นโค้งเหล่านี้บางส่วน

เส้นโค้งไม่แยแส - กราฟแสดงการผสมผสานระหว่างผลิตภัณฑ์สองชนิดที่มีมูลค่าหรือประโยชน์ใช้สอยเท่ากันสำหรับผู้บริโภค

เส้นโค้งงบประมาณผู้บริโภค เป็นเส้นโค้งที่แสดงการรวมกันของปริมาณของสินค้าสองรายการที่แตกต่างกันซึ่งผู้บริโภคสามารถซื้อได้ที่ระดับรายได้เงินของเขาที่กำหนด

เส้นโค้งความเป็นไปได้ในการผลิต - เส้นกราฟแสดงการผสมผสานต่างๆ ของสินค้าหรือบริการสองชนิดที่สามารถผลิตได้โดยมีการจ้างงานเต็มที่และให้ผลผลิตเต็มที่ในระบบเศรษฐกิจที่มีทรัพยากรคงคลังและเทคโนโลยีที่ไม่เปลี่ยนแปลง

เส้นอุปสงค์การลงทุน - เส้นกราฟแสดงการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยและปริมาณการลงทุนในอัตราดอกเบี้ยต่างๆ

ฟิลลิปส์เคิร์ฟ- กราฟแสดงความสัมพันธ์ที่มั่นคงระหว่างอัตราการว่างงานกับอัตราเงินเฟ้อ

เส้นโค้งลาฟเฟอร์- เส้นกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างอัตราภาษีและรายรับภาษี ซึ่งเผยให้เห็นอัตราภาษีดังกล่าวที่รายรับภาษีถึงขีดสูงสุด

แม้แต่การแจงนับธรรมดา ๆ ก็แสดงให้เห็นว่านักเศรษฐศาสตร์สามารถสร้างกราฟและวิเคราะห์สมการของเส้นโค้งได้ ซึ่งได้แก่ เส้นตรงและเส้นโค้งอันดับสอง - วงกลม วงรี ไฮเพอร์โบลา พาราโบลา นอกจากนี้ เมื่อแก้ปัญหาประเภทใหญ่ จำเป็นต้องเลือกพื้นที่บนระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งบางเส้นซึ่งให้สมการ ส่วนใหญ่ ปัญหาเหล่านี้มีการกำหนดไว้ดังนี้ ค้นหาแผนการผลิตที่ดีที่สุดสำหรับทรัพยากรที่กำหนด การจัดสรรทรัพยากรมักจะอยู่ในรูปของความไม่เท่าเทียมกันซึ่งจะได้รับสมการ ดังนั้นเราต้องมองหาค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุดจากฟังก์ชันบางอย่างในภูมิภาคที่ระบุโดยสมการของระบบอสมการ

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ สายบนเครื่องบินถูกกำหนดให้เป็นเซตของจุดที่พิกัดเป็นไปตามสมการ F(x,y)=0. ในกรณีนี้ ต้องกำหนดข้อจำกัดในฟังก์ชัน F เพื่อว่าสมการนี้มีชุดคำตอบอนันต์ และในทางกลับกัน คำตอบชุดนี้จะไม่ได้เติม "ชิ้นส่วนของระนาบ" ” คลาสที่สำคัญของเส้นคือคลาสที่ฟังก์ชัน F(x,y) เป็นพหุนามในตัวแปรสองตัว ซึ่งในกรณีนี้จะเรียกเส้นที่กำหนดโดยสมการ F(x,y)=0 พีชคณิต. เส้นพีชคณิตที่กำหนดโดยสมการของดีกรีแรกเป็นเส้นตรง สมการของดีกรีที่สองซึ่งมีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์ กำหนดวงรี ไฮเพอร์โบลา พาราโบลา หรือเส้นที่แยกออกเป็นเส้นตรงสองเส้น

ให้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าบนเครื่องบิน เส้นตรงบนระนาบสามารถหาได้จากสมการใดสมการหนึ่ง:

สิบ. สมการทั่วไปของเส้นตรง

ขวาน + โดย + C = 0. (2.1)

เวกเตอร์ น(А,В) เป็นมุมฉากเป็นเส้นตรง ตัวเลข A และ B ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน

ยี่สิบ . สมการเส้นตรงที่มีความชัน

y - y o = k (x - x o), (2.2)

โดยที่ k คือความชันของเส้นตรง เช่น k = tgก โดยที่ a - ค่าของมุมที่เกิดจากเส้นตรงที่มีแกน Оx, M (x o , y o) - บางจุดที่เป็นของเส้นตรง

สมการ (2.2) อยู่ในรูปแบบ y = kx + b ถ้า M (0, b) เป็นจุดตัดของเส้นที่มีแกน Oy

สามสิบ. สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ

x/a + y/b = 1, (2.3)

โดยที่ a และ b คือค่าของเซ็กเมนต์ที่ตัดด้วยเส้นตรงบนแกนพิกัด

40 . สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดสองจุดคือ A(x 1 , y 1) และ B(x 2 , y 2):

. (2.4)

ห้าสิบ. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด A(x 1 , y 1) ขนานกับเวกเตอร์ที่กำหนด เอ(ม, น)

. (2.5)

60 . สมการปกติของเส้นตรง

rn o - p = 0, (2.6)

ที่ไหน rคือรัศมีของจุดใดจุดหนึ่ง M(x, y) ของเส้นนี้ น o เป็นเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับเส้นนี้และกำกับจากจุดกำเนิดไปยังเส้น p คือระยะทางจากจุดกำเนิดถึงเส้นตรง

ปกติในรูปแบบพิกัดมีรูปแบบ:

x cos a + y บาป a - p \u003d 0,

ที่ไหน - ค่าของมุมที่เกิดจากเส้นตรงที่มีแกน x

สมการของดินสอเส้นที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด A (x 1, y 1) มีรูปแบบดังนี้

y-y 1 = ล. (x-x 1),

ที่ไหน l คือพารามิเตอร์ลำแสง หากเส้นตัดกันสองเส้นกำหนดลำแสง A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 สมการจะมีรูปแบบดังนี้

ล. (A 1 x + B 1 y + C 1) + ม. (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

ที่ไหน l และ m คือพารามิเตอร์ของลำแสงที่ไม่เปลี่ยนเป็น 0 พร้อมกัน

มุมระหว่างเส้น y \u003d kx + b และ y \u003d k 1 x + b 1 ถูกกำหนดโดยสูตร:

tg j = .

ความเท่าเทียมกัน 1 + k 1 k = 0 เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเส้นที่จะตั้งฉาก

เพื่อสร้างสมการสองสมการ

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

กำหนดเส้นตรงเดียวกันมีความจำเป็นและเพียงพอที่สัมประสิทธิ์เป็นสัดส่วน:

A 1 / A 2 = B 1 / B 2 = C 1 / C 2

สมการ (2.7), (2.8) กำหนดเส้นคู่ขนานที่แตกต่างกันสองเส้น ถ้า A 1 /A 2 = B 1 /B 2 และ B 1 /B 2¹ C 1 /C 2; เส้นตัดกันถ้า A 1 /A 2¹B1/B2.

ระยะทาง d จากจุด M o (x o, y o) ถึงเส้นตรงคือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุด M o ถึงเส้นตรง หากเส้นถูกกำหนดโดยสมการปกติ d =ê rเกี่ยวกับ น o - r ê , ที่ไหน r o คือเวกเตอร์รัศมีของจุด M o หรือในรูปแบบพิกัด d =ê x o cos a + y o sin a - r ê .

สมการทั่วไปของเส้นโค้งอันดับสองมีรูปแบบ

11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0

สันนิษฐานว่าในสัมประสิทธิ์ของสมการ a 11 , 12 , 22 จะมีค่าอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

สมการของวงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุด C(a, b) และมีรัศมีเท่ากับ R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (2.9)

วงรีเรียกตำแหน่งของจุดซึ่งผลรวมของระยะทางจากจุดที่กำหนดสองจุด F 1 และ F 2 (จุดโฟกัส) เป็นค่าคงที่เท่ากับ 2a

สมการ Canonical (ง่ายที่สุด) ของวงรี

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1 (2.10)

วงรีที่กำหนดโดยสมการ (2.10) มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับแกนพิกัด ตัวเลือก เอและ ขเรียกว่า เพลาเพลาวงรี

ให้ a>b แล้วจุดโฟกัส F 1 และ F 2 อยู่บนแกน Ox ที่ระยะห่าง
c= จากแหล่งกำเนิด อัตราส่วน c/a =อี < 1 называется ความเบี้ยววงรี ระยะทางจากจุด M(x, y) ของวงรีถึงจุดโฟกัส (เวกเตอร์รัศมีโฟกัส) ถูกกำหนดโดยสูตร:

r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x

ถ้า< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , อี = ค/ข,
r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x

ถ้า a = b แล้ววงรีจะเป็นวงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของรัศมี เอ.

อติพจน์เรียกตำแหน่งของจุดความแตกต่างของระยะทางจากจุดที่กำหนดสองจุด F 1 และ F 2 (จุดโฟกัส) เท่ากับค่าสัมบูรณ์กับจำนวน 2a ที่กำหนด

สมการ Canonical ของไฮเพอร์โบลา

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 (2.11)

ไฮเปอร์โบลาที่กำหนดโดยสมการ (2.11) มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับแกนพิกัด มันตัดแกน Ox ที่จุด A (a,0) และ A (-a,0) - จุดยอดของไฮเพอร์โบลาและไม่ตัดกับแกน Oy พารามิเตอร์ เอเรียกว่า กึ่งแกนจริง, ข -แกนจินตภาพ. พารามิเตอร์ c= คือระยะทางจากจุดโฟกัสไปยังจุดกำเนิด อัตราส่วน c/a =อี >1 เรียกว่า ความเบี้ยวอติพจน์ เส้นตรงที่มีสมการ y =± b/a x เรียกว่า เส้นกำกับอติพจน์ ระยะทางจากจุด M(x,y) ของไฮเปอร์โบลาถึงจุดโฟกัส (เวกเตอร์รัศมีโฟกัส) ถูกกำหนดโดยสูตร:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

ไฮเปอร์โบลาที่มี a = b เรียกว่า ด้านเท่ากันหมด, สมการของมัน x 2 - y 2 \u003d a 2 และสมการของเส้นกำกับ y \u003d± x ไฮเปอร์โบลา x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 และ
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 เรียกว่า conjugated.

พาราโบลาคือตำแหน่งของจุดที่ห่างจากจุดที่กำหนด (โฟกัส) และเส้นที่กำหนด (directrix) เท่ากัน

สมการบัญญัติของพาราโบลามีสองรูปแบบ:

1) y 2 \u003d 2px - พาราโบลามีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน Ox

2) x 2 \u003d 2py - พาราโบลามีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy

ในทั้งสองกรณี p>0 และจุดยอดของพาราโบลา นั่นคือ จุดที่วางอยู่บนแกนสมมาตรจะอยู่ที่จุดกำเนิด

พาราโบลาที่มีสมการ y 2 = 2рx มีโฟกัส F(р/2,0) และไดเรกทริกซ์ x = - р/2, เวกเตอร์รัศมีโฟกัสของจุด M(x, y) บนนั้น r = x+ р/2

พาราโบลาที่มีสมการ x 2 =2py มีโฟกัส F(0, p/2) และไดเรกทริกซ์ y = - p/2; เวกเตอร์รัศมีโฟกัสของจุด M(x, y) ของพาราโบลาคือ r = y + p/2

สมการ F(x, y) = 0 กำหนดเส้นที่แบ่งระนาบออกเป็นสองส่วนหรือมากกว่า ในส่วนใดส่วนหนึ่งเหล่านี้ ความไม่เท่าเทียมกัน F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้น
F(x, y)=0 แยกส่วนของระนาบที่ F(x, y)>0 ออกจากส่วนของระนาบโดยที่ F(x, y)<0.

เส้นตรงซึ่งมีสมการคือ Ax+By+C = 0 แบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่ง ในทางปฏิบัติ เพื่อหาว่าครึ่งระนาบใดที่เรามี Ax + By + C<0, а в какой Ax+By+C>0 ใช้วิธีเบรกพอยต์ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้จุดควบคุม (แน่นอนว่าไม่ใช่เป็นเส้นตรง สมการคือ Ax + By + C = 0) และตรวจสอบว่านิพจน์ Ax + By + C มีเครื่องหมายอะไร ณ จุดนี้ เครื่องหมายเดียวกันนี้มีนิพจน์ที่ระบุในครึ่งระนาบทั้งหมดที่จุดควบคุมอยู่ ในระนาบครึ่งหลัง Ax+By+C มีเครื่องหมายตรงข้าม

อสมการไม่เชิงเส้นที่มีสองไม่ทราบค่าจะได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน

ตัวอย่างเช่น ลองแก้ความไม่เท่าเทียมกัน x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0 เขียนใหม่ได้เป็น (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0

สมการ (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 กำหนดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด C(2,-3) และรัศมี 5 วงกลมแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน - ด้านใน และด้านนอก เพื่อหาว่าความไม่เท่าเทียมกันนี้เกิดขึ้นที่ใด เราใช้จุดควบคุมในพื้นที่ภายใน เช่น จุดศูนย์กลาง C(2,-3) ของวงกลมของเรา แทนที่พิกัดของจุด C ทางด้านซ้ายของอสมการ เราได้จำนวนลบ -25 ดังนั้น ทุกจุดที่อยู่ในวงกลม ความไม่เท่าเทียมกัน
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

ตัวอย่าง 1.5.เขียนสมการของเส้นที่ผ่านจุด A(3,1) และเอียงไปที่เส้น 2x+3y-1 = 0 ที่มุม 45 o

วิธีการแก้.เราจะค้นหาในรูปแบบ y=kx+b เนื่องจากเส้นผ่านจุด A พิกัดจึงเป็นไปตามสมการของเส้นตรง กล่าวคือ 1=3k+ข,Þ ข=1-3k. มุมระหว่างเส้น
y= k 1 x+b 1 และ y= kx+b ถูกกำหนดโดยสูตร tgเจ = . เนื่องจากความชัน k 1 ของเส้นตั้งต้น 2x+3y-1=0 คือ - 2/3 และมุมเจ = 45 o เราก็มีสมการสำหรับหาค่า k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 หรือ (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1

เรามีค่า k สองค่า: k 1 = 1/5, k 2 = -5 หาค่าที่สอดคล้องกันของ b โดยสูตร b=1-3k เราได้สองบรรทัดที่ต้องการ สมการคือ: x - 5y + 2 = 0 และ
5x + y - 16 = 0

ตัวอย่าง 1.6. ที่ค่าของพารามิเตอร์ tเส้นที่สมการ 3tx-8y+1 = 0 และ (1+t)x-2ty = 0 ขนานกัน?

วิธีการแก้.เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการทั่วไปจะขนานกันหากสัมประสิทธิ์ที่ xและ yตามสัดส่วน กล่าวคือ 3t/(1+t) = -8/(-2t) การแก้สมการผลลัพธ์เราพบว่า t: t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3

ตัวอย่าง 1.7. ค้นหาสมการคอร์ดร่วมของวงกลมสองวง:
x 2 +y 2 =10 และ x 2 +y 2 -10x-10y+30=0

วิธีการแก้.ค้นหาจุดตัดของวงกลม สำหรับสิ่งนี้ เราแก้ระบบสมการ:

.

การแก้สมการแรกเราพบค่า x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1 จากสมการที่สอง - ค่าที่สอดคล้องกัน y: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3 ตอนนี้เราได้รับสมการของคอร์ดทั่วไปโดยรู้สองจุด A (3,1) และ B (1,3) ที่เป็นของบรรทัดนี้: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3) หรือ y+ x - 4 = 0

ตัวอย่าง 1.8. จุดบนเครื่องบินเป็นอย่างไร พิกัดที่เป็นไปตามเงื่อนไข (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >ห?

วิธีการแก้.ความไม่เท่าเทียมกันแรกของระบบกำหนดการตกแต่งภายในของวงกลม ไม่รวมขอบเขต กล่าวคือ วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (3,3) และรัศมี อสมการที่สองกำหนดระนาบครึ่งที่กำหนดโดยเส้นตรงที่มีสมการคือ x = y และเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด จุดของเส้นตรงจึงไม่อยู่ในระนาบครึ่ง และจุดทั้งหมดอยู่ใต้เส้นตรงนี้ บรรทัดเป็นของครึ่งระนาบ เนื่องจากเรากำลังมองหาจุดที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันทั้งสอง พื้นที่ที่ต้องการจึงเป็นส่วนในของครึ่งวงกลม

ตัวอย่าง 1.9คำนวณความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ในวงรีซึ่งมีสมการคือ x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1

วิธีการแก้.อนุญาต M(s, s)- จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งอยู่ในไตรมาสแรก จากนั้นด้านของสี่เหลี่ยมจะเป็น2 กับ. เพราะ จุด เอ็มอยู่ในวงรีพิกัดของมันเป็นไปตามสมการของวงรี c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1 มาจากไหน
c = ab/ ; ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 2ab/ .

ตัวอย่าง 1.10การรู้สมการเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา y =± 0.5 x และหนึ่งในจุดของมัน M (12, 3) วาดสมการของไฮเพอร์โบลาขึ้นมา

วิธีการแก้.เราเขียนสมการบัญญัติของไฮเพอร์โบลา: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลาถูกกำหนดโดยสมการ y =± 0.5 x ดังนั้น b/a = 1/2 ดังนั้น a=2b เพราะว่า เอ็ม- จุดของไฮเพอร์โบลา จากนั้นพิกัดจะเป็นไปตามสมการของไฮเพอร์โบลา กล่าวคือ 144/a 2 - 27/b 2 = 1 โดยที่ a = 2b เราพบ b: b 2 =9Þ b=3 และ a=6 จากนั้นสมการของไฮเพอร์โบลาคือ x 2 /36 - y 2 /9 = 1

ตัวอย่าง 1.11คำนวณความยาวด้านของสามเหลี่ยม ABC ปกติที่จารึกไว้ในพาราโบลาด้วยพารามิเตอร์ Rสมมติว่าจุด A เกิดขึ้นพร้อมกับจุดยอดของพาราโบลา

วิธีการแก้.สมการบัญญัติของพาราโบลาที่มีพารามิเตอร์ Rมีรูปแบบ y 2 = 2рx จุดยอดตรงกับจุดกำเนิด และพาราโบลามีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน x เนื่องจากเส้น AB สร้างมุม 30 o กับแกน Ox สมการของเส้นตรงคือ: y = x ชาร์ตมากมาย

ดังนั้น เราสามารถหาพิกัดของจุด B ได้โดยการแก้ระบบสมการ y 2 =2px, y = x, ดังนั้น x = 6p, y = 2p ดังนั้น ระยะห่างระหว่างจุด A(0,0) และ B(6p,2p) คือ 4p