การพัฒนาบทเรียนพีชคณิตในคลาสโปรไฟล์ที่ 11

บทเรียนนี้จัดทำโดยครูคณิตศาสตร์ ม.บูรพา ม.6

หัวข้อและหมายเลขบทเรียนในหัวข้อ:“การประยุกต์ใช้การแปลงหลายแบบที่นำไปสู่สมการ-ผล” บทเรียนที่ 7, 8 ในหัวข้อ: “สมการ-ผล”

เรื่อง:พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - เกรด 11 (การฝึกอบรมโปรไฟล์ตามตำราเรียนโดย S.M. Nikolsky)

ประเภทของบทเรียน: "การจัดระบบและภาพรวมของความรู้และทักษะ"

ประเภทบทเรียน: เวิร์คช็อป

บทบาทของครู: เพื่อนำกิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียนไปสู่การพัฒนาทักษะเพื่อนำความรู้ไปใช้อย่างอิสระในคอมเพล็กซ์เพื่อเลือกวิธีการหรือวิธีการแปลงที่ต้องการซึ่งนำไปสู่สมการ - ผลที่ตามมาและการประยุกต์ใช้วิธีการในการแก้สมการในเงื่อนไขใหม่

อุปกรณ์ทางเทคนิคที่จำเป็น:อุปกรณ์มัลติมีเดีย, เว็บแคม

บทเรียนที่ใช้:

1. รูปแบบการเรียนรู้การสอน- การสร้างสถานการณ์ที่เป็นปัญหา
2. สื่อการสอน- แผ่นแสดงโมดูลการฝึกอบรม การเลือกงานสำหรับการแก้สมการ
3. ประเภทของกิจกรรมนักศึกษา- กลุ่ม (กลุ่มถูกสร้างขึ้นในบทเรียน - "การค้นพบ" ความรู้ใหม่บทเรียนที่ 1 และ 2 จากนักเรียนที่มีระดับการเรียนรู้และการเรียนรู้ต่างกัน) การแก้ปัญหาร่วมกันหรือรายบุคคล
4. เทคโนโลยีการศึกษาที่เน้นบุคลิกภาพ: การฝึกอบรมแบบแยกส่วน, การเรียนรู้ตามปัญหา, วิธีค้นหาและวิจัย, การสนทนาแบบกลุ่ม, วิธีกิจกรรม, การทำงานกับตำราเรียนและแหล่งข้อมูลต่างๆ,
5. เทคโนโลยีที่ช่วยดูแลสุขภาพ- เพื่อบรรเทาความเครียดดำเนินการพลศึกษา
6. ความสามารถ:

- การศึกษาและความรู้ความเข้าใจในระดับพื้นฐาน- นักเรียนรู้แนวคิดของสมการ - ผลที่ตามมา รากของสมการและวิธีการแปลงที่นำไปสู่สมการ - ผลที่ตามมา พวกเขาสามารถหารากของสมการและดำเนินการตรวจสอบในระดับที่มีประสิทธิผล

- ในระดับสูง- นักเรียนสามารถแก้สมการโดยใช้วิธีการแปลงที่รู้จักกันดี ตรวจสอบรากของสมการโดยใช้พื้นที่ของค่าสมการที่ยอมรับไม่ได้ คำนวณลอการิทึมโดยใช้คุณสมบัติตามการสำรวจข้อมูล - นักเรียนค้นหา ดึงข้อมูล และเลือกข้อมูลที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาทางการศึกษาอย่างอิสระในแหล่งต่างๆ

เป้าหมายการสอน:

สร้างเงื่อนไขให้:

การก่อตัวของความคิดเกี่ยวกับสมการ - ผลที่ตามมา รากและวิธีการแปลง

การก่อตัวของประสบการณ์ของการสร้างความหมายบนพื้นฐานของผลเชิงตรรกะของวิธีการแปลงสมการที่ศึกษาก่อนหน้านี้: การเพิ่มสมการให้เป็นกำลังคู่ การเพิ่มศักยภาพของสมการลอการิทึม การปลดปล่อยสมการจากตัวส่วน การนำพจน์ที่เหมือนกัน

การรวมทักษะในการกำหนดทางเลือกของวิธีการแปลง แก้สมการเพิ่มเติม และเลือกรากของสมการ

การเรียนรู้ทักษะในการกำหนดปัญหาโดยอาศัยข้อมูลที่ทราบและเรียนรู้ จัดทำคำขอเพื่อค้นหาสิ่งที่ยังไม่ทราบ

การก่อตัวของความสนใจทางปัญญาความสามารถทางปัญญาและความคิดสร้างสรรค์ของนักเรียน

การพัฒนาความคิดเชิงตรรกะ กิจกรรมสร้างสรรค์ของนักเรียน ทักษะโครงงาน ความสามารถในการแสดงความคิดเห็น

การก่อตัวของความอดทนการช่วยเหลือซึ่งกันและกันเมื่อทำงานเป็นกลุ่ม

กระตุ้นความสนใจในการแก้สมการอิสระ

งาน:

จัดระเบียบการทำซ้ำและการจัดระบบความรู้เกี่ยวกับวิธีการแปลงสมการ

- เพื่อให้แน่ใจว่าเชี่ยวชาญของวิธีการแก้สมการและตรวจสอบรากของพวกเขา

- เพื่อส่งเสริมการพัฒนาการคิดวิเคราะห์และวิพากษ์วิจารณ์ของนักเรียน เปรียบเทียบและเลือกวิธีการแก้สมการที่เหมาะสมที่สุด

- สร้างเงื่อนไขในการพัฒนาทักษะการวิจัย ทักษะการทำงานเป็นกลุ่ม

กระตุ้นให้นักเรียนใช้สื่อการเรียนเพื่อเตรียมสอบ

วิเคราะห์และประเมินผลงานและผลงานของเพื่อนๆ ในการปฏิบัติงานนี้

ผลลัพธ์ตามแผน:

*ส่วนตัว:

ทักษะในการกำหนดงานตามข้อมูลที่ทราบและเรียนรู้ การสร้างคำขอเพื่อค้นหาสิ่งที่ยังไม่ทราบ

ความสามารถในการเลือกแหล่งข้อมูลที่จำเป็นในการแก้ปัญหา การพัฒนาความสนใจทางปัญญาความสามารถทางปัญญาและความคิดสร้างสรรค์ของนักเรียน

การพัฒนาความคิดเชิงตรรกะ กิจกรรมสร้างสรรค์ ความสามารถในการแสดงความคิดเห็น ความสามารถในการสร้างข้อโต้แย้ง

การประเมินตนเองของผลการปฏิบัติงาน

ทักษะการทำงานเป็นทีม

*เรื่องเมตา:

ความสามารถในการเน้นสิ่งสำคัญ, เปรียบเทียบ, วางนัย, วาดภาพเปรียบเทียบ, ใช้วิธีการให้เหตุผลแบบอุปนัย, เสนอสมมติฐานเมื่อแก้สมการ,

ความสามารถในการตีความและใช้ความรู้ที่ได้รับในการเตรียมตัวสอบ

*เรื่อง:

ความรู้เกี่ยวกับการแปลงสมการ

ความสามารถในการสร้างรูปแบบที่เกี่ยวข้องกับสมการประเภทต่างๆ และใช้ในการแก้และคัดเลือกราก

การบูรณาการวัตถุประสงค์ของบทเรียน:

1. (สำหรับครู) การก่อตัวของนักเรียนในมุมมองแบบองค์รวมเกี่ยวกับวิธีการเปลี่ยนสมการและวิธีการแก้สมการ
2. (สำหรับนักเรียน) การพัฒนาความสามารถในการสังเกต เปรียบเทียบ สรุป วิเคราะห์สถานการณ์ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับประเภทของสมการที่มีฟังก์ชันต่างๆ การเตรียมตัวสอบ.

ขั้นตอนที่ 1 ของบทเรียน:

อัพเดทความรู้เพิ่มแรงจูงใจในด้านการประยุกต์ใช้วิธีการแปลงสมการต่างๆ (input diagnostics)

ขั้นตอนการอัพเดทความรู้ดำเนินการในรูปแบบของงานทดสอบด้วยการทดสอบตัวเอง มีการเสนองานพัฒนาตามความรู้ที่ได้รับในบทเรียนก่อนหน้า ซึ่งต้องใช้กิจกรรมทางจิตจากนักเรียนและจำเป็นเพื่อทำงานให้เสร็จในบทเรียนนี้

งานตรวจสอบ

1. เลือกสมการที่ต้องการการจำกัดค่าที่ไม่รู้จักในชุดของจำนวนจริงทั้งหมด:

ก) = X-2; b) 3 \u003d X-2; ค) =1;

ง) ( = (; จ) = ; จ) +6 =5;

ช) = ; ช) = .

(2) ระบุช่วงค่าที่ถูกต้องของแต่ละสมการที่มีข้อจำกัด

(3) เลือกตัวอย่างของสมการดังกล่าว ซึ่งการเปลี่ยนแปลงอาจทำให้สูญเสียราก (ใช้เนื้อหาของบทเรียนก่อนหน้าในหัวข้อนี้)

ทุกคนตรวจสอบคำตอบอย่างอิสระตามคำตอบที่ไฮไลต์บนหน้าจอ งานที่ยากที่สุดจะได้รับการวิเคราะห์และนักเรียนให้ความสนใจเป็นพิเศษกับตัวอย่าง a, c, g, h ซึ่งมีข้อจำกัดอยู่

สรุปได้ว่าเมื่อแก้สมการจำเป็นต้องกำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตโดยสมการหรือตรวจสอบรากเพื่อหลีกเลี่ยงค่าที่ไม่เกี่ยวข้อง วิธีที่ศึกษาก่อนหน้านี้ในการแปลงสมการที่นำไปสู่สมการ - ผลที่ตามมาจะถูกทำซ้ำ กล่าวคือนักเรียนมีแรงจูงใจที่จะหาวิธีที่ถูกต้องในการแก้สมการที่พวกเขาเสนอในการทำงานต่อไป

ขั้นตอนที่ II ของบทเรียน:

การประยุกต์ใช้ความรู้ ทักษะ และความสามารถในการแก้สมการเชิงปฏิบัติ

กลุ่มจะได้รับแผ่นงานพร้อมโมดูลที่รวบรวมในประเด็นของหัวข้อนี้ โมดูลประกอบด้วยองค์ประกอบการเรียนรู้ห้าองค์ประกอบ ซึ่งแต่ละองค์ประกอบมีจุดมุ่งหมายเพื่อการทำงานบางอย่าง นักเรียนที่มีระดับการเรียนรู้และการเรียนรู้ต่างกันจะกำหนดขอบเขตของกิจกรรมในบทเรียนได้อย่างอิสระ แต่เนื่องจากทุกคนทำงานเป็นกลุ่ม จึงมีกระบวนการในการปรับความรู้และทักษะอย่างต่อเนื่อง โดยดึงผู้ที่ล้าหลังมาเป็นภาคบังคับ คนอื่นๆ ไปสู่ระดับสูงและ ระดับความคิดสร้างสรรค์

ในช่วงกลางของบทเรียน จะมีการจัดนาทีทางกายภาพที่จำเป็น

จำนวนองค์ประกอบทางการศึกษา	องค์ประกอบทางการศึกษาที่มีการมอบหมาย	คู่มือการพัฒนาสื่อการศึกษา
UE-1	วัตถุประสงค์: เพื่อกำหนดและพิสูจน์วิธีการหลักในการแก้สมการตามคุณสมบัติของฟังก์ชัน ออกกำลังกาย: ระบุวิธีการแปลงสำหรับการแก้สมการต่อไปนี้: ก) )= -8); ข) = ค) (=( ง) ctg + x 2 -2x = ctg +24; จ) = ; f) = บาป x 2) งาน: แก้สมการที่เสนออย่างน้อยสองสมการ อธิบายว่าวิธีการใดที่ใช้ในสมการที่แก้ได้	ข้อ 7.3 น.212 ข้อ 7.4 น.214 ข้อ 7.5 น.217 ข้อ 7.2 น. 210
UE-2	วัตถุประสงค์: เพื่อฝึกฝนเทคนิคและวิธีแก้ปัญหาอย่างมีเหตุมีผล ออกกำลังกาย: ยกตัวอย่างจากสมการข้างต้นหรือแบบเลือกเอง (ใช้สื่อจากบทเรียนที่แล้ว) ที่แก้ได้โดยใช้วิธีการแก้ปัญหาแบบมีเหตุมีผล มันคืออะไร? (เน้นวิธีการตรวจสอบรากของสมการ)
UE-3	วัตถุประสงค์: การใช้ความรู้ที่ได้รับในการแก้สมการของความซับซ้อนระดับสูง ออกกำลังกาย: = (หรือ ( = (	ข้อ 7.5
UE-4	กำหนดระดับความเชี่ยวชาญของหัวข้อ: ต่ำ - คำตอบไม่เกิน 2 สมการ ปานกลาง - คำตอบไม่เกิน 4 สมการ สูง - คำตอบไม่เกิน 5 สมการ
UE-5	การควบคุมเอาต์พุต: ทำตารางเพื่อนำเสนอวิธีการทั้งหมดที่คุณใช้ในการแปลงสมการ และสำหรับแต่ละวิธีให้จดตัวอย่างสมการที่คุณแก้ได้ โดยเริ่มจากบทที่ 1 ของหัวข้อ: “สมการ - ผลที่ตามมา”	บทคัดย่อในสมุดบันทึก

ขั้นตอนที่ III ของบทเรียน:

ผลงานวินิจฉัยภาพสะท้อนของนักเรียน ซึ่งจะแสดงถึงความพร้อมไม่เพียงแต่ในการเขียนข้อสอบ แต่ยังรวมถึงความพร้อมในการสอบในส่วนนี้ด้วย

ในตอนท้ายของบทเรียน นักเรียนทุกคนโดยไม่มีข้อยกเว้น ประเมินตัวเอง จากนั้นการประเมินของครูจะมาถึง หากเกิดความไม่ลงรอยกันระหว่างครูกับนักเรียน ครูสามารถเสนองานเพิ่มเติมให้นักเรียนเพื่อประเมินผลอย่างเป็นกลาง การบ้านมุ่งตรวจสอบวัสดุก่อนงานควบคุม

งานนำเสนอนี้สามารถใช้เมื่อดำเนินการบทเรียนพีชคณิตและเริ่มต้นการวิเคราะห์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 เมื่อศึกษาหัวข้อ "สมการ - ผลที่ตามมา" ตามสื่อการสอนของผู้เขียน S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin

ดูเนื้อหาเอกสาร
“สมการของผลที่ตามมา การแปลงอื่น ๆ ที่นำไปสู่สมการผลสืบเนื่อง"

สมการ - ผลที่ตามมา

งานช่องปาก

• สมการใดที่เรียกว่าสมการผลพวง
• สิ่งที่เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงไปสู่สมการผลที่ตามมา
• การเปลี่ยนแปลงใดนำไปสู่สมการผลพวง?

งานช่องปาก

• √ x= 6
• √ x-2 = 3
• 3 √x= 4;
• √ x 2 \u003d 9
• √ x+4=-2
• √x+1+√x+2=-2

ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

งานช่องปาก

ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

การเปลี่ยนแปลงที่นำไปสู่สมการผลลัพท์

การเปลี่ยนแปลง

อิทธิพลต่อรากของสมการ

การเพิ่มสมการให้เป็นกำลังคู่

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

ศักยภาพของสมการลอการิทึมเช่น เปลี่ยน:

บันทึก f(x)=บันทึก ก.(x) f(x)= g(x)

สามารถนำไปสู่รากภายนอกได้

ปล่อยสมการจากตัวส่วน:

สามารถนำไปสู่การปรากฏตัวของรากภายนอกเช่น ตัวเลขเหล่านั้น x ฉัน ซึ่งหรือ

การแทนที่ผลต่าง f(x)-f(x) ด้วยศูนย์ นั่นคือ การลดลงของสมาชิกที่คล้ายกัน

สามารถนำไปสู่การปรากฏตัวของรากภายนอกเช่น ตัวเลขเหล่านั้นสำหรับฟังก์ชัน f(x) แต่ละตัวที่ไม่ได้กำหนดไว้

เมื่อแก้สมการนี้ มีการเปลี่ยนเป็นสมการผลที่ตามมา ก็จำเป็นต้องตรวจสอบว่ารากทั้งหมดของสมการผลลัพธ์เป็นรากของสมการเดิมหรือไม่

การตรวจสอบรากที่ได้รับเป็นส่วนบังคับในการแก้สมการ

№ 8.2 2 (ก) แก้สมการ :

2) หมายเลข 8.23(ก)

№ 8.24 (ก, ค) แก้สมการ :

№ 8.25 (ก, ค) แก้สมการ :

№ 8.28 (ก, ค) แก้สมการ :

№ 8.29 (ก, ค) แก้สมการ :

การบ้าน

• วิ่งหมายเลข 8.24 (b, d), หน้า 236
• หมายเลข 8.25(ข,ง)
• 8.28 (ข, ง)
• 8.29 (ข, ง)

ระดับ: 11

ระยะเวลา: 2 บทเรียน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• (สำหรับอาจารย์)การก่อตัวของมุมมองแบบองค์รวมของวิธีการแก้สมการอตรรกยะในหมู่นักเรียน
• (สำหรับนักเรียน)การพัฒนาความสามารถในการสังเกต เปรียบเทียบ สรุป วิเคราะห์สถานการณ์ทางคณิตศาสตร์ (สไลด์ 2) การเตรียมตัวสอบ.

แผนการสอนครั้งแรก(สไลด์ 3)

1. อัพเดทความรู้
2. การวิเคราะห์ทฤษฎี: การเพิ่มสมการให้เป็นกำลังคู่
3. เวิร์คช็อปแก้สมการ

แผนของบทเรียนที่สอง

1. งานอิสระที่แตกต่างในกลุ่ม "สมการอตรรกยะในการสอบ"
2. สรุปบทเรียน
3. การบ้าน

คอร์สเรียน

I. การปรับปรุงความรู้

เป้า:ทำซ้ำแนวคิดที่จำเป็นสำหรับการพัฒนาหัวข้อบทเรียนที่ประสบความสำเร็จ

แบบสำรวจความคิดเห็นด้านหน้า

สมการสองข้อใดที่กล่าวว่าเท่ากัน

การแปลงสมการใดที่เรียกว่าเทียบเท่า

- แทนที่สมการนี้ด้วยสมการที่เทียบเท่ากับคำอธิบายของการแปลงที่นำไปใช้: (สไลด์ 4)

ก) x + 2x +1; ข) 5 = 5; ค) 12x = -3; ง) x = 32; จ) = -4

สมการใดเรียกว่าสมการ-ผลของสมการเดิม

– สมการผลมีรากที่ไม่ใช่รากของสมการเดิมได้หรือไม่ รากเหล่านี้เรียกว่าอะไร?

– การแปลงสมการใดนำไปสู่ผลลัพธ์ของสมการ

รากที่สองเลขคณิตคืออะไร?

วันนี้มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแปลง "การเพิ่มสมการให้เป็นกำลังคู่"

ครั้งที่สอง การวิเคราะห์ทฤษฎี: การเพิ่มสมการให้เป็นกำลังคู่

คำอธิบายโดยครูที่มีส่วนร่วมอย่างแข็งขันของนักเรียน:

ให้2ม.(มN) เป็นจำนวนคงที่คู่ธรรมชาติ แล้วผลของสมการฉ(x) =กรัม(x) คือสมการ (ฉ(x)) = (กรัม(x))

บ่อยครั้งที่คำสั่งนี้ใช้ในการแก้สมการอตรรกยะ

คำนิยาม. สมการที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักภายใต้เครื่องหมายของรูตเรียกว่าอตรรกยะ

เมื่อแก้สมการไม่ลงตัวจะใช้วิธีการต่อไปนี้: (สไลด์ 5)

ความสนใจ! วิธีที่ 2 และ 3 ต้องการ บังคับตรวจสอบ

ODZ ไม่ได้ช่วยกำจัดรากภายนอกเสมอไป

บทสรุป:เมื่อแก้สมการอตรรกยะ สิ่งสำคัญคือต้องผ่านสามขั้นตอน: เทคนิค การวิเคราะห์โซลูชัน การตรวจสอบ (สไลด์ 6)

สาม. เวิร์คช็อปแก้สมการ

แก้สมการ:

หลังจากอภิปรายวิธีการแก้สมการด้วยการยกกำลังสองแล้ว ให้แก้โดยส่งผ่านไปยังระบบที่เทียบเท่ากัน

บทสรุป: การแก้ปัญหาของสมการที่ง่ายที่สุดที่มีรากจำนวนเต็มสามารถทำได้โดยวิธีการที่คุ้นเคย

b) \u003d x - 2

การแก้โจทย์โดยยกสมการทั้งสองส่วนให้เป็นกำลังเท่ากัน นักเรียนจะได้ราก x = 0, x = 3 -, x = 3 + ซึ่งยากและใช้เวลานานในการตรวจสอบโดยการแทนค่า (สไลด์ 7) การเปลี่ยนผ่านสู่ระบบที่เทียบเท่า

ช่วยให้คุณกำจัดรากภายนอกได้อย่างรวดเร็ว เงื่อนไข x ≥ 2 เป็นไปตามเงื่อนไข x เท่านั้น

คำตอบ: 3+

บทสรุป: เป็นการดีกว่าที่จะตรวจสอบรากที่ไม่ลงตัวโดยส่งผ่านไปยังระบบที่เทียบเท่ากัน

c) \u003d x - 3

ในกระบวนการแก้สมการนี้ เราได้รากที่สอง: 1 และ 4 รากทั้งสองเป็นไปตามด้านซ้ายของสมการ แต่สำหรับ x \u003d 1 คำจำกัดความของรากที่สองของเลขคณิตถูกละเมิด สมการ ODZ ไม่ได้ช่วยขจัดรากภายนอก การเปลี่ยนไปใช้ระบบที่เทียบเท่าให้คำตอบที่ถูกต้อง

บทสรุป:ความรู้ความเข้าใจที่ดีในเงื่อนไขทั้งหมดในการหารากที่สองของเลขคณิตช่วยให้ก้าวต่อไปได้ดำเนินการแปลงที่เทียบเท่า

โดยการยกกำลังทั้งสองข้างของสมการ เราจะได้สมการ

x + 13 - 8 + 16 \u003d 3 + 2x - x แยกเครื่องหมายกรณฑ์ไปทางขวาเราจะได้

26 - x + x \u003d 8 การใช้ขั้นตอนเพิ่มเติมเพื่อยกกำลังทั้งสองส่วนของสมการ จะนำไปสู่สมการดีกรีที่ 4 การเปลี่ยนไปใช้สมการ ODZ ให้ผลลัพธ์ที่ดี:

หาสมการ ODZ:

x = 3

ตรวจสอบ: - 4 = , 0 = 0 ถูกต้อง

บทสรุป:บางครั้งก็เป็นไปได้ที่จะดำเนินการแก้ปัญหาโดยใช้คำจำกัดความของสมการ ODZ, แต่อย่าลืมตรวจสอบ

วิธีแก้ไข: สมการ ODZ: -2 - x ≥ 0 x ≤ -2

สำหรับ x ≤ -2< 0, а ≥ 0.

ดังนั้น ด้านซ้ายของสมการจึงเป็นลบ และด้านขวาไม่เป็นค่าลบ ดังนั้นสมการเดิมจึงไม่มีราก

คำตอบ: ไม่มีราก

บทสรุป:เมื่อให้เหตุผลที่ถูกต้องเกี่ยวกับข้อจำกัดในเงื่อนไขของสมการแล้ว คุณสามารถค้นหารากของสมการได้อย่างง่ายดาย หรือพิสูจน์ว่าไม่มีสมการนั้นอยู่

ใช้ตัวอย่างการแก้สมการนี้ แสดงการยกกำลังสองของสมการ อธิบายความหมายของวลี "ความสันโดษของราก" และความจำเป็นในการตรวจสอบรากที่พบ

ชม) + = 1.

การแก้ปัญหาของสมการเหล่านี้ดำเนินการโดยวิธีการเปลี่ยนตัวแปรจนกว่าจะกลับสู่ตัวแปรเดิม เสร็จสิ้นการตัดสินใจที่จะเสนอผู้ที่จะรับมือกับงานในขั้นต่อไปก่อนหน้านี้

คำถามทดสอบ

• วิธีการแก้สมการอตรรกยะที่ง่ายที่สุด?
• สิ่งที่ควรจำเมื่อเพิ่มสมการเป็นกำลังคู่ ( รากภายนอกอาจปรากฏขึ้น)
• วิธีที่ดีที่สุดในการตรวจสอบรากที่ไม่ลงตัวคืออะไร? ( โดยใช้ ODZ และเงื่อนไขความบังเอิญของเครื่องหมายทั้งสองส่วนของสมการ)
• เหตุใดจึงต้องสามารถวิเคราะห์สถานการณ์ทางคณิตศาสตร์เมื่อแก้สมการไม่ลงตัว ( สำหรับการเลือกวิธีการแก้สมการที่ถูกต้องและรวดเร็ว)

IV. งานอิสระที่แตกต่างในกลุ่ม "สมการอตรรกยะในการสอบ"

ชั้นเรียนแบ่งออกเป็นกลุ่ม (คนละ 2-3 คน) ตามระดับการฝึกอบรม แต่ละกลุ่มจะเลือกตัวเลือกพร้อมงาน อภิปรายและแก้ไขปัญหาที่เลือก เมื่อจำเป็น ให้ติดต่ออาจารย์เพื่อขอคำแนะนำ หลังจากทำงานทั้งหมดในเวอร์ชันของตนและตรวจสอบคำตอบโดยครูแล้ว สมาชิกในกลุ่มจะตอบคำตอบของสมการ g) และ h) ของขั้นตอนก่อนหน้าของบทเรียนเป็นรายบุคคล สำหรับตัวเลือกที่ 4 และ 5 (หลังจากตรวจสอบคำตอบและการตัดสินใจของครูแล้ว) งานเพิ่มเติมจะเขียนไว้บนกระดานซึ่งดำเนินการเป็นรายบุคคล

การแก้ปัญหาส่วนบุคคลทั้งหมดในตอนท้ายของบทเรียนจะถูกส่งไปยังครูเพื่อตรวจสอบ

ตัวเลือกที่ 1

แก้สมการ:

ก) = 6;
ข) = 2;
c) \u003d 2 - x;
ง) (x + 1) (5 - x) (+ 2 = 4

ตัวเลือก 5

1. แก้สมการ:

ก) = ;
ข) = 3 - 2x;

2. แก้ระบบสมการ:

งานเพิ่มเติม:

วี สรุปบทเรียน

คุณประสบปัญหาอะไรบ้างในการทำข้อสอบ อะไรที่จำเป็นในการเอาชนะปัญหาเหล่านี้?

หก. การบ้าน

ทำซ้ำทฤษฎีการแก้สมการอตรรกยะ อ่านวรรค 8.2 ในตำราเรียน (ให้ความสนใจกับตัวอย่างที่ 3)

แก้หมายเลข 8.8 (a, c), หมายเลข 8.9 (a, c), หมายเลข 8.10 (a)

วรรณกรรม:

1. Nikolsky S.M. , Potapov M.K. , N.N. Reshetnikov N.N. , Shevkin A.V. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ , หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาชั้นประถมศึกษาปีที่ 11, M.: Education, 2009.
2. มอร์ดโควิช เอ.จี. ในบางประเด็นระเบียบวิธีที่เกี่ยวข้องกับการแก้สมการ คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน -2006. -หมายเลข 3
3. ม.ชาบูนิน. สมการ การบรรยายสำหรับนักเรียนมัธยมปลายและผู้เข้าประกวด มอสโก "Chistye Prudy", 2005. (ห้องสมุด "ต้นเดือนกันยายน")
4. อี.เอ็น. บาลายัน. Workshop แก้ปัญหา. สมการอตรรกยะ ความไม่เท่าเทียมกันและระบบ Rostov-on-Don "ฟีนิกซ์", 2549
5. คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสอบปี 2554 เรียบเรียงโดย F.F. ลีเซนโก, เอส.ยู. Kulabukhov Legion-M, Rostov-on-Don, 2010.

การแปลงบางส่วนช่วยให้เราสามารถย้ายจากสมการที่กำลังแก้ไปเป็นสมการที่เท่ากันได้ เช่นเดียวกับสมการผลที่ตามมา ซึ่งทำให้การแก้สมการเดิมง่ายขึ้น ในเอกสารนี้ เราจะบอกคุณว่าสมการเหล่านี้คืออะไร กำหนดคำจำกัดความหลัก แสดงตัวอย่างด้วยตัวอย่างประกอบ และอธิบายว่ารากของสมการดั้งเดิมคำนวณจากรากของสมการผลลัพธ์หรือสมการที่เทียบเท่ากันอย่างไร

Yandex.RTB R-A-339285-1

แนวคิดของสมการเทียบเท่า

คำจำกัดความ 1

เทียบเท่าเรียกว่าสมการที่มีรากเหมือนกัน หรือสมการที่ไม่มีราก

คำจำกัดความประเภทนี้มักพบในตำราเรียนต่างๆ ลองยกตัวอย่าง

คำจำกัดความ 2

สมการ f (x) = g (x) ถือว่าเทียบเท่ากับสมการ r (x) = s (x) ถ้ารากมีรากเหมือนกันหรือไม่มีรากทั้งสอง

คำจำกัดความ 3

สมการที่มีรากเดียวกันจะถือว่าเทียบเท่า นอกจากนี้ยังถือว่าเป็นสมการสองสมการที่ไม่มีรากเท่ากัน

คำจำกัดความ 4

หากสมการ f (x) \u003d g (x) มีรากชุดเดียวกันกับสมการ p (x) \u003d h (x) จะถือว่ามีค่าเท่ากันโดยเทียบเคียงกัน

เมื่อเราพูดถึงเซตของรูตที่ตรงกัน เราหมายความว่าถ้าจำนวนหนึ่งเป็นรูทของสมการหนึ่ง ค่านั้นก็จะพอดีเป็นคำตอบของสมการอื่น ไม่มีสมการใดที่เทียบเท่ากันสามารถมีรากที่ไม่เหมาะกับสมการอื่นได้

เราให้ตัวอย่างสมการดังกล่าวหลายตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

ตัวอย่างเช่น 4 x \u003d 8, 2 x \u003d 4 และ x \u003d 2 จะเทียบเท่ากันเนื่องจากแต่ละรายการมีเพียงหนึ่งรูท - สอง นอกจากนี้ x · 0 = 0 และ 2 + x = x + 2 จะเท่ากัน เนื่องจากรากของพวกมันสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ กล่าวคือ เซตของคำตอบของพวกมันจะเท่ากัน สมการ x = x + 5 และ x 4 = − 1 จะเท่ากัน ซึ่งแต่ละสมการไม่มีคำตอบ

เพื่อความชัดเจน ให้พิจารณาตัวอย่างสมการไม่สมมูลหลายตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างเช่น x = 2 และ x 2 = 4 จะเป็นเพราะรากต่างกัน เช่นเดียวกับสมการ x x \u003d 1 และ x 2 + 5 x 2 + 5 เพราะในวินาที คำตอบสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ และในวินาที รูทไม่สามารถเป็น 0 ได้

คำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นยังเหมาะสำหรับสมการที่มีตัวแปรหลายตัว อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่เรากำลังพูดถึงรากสอง สามหรือมากกว่านั้น นิพจน์ "การแก้สมการ" จะเหมาะสมกว่า ดังนั้น เพื่อสรุป: สมการที่เท่ากันคือสมการที่มีคำตอบเหมือนกันหรือไม่มีเลย

มาดูตัวอย่างสมการที่มีตัวแปรหลายตัวและมีค่าเท่ากันกัน ดังนั้น x 2 + y 2 + z 2 = 0 และ 5 x 2 + x 2 y 4 z 8 = 0 รวมตัวแปรสามตัวแต่ละตัวและมีคำตอบเดียวเท่ากับ 0 ในทั้งสามกรณี และสมการคู่ x + y = 5 และ x y = 1 จะไม่เท่ากัน เนื่องจาก ตัวอย่างเช่น ค่า 5 และ 3 จะเหมาะสมสำหรับค่าแรก แต่จะไม่ใช่คำตอบของข้อที่สอง: เมื่อแทนที่พวกมันในสมการแรก เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง และในสมการที่สอง - เท็จ

แนวคิดของสมการผลลัพท์

ให้เรายกตัวอย่างคำจำกัดความของสมการผลพวงที่นำมาจากตำราเรียน

คำจำกัดความ 5

ผลที่ตามมาของสมการ f (x) = g (x) จะเป็นสมการ p (x) = h (x) โดยที่แต่ละรากของสมการแรกจะต้องเป็นรากของสมการที่สองในเวลาเดียวกัน

คำจำกัดความ 6

หากสมการแรกมีรากเดียวกับสมการที่สอง สมการที่สองจะเป็นผลมาจากสมการแรก

ลองมาดูตัวอย่างสมการดังกล่าวกัน

ตัวอย่างที่ 3

ดังนั้น x 2 = 32 จะเป็นผลมาจาก x - 3 = 0 เนื่องจากอันแรกมีเพียงหนึ่งรูทเท่ากับสาม และมันจะเป็นรูทของสมการที่สองด้วย ดังนั้นในบริบทของคำจำกัดความนี้ สมการเดียว จะเป็นผลสืบเนื่องมาจากผู้อื่น อีกตัวอย่างหนึ่ง สมการ (x − 2) (x − 3) (x − 4) = 0 จะเป็นผลมาจาก x - 2 x - 3 x - 4 2 x - 4 เพราะสมการที่สองมีสองราก เท่ากับ 2 และ 3 ซึ่งในขณะเดียวกันก็จะเป็นรากเหง้าของตัวแรก

จากคำจำกัดความข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่าสมการใดๆ ที่ไม่มีรากก็จะเป็นผลมาจากสมการใดๆ เช่นกัน ต่อไปนี้คือผลที่ตามมาบางส่วนจากกฎทั้งหมดที่กำหนดไว้ในบทความนี้:

คำจำกัดความ 7

1. หากสมการหนึ่งเทียบเท่ากับอีกสมการหนึ่ง สมการแต่ละสมการจะเป็นผลมาจากอีกสมการหนึ่ง
2. หากสมการสองสมการเป็นผลมาจากอีกสมการหนึ่ง สมการเหล่านี้จะเท่ากัน
3. สมการจะเท่ากันด้วยความเคารพซึ่งกันและกันก็ต่อเมื่อแต่ละสมการเป็นผลมาจากกันและกัน

วิธีหารากของสมการจากรากของสมการผลหรือสมการที่เท่ากัน

จากสิ่งที่เราเขียนในคำจำกัดความ ในกรณีเมื่อเรารู้รากของสมการหนึ่ง เราก็รู้รากของสมการที่เท่ากันด้วย เนื่องจากพวกมันจะตรงกัน

หากเราทราบรากทั้งหมดของสมการผลแล้ว เราก็สามารถกำหนดรากของสมการที่สองได้ ซึ่งเป็นผลที่ตามมา ในการทำเช่นนี้คุณเพียงแค่กำจัดรากภายนอก เราเขียนบทความแยกต่างหากเกี่ยวกับวิธีการทำสิ่งนี้ เราแนะนำให้คุณอ่าน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เพื่อศึกษาหัวข้อของวันนี้ เราต้องทำซ้ำว่าสมการใดเรียกว่าสมการผลที่ตามมา ซึ่งทฤษฎีบทนั้น "กระสับกระส่าย" และขั้นตอนใดในการแก้สมการใดๆ

คำนิยาม.หากแต่ละรากของสมการ ef จาก x เท่ากับ x (เราแทนด้วยเลขหนึ่ง) ในเวลาเดียวกันรากของสมการ pe จาก x เท่ากับเถ้าจาก x (เราแทนด้วยเลขสอง) แล้วสมการที่สองเรียกว่าผลที่ตามมาของสมการที่หนึ่ง

ทฤษฎีบทที่สี่ถ้าทั้งสองข้างของสมการ ef จาก x เท่ากันจาก x ให้คูณด้วยนิพจน์เดียวกัน ash จาก x ซึ่งก็คือ

อย่างแรก มันสมเหตุสมผลทุกที่ในโดเมนของคำจำกัดความ (ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้) ของสมการที่ออกจาก x ซึ่งเท่ากับจาก x

ประการที่สอง ไม่มีที่ไหนในภูมิภาคนี้ที่มันหายไป จากนั้นเราจะได้สมการ ef จาก x คูณด้วยเถ้าจาก x เท่ากับ x คูณด้วยเถ้าจาก x เท่ากับที่กำหนดใน ODZ

ผลที่ตามมา ทฤษฎีบทที่สี่เป็นคำสั่งที่ "สงบ" อีกประโยคหนึ่ง: ถ้าทั้งสองส่วนของสมการถูกคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกัน จะได้สมการที่เทียบเท่ากับค่าที่กำหนด

ทฤษฎีบทที่ห้า. ถ้าทั้งสองข้างของสมการ

ef จาก x เท่ากับ x ไม่เป็นลบในสมการ ODZ จากนั้นหลังจากยกทั้งสองส่วนให้มีค่าเท่ากันกำลัง n เราจะได้สมการ eff จาก x ยกกำลัง x เท่ากับ x ยกกำลังของ x เท่ากับสมการนี้ใน o de ze

ทฤษฎีบทที่หก. ให้ a มากกว่าศูนย์และไม่เท่ากับหนึ่งและออกจาก x มากกว่าศูนย์

zhe จาก x มากกว่าศูนย์ สมการโทโลลอการิทึมคือลอการิทึมของ ef จาก x ถึงฐาน a เท่ากับลอการิทึมของ zhe จาก x ถึงฐาน a

เท่ากับสมการ ef จาก x เท่ากับ จาก x .

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว การแก้สมการใด ๆ เกิดขึ้นในสามขั้นตอน:

ขั้นตอนแรกเป็นเทคนิค ด้วยความช่วยเหลือของห่วงโซ่ของการแปลงจากสมการดั้งเดิม เรามาถึงสมการที่ค่อนข้างง่าย ซึ่งเราแก้และหาราก

ขั้นตอนที่สองคือการวิเคราะห์โซลูชัน เราวิเคราะห์การแปลงที่เราทำและค้นหาว่าเทียบเท่ากันหรือไม่

ขั้นตอนที่สามคือการตรวจสอบ การตรวจสอบรากทั้งหมดที่พบโดยการแทนที่พวกมันลงในสมการดั้งเดิมนั้นจำเป็นเมื่อทำการแปลงที่สามารถนำไปสู่สมการผลลัพธ์

ในบทเรียนนี้ เราจะพบว่า เมื่อใช้การแปลงแบบใดที่สมการนี้ไปเป็นสมการผลลัพธ์ พิจารณางานต่อไปนี้

แบบฝึกหัด 1

สมการใดเป็นผลมาจากสมการ x ลบสามเท่ากับสอง

วิธีการแก้

สมการ x ลบสามเท่ากับสองมีรากเดียว - x เท่ากับห้า คูณทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วยนิพจน์ x ลบ 6 บวกพจน์ที่เหมือนกัน แล้วได้สมการกำลังสอง x กำลังสอง ลบ 11 x บวก 30 เท่ากับศูนย์ ลองคำนวณรากของมัน: x อันแรกเท่ากับห้า; x วินาที เท่ากับ หก มันมีอยู่แล้วสองราก สมการ x กำลังสอง ลบ 11 x บวกสามสิบเท่ากับศูนย์ มีรากเดียว - x เท่ากับห้า ของสมการ x ลบสาม เท่ากับสอง ดังนั้น x กำลังสอง ลบ สิบเอ็ด x บวกสามสิบ เป็นผลมาจากสมการ x ลบ สาม เท่ากับสอง

งาน2

สมการอื่นใดที่เป็นผลมาจากสมการ x-3=2?

วิธีการแก้

ในสมการ x ลบสามเท่ากับสอง เรายกกำลังสองส่วนของมัน ใช้สูตรสำหรับกำลังสองของผลต่าง บวกพจน์ที่เหมือนกัน เราได้สมการกำลังสอง x กำลังสอง ลบหก, x บวกห้า เท่ากับศูนย์

ลองคำนวณรากของมัน: x อันแรกเท่ากับห้า x อันที่สองเท่ากับหนึ่ง

ราก x เท่ากับ 1 อยู่นอกสมการ x ลบสามเท่ากับสอง สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะทั้งสองข้างของสมการเดิมยกกำลังสอง (กำลังคู่) แต่ในขณะเดียวกัน ด้านซ้ายของมัน - x ลบสาม - สามารถเป็นลบได้ (เงื่อนไข ทฤษฎีบทที่ห้า). สมการ x กำลังสอง ลบ 6 x บวก 5 เท่ากับศูนย์ เป็นผลมาจากสมการ x ลบสาม เท่ากับสอง

งาน3

หาสมการ-ผลสืบเนื่องของสมการ

ลอการิทึมของ x บวก 1 ถึงฐาน 3 บวกลอการิทึมของ x บวก 3 ถึงฐาน 3 เท่ากับ 1

วิธีการแก้

เราแทนความสามัคคีเป็นลอการิทึมของสามต่อฐานของสาม เพิ่มศักยภาพของสมการลอการิทึม คูณ บวกพจน์ที่คล้ายกัน แล้วได้สมการกำลังสอง x กำลังสอง บวกสี่ x เท่ากับศูนย์ ลองคำนวณรากของมัน: x อันแรกเท่ากับศูนย์ x อันที่สองเท่ากับลบสี่ ราก x เท่ากับลบสี่นั้นไม่เกี่ยวข้องสำหรับสมการลอการิทึมเนื่องจากเมื่อแทนที่สมการลอการิทึมแล้วนิพจน์ x บวกหนึ่งและ x บวกสามจะใช้ค่าลบ - เงื่อนไขถูกละเมิด ทฤษฎีบทที่หก.

สมการ x กำลังสอง บวก 4 x เท่ากับศูนย์ เป็นผลมาจากสมการนี้

จากการแก้ปัญหาของตัวอย่างเหล่านี้ เราสามารถทำได้ บทสรุป:สมการผลลัพธ์ได้มาจากสมการที่กำหนดโดยการขยายโดเมนของสมการ และนี่เป็นไปได้เมื่อทำการแปลงเช่น

1) การกำจัดตัวส่วนที่มีตัวแปร;

2) การเพิ่มสมการทั้งสองส่วนให้มีกำลังเท่ากัน

3) การยกเว้นจากสัญญาณของลอการิทึม

จำไว้ ถ้าในระหว่างการแก้สมการโดเมนของคำจำกัดความของสมการได้ขยายออกไปก็จำเป็นต้องตรวจสอบรากทั้งหมดที่พบ

งาน 4

แก้สมการ x ลบสามหารด้วย x ลบห้า บวกหนึ่งหารด้วย x เท่ากับ x บวกห้าหารด้วย x คูณ x ลบห้า

วิธีการแก้

ขั้นตอนแรกเป็นเทคนิค

มาทำการแปลงเป็นลูกโซ่กัน รับสมการที่ง่ายที่สุดแล้วแก้มัน ในการทำเช่นนี้ เราคูณทั้งสองส่วนของสมการด้วยตัวหารร่วมของเศษส่วน นั่นคือโดยนิพจน์ x คูณด้วย x ลบห้า

เราได้สมการกำลังสอง x กำลังสอง ลบสาม x ลบสิบ เท่ากับศูนย์ มาคำนวณรากกัน: x อันแรกเท่ากับห้า x อันที่สองเท่ากับลบสอง

ขั้นตอนที่สองคือการวิเคราะห์โซลูชัน

เมื่อแก้สมการ เราคูณทั้งสองส่วนด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร ซึ่งหมายความว่าโดเมนของคำจำกัดความของสมการได้ขยายออกไป ดังนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบราก

ขั้นตอนที่สามคือการตรวจสอบ

เมื่อ x เท่ากับลบ 2 ตัวส่วนร่วมจะไม่หายไป x เท่ากับ ลบ 2 ก็คือรูทของสมการนี้

เมื่อ x เท่ากับห้า ตัวส่วนร่วมจะเป็นศูนย์ ดังนั้น x เท่ากับห้า - รูตภายนอก

คำตอบ: ลบสอง

งาน 5

แก้สมการรากที่สองของ x ลบหก เท่ากับ รากที่สองของสี่ลบ x

วิธีการแก้

ขั้นตอนแรกเป็นเทคนิค .

เพื่อให้ได้สมการง่าย ๆ และแก้มัน เราดำเนินการแปลงเป็นลูกโซ่

ลองยกกำลังสอง (กำลังคู่) ทั้งสองส่วนของสมการนี้ ย้าย x ไปทางซ้าย และตัวเลขไปทางด้านขวาของสมการ ให้พจน์เท่ากัน เราจะได้ สอง x เท่ากับสิบ X เท่ากับห้า

ขั้นตอนที่สองคือการวิเคราะห์โซลูชัน

ลองตรวจสอบการแปลงที่ดำเนินการเพื่อความเท่าเทียมกัน

เวลาแก้สมการ เรายกกำลังสองมันสองข้าง ซึ่งหมายความว่าโดเมนของคำจำกัดความของสมการได้ขยายออกไป ดังนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบราก

ขั้นตอนที่สามคือการตรวจสอบ

เราแทนที่รากที่พบลงในสมการดั้งเดิม

ถ้า x เท่ากับห้า นิพจน์รากที่สองของสี่ลบ x จะไม่ถูกกำหนด ดังนั้น x เท่ากับห้าจึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง สมการนี้ไม่มีราก

คำตอบ: สมการไม่มีราก

งาน 6

แก้สมการ ลอการิทึมธรรมชาติของ x กำลังสองบวกสอง x ลบเจ็ด เท่ากับลอการิทึมธรรมชาติของ x ลบหนึ่ง

วิธีการแก้

ขั้นตอนแรกเป็นเทคนิค .

มาทำการแปลงเป็นลูกโซ่กัน รับสมการที่ง่ายที่สุดแล้วแก้มัน การทำเช่นนี้เราเพิ่มศักยภาพ

สมการ เราย้ายเทอมทั้งหมดไปทางด้านซ้ายของสมการ เรานำพจน์ที่คล้ายกัน เราได้สมการกำลังสอง x สี่เหลี่ยม บวก x ลบ หก เท่ากับศูนย์ มาคำนวณรากกัน: x อันแรกเท่ากับสอง x อันที่สองเท่ากับลบสาม

ขั้นตอนที่สองคือการวิเคราะห์โซลูชัน

ลองตรวจสอบการแปลงที่ดำเนินการเพื่อความเท่าเทียมกัน

ในกระบวนการแก้สมการนี้ เราได้กำจัดเครื่องหมายลอการิทึม ซึ่งหมายความว่าโดเมนของคำจำกัดความของสมการได้ขยายออกไป ดังนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบราก

ขั้นตอนที่สามคือการตรวจสอบ

เราแทนที่รากที่พบลงในสมการดั้งเดิม

ถ้า x เท่ากับสอง เราก็ได้ลอการิทึมธรรมชาติของเอกภาพเท่ากับลอการิทึมธรรมชาติของเอกภาพ -

ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

ดังนั้น x เท่ากับสองจึงเป็นรากของสมการนี้

ถ้า x เป็นลบสาม ลอการิทึมธรรมชาติของ x กำลังสอง บวกสอง x ลบเจ็ด และลอการิทึมธรรมชาติของ x ลบ 1 จะไม่ถูกกำหนด x เท่ากับลบสามจึงเป็นรูทภายนอก

คำตอบ: สอง

จำเป็นต้องแยกแยะสามขั้นตอนเสมอเมื่อแก้สมการหรือไม่? จะตรวจสอบได้อย่างไร?

เราจะได้คำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้ในบทต่อไป