Se stavi cercando solo il metodo Simpson in questa pagina, allora ti consiglio vivamente di leggere prima l'inizio della lezione e di visualizzare almeno il primo esempio. Per il motivo che molte idee e tecniche saranno simili al metodo del trapezio.
Ancora una volta, cominciamo con la formula generale
Considera l'integrale definito, dove è una funzione continua sul segmento. Dividiamo il segmento in Anche quantità pari segmenti. Un numero pari di segmenti è indicato con .
In pratica i segmenti possono essere:
due:
quattro:
otto:
dieci:
venti:
Non ricordo altre opzioni.
Attenzione! Per numero si intende UN NUMERO. Questo è, È VIETATO ridurre, ad esempio, di due, ottenendo . Registrazione significa solo che il numero di segmenti uniformemente. E non ci sono tagli di cui parlare.
Quindi la nostra partizione è simile a questa:
I termini sono simili a quelli del metodo trapezoidale:
Si chiamano punti nodi.
Formula Simpson per il calcolo approssimato dell’integrale definito ha la seguente forma:
Dove:
- la lunghezza di ciascuno dei piccoli segmenti o fare un passo;
sono i valori dell'integrando nei punti .
Dettagliando questo accumulo, analizzerò la formula in modo più dettagliato:
è la somma del primo e dell'ultimo valore dell'integrando;
è la somma dei membri con Anche indici moltiplicati per 2;
è la somma dei membri con strano l'indice viene moltiplicato per 4.
Esempio 4
Calcola l'integrale approssimato utilizzando la formula di Simpson approssimata allo 0,001. La divisione inizia con due segmenti 
L'integrale, tra l'altro, ancora una volta non viene preso.
Soluzione: Attiro immediatamente l'attenzione sul tipo di compito: è necessario calcolare un integrale definito con una certa precisione. Cosa questo significhi è già stato commentato all'inizio dell'articolo, così come sugli esempi concreti del paragrafo precedente. Per quanto riguarda il metodo trapezoidale, esiste una formula che consentirà immediatamente di determinare il numero di segmenti richiesto (il valore di "en") per garantire la precisione richiesta. È vero, dovremo trovare la derivata quarta e risolvere il problema degli estremi. Chi ha capito cosa intendo e ha stimato la mole di lavoro, ha sorriso. Tuttavia, qui non c'è niente da ridere, trovare la quarta derivata di un tale integrando non sarà più un megabotan, ma uno psicopatico clinico. Pertanto, in pratica, viene quasi sempre utilizzato un metodo semplificato per la stima dell'errore.
Iniziamo a decidere. Se abbiamo due segmenti di partizione, i nodi lo saranno uno in più: . E la formula di Simpson assume una forma molto compatta: 
Calcoliamo il passo di partizione: 
Compiliamo la tabella di calcolo:
Ancora una volta commento come viene riempita la tabella:
Nella riga superiore scriviamo il "contatore" degli indici
Nella seconda riga scriviamo prima il limite inferiore di integrazione e poi aggiungiamo successivamente il passo.
Nella terza riga inseriamo i valori dell'integrando. Ad esempio, se , allora . Quante cifre decimali lasciare? In effetti, la condizione ancora una volta non dice nulla al riguardo. Il principio è lo stesso del metodo trapezoidale, guardiamo la precisione richiesta: 0,001. E aggiungi altre 2-3 cifre. Cioè, devi arrotondare a 5-6 cifre decimali.
Di conseguenza:
Il primo risultato è stato ottenuto. Ora Doppio numero di segmenti fino a quattro: . La formula di Simpson per questa partizione assume la forma seguente:
Calcoliamo il passo di partizione: 
Compiliamo la tabella di calcolo: 
Così:
Stimiamo l'errore:
L'errore è maggiore della precisione richiesta: 
, quindi è necessario raddoppiare nuovamente il numero di segmenti: .
La formula di Simpson sta crescendo a passi da gigante:
Calcoliamo il passo: 
Compiliamo nuovamente il foglio di calcolo:
Così: 
Nota che qui è opportuno descrivere i calcoli in modo più dettagliato, poiché la formula di Simpson è piuttosto complicata e se colpisci immediatamente:
, allora questo alcol sembrerà un trucco. E con una registrazione più dettagliata, l'insegnante avrà l'impressione favorevole che tu abbia coscienziosamente cancellato i tasti della microcalcolatrice per una buona ora. Calcoli dettagliati per i casi "difficili" sono presenti nella mia calcolatrice.
Stimiamo l'errore:
L'errore è inferiore alla precisione richiesta: 
. Resta da fare l'approssimazione più precisa, arrotondarla alla terza cifra decimale e scrivere:
Risposta: 
accurato fino a 0,001
Esempio 5
Calcola un integrale approssimato utilizzando la formula di Simpson approssimata allo 0,0001. La divisione inizia con due segmenti 
Questo è un esempio fai da te. Un esempio approssimativo di progettazione di una soluzione finale "breve" e una risposta alla fine della lezione.
Nella parte finale della lezione considereremo un paio di esempi più comuni.
Esempio 6
Calcolare il valore approssimato di un integrale definito 
utilizzando la formula di Simpson, dividendo il segmento di integrazione in 10 parti. Precisione del calcolo 0,001.
Questo integrale viene preso, tuttavia, non è così facile per un principiante risolverlo, il metodo di soluzione corrispondente è considerato nell'esempio 5 della lezione Integrali complessi. Nei problemi di calcolo approssimato, l'integrale non deve necessariamente essere ignorato! Gli studenti curiosi possono calcolarlo esattamente e stimare l'errore rispetto al valore approssimativo.
Soluzione: Presta attenzione alla formulazione dell'attività: "La precisione dei calcoli è 0,001". La sfumatura semantica di questa formulazione suggerisce che i risultati debbano essere arrotondati solo alla terza cifra decimale e non raggiungano tale precisione. Pertanto, quando ti viene chiesto di risolvere un problema con il metodo del trapezio, sempre il metodo Simpson prestare molta attenzione ai termini! La fretta, come sai, è necessaria quando si caccia le pulci.
Utilizziamo la formula di Simpson:
Con dieci segmenti di divisione, il passo è 
Compiliamo la tabella di calcolo: 
È più razionale rendere il tavolo a due piani in modo da non dover "rimpicciolirsi" e tutto si adatta in modo leggibile su un foglio di quaderno.
Calcoli, non essere pigro, dipingi in modo più dettagliato: 
Risposta: 
E ancora una volta sottolineo che qui non è questione di accuratezza. In effetti, la risposta potrebbe non essere , ma, relativamente parlando, . A questo proposito, nella risposta, non è necessario attribuire automaticamente la desinenza “dazio”: “con precisione pari a 0,001”
Esempio 7
Calcola il valore approssimativo dell'integrale definito utilizzando la formula di Simpson, dividendo il segmento di integrazione in 10 parti. Tutti i calcoli devono essere effettuati fino alla terza cifra decimale.
Una versione approssimativa degli ultimi ritocchi e una risposta alla fine del tutorial giunto al termine.
Altri metodi vengono utilizzati anche per il calcolo approssimativo di un integrale definito. In particolare, la teoria serie di potenze con un compito standard Calcolo approssimato di un integrale definito espandendo l'integrando in una serie. Ma questo è il materiale del secondo corso.
E ora è il momento di svelare il terribile segreto del calcolo integrale. Ho già creato più di una dozzina di lezioni sugli integrali e questa, per così dire, è una teoria e un classico dell'argomento. In pratica, in particolare, nei calcoli ingegneristici, per avvicinare gli oggetti mondo reale quasi impossibile con le funzioni matematiche standard. Impossibile perfetto esattamente calcolare, area, volume, densità, ad esempio, pavimentazione in asfalto. Errore, lascia che sia dal decimo, lascia che sia dalla centesima cifra decimale - ma quello lo sarà ancora. Questo è il motivo per cui sono stati scritti centinaia di mattoni pesanti utilizzando metodi di calcolo approssimativi e sono stati creati software seri per calcoli approssimativi. La teoria classica del calcolo integrale è in realtà utilizzata molto meno frequentemente. Ma, a proposito, senza di essa, anche da nessuna parte!
Questa lezione non è un record in termini di volume, ma mi ci è voluto un tempo insolitamente lungo per crearla. Ho corretto il materiale e rielaborato più volte la struttura dell'articolo, poiché venivano costantemente disegnate nuove sfumature e sottigliezze. Spero che il lavoro non sia stato vano e si sia rivelato abbastanza logico e accessibile.
Ti auguro il meglio!
Soluzioni e risposte:
Esempio 3:Soluzione:
Dividiamo il segmento di integrazione in 4 parti:
Quindi la formula del trapezio assume la seguente forma:
Calcoliamo il passo: 
Compiliamo la tabella di calcolo:
Per trovare un integrale definito utilizzando il metodo del trapezio, l'area di un trapezio curvilineo si divide anche in n trapezi rettangolari di altezza h e basi y 1, y 2, y 3,..y n, dove n è il numero degli trapezio rettangolare. L'integrale sarà numericamente uguale alla somma delle aree dei trapezi rettangolari (Figura 4).
Riso. 4
n - numero di divisioni
L'errore della formula del trapezio è stimato dal numero
L'errore della formula del trapezio diminuisce più velocemente con la crescita rispetto all'errore della formula del rettangolo. Pertanto, la formula del trapezio consente di ottenere una maggiore precisione rispetto al metodo del rettangolo.
Formula Simpson
Se per ogni coppia di segmenti costruiamo un polinomio di secondo grado, poi lo integriamo sul segmento e utilizziamo la proprietà di additività dell'integrale, allora otteniamo la formula di Simpson.
Nel metodo di Simpson per il calcolo dell'integrale definito, l'intero intervallo di integrazione è diviso in sottointervalli uguale lunghezza h=(b-a)/n. Il numero di segmenti della partizione è un numero pari. Quindi, su ciascuna coppia di sottointervalli adiacenti, la funzione subintegrale f(x) è sostituita da un polinomio di Lagrange di secondo grado (Figura 5).
Riso. 5 La funzione y=f(x) sul segmento viene sostituita da un polinomio del 2° ordine
Considera l'integrando sull'intervallo. Sostituiamo questo integrando con un polinomio di interpolazione di Lagrange di secondo grado coincidente con y= nei punti:
Integriamo sull'intervallo:
Introduciamo un cambio di variabili:
Date le formule di sostituzione,
Dopo l'integrazione, otteniamo la formula di Simpson:
Il valore ottenuto per l'integrale coincide con l'area di un trapezio curvilineo delimitato da un asse, rette e una parabola passante per punti. Su un segmento, la formula di Simpson sarà simile a:
Nella formula della parabola, il valore della funzione f (x) nei punti di divisione dispari x 1, x 3, ..., x 2n-1 ha un coefficiente pari a 4, nei punti pari x 2, x 4, ... , x 2n-2 - coefficiente 2 e in due punti di confine x 0 =a, x n =b - coefficiente 1.
Il significato geometrico della formula di Simpson: l'area di un trapezio curvilineo sotto il grafico della funzione f(x) su un segmento è approssimativamente sostituita dalla somma delle aree delle figure che giacciono sotto le parabole.
Se la funzione f(x) ha una derivata continua del quarto ordine, allora il valore assoluto dell'errore della formula Simpson non è superiore a
dove M- valore più alto sul segmento. Poiché n 4 cresce più velocemente di n 2 , l'errore della formula di Simpson diminuisce all'aumentare di n molto più velocemente dell'errore della formula del trapezio.
Calcoliamo l'integrale
Questo integrale è facile da calcolare:
Prendiamo n uguale a 10, h=0,1, calcoliamo i valori dell'integrando nei punti di partizione, nonché i punti semiinteri.
Secondo la formula dei rettangoli centrali, otteniamo I dritto = 0,785606 (l'errore è 0,027%), secondo la formula del trapezio I trap = 0,784981 (l'errore è di circa 0,054. Quando si utilizza il metodo dei rettangoli destro e sinistro, l'errore è superiore al 3%.
Per confrontare l'accuratezza delle formule approssimative, calcoliamo ancora una volta l'integrale
ma ora con la formula Simpson per n=4. Dividiamo il segmento in quattro parti uguali con punti x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 e calcoliamo approssimativamente i valori della funzione f (x) \u003d 1 / ( 1+x) in questi punti: y 0 =1.0000, y 1 =0.8000, y 2 =0.6667, y 3 =0.5714, y 4 =0.5000.
Con la formula di Simpson, otteniamo
Stimiamo l'errore del risultato ottenuto. Per l'integrando f(x)=1/(1+x) abbiamo: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , da cui segue quello sul segmento . Pertanto, possiamo prendere M=24 e l'errore del risultato non supera 24/(2880 4 4)=0,0004. Confrontando il valore approssimativo con quello esatto, concludiamo che l'errore assoluto del risultato ottenuto dalla formula Simpson è inferiore a 0,00011. Ciò è in accordo con la stima dell'errore sopra riportata e, inoltre, indica che la formula di Simpson è molto più accurata della formula del trapezio. Pertanto, la formula Simpson per il calcolo approssimativo degli integrali definiti viene utilizzata più spesso della formula trapezio.
In questo metodo si propone di approssimare l'integrando su un intervallo parziale mediante una parabola passante per i punti
(xj, f(x j)), Dove J = io-1; io-0.5; io, cioè approssimiamo l'integrando mediante il polinomio di interpolazione di Lagrange di secondo grado:
(10.14)
Dopo aver integrato, otteniamo:
(10.15)
Questo è quello che è la formula di Simpson
o la formula delle parabole. Sul segmento
[un, b] La formula di Simpson assume la forma
(10.16)
Una rappresentazione grafica del metodo di Simpson è mostrata in fig. 2.4.
Riso. 10.4. Metodo Simpson
Eliminiamo gli indici frazionari nell'espressione (2.16) rinominando le variabili:
(10.17)
Quindi assume la forma la formula di Simpson
(10.18)
L'errore della formula (2.18) è stimato dalla seguente espressione:
, (10.19)
Dove h n = b-a, 
. Pertanto, l'errore della formula di Simpson è proporzionale a
O(ore 4).
Commento. Va notato che nella formula Simpson il segmento di integrazione è necessariamente suddiviso in Anche numero di intervalli.
10.5. Calcolo di integrali definiti mediante metodi
Monte Carlo
Vengono chiamati i metodi discussi in precedenza deterministico , cioè privo dell'elemento del caso.
Metodi Monte Carlo(MMK) sono metodi numerici per risolvere problemi matematici utilizzando la simulazione variabili casuali. MCM consente di risolvere con successo problemi matematici causati da processi probabilistici. Inoltre, quando si risolvono problemi che non sono associati ad alcuna probabilità, è possibile creare artificialmente un modello probabilistico (e anche più di uno) che consenta di risolvere questi problemi. Consideriamo il calcolo dell'integrale definito
(10.20)
Quando si calcola questo integrale utilizzando la formula dei rettangoli, l'intervallo [ un, b] diviso in N intervalli identici, nel mezzo dei quali sono stati calcolati i valori dell'integrando. Calcolando i valori della funzione su nodi casuali, puoi ottenere un risultato più accurato:
(10.21)
(10.22)
Qui γ i è un numero casuale distribuito uniformemente nell'intervallo
. L'errore nel calcolo dell'integrale MMK ~ , che è molto maggiore di quello dei metodi deterministici precedentemente studiati.
Nella fig. 2.5 mostra un'implementazione grafica del metodo Monte Carlo per il calcolo di un singolo integrale con nodi casuali (2.21) e (2.22).
(2.23)
Riso. 10.6. Integrazione Monte Carlo (2° caso)
Come si vede nella fig. 2.6, la curva integrale giace nel quadrato unitario, e se riusciamo a ottenere coppie di numeri casuali uniformemente distribuiti nell'intervallo, allora i valori ottenuti (γ 1, γ 2) possono essere interpretati come le coordinate di un punto nel unità quadrata. Quindi, se ci sono abbastanza coppie di numeri, possiamo presumerlo approssimativamente
. Qui Sè il numero di coppie di punti che cadono sotto la curva, e Nè il numero totale di coppie di numeri.
Esempio 2.1. Calcolare il seguente integrale:
Il compito è stato risolto vari metodi. I risultati ottenuti sono riassunti nella tabella. 2.1.
Tabella 2.1
Commento. La scelta dell'integrale tabulare ci ha permesso di confrontare l'errore di ciascun metodo e di scoprire l'influenza del numero di partizioni sull'accuratezza dei calcoli.
11 SOLUZIONE APPROSSIMATA DI NONLINEARE
ED EQUAZIONI TRASCENDENTI
Calcolo degli integrali utilizzando le formule dei rettangoli, dei trapezi e la formula di Simpson. Stima degli errori.
Linee guida sul tema 4.1:
Calcolo degli integrali mediante formule di rettangoli. Stima dell'errore:
La soluzione di molti problemi tecnici si riduce al calcolo di alcuni integrali, la cui espressione esatta è difficile, richiede calcoli lunghi e non è sempre giustificata nella pratica. Qui, il loro valore approssimativo è abbastanza sufficiente. Ad esempio, devi calcolare l'area delimitata da una linea la cui equazione è sconosciuta, l'asse X e due ordinate. In questo caso, puoi sostituire questa linea con una più semplice, di cui è nota l'equazione. L'area del trapezio curvilineo così ottenuta viene presa come valore approssimativo dell'integrale desiderato. Dal punto di vista geometrico, l'idea alla base del metodo di calcolo dell'integrale definito utilizzando la formula dei rettangoli è che l'area di un trapezio curvilineo A1ABB1è sostituito dall'area di un rettangolo di uguale area A1A2B1B2, che, secondo il teorema del valore medio, è uguale a
Dove f(c) --- altezza rettangolo A1A2B1B2, che è il valore dell'integrando in un punto intermedio circa< c
È praticamente difficile trovare un valore del genere Con, al quale (b-a)f(c) sarebbe esattamente uguale a . Per ottenere un valore più accurato, l'area di un trapezio curvilineo viene divisa in N rettangoli di altezza uguale y 0 , y 1 , y 2 , …,y n -1 e fondazioni.
Se riassumiamo le aree dei rettangoli che coprono l'area di un trapezio curvilineo con uno svantaggio, la funzione non è decrescente, quindi al posto della formula viene utilizzata la formula
Se in eccesso, allora
I valori si trovano dalle uguaglianze. Queste formule sono chiamate formule rettangolari e dare un risultato approssimativo. Con l'aumento N il risultato diventa più accurato.
Esempio 1 . Calcola dalla formula dei rettangoli
Dividiamo l'intervallo di integrazione in 5 parti. Poi . Utilizzando una calcolatrice o una tabella troviamo i valoridell'integrando (con una precisione di 4 cifre decimali):
Secondo la formula dei rettangoli (con uno svantaggio)
D'altra parte, secondo la formula di Newton-Leibniz
Troviamo il relativo errore di calcolo utilizzando la formula dei rettangoli:
Calcolo degli integrali mediante formule trapezoidali. Stima dell'errore:
Il significato geometrico del seguente metodo per il calcolo approssimativo degli integrali è quello di trovare l'area di un trapezio "rettilineo" di dimensioni approssimativamente uguali.
Lascia che sia necessario calcolare l'area A1AmBB1 trapezio curvilineo, espresso dalla formula .
Sostituiamo l'arco AmB accordo AB e invece dell'area di un trapezio curvilineo A1AmBB1 calcolare l'area del trapezio A1ABB1: 
, Dove AA1 E BB 1 - la base del trapezio e A1B 1 è la sua altezza.
Denota f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. altezza del trapezio A 1 B 1 \u003d b-a, piazza 
. Quindi, 
O
Questo cosiddetto formula del trapezio piccolo.
Si pone il problema del calcolo numerico di un integrale definito, che si risolve con l'ausilio di formule dette quadratura.
Richiamare le formule più semplici per l'integrazione numerica.
Calcoliamo il valore numerico approssimativo di . Dividiamo l'intervallo di integrazione [а, b] in n parti uguali dividendo i punti 
, chiamati nodi della formula di quadratura. Lascia che siano noti i valori nei nodi 
:
Valore 
è chiamato intervallo o passo di integrazione. Si noti che nella pratica dei calcoli, il numero i viene scelto piccolo, di solito non è superiore a 10-20. Su un intervallo parziale 
l'integrando è sostituito dal polinomio di interpolazione
che rappresenta approssimativamente la funzione f(x) sull'intervallo considerato.
a) Mantenere quindi solo un primo termine nel polinomio di interpolazione
La formula quadratica risultante
chiamata formula dei rettangoli.
b) Mantenere quindi i primi due termini nel polinomio di interpolazione
(2)
La formula (2) è chiamata formula del trapezio.
c) Intervallo di integrazione 
dividiamo in un numero pari di 2n parti uguali, mentre il passo di integrazione h sarà uguale a 
. All'intervallo 
di lunghezza 2h, sostituiamo l'integrando con un polinomio di interpolazione di secondo grado, cioè manteniamo i primi tre termini del polinomio:
La formula di quadratura risultante è chiamata formula di Simpson
(3)
Le formule (1), (2) e (3) hanno un significato geometrico semplice. Nella formula dei rettangoli, l'integrando f(x) sull'intervallo 
è sostituito da un segmento di linea retta y \u003d uk, parallelo all'asse x, e nella formula del trapezio - da un segmento di linea retta 
e si calcolano rispettivamente l'area di un rettangolo e di un trapezio rettilineo, che vengono poi sommate. Nella formula di Simpson, la funzione f(x) sull'intervallo 
la lunghezza 2h è sostituita da un trinomio quadrato - una parabola 
si calcola l'area di un trapezio parabolico curvilineo, quindi si sommano le aree.
CONCLUSIONE
In conclusione, vorrei sottolineare una serie di caratteristiche dell'applicazione dei metodi discussi sopra. Ogni metodo per la soluzione approssimata di un integrale definito ha i suoi vantaggi e svantaggi, a seconda del compito da svolgere, dovrebbero essere utilizzati metodi specifici.
Metodo di sostituzione delle variabiliè uno dei metodi principali per il calcolo degli integrali indefiniti. Anche quando integriamo con qualche altro metodo, spesso dobbiamo ricorrere a un cambiamento di variabili nei calcoli intermedi. Il successo dell'integrazione dipende in larga misura dalla possibilità di trovare un cambiamento di variabili così buono da semplificare l'integrale dato.
In sostanza, lo studio dei metodi di integrazione si riduce a scoprire che tipo di cambiamento di variabile si dovrebbe fare per l'una o l'altra forma dell'integrando.
Così, integrazione di ogni frazione razionale si riduce all'integrazione di un polinomio e di alcune frazioni semplici.
L'integrale di qualsiasi funzione razionale può essere espresso in termini di funzioni elementari nella forma finale, vale a dire:
attraverso logaritmi - nei casi delle frazioni più semplici di tipo 1;
attraverso funzioni razionali - nel caso di frazioni semplici di tipo 2
attraverso logaritmi e arcotangenti - nel caso di frazioni semplici di tipo 3
attraverso funzioni razionali e arcotangenti - nel caso delle frazioni più semplici di tipo 4. La sostituzione trigonometrica universale razionalizza sempre l'integrando, ma spesso porta a frazioni razionali molto scomode, per le quali, in particolare, è praticamente impossibile trovare le radici del denominatore. Pertanto, se possibile, si utilizzano sostituzioni parziali, che razionalizzano anche l'integrando e portano a frazioni meno complesse.
Formula di Newton-Leibnizè un approccio generale per trovare integrali definiti.
Per quanto riguarda i metodi per il calcolo degli integrali definiti, praticamente non differiscono da tutti questi metodi e metodi.
Lo stesso vale metodi di sostituzione(cambio di variabile), il metodo dell'integrazione per parti, gli stessi metodi per trovare le antiderivative per le funzioni trigonometriche, irrazionali e trascendenti. L'unica particolarità è che quando si applicano queste tecniche è necessario estendere la trasformazione non solo alla funzione sub-integrale, ma anche ai limiti di integrazione. Quando si modifica la variabile di integrazione, ricordarsi di modificare di conseguenza i limiti di integrazione.
Correttamente dal teorema la condizione di continuità della funzioneè una condizione sufficiente per l’integrabilità della funzione. Ma questo non significa che l’integrale definito esista solo per funzioni continue. La classe delle funzioni integrabili è molto più ampia. Quindi, ad esempio, esiste un integrale definito di funzioni che hanno un numero finito di punti di discontinuità.
Il calcolo di un integrale definito di una funzione continua utilizzando la formula di Newton-Leibniz si riduce alla ricerca di un'antiderivativa, che esiste sempre, ma non sempre è una funzione elementare o una funzione per la quale vengono compilate tabelle che consentono di ottenere il valore dell'integrale. In numerose applicazioni la funzione integrabile è data in una tabella e la formula di Newton-Leibniz non è direttamente applicabile.
Se vuoi il risultato più accurato, l'ideale il metodo simpson.
Da quanto sopra studiato, si può trarre la seguente conclusione che l'integrale è utilizzato in scienze come fisica, geometria, matematica e altre scienze. Con l'aiuto dell'integrale si calcola il lavoro della forza, si trovano le coordinate del centro di massa, il percorso percorso dal punto materiale. In geometria viene utilizzato per calcolare il volume di un corpo, trovare la lunghezza di un arco di curva, ecc.
