(ejemplos de resolución de problemas)

conductor solitario

Ejemplo 7.1.

Encuentre la capacitancia de un conductor esférico de radio R 1 rodeado por una capa concéntrica adyacente de dieléctrico con permitividad  y radio exterior R 2 .

Solución.

Método 1. Informemos al conductor de carga y encontremos la fuerza del campo eléctrico en el espacio circundante. La magnitud del campo de desplazamiento eléctrico es

por

, es por eso:

.

Tensión de conductores representar la siguiente expresión:

El valor de la capacitancia se obtiene por definición a partir de la expresión:

.

Método 2. Consideremos una bola conductora rodeada por un dieléctrico como un sistema de capacitores esféricos conectados en serie (ver figura). Usando el resultado del Ejercicio 7.4, para los valores de capacitancia obtenemos:,

. La capacidad de todo el sistema está determinada por la expresión

,

lo que, por supuesto, coincide con el resultado obtenido en el método 1.

Condensador plano

Ejemplo 7.2.

Espacio entre placas condensador plano lleno de un dieléctrico cuya permeabilidad depende de la distancia X a uno de los paramentos según la ley

, donde  1 es una constante, d - distancia entre placas. El área de cada revestimiento. S. Encuentre la capacitancia del capacitor.

Solución.

Imaginemos un condensador lleno de un dieléctrico no homogéneo como un sistema infinito de condensadores elementales conectados en serie, cuya capacidad es igual a

. La capacidad de todo el sistema está determinada por la expresión:

De donde obtenemos:

.

Condensador esférico

Ejemplo 7.3.

Encuentre la capacitancia de un capacitor esférico, cuyos radios de placas a y b, y a < b r al centro del condensador

, dónde

.

Solución.

Método 1.

Como en el ejemplo anterior, un capacitor esférico con una distribución dieléctrica no uniforme pero esféricamente simétrica puede representarse como un sistema de capacitores esféricos elementales conectados en serie con capacitancias

y encontrar la capacidad del sistema como

.

Método 2.

La magnitud del campo de desplazamiento eléctrico en este caso será igual a

, y la fuerza de este campo está determinada por la expresión El valor de voltaje, en este caso, será igual a, y el valor de capacitancia.

Condensador cilíndrico

Ejemplo 7.4.

Encuentre la capacitancia de un capacitor cilíndrico de longitud yo, los radios de las placas de los cuales a y b, y a < b, si el espacio entre las placas se llena con un dieléctrico, cuya permeabilidad depende de la distancia r al eje del capacitor como

, dónde

.

Solución. Imagine un capacitor cilíndrico como capacitores elementales conectados en serie con una capacitancia

. El valor de la capacitancia de todo el sistema de capacitores elementales se puede encontrar a partir de la relación

A partir de aquí finalmente obtenemos la respuesta:

.

Ejemplo 7.5.

Un condensador cilíndrico tiene un diámetro de placa exterior .Cuál debe ser el diámetro del forro interior de modo que a un voltaje dado a través del capacitor tensión campo eléctrico en el forro interior

era el minimo?

Solución. La magnitud de la fuerza del campo eléctrico en el revestimiento interior.

encuentra a partir de las siguientes relaciones. Sustituyendo el valor de la capacitancia de un capacitor cilíndrico (ver ejercicio 7.5), se obtiene la expresión:

.

Para encontrar el extremo, encontramos la derivada del denominador (porque el numerador tiene un valor fijo)

.

Igualándolo a cero, encontramos

. Que corresponde al mínimo

, se puede verificar tomando la segunda derivada y determinando su signo en

.

Conexión de condensadores

Ejemplo 7.6.

Cuatro capacitores con capacitancias

y conectado como se muestra en la figura. ¿Qué relación deben satisfacer las capacitancias de los capacitores para que la diferencia de potencial entre los puntos y era igual a cero?

Solución. Dado que la carga es la misma en los condensadores 1 y 2 conectados en serie, la relación se cumple

.

Se debe mantener una relación similar para los capacitores 3 y 4:

.

A entre los puntos y no había diferencia de potencial, es necesario que las igualdades

y

. Dividiendo término por término las razones que expresan la igualdad de cargas y reduciendo por igual las diferencias de potencial, obtenemos

.

capacitancia mutua

Ejemplo 7.7.

Hay dos conductores muy separados. La capacidad de uno C 1 , su carga q una . Capacitancia del segundo conductor C 2, cargo q 2. Condensador inicialmente descargado DE conectado con alambres delgados a estos conductores. Encuentra la carga q condensador C.

R

solución. Después de conectar el capacitor y establecer el equilibrio electrostático, las cargas y potenciales de los conductores y las placas del capacitor serán como se muestra en la figura. Los potenciales de conductores remotos estarán relacionados con las cargas sobre ellos por las relaciones:

,

. Para el voltaje a través del capacitor, escribimos la relación:

a partir del cual se puede obtener algebraicamente el valor de la carga del capacitor y presentarlo en la forma.

PROBLEMA 1. El espacio entre las placas de un capacitor plano se llena sin dejar espacio con dos capas de dieléctrico paralelas a las placas. La primera capa es de porcelana gruesa. d 1 = 2 mm, el segundo - ebonita gruesa
d 2 = 1,5 mm. Determinar la capacidad C tal condensador, si el área de las placas S\u003d 100 cm 2.

ANÁLISIS. Para resolver el problema, representamos un capacitor con dieléctricos como dos capacitores conectados en serie. El voltaje a través del capacitor es tu= tu 1 +T 2, donde tu 1 y tu 2 - voltajes en capas dieléctricas. Para encontrar la capacitancia de un capacitor DE, Necesitas saber tu 1 y tu 2. Para ello, se debe utilizar la relación entre la fuerza y ​​el potencial y las condiciones en la interfaz entre dos dieléctricos, y también tener en cuenta que la componente normal del vector de desplazamiento no cambia al cruzar la interfaz.

SOLUCIÓN. La capacitancia del capacitor es C= q/tu= q/(tu 1 +T 2), (2.3.1)

dónde q- placa de carga (Fig. 2.3.1).

El campo dentro del capacitor es uniforme, por lo que la relación entre la fuerza y ​​el potencial da

tu 1 = mi 1 d 1 , tu 2 = mi 2 d 2; es por eso .

El vector de intensidad está relacionado con el vector de desplazamiento eléctrico por la relación o .

Porque el

Donde está la densidad de carga superficial, obtenemos

Comprobemos la dimensión: .

Sustituyendo los valores, obtenemos:

RESPONDER: DE= 98,3 pF.

PROBLEMA 2. Dos condensadores planos de la misma capacidad eléctrica ( C 1 = C 2) conectado en una batería en serie y conectado a una fuente de corriente con fuerza electromotriz. ¿Cómo cambiará la diferencia de potencial tu 1 en las placas del primer condensador, si el espacio entre las placas del segundo condensador, sin apagar la fuente de corriente, se llena con un dieléctrico con una permitividad e = 7 (Fig. 2.3.2)?

ANÁLISIS. Antes de llenar el segundo capacitor con un dieléctrico, la diferencia de potencial en las placas de ambos capacitores era la misma

Después del llenado, la fuente de corriente no se apagó, por lo que la diferencia de potencial total en el banco de capacitores permaneció igual, solo se redistribuyó entre los capacitores. Dado que la capacitancia del segundo capacitor ha aumentado e veces, puede encontrar una nueva diferencia de potencial en el primer capacitor.

SOLUCIÓN. Después de llenar con un dieléctrico, las diferencias de potencial entre los capacitores se igualaron.

, (2.3.2.)

dónde q es la carga en la placa del condensador, q¹ q 0 , la capacitancia del primer capacitor no ha cambiado, C 1 ¢ = C 1 = C.

Desde en conexión en serie la carga de los capacitores en cada placa y en toda la batería es la misma, entonces donde

entonces (2.3.3)

Sustituyendo (2.3.3) en (2.3.2), obtenemos

La proporción deseada es

RESPONDER:

PROBLEMA 3. El radio del núcleo central de un cable coaxial es de 1,5 cm, el radio de la cubierta es de 3,5 cm. Se aplica una diferencia de potencial de 2300 V entre el núcleo central y la cubierta. Calcular la intensidad del campo eléctrico a distancia de 2 cm del eje del cable.

ANÁLISIS. El cable se puede comparar con un condensador cilíndrico. Campo eléctrico solo se crea el residencial central. La intensidad de este campo debe definirse como la intensidad del campo de un filamento con carga infinita.

SOLUCIÓN. La intensidad de campo del cable es

.(2.3.4)

El cable está cargado uniformemente, por lo que t = q/ .

La carga se puede determinar si se conoce la capacitancia del capacitor. C, q= CU 0, entonces t= CU 0 / . (2.3.5)

Se sabe que la capacitancia de un capacitor cilíndrico está determinada por la fórmula: (2.3.6)

Usando las expresiones (2.3.5) y (2.3.6) obtenemos . (2.3.7)

Sustituimos (2.3.7) en la igualdad (2.3.4):

La corrección de la fórmula en términos de dimensión es obvia. Sustituyendo los valores, obtenemos

PROBLEMA 4. Piso condensador de aire con área de placa S\u003d 500 cm 2, conectado a una fuente de corriente, cuyo EMF ξ \u003d 300 V. Determine el trabajo PERO fuerzas externas para separar las placas de la distancia d 1 = 1 cm antes d 2 \u003d 3 cm en dos casos: a) las placas se desconectan de la fuente de corriente antes de separarse; b) las placas en proceso de extensión permanecen conectadas a él.

ANÁLISIS. En el primer caso, el sistema de dos placas cargadas y desconectadas de la fuente de corriente puede considerarse como un sistema aislado, en relación con el cual es válida la ley de conservación de la energía. En este caso, el trabajo de las fuerzas externas es igual al cambio en la energía del sistema. , dónde W 2 – la energía del campo del condensador en el estado final (con la distancia entre las placas d 2), W 1 – la energía del campo del condensador en el estado inicial ( d= d 1).

En el segundo caso, las placas quedan conectadas a la fuente de corriente, y el sistema de dos placas ya no está aislado (la carga de las placas, cuando se separan, se traslada a los terminales de la batería). La diferencia de potencial permanece sin cambios cuando las placas se separan tu= ξ. En este caso y tu= constante,a C está cambiando. Capacitancia de capacitor plano C= mi 0 S/d disminuirá, por lo tanto, la carga en las placas disminuirá, q= CU, y la intensidad de campo del condensador mi= Ud.

En este caso, calculamos el trabajo como una integral , (2.3.8)

dónde mi 1 – la fuerza del campo creado por la carga de una placa.

SOLUCIÓN. En el primero caso, la carga q de cada una de las placas desconectadas de la fuente no cambia cuando se separan, q = C 1 x .

La energía del campo eléctrico del capacitor es

es por eso . (2.3.9)

Las capacidades eléctricas son iguales respectivamente (2.3.10)

Sustituyendo (2.3.10) en (2.3.9), obtenemos

Comprobemos la dimensión: .

Sustituyendo los valores, obtenemos .

Considerar segundo caso

Expresemos la tensión mi 1 campo y carga q a través de la distancia X entre las placas (Fig. 2.3.3).

(2.3.11)

. (2.3.12)

Sustituyendo las expresiones (2.3.11) y (2.3.12) en la fórmula (2.3.8), obtenemos

Comprobemos la dimensión: . Sustituyendo los valores, obtenemos

RESPONDER:

Dos placas planas paralelas entre sí y separadas por un dieléctrico forman un capacitor plano. Este es el representante más simple de los condensadores, que están diseñados para almacenar energía diferente. Si a las placas se les da una carga de igual magnitud, pero diferente en magnitud, entonces los campos entre los conductores se duplicarán. La relación entre la carga de uno de los conductores y el voltaje entre las placas del capacitor se llama capacidad eléctrica:

Si la disposición de las placas no cambia, entonces se puede considerar una constante para cualquier carga de los conductores. En el sistema internacional de medidas, la unidad de capacidad eléctrica es Farad (F). Un capacitor plano tiene una fuerza igual a la suma de las fuerzas creadas por los conductores (E 1 +E 2 ... + E n ). Cantidades vectoriales. El valor de la capacidad eléctrica es directamente proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la distancia entre ellas. Esto significa que para aumentar la capacitancia del capacitor, es necesario agrandar el área de las placas, al mismo tiempo que se reduce la distancia entre ellas. Dependiendo del dieléctrico utilizado, un capacitor plano puede ser:

• Papel.
• Mica.
• Poliestireno.
• Cerámico.
• Aire.

Considere el principio del dispositivo utilizando el ejemplo de un condensador de papel. En este caso se utiliza papel tratado con parafina como dieléctrico. Se coloca un dieléctrico entre dos tiras de lámina, que actúan como conductores. Toda la estructura se enrolla en un rollo, en el que se insertan cables para conectar.Este modelo se coloca en una caja de cerámica o metal. Un capacitor de aire plano y otros tipos de dispositivos de almacenamiento de carga tienen un diseño similar, solo los materiales que dan nombre al capacitor se usan como medio dieléctrico. Al resolver problemas en los que es necesario encontrar las cantidades requeridas, no olvide usar el valor que caracteriza al dieléctrico: permitividad ambiente.

Los condensadores líquidos y líquidos secos se utilizan en ingeniería de radio.Los condensadores líquidos son en los que se coloca una placa de aluminio oxidado. Esta sustancia se encuentra en una caja de metal. El electrolito utilizado es una solución de ácido bórico y algunas otras mezclas. La vista en seco de las unidades se realiza doblando tres cintas, una de las cuales es de aluminio, la otra es de metal, y entre ellas hay una capa de gasa impregnada con un electrolito viscoso. El rollo se coloca en una caja de aluminio y se llena con betún. El capacitor plano tiene una amplia gama de aplicaciones y bajo costo. Desafortunadamente, estos modelos no reemplazarán las baterías para nosotros, porque la energía de un capacitor plano es muy pequeña y la carga se "fuga" muy rápidamente. No son adecuados como fuentes de electricidad, pero tienen una ventaja: cuando se cargan a través de un circuito de baja resistencia, liberan instantáneamente la energía acumulada.