schema diferentelor
schema diferentelor este un sistem finit de ecuații algebrice asociate cu o problemă diferențială care conține o ecuație diferențială și condiții suplimentare (de exemplu, condiții la limită și/sau distribuție inițială). Astfel, schemele de diferențe sunt folosite pentru a reduce o problemă diferențială, care are un caracter continuum, la un sistem finit de ecuații, a cărui soluție numerică este posibilă în mod fundamental pe computere. Ecuațiile algebrice asociate unei ecuații diferențiale sunt obținute folosind metoda diferențelor, care distinge teoria schemelor diferențiale de alte metode numerice de rezolvare a problemelor diferențiale (de exemplu, metode de proiecție, precum metoda Galerkin).
Rezolvarea schemei de diferențe se numește soluția aproximativă a problemei diferențiale.
Deși definiția formală nu impune restricții semnificative asupra formei ecuațiilor algebrice, în practică are sens să luăm în considerare doar acele scheme care corespund cumva unei probleme diferențiale. Concepte importante ale teoriei schemelor diferențelor sunt conceptele de convergență, aproximare, stabilitate și conservatorism.
Apropiere
Se spune că un operator diferențial definit pe funcții definite în domeniu este aproximat pe o anumită clasă de funcții de către un operator diferență finită definit pe funcții definite pe o grilă în funcție de pasul dacă
Se spune că o aproximare are ordine dacă
unde este o constantă care depinde de funcția specifică, dar nu depinde de pas. Norma folosită mai sus poate fi diferită, iar conceptul de aproximare depinde de alegerea sa. Un analog discret al normei de continuitate uniformă este adesea folosit:
uneori se folosesc analogi discreti ai normelor integrale.
Exemplu. Aproximarea unui operator printr-un operator de diferență finită
pe un interval mărginit este de ordinul doi pe clasa funcțiilor netede.
O problemă cu diferențe finite aproximează o problemă diferențială, iar aproximarea este de ordinul , dacă atât ecuația diferențială în sine, cât și condițiile la limită (și inițiale) sunt aproximate prin operatorii de diferență finită corespunzători, iar aproximările sunt de ordin .
Starea Courant
Condiția Courant (în literatura de limbă engleză, ing. Starea Courant-Friedrichs-Levy , CFL) - viteza de propagare a perturbațiilor în problema diferențelor nu trebuie să fie mai mică decât în cea diferențială. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci rezultatul schemei de diferențe poate să nu țină să rezolve ecuația diferențială. Cu alte cuvinte, într-o singură etapă de timp, particula nu ar trebui să „trece prin” mai mult de o celulă.
În cazul circuitelor ai căror coeficienți nu depind de soluția ecuației diferențiale, din stabilitate decurge condiția Courant.
Scheme pe grile părtinitoare
În aceste scheme de grilă, în care rezultatul este setat și datele sunt compensate unele de altele. De exemplu, punctele rezultate sunt la mijloc între punctele de date. În unele cazuri, acest lucru permite utilizarea unor condiții la limită mai simple.
Vezi si
Legături
- „Scheme de diferențe” - capitolul Wikibooks despre „Scheme de diferențe pentru ecuații hiperbolice”
- Demyanov A. Yu., Cijikov D. V. Schema de diferență monotonă hibridă implicită de ordinul doi de precizie
- V. S. Ryaben’kii, A. F. Filippov. Despre stabilitatea ecuațiilor diferențelor. - M .: Gostekhizdat, 1956.
- S. K. Godunov, V. S. Ryabenky. Introducere în teoria schemelor diferențelor. - M .: Fizmatgiz, 1962.
- K. I. Babenko. Fundamentele analizei numerice. - M .: Nauka, 1986.
- Berezin I.S., Zhidkov N.P. Metode de calcul, - Orice ediție.
- Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Metode numerice, - Orice ediție.
- G. I. Marchuk. Metode de matematică computațională. - M .: Nauka, 1977.
Note
Fundația Wikimedia. 2010 .
Vedeți ce este „Schema de diferențe” în alte dicționare:
Un sistem de ecuații diferențiale care aproximează o ecuație diferențială și condiții suplimentare (inițiale, de limită etc.). Aproximarea problemei diferențiale inițiale R. s. aceasta este o modalitate de discretizare aproximativă a problemei inițiale... Enciclopedie matematică
schema de diferențe cu elemente finite- metoda elementelor finite - [A.S. Goldberg. Dicţionar de energie engleză rusă. 2006] Subiecte Energie în general Sinonime metoda elementului finit EN programul diferențelor de volum finit …
O schemă de diferențe este un sistem finit de ecuații algebrice, asociat cu orice problemă diferențială care conține o ecuație diferențială și condiții suplimentare (de exemplu, condiții la limită și/sau inițiale ... ... Wikipedia
schema de calcul a diferențelor finite bazată pe volume de control- (ex. transfer de căldură și masă, conductivitate termică) [A.S. Goldberg. Dicţionar de energie engleză rusă. 2006] Subiecte energetice în general, programul de control al volumului EN bazat pe diferențe finite... Manualul Traducătorului Tehnic
Schema: document grafic; prezentare, imagine, prezentare a ceva în termenii cei mai generali, simplificată (de exemplu, o schemă de raport); un dispozitiv electronic care conține multe componente (circuit integrat). Document grafic ...... Wikipedia
Schema de diferențe bazată pe o problemă variațională corespunzătoare unei probleme de valoare la limită pentru o ecuație diferențială. Ideea principală a construirii R. în. Cu. este că, cu o alegere specială de funcții de coordonate în metoda Ritz ... ... Enciclopedie matematică
Metode numerice de rezolvare a metodelor de rezolvare a ecuațiilor gierbolpch. tip bazat pe algoritmi de calcul. Diverse matematice modelele conduc în multe cazuri la ecuații diferențiale hiperbolice. tip. Astfel de ecuații au aalitică exactă. ...... Enciclopedie matematică
O ramură a matematicii computaționale care studiază metode pentru rezolvarea aproximativă a ecuațiilor diferențiale prin înlocuirea lor cu ecuații cu diferențe finite (scheme de diferențe). R. s. t. studiază metode de construire a schemelor de diferențe, ... ... Enciclopedie matematică
Metodele numerice de rezolvare a ecuațiilor cu diferențe parțiale sunt metode aproximative de rezolvare, în urma cărora soluția problemei este reprezentată printr-un tabel de numere. Soluții exacte (sub formă de formule explicite, serii etc.) poate fi construit doar în rare ...... Enciclopedie matematică
Metode de rezolvare a problemelor de dinamică a gazelor bazate pe algoritmi de calcul. Să luăm în considerare principalele aspecte ale teoriei metodelor numerice pentru rezolvarea problemelor de dinamică a gazelor, scriind ecuațiile de dinamică a gazelor sub formă de legi de conservare în inerțiale ... ... Enciclopedie matematică carte electronică
Folosind un șablon pentru fiecare nod intern al zonei soluției, ecuația căldurii este aproximată
De aici găsim:
Folosind condițiile inițiale și la limită, valorile funcției grilă sunt găsite la toate nodurile la nivelul de timp zero.
Apoi, folosind rapoartele
valorile acestor funcții se găsesc la toate nodurile interne la primul nivel de timp, după care găsim valoarea la nodurile limită
Ca rezultat, găsim valoarea funcțiilor la toate nodurile la primul nivel de timp. După aceea, folosind aceste relații, găsim toate celelalte valori etc.
În schema de diferențe luată în considerare, valorile funcției dorite la nivelul următor de timp sunt găsite direct, folosind în mod explicit formula
Prin urmare, schema de diferență considerată folosind acest șablon este numită schema de diferență explicită . Precizia lui este în regulă.
Această schemă de diferențe este ușor de utilizat, dar are un dezavantaj semnificativ. Se pare că schema diferențelor explicite are o solutie stabila doar in cazul in care, dacă condiția este îndeplinită :
Schema diferențelor explicite este stabil conditionat . Dacă condiția nu este îndeplinită, erorile mici de calcul, de exemplu, asociate cu rotunjirea datelor computerului, duc la o schimbare bruscă a soluției. Soluția devine inutilizabilă. Această condiție impune restricții foarte severe asupra pasului de timp, care pot fi inacceptabile din cauza creșterii semnificative a timpului de calcul pentru rezolvarea acestei probleme.
Luați în considerare o schemă de diferențe folosind un model diferit
Metoda 36
Schema diferențelor implicite pentru ecuația căldurii.
Înlocuiți în ecuația căldurii:
Acest raport este scris pentru fiecare nod intern la nivel de timp și este completat cu două rapoarte care determină valorile la nodurile limită. Rezultatul este un sistem de ecuații pentru determinarea valorilor necunoscute ale funcției la nivel de timp.
Schema de rezolvare a problemei este următoarea:
Folosind condițiile inițiale și la limită, valoarea funcției este găsită la nivelul de timp zero. Apoi, folosind aceste relații și condiții la limită, se construiește un sistem de ecuații algebrice liniare pentru a găsi valoarea funcției la primul nivel de timp, după care sistemul este construit din nou folosind aceste relații, iar valorile se găsesc la al doilea nivel de timp etc.
Diferența față de schema explicită- valorile la nivelul de timp următor nu sunt calculate direct folosind o formulă gata făcută, ci sunt găsite prin rezolvarea unui sistem de ecuații, adică valorile necunoscutelor se găsesc implicit prin rezolvarea SLAE. Prin urmare, schema diferențelor se numește implicit. Spre deosebire de cel explicit, cel implicit este absolut stabil.
Tema #9
Probleme de optimizare.
Aceste probleme sunt printre cele mai importante probleme din matematica aplicată. Optimizare înseamnă alegerea celei mai bune opțiuni dintre toate soluțiile posibile la o anumită problemă. Pentru a face acest lucru, este necesar să se formuleze problema care se rezolvă ca una matematică, dând un sens cantitativ conceptelor mai bine sau mai rău. De obicei, în procesul de rezolvare, este necesar să se găsească valori optimizate ale parametrilor. Aceste opțiuni sunt numite proiecta. Și numărul de parametri de proiectare determină dimensiunea sarcinii.
Soluția este cuantificată folosind o funcție care depinde de parametrii de proiectare. Această funcție este numită ţintă . Este construit în așa fel încât cea mai optimă valoare să corespundă maximului (minimului).
- funcție obiectivă.
Cele mai simple cazuri sunt atunci când funcția obiectiv depinde de un parametru și este dată de o formulă explicită. Pot exista mai multe funcții țintă.
De exemplu, la proiectarea unei aeronave, este necesar să se asigure simultan fiabilitate maximă, greutate și cost minime etc. În astfel de cazuri, intrați sistem prioritar . Fiecărei funcție țintă i se atribuie un anumit multiplicator țintă, ca urmare, se obține o funcție țintă generalizată (funcția de compromis).
De obicei, soluția optimă este limitată de un număr de condiții asociate cu funcția fizică a problemei. Aceste condiții pot lua forma egalităților sau inegalităților
Teoria și metodele de rezolvare a problemelor de optimizare în prezența restricțiilor fac obiectul cercetării la una dintre secțiunile de matematică aplicată - programare matematică.
Dacă funcția obiectiv este liniară în raport cu parametrii de proiectare și constrângerile impuse parametrilor sunt de asemenea liniare, atunci problema de programare liniara . Luați în considerare metode pentru rezolvarea unei probleme de optimizare unidimensională.
Este necesar să se găsească valori pentru care funcția obiectiv are o valoare maximă. Dacă funcția obiectiv este dată analitic și se poate găsi o expresie pentru derivatele ei, atunci soluția optimă va fi atinsă fie la capetele segmentului, fie în punctele în care derivata dispare. Acestea sunt punctele critice și . Este necesar să găsiți valorile funcției obiectiv în toate punctele critice și să alegeți maximul.
În cazul general, se folosesc diverse metode de căutare pentru a găsi o soluție. Ca urmare, segmentul care conține soluția optimă se îngustează.
Să ne uităm la câteva dintre metodele de căutare. Să presupunem că funcția obiectiv are un maxim pe interval. În acest caz, împărțirea prin puncte nodale , al căror număr este , funcția obiectiv este calculată la aceste puncte nodale. Să presupunem că valoarea maximă a funcției obiectiv va fi la nod , atunci putem presupune că soluția optimă este pe interval . Ca urmare, segmentul care conține soluția optimă este îngustat. Noul segment rezultat este din nou împărțit în părți etc. Cu fiecare partiție, segmentul care conține soluția optimă este redus cu un factor.
Să presupunem că se produc pași de îngustare. Apoi segmentul original este redus cu un factor.
Adică fă în timp ce rulezi (*)
În acest caz, se calculează funcția obiectiv.
Este necesar să găsiți o astfel de valoare încât expresia (*) să fie obținută cu cel mai mic
numărul de calcule.
Metoda 37
metoda semidiviziunii.
Luați în considerare metoda de căutare pentru . Se numește metoda semidiviziunii, deoarece la fiecare pas segmentul care conține soluția optimă este înjumătățit.
Eficiența căutării poate fi mărită printr-o alegere specială a punctelor la care funcția obiectiv este calculată la un anumit pas de îngustare.
Metoda 38
Metoda secțiunii de aur.
Una dintre metodele eficiente este metoda secțiunii de aur. Secțiunea de aur a unui segment este un punct pentru care condiția este îndeplinită
Există două astfel de puncte: =0,382 +0,618
0,618 +0,382 .
Segmentul este împărțit în puncte și după aceea există un punct în care funcția obiectiv este maximă. Ca rezultat, se găsește un segment modificat cu o lungime de 0,618 (- ).
O valoare a secțiunii de aur pentru segmentul îngustat este deja cunoscută, prin urmare, la fiecare pas ulterior, calculul funcției obiectiv este necesar doar într-un punct (al doilea punct al secțiunii de aur).
Metoda 39
Metoda coordonate de urcare (coborâre).
Să trecem la luarea în considerare a problemei de optimizare în cazul în care funcția obiectiv depinde de mai multe valori ale parametrilor. Cea mai simplă metodă de căutare este metoda coordonatelor de urcare (coborâre).
Secțiunea 10. Rezolvarea numerică a ecuațiilor cu diferențe parțiale
Scheme de diferențe pentru ecuații de tip eliptic |
|
Diverse probleme de valoare la limită și aproximarea condițiilor la limită |
|
Construirea unei scheme de diferențe în cazul problemei Dirichlet pentru ecuația Poisson |
|
Metoda de baleiere a matricei |
|
O metodă iterativă pentru rezolvarea unei scheme de diferențe pentru problema Dirichlet |
|
Ecuația de tip parabolic. Metode explicite și implicite ale diferențelor finite |
|
Metode de baleiaj pentru o ecuație de tip parabolic |
|
Index de subiect |
Scheme de diferențe. Noțiuni de bază
Fie D o zonă de schimbare a variabilelor independente x, y, mărginită de un contur. Se spune că în regiunea D este dată o ecuație diferențială liniară de ordinul doi pentru funcția U(x, y) dacă pentru orice punct din regiunea D relația este valabilă.
∂2 U |
∂2 U |
∂2 U |
|||||||||
∂x2 |
∂x2 |
||||||||||
G(x, y)U = f(x, y), |
|||||||||||
unde a(x, y), b(x, y), . . . - coeficienți, f(x, y) - termen liber al ecuației. Aceste funcții sunt cunoscute și de obicei sunt considerate a fi definite într-o regiune închisă D = D + .
Graficul soluției este o suprafață în spațiul Oxyz.
Înapoi Primul Anterior Următorul Ultimul Omite index
Notăm δ(x, y) = b2 − ac. Ecuația L(U) = f se numește eliptică, parabolică sau |
hiperbolic în D dacă condițiile δ(x, y)< 0, δ(x, y) = 0, δ(x, y) >0 pentru |
toate (x, y) D. |
În funcție de tipul de ecuație diferențială, valorile inițiale la limită sunt setate diferit. |
(10.1): |
Ecuația Poisson (ecuația de tip eliptică) |
∂2 U ∂2 U |
∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y) |
Înapoi Primul Anterior Următorul Ultimul Omite index |
Ecuația căldurii (ecuația de tip parabolic)
∂U = ∂ 2 U + f(x, t) ∂t ∂x2
Ecuație de undă (ecuație de tip hiperbolic)
∂2 U ∂2 U
∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)
Convergența, aproximarea și stabilitatea schemelor de diferențe
Fie U soluția ecuației diferențiale
dat în D. Să considerăm o mulţime Dh = (Mh ) formată din puncte izolate Mh aparţinând regiunii închise D = D + . Numărul de puncte din Дh va fi caracterizat de valoarea h; cu cât h este mai mic, cu atât va fi mai mare numărul de puncte din Dh. Mulțimea Dh se numește grilă, iar punctele Mh Dh sunt numite noduri de grilă. O funcție definită în noduri se numește funcție grilă. Notăm cu U spațiul funcțiilor V (x, y) continue în D. Notăm cu Uh spațiul format din mulțimea funcțiilor grilă Vh (x, y) definite pe Дh . În metoda grilei, spațiul U este înlocuit cu spațiul Uh .
Fie U(x, y) soluția exactă a ecuației ((10.2 )) și U(x, y) aparține lui U. Să punem problema găsirii valorilor Uh (x, y). Aceste valori formează împreună un tabel în care numărul de valori
Înapoi Primul Anterior Următorul Ultimul Omite index
este egal cu numărul de puncte din Dh. Rareori se poate rezolva o problemă exactă. De regulă, se pot calcula niște valori ale grilei U(h), în raport cu care se poate presupune că
U(h) ≈ Uh(x, y).
Mărimile U(h) se numesc valori de grilă aproximative ale soluției U(x, y). Pentru a le calcula se construieste un sistem de ecuatii numerice pe care le vom scrie sub forma
Lh (U(h) ) = fh , |
||||||||||||||
există un operator de diferență, |
corespunzător operatorului |
|||||||||||||
este definit de F la fel ca U |
s-a format conform U. Formula (10.3) se va numi diferenţa |
|||||||||||||
sistem. Fie introduse normele k · kU h și, respectiv, k · kF h , în spațiile liniare Uh și Fh , care sunt analogi de grilă ai normelor k · kU și k · kF în spațiile inițiale. Vom spune că schema de diferențe (10.3) este convergentă dacă, ca h → 0, condiția
kUh (x, y) − Uh kU h → 0.
Dacă condiția este îndeplinită
kUh (x, y) − Uh kU h 6 chs ,
unde c este o constantă independentă de h și s > 0, atunci spunem că există convergență la o rată de ordin s față de h.
Schema de diferențe (10.3 ) se spune că aproximează problema (10.2 ) pe soluția U(x, y) dacă
Lh (Uh (x, y)) = f(h) + δf(h) și |
δf(h) F h → 0 ca h → 0. |
|
Înapoi Primul Anterior Următorul Ultimul Omite index
Valoarea δf(h) se numește eroare de aproximare sau schemă de diferență neviscidă. Dacă
δf (h) F h 6 Mh σ , unde M este o constantă independentă de h și σ > 0, atunci spunem că este dată o schemă de diferențe ( 10.3 ) pe soluția U(x, y) cu o eroare de ordinul lui σ față de h.
Schema de diferențe (3) se numește stabilă dacă există h0 > 0 astfel încât pentru toate h< h0 и любых f(h) Fh выполняются условия
Schema diferențelor (10.3) are o soluție unică; |
||||
U (h) U h |
f(h) F h , unde M este o constantă independentă de h și f(h) . |
|||
Cu alte cuvinte, o schemă de diferențe este stabilă dacă soluția sa depinde continuu de datele de intrare. Stabilitatea caracterizează sensibilitatea schemei la diferite tipuri de erori, este o proprietate internă a problemei diferențelor și această proprietate nu este direct legată de problema diferențială inițială, spre deosebire de convergență și aproximare. Există o legătură între conceptele de convergență, aproximare și stabilitate. Constă în faptul că din aproximare și stabilitate rezultă convergența.
Teorema 1 Lasă schema diferențelor L h (U h (x, y)) = f (h) aproximează problema L(U) = f pe soluția U(x, y) cu ordinul s față de h si stabil. Atunci această schemă va converge, iar ordinea convergenței sale va coincide cu ordinea aproximării, adică. evaluarea va fi corectă
Uh (x, y) − Uh U h 6 khs , |
||
unde k este o constantă independentă de h.
Dovada . Prin definiția aproximării, avem
A doua parte a cărții este dedicată construcției și studiului schemelor de diferențe pentru ecuații diferențiale obișnuite. În același timp, introducem conceptele de bază de convergență, aproximare și stabilitate în teoria schemelor diferențelor, care sunt de natură generală. Familiarizarea cu aceste concepte, obținute în legătură cu ecuațiile diferențiale obișnuite, va permite în viitor, atunci când se studiază schemele de diferențe pentru ecuații cu diferențe parțiale, să se concentreze asupra numeroaselor trăsături și dificultăți caracteristice acestei clase foarte diverse de probleme.
CAPITOLUL 4. EXEMPLE ELEMENTARE DE SCHEME DE DIFERENȚE
În acest capitol, vom lua în considerare exemple introductive de scheme de diferențe, destinate doar unei cunoașteri preliminare cu conceptele de bază ale teoriei.
§ 8. Conceptul de ordine de acurateţe şi aproximare
1. Ordinea acurateții schemei de diferențe.
Această secțiune este dedicată problemei convergenței soluțiilor ecuațiilor diferențiale atunci când grila este rafinată la soluțiile ecuațiilor diferențiale pe care acestea le aproximează. Ne limităm aici la studiul a două scheme de diferențe pentru soluția numerică a problemei
Să începem cu cea mai simplă schemă de diferențe bazată pe utilizarea ecuației diferențelor
Să împărțim segmentul în trepte de lungime h. Este convenabil să alegeți unde N este un număr întreg. Punctele de împărțire sunt numerotate de la stânga la dreapta, astfel încât . Valoarea și obținută prin schema diferențelor la punct va fi notat cu Să stabilim valoarea inițială. Lăsa . Ecuația de diferență (2) implică relația
de unde găsim soluția ecuației (2) în condiția inițială:
Rezolvarea exactă a problemei (1) are forma . Ia valoarea la punct
Să găsim acum o estimare a erorii în soluția aproximativă (3). Această eroare punctuală va fi
Suntem interesați de modul în care scade odată cu creșterea numărului de puncte de partiție sau, ceea ce este la fel, cu scăderea pasului grilei de diferențe. Pentru a afla acest lucru, haideți să îl punem în formă
Astfel, egalitatea (3) ia forma
adică eroarea (5) tinde spre zero la şi valoarea erorii este de ordinul primei puteri a pasului.
Pe această bază, spunem că schema diferențelor are primul ordin de precizie (a nu se confunda cu ordinea ecuației diferențelor definită în § 1).
Acum rezolvăm problema (1) folosind ecuația diferențelor
Acest lucru nu este atât de simplu pe cât ar părea la prima vedere. Ideea este că schema luată în considerare este o ecuație a diferențelor de ordinul doi, adică necesită specificarea a două condiții inițiale, în timp ce ecuația integrabilă (1) este o ecuație de ordinul întâi și pentru aceasta specificăm doar . Este firesc să introduceți și schema diferențelor.
Nu este clar cum să le întrebi. Pentru a înțelege acest lucru, folosim forma explicită de rezolvare a ecuației (7) (vezi formulele § 3):
Expansiunile (9) conform formulei Taylor a rădăcinilor ecuației caracteristice ne permit să dăm reprezentări aproximative pentru Să realizăm în detaliu derivarea unei astfel de reprezentări -
De atunci
Nu vom efectua un calcul complet similar pentru , dar scrieți imediat rezultatul:
Înlocuind expresiile aproximative pentru în formula (8), obținem
Vom obține toate concluziile ulterioare studiind această formulă.
Rețineți că dacă coeficientul tinde spre limita finită b, atunci primul termen din partea dreaptă a egalității (12) tinde către soluția dorită a problemei (1).
configurația nodurilor, valorile funcției grilei în care determină forma ecuațiilor diferențelor la punctele interne (nu la graniță) ale grilei. De regulă, în figurile cu imagini de șabloane, punctele implicate în calculul derivatelor sunt conectate prin linii.Schema Courant-Isakson-Ries(KIR), care uneori este asociat și cu numele lui S.K. Godunov, se dovedește la , 
. Ordinea sa de aproximare. Schema KIR este stabilă condiționat, adică în condiţia Courant 
. Să prezentăm ecuațiile diferențelor pentru schema Courant-Isakson-Ries la punctele interne ale domeniului computațional:
Aceste scheme, care au și denumirea de schemă de diferență în sus (în literatura engleză - upwind) pot fi scrise ca
Avantajul lor constă în luarea în considerare mai precisă a domeniului de dependență al soluției. Dacă introducem notația
atunci ambele scheme pot fi scrise în următoarele forme:
(forma de curgere a ecuației diferenței);
(aici se distinge în mod explicit termenul cu a doua diferență, ceea ce conferă stabilitate schemei);
(ecuație în incremente finite).
Luați în considerare și metoda coeficienților nedeterminați pentru a construi o schemă de diferențe, colțul din dreapta al primului ordin de precizie pentru ecuația de transport
Schema poate fi reprezentată ca
Schema Courant-Isakson-Ries este strâns legată de metodele numerice ale caracteristicilor. Oferim o scurtă descriere a ideii unor astfel de metode.
Ultimele două scheme obţinute (pentru semne diferite ale ratei de transfer) pot fi interpretate după cum urmează. Să construim o caracteristică care trece prin nodul (t n + 1 , x m ), valoarea în care trebuie determinată și care intersectează stratul t n în punctul 
. Pentru certitudine, presupunem că rata de transfer c este pozitivă.
După ce am efectuat o interpolare liniară între nodurile x m - 1 și x m de pe stratul inferior de timp, obținem
Apoi, transferăm valoarea u n (x") de-a lungul caracteristicii fără modificare la stratul superior t n + 1, adică setăm 
. Este firesc să considerăm ultima valoare ca o soluție aproximativă ecuație omogenă transfer. În acest caz
sau, trecând din nou de la numărul Courant la parametrii grilei,
acestea. În alt fel, am ajuns la binecunoscuta schemă „colțul din stânga”, care este stabilă la . Când punctul de intersecție a caracteristicii care iese din nod (t n + 1, x m, cu stratul n -lea în timp este situat în stânga nodului (t n, x m - 1). Astfel, pentru a găsi o soluție , nu se folosește interpolarea, ci extrapolarea, care se dovedește a fi instabilă .
Instabilitatea schemei „colțul din dreapta” pentru c > 0 este, de asemenea, evidentă. Pentru a demonstra acest lucru, se poate folosi fie criteriul spectral, fie condiția Courant, Friedrichs și Levi. Un raționament similar poate fi efectuat și pentru cazul c< 0 и схемы "правый уголок".
instabil schema în patru puncte obtinut atunci cand 
, ordinea sa de aproximare este . Ecuațiile grilei pentru schema de diferențe vor avea următoarea formă:
Schema Lax-Wendroff apare când 
. Ordinea de aproximare a schemei Lax-Wendroff este 
. Schema este stabilă în condiția Courant .
Această schemă poate fi obținută fie prin metoda coeficienților nedeterminați, fie luând în considerare mai precis termenul conducător al erorii de aproximare. Să luăm în considerare procesul de derivare a schemei Lax-Wendroff mai detaliat. Efectuând studiul schemei anterioare de aproximare în patru puncte (și acest studiu este destul de elementar și se reduce la descompunerea funcției de proiecție pe grila a soluției exacte a problemei diferențiale într-o serie Taylor), obținem pentru termenul principal al erorii
La derivarea expresiei pentru termenul principal al erorii de aproximare, a fost folosită o consecință a ecuației de transport diferențial inițial.
Care se obține prin diferențierea ecuației inițiale (3.3) mai întâi în raport cu timpul t, apoi în raport cu coordonata x și scăzând unul dintre rapoartele rezultate din celălalt.
În continuare, înlocuirea derivata a douaîn al doilea termen din partea dreaptă până la O(h 2) , obținem o nouă schemă de diferențe care aproximează originalul ecuație diferențială cu precizie . Ecuațiile grilei pentru schema Lax-Wendroff la nodurile interne ale grilelor de calcul sunt
Schemă implicită în șase puncte apare la q = 0; cu ordinea ei de aproximare , la .
