La recta que pasa por el punto K(x 0; y 0) y paralela a la recta y = kx + a se encuentra mediante la fórmula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Donde k es la pendiente de la recta.

Fórmula alternativa:
La recta que pasa por el punto M 1 (x 1 ; y 1) y paralela a la recta Ax+By+C=0 está representada por la ecuación

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Ejemplo 1. Componga la ecuación de una recta que pasa por el punto M 0 (-2.1) y al mismo tiempo:
a) paralela a la recta 2x+3y -7 = 0;
b) perpendicular a la recta 2x+3y -7 = 0.
Solución . Representemos la ecuación de la pendiente como y = kx + a . Para hacer esto, transferimos todos los valores excepto y a lado derecho: 3y = -2x + 7 . Luego dividimos el lado derecho por el coeficiente 3 . Obtenemos: y = -2/3x + 7/3
Encuentra la ecuación NK que pasa por el punto K(-2;1) paralela a la recta y = -2 / 3 x + 7 / 3
Sustituyendo x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 obtenemos:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
o
y = -2 / 3 x - 1 / 3 o 3y + 2x +1 = 0

Ejemplo #2. Escribe la ecuación de una recta paralela a la recta 2x + 5y = 0 y formando, junto con los ejes coordenados, un triángulo cuya área es 5.
Solución . Como las rectas son paralelas, la ecuación de la recta buscada es 2x + 5y + C = 0. El área de un triángulo rectángulo, donde a y b son sus catetos. Encuentre los puntos de intersección de la línea deseada con los ejes de coordenadas:
;
.
Entonces, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Sustituye en la fórmula del área: . Obtenemos dos soluciones: 2x + 5y + 10 = 0 y 2x + 5y - 10 = 0.

Ejemplo #3. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2; 5) y la recta paralela 5x-7y-4=0 .
Solución. Esta línea recta se puede representar mediante la ecuación y = 5/7 x – 4/7 (aquí a = 5/7). La ecuación de la línea deseada es y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), es decir 7(y-5)=5(x+2) o 5x-7y+45=0 .

Ejemplo #4. Resolviendo el ejemplo 3 (A=5, B=-7) usando la fórmula (2), encontramos 5(x+2)-7(y-5)=0.

Ejemplo número 5. Escribe la ecuación de una recta que pasa por el punto (-2;5) y una recta paralela 7x+10=0.
Solución. Aquí A=7, B=0. La fórmula (2) da 7(x+2)=0, es decir x+2=0. La fórmula (1) no es aplicable, ya que esta ecuación no se puede resolver con respecto a y (esta línea recta es paralela al eje y).

Propiedades de una línea recta en geometría euclidiana.

Hay infinitas líneas que se pueden trazar a través de cualquier punto.

A través de dos puntos no coincidentes, sólo hay una línea recta.

Dos rectas no coincidentes en el plano se intersecan en un solo punto o son

paralelo (sigue del anterior).

En el espacio tridimensional, hay tres opciones para la posición relativa de dos líneas:

• las líneas se cruzan;

• las líneas rectas son paralelas;

• las líneas rectas se cruzan.

Directo línea- curva algebraica de primer orden: en el sistema de coordenadas cartesianas, una línea recta

está dada en el plano por una ecuación de primer grado (ecuación lineal).

Ecuación general de una recta.

Definición. Cualquier recta en el plano puede estar dada por una ecuación de primer orden

Ah + Wu + C = 0,

y constante un, b no es igual a cero al mismo tiempo. Esta ecuación de primer orden se llama general

ecuación de línea recta. Dependiendo de los valores de las constantes un, b y DE Son posibles los siguientes casos especiales:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- la recta pasa por el origen

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Por + C = 0)- recta paralela al eje Vaya

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- recta paralela al eje UNED

. segundo = do = 0, un ≠ 0- la recta coincide con el eje UNED

. A = C = 0, B ≠ 0- la recta coincide con el eje Vaya

La ecuación de una línea recta se puede representar en diversas formas dependiendo de cualquiera dado

condiciones iniciales.

Ecuación de una recta por un punto y un vector normal.

Definición. En un sistema cartesiano de coordenadas rectangulares, un vector con componentes (A, B)

perpendicular a la recta dada por la ecuación

Ah + Wu + C = 0.

Ejemplo. Hallar la ecuación de una recta que pasa por un punto UN(1, 2) perpendicular al vector (3, -1).

Solución. Compongamos en A \u003d 3 y B \u003d -1 la ecuación de la línea recta: 3x - y + C \u003d 0. Para encontrar el coeficiente C

sustituimos las coordenadas del punto A dado en la expresión resultante, obtenemos: 3 - 2 + C = 0, por lo tanto

C = -1. Total: la ecuación deseada: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Sean dados dos puntos en el espacio METRO 1 (x 1 , y 1 , z 1) y M2 (x2, y2, z2), después ecuación de línea recta,

pasando por estos puntos:

Si alguno de los denominadores es igual a cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero. Sobre el

plano, la ecuación de una línea recta escrita arriba se simplifica:

si X 1 ≠ X 2 y x = x 1, si x1 = x2 .

Fracción = k llamó factor de pendiente directo.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 4).

Solución. Aplicando la fórmula anterior, obtenemos:

Ecuación de una recta por un punto y una pendiente.

Si la ecuación general de una recta Ah + Wu + C = 0 llevar a la forma:

y designar , entonces la ecuación resultante se llama

ecuación de una recta con pendiente k.

La ecuación de una línea recta en un punto y un vector director.

Por analogía con el punto considerando la ecuación de una línea recta a través del vector normal, puede ingresar la tarea

una recta que pasa por un punto y un vector director de una recta.

Definición. Todo vector distinto de cero (a 1 , a 2), cuyos componentes satisfacen la condición

Aα 1 + Bα 2 = 0 llamó vector director de la recta.

Ah + Wu + C = 0.

Ejemplo. Hallar la ecuación de una recta de vector director (1, -1) y que pasa por el punto A(1, 2).

Solución. Buscaremos la ecuación de la recta deseada de la forma: Hacha + Por + C = 0. Según la definición,

los coeficientes deben satisfacer las condiciones:

1 * A + (-1) * B = 0, es decir A = B.

Entonces la ecuación de una recta tiene la forma: Hacha + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.

a x=1, y=2 obtenemos C/ A = -3, es decir. ecuación deseada:

x + y - 3 = 0

Ecuación de una recta en segmentos.

Si en la ecuación general de la recta Ah + Wu + C = 0 C≠0, entonces, dividiendo por -C, obtenemos:

o donde

El significado geométrico de los coeficientes es que el coeficiente a es la coordenada del punto de intersección

recto con eje Vaya, a b- la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje UNED.

Ejemplo. La ecuación general de una recta está dada x - y + 1 = 0. Encuentra la ecuación de esta línea recta en segmentos.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Ecuación normal de una recta.

Si ambos lados de la ecuación Ah + Wu + C = 0 dividir por número , Lo que es llamado

factor de normalización, entonces obtenemos

xcosφ + ysenφ - p = 0 -ecuación normal de una recta.

El signo ± del factor de normalización debe elegirse de modo que μ * C< 0.

R- la longitud de la perpendicular caída desde el origen hasta la línea,

a φ - el ángulo formado por esta perpendicular con la dirección positiva del eje Vaya.

Ejemplo. Dada la ecuación general de una recta 12x - 5y - 65 = 0. Requerido para escribir diferentes tipos ecuaciones

esta línea recta.

La ecuación de esta recta en segmentos:

La ecuación de esta recta con pendiente: (dividir por 5)

Ecuación de una recta:

cos φ = 12/13; sen φ= -5/13; p=5.

Cabe señalar que no toda línea recta se puede representar mediante una ecuación en segmentos, por ejemplo, líneas rectas,

paralela a los ejes o pasando por el origen.

Ángulo entre rectas en un plano.

Definición. Si se dan dos líneas y \u003d k 1 x + segundo 1, y \u003d k 2 x + segundo 2, entonces el ángulo agudo entre estas líneas

se definirá como

Dos rectas son paralelas si k1 = k2. dos rectas son perpendiculares

si k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Directo Ah + Wu + C = 0 y A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 son paralelos cuando los coeficientes son proporcionales

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. si tambien С 1 \u003d λС, entonces las rectas coinciden. Coordenadas del punto de intersección de dos rectas

se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.

La ecuación de una recta que pasa por un punto dado es perpendicular a una recta dada.

Definición. Una recta que pasa por un punto M 1 (x 1, y 1) y perpendicular a la recta y = kx + b

representado por la ecuación:

La distancia de un punto a una recta.

Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la línea Ah + Wu + C = 0 definido como:

Prueba. Deja que el punto M 1 (x 1, y 1)- la base de la perpendicular caída desde el punto METRO para una dada

directo. Entonces la distancia entre los puntos METRO y METRO 1:

(1)

Coordenadas x1 y 1 se puede encontrar como una solución al sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicularmente

línea dada. Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

entonces, resolviendo, obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

El teorema ha sido probado.

Ecuación de una recta que pasa por un punto dado en esta direccion. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados. Ángulo entre dos rectas. Condición de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas. Determinar el punto de intersección de dos rectas

Ejemplos de problemas con soluciones.

Encuentra la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos: (-1, 2) y (2, 1).

Solución.

Según la ecuación

creyendo en eso X 1 = -1, y 1 = 2, X 2 = 2, y 2 \u003d 1 (no importa qué punto se considere el primero, cuál - el segundo), obtenemos

después de simplificaciones, finalmente obtenemos la ecuación deseada en la forma

X + 3y - 5 = 0.

Los lados del triángulo están dados por las ecuaciones: (AB ) 2 X + 4 y + 1 = 0, (C.A. ) X - y + 2 = 0, (antes de Cristo ) 3 X + 4 y -12 = 0. Encuentra las coordenadas de los vértices del triángulo.

Solución.

Coordenadas de vértice A encontrar resolviendo un sistema compuesto de ecuaciones secundarias AB y C.A.:

sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas resolvemos por métodos conocidos del álgebra elemental, y obtenemos

Vértice A tiene coordenadas

Coordenadas de vértice B encontrar resolviendo un sistema de ecuaciones de los lados AB y antes de Cristo:

obtenemos .

Coordenadas de vértice C obtenemos resolviendo el sistema a partir de las ecuaciones de los lados antes de Cristo y C.A.:

Vértice C tiene coordenadas.

A (2, 5) paralela a la línea 3X - 4 y + 15 = 0.

Solución.

Probemos que si dos rectas son paralelas, entonces sus ecuaciones siempre pueden representarse de tal manera que difieran solo en términos libres. De hecho, de la condición de paralelismo de dos líneas se sigue que .

Denotamos por t el valor total de estas relaciones. Después

y de ahí se sigue que

A 1 = A 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

si dos lineas

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0 y

A 2 X + B 2 y + C 2 = 0

son paralelas, se satisfacen las condiciones (1) y, reemplazando en la primera de estas ecuaciones A 1 y B 1 por las fórmulas (1), tendremos

A 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,

o, dividiendo ambos lados de la ecuación por , obtenemos

Comparando la ecuación resultante con la ecuación de la segunda línea A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, notamos que estas ecuaciones difieren solo en el término libre; por lo tanto, hemos probado la afirmación. Ahora comencemos a resolver el problema. Escribimos la ecuación de la línea recta deseada de tal manera que diferirá de la ecuación de esta línea recta solo por el término libre: los dos primeros términos de la ecuación deseada se tomarán de esta ecuación, y su término libre será ser denotado por C. Entonces la ecuación deseada se puede escribir en la forma

3X - 4y + C = 0, (3)

y por determinar C.

Dando en la ecuación (3) el valor C todos los valores reales posibles, obtenemos un conjunto de rectas paralelas al dado. Así, la ecuación (3) no es una ecuación de una recta, sino de toda una familia de rectas paralelas a esta recta 3 X - 4y+ 15 = 0. De esta familia de rectas se debe destacar la que pasa por el punto A(2, 5).

Si una recta pasa por un punto, entonces las coordenadas de ese punto deben satisfacer la ecuación de la recta. Y así definimos C, si en (3) sustituimos en lugar de las coordenadas actuales X y y coordenadas del punto A, es decir. X = 2, y= 5. Obtenemos y C = 14.

Valor encontrado C sustituimos en (3), y la ecuación deseada se escribirá de la siguiente manera:

3X - 4y + 14 = 0.

El mismo problema se puede resolver de otra manera. Como las pendientes de las rectas paralelas son iguales entre sí, y para una recta dada 3 X - 4y+ 15 = 0 pendiente, entonces la pendiente de la línea deseada también es igual a .

Ahora usamos la ecuación y - y 1 = k(X - X 1) un haz de líneas rectas. Punto A(2, 5), por donde pasa la recta, nos es conocida, y por tanto, sustituyendo en la ecuación del lápiz de rectas y - y 1 = k(X - X 1) valores, obtenemos

o después de simplificaciones 3 X - 4y+ 14 = 0, es decir, lo mismo que antes.

Hallar ecuaciones de rectas que pasan por un puntoA (3, 4) a 60 grados de la línea 2X + 3 y + 6 = 0.

Solución.

Para resolver el problema, debemos determinar las pendientes de las rectas I y II (ver figura). Denotemos estos coeficientes, respectivamente, por k 1 y k 2 , y la pendiente de esta línea recta - a través de k. Es obvio que .

Con base en la definición del ángulo entre dos rectas, al determinar el ángulo entre una recta dada y una recta, sigo en el numerador de una fracción en la fórmula

restar la pendiente de la línea dada, ya que debe girarse en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del punto C hasta coincidir con la línea I.

Considerando eso, obtenemos

Al determinar el ángulo entre la línea II y una línea dada, se debe restar la pendiente de la línea II en el numerador de la misma fracción, es decir k 2, ya que la línea II debe girarse en sentido antihorario alrededor del punto B hasta que coincida con esta línea:

Hallar la ecuación de una recta que pasa por un puntoA (5, -1) perpendicular a la línea 3X - 7 y + 14 = 0.

Solución.

si dos lineas

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0, A 2 X + B 2 y + C 2 = 0

son perpendiculares, entonces la igualdad

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0,

o, lo que es lo mismo,

A 1 A 2 = -B 1 B 2 ,

y de ahí se sigue que

El significado general de estas expresiones se denotará por t.

Entonces, de donde se sigue que

A 2 = B 1 t, B 2 = -A 1 t.

Sustituyendo estos valores A 2 y B 2 y la ecuación de la segunda recta, obtenemos

B 1 tx - A 1 ty + C 2 = 0.

o dividiendo por t ambos lados de la igualdad, tendremos

Comparando la ecuación resultante con la ecuación de la primera recta

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

tenga en cuenta que tienen coeficientes en X y y cambió de lugar, y el signo entre el primer y el segundo término cambió al opuesto, mientras que los términos libres son diferentes.

Ahora comencemos a resolver el problema. Deseando escribir la ecuación de una recta perpendicular a una recta 3 X - 7y+ 14 = 0, según la conclusión anterior, procedemos de la siguiente manera: intercambiamos los coeficientes en X y y, y el signo menos entre ellos se reemplaza por un signo más, el término libre se denota con la letra C. Consigamos 7 X + 3y + C= 0. Esta ecuación es la ecuación de una familia de rectas perpendiculares a la recta 3 X - 7y+ 14 = 0. Definir C de la condición de que la recta deseada pase por el punto A(5, -1). Se sabe que si una recta pasa por un punto, entonces las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación de la recta. Sustituyendo en la última ecuación 5 en lugar de X y -1 en su lugar y, obtenemos

Este valor C Sustituimos en la última ecuación y obtenemos

7X + 3y - 32 = 0.

Resolvemos el mismo problema de forma diferente, usando la ecuación de un lápiz de líneas

y - y 1 = k(X - X 1).

La pendiente de esta recta 3 X - 7y + 14 = 0

entonces la pendiente de la recta perpendicular a ella,

Sustituyendo en la ecuación de un lápiz de líneas, y en lugar de X 1 y y 1 coordenadas del punto dado A(5, -1), hallar , o 3 y + 3 = -7X+ 35, y finalmente 7 X + 3y- 32 = 0, es decir, lo mismo que antes.

ecuaciones las curvas son abundantes al leer literatura económica Señalemos algunas de estas curvas.

curva de indiferencia - una curva que muestra varias combinaciones de dos productos que tienen el mismo valor o utilidad para el consumidor.

Curva de presupuesto del consumidor es una curva que muestra las diferentes combinaciones de cantidades de dos bienes que un consumidor puede comprar a un nivel dado de su ingreso monetario.

Curva de posibilidad de producción - una curva que muestra las diversas combinaciones de dos bienes o servicios que se pueden producir con pleno empleo y plena producción en una economía con existencias constantes de recursos y tecnología sin cambios.

Curva de demanda de inversión - una curva que muestra la dinámica de la tasa de interés y el volumen de inversiones a diferentes tasas de interés.

curva de phillips- una curva que muestra la existencia de una relación estable entre la tasa de desempleo y la tasa de inflación.

Curva de Laffer- una curva que muestra la relación entre las tasas impositivas y los ingresos fiscales, revelando una tasa impositiva en la que los ingresos fiscales alcanzan un máximo.

Incluso una simple enumeración de términos muestra cuán importante es para los economistas poder construir gráficos y analizar las ecuaciones de las curvas, que son líneas rectas y curvas de segundo orden: un círculo, una elipse, una hipérbola, una parábola. Además, al resolver una gran clase de problemas, se requiere seleccionar un área en el plano delimitada por algunas curvas cuyas ecuaciones se dan. La mayoría de las veces, estos problemas se formulan de la siguiente manera: encontrar el mejor plan de producción para recursos dados. La asignación de recursos suele adoptar la forma de desigualdades, cuyas ecuaciones se dan. Por tanto, hay que buscar los valores más grandes o más pequeños que toma alguna función en la región especificada por las ecuaciones del sistema de desigualdades.

En geometría analítica línea en el avión se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación F(x,y)=0. En este caso, se deben imponer restricciones a la función F para que, por un lado, esta ecuación tenga un conjunto infinito de soluciones y, por otro lado, para que este conjunto de soluciones no llene un “pedazo del plano ”. Una clase importante de rectas son aquellas para las que la función F(x,y) es un polinomio de dos variables, en cuyo caso la recta definida por la ecuación F(x,y)=0 se llama algebraico. Las líneas algebraicas dadas por la ecuación de primer grado son líneas rectas. Una ecuación de segundo grado, que tiene un número infinito de soluciones, define una elipse, una hipérbola, una parábola o una línea que se divide en dos rectas.

Deje que se dé un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el plano. Una línea recta en un plano puede ser dada por una de las ecuaciones:

diez . Ecuación general de una recta

Hacha + Por + C = 0. (2.1)

Vector norte(А,В) es ortogonal a una línea recta, los números A y B no son iguales a cero al mismo tiempo.

veinte . Ecuación de línea con pendiente

y - y o = k (x - x o), (2.2)

donde k es la pendiente de la recta, es decir, k = tg un , donde un - el valor del ángulo formado por la línea recta con el eje Оx, M (x o , y o) - algún punto perteneciente a la línea recta.

La ecuación (2.2) toma la forma y = kx + b si M (0, b) es el punto de intersección de la recta con el eje Oy.

treinta . Ecuación de una recta en segmentos

x/a + y/b = 1, (2.3)

donde a y b son los valores de los segmentos cortados por una línea recta en los ejes de coordenadas.

40 . La ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados es A(x 1 , y 1) y B(x 2 , y 2):

. (2.4)

cincuenta . Ecuación de una recta que pasa por un punto dado A(x 1 , y 1) paralela a un vector dado a(m, n)

. (2.5)

60 . Ecuación normal de una recta

rn o - p = 0, (2.6)

dónde r es el radio de un punto arbitrario M(x, y) de esta línea, norte o es un vector unitario ortogonal a esta recta y dirigido desde el origen hasta la recta; p es la distancia desde el origen hasta la recta.

Normal en forma de coordenadas tiene la forma:

x cos a + y sin a - p \u003d 0,

donde un - el valor del ángulo que forma una recta con el eje x.

La ecuación de un lápiz de rectas con centro en el punto A (x 1, y 1) tiene la forma:

y-y 1 = l (x-x 1),

donde yo es el parámetro del haz. Si la viga está dada por dos líneas que se cortan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, entonces su ecuación tiene la forma:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

donde l y m son los parámetros del haz que no pasan a 0 al mismo tiempo.

El ángulo entre las líneas y \u003d kx + b y y \u003d k 1 x + b 1 viene dado por la fórmula:

tg j = .

La igualdad 1 + k 1 k = 0 es condición necesaria y suficiente para que las rectas sean perpendiculares.

Para hacer dos ecuaciones

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

fijan la misma recta, es necesario y suficiente que sus coeficientes sean proporcionales:

UN 1 / UN 2 = B 1 / B 2 = C 1 / C 2.

Las ecuaciones (2.7), (2.8) definen dos líneas paralelas diferentes si A 1 /A 2 = B 1 /B 2 y B 1 /B 2¹ C1/C2; las rectas se intersecan si A 1 /A 2¹B1/B2.

La distancia d desde el punto M o (x o, y o) hasta la recta es la longitud de la perpendicular trazada desde el punto M o hasta la recta. Si la línea está dada por una ecuación normal, entonces d =ê r sobre norte mineral , dónde r o es el radio vector del punto M o o, en forma de coordenadas, d =ê x o cos a + y o sin a - r ê .

La ecuación general de la curva de segundo orden tiene la forma

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0.

Se supone que entre los coeficientes de la ecuación a 11 , a 12 , a 22 hay distintos de cero.

La ecuación de una circunferencia con centro en el punto C(a, b) y de radio igual a R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (2.9)

Elipsese llama el lugar geométrico de los puntos, la suma de las distancias de dos puntos dados F 1 y F 2 (focos) es un valor constante igual a 2a.

Ecuación canónica (más simple) de una elipse

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

La elipse dada por la ecuación (2.10) es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas. Opciones a y b llamó semiejes elipse.

Sea a>b, entonces los focos F 1 y F 2 están en el eje Ox a una distancia
c= desde el origen. Relación c/a = mi < 1 называется excentricidad elipse. Las distancias desde el punto M(x, y) de la elipse a sus focos (vectores de radio focal) están determinadas por las fórmulas:

r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x.

si un< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x.

Si a = b, entonces la elipse es un círculo con centro en el origen del radio a.

Hipérbolese llama el lugar geométrico de los puntos, cuya diferencia de distancias a dos puntos dados F 1 y F 2 (focos) es igual en valor absoluto al número dado 2a.

Ecuación canónica de una hipérbola

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

La hipérbola dada por la ecuación (2.11) es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas. Se cruza con el eje Ox en los puntos A (a,0) y A (-a,0) - los vértices de la hipérbola y no se cruza con el eje Oy. Parámetro a llamó semieje real, b -eje imaginario. El parámetro c= es la distancia del foco al origen. Relación c/a = mi >1 se llama excentricidad hipérbole. Líneas rectas cuyas ecuaciones y =± b/a x se llaman asíntotas hipérbole. Las distancias desde el punto M(x,y) de la hipérbola a sus focos (vectores de radio focal) están determinadas por las fórmulas:

r 1 = ê mi X - un ê , r 2 = ê mi X + un ê .

Una hipérbola con a = b se llama equilátero, su ecuación x 2 - y 2 \u003d a 2, y la ecuación de asíntotas y \u003d± X. Hipérbolas x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 y
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 se llaman conjugado.

parábolaes el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto dado (foco) y de una recta dada (directriz).

La ecuación canónica de una parábola tiene dos formas:

1) y 2 \u003d 2px: la parábola es simétrica con respecto al eje Ox.

2) x 2 \u003d 2py: la parábola es simétrica con respecto al eje Oy.

En ambos casos, p>0 y el vértice de la parábola, es decir, el punto que se encuentra sobre el eje de simetría, se encuentra en el origen.

Una parábola cuya ecuación y 2 = 2ðx tiene foco F(ð/2,0) y directriz x = - ð/2, radio vector focal del punto M(x, y) sobre ella r = x+ ð/2.

La parábola cuya ecuación x 2 =2py tiene foco F(0, p/2) y directriz y = - p/2; el radio vector focal del punto M(x, y) de la parábola es r = y + p/2.

La ecuación F(x, y) = 0 define una recta que divide el plano en dos o más partes. En una de estas partes, la desigualdad F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. En otras palabras, la línea
F(x, y)=0 separa la parte del plano donde F(x, y)>0 de la parte del plano donde F(x, y)<0.

La recta, cuya ecuación es Ax+By+C = 0, divide el plano en dos semiplanos. En la práctica, para saber en qué semiplano tenemos Ax + By + C<0, а в какой Ax+By+C>0, aplique el método de punto de interrupción. Para hacer esto, tome un punto de control (por supuesto, que no se encuentre en una línea recta, cuya ecuación es Ax + By + C = 0) y verifique qué signo tiene la expresión Ax + By + C en este punto. El mismo signo tiene la expresión indicada en todo el semiplano donde se encuentra el punto de control. En el segundo semiplano Ax+By+C tiene el signo opuesto.

Las desigualdades no lineales con dos incógnitas se resuelven de la misma manera.

Por ejemplo, resolvamos la desigualdad x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Se puede reescribir como (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

La ecuación (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 define un círculo con centro en el punto C(2,-3) y un radio de 5. El círculo divide el plano en dos partes - interior y exterior. Para saber en cuál de ellos se produce esta desigualdad, tomamos un punto de control en la región interior, por ejemplo, el centro C(2,-3) de nuestra circunferencia. Sustituyendo las coordenadas del punto C en el lado izquierdo de la desigualdad, obtenemos un número negativo -25. Por lo tanto, en todos los puntos que se encuentran dentro del círculo, la desigualdad
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Ejemplo 1.5.Compón las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto A(3,1) e inclinadas a la recta 2x+3y-1 = 0 con un ángulo de 45 o .

Solución.Buscaremos en la forma y=kx+b. Dado que la línea pasa por el punto A, sus coordenadas satisfacen la ecuación de la línea, es decir 1=3k+b,Þ b=1-3k. Ángulo entre líneas
y= k 1 x+b 1 y y= kx+b se define mediante la fórmula tg j = . Dado que la pendiente k 1 de la línea original 2x+3y-1=0 es - 2/3, y el ángulo j = 45 o , entonces tenemos una ecuación para determinar k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 o (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Tenemos dos valores de k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Al encontrar los valores correspondientes de b por la fórmula b=1-3k, obtenemos dos líneas deseadas, cuyas ecuaciones son: x - 5y + 2 = 0 y
5x + y - 16 = 0.

Ejemplo 1.6. ¿A qué valor del parámetro t rectas cuyas ecuaciones 3tx-8y+1 = 0 y (1+t)x-2ty = 0 son paralelas?

Solución.Las líneas rectas dadas por ecuaciones generales son paralelas si los coeficientes en X y y proporcional, es decir 3t/(1+t) = -8/(-2t). Resolviendo la ecuación resultante, encontramos t: t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3.

Ejemplo 1.7. Encuentra la ecuación de la cuerda común de dos círculos:
x 2 + y 2 = 10 y x 2 + y 2 -10x-10y+30 = 0.

Solución.Encuentra los puntos de intersección de las circunferencias, para ello resolvemos el sistema de ecuaciones:

.

Resolviendo la primera ecuación, encontramos los valores x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1. De la segunda ecuación, los valores correspondientes y: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. Ahora obtenemos la ecuación de un acorde común, conociendo dos puntos A (3,1) y B (1,3) que pertenecen a esta línea: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3), o y+ x - 4 = 0.

Ejemplo 1.8. ¿Cómo se ubican los puntos en el plano, cuyas coordenadas satisfacen las condiciones (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

Solución.La primera desigualdad del sistema define el interior del círculo, sin incluir el límite, es decir circunferencia con centro en el punto (3,3) y radio . La segunda desigualdad define un semiplano definido por una recta cuya ecuación es x = y, y como la desigualdad es estricta, los puntos de la recta misma no pertenecen al semiplano, y todos los puntos por debajo de esta recta recta pertenecen al semiplano. Como estamos buscando puntos que satisfagan ambas desigualdades, entonces el área deseada es el interior del semicírculo.

Ejemplo 1.9.Calcula la longitud del lado de un cuadrado inscrito en una elipse cuya ecuación es x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1.

Solución.Dejar M(s, s)- el vértice del cuadrado, situado en el primer cuarto. Entonces el lado del cuadrado será 2 Con. Porque punto METRO pertenece a la elipse, sus coordenadas satisfacen la ecuación de la elipse c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, de donde
c = ab/ ; entonces el lado del cuadrado es 2ab/ .

Ejemplo 1.10.Conociendo la ecuación de las asíntotas de la hipérbola y =± 0,5 x y uno de sus puntos M (12, 3), trazar la ecuación de una hipérbola.

Solución.Escribimos la ecuación canónica de la hipérbola: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Las asíntotas de la hipérbola están dadas por las ecuaciones y =± 0.5 x, entonces b/a = 1/2, por lo tanto a=2b. Porque el METRO- punto de la hipérbola, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación de la hipérbola, es decir 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Dado que a = 2b, encontramos b: b 2 =9Þ b=3 y a=6. Entonces la ecuación de la hipérbola es x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

Ejemplo 1.11.Calcular la longitud del lado de un triángulo regular ABC inscrito en una parábola de parámetro R, suponiendo que el punto A coincide con el vértice de la parábola.

Solución.La ecuación canónica de una parábola con un parámetro R tiene la forma y 2 = 2рx, su vértice coincide con el origen y la parábola es simétrica respecto al eje x. Como la recta AB forma un ángulo de 30° con el eje Ox, la ecuación de la recta es: y = x. muchos gráficos

Por lo tanto, podemos encontrar las coordenadas del punto B resolviendo el sistema de ecuaciones y 2 =2px, y = x, de donde x = 6p, y = 2p. Por tanto, la distancia entre los puntos A(0,0) y B(6p,2p) es 4p.