Formule de putere utilizat în procesul de reducere și simplificare a expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c este n-a-a putere a unui număr A Când:

Operații cu grade.

1. Înmulțind grade cu aceeași bază, indicatorii lor se adună:

a ma n = a m + n .

2. În împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii acestora se scad:

3. Gradul produsului a 2 sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Gradul unei fracții este egal cu raportul dintre gradele dividendului și divizorului:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ridicând o putere la o putere, exponenții se înmulțesc:

(am) n = a m n .

Fiecare formulă de mai sus este corectă în direcțiile de la stânga la dreapta și invers.

De exemplu. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operații cu rădăcini.

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina raportului este egală cu raportul dintre dividend și divizorul rădăcinilor:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul rădăcinii la această putere:

4. Dacă creștem gradul rădăcinii în n o dată şi în acelaşi timp ridică la n Puterea este un număr radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă scădem gradul rădăcinii în n rădăcină în același timp n gradul de la numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

Gradul cu exponent negativ. Gradul unui număr cu un exponent nepozitiv (întreg) este definit ca unul împărțit la gradul aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului nepozitiv:

Formulă a m:a n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m> n, dar și la m< n.

De exemplu. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pentru a formula a m:a n = a m - n a devenit corect la m=n, aveți nevoie de prezența gradului zero.

Gradul cu exponent zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este egală cu unu.

De exemplu. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Un grad cu un exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real Aîntr-o măsură m/n, trebuie să extrageți rădăcina n gradul de m puterea acestui număr A.

Când numărul se înmulțește singur pentru mine, muncă numit grad.

Deci 2,2 = 4, pătrat sau a doua putere a lui 2
2.2.2 = 8, cub sau a treia putere.
2.2.2.2 = 16, gradul al patrulea.

De asemenea, 10,10 = 100, a doua putere este 10.
10.10.10 = 1000, gradul trei.
10.10.10.10 = 10000 gradul al patrulea.

Și a.a = aa, a doua putere a lui a
a.a.a = aaa, a treia putere a lui a
a.a.a.a = aaaa, a patra putere a lui a

Se numește numărul inițial rădăcină grade ale acelui număr, deoarece acesta este numărul din care au fost create gradele.

Nu este însă foarte convenabil, mai ales în cazul puterilor mari, să notăm toți factorii care compun puterile. Prin urmare, se utilizează o metodă de notare abreviată. Rădăcina gradului se scrie o singură dată, iar în dreapta și puțin mai sus lângă ea, dar într-un font puțin mai mic se scrie de câte ori rădăcina acționează ca un factor. Acest număr sau literă este numit exponent sau grad numere. Deci, a 2 este egal cu a.a sau aa, deoarece rădăcina lui a trebuie înmulțită cu ea însăși de două ori pentru a obține puterea lui aa. De asemenea, un 3 înseamnă aaa, adică aici a se repetă de trei ori ca multiplicator.

Exponentul primei puteri este 1, dar de obicei nu este scris. Deci, un 1 se scrie ca a.

Nu trebuie să confundați grade cu coeficienți. Coeficientul arată cât de des este luată valoarea ca Parteîntreg. Exponentul indică cât de des este luată valoarea ca factorîn lucru.
Deci, 4a = a + a + a + a. Dar a 4 = a.a.a.a

Notația exponențială are avantajul deosebit de a ne permite să exprimăm necunoscut grad. În acest scop, în locul unui număr, se scrie exponentul scrisoare. În procesul de rezolvare a problemei, putem obține o valoare care, după cum știm, este niste grad de altă magnitudine. Dar până acum nu știm dacă este un pătrat, un cub sau un alt grad, mai mare. Deci, în expresia a x , exponentul înseamnă că această expresie are niste grad, deși nu este definit ce grad. Deci, b m și d n sunt ridicate la puterile lui m și n. Când se găsește exponentul, numărînlocuit cu o scrisoare. Deci, dacă m=3, atunci b m = b 3 ; dar dacă m = 5 atunci b m =b 5 .

Metoda de scriere a valorilor cu exponenți este, de asemenea, un mare avantaj la utilizare expresii. Astfel, (a + b + d) 3 este (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), adică cubul trinomului (a + b + d) . Dar dacă scriem această expresie după cub, va arăta ca
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Dacă luăm o serie de puteri ai căror exponenți cresc sau scad cu 1, constatăm că produsul crește cu factor comun sau redus cu divizor comun, iar acest factor sau divizor este numărul inițial care este ridicat la o putere.

Deci, în seria aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
sau a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 ;
indicatorii, dacă sunt numărați de la dreapta la stânga, sunt 1, 2, 3, 4, 5; iar diferența dintre valorile lor este 1. Dacă începem pe dreapta multiplica pe a, vom obține cu succes mai multe valori.

Deci a.a = a 2 , al doilea termen. Și a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , al treilea termen. a 4 .a = a 5 .

Dacă începem stânga divide pe o,
obținem un 5:a = a 4 și a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Dar un astfel de proces de divizare poate fi continuat mai departe și obținem un nou set de valori.

Deci, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Rândul complet va fi: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Sau a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Aici valori pe dreapta din unitate este verso valorile din stânga unuia. Prin urmare, aceste grade pot fi numite puteri inverse A. Se mai poate spune că puterile din stânga sunt inversul puterilor din dreapta.

Deci, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Și 1:(1/a 3) = a 3 .

Se poate aplica același plan de înregistrare polinomiale. Deci, pentru a + b, obținem o mulțime,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Pentru comoditate, se folosește o altă formă de scriere a puterilor inverse.

Conform acestei forme, 1/a sau 1/a 1 = a -1 . Și 1/aaa sau 1/a 3 = a -3 .
1/aa sau 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa sau 1/a 4 = a -4 .

Și pentru a face din exponenți o serie completă cu 1 ca diferență totală, a/a sau 1, se consideră ca atare care nu are grad și se scrie ca 0 .

Apoi, ținând cont de puterile directe și inverse
în loc de aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
se poate scrie un 4 , un 3 , un 2 , un 1 , un 0 , un -1 , un -2 , un -3 , un -4 .
Sau a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

Și o serie de grade luate numai separat va avea forma:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Rădăcina gradului poate fi exprimată prin mai multe litere.

Astfel, aa.aa sau (aa) 2 este a doua putere a lui aa.
Și aa.aa.aa sau (aa) 3 este a treia putere a lui aa.

Toate gradele numărului 1 sunt aceleași: 1.1 sau 1.1.1. va fi egal cu 1.

Exponentiația înseamnă găsirea valorii oricărui număr prin înmulțirea acelui număr cu el însuși. Regula exponentiatiei:

Înmulțiți valoarea cu ea însăși de câte ori este indicat în puterea numărului.

Această regulă este comună tuturor exemplelor care pot apărea în procesul de exponențiere. Dar va fi corect să explicăm cum se aplică în anumite cazuri.

Dacă un singur termen este ridicat la o putere, atunci acesta este înmulțit cu el însuși de câte ori indică exponentul.

A patra putere a este un 4 sau aaaa. (Art. 195.)
A șasea putere a lui y este y 6 sau yyyyyy.
Puterea a n-a a lui x este x n sau xxx..... de n ori repetate.

Dacă este necesar să se ridice o expresie a mai multor termeni unei puteri, principiul că gradul produsului mai multor factori este egal cu produsul acestor factori ridicați la o putere.

Deci (ay) 2 =a 2 y 2 ; (da) 2 = ay.ay.
Dar ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Deci, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Prin urmare, în găsirea gradului unui produs, putem fie să operam pe întregul produs deodată, fie să putem opera pe fiecare factor separat și apoi să le înmulțim valorile cu grade.

Exemplul 1. A patra putere a lui dhy este (dhy) 4 sau d 4 h 4 y 4 .

Exemplul 2. A treia putere a lui 4b este (4b) 3 , sau 4 3 b 3 , sau 64b 3 .

Exemplul 3. Puterea a n-a a lui 6ad este (6ad) n sau 6 n și d n .

Exemplul 4. A treia putere a lui 3m.2y este (3m.2y) 3 sau 27m 3 .8y 3 .

Gradul unui binom, format din termeni legați prin + și -, se calculează prin înmulțirea termenilor săi. Da,

(a + b) 1 = a + b, prima putere.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , a doua putere (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, gradul al treilea.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, gradul al patrulea.

Pătrat a - b, există a 2 - 2ab + b 2 .

Pătratul a + b + h este a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Exercițiul 1. Aflați cubul a + 2d + 3

Exercițiul 2. Aflați a patra putere b + 2.

Exercițiul 3. Aflați puterea a cincea a lui x + 1.

Exercițiul 4. Aflați gradul al șaselea 1 - b.

Sumă pătrate sumeȘi diferență binomele sunt atât de comune în algebră încât este necesar să le cunoaștem foarte bine.

Dacă înmulțim a + h cu el însuși sau a - h cu el însuși,
obținem: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 de asemenea, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Aceasta arată că, în fiecare caz, primul și ultimul termen sunt pătratele lui a și h, iar termenul mijlociu este de două ori produsul dintre a și h. Prin urmare, pătratul sumei și diferenței binomurilor poate fi găsit folosind următoarea regulă.

Pătratul unui binom, ambele pozitive, este egal cu pătratul primului termen + de două ori produsul ambilor termeni, + pătratul ultimului termen.

Pătrat diferență binom este egal cu pătratul primului termen minus de două ori produsul ambilor termeni plus pătratul celui de-al doilea termen.

Exemplul 1. Pătrat 2a + b, există 4a 2 + 4ab + b 2 .

Exemplul 2. Pătratul ab + cd este a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Exemplul 3. Pătratul 3d - h este 9d 2 + 6dh + h 2 .

Exemplul 4. Pătratul a - 1 este a 2 - 2a + 1.

Pentru o metodă de găsire a puterilor mai mari ale binoamelor, consultați următoarele secțiuni.

În multe cazuri, este eficient să scrii grad nici o multiplicare.

Deci, pătratul a + b este (a + b) 2 .
Puterea a n-a bc + 8 + x este (bc + 8 + x) n

În astfel de cazuri, parantezele acoperă Toate membri sub grad.

Dar dacă rădăcina gradului este formată din mai multe multiplicatori, parantezele pot acoperi întreaga expresie sau pot fi aplicate separat factorilor, în funcție de comoditate.

Astfel, pătratul (a + b)(c + d) este fie [(a + b).(c + d)] 2, fie (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Pentru prima dintre aceste expresii, rezultatul este pătratul produsului a doi factori, iar pentru a doua, produsul pătratelor acestora. Dar sunt egali unul cu celălalt.

Cubul a.(b + d), este 3 , sau a 3 .(b + d) 3 .

De asemenea, este necesar să se țină cont de semnul din fața membrilor implicați. Este foarte important să ne amintim că atunci când rădăcina unei puteri este pozitivă, toate puterile sale pozitive sunt, de asemenea, pozitive. Dar când rădăcina este negativă, valorile de la ciudat puterile sunt negative, în timp ce valorile chiar gradele sunt pozitive.

A doua putere (- a) este +a 2
Al treilea grad (-a) este -a 3
A patra putere (-a) este +a 4
A cincea putere (-a) este -a 5

De aici orice ciudat exponentul are același semn ca și numărul. Dar chiar gradul este pozitiv, indiferent dacă numărul are semn negativ sau pozitiv.
Deci, +a.+a = +a 2
ȘI -a.-a = +a 2

O valoare deja ridicată la o putere este ridicată din nou la o putere prin înmulțirea exponenților.

A treia putere a unui 2 este a 2.3 = a 6 .

Pentru a 2 = aa; cubul aa este aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; care este a șasea putere a lui a, dar a treia putere a lui a 2 .

A patra putere a 3 b 2 este a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

A treia putere a lui 4a 2 x este 64a 6 x 3 .

Puterea a cincea a lui (a + b) 2 este (a + b) 10 .

Puterea a N-a a unui 3 este un 3n

Puterea a n-a a lui (x - y) m este (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Regula se aplică în egală măsură negativ grade.

Exemplul 1. A treia putere a lui a -2 este a -3.3 =a -6 .

Pentru a -2 = 1/aa, iar a treia putere a acesteia
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

A patra putere a 2 b -3 este a 8 b -12 sau a 8 / b 12 .

Pătratul b 3 x -1 este b 6 x -2 .

A n-a putere ax -m este x -mn sau 1/x .

Cu toate acestea, trebuie amintit aici că dacă un semn anterior gradul este „-”, apoi ar trebui schimbat în „+” ori de câte ori gradul este un număr par.

Exemplul 1. Pătratul -a 3 este +a 6 . Pătratul lui -a 3 este -a 3 .-a 3 , care, după regulile semnelor de înmulțire, este +a 6 .

2. Dar cubul -a 3 este -a 9 . Pentru -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. Puterea a N-a a lui -a 3 este un 3n .

Aici rezultatul poate fi pozitiv sau negativ, în funcție de faptul că n este par sau impar.

Dacă fracțiune ridicat la putere, numărătorul și numitorul sunt ridicate la putere.

Pătratul a/b este a 2 /b 2 . Conform regulii înmulțirii fracțiilor,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

A doua, a treia și a n-a putere a lui 1/a sunt 1/a 2 , 1/a 3 și 1/a n .

Exemple binoame unde unul dintre termeni este o fracție.

1. Aflați pătratul x + 1/2 și x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Pătratul a + 2/3 este un 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Pătrat x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Pătratul x - b/m este x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Anterior, s-a arătat că coeficient fracționar poate fi mutat de la numărător la numitor sau de la numitor la numărător. Folosind schema de scriere a puterilor inverse, se poate observa că orice multiplicator poate fi de asemenea mutat dacă se schimbă semnul gradului.

Deci, în fracția ax -2 /y, putem muta x de la numărător la numitor.
Atunci ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

În fracția a/cu 3 putem muta y de la numitor la numărător.
Atunci a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

În același mod, putem muta un factor care are un exponent pozitiv la numărător, sau un factor cu un exponent negativ la numitor.

Deci, ax 3 / b = a / bx -3 . Pentru x 3 inversul este x -3 , care este x 3 = 1/x -3 .

Prin urmare, numitorul oricărei fracții poate fi eliminat complet, sau numărătorul poate fi redus la unul fără a schimba sensul expresiei.

Deci, a/b = 1/ba -1 sau ab -1.

poate fi găsit folosind înmulțirea. De exemplu: 5+5+5+5+5+5=5x6. Ei spun despre o astfel de expresie că suma termenilor egali a fost împăturită într-un produs. Și invers, dacă citim această egalitate de la dreapta la stânga, obținem că am extins suma termenilor egali. În mod similar, puteți îndoi produsul mai multor factori egali 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Adică, în loc să înmulțească șase factori identici 5x5x5x5x5x5, ei scriu 5 6 și spun „cinci la a șasea putere”.

Expresia 5 6 este o putere a unui număr, unde:

5 - baza gradului;

6 - exponent.

Se numesc operațiile prin care produsul factorilor egali este pliat într-o putere exponentiare.

În general, o putere cu baza „a” și exponentul „n” se scrie ca

Ridicarea numărului a la puterea lui n înseamnă găsirea produsului a n factori, fiecare dintre care este egal cu a

Dacă baza gradului „a” este 1, atunci valoarea gradului pentru orice n natural va fi egală cu 1. De exemplu, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Dacă ridicați numărul „a” ridicați la primul grad, atunci obținem numărul a însuși: a 1 = a

Dacă ridici orice număr la grad zero, apoi ca rezultat al calculelor obținem unul. a 0 = 1

A doua și a treia putere a unui număr sunt considerate speciale. Au venit cu nume pentru ei: se numește gradul doi pătratul unui număr, al treilea - cub acest număr.

Orice număr poate fi ridicat la o putere - pozitivă, negativă sau zero. Cu toate acestea, următoarele reguli nu sunt utilizate:

La aflarea gradului unui număr pozitiv, se obține un număr pozitiv.

Când calculăm zero în natură, obținem zero.

x m х n = x m + n

de exemplu: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

La împărțiți puterile cu aceeași bază nu schimbam baza, ci scadem exponentii:

x m / x n \u003d x m - n , Unde, m > n

ex: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

La calcul exponentiare Nu schimbăm baza, ci înmulțim exponenții unul cu celălalt.

(la m )n = y m n

de exemplu: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · m ,

de exemplu: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

La efectuarea calculelor pentru exponentiarea unei fractii ridicăm numărătorul și numitorul fracției la puterea dată

(x/y)n = x n / y n

de exemplu: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

Secvența de efectuare a calculelor atunci când se lucrează cu expresii care conțin un grad.

La efectuarea calculelor expresiilor fără paranteze, dar care conțin puteri, în primul rând se efectuează exponențiarea, apoi operațiile de înmulțire și împărțire și abia apoi operațiile de adunare și scădere.

Dacă este necesar să evaluăm o expresie care conține paranteze, atunci mai întâi, în ordinea indicată mai sus, facem calculele între paranteze, iar apoi acțiunile rămase în aceeași ordine de la stânga la dreapta.

Foarte larg în calculele practice, pentru a simplifica calculele, sunt folosite tabele de grade gata făcute.

Exponentiația este o operație strâns legată de înmulțire, această operație este rezultatul înmulțirii multiple a unui număr de la sine. Să reprezentăm formula: a1 * a2 * ... * an = an.

De exemplu, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

În general, exponentiația este adesea folosită în diverse formule din matematică și fizică. Această funcție are un scop mai științific decât cele patru de bază: Adunare, Scădere, Înmulțire, Împărțire.

Ridicarea unui număr la o putere

Ridicarea unui număr la o putere nu este o operațiune dificilă. Este legat de înmulțire ca și relația dintre înmulțire și adunare. Înregistrați an - o scurtă înregistrare a celui de-al n-lea număr de numere „a” înmulțite între ele.

Luați în considerare exponențiarea pe cele mai simple exemple, trecând la cele complexe.

De exemplu, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Patru pătrat (la a doua putere) este egal cu șaisprezece. Dacă nu înțelegeți înmulțirea 4 * 4, atunci citiți articolul nostru despre înmulțire.

Să ne uităm la un alt exemplu: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Cinci cubi (la a treia putere) este egal cu o sută douăzeci și cinci.

Un alt exemplu: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Nouă cuburi este egal cu șapte sute douăzeci și nouă.

Formule de exponentiare

Pentru a ridica corect la o putere, trebuie să vă amintiți și să cunoașteți formulele de mai jos. Nu există nimic dincolo de natural în asta, principalul lucru este să înțelegeți esența și atunci nu numai că vor fi amintite, ci vor părea și ușoare.

Ridicarea unui monom la putere

Ce este un monom? Acesta este produsul numerelor și variabilelor în orice cantitate. De exemplu, doi este un monom. Și acest articol este despre ridicarea unor astfel de monomii la putere.

Folosind formule de exponențiere, nu va fi dificil să se calculeze exponentiația unui monom la o putere.

De exemplu, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Dacă ridicați un monom la o putere, atunci fiecare componentă a monomului este ridicată la o putere.

Când se ridică o variabilă care are deja un grad la o putere, gradele sunt înmulțite. De exemplu, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Ridicarea la o putere negativă

Un exponent negativ este reciproca unui număr. Ce este o reciprocă? Pentru orice număr X, reciproca este 1/X. Adică X-1=1/X. Aceasta este esența gradului negativ.

Luați în considerare exemplul (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

De ce este asta? Deoarece există un minus în grad, pur și simplu transferăm această expresie la numitor și apoi o ridicăm la a treia putere. Doar corect?

Ridicarea la o putere fracționată

Să începem cu un exemplu concret. 43/2. Ce înseamnă putere 3/2? 3 - numărător, înseamnă ridicarea unui număr (în acest caz 4) la un cub. Numărul 2 este numitorul, aceasta este extragerea celei de-a doua rădăcini a numărului (în acest caz 4).

Apoi obținem rădăcina pătrată a lui 43 = 2^3 = 8 . Raspuns: 8.

Deci, numitorul unui grad fracționar poate fi fie 3, fie 4 și la infinit orice număr, iar acest număr determină gradul rădăcinii pătrate extrasă dintr-un număr dat. Desigur, numitorul nu poate fi zero.

Ridicarea unei rădăcini la o putere

Dacă rădăcina este ridicată la o putere egală cu puterea rădăcinii însăși, atunci răspunsul este expresia radicală. De exemplu, (√x)2 = x. Și așa în orice caz de egalitate a gradului de rădăcină și a gradului de ridicare a rădăcinii.

Dacă (√x)^4. Atunci (√x)^4=x^2. Pentru a verifica soluția, traducem expresia într-o expresie cu grad fracționar. Deoarece rădăcina este pătrată, numitorul este 2. Și dacă rădăcina este ridicată la a patra putere, atunci numărătorul este 4. Obținem 4/2=2. Răspuns: x = 2.

În orice caz, cea mai bună opțiune este să convertiți pur și simplu expresia într-un exponent fracționar. Dacă fracția nu este redusă, atunci un astfel de răspuns va fi, cu condiția ca rădăcina numărului dat să nu fie alocată.

Exponentiarea unui numar complex

Ce este un număr complex? Un număr complex este o expresie care are formula a + b * i; a, b sunt numere reale. i este numărul care, la pătrat, dă numărul -1.

Luați în considerare un exemplu. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Înscrieți-vă la cursul „Accelerează numărarea mentală, NU aritmetica mentală” pentru a învăța cum să adunăm, să scădeți, să înmulțiți, să împărțiți, să pătrați și chiar să luați rădăcini rapid și corect. În 30 de zile, vei învăța cum să folosești trucuri simple pentru a simplifica operațiile aritmetice. Fiecare lecție conține tehnici noi, exemple clare și sarcini utile.

Exponentiație online

Cu ajutorul calculatorului nostru, puteți calcula exponențiația unui număr la o putere:

Gradul de exponentiare 7

Ridicarea la putere începe să treacă de școlari abia în clasa a șaptea.

Exponentiația este o operație strâns legată de înmulțire, această operație este rezultatul înmulțirii multiple a unui număr de la sine. Să reprezentăm formula: a1 * a2 * … * an=an .

De exemplu, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Exemple de soluții:

Prezentarea exponentiatiei

Prezentare despre exponențiere, destinată elevilor de clasa a VII-a. Prezentarea poate clarifica unele puncte de neînțeles, dar probabil că nu vor exista astfel de puncte datorită articolului nostru.

Rezultat

Am luat în considerare doar vârful aisbergului, pentru a înțelege mai bine matematica - înscrie-te la cursul nostru: Accelerează numărarea mentală - NU aritmetica mentală.

Din curs, nu numai că vei învăța zeci de trucuri pentru înmulțirea simplificată și rapidă, adunarea, înmulțirea, împărțirea, calcularea procentelor, dar și le vei rezolva în sarcini speciale și jocuri educaționale! Numărarea mentală necesită, de asemenea, multă atenție și concentrare, care sunt antrenate activ în rezolvarea problemelor interesante.

Ne-am dat seama care este gradul unui număr în general. Acum trebuie să înțelegem cum să-l calculăm corect, de exemplu. ridica numerele la puteri. În acest material, vom analiza regulile de bază pentru calcularea gradului în cazul unui exponent întreg, natural, fracționar, rațional și irațional. Toate definițiile vor fi ilustrate cu exemple.

Conceptul de exponentiare

Să începem cu formularea definițiilor de bază.

Definiția 1

Exponentiatie este calculul valorii puterii unui număr.

Adică cuvintele „calcul valorii gradului” și „exponențiație” înseamnă același lucru. Deci, dacă sarcina este „Ridicați numărul 0 , 5 la a cincea putere”, aceasta ar trebui înțeleasă ca „calculați valoarea puterii (0 , 5) 5 .

Acum oferim regulile de bază care trebuie urmate în astfel de calcule.

Amintiți-vă ce este o putere a unui număr cu exponent natural. Pentru o putere cu baza a și exponentul n, acesta va fi produsul celui de-al n-lea număr de factori, fiecare dintre care este egal cu a. Acesta poate fi scris astfel:

Pentru a calcula valoarea gradului, trebuie să efectuați operația de înmulțire, adică să înmulțiți bazele gradului de numărul specificat de ori. Însuși conceptul de diplomă cu un indicator natural se bazează pe capacitatea de a se înmulți rapid. Să dăm exemple.

Exemplul 1

Condiție: Ridicați - 2 la puterea de 4.

Soluţie

Folosind definiția de mai sus, scriem: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . În continuare, trebuie doar să urmăm acești pași și să obținem 16 .

Să luăm un exemplu mai complicat.

Exemplul 2

Calculați valoarea 3 2 7 2

Soluţie

Această intrare poate fi rescrisă ca 3 2 7 · 3 2 7 . Mai devreme, am analizat cum să înmulțim corect numerele mixte menționate în condiție.

Efectuați acești pași și obțineți răspunsul: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Dacă sarcina indică necesitatea de a ridica numerele iraționale la o putere naturală, va trebui mai întâi să le rotunjim bazele la o cifră care ne va permite să obținem un răspuns cu precizia dorită. Să luăm un exemplu.

Exemplul 3

Efectuați pătratul numărului π .

Soluţie

Să o rotunjim mai întâi la sutimi. Atunci π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Dacă π ≈ 3 . 14159, atunci vom obține un rezultat mai precis: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Rețineți că necesitatea de a calcula puterile numerelor iraționale în practică apare relativ rar. Putem apoi să scriem răspunsul ca puterea însăși (ln 6) 3 sau să convertim dacă este posibil: 5 7 = 125 5 .

Separat, trebuie indicat care este prima putere a unui număr. Aici vă puteți aminti că orice număr ridicat la prima putere va rămâne el însuși:

Acest lucru este clar din înregistrare. .

Nu depinde de baza gradului.

Exemplul 4

Deci, (− 9) 1 = − 9 , iar 7 3 ridicat la prima putere rămâne egal cu 7 3 .

Pentru comoditate, vom analiza trei cazuri separat: dacă exponentul este un întreg pozitiv, dacă este zero și dacă este un număr întreg negativ.

În primul caz, aceasta este același lucru cu ridicarea la o putere naturală: la urma urmei, numerele întregi pozitive aparțin mulțimii numerelor naturale. Am descris deja cum să lucrăm cu astfel de grade mai sus.

Acum să vedem cum să ridicăm corect la puterea zero. Cu o bază care este diferită de zero, acest calcul produce întotdeauna o ieșire de 1. Am explicat anterior că puterea 0 a lui a poate fi definită pentru orice număr real care nu este egal cu 0, iar a 0 = 1.

Exemplul 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nedefinit.

Ne rămâne doar cazul unui grad cu exponent întreg negativ. Am discutat deja că astfel de grade pot fi scrise ca o fracție 1 a z, unde a este orice număr și z este un număr întreg negativ. Vedem că numitorul acestei fracții nu este altceva decât un grad obișnuit cu un întreg pozitiv și am învățat deja cum să-l calculăm. Să dăm exemple de sarcini.

Exemplul 6

Ridicați 2 la puterea -3.

Soluţie

Folosind definiția de mai sus, scriem: 2 - 3 = 1 2 3

Calculăm numitorul acestei fracții și obținem 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Atunci răspunsul este: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Exemplul 7

Ridicați 1, 43 la puterea -2.

Soluţie

Reformulați: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Calculăm pătratul la numitor: 1,43 1,43. Decimalele pot fi înmulțite astfel:

Ca rezultat, am obținut (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Rămâne să scriem acest rezultat sub forma unei fracții obișnuite, pentru care este necesar să-l înmulțim cu 10 mii (a se vedea materialul despre conversia fracțiilor).

Răspuns: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Un caz separat este ridicarea unui număr la prima putere minus. Valoarea unui astfel de grad este egală cu numărul opus valorii inițiale a bazei: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Exemplul 8

Exemplu: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Cum să ridici un număr la o putere fracțională

Pentru a efectua o astfel de operație, trebuie să ne amintim definiția de bază a unui grad cu un exponent fracționar: a m n \u003d a m n pentru orice a pozitiv, întreg m și n natural.

Definiția 2

Astfel, calculul unui grad fracționar trebuie efectuat în două etape: ridicarea la o putere întreagă și găsirea rădăcinii gradului al n-lea.

Avem egalitatea a m n = a m n , care, având în vedere proprietățile rădăcinilor, este de obicei folosită pentru a rezolva probleme sub forma a m n = a n m . Aceasta înseamnă că dacă ridicăm un număr a la o putere fracțională m / n, atunci mai întâi extragem rădăcina gradului al n-lea din a, apoi ridicăm rezultatul la o putere cu un exponent întreg m.

Să ilustrăm cu un exemplu.

Exemplul 9

Calculați 8 - 2 3 .

Soluţie

Metoda 1. Conform definiției de bază, putem reprezenta aceasta ca: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Acum să calculăm gradul sub rădăcină și să extragem a treia rădăcină din rezultat: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Să transformăm egalitatea de bază: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

După aceea, extragem rădăcina 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 și pătratăm rezultatul: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vedem că soluțiile sunt identice. Puteți folosi orice mod doriți.

Există cazuri când gradul are un indicator exprimat ca număr mixt sau fracție zecimală. Pentru ușurință de calcul, este mai bine să o înlocuiți cu o fracție obișnuită și să numărați așa cum este indicat mai sus.

Exemplul 10

Ridicați 44,89 la puterea de 2,5.

Soluţie

Să transformăm valoarea indicatorului într-o fracție obișnuită: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

Și acum efectuăm toate acțiunile indicate mai sus în ordine: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 100 50 = 100 50 13 501, 25107

Răspuns: 13501, 25107.

Dacă există numere mari în numărătorul și numitorul unui exponent fracționar, atunci calcularea unor astfel de exponenți cu exponenți raționali este o muncă destul de dificilă. De obicei, necesită tehnologie computerizată.

Separat, ne oprim asupra gradului cu o bază zero și un exponent fracționar. O expresie de forma 0 m n i se poate da următorul sens: dacă m n > 0, atunci 0 m n = 0 m n = 0 ; dacă m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Cum să ridici un număr la o putere irațională

Necesitatea de a calcula valoarea gradului, în indicatorul căruia există un număr irațional, nu apare atât de des. În practică, sarcina este de obicei limitată la calcularea unei valori aproximative (până la un anumit număr de zecimale). Acest lucru este de obicei calculat pe un computer datorită complexității unor astfel de calcule, așa că nu ne vom opri în detaliu, ci vom indica doar principalele prevederi.

Dacă trebuie să calculăm valoarea gradului a cu un exponent irațional a , atunci luăm aproximarea zecimală a exponentului și numărăm din acesta. Rezultatul va fi un răspuns aproximativ. Cu cât aproximarea zecimală luată este mai precisă, cu atât răspunsul este mai precis. Să arătăm cu un exemplu:

Exemplul 11

Calculați valoarea aproximativă a lui 2 la puterea lui 1,174367....

Soluţie

Ne restrângem la aproximarea zecimală a n = 1 , 17 . Să facem calculele folosind acest număr: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Dacă luăm, de exemplu, aproximarea a n = 1 , 1743 , atunci răspunsul va fi puțin mai precis: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter