Ano ang tinatawag na sistema ng mga equation. Mga sistema ng equation

Ang materyal ng artikulong ito ay inilaan para sa unang kakilala sa mga sistema ng mga equation. Dito ipinakilala namin ang kahulugan ng isang sistema ng mga equation at ang mga solusyon nito, at isinasaalang-alang din ang mga pinakakaraniwang uri ng mga sistema ng mga equation. Gaya ng dati, magbibigay kami ng mga paliwanag na halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang sistema ng mga equation?

Unti-unti nating lalapitan ang kahulugan ng sistema ng mga equation. Una, sabihin na lang natin na maginhawang ibigay ito, na itinuturo ang dalawang punto: una, ang uri ng talaan, at, pangalawa, ang kahulugang naka-embed sa talaang ito. Isaalang-alang natin ang mga ito, at pagkatapos ay gawing pangkalahatan ang pangangatwiran sa kahulugan ng mga sistema ng mga equation.

Hayaan natin ang ilan sa kanila sa harap natin. Halimbawa, kunin natin ang dalawang equation 2 x+y=−3 at x=5 . Isinulat namin ang mga ito sa ilalim ng isa at pinagsama ang mga ito sa isang kulot na bracket sa kaliwa:

Ang mga rekord ng ganitong uri, na ilang mga equation na nakaayos sa isang hanay at pinagsama sa kaliwa na may kulot na bracket, ay mga talaan ng mga sistema ng mga equation.

Ano ang ibig sabihin ng gayong mga tala? Tinukoy nila ang hanay ng lahat ng naturang solusyon ng mga equation ng system, na siyang solusyon ng bawat equation.

Hindi masakit na ilarawan ito sa ibang salita. Ipagpalagay na ang ilang mga solusyon sa unang equation ay mga solusyon sa lahat ng iba pang mga equation ng system. At kaya ang talaan ng system ay itinatalaga din sila.

Ngayon ay handa na kaming sapat na tanggapin ang kahulugan ng isang sistema ng mga equation.

Kahulugan.

Mga sistema ng equation ay tinatawag na mga tala, na mga equation na matatagpuan sa ibaba ng isa, pinagsama sa kaliwa ng isang kulot na bracket, na tumutukoy sa hanay ng lahat ng mga solusyon ng mga equation na sabay-sabay na mga solusyon sa bawat equation ng system.

Ang isang katulad na kahulugan ay ibinigay sa aklat-aralin, ngunit doon ito ay ibinigay hindi para sa pangkalahatang kaso, ngunit para sa dalawang rational equation sa dalawang variable.

Mga pangunahing uri

Malinaw na mayroong walang katapusang maraming magkakaibang mga equation. Naturally, mayroon ding walang katapusang maraming mga sistema ng mga equation na pinagsama-sama gamit ang mga ito. Samakatuwid, para sa kaginhawaan ng pag-aaral at pagtatrabaho sa mga sistema ng mga equation, makatuwiran na hatiin ang mga ito sa mga grupo ayon sa magkatulad na mga katangian, at pagkatapos ay magpatuloy upang isaalang-alang ang mga sistema ng mga equation ng mga indibidwal na uri.

Ang unang subdibisyon ay nagmumungkahi ng sarili sa pamamagitan ng bilang ng mga equation na kasama sa system. Kung mayroong dalawang equation, maaari nating sabihin na mayroon tayong sistema ng dalawang equation, kung mayroong tatlo, pagkatapos ay isang sistema ng tatlong equation, atbp. Malinaw na walang saysay na pag-usapan ang tungkol sa isang sistema ng isang equation, dahil sa kasong ito, sa katunayan, ang equation mismo ang ating tinatalakay, at hindi sa system.

Ang susunod na dibisyon ay batay sa bilang ng mga variable na kasangkot sa pagsulat ng mga equation ng system. Kung mayroong isang variable, kung gayon nakikipag-usap tayo sa isang sistema ng mga equation na may isang variable (sinasabi rin nila na may isang hindi alam), kung mayroong dalawa, pagkatapos ay may isang sistema ng mga equation na may dalawang variable (na may dalawang hindi alam), atbp. Halimbawa, ay isang sistema ng mga equation na may dalawang variable na x at y .

Ito ay tumutukoy sa bilang ng lahat ng iba't ibang variable na kasangkot sa talaan. Hindi kailangang isama ang mga ito nang sabay-sabay sa talaan ng bawat equation, sapat na ang mga ito sa kahit isang equation. Hal, ay isang sistema ng mga equation na may tatlong variable na x, y, at z. Sa unang equation, ang variable na x ay tahasang naroroon, habang ang y at z ay implicit (maaari nating ipagpalagay na ang mga variable na ito ay may zero), at sa pangalawang equation, ang x at z ay naroroon, at ang variable na y ay hindi tahasang kinakatawan. Sa madaling salita, ang unang equation ay maaaring tingnan bilang , at ang pangalawa bilang x+0 y−3 z=0 .

Ang ikatlong punto kung saan naiiba ang mga sistema ng mga equation ay ang anyo ng mga equation mismo.

Sa paaralan, ang pag-aaral ng mga sistema ng mga equation ay nagsisimula sa sistema ng dalawa linear na equation na may dalawang variable. Iyon ay, ang mga naturang sistema ay bumubuo ng dalawang linear na equation. Ito ang ilang mga halimbawa: At . Sa kanila, ang mga pangunahing kaalaman sa pagtatrabaho sa mga sistema ng mga equation ay natutunan.

Kapag nilulutas ang mas kumplikadong mga problema, maaari ding makatagpo ng mga sistema ng tatlong linear equation na may tatlong hindi alam.

Dagdag pa sa ika-9 na baitang, ang mga nonlinear na equation ay idinaragdag sa mga sistema ng dalawang equation na may dalawang variable, para sa karamihan ng buong equation ng pangalawang degree, mas madalas na mas mataas na degree. Ang mga sistemang ito ay tinatawag na mga sistema ng nonlinear equation; kung kinakailangan, ang bilang ng mga equation at hindi alam ay tinukoy. Magpakita tayo ng mga halimbawa ng gayong mga sistema ng mga nonlinear na equation: At .

At pagkatapos ay sa mga sistema mayroon ding, halimbawa,. Ang mga ito ay karaniwang tinatawag na mga sistema ng mga equation, nang hindi tinukoy kung aling mga equation. Narito ito ay nagkakahalaga ng pagpuna na kadalasan ay sinasabi lang nila ang "sistema ng mga equation" tungkol sa isang sistema ng mga equation, at ang mga pagpipino ay idinagdag lamang kung kinakailangan.

Sa mataas na paaralan, habang pinag-aaralan ang materyal, ang hindi makatwiran, trigonometric, logarithmic at exponential equation ay tumagos sa mga system: , , .

Kung titingnan mo pa ang programa ng mga unang kurso ng mga unibersidad, kung gayon ang pangunahing diin ay ang pag-aaral at solusyon ng mga sistema ng linear algebraic equation (SLAE), iyon ay, mga equation, sa kaliwang bahagi nito ay mga polynomial ng unang degree, at sa kanan - ilang mga numero. Ngunit doon, hindi tulad ng paaralan, hindi dalawang linear na equation na may dalawang variable ang nakuha na, ngunit isang arbitrary na bilang ng mga equation na may arbitrary na bilang ng mga variable, kadalasang hindi nagtutugma sa bilang ng mga equation.

Ano ang solusyon ng isang sistema ng mga equation?

Ang terminong "solusyon ng isang sistema ng mga equation" ay direktang tumutukoy sa mga sistema ng mga equation. Ang paaralan ay nagbibigay ng kahulugan ng paglutas ng isang sistema ng mga equation na may dalawang variable :

Kahulugan.

Paglutas ng isang sistema ng mga equation na may dalawang variable tinatawag ang isang pares ng mga halaga ng mga variable na ito, na ginagawang tama ang bawat equation ng system, sa madaling salita, na siyang solusyon sa bawat equation ng system.

Halimbawa, ang isang pares ng mga variable na halaga x=5 , y=2 (maaari itong isulat bilang (5, 2) ) ay isang solusyon sa isang sistema ng mga equation ayon sa kahulugan, dahil ang mga equation ng system, kapag x= Ang 5 , y=2 ay inihahalili sa mga ito, maging tunay na pagkakapantay-pantay ng numero 5+2=7 at 5−2=3 ayon sa pagkakabanggit. Ngunit ang pares ng mga halaga x=3 , y=0 ay hindi isang solusyon sa sistemang ito, dahil kapag ang mga halagang ito ay pinalitan sa mga equation, ang una sa kanila ay magiging isang hindi tamang pagkakapantay-pantay 3+0=7 .

Ang mga katulad na kahulugan ay maaaring buuin para sa mga system na may isang variable, gayundin para sa mga system na may tatlo, apat, atbp. mga variable.

Kahulugan.

Paglutas ng isang sistema ng mga equation na may isang variable magkakaroon ng variable na halaga na siyang ugat ng lahat ng equation ng system, iyon ay, na ginagawang tunay na mga equation ang lahat ng equation.

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Isaalang-alang ang isang sistema ng mga equation na may isang variable na t ng anyo . Ang numerong −2 ay ang solusyon nito, dahil pareho ang (−2) 2 =4 at 5·(−2+2)=0 ay mga tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. At ang t=1 ay hindi isang solusyon sa sistema, dahil ang pagpapalit ng halagang ito ay magbibigay ng dalawang maling pagkakapantay-pantay 1 2 =4 at 5·(1+2)=0 .

Kahulugan.

Ang solusyon ng isang sistema na may tatlo, apat, atbp. mga variable tinatawag na triple, quadruple, atbp. mga halaga ng mga variable, ayon sa pagkakabanggit, na nagko-convert ng lahat ng mga equation ng system sa mga tunay na pagkakapantay-pantay.

Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan, ang triple ng mga halaga ng mga variable x=1 , y=2 , z=0 ay ang solusyon sa system , dahil ang 2 1=2 , 5 2=10 at 1+2+0=3 ay mga tamang pagkakapantay-pantay sa numero. At ang (1, 0, 5) ay hindi isang solusyon sa sistemang ito, dahil kapag ang mga halaga ng mga variable na ito ay pinalitan sa mga equation ng system, ang pangalawa sa kanila ay nagiging isang hindi tamang pagkakapantay-pantay 5 0=10 , at ang pangatlo. ang isa ay 1+0+5=3 .

Tandaan na ang mga sistema ng mga equation ay maaaring walang mga solusyon, maaaring may limitadong bilang ng mga solusyon, halimbawa, isa, dalawa, ..., o maaaring may walang katapusang maraming solusyon. Makikita mo ito habang mas malalim ang iyong pag-aaral sa paksa.

Isinasaalang-alang ang mga kahulugan ng isang sistema ng mga equation at ang kanilang mga solusyon, maaari nating tapusin na ang solusyon ng isang sistema ng mga equation ay ang intersection ng mga hanay ng mga solusyon ng lahat ng mga equation nito.

Upang tapusin, narito ang ilang nauugnay na kahulugan:

Kahulugan.

hindi magkatugma kung wala itong mga solusyon, kung hindi man ang sistema ay tinatawag magkadugtong.

Kahulugan.

Ang sistema ng mga equation ay tinatawag hindi sigurado kung mayroon itong walang katapusang maraming solusyon, at tiyak, kung ito ay may hangganan na bilang ng mga solusyon, o wala man lang.

Ang mga terminong ito ay ipinakilala, halimbawa, sa isang aklat-aralin, ngunit bihira itong ginagamit sa paaralan, mas madalas na maririnig ang mga ito sa mas mataas na institusyong pang-edukasyon.

Bibliograpiya.

Algebra: aklat-aralin para sa 7 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-17 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 240 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: Baitang 9: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2009. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A. G. Algebra. ika-7 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 17th ed., idagdag. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
Mordkovich A. G. Algebra. Baitang 9 Sa 2 pm Part 1. Textbook para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ika-13 ed., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A. G. Algebra at simula ng mathematical analysis. Baitang 11. Sa alas-2. Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon ( antas ng profile) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2nd ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.
Algebra at simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn at iba pa; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
A. G. Kurosh. Kurso ng mas mataas na algebra.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytic geometry: Teksbuk: Para sa mga unibersidad. – ika-5 ed. – M.: Agham. Fizmatlit, 1999. - 224 p. – (Kurso ng mas mataas na matematika at mathematical physics). – ISBN 5-02-015234 – X (Isyu 3)

Sa araling ito, isasaalang-alang natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation. Sa kurso ng mas mataas na matematika, ang mga sistema ng mga linear na equation ay kinakailangang malutas pareho sa anyo ng magkahiwalay na mga gawain, halimbawa, "Lutasin ang system gamit ang mga formula ng Cramer", at sa kurso ng paglutas ng iba pang mga problema. Kailangang harapin ng isang tao ang mga sistema ng linear equation sa halos lahat ng sangay ng mas mataas na matematika.

Una, isang maliit na teorya. Ano ang ibig sabihin ng mathematical word na "linear" sa kasong ito? Nangangahulugan ito na sa mga equation ng system Lahat mga variable ay kasama sa unang antas: walang magarbong bagay tulad atbp., kung saan ang mga kalahok lamang ng mga mathematical Olympiad ang natutuwa.

Sa mas mataas na matematika, hindi lamang mga titik na pamilyar mula sa pagkabata ang ginagamit upang magtalaga ng mga variable.
Ang isang medyo popular na opsyon ay mga variable na may mga indeks: .
O ang mga unang titik ng alpabetong Latin, maliit at malaki:
Ito ay hindi napakabihirang makahanap ng mga titik na Griyego: - kilalang-kilala ng maraming "alpha, beta, gamma". At isang set din na may mga indeks, sabihin, na may titik na "mu":

Ang paggamit ng isa o ibang hanay ng mga titik ay nakasalalay sa sangay ng mas mataas na matematika kung saan tayo ay nahaharap sa isang sistema ng mga linear na equation. Kaya, halimbawa, sa mga sistema ng mga linear na equation na nakatagpo sa paglutas ng mga integral, differential equation tradisyonal na ginagamit na notasyon

Ngunit gaano man itinalaga ang mga variable, ang mga prinsipyo, pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation ay hindi nagbabago mula rito. Kaya, kung nakatagpo ka ng isang bagay na kakila-kilabot tulad ng, huwag magmadali upang isara ang libro ng problema sa takot, pagkatapos ng lahat, sa halip maaari mong iguhit ang araw, sa halip - isang ibon, at sa halip - isang mukha (ng isang guro). At, kakaiba, ang isang sistema ng mga linear na equation na may mga notasyong ito ay maaari ding lutasin.

Isang bagay na mayroon akong isang premonition na ang artikulo ay magiging medyo mahaba, kaya isang maliit na talaan ng mga nilalaman. Kaya, ang sunud-sunod na "debriefing" ay magiging ganito:

– Paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit (“paraan ng paaralan”);
– Solusyon ng system sa pamamagitan ng paraan ng term-by-term na karagdagan (pagbabawas) ng mga equation ng system;
– Solusyon ng system sa pamamagitan ng mga formula ng Cramer;
– Solusyon ng system gamit ang inverse matrix;
– Solusyon ng system sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss.

Ang lahat ay pamilyar sa mga sistema ng mga linear na equation mula sa kursong matematika ng paaralan. Sa katunayan, nagsisimula tayo sa pag-uulit.

Paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit

Ang pamamaraang ito maaari ding tawaging "paraan ng paaralan" o ang paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam. Sa matalinghagang pagsasalita, maaari din itong tawaging "kalahating tapos na pamamaraan ng Gauss."

Halimbawa 1

Narito mayroon kaming isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam. Tandaan na ang mga libreng termino (mga numero 5 at 7) ay matatagpuan sa kaliwang bahagi ng equation. Sa pangkalahatan, hindi mahalaga kung nasaan sila, sa kaliwa o sa kanan, ngunit sa mga problema sa mas mataas na matematika ay madalas silang matatagpuan sa ganoong paraan. At ang naturang talaan ay hindi dapat nakakalito, kung kinakailangan, ang sistema ay maaaring palaging nakasulat "gaya ng dati":. Huwag kalimutan na kapag naglilipat ng isang termino mula sa bahagi patungo sa bahagi, kailangan mong baguhin ang sign nito.

Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation? Ang paglutas ng isang sistema ng mga equation ay nangangahulugan ng paghahanap ng hanay ng mga solusyon nito. Ang solusyon ng system ay isang hanay ng mga halaga ng lahat ng mga variable na kasama dito, na ginagawang tunay na pagkakapantay-pantay ang BAWAT equation ng system. Bilang karagdagan, ang sistema ay maaaring hindi magkatugma (walang solusyon).Huwag kang mahiya, ito ay isang pangkalahatang kahulugan =) Magkakaroon lamang tayo ng isang halaga ng "x" at isang halaga ng "y", na nagbibigay-kasiyahan sa bawat equation sa-tayo.

Mayroong isang graphical na pamamaraan para sa paglutas ng system, na matatagpuan sa aralin. Ang pinakasimpleng problema sa isang tuwid na linya. Doon ko napag-usapan geometric na kahulugan sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi alam. Ngunit ngayon sa bakuran ay ang panahon ng algebra, at mga numero-numero, aksyon-aksyon.

Kami ang magdedesisyon: mula sa unang equation na ipinapahayag namin:
Pinapalitan namin ang nagresultang expression sa pangalawang equation:

Binubuksan namin ang mga bracket, nagbibigay ng mga katulad na termino at hanapin ang halaga:

Susunod, naaalala namin kung ano ang kanilang sinayaw:
Alam na natin ang halaga, nananatili itong hanapin:

Sagot:

Matapos malutas ang ANUMANG sistema ng mga equation sa ANUMANG paraan, lubos kong inirerekomenda ang pagsuri (pasalita, sa isang draft o calculator). Sa kabutihang palad, ito ay ginagawa nang mabilis at madali.

1) Palitan ang nahanap na sagot sa unang equation:

- ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

2) Pinapalitan namin ang nahanap na sagot sa pangalawang equation:

- ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

O, sa madaling salita, "nagsama-sama ang lahat"

Ang itinuturing na paraan ng solusyon ay hindi lamang isa; mula sa unang equation posible na ipahayag ang , ngunit hindi .
Maaari mong vice versa - ipahayag ang isang bagay mula sa pangalawang equation at palitan ito sa unang equation. Sa pamamagitan ng paraan, tandaan na ang pinakamasama sa apat na paraan ay ang pagpapahayag mula sa pangalawang equation:

Ang mga fraction ay nakuha, ngunit bakit ito? Mayroong mas makatwirang solusyon.

Gayunpaman, sa ilang mga kaso, ang mga fraction ay kailangan pa rin. Sa bagay na ito, iginuhit ko ang iyong pansin sa PAANO ko isinulat ang expression. Hindi ganito: at hindi ganito: .

Kung sa mas mataas na matematika ikaw ay nakikitungo sa mga fractional na numero, pagkatapos ay subukan na isakatuparan ang lahat ng mga kalkulasyon sa ordinaryong hindi wastong mga fraction.

Eksakto, hindi o!

Ang kuwit ay maaari lamang gamitin paminsan-minsan, lalo na kung - ito ang panghuling sagot sa ilang problema, at walang karagdagang pagkilos ang kailangang gawin sa numerong ito.

Marahil naisip ng maraming mambabasa na "bakit ang isang detalyadong paliwanag, tulad ng para sa isang klase ng pagwawasto, at ang lahat ay malinaw". Wala sa uri, ito ay tila isang simpleng halimbawa ng paaralan, ngunit gaano karaming NAPAKAMAHALAANG konklusyon! Narito ang isa pa:

Ang anumang gawain ay dapat pagsikapang matapos sa pinaka makatwirang paraan.. Kung dahil lamang sa nakakatipid ito ng oras at nerbiyos, at binabawasan din ang posibilidad na magkamali.

Kung sa isang gawain sa mas mataas na matematika ay nakatagpo ka ng isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam, pagkatapos ay maaari mong palaging gamitin ang paraan ng pagpapalit (maliban kung ito ay ipinahiwatig na ang sistema ay kailangang lutasin ng ibang paraan) ".
Bukod dito, sa ilang mga kaso, ang paraan ng pagpapalit ay ipinapayong gamitin sa mas malaking bilang ng mga variable.

Halimbawa 2

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation na may tatlong hindi alam

Ang isang katulad na sistema ng mga equation ay madalas na lumitaw kapag gumagamit ng tinatawag na paraan ng mga hindi tiyak na coefficient, kapag nakita natin ang integral ng isang rational fractional function. Ang sistemang pinag-uusapan ay kinuha ko mula doon.

Kapag hinahanap ang integral - ang layunin mabilis hanapin ang mga halaga ng mga coefficient, at hindi maging sopistikado sa mga formula ng Cramer, ang pamamaraan baligtad na matris atbp. Samakatuwid, sa kasong ito, ang paraan ng pagpapalit ay angkop.

Kapag ang anumang sistema ng mga equation ay ibinigay, una sa lahat ito ay kanais-nais na malaman, ngunit posible bang pasimplehin ito AGAD? Sa pagsusuri ng mga equation ng system, napansin namin na ang pangalawang equation ng system ay maaaring hatiin ng 2, na ginagawa namin:

Sanggunian: ang isang simbolo ng matematika ay nangangahulugang "mula dito ay sumusunod dito", madalas itong ginagamit sa kurso ng paglutas ng mga problema.

Ngayon sinusuri namin ang mga equation, kailangan naming ipahayag ang ilang mga variable sa pamamagitan ng natitira. Aling equation ang pipiliin? Marahil ay nahulaan mo na na ang pinakamadaling paraan para sa layuning ito ay kunin ang unang equation ng system:

Dito, hindi mahalaga kung aling variable ang ipahayag, maaari ding ipahayag ng isa o .

Susunod, pinapalitan namin ang expression para sa pangalawa at pangatlong equation ng system:

Buksan ang mga bracket at magdagdag ng mga katulad na termino:

Hinahati namin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng 2:

Mula sa pangalawang equation, ipinapahayag at pinapalitan natin ang ikatlong equation:

Halos lahat ay handa na, mula sa ikatlong equation na makikita natin:
Mula sa pangalawang equation:
Mula sa unang equation:

Suriin: Palitan ang mga nahanap na halaga ng mga variable sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng system:

1)
2)
3)

Ang kaukulang kanang bahagi ng mga equation ay nakuha, kaya ang solusyon ay matatagpuan nang tama.

Halimbawa 3

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation na may 4 na hindi alam

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili (sagutin sa katapusan ng aralin).

Solusyon ng system sa pamamagitan ng termino-by-term na karagdagan (pagbabawas) ng mga equation ng system

Sa kurso ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation, dapat subukan na gamitin hindi ang "paraan ng paaralan", ngunit ang paraan ng termino-by-term na pagdaragdag (pagbabawas) ng mga equation ng system. Bakit? Makakatipid ito ng oras at pinapasimple ang mga kalkulasyon, gayunpaman, ngayon ay magiging mas malinaw ito.

Halimbawa 4

Lutasin ang sistema ng mga linear equation:

Kinuha ko ang parehong sistema tulad ng unang halimbawa.
Sa pagsusuri sa sistema ng mga equation, mapapansin natin na ang mga koepisyent ng variable ay magkapareho sa ganap na halaga at magkasalungat sa sign (–1 at 1). Sa sitwasyong ito, maaaring idagdag ang mga equation sa pamamagitan ng termino:

Isinasagawa ang mga aksyon na binilogan ng pula.
Tulad ng nakikita mo, bilang resulta ng termwise na karagdagan, nawala namin ang variable . Ito, sa katunayan, ay ang kakanyahan ng pamamaraan ay upang mapupuksa ang isa sa mga variable.

Lutasin ang sistema na may dalawang hindi alam - nangangahulugan ito ng paghahanap ng lahat ng mga pares ng mga variable na halaga na nakakatugon sa bawat isa sa mga ibinigay na equation. Ang bawat ganoong pares ay tinatawag solusyon sa sistema.

Halimbawa:
Ang pares ng mga halaga $x=3$;$y=-1$ ay isang solusyon sa unang sistema, dahil sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga triple at minus na ito sa system sa halip na $x$ at \ (y\), ang parehong equation ay naging wastong equalities $\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases) $

Ngunit $x=1$; $y=-2$ - ay hindi solusyon sa unang sistema, dahil pagkatapos ng pagpapalit ang pangalawang equation "ay hindi nagtatagpo" $\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)$

Tandaan na ang mga ganitong pares ay kadalasang isinusulat nang mas maikli: sa halip na "$x=3$; $y=-1$" sumusulat sila ng ganito: $(3;-1)$.

Paano malutas ang isang sistema ng mga linear na equation?

Mayroong tatlong pangunahing paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation:

Pamamaraan ng pagpapalit.

$\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)$$\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)$$\Leftrightarrow$

Ipalit ang resultang expression sa halip na ang variable na ito sa isa pang equation ng system.

$\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)$$\Leftrightarrow$

$\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)$

Sa pangalawang equation, ang bawat termino ay pantay, kaya pinapasimple namin ang equation sa pamamagitan ng paghahati nito sa $2$.

$\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)$

Ang sistemang ito ay maaaring malutas sa alinman sa mga paraan, ngunit tila sa akin na ang paraan ng pagpapalit ay ang pinaka-maginhawa dito. Ipahayag natin ang y mula sa pangalawang equation.

$\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)$

Palitan ang $6x-13$ para sa $y$ sa unang equation.

$\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)$

Ang unang equation ay naging normal. Solusyonan natin ito.

Buksan muna natin ang mga panaklong.

$\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)$

Ilipat natin ang $117$ sa kanan at magbigay ng mga katulad na termino.

$\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)$

Hatiin ang magkabilang panig ng unang equation sa $67$.

$\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)$

Hooray, nakita namin ang $x$! Palitan ang halaga nito sa pangalawang equation at hanapin ang $y$.

$\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)$$\Leftrightarrow$$\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )$

Isulat natin ang sagot.

Sa video na ito, sinisimulan ko ang isang serye ng mga aralin sa mga sistema ng mga equation. Ngayon ay pag-uusapan natin ang tungkol sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation paraan ng pagdaragdag- ay isa sa pinaka mga simpleng paraan ngunit isa rin sa pinaka-epektibo.

Ang paraan ng pagdaragdag ay binubuo ng tatlong simpleng hakbang:

Tingnan ang system at pumili ng variable na may parehong (o kabaligtaran) na mga coefficient sa bawat equation;
Magsagawa ng algebraic subtraction (para sa magkasalungat na numero - karagdagan) ng mga equation mula sa isa't isa, at pagkatapos ay magdala ng mga katulad na termino;
Lutasin ang bagong equation na nakuha pagkatapos ng ikalawang hakbang.

Kung ang lahat ay tapos na nang tama, pagkatapos ay sa output makakakuha tayo ng isang solong equation na may isang variable- Hindi ito magiging mahirap lutasin. Pagkatapos ay nananatili lamang na palitan ang natagpuang ugat sa orihinal na sistema at makuha ang huling sagot.

Gayunpaman, sa pagsasagawa ito ay hindi gaanong simple. Mayroong ilang mga dahilan para dito:

Ang paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng karagdagan ay nagpapahiwatig na ang lahat ng mga hilera ay dapat maglaman ng mga variable na may pareho/kasalungat na coefficient. Paano kung hindi matugunan ang pangangailangang ito?
Hindi palaging, pagkatapos magdagdag / magbawas ng mga equation sa ganitong paraan, makakakuha tayo ng magandang konstruksyon na madaling malutas. Posible bang gawing simple ang mga kalkulasyon at pabilisin ang mga kalkulasyon?

Upang makakuha ng sagot sa mga tanong na ito, at sa parehong oras upang harapin ang ilang karagdagang mga subtleties na maraming mga mag-aaral "nahuhulog", panoorin ang aking video tutorial:

Sa araling ito, magsisimula tayo ng isang serye ng mga lektura sa mga sistema ng mga equation. At magsisimula tayo sa pinakasimpleng sa kanila, lalo na ang mga naglalaman ng dalawang equation at dalawang variable. Ang bawat isa sa kanila ay magiging linear.

Ang mga system ay isang materyal sa ika-7 baitang, ngunit ang araling ito ay magiging kapaki-pakinabang din para sa mga mag-aaral sa high school na gustong mag-ayos ng kanilang kaalaman sa paksang ito.

Sa pangkalahatan, mayroong dalawang pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang sistema:

Paraan ng pagdaragdag;
Isang paraan ng pagpapahayag ng isang variable sa mga tuntunin ng isa pa.

Ngayon ay haharapin natin ang unang paraan - gagamitin natin ang paraan ng pagbabawas at pagdaragdag. Ngunit para dito kailangan mong maunawaan ang sumusunod na katotohanan: sa sandaling mayroon ka ng dalawa o higit pang mga equation, maaari mong kunin ang alinman sa dalawa sa mga ito at pagsamahin ang mga ito. Ang mga ito ay idinagdag na termino sa pamamagitan ng termino, i.e. Ang "Xs" ay idinaragdag sa "Xs" at ang mga katulad ay ibinibigay;

Ang mga resulta ng naturang mga machinations ay magiging isang bagong equation, na, kung ito ay may mga ugat, sila ay tiyak na kabilang sa mga ugat ng orihinal na equation. Kaya't ang aming gawain ay gawin ang pagbabawas o karagdagan sa paraang mawala ang alinman sa $x$ o $y$.

Paano makamit ito at kung anong tool ang gagamitin para dito - pag-uusapan natin ito ngayon.

Paglutas ng mga madaling problema gamit ang paraan ng pagdaragdag

Kaya, natututo kaming ilapat ang paraan ng pagdaragdag gamit ang halimbawa ng dalawang simpleng expression.

Gawain 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Tandaan na ang $y$ ay may coefficient na $-4$ sa unang equation, at $+4$ sa pangalawa. Ang mga ito ay magkasalungat, kaya lohikal na ipagpalagay na kung susumahin natin ang mga ito, kung gayon sa magreresultang halaga, ang "mga laro" ay magkakasamang malipol. Nagdagdag kami at nakakuha ng:

Nalutas namin ang pinakasimpleng konstruksiyon:

Mahusay, natagpuan namin ang X. Ano ang gagawin sa kanya ngayon? Maaari nating palitan ito sa alinman sa mga equation. Ilagay natin ito sa una:

\[-4y=12\pakaliwa| :\kaliwa(-4 \kanan) \kanan.\]

Sagot: $\left(2;-3\right)$.

Gawain #2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Dito, ang sitwasyon ay ganap na katulad, tanging sa Xs. Pagsama-samahin natin sila:

Nakuha namin ang pinakasimpleng linear equation, lutasin natin ito:

Ngayon hanapin natin ang $x$:

Sagot: $\left(-3;3\right)$.

Mahahalagang Punto

Kaya, nalutas na natin ang dalawang simpleng sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagdaragdag. Muli ang mga pangunahing punto:

Kung mayroong mga kabaligtaran na coefficient para sa isa sa mga variable, pagkatapos ay kinakailangan upang idagdag ang lahat ng mga variable sa equation. Sa kasong ito, ang isa sa kanila ay masisira.
Pinapalitan namin ang nahanap na variable sa alinman sa mga equation ng system upang mahanap ang pangalawa.
Ang huling tala ng sagot ay maaaring iharap sa iba't ibang paraan. Halimbawa, tulad nito - $x=...,y=...$, o sa anyo ng mga coordinate ng mga puntos - $\left(...;... \right)$. Ang pangalawang pagpipilian ay mas kanais-nais. Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay ang unang coordinate ay $x$, at ang pangalawa ay $y$.
Ang panuntunan upang isulat ang sagot sa anyo ng mga point coordinates ay hindi palaging naaangkop. Halimbawa, hindi ito magagamit kapag ang papel ng mga variable ay hindi $x$ at $y$, ngunit, halimbawa, $a$ at $b$.

Sa mga sumusunod na problema, isasaalang-alang natin ang pamamaraan ng pagbabawas kapag ang mga koepisyent ay hindi kabaligtaran.

Paglutas ng mga madaling problema gamit ang paraan ng pagbabawas

Gawain 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Tandaan na walang mga kabaligtaran na coefficients dito, ngunit may mga magkapareho. Samakatuwid, ibawas namin ang pangalawang equation mula sa unang equation:

Ngayon ay pinapalitan namin ang halaga ng $x$ sa alinman sa mga equation ng system. Tayo muna:

Sagot: $\left(2;5\right)$.

Gawain #2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Muli nating nakikita ang parehong koepisyent na $5$ para sa $x$ sa una at pangalawang equation. Samakatuwid, lohikal na ipagpalagay na kailangan mong ibawas ang pangalawa mula sa unang equation:

Kinakalkula namin ang isang variable. Ngayon, hanapin natin ang pangalawa, halimbawa, sa pamamagitan ng pagpapalit ng halaga ng $y$ sa pangalawang konstruksyon:

Sagot: $\left(-3;-2 \right)$.

Nuances ng solusyon

Kaya ano ang nakikita natin? Sa esensya, ang pamamaraan ay hindi naiiba sa solusyon ng mga nakaraang sistema. Ang pagkakaiba lamang ay hindi tayo nagdadagdag ng mga equation, ngunit ibawas ang mga ito. Gumagawa kami ng algebraic subtraction.

Sa madaling salita, sa sandaling makita mo ang isang sistema na binubuo ng dalawang equation na may dalawang hindi alam, ang unang bagay na kailangan mong tingnan ay ang mga coefficient. Kung ang mga ito ay pareho kahit saan, ang mga equation ay ibabawas, at kung sila ay kabaligtaran, ang paraan ng pagdaragdag ay inilalapat. Ito ay palaging ginagawa upang ang isa sa mga ito ay mawala, at sa huling equation na nananatili pagkatapos ng pagbabawas, isang variable lamang ang mananatili.

Siyempre, hindi lang iyon. Ngayon ay isasaalang-alang natin ang mga sistema kung saan ang mga equation ay karaniwang hindi pare-pareho. Yung. walang ganoong mga variable sa kanila na magiging pareho o kabaligtaran. Sa kasong ito, upang malutas ang mga naturang sistema, ang isang karagdagang pamamaraan ay ginagamit, ibig sabihin, ang pagpaparami ng bawat isa sa mga equation sa pamamagitan ng isang espesyal na koepisyent. Paano ito mahahanap at kung paano malutas ang mga naturang sistema sa pangkalahatan, ngayon ay pag-uusapan natin ito.

Paglutas ng mga problema sa pamamagitan ng pagpaparami ng koepisyent

Halimbawa #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Nakikita namin na hindi para sa $x$ o para sa $y$ ang mga coefficient ay hindi lamang magkasalungat, ngunit sa pangkalahatan ay hindi sila nauugnay sa anumang paraan sa isa pang equation. Ang mga coefficient na ito ay hindi mawawala sa anumang paraan, kahit na idagdag o ibawas natin ang mga equation sa bawat isa. Samakatuwid, ito ay kinakailangan upang ilapat ang multiplikasyon. Subukan nating alisin ang $y$ variable. Upang gawin ito, i-multiply natin ang unang equation sa coefficient ng $y$ mula sa pangalawang equation, at ang pangalawang equation sa coefficient ng $y$ mula sa unang equation, nang hindi binabago ang sign. Kami ay dumami at nakakakuha ng bagong sistema:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Tingnan natin ito: para sa $y$, magkasalungat na coefficients. Sa ganitong sitwasyon, kinakailangang ilapat ang paraan ng pagdaragdag. Idagdag natin:

Ngayon kailangan nating hanapin ang $y$. Upang gawin ito, palitan ang $x$ sa unang expression:

\[-9y=18\pakaliwa| :\kaliwa(-9 \kanan) \kanan.\]

Sagot: $\left(4;-2\right)$.

Halimbawa #2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Muli, ang mga coefficient para sa wala sa mga variable ay pare-pareho. I-multiply natin sa mga coefficient sa $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Ang aming bagong sistema ay katumbas ng nauna, ngunit ang mga coefficient ng $y$ ay magkasalungat, at samakatuwid ay madaling ilapat ang paraan ng pagdaragdag dito:

Ngayon hanapin ang $y$ sa pamamagitan ng pagpapalit ng $x$ sa unang equation:

Sagot: $\left(-2;1\right)$.

Nuances ng solusyon

Ang pangunahing panuntunan dito ay ang mga sumusunod: palaging dumami lamang sa mga positibong numero - ito ay magliligtas sa iyo mula sa mga hangal at nakakasakit na pagkakamali na nauugnay sa pagbabago ng mga palatandaan. Sa pangkalahatan, ang scheme ng solusyon ay medyo simple:

Tinitingnan namin ang system at sinusuri ang bawat equation.
Kung nakikita natin na hindi para sa $y$ o para sa $x$ ang mga coefficient ay pare-pareho, i.e. hindi sila pantay o kabaligtaran, pagkatapos ay gagawin natin ang sumusunod: piliin ang variable na aalisin, at pagkatapos ay tingnan ang mga coefficient sa mga equation na ito. Kung i-multiply natin ang unang equation sa coefficient mula sa pangalawa, at i-multiply ang pangalawang katumbas sa coefficient mula sa una, pagkatapos ay sa huli ay makakakuha tayo ng isang sistema na ganap na katumbas ng nauna, at ang mga coefficient sa $y $ ay magiging pare-pareho. Ang lahat ng aming mga aksyon o pagbabago ay naglalayong makakuha lamang ng isang variable sa isang equation.
Nakahanap kami ng isang variable.
Pinapalitan namin ang nahanap na variable sa isa sa dalawang equation ng system at hanapin ang pangalawa.
Isinulat namin ang sagot sa anyo ng mga coordinate ng mga puntos, kung mayroon kaming mga variable na $x$ at $y$.

Ngunit kahit na ang gayong simpleng algorithm ay may sariling mga subtlety, halimbawa, ang mga coefficient ng $x$ o $y$ ay maaaring mga fraction at iba pang "pangit" na mga numero. Isasaalang-alang namin ngayon ang mga kasong ito nang hiwalay, dahil sa mga ito maaari kang kumilos sa isang bahagyang naiibang paraan kaysa ayon sa karaniwang algorithm.

Paglutas ng mga problema sa mga fractional na numero

Halimbawa #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Una, tandaan na ang pangalawang equation ay naglalaman ng mga fraction. Ngunit tandaan na maaari mong hatiin ang $4$ sa $0.8$. Nakakuha kami ng $5. I-multiply natin ang pangalawang equation sa $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Ibinabawas namin ang mga equation sa bawat isa:

$n$ nahanap namin, ngayon ay kinakalkula namin ang $m$:

Sagot: $n=-4;m=5$

Halimbawa #2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ tama.\]

Dito, tulad ng sa nakaraang sistema, mayroong mga fractional coefficient, gayunpaman, para sa wala sa mga variable, ang mga coefficient ay hindi magkasya sa isa't isa sa pamamagitan ng isang integer na bilang ng beses. Samakatuwid, ginagamit namin ang karaniwang algorithm. Alisin ang $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

Gamitin natin ang paraan ng pagbabawas:

Hanapin natin ang $p$ sa pamamagitan ng pagpapalit ng $k$ sa pangalawang konstruksyon:

Sagot: $p=-4;k=-2$.

Nuances ng solusyon

Iyan ang lahat ng pag-optimize. Sa unang equation, hindi kami nag-multiply sa anumang bagay, at ang pangalawang equation ay pinarami ng $5$. Bilang resulta, nakakuha kami ng pare-pareho at maging ang parehong equation para sa unang variable. Sa pangalawang sistema, kumilos kami ayon sa karaniwang algorithm.

Ngunit paano mahahanap ang mga numero kung saan kailangan mong i-multiply ang mga equation? Pagkatapos ng lahat, kung mag-multiply tayo sa mga fractional na numero, makakakuha tayo ng mga bagong fraction. Samakatuwid, ang mga fraction ay dapat na i-multiply sa isang numero na magbibigay ng bagong integer, at pagkatapos nito, ang mga variable ay dapat na i-multiply sa mga coefficient, kasunod ng karaniwang algorithm.

Bilang konklusyon, nais kong iguhit ang iyong pansin sa format ng rekord ng tugon. Tulad ng nasabi ko na, dahil dito wala kaming $x$ at $y$ dito, ngunit iba pang mga halaga, gumagamit kami ng hindi karaniwang notasyon ng form:

Paglutas ng mga kumplikadong sistema ng mga equation

Bilang pangwakas na ugnayan sa video tutorial ngayon, tingnan natin ang ilang talagang kumplikadong mga system. Ang kanilang pagiging kumplikado ay binubuo sa katotohanan na maglalaman sila ng mga variable sa kaliwa at sa kanan. Samakatuwid, upang malutas ang mga ito, kailangan nating ilapat ang preprocessing.

System #1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Ang bawat equation ay nagdadala ng isang tiyak na kumplikado. Samakatuwid, sa bawat expression, gawin natin tulad ng sa isang normal na linear construction.

Sa kabuuan, nakukuha namin ang panghuling sistema, na katumbas ng orihinal:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Tingnan natin ang mga coefficient ng $y$: $3$ magkasya sa $6$ dalawang beses, kaya i-multiply namin ang unang equation sa $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Ang mga coefficient ng $y$ ay pantay na ngayon, kaya ibawas namin ang pangalawa sa unang equation: $$

Ngayon hanapin natin ang $y$:

Sagot: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistema #2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Ibahin natin ang unang expression:

Harapin natin ang pangalawa:

\[-3\kaliwa(b-2a \kanan)-12=2\kaliwa(a-5 \kanan)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Sa kabuuan, ang aming paunang sistema ay kukuha ng sumusunod na anyo:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Sa pagtingin sa mga coefficient ng $a$, makikita natin na ang unang equation ay kailangang i-multiply sa $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Ibinabawas namin ang pangalawa mula sa unang konstruksiyon:

Ngayon hanapin ang $a$:

Sagot: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Iyon lang. Umaasa ako na ang video tutorial na ito ay makakatulong sa iyo na maunawaan ang mahirap na paksang ito, ibig sabihin, paglutas ng mga sistema ng mga simpleng linear equation. Magkakaroon pa ng maraming mga aralin sa paksang ito: susuriin natin ang mas kumplikadong mga halimbawa, kung saan magkakaroon ng higit pang mga variable, at ang mga equation mismo ay magiging nonlinear. Hanggang sa muli!

Solusyon ng mga linear system algebraic equation(SLAE) ay walang alinlangan ang pinakamahalagang paksa ng linear algebra course. Ang isang malaking bilang ng mga problema mula sa lahat ng sangay ng matematika ay nabawasan sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ipinapaliwanag ng mga salik na ito ang dahilan ng paggawa ng artikulong ito. Ang materyal ng artikulo ay pinili at nakabalangkas upang sa tulong nito ay magagawa mo

piliin ang pinakamainam na paraan para sa paglutas ng iyong sistema ng mga linear algebraic equation,
pag-aralan ang teorya ng napiling pamamaraan,
lutasin ang iyong sistema ng mga linear na equation, na isinasaalang-alang nang detalyado ang mga solusyon ng karaniwang mga halimbawa at problema.

Maikling paglalarawan ng materyal ng artikulo.

Una, ibibigay namin ang lahat ng kinakailangang mga kahulugan, konsepto, at ipinakilala ang ilang notasyon.

Susunod, isinasaalang-alang namin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at kung saan ay may natatanging solusyon. Una, tumuon tayo sa paraan ng Cramer, pangalawa, ipapakita natin ang pamamaraan ng matrix para sa paglutas ng mga naturang sistema ng mga equation, at pangatlo, susuriin natin ang pamamaraang Gauss (ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable). Upang pagsama-samahin ang teorya, tiyak na malulutas namin ang ilang SLAE sa iba't ibang paraan.

Pagkatapos nito, nagpapatuloy kami sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng isang pangkalahatang anyo, kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi nag-tutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable o ang pangunahing matrix ng system ay degenerate. Bumuo tayo ng Kronecker - Capelli theorem, na nagbibigay-daan sa atin na itatag ang compatibility ng SLAE. Suriin natin ang solusyon ng mga system (sa kaso ng kanilang pagiging tugma) gamit ang konsepto ng batayang minor ng isang matrix. Isasaalang-alang din natin ang pamamaraang Gauss at ilarawan nang detalyado ang mga solusyon ng mga halimbawa.

Siguraduhing talakayin ang istruktura ng pangkalahatang solusyon ng homogenous at inhomogeneous system ng linear algebraic equation. Ibigay natin ang konsepto ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon at ipakita kung paano sumulat karaniwang desisyon SLAE sa tulong ng mga vector ng pangunahing sistema ng mga solusyon. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, tingnan natin ang ilang mga halimbawa.

Sa konklusyon, isinasaalang-alang namin ang mga sistema ng mga equation na nabawasan sa mga linear, pati na rin ang iba't ibang mga problema, sa solusyon kung saan lumitaw ang mga SLAE.

Pag-navigate sa pahina.

Mga kahulugan, konsepto, pagtatalaga.

Isasaalang-alang namin ang mga sistema ng p linear algebraic equation na may n hindi kilalang mga variable (p ay maaaring katumbas ng n ) ng form

Mga hindi kilalang variable, - mga coefficient (ilang tunay o kumplikadong mga numero), - mga libreng miyembro (real o kumplikadong mga numero din).

Ang form na ito ng SLAE ay tinatawag coordinate.

SA anyo ng matris Ang sistemang ito ng mga equation ay may anyo,
saan - ang pangunahing matrix ng system, - ang matrix-column ng mga hindi kilalang variable, - ang matrix-column ng mga libreng miyembro.

Kung idaragdag natin sa matrix A bilang (n + 1)-th column ang matrix-column ng mga libreng termino, pagkatapos ay makukuha natin ang tinatawag na pinalawak na matrix sistema ng mga linear na equation. Karaniwan, ang augmented matrix ay tinutukoy ng letrang T, at ang haligi ng mga libreng miyembro ay pinaghihiwalay ng isang patayong linya mula sa natitirang mga haligi, iyon ay,

Sa pamamagitan ng paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation tinatawag na isang hanay ng mga halaga ng hindi kilalang mga variable, na ginagawang mga pagkakakilanlan ang lahat ng mga equation ng system. Ang matrix equation para sa ibinigay na mga halaga ng hindi kilalang mga variable ay nagiging isang pagkakakilanlan.

Kung ang isang sistema ng mga equation ay may hindi bababa sa isang solusyon, kung gayon ito ay tinatawag magkadugtong.

Kung ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon, kung gayon ito ay tinatawag hindi magkatugma.

Kung ang isang SLAE ay may natatanging solusyon, kung gayon ito ay tinatawag tiyak; kung mayroong higit sa isang solusyon, kung gayon - hindi sigurado.

Kung ang mga libreng termino ng lahat ng mga equation ng system ay katumbas ng zero , pagkatapos ay tinawag ang system homogenous, kung hindi - magkakaiba.

Solusyon ng mga elementary system ng linear algebraic equation.

Kung ang bilang ng mga equation ng system ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at ang determinant ng pangunahing matrix nito ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay tatawagin natin ang mga naturang SLAE. elementarya. Ang ganitong mga sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon, at sa kaso ng isang homogenous na sistema, ang lahat ng hindi kilalang mga variable ay katumbas ng zero.

Sinimulan naming pag-aralan ang mga ganitong SLAE mataas na paaralan. Kapag nilulutas ang mga ito, kumuha kami ng isang equation, nagpahayag ng isang hindi kilalang variable sa mga tuntunin ng iba at pinalitan ito sa natitirang mga equation, pagkatapos ay kinuha ang susunod na equation, ipinahayag ang susunod na hindi kilalang variable at pinalitan ito sa iba pang mga equation, at iba pa. O ginamit nila ang paraan ng pagdaragdag, iyon ay, nagdagdag sila ng dalawa o higit pang mga equation upang maalis ang ilang hindi kilalang mga variable. Hindi namin tatalakayin nang detalyado ang mga pamamaraang ito, dahil ang mga ito ay mahalagang pagbabago ng pamamaraang Gauss.

Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga elementary system ng linear equation ay ang Cramer method, ang matrix method at ang Gauss method. Ayusin natin sila.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pamamaraan ni Cramer.

Kailangan nating lutasin ang isang sistema ng mga linear algebraic equation

kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay iba sa zero, iyon ay, .

Hayaan ang determinant ng pangunahing matrix ng system, at ay mga determinant ng mga matrice na nakukuha mula sa A sa pamamagitan ng pagpapalit 1st, 2nd, …, nth column ayon sa pagkakasunod-sunod sa column ng mga libreng miyembro:

Sa gayong notasyon, ang hindi kilalang mga variable ay kinakalkula ng mga formula ng pamamaraan ng Cramer bilang . Ito ay kung paano ang solusyon ng isang sistema ng linear algebraic equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng Cramer method.

Halimbawa.

Paraan ng Cramer .

Solusyon.

Ang pangunahing matrix ng system ay may anyo . Kalkulahin ang determinant nito (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo):

Dahil ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay iba sa zero, ang sistema ay may kakaibang solusyon na makikita sa paraan ng Cramer.

Bumuo at kalkulahin ang mga kinakailangang determinant (ang determinant ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpapalit sa unang column sa matrix A na may column ng mga libreng miyembro, ang determinant - sa pamamagitan ng pagpapalit sa pangalawang column ng column ng libreng miyembro, - sa pamamagitan ng pagpapalit sa ikatlong column ng matrix A ng column ng mga libreng miyembro ):

Paghahanap ng mga hindi kilalang variable gamit ang mga formula :

Sagot:

Ang pangunahing kawalan ng pamamaraan ng Cramer (kung matatawag itong disadvantage) ay ang pagiging kumplikado ng pagkalkula ng mga determinant kapag ang bilang ng mga equation ng system ay higit sa tatlo.

Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation sa pamamagitan ng matrix method (gamit ang inverse matrix).

Hayaang ang sistema ng mga linear algebraic equation ay ibigay sa matrix form , kung saan ang matrix A ay may dimensyon n by n at ang determinant nito ay nonzero.

Dahil , pagkatapos ay ang matrix A ay invertible, iyon ay, mayroong isang kabaligtaran matrix . Kung i-multiply natin ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay sa kaliwa, makakakuha tayo ng formula para sa paghahanap ng column matrix ng mga hindi kilalang variable. Kaya nakuha namin ang solusyon ng sistema ng linear algebraic equation sa pamamagitan ng matrix method.

Halimbawa.

Lutasin ang System of Linear Equation pamamaraan ng matrix.

Solusyon.

Muli naming isinusulat ang sistema ng mga equation sa anyong matrix:

kasi

pagkatapos ay ang SLAE ay maaaring malutas sa pamamagitan ng matrix method. Gamit ang inverse matrix, ang solusyon sa sistemang ito ay matatagpuan bilang .

Bumuo tayo ng isang inverse matrix gamit ang isang matrix ng algebraic complements ng mga elemento ng matrix A (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo):

Ito ay nananatiling kalkulahin - ang matrix ng hindi kilalang mga variable sa pamamagitan ng pagpaparami ng inverse matrix sa matrix-column ng mga libreng miyembro (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo):

Sagot:

o sa ibang notasyon x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Ang pangunahing problema sa paghahanap ng mga solusyon sa mga sistema ng linear algebraic equation sa pamamagitan ng matrix method ay ang pagiging kumplikado ng paghahanap ng inverse matrix, lalo na para sa mga square matrice ng order na mas mataas kaysa sa ikatlo.

Paglutas ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng Gauss method.

Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng solusyon sa isang sistema ng n linear equation na may n hindi kilalang mga variable
ang determinant ng pangunahing matrix kung saan ay iba sa zero.

Ang kakanyahan ng pamamaraang Gauss ay binubuo sa sunud-sunod na pagbubukod ng mga hindi kilalang variable: una, x 1 ay ibinukod sa lahat ng equation ng system, simula sa pangalawa, pagkatapos x 2 ay ibinukod sa lahat ng equation, simula sa ikatlo, at iba pa, hanggang sa hindi kilalang variable lamang. x n ay nananatili sa huling equation. Ang ganitong proseso ng pagbabago ng mga equation ng sistema para sa sunud-sunod na pag-aalis ng hindi kilalang mga variable ay tinatawag direktang pamamaraan ng Gauss. Matapos ang pagkumpleto ng forward run ng Gaussian method, x n ay matatagpuan mula sa huling equation, x n-1 ay kinakalkula mula sa penultimate equation gamit ang halagang ito, at iba pa, x 1 ay matatagpuan mula sa unang equation. Ang proseso ng pagkalkula ng mga hindi kilalang variable kapag lumilipat mula sa huling equation ng system hanggang sa una ay tinatawag baligtarin ang pamamaraang Gauss.

Ilarawan natin nang maikli ang algorithm para sa pag-aalis ng mga hindi kilalang variable.

Ipagpalagay natin na , dahil palagi nating makakamit ito sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga equation ng system. Ibinubukod namin ang hindi kilalang variable x 1 mula sa lahat ng equation ng system, simula sa pangalawa. Upang gawin ito, idagdag ang unang equation na pinarami sa pangalawang equation ng system, idagdag ang unang multiply sa ikatlong equation, at iba pa, idagdag ang unang multiply sa nth equation. Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo

saan, a .

Darating tayo sa parehong resulta kung ipinahayag natin ang x 1 sa mga tuntunin ng iba pang hindi kilalang mga variable sa unang equation ng system at pinalitan ang resultang expression sa lahat ng iba pang mga equation. Kaya, ang variable na x 1 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa pangalawa.

Susunod, kumilos kami nang katulad, ngunit sa isang bahagi lamang ng nagresultang sistema, na minarkahan sa figure

Upang gawin ito, idagdag ang pangalawang multiply sa sa ikatlong equation ng system, idagdag ang pangalawang multiply sa ikaapat na equation, at iba pa, idagdag ang pangalawang multiply sa nth equation. Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo

saan, a . Kaya, ang variable na x 2 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa ikatlo.

Susunod, nagpapatuloy kami sa pag-aalis ng hindi kilalang x 3, habang kumikilos nang katulad sa bahagi ng system na minarkahan sa figure

Kaya't ipinagpatuloy namin ang direktang kurso ng pamamaraang Gauss hanggang sa makuha ng system ang form

Mula sa sandaling ito, sinisimulan natin ang reverse course ng Gauss method: kinakalkula natin ang x n mula sa huling equation bilang , gamit ang nakuhang halaga x n nahanap natin ang x n-1 mula sa penultimate equation, at iba pa, nakita natin ang x 1 mula sa una. equation.

Halimbawa.

Lutasin ang System of Linear Equation Gaussian na pamamaraan.

Solusyon.

Ibukod natin ang hindi kilalang variable x 1 mula sa pangalawa at pangatlong equation ng system. Upang gawin ito, sa parehong bahagi ng pangalawa at pangatlong equation, idinaragdag namin ang mga kaukulang bahagi ng unang equation, na pinarami ng at ng, ayon sa pagkakabanggit:

Ngayon ay tinanggal namin ang x 2 mula sa ikatlong equation sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kaliwa nito at tamang bahagi ang kaliwa at kanang bahagi ng pangalawang equation, na pinarami ng:

Dito, ang pasulong na kurso ng pamamaraang Gauss ay nakumpleto, sinimulan namin ang reverse course.

Mula sa huling equation ng nagresultang sistema ng mga equation, nakita natin ang x 3:

Mula sa pangalawang equation makuha namin.

Mula sa unang equation nakita namin ang natitirang hindi kilalang variable at ito ay nakumpleto ang reverse course ng Gauss method.

Sagot:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng pangkalahatang anyo.

SA pangkalahatang kaso ang bilang ng mga equation ng system p ay hindi tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable n:

Ang mga naturang SLAE ay maaaring walang mga solusyon, may iisang solusyon, o may walang katapusang maraming solusyon. Nalalapat din ang pahayag na ito sa mga sistema ng mga equation na ang pangunahing matrix ay parisukat at degenerate.

Kronecker-Capelli theorem.

Bago maghanap ng solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation, kinakailangan upang maitatag ang pagiging tugma nito. Ang sagot sa tanong kung kailan tugma ang SLAE, at kapag hindi ito tugma, ay nagbibigay Kronecker–Capelli theorem:
para sa isang sistema ng mga p equation na may n hindi alam (p ay maaaring katumbas ng n ) upang magkatugma ito ay kinakailangan at sapat na ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, iyon ay, Ranggo( A)=Ranggo(T) .

Isaalang-alang natin ang aplikasyon ng Kronecker-Cappelli theorem para sa pagtukoy ng compatibility ng isang sistema ng linear equation bilang isang halimbawa.

Halimbawa.

Alamin kung ang sistema ng mga linear equation ay mayroon mga solusyon.

Solusyon.

. Gamitin natin ang paraan ng bordering menor de edad. Minor ng pangalawang order iba sa zero. Tingnan natin ang mga third-order na menor de edad na nakapalibot dito:

Dahil ang lahat ng karatig na third-order na menor de edad ay katumbas ng zero, ang ranggo ng pangunahing matrix ay dalawa.

Sa turn, ang ranggo ng augmented matrix ay katumbas ng tatlo, dahil ang menor de edad ng ikatlong order

iba sa zero.

kaya, Rang(A) , samakatuwid, ayon sa Kronecker-Capelli theorem, maaari nating tapusin na ang orihinal na sistema ng mga linear na equation ay hindi pare-pareho.

Sagot:

Walang sistema ng solusyon.

Kaya, natutunan nating itatag ang hindi pagkakapare-pareho ng sistema gamit ang Kronecker-Capelli theorem.

Ngunit paano mahahanap ang solusyon ng SLAE kung ang pagkakatugma nito ay itinatag?

Upang gawin ito, kailangan namin ang konsepto ng batayang minor ng isang matrix at ang teorama sa ranggo ng isang matrix.

Ang pinakamataas na order minor ng matrix A, maliban sa zero, ay tinatawag basic.

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng batayang minor na ang pagkakasunud-sunod nito ay katumbas ng ranggo ng matris. Para sa isang hindi zero na matrix A, maaaring mayroong ilang pangunahing menor de edad; palaging may isang pangunahing menor de edad.

Halimbawa, isaalang-alang ang matrix .

Ang lahat ng mga third-order na menor de edad ng matrix na ito ay katumbas ng zero, dahil ang mga elemento ng ikatlong hilera ng matrix na ito ay ang kabuuan ng mga katumbas na elemento ng una at ikalawang hanay.

Ang mga sumusunod na menor de edad ng pangalawang order ay basic, dahil sila ay nonzero

Mga menor de edad ay hindi basic, dahil ang mga ito ay katumbas ng zero.

Teorama ng ranggo ng matrix.

Kung ang ranggo ng isang matrix ng pagkakasunud-sunod p sa n ay r, kung gayon ang lahat ng mga elemento ng mga hilera (at mga haligi) ng matrix na hindi bumubuo sa napiling batayang minor ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga kaukulang elemento ng mga hilera (at mga haligi ) na bumubuo sa batayang minor.

Ano ang ibinibigay sa atin ng matrix rank theorem?

Kung, sa pamamagitan ng Kronecker-Capelli theorem, naitatag namin ang pagiging tugma ng system, pagkatapos ay pipili kami ng anumang pangunahing menor de edad ng pangunahing matrix ng system (ang pagkakasunud-sunod nito ay katumbas ng r), at ibukod mula sa system ang lahat ng mga equation na hindi bumuo ng napiling pangunahing menor de edad. Ang SLAE na nakuha sa ganitong paraan ay magiging katumbas ng orihinal, dahil ang mga itinapon na equation ay kalabisan pa rin (ayon sa matrix rank theorem, sila ay isang linear na kumbinasyon ng mga natitirang equation).

Bilang resulta, pagkatapos itapon ang labis na mga equation ng system, posible ang dalawang kaso.

Kung ang bilang ng mga equation r sa resultang sistema ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable, kung gayon ito ay magiging tiyak at ang tanging solusyon ay matatagpuan sa pamamagitan ng Cramer method, ang matrix method o ang Gauss method.

Halimbawa.

Solusyon.

Ranggo ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng dalawa, dahil ang menor sa pangalawang order iba sa zero. Pinalawak na ranggo ng matrix ay katumbas din ng dalawa, dahil ang nag-iisang menor sa ikatlong order ay katumbas ng zero

at ang menor ng pangalawang order na isinasaalang-alang sa itaas ay iba sa zero. Batay sa Kronecker-Capelli theorem, maaaring igiit ng isa ang pagiging tugma ng orihinal na sistema ng mga linear na equation, dahil Rank(A)=Rank(T)=2 .

Bilang batayang minor, kinukuha namin . Ito ay nabuo sa pamamagitan ng mga coefficient ng una at pangalawang equation:

Ang ikatlong equation ng system ay hindi nakikilahok sa pagbuo ng pangunahing menor de edad, kaya ibubukod namin ito mula sa system batay sa teorem ng ranggo ng matrix:

Kaya nakuha namin ang elementarya na sistema ng mga linear algebraic equation. Lutasin natin ito sa pamamaraan ni Cramer:

Sagot:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Kung ang bilang ng mga equation r sa nagreresultang SLAE ay mas mababa sa bilang ng mga hindi kilalang variable n , pagkatapos ay iiwan natin ang mga terminong bumubuo sa pangunahing minor sa kaliwang bahagi ng mga equation, at ilipat ang natitirang mga termino sa mga kanang bahagi ng mga equation ng system na may kabaligtaran na tanda.

Ang mga hindi kilalang variable (mayroong r sa kanila) na natitira sa kaliwang bahagi ng mga equation ay tinatawag pangunahing.

Ang mga hindi kilalang variable (may mga n - r sa kanila) na napunta sa kanang bahagi ay tinatawag libre.

Ngayon ay ipinapalagay namin na ang mga libreng hindi kilalang variable ay maaaring kumuha ng mga arbitrary na halaga, habang ang r pangunahing hindi kilalang mga variable ay ipahahayag sa mga tuntunin ng mga libreng hindi kilalang variable sa isang natatanging paraan. Ang kanilang pagpapahayag ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng nagresultang SLAE sa pamamagitan ng Cramer method, ang matrix method, o ang Gauss method.

Kumuha tayo ng isang halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang System of Linear Algebraic Equation .

Solusyon.

Hanapin ang ranggo ng pangunahing matrix ng system sa pamamagitan ng bordering minors method. Kunin natin ang 1 1 = 1 bilang isang non-zero first-order minor. Simulan natin ang paghahanap ng hindi zero second-order na menor na nakapalibot sa menor de edad na ito:

Kaya nakakita kami ng isang hindi zero na menor de edad ng pangalawang order. Simulan natin ang paghahanap ng non-zero bordering minor ng ikatlong order:

Kaya, ang ranggo ng pangunahing matrix ay tatlo. Ang ranggo ng augmented matrix ay katumbas din ng tatlo, iyon ay, ang sistema ay pare-pareho.

Ang nahanap na di-zero minor ng ikatlong order ay kukunin bilang pangunahing isa.

Para sa kalinawan, ipinapakita namin ang mga elemento na bumubuo sa batayang minor:

Iniiwan namin ang mga terminong nakikilahok sa pangunahing minor sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system, at inililipat ang natitira na may magkasalungat na mga palatandaan sa kanang bahagi:

Nagbibigay kami ng mga libreng hindi kilalang variable na x 2 at x 5 na mga arbitrary na halaga, iyon ay, kinukuha namin , kung saan ang mga arbitrary na numero. Sa kasong ito, kinukuha ng SLAE ang form

Nalulutas namin ang nakuhang elementarya na sistema ng mga linear algebraic equation sa pamamagitan ng Cramer method:

Kaya naman, .

Sa sagot, huwag kalimutang ipahiwatig ang mga libreng hindi kilalang variable.

Sagot:

Nasaan ang mga arbitrary na numero.

Ibuod.

Upang malutas ang isang sistema ng linear algebraic equation ng isang pangkalahatang anyo, alamin muna natin ang pagiging tugma nito gamit ang Kronecker-Capelli theorem. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ay hindi katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, pagkatapos ay napagpasyahan namin na ang sistema ay hindi naaayon.

Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, pagkatapos ay pipiliin namin ang pangunahing menor de edad at itapon ang mga equation ng system na hindi nakikilahok sa pagbuo ng napiling pangunahing menor de edad.

Kung ang pagkakasunud-sunod ng batayang minor ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable, kung gayon ang SLAE ay may natatanging solusyon, na maaaring matagpuan sa pamamagitan ng anumang paraan na alam natin.

Kung ang pagkakasunud-sunod ng batayang menor ay mas mababa sa bilang ng mga hindi kilalang variable, pagkatapos ay iiwan namin ang mga termino na may pangunahing hindi kilalang mga variable sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system, ilipat ang natitirang mga termino sa kanang bahagi at magtalaga ng mga arbitrary na halaga sa mga libreng hindi kilalang variable. Mula sa nagresultang sistema ng mga linear equation, makikita natin ang pangunahing hindi kilalang mga variable sa pamamagitan ng Cramer method, ang matrix method o ang Gauss method.

Gauss method para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng pangkalahatang anyo.

Gamit ang pamamaraang Gauss, malulutas ng isa ang mga sistema ng linear algebraic equation ng anumang uri nang wala ang kanilang paunang pagsisiyasat para sa pagiging tugma. Ang proseso ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable ay ginagawang posible upang makagawa ng isang konklusyon tungkol sa parehong compatibility at hindi pagkakapare-pareho ng SLAE, at kung mayroong isang solusyon, ginagawang posible na mahanap ito.

Mula sa punto ng view ng computational work, ang Gaussian method ay mas kanais-nais.

Panoorin mo Detalyadong Paglalarawan at sinuri ang mga halimbawa sa artikulong Gauss method para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng pangkalahatang anyo.

Pagre-record ng pangkalahatang solusyon ng homogenous at inhomogeneous linear algebraic system gamit ang mga vector ng pangunahing sistema ng mga solusyon.

Sa seksyong ito, pagtutuunan natin ng pansin ang magkasanib na homogenous at inhomogeneous na mga sistema ng mga linear algebraic equation na may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Hayaan muna natin ang mga homogenous system.

Pangunahing sistema ng desisyon Ang isang homogenous na sistema ng p linear algebraic equation na may n hindi kilalang variable ay isang set ng (n – r) linearly independent solutions ng system na ito, kung saan ang r ay ang pagkakasunod-sunod ng batayang minor ng pangunahing matrix ng system.

Kung itinalaga natin ang mga linearly independent na solusyon ng isang homogenous na SLAE bilang X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ay mga matrice column ng dimensyon n sa pamamagitan ng 1 ), kung gayon ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na sistemang ito ay kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vectors ng pangunahing sistema ng mga solusyon na may mga di-makatwirang pare-parehong coefficients С 1 , С 2 , …, С (n-r), iyon ay, .

Ano ang ibig sabihin ng terminong pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear algebraic equation (oroslau)?

Ang kahulugan ay simple: ang formula ay tumutukoy sa lahat ng posibleng solusyon sa orihinal na SLAE, sa madaling salita, kumukuha ng anumang hanay ng mga halaga ng mga di-makatwirang constants C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , ayon sa formula namin ay makakakuha ng isa sa mga solusyon ng orihinal na homogenous na SLAE.

Kaya, kung makakahanap tayo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon, maaari nating itakda ang lahat ng solusyon ng homogenous na SLAE na ito bilang .

Ipakita natin ang proseso ng pagbuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon para sa isang homogenous na SLAE.

Pinipili namin ang pangunahing minor ng orihinal na sistema ng mga linear na equation, ibubukod ang lahat ng iba pang mga equation mula sa system, at ilipat sa kanang bahagi ng mga equation ng system na may magkasalungat na mga palatandaan ang lahat ng mga terminong naglalaman ng mga libreng hindi kilalang variable. Bigyan natin ang mga libreng hindi kilalang variable ng mga halaga 1,0,0,…,0 at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam sa pamamagitan ng paglutas ng nagresultang elementarya na sistema ng mga linear na equation sa anumang paraan, halimbawa, sa pamamagitan ng paraan ng Cramer. Kaya, ang X (1) ay makukuha - ang unang solusyon ng pangunahing sistema. Kung bibigyan namin ang mga libreng hindi alam ng mga halaga 0,1,0,0,…,0 at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam, pagkatapos ay makakakuha tayo ng X (2). At iba pa. Kung bibigyan namin ang mga libreng hindi kilalang variable ng mga halaga 0,0,…,0,1 at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam, pagkatapos ay makakakuha tayo ng X (n-r) . Ito ay kung paano ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng homogenous na SLAE ay gagawin at ang pangkalahatang solusyon nito ay maaaring isulat sa anyo.

Para sa mga inhomogeneous system ng linear algebraic equation, ang pangkalahatang solusyon ay kinakatawan bilang

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang pangunahing sistema ng mga solusyon at ang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ng linear algebraic equation .

Solusyon.

Ang ranggo ng pangunahing matrix ng mga homogenous na sistema ng mga linear na equation ay palaging katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix. Hanapin natin ang ranggo ng pangunahing matrix sa pamamagitan ng paraan ng fringing menor de edad. Bilang isang nonzero minor ng unang order, kinukuha namin ang elementong a 1 1 = 9 ng pangunahing matrix ng system. Hanapin ang bordering non-zero minor ng pangalawang order:

Ang isang menor de edad ng pangalawang order, naiiba sa zero, ay natagpuan. Tingnan natin ang mga third-order na menor de edad na nasa hangganan nito sa paghahanap ng hindi zero one:

Ang lahat ng mga karatig na menor de edad ng ikatlong order ay katumbas ng zero, samakatuwid, ang ranggo ng pangunahing at pinalawig na matrix ay dalawa. Kunin natin ang pangunahing menor de edad. Para sa kalinawan, tandaan namin ang mga elemento ng system na bumubuo nito:

Ang ikatlong equation ng orihinal na SLAE ay hindi nakikilahok sa pagbuo ng pangunahing menor de edad, samakatuwid, maaari itong ibukod:

Iniiwan namin ang mga terminong naglalaman ng mga pangunahing hindi alam sa kanang bahagi ng mga equation, at inililipat ang mga terminong may mga libreng hindi alam sa kanang bahagi:

Bumuo tayo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa orihinal na homogenous na sistema ng mga linear equation. Ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng SLAE na ito ay binubuo ng dalawang solusyon, dahil ang orihinal na SLAE ay naglalaman ng apat na hindi kilalang variable, at ang pagkakasunud-sunod ng pangunahing minor nito ay dalawa. Upang mahanap ang X (1), binibigyan namin ang mga libreng hindi kilalang variable ng mga halaga x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, pagkatapos ay nakita namin ang mga pangunahing hindi alam mula sa sistema ng mga equation
.