Intensidad de campo entre placas. La fuerza de atracción entre las placas de un condensador plano.

Semestre 3. Clase magistral4.

Tema 4. Campo eléctrico de conductores cargados.

La energía del campo electrostático.

Campo cerca del conductor. Capacitancia de conductores y capacitores. (Capacidades de condensadores planos, cilíndricos y esféricos). Energía de un sistema de cargas fijas. La energía de un conductor cargado, capacitor. Densidad de energía del campo electrostático.

En la teoría electrostática, era conveniente determinar el asociado energia electrica, saber. Pensemos en los cargos individuales de uno en uno, incluso cuando nuestro sistema fuera una compilación de varios cargos, y dejaremos de lado la idea de "acción a distancia". Por las mismas razones, nos gustaría definir una variante de la energía potencial eléctrica por unidad de carga, de modo que podamos pensar en la cantidad de energía potencial que puede ganar o perder una sola carga presente en un campo eléctrico.

El potencial eléctrico se mide en coulomb joules, también conocidos como voltios. De hecho, a menudo nos referiremos al potencial eléctrico como "voltaje", los dos son sinónimos para nuestros propósitos. Al igual que el potencial gravitacional, el potencial eléctrico es una cantidad escalar. Es, en esencia, una medida del cambio en la energía potencial eléctrica por unidad de carga.

Al introducir un conductor en el exterior campo eléctrico las cargas dentro del conductor comienzan a moverse bajo la acción de fuerzas del campo externo hasta que se alcanza el equilibrio. Esto conduce a una redistribución de la carga eléctrica dentro del conductor. Regiones del conductor, antes eléctricamente neutras, adquieren una carga eléctrica no compensada. En consecuencia, aparece un campo eléctrico (o, como dicen, es inducido) en el conductor

. La condición para el equilibrio de las cargas eléctricas:

Esto nos permite ver que la diferencia de potencial también tiene unidades campo eléctrico a distancia Esto tiene cierto sentido, ya que basta con que la diferencia de potencial eléctrico atraviese un campo eléctrico. Dado que el campo eléctrico tiene unidades de newtons por colgante, podemos hacer la siguiente observación.

Si libera una carga positiva, que se acelera espontáneamente en áreas de alto potencial a bajo potencial, las cargas positivas tienden al mínimo potencial eléctrico. En cambio, las cargas negativas buscan el máximo potencial eléctrico. Hay que trabajar con cargas positivas para llevarlas a un mayor potencial, trabajar con cargas negativas para llevarlas a zonas de menor potencial.

aquellos. intensidad de campo en el interior del conductor:

Por lo tanto, de la igualdad obtenemos dentro del conductor. Por lo tanto, esta condición también se cumple en el límite del conductor. Aquellos. la superficie del conductor es equipotencial superficie , es por eso las líneas de fuerza del campo eléctrico son perpendiculares a la superficie del conductor en cada punto .

Para cargas puntuales, el campo eléctrico se define a través del espacio, excepto por el lado derecho de la carga, y funciona de la misma manera que su potencial eléctrico. No hay un lugar obvio para llamar "nulo". Además, no podemos conectar el cable de tierra a un solo electrón. Después de todo, casi siempre el potencial de una carga puntual se define como cero a una distancia infinita de la carga misma. Esto es realmente útil, lo crea o no, y muestra claramente que la única forma de deshacerse del potencial debido a una carga puntual es expulsar completamente la carga.

conductor cargado .

Si se imparte una carga eléctrica externa a un conductor solitario, entonces la condición para el equilibrio de cargas nuevamente conduce a la condición:

,dentro del conductor.

De ello se deduce que todas las cargas externas se encuentran en la superficie del conductor, ya que. la intensidad de campo dentro del conductor es cero, y de acuerdo con el teorema de Gauss para cualquier superficie cerrada dentro del conductor (incluida la superficie exterior del conductor):

La figura 3 muestra una comparación del campo eléctrico con el potencial eléctrico de una carga puntual en función de la distancia a la carga. Tenga en cuenta: solo puede medir diferencias en el potencial eléctrico. Un punto rápido para aclarar cualquier confusión más adelante: cuando hablamos de cargas puntuales, como electrones en campos eléctricos o átomos en un cristal, a menudo usamos la unidad más conveniente para la energía, el electrón voltio. A medida que pasa el tiempo, encontramos el electrón-voltio con más y más frecuencia, y esto demuestra ser muy conveniente cuando estamos ocupados calculando un pequeño número de cargas.

Dado que la superficie del conductor en este caso también es equipotencial, las líneas de fuerza del campo eléctrico se dirigen perpendicularmente a la superficie del conductor en cada uno de sus puntos.

Del teorema de Gauss se deduce que cerca de la superficie del conductor

La magnitud del vector de desplazamiento eléctrico es igual a la densidad superficial de las cargas externas.

El potencial eléctrico también obedece al principio de superposición, al igual que la fuerza eléctrica. El potencial eléctrico total en algún punto debido a varias cargas puntuales es solo la suma de los potenciales eléctricos debidos a las cargas puntuales individuales. El potencial eléctrico es un escalar, no tenemos que preocuparnos por los componentes, los potenciales eléctricos son solo el número de sus contribuciones.

Como cabría esperar del principio de superposición, el potencial entre dos cargas es cero y se vuelve muy grande cerca de cada carga, al igual que el campo eléctrico. Potencial eléctrico en un plano que contiene un dipolo eléctrico. Escala de altura del potencial eléctrico. Las líneas representan circuitos equipotenciales.

La carga en la superficie del conductor se distribuye de tal manera que el potencial superficial permanece constante. Esto lleva al hecho de que la densidad de carga en la superficie del conductor no es la misma. Por ejemplo, en las partes afiladas de los conductores, la densidad de carga es mayor que en los huecos. En este sentido, surgen varios fenómenos, por ejemplo, "drenaje de carga". Si el conductor está en el aire, entonces la ionización del aire ocurre cerca de la punta, arrastrando parte de la carga eléctrica, un fenómeno llamado "viento eléctrico".

Así, el trabajo sobre la carga por parte de la fuerza eléctrica está asociado con un cambio en la energía potencial eléctrica de la carga. Combinando estos dos hechos, podemos relacionar fácilmente el trabajo y la diferencia de potencial. En el objeto de la teoría electrostática, dijimos que para un conductor en equilibrio electrostático, la carga neta está solo en la superficie del conductor. Por otro lado, dijimos que el campo eléctrico justo afuera de la superficie del conductor es perpendicular a la superficie y que el campo dentro del conductor es cero.

Esto también significa que todos los puntos en la superficie de un conductor, cargados en equilibrio electrostático, tienen el mismo potencial. Un conductor arbitrario que lleva una carga positiva. La ecuación 23 nos da un resultado muy general: no hay trabajo para mover una carga entre dos puntos que tienen el mismo potencial eléctrico.

Método de imagen eléctrica .

Si la superficie equipotencial se reemplaza por una conductora y luego se descarta la parte del campo que esta superficie separa, entonces el patrón de campo en la parte restante no cambiará. Por el contrario, si la imagen del campo se complementa con cargas ficticias de modo que la superficie conductora pueda reemplazarse por una equipotencial, entonces la imagen del campo inicial no cambiará.

Debido a que el campo eléctrico y el desplazamiento son siempre perpendiculares, no se realiza trabajo al moverse a través de la superficie de un conductor. Dado que la ruta elegida es completamente arbitraria, esto significa que es cierta para dos puntos cualesquiera de la superficie. Potenciales y conductores cargados.

El potencial eléctrico es constante en la superficie. El potencial eléctrico es constante en el interior y tiene el mismo valor que el valor en la superficie. No se requiere trabajo para mover la carga desde el interior a la superficie o entre dos puntos de la superficie.

Ejemplo.Encuentre la fuerza de atracción de una carga puntual a un plano conductor infinito . Para ello, complementaremos el dibujo con otra carga del mismo tipo, pero de signo contrario, situada simétricamente con respecto al plano. Entonces el plano coincidirá con la superficie equipotencial, por lo que se puede descartar el plano y encontrar la fuerza de interacción entre cargas: .

Por supuesto, esto solo es cierto para los conductores ideales. Si están presentes otras fuerzas disipativas, esto no es cierto y se requiere trabajo para mover la carga en presencia de una fuerza disipativa. El análogo eléctrico de la fricción o la viscosidad es la resistencia.

Una superficie en la que todos los puntos tienen el mismo potencial eléctrico se denomina superficie equipotencial. La diferencia de potencial entre dos puntos de la superficie es cero, por lo que no se requiere trabajo para mover una carga a una velocidad constante a lo largo de una superficie equipotencial. Por lo tanto, la superficie del conductor es una superficie equipotencial. Las superficies equipotenciales tienen una conexión simple con el campo: el campo es perpendicular a la superficie equipotencial en todos los puntos.

La energía de un conductor cargado. .

La energía de un solo conductor cargado se define como la energía de un sistema de cargas: . Sobre el conductor, así la energía de un conductor solitario:

En la fig. 10 muestra las superficies equipotenciales y las líneas de campo eléctrico para una sola carga puntual, un dipolo y dos cargas iguales. Tenga en cuenta que una vez que haya dibujado las líneas de campo eléctrico, dibujar superficies equipotenciales es trivial e inverso.

Las líneas de campo eléctrico son líneas azules y las líneas rojas son superficies equipotenciales para una sola carga puntual, un dipolo eléctrico y dos cargas iguales. ¿Cómo podemos realmente cambiar el potencial eléctrico, generalmente lo llamaremos intensidad, de un objeto en relación con otro? La carga por inducción o conducción es de dos formas, pero un poco engorrosa. Un dispositivo conocido como fuente de tensión es un elemento de circuito con dos terminales en el que se aplica una diferencia de potencial constante entre estos dos terminales.

Para un sistema de conductores cargados: .

En particular, para dos conductores con cargas q de igual magnitud pero de diferente signo, la energía será igual a: .

Comentario . La magnitud de la diferencia de potencial llamó Voltaje entre cuerpos.

Lo que está conectado a la terminal "negativa" de la fuente tendrá un voltaje por debajo de la terminal "positiva". Las baterías son un ejemplo de una fuente de voltaje constante, y los enchufes de pared en su hogar son otro ejemplo de una fuente de voltaje. Las fuentes de tensión ideales siempre se expresan en el libro de texto, es decir, proporcionan una diferencia de potencial constante. Las fuentes de voltaje real siempre tienen limitaciones, principalmente la cantidad de energía que se puede generar.

Fuente común Voltaje constante. Ahora que sabemos un poco sobre voltaje y conductores, nos estamos acercando a la descripción de circuitos eléctricos simples. Ahora presentaremos nuestro primer elemento de circuito real, el capacitor. Un condensador es un componente electrónico que se utiliza para almacenar carga eléctrica, se utiliza esencialmente en cualquier circuito eléctrico. Los condensadores son la columna vertebral de la memoria de acceso aleatorio y la memoria flash, y son fundamentales para casi cualquier fuente de alimentación.

La experiencia demuestra que existe una relación lineal entre la carga de un conductor solitario y su potencial: . factor de proporcionalidad DE llamó coeficiente de electricidad contenedores o capacidad electrica . La unidad de capacidad eléctrica es Farad (

).

Es uno de los pilares fundamentales de la electrónica. La figura 12 muestra un diseño de capacitor típico: dos placas de metal con una pequeña cantidad de material especial en el medio. Es difícil creer que dispositivos complejos como las computadoras se basen en un diseño tan simple, pero es cierto.

Cuando se usan en un circuito, las placas se conectan a los terminales positivo y negativo de una fuente de voltaje, como una batería. La carga en ambas placas es la misma, pero tiene el signo opuesto. Básicamente, colocar dos placas a diferentes potenciales significa que los electrones quieren migrar a la placa con el potencial más alto y dejar la placa con el potencial más bajo. La capacidad de esta estructura. El movimiento de carga entre las placas se detiene cuando la diferencia de potencial entre las placas coincide con la diferencia de potencial de la fuente de voltaje.

Condensador Se llama un sistema de dos conductores cargados con la misma magnitud, pero diferente en el signo de las cargas. Los conductores se llaman placas de condensador .

La capacitancia de un capacitor está determinada por la fórmula.

El capacitor se designa convencionalmente.

Conexión de condensadores

El condensador se vende debido a esta diferencia de potencial y, por lo tanto, almacena electricidad hasta un tiempo después, cuando se puede reclamar para una aplicación particular. Puede pensar en ello como almacenar energía en términos de, o retrasar la respuesta como un amortiguador eléctrico para cambiar las diferencias de voltaje.

La capacitancia de una disposición particular de dos conductores depende de su geometría y disposición relativa. Estructura general es un capacitor de placas paralelas como se muestra en la figura. En el objeto de la teoría electrostática, demostramos la constancia del campo eléctrico entre dos placas paralelas sin demostración. Pero, ¿cuál es el campo entre las placas?

Considere una conexión en serie de dos condensadores C 1 y C 2. El punto A entre los capacitores está separado del resto del circuito, por lo que su carga eléctrica no puede cambiar. Como la carga inicial de cualquier punto era igual a cero, entonces . En consecuencia, las cargas de las placas del condensador adyacentes al punto A son iguales en magnitud, pero de signo opuesto. Pero como el valor de la carga de las placas es igual a la carga de los capacitores, entonces. La carga total del punto A es cero, por lo que si descartamos este punto junto con las placas, nada cambiará en el circuito. Porque las cargas de las placas extremas también son iguales en magnitud, pero de diferente signo, entonces el capacitor resultante tendrá la misma carga en magnitud.

En la Sección 8, encontramos que el campo eléctrico sobre una placa conductora plana se define como: donde es la carga por unidad de área en la placa. Esto nos lleva a una expresión más útil para el campo: nuevamente, esto no es cierto cerca de los bordes de las placas, donde el campo no es constante. Combinando esto con los hechos anteriores, podemos encontrar la capacitancia de un capacitor de placas paralelas de la Ecuación 24. Capacitancia de un capacitor de placas paralelas.

En la Ecuación 26 podemos ver que los capacitores pueden almacenar más carga a medida que las placas se hacen más grandes. Lo mismo sucede cuando las placas se acercan. Cuando las placas están más juntas, las cargas opuestas ejercen una fuerza más fuerte entre sí, lo que permite que se almacene más masa en las placas. De la Ecuación 24, un capacitor de valor C en diferencia de potencial almacena una carga.

TOTAL . Las cargas de los capacitores conectados en serie son de la misma magnitud. La carga total de los capacitores conectados en serie es igual a la carga de cada uno de los capacitores.

Para este caso, el voltaje total es igual a la suma de los voltajes en los capacitores: U GENERAL \u003d U 1 + U 2. Las cargas de los condensadores son las mismas: q 1 \u003d q 2 \u003d q. Después . Es por eso .

Cuando los condensadores se conectan en serie, sus capacidades se suman de acuerdo con la ley de los recíprocos . 

Cálculo de capacitancia para conexión en paralelo de capacitores.

Para este caso, los voltajes en los capacitores son los mismos: U 1 \u003d U 2 \u003d U.

La carga total es igual a la suma de las cargas: q GEN = q 1 + q 2 o C GEN U=C 1 U+C 2 U.

Entonces C GENERAL =C 1 +C 2 . Cuando los condensadores se conectan en paralelo, sus capacidades se suman. 

Energía del condensador :

La carga total del condensador es cero. Un condensador almacena energía eléctrica separando las cargas eléctricas.

Ejemplos para calcular la capacitancia de capacitores .

Condensador plano (de aire) representa dos placas paralelas, la distancia entre las cuales es mucho menor que las dimensiones de las placas, por lo que el campo entre las placas se puede considerar uniforme. Hay vacío (aire) entre las placas, por lo tanto  = 1.

En este caso, al calcular el patrón de campo, se pueden utilizar los resultados obtenidos para el campo de un plano cargado infinito. Dado que las cargas y las áreas de las placas son iguales en magnitud, la magnitud de la intensidad de campo creada por cada una de las placas es la misma: pero las direcciones de los vectores de intensidad son diferentes (el vector de intensidad de una placa cargada negativamente se muestra mediante una línea punteada). Entre las placas, los vectores de intensidad están dirigidos de la misma manera, por lo que la intensidad total es igual a la suma de las intensidades de campo creadas por cada una de las placas:

Fuera de las placas, los vectores de intensidad de campo tienen direcciones opuestas, por lo que la intensidad de campo exterior es cero. De este modo, en un capacitor, la intensidad de campo es distinta de cero solo entre las placas.

Dado que el campo electrostático es un campo de fuerza conservativa, la integral no depende de la forma de la trayectoria GRAMO, por lo que la diferencia de potencial entre las placas se puede encontrar a lo largo de la perpendicular que conecta las placas, cuya longitud es igual a d:, dónde d es la distancia entre las placas. Entonces, la capacitancia de un condensador plano (de aire) de acuerdo con la definición será igual a:

Condensador cilíndrico (de aire) consta de dos cilindros coaxiales

de la misma longitud, anidados entre sí de modo que la distancia entre las placas sea mucho menor que las dimensiones de las placas.

Sea la longitud del capacitor L, la carga del revestimiento interior es positiva: q > 0. Radios de chapado R 1 y R 2, deja R 1 <R 2. Intensidad de campo entre las placas a distancia. r del revestimiento interior, es decir por R 1 <r <R 2, encontramos usando el teorema de Gauss:

Entonces el voltaje entre las placas: .

Por lo tanto, la capacidad eléctrica de un capacitor cilíndrico (de aire): .

DE condensador esférico (de aire) representa dos esferas concéntricas anidadas con los radios de las placas R 1 y R 2 ,R 1 <R 2. Deje que la carga del revestimiento interior q> 0. La intensidad de campo entre los revestimientos a una distancia r del forro interior ( R 1 <r <R 2) encontramos por el teorema de Gauss:

Tensión entre placas: .

Por lo tanto, la capacitancia de un capacitor esférico (de aire) .

Densidad de energía volumétrica del campo electrostático.

Considere un condensador de aire plano. Energía de un capacitor cargado

La cantidad de espacio entre las placas de un condensador. Dado que el campo entre las placas se considera homogéneo, la unidad de volumen de este campo tiene la energía . Este valor se llama densidad de energía volumétrica .

En el caso de que el campo no sea uniforme, la densidad de energía volumétrica es .

En la materia, la densidad de energía volumétrica del campo eléctrico .

En el caso de un dieléctrico isotrópico homogéneo, por lo tanto .

Porque , después , dónde

La energía del campo eléctrico en el vacío es la energía de la polarización de la materia.

Ejemplo . Considere una esfera cargada de paredes delgadas de radio R. Dado que las cargas del mismo nombre se repelen entre sí en la esfera, las fuerzas de repulsión tienden a estirar la superficie de la esfera. Podemos suponer que desde el interior de la esfera, las paredes se ven afectadas por presión adicional p, reventando la esfera y provocada por la presencia de una carga eléctrica en la superficie. Encontremos R.

La intensidad del campo dentro de la esfera es cero, por lo que la densidad de energía volumétrica del campo eléctrico w es diferente de cero sólo fuera de la esfera.

Con un ligero aumento en el radio de la esfera por dr su volumen aumentará, mientras que en esa parte del espacio circundante que entró en la esfera, la densidad de energía volumétrica será igual a cero. Por lo tanto, el cambio en la energía del campo exterior será igual a, donde S es el área de la superficie. Pero con la expansión de la esfera, las fuerzas de presión dentro de la esfera harán el trabajo. . Desde entonces de donde.

Ejemplo . Encontremos las fuerzas que actúan sobre las placas en un condensador plano cargado, desconectado de la fuente de alimentación.

Las placas tienen cargas opuestas, por lo que se atraen. Suponga que las placas están un poco cerca una de la otra. X. Entonces el volumen del condensador se reduce en dV = xS, por lo que la energía del condensador ha disminuido en dW = wdV. Las fuerzas atractivas funcionan  A = efectos especiales. Como A= dW, después efectos especiales = wxS. Por lo tanto, la magnitud de la fuerza es F = wS. La presión adicional que crean estas fuerzas es igual a.

Los ejemplos anteriores muestran que los cuerpos en un campo eléctrico están sujetos a fuerzas que causan una presión adicional igual a la densidad de energía volumétrica.

La presión causada por la presencia de un campo eléctrico es igual a la densidad de energía volumétrica .

Efectivo , actuando sobre el cuerpo desde el lado de algún campo, se llaman pondemotor .

Las placas del condensador con carga opuesta se atraen entre sí.

Las fuerzas mecánicas que actúan sobre cuerpos cargados macroscópicos se denominanponderomotor .

Calculamos las fuerzas ponderomotrices que actúan sobre las placas de un capacitor plano. En este caso, dos opciones son posibles:

El condensador está cargado y desconectado de la batería cargada.(en este caso, el número de cargas en las placas permanece constante q = constante).

Cuando se separa una placa de un capacitor de la otra, se realiza trabajo

debido a lo cual la energía potencial del sistema aumenta:

En este caso, dA = dW. Igualando los lados derechos de estas expresiones, obtenemos

(12.67)

En este caso, al diferenciar, la distancia entre las placas se designó x.

Condensador cargado pero no desconectado de la batería(en este caso, al mover una de las placas del condensador, el voltaje permanecerá constante ( tu = constante). En este caso, cuando una placa se aleja de la otra, la energía potencial del campo del capacitor disminuye, ya que las cargas se “fugan” de las placas, por lo tanto

Pero

, después

La expresión resultante coincide con la fórmula

. También se puede representar de otra forma si en lugar de la carga q introducimos la densidad superficial:

(12.68)

El campo es uniforme. La intensidad de campo del capacitor es

, donde x es la distancia entre las placas. Sustituyendo en la fórmula

U 2 \u003d E 2 x 2, obtenemos que la fuerza de atracción de las placas de un condensador plano

(12.69)

Estas fuerzas actúan no solo sobre las placas. Dado que las placas, a su vez, ejercen presión sobre el dieléctrico colocado entre ellas y lo deforman, surge presión en el dieléctrico.

(S es el área de cada placa).

La presión que surge en el dieléctrico es

(12.70)

Ejemplos de resolución de problemas

Ejemplo 12.5. A placas planas condensador de aire se aplica una diferencia de potencial de 1,5 kV. Área de la placa 150cm 2 y la distancia entre ellos es de 5 mm. Después de desconectar el capacitor de la fuente de voltaje, se insertó vidrio en el espacio entre las placas (ε 2 =7) Definir:

1) diferencia de potencial entre las placas después de la introducción de un dieléctrico; 2) la capacitancia del capacitor antes y después de la introducción del dieléctrico; 3) la densidad de carga superficial en las placas antes y después de la introducción del dieléctrico.

Dado: U 1 \u003d 1,5 kV \u003d 1,5 ∙ 10 3 V; S \u003d 150cm 2 \u003d 1.5 ∙ 10 -2 m 2; ε1 = 1; d=5mm=5∙10 -3 m.

Encuentra: 1) U2; 2) C1C2; 3) σ 1 , σ 2

Solución . Porque

(σ es la densidad de carga superficial en las placas del capacitor), luego antes de la introducción del dieléctrico σd=U 1 ε 0 ε 1 y después de la introducción del dieléctrico σd=U 2 ε 0 ε 2, por lo tanto

La capacitancia del capacitor antes y después de la introducción de un dieléctrico

La carga de las placas después de la desconexión de la fuente de voltaje no cambia, es decir q=const. Por lo tanto, la densidad de carga superficial en las placas antes y después de la introducción del dieléctrico

Respuesta: 1) U 2 \u003d 214V; 2) C 1 \u003d 26,5 pF; C 2 \u003d 186pF; 3) σ1 = σ2 = 2,65 μC/m2.

Ejemplo 12.7. El espacio entre las placas de un condensador plano se llena con un dieléctrico anisotrópico, cuya permeabilidad ε varía en la dirección perpendicular a las placas de acuerdo con la ley linealε = α + βх de ε 1 hasta ε 2 , y ε 2 > ε 1 . El área de cada revestimiento.S, la distancia entre ellosd. Encuentre la capacitancia del capacitor.

Dado:S; d; ε1; ε 2

Encontrar: DE.

Solución . la constante dielectrica ε varía linealmente, ε = α + βx, donde x se mide desde el revestimiento, cuya permeabilidad es igual a ε 1 . Considerando que ε (0) = ε 1 , ε (d) = ε 2 , obtenemos la dependencia

. Encuentre la diferencia de potencial entre las placas:

La capacitancia del capacitor será

Responder:

Ejemplo 12.7. Entre las placas de un condensador plano cargado a una diferencia de potencial tu , dos capas de dieléctricos se colocan paralelas a sus placas. El espesor de las capas y la permitividad de los dieléctricos son, respectivamente,d 1 , d 2 , ε 1 , ε 2 . Determinar la fuerza de los campos electrostáticos en las capas dieléctricas.

Dado: tu; d 1 , d 2 , ε 1 , ε 2

Encontrar: mi 1 , mi 2 .

Solución . El voltaje a través de las placas del condensador, dado que el campo dentro de cada una de las capas dieléctricas es uniforme,

U=E 1 re 1 +E 2 re 2 . (una)

El desplazamiento eléctrico en ambas capas dieléctricas es el mismo, por lo que podemos escribir

D=D1=D2= ε 0 ε 1 mi 1 = ε 0 ε 2 mi 2 (2)

De las expresiones (1) y (2) encontramos el deseado

(3)

De la fórmula (2) se sigue que

Responder:

;

Ejemplo 12.7. área de la placa S condensador plano es de 100 cm 2 . El espacio entre las placas está lleno de cerca con dos capas de dieléctricos: una placa de mica (ε 1 =7) grueso d 1 =3,5 mm y parafina (ε 2 =2) espesor d 2 =5 mm. Determine la capacitancia de este capacitor.

Dado: S= 100 cm 2 =10 -2 metro 2 ; ε 1 =7; d 1 =3,5 mm=3,5∙10 -3 m;, ε 1 =2; d 1 =3,5 mm=5∙10 -3 metro;

Encontrar: DE.

Solución . Capacidad del condensador

donde = - carga en las placas del condensador (- densidad de carga superficial en las placas); \u003d - diferencia de potencial de las placas, igual a la suma de los voltajes en las capas dieléctricas: U \u003d U 1 +U 2. Después

(1)

Los voltajes U 1 y U 2 se encuentran mediante las fórmulas.

;

(2)

donde E 1 y E 2 - la fuerza del campo electrostático en la primera y segunda capa del dieléctrico; D es el desplazamiento eléctrico en dieléctricos (igual en ambos casos). Teniendo en cuenta que

Y dada la fórmula (2), de la expresión (1) encontramos la capacitancia deseada del capacitor

Responder: C \u003d 29.5pF.

Ejemplo 12.7. Una batería de tres capacitores conectados en serie C 1 \u003d 1 μF; DE 2 \u003d 2uF y C 3 \u003d 4 μF están conectados a una fuente EMF. Carga de la batería del condensador q \u003d 40 μC. Determine: 1) voltaje tu 1 , tu 2 y tu 3 en cada condensador; 2) fuente EMF; 3) la capacidad del banco de condensadores.

Dado : C 1 \u003d 1 μF \u003d 1 ∙ 10 -6 F; C 2 \u003d 2 μF \u003d 2 ∙ 10 -6 F y C 3 \u003d 4 μF \u003d 4 ∙ 10 -6 F q \u003d 40 μC \u003d 40 ∙ 10 -6 F .

Encuentra: 1) U 1 , U 2 , U 3 ; 2) ξ; 3) c.

Solución . Cuando los condensadores se conectan en serie, las cargas de todas las placas son iguales en valor absoluto, por lo tanto

q 1 \u003d q 2 \u003d q 3 \u003d q.

Tensión del condensador

La FEM de la fuente es igual a la suma de los voltajes de cada uno de los capacitores conectados en serie:

ξ \u003d U 1 + U 2 + U 3

Cuando se conectan en serie, los recíprocos de las capacidades de cada uno de los condensadores se suman:

¿Dónde está la capacidad deseada del banco de capacitores?

Respuesta 1) U1 \u003d 40V; U2 \u003d 20V, U3 = 10V; 2) Ɛ= 70V; 3) C \u003d 0.571 μF.

Ejemplo 12.7. Dos capacitores planos de aire de la misma capacidad están conectados en serie y conectados a una fuente EMF. ¿Cómo y cuántas veces cambiará la carga de los capacitores si uno de ellos se sumerge en aceite con una constante dieléctrica ε=2.2?

Dado: C 1 \u003d C 2 \u003d C; q \u003d 40 μC \u003d 40 ∙ 10 -6 F ; ε 1 =1; ε 2 =2,2.

Encontrar: .

Solución . Cuando los capacitores están conectados en serie, las cargas de ambos capacitores son de igual magnitud. Antes de la inmersión en un dieléctrico (en aceite), la carga de cada capacitor

donde ξ \u003d U 1 + U 2 (cuando los capacitores están conectados en serie, el EMF de la fuente es igual a la suma de los voltajes de cada uno de los capacitores).

Después de que uno de los capacitores se sumerge en un dieléctrico, las cargas de los capacitores vuelven a ser las mismas y, en consecuencia, en el primer y segundo capacitor son iguales

q= CU 1 =ε 2 CU 2

(teniendo en cuenta que ε 1 =1), por lo que, si tenemos en cuenta que ξ = U 1 + U 2 , encontramos

(2)

Dividiendo (2) por (1), encontramos la relación deseada

Responder:

, es decir. la carga de los capacitores aumenta por un factor de 1.37.

Ejemplo 12.7. Los condensadores con capacidades C cada uno están conectados como se muestra en la fig.a. determinar la capacitancia común esta conexión de condensadores. .

Solución . Si desconecta el condensador C 4 del circuito, obtiene una conexión de condensadores, que se calcula fácilmente. Dado que las capacidades de todos los condensadores son las mismas (C 2 \u003d C 3 y C 5 \u003d C 6), ambas ramas paralelas son simétricas, por lo que los potenciales de los puntos A y B, igualmente ubicados en las ramas, deben ser iguales. El condensador C 4 está así conectado a puntos con diferencia de potencial cero. Por lo tanto, el condensador C 4 no está cargado, es decir se puede excluir y se puede simplificar el esquema presentado en la condición del problema (Fig. b).

Este circuito consta de tres ramas paralelas, dos de las cuales contienen dos condensadores en serie.

Responder: Ctotal = 2C.

Ejemplo 12.7. Condensador de aire plano con capacidad C 1 \u003d 4pF cargado a una diferencia de potencialtu 1 =100V. Después de desconectar el capacitor de la fuente de voltaje, se duplicó la distancia entre las placas del capacitor. Determinar: 1) diferencia de potencialtu 2 en las placas del condensador después de su separación; 2) el trabajo de fuerzas externas para separar las placas.

Dado: C 1 \u003d 4pF \u003d 4 ∙ 10 -12 F; U 1 \u003d 100V; d 2 \u003d 2d 1.

Encontrar: 1) U 2 ;2)A.

Solución . La carga de las placas del capacitor después de la desconexión de la fuente de voltaje no cambia, es decir Q=const. Es por eso

do 1 u 1 \u003d do 2 u 2, (1)

donde C 2 y U 2 son, respectivamente, la capacitancia y la diferencia de potencial en las placas del capacitor después de separarlas.

Dado que la capacitancia de un capacitor plano

, de la fórmula (1) obtenemos la diferencia de potencial deseada

(2)

Después de desconectar el capacitor de la fuente de voltaje, el sistema de dos placas cargadas puede considerarse cerrado, por lo que se cumple la ley de conservación de la energía: el trabajo A de las fuerzas externas es igual al cambio en la energía del sistema

A \u003d W 2 - W 1 (3)

donde W 1 y W 2 son la energía del campo del capacitor en los estados inicial y final, respectivamente.

Dado que

y

(q – const), de la fórmula (3) obtenemos el trabajo deseado de las fuerzas externas

[teniendo en cuenta que q=C 1 U 1 y fórmula (2)].

Responder : 1) U 2 \u003d 200V; 2) A \u003d 40nJ.

Ejemplo 12.7. Una bola sólida de dieléctrico con un radioR=5cm cargado uniformemente con densidad aparente ρ=5nC/m 3 . Determine la energía del campo electrostático contenido en el espacio que rodea la pelota.

Dado: R=5cm=5∙10 -2m; ρ=5nC/m 3 = 5∙10 -9 C/m3.

Encontrar: w

Solución . El campo de una bola cargada es esféricamente simétrico, por lo que la densidad de carga volumétrica es la misma en todos los puntos ubicados a la misma distancia del centro de la bola.

mi energía en una capa esférica elemental (se elige fuera del dieléctrico, donde se debe determinar la energía) con un volumen de dV (ver figura)

donde dV=4πr 2 dr (r es el radio de una capa esférica elemental; dr es su espesor);

(ε=1 – campo en el vacío; E – intensidad del campo electrostático).

Encontraremos la intensidad E por el teorema de Gauss para un campo en el vacío, y elegiremos mentalmente una esfera con radio r como superficie cerrada (ver figura). En este caso, toda la carga de la bola, que crea el campo considerado, penetra en la superficie y, de acuerdo con el teorema de Gauss,

Dónde

Sustituyendo las expresiones encontradas en la fórmula (1), obtenemos

La energía contenida en el espacio que rodea la pelota,

Responder: W=6.16∙10 -13 J.

Ejemplo 12.7. Condensador planar con el área de las placas.Sy la distancia entre ellos ℓ se informa la cargaq, después de lo cual el condensador se desconecta de la fuente de voltaje. Determinar la fuerza de atracción.Fentre las placas del condensador, si la constante dieléctrica del medio entre las placas es igual a ε.

Dado : S; ℓ; q; ε .

Encontrar: F.

Solución . La carga de las placas del capacitor después de la desconexión de la fuente de voltaje no cambia, es decir q=const. Suponga que bajo la acción de la fuerza de atracción F, la distancia entre las placas del condensador ha cambiado en d ℓ . Entonces la fuerza F si trabaja

De acuerdo con la ley de conservación de la energía, este trabajo es igual a la pérdida de energía del capacitor, es decir

. (3)

Sustituyendo en la fórmula de la energía de un capacitor cargado

expresión para la capacitancia de un capacitor plano

, obtenemos

(4)

Responder:

Ejemplo 12.7. Condensador de placa planaSy la distancia entre ellos ℓ conectados a una fuente de voltaje constantetu. Determinar la fuerza de atracción.Fentre las placas del condensador, si la constante dieléctrica del medio entre las placas es igual a ε.

Dado : S; ℓ; tu; ε .

Encontrar: F.

Solución . De acuerdo con la condición del problema, se mantiene un voltaje constante en las placas del capacitor, es decir U=const. Suponga que bajo la acción de la fuerza de atracción F, la distancia entre las placas del condensador ha cambiado en dℓ. Entonces la fuerza F si trabaja

De acuerdo con la ley de conservación de la energía, este trabajo en este caso se destina a aumentar la energía del capacitor (comparar con la tarea anterior), es decir

de donde, en base a las expresiones (1) y (2), obtenemos

(3)

Sustituyendo en la fórmula de la energía del capacitor

expresión para la capacitancia de un capacitor plano

, obtenemos

(4)

Sustituyendo el valor de la energía (4) en la fórmula (3) y realizando la diferenciación, encontramos la fuerza de atracción deseada entre las placas del condensador