ในกระบวนการปัวซอง ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงของเวลา (t, t~\~h) ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนการเปลี่ยนแปลงของเวลา (0, t) ลักษณะทั่วไปที่ง่ายที่สุดคือการละทิ้งสมมติฐานนี้ ให้เราสมมติว่าถ้า n การเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นในเวลา (0, t) ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงครั้งใหม่ (t, t h) จะเท่ากับ \nh บวกระยะของลำดับความเล็กที่สูงกว่า /r; แทนที่จะเป็นค่าคงที่ X ที่กำหนดลักษณะของกระบวนการ เรามีลำดับของค่าคงที่ X0, Xj, X2

สะดวกในการแนะนำคำศัพท์ที่ยืดหยุ่นมากขึ้น แทนที่จะบอกว่าการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นในเวลา (0, t) เราจะบอกว่าระบบอยู่ในสถานะ En การเปลี่ยนแปลงใหม่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลง En->En+1 ในกระบวนการของการสืบพันธุ์แบบบริสุทธิ์ การเปลี่ยนจาก En เป็นไปได้เฉพาะกับ En+1 กระบวนการนี้มีลักษณะโดยสมมุติฐานดังต่อไปนี้

สมมุติฐาน หากในขณะนี้ เสื้อ ระบบอยู่ในสถานะ En(n ~ 0, 1, 2,...) ความน่าจะเป็นที่ในช่วงเวลา (t, t -) - h) การเปลี่ยนเป็น En + 1 จะเกิดขึ้น เท่ากับ Xn/r -|~ o (A) ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงอื่นๆ มีลำดับที่น้อยกว่า h

") เนื่องจากเราถือว่า h เป็นค่าบวก ดังนั้น พูดอย่างเคร่งครัด Pn (t) ใน (2.4) ควรพิจารณาว่าเป็นอนุพันธ์ที่ถูกต้อง แต่ในความเป็นจริง นี่เป็นอนุพันธ์สองด้านธรรมดา แท้จริงแล้ว เทอม o (K) ในสูตร (2.2 ) ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ t ดังนั้นจึงไม่เปลี่ยนแปลงหาก t ถูกแทนที่ด้วย t − h จากนั้นคุณสมบัติ (2.2) แสดงความต่อเนื่อง และ (2.3) สามารถหาอนุพันธ์ได้ใน ในความหมายปกติ. ข้อสังเกตนี้ใช้กับสิ่งต่อไปนี้ด้วยและจะไม่กล่าวซ้ำ

จุดเด่นของข้อสันนิษฐานนี้คือเวลาที่ระบบใช้ในสถานะบุคคลใด ๆ นั้นไม่เกี่ยวข้อง ไม่ว่าระบบจะอยู่ในสถานะหนึ่งนานแค่ไหน การเปลี่ยนไปใช้สถานะอื่นอย่างกะทันหันยังคงเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน

ให้อีกครั้ง P„(t) เป็นความน่าจะเป็นที่ในขณะนี้ t ระบบอยู่ในสถานะ En ฟังก์ชัน Pn(t) เป็นไปตามระบบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่สามารถหาได้โดยใช้อาร์กิวเมนต์ของส่วนก่อนหน้า โดยมีเพียงการเปลี่ยนแปลงที่ (2.2) แทนที่ด้วย

Pn (t-\-h) = Pn (0(1- V0 + Pn-1 (0\-ih + 0 (A) - (3.1)

ดังนั้นเราจึงได้ระบบหลักของสมการเชิงอนุพันธ์:

p "n (t) \u003d -lnPn (t) + ln_xPn_x (t) ("> 1),

P "0 (t) \u003d -l0P0 (t)

เราสามารถคำนวณ P0(t) และ Pn(t) ทั้งหมดตามลำดับ หากสถานะของระบบคือจำนวนการเปลี่ยนแปลงของเวลา (0, () แสดงว่าสถานะเริ่มต้นคือ 0 ปอนด์ ดังนั้น PQ (0) = 1 ดังนั้น P0 (t) - e~k "" อย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นว่าระบบจะเริ่มต้นจากสถานะ £0 (ดูตัวอย่างที่ 3, b) หาก ณ เวลานี้ 0 ระบบอยู่ในสถานะ £ แล้ว

P. (0) = 1. Pn (0) = 0 สำหรับ n Φ I. (3.3)

เหล่านี้ เงื่อนไขเบื้องต้นกำหนดวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ )