แบบจำลองที่อธิบายโดยระบบสองระบบอัตโนมัติ สมการเชิงอนุพันธ์.

ระนาบเฟส ภาพเหมือนของเฟส วิธีไอโซลีน ไอโซไลน์หลัก ความมั่นคงของรัฐที่มั่นคง ระบบเชิงเส้นตรง. ประเภทจุดสำคัญ: โหนด, อาน, โฟกัส, ศูนย์กลาง ตัวอย่าง: ปฏิกริยาเคมีคำสั่งแรก.

ผลลัพธ์ที่น่าสนใจที่สุดเกี่ยวกับการสร้างแบบจำลองเชิงคุณภาพของคุณสมบัติของระบบชีวภาพได้มาจากแบบจำลองสมการเชิงอนุพันธ์สองแบบซึ่งช่วยให้สามารถศึกษาเชิงคุณภาพโดยใช้วิธีการได้ ระนาบเฟส. พิจารณาระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอิสระสองตัวที่มีรูปแบบทั่วไป

(4.1)

P(x,y), Q(x,y)- ฟังก์ชั่นต่อเนื่องที่กำหนดไว้ในบางโดเมน ชเครื่องบินแบบยุคลิด ( เอ็กซ์, ย- พิกัดคาร์ทีเซียน) และมีอนุพันธ์อย่างต่อเนื่องในบริเวณนี้ไม่ต่ำกว่าลำดับแรก

ภูมิภาค ชสามารถเป็นได้ทั้งไม่จำกัดหรือจำกัด ถ้าเป็นตัวแปร เอ็กซ์, ยมีความหมายทางชีววิทยาจำเพาะ (ความเข้มข้นของสาร ความอุดมสมบูรณ์ของชนิด) ส่วนใหญ่มักเป็นบริเวณนั้น ชคือจตุภาคบวกของครึ่งระนาบด้านขวา:

0 £ x< ¥ ,0 £ ย< ¥ .

ความเข้มข้นของสารหรือความอุดมสมบูรณ์ของสายพันธุ์สามารถถูกจำกัดจากด้านบนด้วยปริมาตรของเรือหรือตามพื้นที่ที่อยู่อาศัย ดังนั้นช่วงของตัวแปรจะมีรูปแบบดังนี้

0 £ x< x 0 , 0 £ ย< y 0 .

ตัวแปร เอ็กซ์, ยเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามระบบสมการ (4.1) เพื่อให้แต่ละสถานะของระบบสอดคล้องกับค่าคู่ของตัวแปร ( เอ็กซ์, ย).

ในทางกลับกัน สำหรับตัวแปรแต่ละคู่ ( เอ็กซ์, ย) สอดคล้องกับสถานะที่แน่นอนของระบบ

พิจารณาระนาบที่มีแกนพิกัดซึ่งค่าของตัวแปรถูกพล็อต เอ็กซ์, ย. ทุกจุด มระนาบนี้สอดคล้องกับสถานะที่แน่นอนของระบบ ระนาบดังกล่าวเรียกว่าระนาบเฟสและแสดงให้เห็นผลรวมของสถานะทั้งหมดของระบบ จุด M(x, y) เรียกว่าจุดแสดงหรือจุดแทน

ให้ในครั้งแรก เสื้อ=เสื้อ 0 แทนพิกัดจุด ม 0 (x(ที 0),ย(ที 0)). ในแต่ละช่วงเวลาต่อไป ทีจุดที่บรรยายจะเคลื่อนที่ตามการเปลี่ยนแปลงค่าของตัวแปร x(ที),ย(ที). ชุดของคะแนน ม(x(ที), คุณ(t)) บนระนาบเฟสตำแหน่งที่สอดคล้องกับสถานะของระบบในกระบวนการเปลี่ยนตัวแปรเมื่อเวลาผ่านไป เอ็กซ์(ที), ใช่(t)ตามสมการ (4.1) เรียกว่า วิถีเฟส

ชุดของวิถีเฟสสำหรับค่าเริ่มต้นที่แตกต่างกันของตัวแปรทำให้ "แนวตั้ง" ของระบบมองเห็นได้ง่าย อาคาร แนวตั้งเฟสช่วยให้คุณสามารถสรุปเกี่ยวกับลักษณะของการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรได้ เอ็กซ์, ยโดยไม่รู้คำตอบเชิงวิเคราะห์ของระบบสมการดั้งเดิม(4.1).

ในการพรรณนาภาพบุคคลของเฟส จำเป็นต้องสร้างสนามเวกเตอร์ของทิศทางสำหรับวิถีการเคลื่อนที่ของระบบที่แต่ละจุดของระนาบเฟส โดยระบุส่วนเพิ่มดี เสื้อ>0,เราได้รับการเพิ่มขึ้นที่สอดคล้องกัน ดี xและ ดี ยจากสำนวน:

ดี x=P(x,y)ดี ที,

ดี y=Q(x,y)ดี ที

ทิศทางเวกเตอร์ ดี/ดีเอ็กซ์ณ จุด ( เอ็กซ์, ย) ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของฟังก์ชัน P(x, y), Q(x, y)และสามารถรับได้จากตาราง:

P(x,y)>0,Q(x,y)>0
ป(x,ย)<0,Q(x,y)<0
P(x,y)>0,Q(x,y)<0
ป(x,ย)<0,Q(x,y)>0

.(4.2)

คำตอบของสมการนี้ ย=ย(เอ็กซ์ ค), หรือโดยปริยาย เอฟ(เอ็กซ์, ย)=ค,ที่ไหน กับคือค่าคงที่ของการอินทิเกรต ให้ตระกูลของเส้นโค้งอินทิกรัลของสมการ (4.2) - วิถีเฟสระบบ (4.1) บนเครื่องบิน เอ็กซ์, ย.

วิธีไอโซลีน

ในการสร้างภาพเหมือนของเฟส เราใช้ วิธีไอโซลีน -เส้นจะถูกวาดบนระนาบเฟสซึ่งตัดกับส่วนโค้งอินทิกรัลที่มุมใดมุมหนึ่งโดยเฉพาะ สมการไอโซไคลน์หาได้ง่ายจาก (4.2) มาใส่กันเถอะ

ที่ไหน ก– ค่าคงที่ที่แน่นอน ความหมาย กแทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์กับวิถีเฟสและสามารถรับค่าได้จาก -¥ ถึง + ¥ . เข้ามาทดแทน ดี/ดีเอ็กซ์ใน (4.2) ปริมาณ กเราได้สมการไอโซไคลน์:

.(4.3)

สมการ (4.3) กำหนดที่แต่ละจุดของระนาบเพียงเส้นสัมผัสของเส้นโค้งอินทิกรัลที่สอดคล้องกัน ยกเว้นจุดที่ ป(x,ย)= 0, คิว (เอ็กซ์, ย) = 0 ซึ่งทิศทางของแทนเจนต์ไม่มีกำหนด เนื่องจากมูลค่าของอนุพันธ์ไม่มีกำหนด:

.

จุดนี้เป็นจุดตัดของไอโซไลน์ทั้งหมด - จุดพิเศษมันจะลบอนุพันธ์ของเวลาของตัวแปรไปพร้อมๆ กัน xและ ย.

ดังนั้น ณ จุดเอกพจน์ อัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรจึงเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจุดเอกพจน์ของสมการเชิงอนุพันธ์ของวิถีเฟส (4.2) จึงสอดคล้องกัน สถานะคงที่ของระบบ(4.1) และพิกัดของมันคือค่าคงที่ของตัวแปร เอ็กซ์, ย.

ที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือ ไอโซไลน์หลัก:

dy/dx=0, ป(เอ็กซ์, ย)=0 – ไอโซไลน์ของแทนเจนต์แนวนอนและ

ได/dx=¥ , คิว(เอ็กซ์, ย)=0 – ไอโซไลน์ของแทนเจนต์แนวตั้ง

โดยการสร้างเส้นไอโซไลน์หลักและหาจุดตัดกัน (x,y) พิกัดที่ตรงตามเงื่อนไข:

ดังนั้น เราจะพบจุดตัดของไอโซไลน์ทั้งหมดของระนาบเฟส โดยที่ทิศทางของแทนเจนต์กับวิถีเฟสนั้นไม่มีกำหนด นี้ - จุดเอกพจน์ซึ่งสอดคล้องกัน สถานะคงที่ของระบบ(รูปที่ 4.2)

ระบบ (4.1) มีสถานะคงที่มากเท่ากับที่มีจุดตัดกันของไอโซไลน์หลักบนระนาบเฟส

วิถีโคจรแต่ละเฟสสอดคล้องกับชุดการเคลื่อนที่ของระบบไดนามิกที่ผ่านสถานะเดียวกันและแตกต่างกันเฉพาะเมื่อเริ่มต้นการอ้างอิงเวลาเท่านั้น

หากเงื่อนไขของทฤษฎีบทคอชีเป็นไปตามนั้น ก็จะผ่านแต่ละจุดของปริภูมิ x, y, tผ่านเส้นโค้งอินทิกรัลเส้นเดียว ต้องขอบคุณความเป็นอิสระสำหรับวิถีเฟส: วิถีเฟสเฉพาะจะผ่านแต่ละจุดของระนาบเฟส

ความมั่นคงของรัฐที่มั่นคง

ให้ระบบอยู่ในสภาวะสมดุล

จากนั้นจุดตัวแทนจะอยู่ที่จุดเอกพจน์จุดใดจุดหนึ่งของระบบ ซึ่งตามคำจำกัดความ:

.

จุดเอกพจน์จะคงที่หรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับว่าจุดตัวแทนออกไปหรือไม่โดยมีการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากสถานะคงที่ ดังที่ใช้กับระบบสมการ 2 สมการ นิยามความมั่นคงทางภาษาจ, งดังต่อไปนี้

สภาวะสมดุลจะเสถียรหากพื้นที่เบี่ยงเบนไปจากสภาวะสมดุล (จ )สามารถระบุพื้นที่ได้ ง (จ )โดยรอบสภาวะสมดุลและมีคุณสมบัติที่ไม่มีวิถีที่เริ่มต้นภายในภูมิภาค ง ย่อมไม่มีวันถึงชายแดน จ . (รูปที่ 4.4)

สำหรับระบบคลาสใหญ่ - ระบบหยาบ – ลักษณะของพฤติกรรมที่ไม่เปลี่ยนแปลงโดยมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในประเภทของสมการข้อมูลเกี่ยวกับประเภทของพฤติกรรมในบริเวณใกล้เคียงของสภาวะนิ่งสามารถรับได้โดยการศึกษาไม่ใช่ต้นฉบับ แต่ทำให้ง่ายขึ้น ทำให้เป็นเส้นตรงระบบ.

ระบบเชิงเส้นตรง

พิจารณาระบบสอง สมการเชิงเส้น:

.(4.4)

ที่นี่ เอบีซีดี- ค่าคงที่ เอ็กซ์, ย- พิกัดคาร์ทีเซียนบนระนาบเฟส

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะอยู่ในรูปแบบ:

.(4.5)

แทนนิพจน์เหล่านี้ใน (4.4) และลดด้วย จ ล ที:

(4.6)

ระบบสมการพีชคณิต (4.6) ไม่ทราบค่า เอ, บีมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่ศูนย์ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบมีค่าเท่ากับศูนย์:

.

เมื่อขยายดีเทอร์มิแนนต์นี้ เราจะได้สมการคุณลักษณะของระบบ:

.(4.7)

การแก้สมการนี้ให้ค่าของตัวบ่งชี้ล 1,2 ภายใต้ค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ที่เป็นไปได้ กและ บีการแก้สมการ (4.6) ค่าเหล่านี้คือ

.(4.8)

หากการแสดงออกที่รุนแรงเป็นลบแสดงว่าล 1,2 จำนวนคอนจูเกตที่ซับซ้อน สมมติว่ารากทั้งสองของสมการ (4.7) มีส่วนจริงที่ไม่เป็นศูนย์และไม่มีรากหลายส่วน จากนั้นคำตอบทั่วไปของระบบ (4.4) สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเลขชี้กำลังกับเลขชี้กำลังล 1 , ล 2 :

(4.9)

เราใช้เพื่อวิเคราะห์ลักษณะของวิถีที่เป็นไปได้ของระบบบนระนาบเฟส การแปลงพิกัดเอกพันธ์เชิงเส้นซึ่งจะนำระบบมาสู่ รูปแบบบัญญัติ:

,(4.10)

ซึ่งช่วยให้การแสดงบนระนาบเฟสสะดวกยิ่งขึ้นเมื่อเปรียบเทียบกับระบบดั้งเดิม (4.4) มาแนะนำพิกัดใหม่กันξ , η ตามสูตร:

(4.1)

ทราบจากหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้นว่าถ้าส่วนจริงไม่เท่ากับศูนย์ล 1 , ล 2 ระบบดั้งเดิม (4.4) ด้วยความช่วยเหลือของการแปลง (4.11) สามารถแปลงเป็นรูปแบบมาตรฐาน (4.10) ได้ตลอดเวลาและสามารถศึกษาพฤติกรรมของมันบนระนาบเฟสได้ξ , η . พิจารณากรณีต่าง ๆ ที่อาจเกิดขึ้นที่นี่

ราก แล 1 , λ 2 – ถูกต้องและมีเครื่องหมายเดียวกัน

ในกรณีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์การเปลี่ยนแปลงเป็นจริง เราย้ายจากระนาบจริงเอ็กซ์, ยไปยังระนาบจริง ξ, η เราได้หารสมการที่สอง (4.10) ด้วยสมการแรก:

.(4.12)

เราพบการรวมสมการนี้:

ที่ไหน .(4.13)

ให้เราตกลงที่จะเข้าใจโดย แล 2 รากของสมการคุณลักษณะที่มีโมดูลัสขนาดใหญ่ซึ่งไม่ละเมิดเหตุผลทั่วไปของเรา จากนั้น เนื่องจากในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณาราก แล 1 , แลมบ์ดา – ถูกต้องและมีเครื่องหมายเดียวกันก>1 และเรากำลังเผชิญกับเส้นโค้งอินทิกรัลประเภทพาราโบลา

เส้นโค้งอินทิกรัลทั้งหมด (ยกเว้นแกน η ซึ่งสอดคล้องกับ ) สัมผัสที่จุดกำเนิดของแกน ξ, ซึ่งเป็นเส้นโค้งอินทิกรัลของสมการด้วย (4.11) ต้นกำเนิดของพิกัดเป็นจุดเอกพจน์

ตอนนี้ให้เราค้นหาทิศทางการเคลื่อนที่ของจุดตัวแทนตามวิถีเฟส ถ้า แล 1 , แล 2 เป็นลบ ดังที่เห็นได้จากสมการ (4.10), |ξ|, |η| ลดลงเมื่อเวลาผ่านไป จุดแสดงเข้าใกล้จุดกำเนิดแต่ไปไม่ถึงจุดนั้น มิฉะนั้น สิ่งนี้จะขัดแย้งกับทฤษฎีบทของ Cauchy ซึ่งระบุว่ามีวิถีโคจรเฟสเดียวเท่านั้นที่ผ่านแต่ละจุดของระนาบเฟส

จุดเอกพจน์ที่เส้นโค้งอินทิกรัลผ่านไป เช่นเดียวกับตระกูลพาราโบลา ผ่านจุดกำเนิดเรียกว่าโหนด (รูปที่. 4.5)

สถานะสมดุลแบบปมที่ แล 1 , แล 2 < 0 มีความเสถียรตาม Lyapunov เนื่องจากจุดแทนเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งอินทิกรัลทั้งหมดไปยังจุดกำเนิดของพิกัด นี้ ปมที่มั่นคง. ถ้า แล 1 , แล 2 > 0 แล้ว |ξ|, |η| เพิ่มขึ้นตามเวลาและจุดตัวแทนจะเคลื่อนออกจากจุดกำเนิด ในกรณีนี้คือจุดเอกพจน์– โหนดไม่เสถียร .

บนระนาบเฟส เอ็กซ์, ย ลักษณะเชิงคุณภาพทั่วไปของพฤติกรรมของเส้นโค้งอินทิกรัลจะยังคงอยู่ แต่แทนเจนต์ของเส้นโค้งอินทิกรัลจะไม่ตรงกับแกนพิกัด มุมเอียงของแทนเจนต์เหล่านี้จะถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ α , β , γ , δ ในสมการ (4.11)

ราก แล 1 , λ 2 ถูกต้องและมีเครื่องหมายต่างกัน

แปลงจากพิกัด เอ็กซ์, ย เพื่อพิกัด ξ, η เป็นจริงอีกครั้ง สมการสำหรับตัวแปรมาตรฐานมีรูปแบบ (4.10) อีกครั้ง แต่ตอนนี้มีเครื่องหมาย แล 1 , แล 2 แตกต่าง. สมการวิถีเฟสมีรูปแบบ:

ที่ไหน ,(4.14)

เราพบการรวม (4.14)

(4.15)

นี้ สมการกำหนดกลุ่มของเส้นโค้งประเภทไฮเปอร์โบลิก โดยที่แกนพิกัดทั้งสองแกนเป็นเส้นกำกับ (at ก=1 เราจะมีตระกูลไฮเปอร์โบลาหน้าจั่ว). แกนพิกัดก็เป็นเส้นโค้งอินทิกรัลในกรณีนี้เช่นกัน– สิ่งเหล่านี้จะเป็นเส้นโค้งอินทิกรัลเพียงเส้นเดียวที่ผ่านจุดกำเนิด แต่ละซึ่งประกอบด้วยวิถีสามเฟส: ของการเคลื่อนไหวทั้งสองไปสู่สภาวะสมดุล (หรือออกจากสภาวะสมดุล) และจากสภาวะสมดุล เส้นโค้งอินทิกรัลอื่นๆ ทั้งหมด– เป็นไฮเปอร์โบลาที่ไม่ผ่านจุดกำเนิด (รูปที่. 4.6) จุดเอกพจน์นี้เรียกว่า "อาน ». เส้นระดับที่อยู่ใกล้อานม้ามีลักษณะเหมือนวิถีโคจรในบริเวณใกล้เคียงกับอาน

ให้เราพิจารณาธรรมชาติของการเคลื่อนที่ของจุดตัวแทนตามวิถีเฟสใกล้กับสภาวะสมดุล ยกตัวอย่างว่าแล 1 >0 , แล 2<0 . จากนั้นจุดตัวแทนวางบนแกน ξ จะเคลื่อนออกจากจุดกำเนิดมาวางบนแกน η – จะเข้าใกล้จุดกำเนิดของพิกัดอย่างไม่มีกำหนด, โดยไม่บรรลุตามกาลเวลาอันจำกัด. เมื่อใดก็ตามที่จุดที่ใช้แทนอยู่ที่ช่วงเวลาเริ่มต้น (ยกเว้นจุดเอกพจน์และจุดบนเส้นกำกับ η =0), ในที่สุดมันจะเคลื่อนออกจากสภาวะสมดุล แม้ว่าในตอนแรกมันจะเคลื่อนไปตามเส้นโค้งหนึ่งไปยังจุดเอกพจน์.

เห็นได้ชัดว่า จุดเอกพจน์แบบอานจะไม่เสถียรเสมอ . ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นที่เลือกเป็นพิเศษบนเส้นกำกับเท่านั้นη =0 ระบบจะเข้าสู่สภาวะสมดุล อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่ได้ขัดแย้งกับการยืนยันที่ว่าระบบไม่เสถียร ถ้าคุณนับ, ว่าสถานะเริ่มต้นทั้งหมดของระบบบนระนาบเฟสมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ดังนั้นความน่าจะเป็นของสถานะเริ่มต้นดังกล่าวซึ่งสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ในทิศทางถึง จุดเอกพจน์เท่ากับศูนย์ ดังนั้นการเคลื่อนไหวที่แท้จริงใดๆ ก็ตามจะทำให้ระบบออกจากสภาวะสมดุลกำลังกลับพิกัดเอ็กซ์, วาย,เราได้ภาพเชิงคุณภาพที่เหมือนกันเกี่ยวกับธรรมชาติของการเคลื่อนที่ของวิถีรอบจุดกำเนิด

ขอบเขตระหว่างกรณีที่พิจารณาของโหนดและอานเป็นกรณีนี้เมื่อไร ตัวอย่างเช่นหนึ่งในตัวบ่งชี้ลักษณะเฉพาะ λ 1 , หายไปซึ่งเกิดขึ้นเมื่อตัวกำหนดของระบบ- การแสดงออก adbc=0(ดูสูตร 4.8 ). ในกรณีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของด้านขวามือของสมการ (4.4) จะเป็นสัดส่วนซึ่งกันและกัน:

และระบบมีความสมดุลเพื่อระบุทุกจุดของเส้น:

เส้นโค้งอินทิกรัลที่เหลือคือกลุ่มของเส้นคู่ขนานที่มีความชัน ซึ่งจุดตัวแทนจะเข้าใกล้สภาวะสมดุลหรือเคลื่อนตัวออกห่างจากมัน ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของรูทที่สองของสมการคุณลักษณะ แล 2 = ก+ดี(รูปที่ 4. 7 ) ในกรณีนี้ พิกัดของสถานะสมดุลจะขึ้นอยู่กับค่าเริ่มต้นของตัวแปร

ราก แล 1 , λ 2 – ซับซ้อนผัน

ในกรณีนี้จริงๆxและ ยเราจะ มีคอนจูเกตที่ซับซ้อน ξ , η (4.10) . อย่างไรก็ตาม ด้วยการแนะนำการแปลงระดับกลางอีกหนึ่งรายการ ในกรณีนี้ก็เป็นไปได้เช่นกันที่จะลดการพิจารณาให้เป็นการแปลงเอกพันธ์เชิงเส้นจริง มาใส่กันเถอะ:

(4.16)

ที่ไหน ก, ข,และ คุณ, วี – คุณค่าที่แท้จริง จะแสดงได้ว่าการเปลี่ยนแปลงจากเอ็กซ์, ยถึง คุณ, วี ตามสมมติฐานของเรา เป็นจำนวนจริง เป็นเส้นตรง เป็นเนื้อเดียวกันและมีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่เป็นศูนย์ เนื่องจากสมการ(4.10, 4.16) เรามี :

ที่ไหน

(4.17)

การหารสมการที่สองด้วยสมการแรก, เราได้รับ:

ซึ่งง่ายต่อการบูรณาการ, ถ้าเราเปลี่ยนไปใช้ระบบพิกัดเชิงขั้ว (ร, φ ) . หลังจากเปลี่ยนตัวแล้วเราได้รับจากที่:

.(4.18)

ดังนั้นบนระนาบเฟสคุณ, วีเรากำลังเผชิญกับตระกูลเกลียวลอการิทึม ซึ่งแต่ละเกลียวมีจุดซีมโทติกที่จุดกำเนิดจุดเอกพจน์ซึ่งเป็นจุดเชิงเส้นกำกับของเส้นโค้งอินทิกรัลทั้งหมดที่มีรูปเกลียว, เพื่อนซ้อนกันในเพื่อนโทรมา จุดสนใจ ( รูปที่.4.8 ) .

ให้เราพิจารณาธรรมชาติของการเคลื่อนที่ของจุดเป็นตัวแทนตามวิถีเฟส คูณสมการแรกของ (4.17) ด้วยยูและอันที่สอง โวลต์และเพิ่ม เราได้รับ:

ที่ไหน

อนุญาต ก 1 < 0 (ก 1 = อีกครั้งλ ) . จุดแสดงจะเข้าใกล้จุดกำเนิดอย่างต่อเนื่องโดยไม่ถึงจุดนั้นภายในระยะเวลาอันจำกัด ซึ่งหมายความว่าวิถีเฟสนั้นเป็นเกลียวที่บิดเบี้ยวและสอดคล้องกับการสั่นแบบหน่วงตัวแปร นี้ - โฟกัสคงที่ .

ในกรณีที่มีการโฟกัสที่มั่นคง เช่นเดียวกับในกรณีของโหนดที่เสถียร ไม่เพียงแต่เป็นไปตามเงื่อนไขของ Lyapunov เท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อกำหนดที่เข้มงวดมากขึ้นอีกด้วย กล่าวคือ สำหรับการเบี่ยงเบนเริ่มต้น ระบบจะกลับมาใกล้กับตำแหน่งสมดุลตามที่ต้องการในที่สุด ความมั่นคงดังกล่าวซึ่งการเบี่ยงเบนเริ่มต้นไม่เพียงเพิ่มขึ้นเท่านั้น แต่ยังเรียกว่าการสลายตัวซึ่งมีแนวโน้มเป็นศูนย์ด้วย ความมั่นคงแน่นอน .

ถ้าอยู่ในสูตร (4.18) ก 1 >0 จากนั้นจุดที่เป็นตัวแทนจะเคลื่อนออกจากจุดกำเนิด และเรากำลังเผชิญอยู่ โฟกัสไม่เสถียร . เมื่อเดินทางออกจากเครื่องบินคุณ, วีไปยังระนาบเฟสx, ยเกลียวก็จะยังคงเป็นเกลียว แต่จะเสียรูป

พิจารณากรณีที่เมื่อใดก 1 =0 . วิถีเฟสบนเครื่องบินคุณ, วีจะมีวงกลม ซึ่งบนเครื่องบินเอ็กซ์, ยพอดีวงรี:

ดังนั้น ณ1=0 ผ่านจุดพิเศษx= 0,ย= 0 ไม่มีเส้นโค้งอินทิกรัลผ่านไป จุดเอกพจน์ที่แยกเดี่ยวซึ่งใกล้กับเส้นโค้งอินทิกรัลเป็นเส้นโค้งปิด โดยเฉพาะวงรีที่ฝังอยู่ในกันและกันและล้อมรอบจุดเอกพจน์นั้นเรียกว่าจุดศูนย์กลาง

ดังนั้น ความสมดุล 6 ประเภทจึงเป็นไปได้ ขึ้นอยู่กับลักษณะของรากของสมการคุณลักษณะ (4.7) มุมมองวิถีเฟสบนเครื่องบิน เอ็กซ์, ยสำหรับทั้งหกกรณีนี้แสดงไว้ในรูปที่. 4.9.

ข้าว. 4.9.ประเภทของภาพบุคคลในระยะใกล้เคียงสภาวะนิ่งสำหรับระบบสมการเชิงเส้น (4.4)

สภาวะสมดุลทั้งห้าประเภทนั้นเป็นสภาวะคร่าวๆ ธรรมชาติของพวกมันจะไม่เปลี่ยนแปลงโดยมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยทางด้านขวามือของสมการ (4.4) ในกรณีนี้ การเปลี่ยนแปลงควรมีขนาดเล็กไม่เพียงแต่ทางด้านขวามือเท่านั้น แต่ยังรวมถึงอนุพันธ์อันดับหนึ่งด้วย สภาวะสมดุลที่หก - ศูนย์กลาง - ไม่หยาบ เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในพารามิเตอร์ทางด้านขวาของสมการ จะทำให้โฟกัสมีเสถียรภาพหรือไม่เสถียร

แผนภาพแยกไปสองทาง

ให้เราแนะนำสัญกรณ์:

. (4.11)

จากนั้นสมการคุณลักษณะสามารถเขียนได้ในรูปแบบ:

. (4.12)

พิจารณาระนาบที่มีพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม ส , ดี และทำเครื่องหมายพื้นที่ที่สอดคล้องกับสถานะสมดุลประเภทใดประเภทหนึ่งซึ่งถูกกำหนดโดยธรรมชาติของรากของสมการลักษณะเฉพาะ

.(4.13)

เงื่อนไขสำหรับความเสถียรของสถานะสมดุลคือการมีส่วนจริงที่เป็นลบของ yล 1 และ ล 2 . เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสิ่งนี้คือการปฏิบัติตามความไม่เท่าเทียมกันส > 0, ดี > 0 . บนแผนภาพ (4.15) เงื่อนไขนี้สอดคล้องกับจุดที่อยู่ในควอเตอร์แรกของระนาบพารามิเตอร์ จุดเอกพจน์จะเป็นโฟกัสถ้าล 1 และ ล 2 ซับซ้อน. เงื่อนไขนี้สอดคล้องกับจุดเหล่านั้นของระนาบนั้น , เหล่านั้น. จุดระหว่างสองกิ่งของพาราโบลาส 2 = 4 ดี. จุดกึ่งแกน ส = 0, ดี>0 สอดคล้องกับสถานะสมดุลของประเภทศูนย์กลาง เช่นเดียวกัน,ล 1 และ ล 2 - ถูกต้อง แต่มีสัญญาณต่างกันเช่น จุดเอกพจน์จะเป็นอานถ้า ดี<0, ฯลฯ เป็นผลให้เราได้แผนภาพพาร์ติชันของระนาบพารามิเตอร์ ส, ดีเข้าสู่บริเวณที่สอดคล้องกับสภาวะสมดุลประเภทต่างๆ

ข้าว. 4.10.แผนภาพแยกไปสองทาง

สำหรับระบบสมการเชิงเส้น 4.4

ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ของระบบเชิงเส้น เอบีซีดีขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์บางตัว เมื่อพารามิเตอร์นี้มีการเปลี่ยนแปลง ค่าก็จะเปลี่ยนไปด้วยส , ดี . เมื่อผ่านขอบเขต ลักษณะของภาพบุคคลจะเปลี่ยนไปในเชิงคุณภาพ ดังนั้น ขอบเขตดังกล่าวจึงเรียกว่าขอบเขตแบบแยกไปสองทาง - ที่ด้านตรงข้ามของขอบเขต ระบบจะมีภาพบุคคลเฟสที่แตกต่างกันทางทอพอโลยีสองภาพ และด้วยเหตุนี้จึงมีพฤติกรรมที่แตกต่างกันสองประเภท

แผนภาพแสดงการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเกิดขึ้นได้อย่างไร หากเราไม่รวมกรณีพิเศษ - ต้นกำเนิดของพิกัด - จะเห็นว่าอานสามารถเข้าไปในโหนดที่เสถียรหรือไม่เสถียรเมื่อข้ามแกน y โหนดที่เสถียรสามารถย้ายไปยังอานม้าหรือโฟกัสที่มั่นคง และอื่นๆ โปรดทราบว่าการเปลี่ยนโหนดที่เสถียร - โฟกัสที่เสถียร และโหนดที่ไม่เสถียร - การเปลี่ยนโฟกัสที่ไม่เสถียรนั้นไม่ได้แบ่งเป็นสองส่วน เนื่องจากโทโพโลยีของพื้นที่เฟสจะไม่เปลี่ยนแปลงในกรณีนี้ เราจะพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับโทโพโลยีของสเปซเฟสและการเปลี่ยนแยกไปสองทางในการบรรยายที่ 6

ภายใต้การเปลี่ยนแบบแยกไปสองทาง ลักษณะของความเสถียรของจุดเอกพจน์จะเปลี่ยนไป ตัวอย่างเช่น การโฟกัสที่มั่นคงผ่านศูนย์กลางอาจกลายเป็นโฟกัสที่ไม่เสถียรได้ การแยกไปสองทางนี้เรียกว่า การแยกไปสองทางของอันโดรนอฟ-ฮอพฟ์ตามชื่อนักวิทยาศาสตร์ที่ศึกษาเรื่องนี้ ด้วยการแยกไปสองทางในระบบไม่เชิงเส้น วงจรจำกัดจึงเกิดขึ้น และระบบจะสั่นไหวในตัวเอง (ดูบรรยายที่ 8)

ตัวอย่าง. ระบบปฏิกิริยาเคมีเชิงเส้น

สาร เอ็กซ์ไหลเข้ามาจากภายนอกด้วยอัตราคงที่กลายเป็นสาร Y และในอัตราสัดส่วนกับความเข้มข้นของสาร ยถูกนำออกจากทรงกลมปฏิกิริยา ปฏิกิริยาทั้งหมดอยู่ในลำดับที่ 1 ยกเว้นการไหลเข้าของสสารจากภายนอกซึ่งมีลำดับเป็นศูนย์ โครงร่างปฏิกิริยาดูเหมือนว่า:

(4.14)

และอธิบายโดยระบบสมการ:

(4.15)

เราได้ความเข้มข้นคงที่โดยให้ด้านขวามือเท่ากับศูนย์:

.(4.16)

พิจารณาภาพเฟสของระบบ ให้เราหารสมการที่สองของระบบ (4.16) ด้วยสมการแรก เราได้รับ:

.(4.17)

สมการ (4.17) กำหนดพฤติกรรมของตัวแปรบนระนาบเฟส ให้เราสร้างภาพเหมือนเฟสของระบบนี้ ขั้นแรก เราวาดเส้นไอโซไลน์หลักบนระนาบเฟส สมการของไอโซไลน์ของแทนเจนต์แนวตั้ง:

สมการของไอโซไลน์ของแทนเจนต์แนวนอน:

จุดเอกพจน์ (สถานะคงที่) อยู่ที่จุดตัดของไอโซไลน์หลัก

ตอนนี้ให้เราพิจารณาว่าแกนพิกัดตัดกับเส้นโค้งอินทิกรัลที่มุมใด

ถ้า x= 0 แล้ว .

ดังนั้น ค่าแทนเจนต์ของความชันของแทนเจนต์กับเส้นโค้งอินทิกรัล y=y(x)ข้ามแกน y x=0เป็นลบในระนาบครึ่งบน (จำได้ว่าตัวแปร เอ็กซ์, ยมีค่าความเข้มข้น ดังนั้นเราจึงสนใจเฉพาะจตุภาคขวาบนของระนาบเฟสเท่านั้น) ในกรณีนี้ ค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์จะเพิ่มขึ้นตามระยะห่างจากจุดกำเนิด

พิจารณาแกน ย= 0. ที่จุดตัดของแกนนี้ สมการจะอธิบายเส้นโค้งอินทิกรัลไว้

ที่ แทนเจนต์ของความชันของเส้นโค้งอินทิกรัลที่ข้ามแกน Abscissa นั้นเป็นค่าบวกและเพิ่มขึ้นจากศูนย์เป็นอนันต์เมื่อเพิ่มขึ้น x.

ที่ .

จากนั้น เมื่อเพิ่มขึ้นอีก ค่าแทนเจนต์ของความชันจะลดลงในค่าสัมบูรณ์ ยังคงเป็นลบ และมีแนวโน้มไปที่ -1 ที่ x ® ¥ . เมื่อทราบทิศทางของเส้นแทนเจนต์กับเส้นโค้งอินทิกรัลบนเส้นไอโซไลน์หลักและบนแกนพิกัด จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างภาพรวมของวิถีเฟสทั้งหมด

ธรรมชาติของความเสถียรของจุดเอกพจน์จะถูกสร้างขึ้นโดยใช้วิธีเลียปูนอฟ ปัจจัยกำหนดลักษณะของระบบมีรูปแบบ:

.

เมื่อขยายดีเทอร์มิแนนต์เราจะได้สมการคุณลักษณะของระบบ: , เช่น. รากของสมการคุณลักษณะมีทั้งค่าลบ ดังนั้นสถานะคงที่ของระบบจึงเป็นโหนดที่เสถียร ขณะเดียวกันก็มีความเข้มข้นของสาร เอ็กซ์มีแนวโน้มที่จะมีสถานะคงที่อย่างซ้ำซากจำเจเสมอ ความเข้มข้นของสาร Y สามารถผ่านค่าต่ำสุดหรือสูงสุดได้ ระบอบการปกครองแบบสั่นไหวในระบบดังกล่าวเป็นไปไม่ได้

อนุญาต zq - จุดเอกพจน์ของฟังก์ชัน f(z), t.s ฉ(z)แต่เป็นเชิงวิเคราะห์ ณ จุดนี้ (โดยเฉพาะอาจไม่ได้กำหนดไว้ ณ จุดนี้) หากมีบริเวณที่เจาะทะลุถึงจุดดังกล่าว zq (เช่น เซต O z - zq f(z) นั้นเป็นนามแฝง โซเรียกว่า จุดเอกพจน์ที่แยกออกจากกันฟังก์ชั่น ฉ(z)คำจำกัดความนี้ยังคงอยู่ในกรณีนี้ด้วย สังกะสี =เอ่อ ถ้าไอโอดีนเป็นจุดที่เจาะทะลุ zq = oo เข้าใจเซตนี้แล้ว ซี >ฉัน - มีลักษณะเป็นวงกลมบางวงอยู่ตรงกลางที่จุดกำเนิด กล่าวอีกนัยหนึ่งจุดเอกพจน์ zq กล่าวกันว่าแยกออกจากกันถ้ามีจุดใกล้เคียงของจุดนี้ซึ่งมีจุดเอกพจน์อื่นที่แตกต่างจาก ซคิว ทุกที่ด้านล่าง เราจะพิจารณาเฉพาะจุดเอกพจน์ของอักขระที่มีค่าเดียว (ฟังก์ชัน ฉ(z)ถือว่ามีเอกลักษณ์)

ขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของฟังก์ชัน ฉ(z)ที่ z -> zqจุดเอกพจน์มีสามประเภท จุดเอกพจน์ที่แยกออกมา ฟังก์ชัน zq ฉ(z)เรียกว่า:

1) จุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้หากมีขอบเขตจำกัด

2) เสาหากมีขีดจำกัด

3) จุดสำคัญถ้า ฉ(z) ไม่มีขีดจำกัดและไม่มีขีดจำกัด z-> zq

ตัวอย่าง 26.1 ให้เราแสดงให้เห็นว่าจุดเอกพจน์ทั้งสามประเภทเกิดขึ้นจริง พิจารณา ฉ(ซ)= จุด zq = 0 ถูกแยกออก

จุดเอกพจน์ของฟังก์ชันนี้ โดยใช้สูตร (22.12) เราได้ส่วนขยาย

ซึ่งตามมาว่ามีลิมอยู่ ฟี(z)= 1 ดังนั้น zq = 0 คือ

เป็นจุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้ของฟังก์ชัน ฟี(z)

การทำงาน f'j(z) =---มีเสาตรงจุด โซ= 1 เพราะว่า

2 ร“เอ็กซ์

พิจารณาฟังก์ชันตอนนี้ )ซ(ซ)= e 1 ^ r และแสดงว่า โซ = O เป็นจุดเอกพจน์สำคัญของฟังก์ชันนี้ เมื่อมุ่งมั่น zเป็นศูนย์ตามแกนจริง ขีดจำกัดด้านซ้ายและขวาของฟังก์ชัน f (ซ)แตกต่าง: ลิม กับ 1 / 1 = 0,ลิม ด้วย 1 /* =ระบบปฏิบัติการ นี่หมายถึง

x->0-0 x->0+O

อะไร ฉ:ฉัน(z)ไม่มีขีดจำกัดจำกัดหรือไม่จำกัดสำหรับ 2 -> โอ้นั่นคือ zq = 0 เป็นจุดเอกพจน์สำคัญของฟังก์ชันนี้ (โปรดทราบว่าเป็นประเด็นที่มีแนวโน้ม z-iyให้เป็นศูนย์บนฟังก์ชันแกนจินตภาพ

ไม่มีขีดจำกัดเลย)

แน่นอนว่ายังมีจุดเอกพจน์ที่ไม่แยกจากกันอีกด้วย ตัวอย่างเช่น. ฟังก์ชั่นมีขั้วอยู่ที่จุด z n = -, ป= ±1, ±2,...

เพราะฉะนั้น, Zq = 0 เป็นจุดเอกพจน์ที่ไม่แยกออกจากฟังก์ชันนี้ ในย่านใดๆ (เล็กโดยพลการ) ของจุดนี้ จะมีจุดเอกพจน์อื่นๆ จีพี

อนุญาต โซ-จุดเอกพจน์จุดสุดท้ายของฟังก์ชันที่แยกออกจากกัน ฉ(z)แล้ว ฉ(z)มีความคล้ายคลึงกันในละแวกใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุ 0 Zo ตรงประเด็น โซย่านนี้ถือได้ว่าเป็นวงแหวนที่มีรัศมีภายใน r = 0 ตามทฤษฎีบท 25.1 ในละแวกใกล้เคียงที่พิจารณา ฟังก์ชัน ฉ(z)สามารถขยายได้ในซีรี่ส์ Laurent (25.2) เราจะแสดงให้เห็นว่าพฤติกรรมของฟังก์ชันสำหรับ 2 -> zq (เช่น ประเภทของจุดเอกพจน์ โซ)ขึ้นอยู่กับรูปแบบของส่วนหลักของการสลายตัว (25.2) เหตุการณ์นี้อธิบายที่มาของคำว่า "ส่วนหลัก"

ทฤษฎีบท 2G.2 จุด zo เอกพจน์แบบแยกเดี่ยวของฟังก์ชัน f(z) สามารถถอดออกได้ก็ต่อเมื่อการขยายตัวของ Lorap ในย่านที่เจาะทะลุของจุดนี้มี oid

เหล่านั้น. ประกอบด้วยส่วนที่ถูกต้องเท่านั้น, และค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของส่วนหลักจะเท่ากับกระสุน

การพิสูจน์. 1. ให้ โซเป็นจุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้ ให้เราพิสูจน์ว่าการขยายฟังก์ชันของ Laurent ฉ(z)มีแบบฟอร์ม (26.1) เนื่องจากจุดเอกพจน์ โซถอดออกได้ก็จะมีขีดจำกัดจำกัด ฉ(z) = อ.เพราะฉะนั้น, ฉ(z)ขอบเขตในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุ 0 z - zq ของจุด โซ,เหล่านั้น. )(z) สำหรับทุกคน zจากย่านนี้ เอาอันไหนก็ได้ ร. U р /?| และใช้สูตร (25.3) สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ของซีรี่ส์ Laurent:

สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ของส่วนหลักของการขยาย น=- 1,-2,... สำหรับค่าดังกล่าว ปเรามี หน้า~n-e 0 ที่ ร-> 0 เนื่องจากค่า รสามารถเลือกขนาดเล็กได้ตามใจชอบแล้ว นาย~"อาจมีขนาดเล็กโดยพลการ ตั้งแต่ |c t,| ^ คุณ~นและ cn ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ p ดังนั้น cn = 0 สำหรับ และ= - 1, -2,... ซึ่งต้องพิสูจน์

2. สมมติว่าส่วนขยายของ Laurent มีรูปแบบ (26.1) ซีรีย์ (26.1) เป็นซีรีย์กำลังและ ดังนั้นการมาบรรจบกันไม่เพียงแต่ในจุดที่ถูกเจาะเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงในละแวกใกล้เคียงทั้งหมดด้วย ซ-ซคิว รวมถึงจุดด้วย โซ;จำนวนเงิน เอส(ซ)เป็นการวิเคราะห์สำหรับ z และ S(z) = )(ซ)ที่ 0z - โซร.ดังนั้นจึงมีลิมิตจำกัด )(ซ)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - ดังนั้นจุดเอกพจน์ zq

Z->โซ Z-*โซ

แบบใช้แล้วทิ้ง. ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ความคิดเห็น เป็นไปตามการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ว่าในย่านที่มีการเจาะทะลุ 0 z - zo ของจุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้ ฟังก์ชัน ฉ(z)เกิดขึ้นพร้อมกับฟังก์ชัน S(r) ซึ่งเป็นการวิเคราะห์ในพื้นที่ใกล้เคียงทั้งหมด z - โซ ดังนั้นหากเราใส่ /(th) = เอส(ซคิว) จากนั้นโดยไม่เปลี่ยนค่าของฟังก์ชัน ฉ(z)ณ จุดใดๆ ของย่านที่ถูกเจาะทะลุ เราจะทำการวิเคราะห์ฟังก์ชันนี้ใน r เช่น “ลบ” คุณสมบัติ สิ่งนี้อธิบายคำว่า "ภาวะเอกฐานที่ถอดออกได้" เป็นเรื่องปกติที่จะพิจารณาจุดดังกล่าวเป็นจุดปกติ และไม่ใช่จุดเอกพจน์ของฟังก์ชัน ฉ(z)

ตัวอย่างเช่น พิจารณาฟังก์ชัน

ในตัวอย่างที่ 26.1 แสดงว่า Pm (n) = 1 นั่นคือ จุดเอกพจน์

zq = 0 สามารถถอดออกได้ การตั้งค่า /i(0) = 1 เราจะกำจัดภาวะเอกฐานออกไปและรับฟังก์ชันที่มีการวิเคราะห์ ณ จุดนั้น zq = 0 (และในระนาบ C ทั้งหมด)

ตอนนี้ให้เราอธิบายลักษณะเฉพาะของเสาในแง่ของการขยายของ Laurent

ทฤษฎีบท 26.3 จุดเอกพจน์แยกเดี่ยว Zo ของฟังก์ชัน f(z) จะเป็นขั้วก็ต่อเมื่อเท่านั้น, เมื่อส่วนหลักของส่วนขยาย Laurent ที่มี Zq อยู่ตรงกลางมีเพียงจำนวนที่แตกต่างที่จำกัดเท่านั้น

จากค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ด้วย n:

การพิสูจน์. 1. ให้ zq - เสาเช่น ลิม /( z) = เอ่อ

ให้เราพิสูจน์ว่าการขยายฟังก์ชันของ Laurent ฉ(z)มีรูปแบบ (2G.2) ตั้งแต่ลิม ฉ(z)= เอ่อ แล้วมีบริเวณที่เจาะทะลุของจุดนั้น

คิ ซคิว สิ่งนั้น ฉ(z)เป็นการวิเคราะห์และไม่มีศูนย์ แล้วฟังก์ชัน ก.(ซ) = 1 /ฉ(z)จะได้รับการวิเคราะห์ในย่านที่ถูกเจาะทะลุนี้และลิมด้วย ก.(ซ)= 0 ดังนั้น โซใช้แล้วทิ้ง *-? *0

จุดเอกพจน์ของฟังก์ชัน ก.(ซ)มากำหนดใหม่กัน ก.(ซ)ตรงจุด โซ, วาง ก.(โซ)= 0. จากนั้น ก.(ซ)กลายเป็นการวิเคราะห์ในบริเวณใกล้เคียงทั้งหมด (ไม่เจาะ) จุด ซี 0 ,และ z0จะเป็นศูนย์แยกตัวของมัน แสดงโดย เอ็นหลายหลาก (ลำดับ) ของศูนย์นี้ ดังที่แสดงไว้ในมาตรา 23 ในบริเวณใกล้จุดนั้น ฟังก์ชัน zq ก.(ซ)เป็นตัวแทนได้ในรูปแบบ (ดู (23.2))

และ (z$) ฉ 0 และ ใช่>(z)มีการวิเคราะห์ในบางประเด็น โซ-เพราะ ไอพี(z)ต่อเนื่อง ณ จุดนั้น โซและ ก.>(โซ) เอฟ 0" แล้ว ไอพี(z)ไม่มีศูนย์ในบางย่านของจุดนี้เช่นกัน ดังนั้นฟังก์ชัน 1 /-p(z)จะได้รับการวิเคราะห์ในย่านนี้ด้วย และดังนั้นจึงขยายออกไปในซีรีส์ Taylor:

การขยายวงเล็บและการเปลี่ยนการกำหนดสัมประสิทธิ์เราเขียนส่วนขยายสุดท้ายในรูปแบบ

โดยที่ c_jv = 1>หรือฉ 0 ดังนั้น ส่วนหลักของการขยายตัวของ Laurent ของ f(r) จึงมีเพียงพจน์จำนวนจำกัดเท่านั้น เรามาถึงความเท่าเทียมกันที่ต้องการแล้ว (26.2)

2.ให้อยู่ในบริเวณที่มีรอยเจาะจุดหนึ่ง ไทยการทำงาน )(ซ)แสดงโดยส่วนขยายของโลรองต์ (26.2) (ในรูปแบบขยายเพิ่มเติม ดูที่ (26.3)) ส่วนหลักประกอบด้วยคำศัพท์จำนวนจำกัดเท่านั้น และ กับ-ง" ฉ 0. เราต้องพิสูจน์สิ่งนั้น Zq - ขั้วฟังก์ชัน ฉ(z)การคูณความเท่าเทียมกัน (26.3) ด้วย (ช - ช o) iV เราได้รับฟังก์ชัน

อนุกรมใน (26.4) เป็นอนุกรมกำลังที่บรรจบกันเป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ ไม่เพียงแต่ในส่วนที่ถูกเจาะเท่านั้น แต่ยังรวมถึงย่านใกล้เคียงทั้งหมดของจุดด้วย Zq. ดังนั้นฟังก์ชัน ชั่วโมง(z)กลายเป็นการวิเคราะห์ในละแวกนี้ ถ้าขยายที่ th ด้วยการกำหนด ชั่วโมง(โซ)= s_dg ฉ 0. จากนั้น

ดังนั้นจุด o คือขั้ว และทฤษฎีบท 26.3 ได้รับการพิสูจน์แล้ว

การคูณ (ลำดับ) ของฟังก์ชันศูนย์ ก.(ซ)= 1//(r) ถูกเรียก ลำดับเสาฟังก์ชั่น /(r) ถ้า น-ลำดับของเสาคือ th แล้ว ก.(ซ)= (ร - โซ)N ไอพี(z)และไป) เอฟ 0 และดังที่แสดงไว้ในส่วนแรกของการพิสูจน์ทฤษฎีบท 26.3 การขยายตัวของ f(r) มีรูปแบบ (26.3) โดยที่ c_/v ฉ 0. ในทางกลับกัน ถ้า f(r) ขยายออกเป็นอนุกรม (26.3) และ อี-แซฟ 0 แล้ว

ที.เอส. น-ลำดับของขั้วของฟังก์ชัน f(r) ดังนั้น, ลำดับของขั้ว zq ของฟังก์ชัน/(ช) เท่ากับจำนวนของค่าสัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์นำหน้าของส่วนหลักของการขยายตัวของ Laurent ในย่านที่ถูกเจาะทะลุของจุด zq(เช่น เท่ากับจำนวนดังกล่าว ยังไม่มีข้อความ s_dg อะไร ฉ 0 และ เอสพี= 0 ณ ป > ญ)

ให้เราพิสูจน์การยืนยันต่อไปนี้ซึ่งสะดวก) สำหรับการใช้งาน

ข้อพิสูจน์ 26.4 จุด zq คือเสาลำดับ N ของนิยาย/(ช) ถ้าและถ้าเท่านั้น/(ช) เป็นตัวแทนในรูปแบบ

โดยที่ h(z) เป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ในบริเวณใกล้จุดหนึ่งไทย และ h(zo) f 0.

การพิสูจน์. การทำงาน ซีพี(z) = ลิตร/ชม.(z)มีการวิเคราะห์ในบางย่านของจุด r เงื่อนไขของข้อพิสูจน์ 26.4 เทียบเท่ากับดังนี้:

นั่นเป็นเหตุผล ซคิว - ศูนย์หลายหลาก เอ็นฟังก์ชั่น ก.(ซ)และด้วยเหตุนี้เสาหลายหลาก เอ็นฟังก์ชั่น /(2)

ตัวอย่างที่ 2 26.5 ค้นหาจุดเอกพจน์ที่แยกออกจากกันของฟังก์ชัน และกำหนดประเภทของพวกเขา

D e u c tio n. จุดที่ (z 2 + 1 )(ซ+ H) 2 = 0 ถ้า z 2 แอล- 1 = 0 จากนั้น 2 = ±อาร์ถ้า (z 4- H) 2 = 0 ดังนั้น z= -3. ดังนั้นฟังก์ชันจึงมีจุดเอกพจน์สามจุด z= ร, 22 = -ร, ซี3 = - 3. พิจารณา z:

จี -เสาลำดับที่หนึ่ง (เราใช้ข้อพิสูจน์ 26.4) ก็พิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกันว่า 22 = -ฉันเป็นเสาลำดับที่หนึ่งด้วย เป็นเวลา 2 ชั่วโมง เรามี:

ให้เราพิจารณาประเด็นเอกพจน์เป็นหลัก

ทฤษฎีบท 26.6 จุดเอกพจน์แบบแยกเดี่ยว zq ของฟังก์ชัน f(z) จะเป็นเอกพจน์ก็ต่อเมื่อส่วนหลักของการขยายตัวของ Laurent ซึ่งมีศูนย์กลางอยู่ที่ zq มีความแตกต่างอย่างไม่สิ้นสุดมากมาย ศูนย์สัมประสิทธิ์กับ p

การพิสูจน์. ทฤษฎีบท 26.6 ต่อจากทฤษฎีบท 26.2 และ 26.3 โดยตรง จริงๆแล้วถ้าตรงประเด็น zq นั้นเป็นเอกพจน์ ดังนั้นส่วนหลักของส่วนขยายของ Laurent จะต้องไม่ขาดหายไปหรือมีคำศัพท์จำนวนจำกัด (มิฉะนั้นจะเป็นจุด Zq จะถอดออกหรือเป็นเสาก็ได้) ดังนั้นจำนวนพจน์ในส่วนหลักจึงต้องมีจำนวนอนันต์

ในทางกลับกัน หากส่วนหลักมีสมาชิกจำนวนมากไม่สิ้นสุด Zq ไม่สามารถเป็นได้ทั้งจุดที่ถอดออกได้หรือเสา ด้วยเหตุนี้ ประเด็นนี้จึงเป็นเอกพจน์โดยพื้นฐานแล้ว

ตามคำนิยาม จุดเอกพจน์โดยพื้นฐานแล้วมีลักษณะพิเศษคือฟังก์ชัน f(2) ไม่มีขีดจำกัดหรือขีดจำกัดอนันต์สำหรับ z ->ซคิว แนวคิดที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นเกี่ยวกับพฤติกรรมที่ผิดปกติของฟังก์ชันในย่านใกล้เคียงของจุดเอกพจน์โดยพื้นฐานนั้นได้มาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 26.7 (ทฤษฎีบทของโซโชคกี) ถ้า zq เป็นเอกพจน์ แล้วจุดของฟังก์ชัน f(z), แล้วสำหรับจำนวนเชิงซ้อนใดๆลิตร รวมถึง A =โอ้ มีลำดับของคะแนน z n โดยที่ z n -> zo และลิม ฉ(สังกะสี) = ก.

n->ระบบปฏิบัติการ

การพิสูจน์. พิจารณาเป็นกรณีแรก เอ =อู ในส่วนแรกของการพิสูจน์ทฤษฎีบท 2G.2 เราได้กำหนดว่าถ้า ฉ(z)มีขอบเขตอยู่ในบริเวณที่มีการเจาะทะลุของจุด r0 จากนั้นสัมประสิทธิ์ c ทั้งหมด น = - 1, - 2,... ของส่วนหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ (และด้วยเหตุนี้ เอกภาวะใน th จึงถอดออกได้) เนื่องจากตามสมมติฐานแล้ว r เป็นจุดเอกพจน์ ฟังก์ชัน /(r) จึงไม่มีขอบเขตในบริเวณที่เจาะทะลุของจุด r ลองหาย่านแคบๆ 0 Z แบบนั้นดู ฉ(ซิ) > 1 (ถ้า |/(r)| z - zo R/2 มีจุดหนึ่ง ซ-2 โดยที่ |/(dd)| > 2 เป็นต้น: ในย่านที่ถูกเจาะ O 71. เห็นได้ชัดว่า rn -e go และ lim /(r«) = oo ดังนั้น ในกรณี A = oo ทฤษฎีบท 26.7

พิสูจน์แล้ว

ให้ตอนนี้ เอ เอฟอู สมมติว่ามีย่านใกล้เคียงที่ถูกเจาะเป็น 0

= -yy---- จะถูกวิเคราะห์ในย่านที่เจาะทะลุนี้และด้วยเหตุนี้

/(ช) - ก

ดังนั้น r จึงเป็นจุดเอกพจน์ที่แยกออกจากกันของฟังก์ชัน Φ(r) มาแสดงกันเถอะ r0 นั้นเป็นจุดเอกพจน์ของ Φ(r) ให้มันผิดไป.. จากนั้นจะมีขีดจำกัด lim Φ(r) ไม่ว่าจะเป็นแบบจำกัดหรือแบบไม่มีสิ้นสุด เพราะ

/(r) = A + จากนั้น Hsh /(r) ก็มีอยู่ด้วย ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข

เอฟ(ก.) ~ :-*z 0

มุมมองของทฤษฎีบท ดังนั้น r0 จึงเป็นจุดเอกพจน์ของฟังก์ชัน Φ(r) จากสิ่งที่พิสูจน์แล้วข้างต้น มีลำดับของจุด r n โดยที่ r n o และ lim Φ(r n) = oo จากที่นี่

เราได้พิสูจน์การยืนยันที่จำเป็นภายใต้สมมติฐานที่ว่า f(r) เอฟ เอในบริเวณที่มีการเจาะทะลุของจุด r ให้เราสมมุติว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง กล่าวคือ ในพื้นที่ใกล้เคียงที่มีการเจาะทะลุขนาดเล็กโดยพลการของจุดที่มีจุดดังกล่าว จี",นั้น f(r") = A. แล้วสำหรับอันใดอันหนึ่ง ปในย่านที่ถูกเจาะ 0 f(z u) = L ดังนั้นการยืนยันที่ต้องการจึงเป็นความจริง ป-ยูโอ

ในทุกกรณี และทฤษฎีบท 26.7 ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตามทฤษฎีบท (ของโซค็อตสกี) ที่ 26.7 ในย่านใกล้เคียงใดๆ (เล็กโดยพลการ) ของจุดเอกพจน์หลักๆ ที่ถูกเจาะทะลุ ฟังก์ชัน f(r) รับค่าที่ใกล้กับตัวเลขใดๆ ในระนาบเชิงซ้อนที่ขยาย C โดยพลการ

ในการศึกษาจุดเอกพจน์แบบแยกเดี่ยว การขยายฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานแบบเทย์เลอร์ที่รู้จักกันดีมักจะมีประโยชน์

ตัวอย่าง 2G.8 กำหนดประเภทของจุดเอกพจน์ zq = 0 สำหรับฟังก์ชัน

แก้แล้วและ e เราขยายตัวเศษและส่วนในชุดข้อมูล Taylor ให้เป็นกำลังของ r โดยแทนที่ใน (22.11) 3 zแทนที่จะเป็น r แล้วลบ 1 เราก็ได้

การใช้ (22.12) เราได้รับการขยายตัวของตัวส่วน:

ซีรีส์ในส่วนขยายเหล่านี้มาบรรจบกันในระนาบที่ซับซ้อนทั้งหมด € เรามี

และ /2(2) มีความคล้ายคลึงกันในบริเวณใกล้จุดนั้น โซ = 0 (และแม้แต่ในระนาบทั้งหมด) และ /2(20) เอฟ 0 แล้ว ชั่วโมง(z)ก็มีการวิเคราะห์ในบางย่านของจุด gF 0 ตามข้อพิสูจน์ 26.4 จุด โซ = 0 คือขั้วของลำดับ ยังไม่มีข้อความ = 4.

ตัวอย่างที่ 2 26.9 ค้นหาจุดเอกพจน์ของฟังก์ชัน ฉ(z)= sin j - และกำหนดประเภทของพวกเขา

P e ใน e และ e ฟังก์ชันนี้มีจุดเอกพจน์จุดสุดท้ายเพียงจุดเดียว zq = 1 ที่จุดอื่นจาก C ฟังก์ชัน ว =--- วิเคราะห์; ดังนั้นฟังก์ชันบาป วจะเป็นการวิเคราะห์

แทนที่การขยายตัวของไซน์ (22.12) - แทนที่จะเป็น r เราได้

เราได้รับการขยายตัวของฟังก์ชัน sin ในชุดข้อมูล Laurent ในย่านที่เจาะทะลุของจุด 20 = 1 เนื่องจากการขยายตัวที่เกิดขึ้นนั้นประกอบด้วยพจน์ที่มีกำลังเป็นลบ (r - 1) มากมายนับไม่ถ้วน ดังนั้น zq = 1 เป็นจุดเอกพจน์ที่จำเป็น (ในกรณีนี้ ส่วนขยาย Laurent ประกอบด้วยส่วนหลักเท่านั้น และไม่มีส่วนที่ถูกต้อง)

โปรดทราบว่าในกรณีนี้ เป็นไปได้ที่จะกำหนดลักษณะของเอกภาวะได้โดยตรงจากคำจำกัดความ โดยไม่ต้องใช้การขยายอนุกรม แท้จริงแล้ว มีลำดับ (r") และ (2") มาบรรจบกัน โซ= 1 และเช่นนั้น ฉ(z" n)= 1, /(2") = 0 (ระบุลำดับดังกล่าวด้วยตัวเอง) ดังนั้น ฉ(z)ไม่มีขีดจำกัดว่าเมื่อไหร่ z -> 1 และด้วยเหตุนี้ประเด็น zq - 1 เป็นเอกพจน์โดยพื้นฐานแล้ว

ให้เราแนะนำแนวคิดของการขยายฟังก์ชันของ Laurent ในบริเวณใกล้เคียงของจุด Zq = 00 และพิจารณาความเชื่อมโยงระหว่างการขยายตัวและธรรมชาติของเอกภาวะ ณ จุดนี้ โปรดทราบว่าคำจำกัดความของจุดเอกพจน์ที่แยกออกมาและประเภทของจุดนั้น (ถอดได้ เสา หรือเอกพจน์เป็นหลัก) นำไปใช้กับกรณีนี้ด้วย zq = oc ไม่เปลี่ยนแปลง แต่ทฤษฎีบท 26.2 จำเป็นต้องเปลี่ยน 26.3 และ 26.6 ที่เกี่ยวข้องกับลักษณะของส่วนขยาย Laurent ประเด็นก็คือว่าสมาชิก ซีเอ็น (z - 2o) น. ป= -1,-2,... ส่วนหลัก กำหนด "ความผิดปกติ" ของฟังก์ชันใกล้จุดสิ้นสุด Zq เนื่องจาก 2 มีแนวโน้มที่จะ oo พวกเขาจะประพฤติตน "ถูกต้อง" (มีแนวโน้มเป็น 0) ตรงกันข้ามกับสมาชิกประจำภาคด้วย ป= 1,2,... จะมีแนวโน้มที่จะ oo; พวกเขากำหนดธรรมชาติของเอกภาวะใน Zq = อู ดังนั้นส่วนหลักของการขยายย่าน oo จะเป็นเงื่อนไขที่มีพลังบวก พีและถูกต้อง - ด้วยค่าลบ

เรามาแนะนำตัวแปรใหม่กันดีกว่า ว = 12. การทำงาน ทีวี= 1/2 ขยายออกไปเพื่อให้ u(oo) = 0 แบบหนึ่งต่อหนึ่งและทำแผนที่บริเวณใกล้เคียงอย่างสอดคล้องกัน z > อาร์คะแนน zq = 00 ในย่าน |w| wq = 0 ถ้าฟังก์ชัน ฉ(z)การวิเคราะห์ในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุ ร z Zq = oc แล้วฟังก์ชัน ก(ก) = ฉ(ลิตร/วัตต์)จะถูกวิเคราะห์ในย่านสีเหลือง 0 wo = 0 เนื่องจากสำหรับ 2 -> oo จะมี ว-> 0 จากนั้น

นั่นเป็นเหตุผล ก(ญ)มีตรงจุด wq = 0 เป็นภาวะเอกฐานชนิดเดียวกับ ฉ(z)ตรงจุด Zq = 00 เราจะขยายฟังก์ชัน G(w) ในชุดข้อมูล Laurent ในบริเวณที่เจาะทะลุของจุด wo = 0:

ผลรวมทางด้านขวาของ (26.5) แสดงถึงส่วนที่ถูกต้องและหลักของการขยายตามลำดับ มาดูตัวแปรกันต่อ z,การทดแทน ว = 1/z:

แสดงถึง ป\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ " \u003d กับพีและสังเกตเห็นสิ่งนั้น กรัม(ลิตร/z) = ฉ(z), เราได้รับ

การสลายตัว (2G.G) เรียกว่า การขยายฟังก์ชัน f(z) ของ Laurent ในบริเวณที่เจาะทะลุของจุด zq= เอ่อ ผลรวมแรกของ (2G.6) เรียกว่า ส่วนที่ถูกต้องและผลรวมที่สองคือ ส่วนสำคัญการสลายตัวนี้ เนื่องจากผลรวมเหล่านี้สอดคล้องกับส่วนที่ถูกต้องและเป็นหลักของส่วนขยาย (26.5) ส่วนขยาย (26.6) จึงเป็นไปตามความคล้ายคลึงของทฤษฎีบท 26.2, 26.3 และ 26.6 ดังนั้นทฤษฎีบทต่อไปนี้จึงคล้ายคลึงกับทฤษฎีบท 26.2

ทฤษฎีบท 26.10 จุดเอกพจน์ที่แยกออกมาZq - ระบบปฏิบัติการ (ฟังก์ชั่น/(ช) สามารถถอดออกได้หากส่วนขยายของ Laurent ในย่านที่มีการเจาะทะลุของจุดนี้จะมีรูปแบบ

ที.เอส. ประกอบด้วยส่วนที่ถูกต้องเท่านั้น

เราใส่ /(oo) = ร่วมฟังก์ชันที่กำหนดโดยอนุกรม (26.7) มาบรรจบกันในบริเวณใกล้เคียง z > อาร์จุด 2o \u003d oc เรียกว่า วิเคราะห์ที่จุด zโอ = อู (โปรดทราบว่าคำจำกัดความนี้เทียบเท่ากับการวิเคราะห์ของฟังก์ชัน ก(ญ) ณ จุดนั้น โว = 0.)

ตัวอย่าง 26.11. ตรวจสอบจุดเอกพจน์ zq = oo ของฟังก์ชัน

เนื่องจากขีดจำกัดนั้นมีจำกัดแล้ว โซ = oo เป็นจุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้ของฟังก์ชัน f(r) ถ้าเราใส่ /(oo) = lim เจ(ซ)= 0 แล้ว ฉ(z)จะกลายเป็น

ติ๊กตรงจุด โซ= ระบบปฏิบัติการ ให้เราแสดงวิธีค้นหาส่วนขยายที่สอดคล้องกัน (26.7) มาดูตัวแปรกันต่อ ว = 1 fzการทดแทน z= 1 /?e เราได้

(ความเท่าเทียมกันสุดท้ายใช้ได้ในย่านที่เจาะทะลุของจุด w0 = 0 แต่เราจะขยายคำจำกัดความ (7(0) = 0) ผลลัพธ์ที่ได้จะมีจุดเอกพจน์ ว =±ฉัน ว =-1/3 และตรงจุด Wq = 0 เป็นการวิเคราะห์ ฟังก์ชั่นการขยาย ก(ญ)ตามองศา ว(ดังที่ทำไว้ในตัวอย่างที่ 25.7) แล้วนำไปแทนอนุกรมกำลังผลลัพธ์ w = 1/zเราสามารถรับส่วนขยาย (26.7) ของฟังก์ชันได้ ฉ(z)

ทฤษฎีบท 26.3 สำหรับกรณีนี้ โซ= oo จะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 26.12 จุดเอกพจน์ที่แยกออกมาไป = ออส ฟังก์ชัน f(z) จะเป็นขั้วก็ต่อเมื่อส่วนหลักของการขยายตัวของ Laurent (26.6) มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์จำนวนจำกัดเท่านั้นกับ":

ในชุดนี้เป็นส่วนปกติ และพหุนามที่อยู่ในวงเล็บเป็นส่วนหลักของส่วนขยาย หลายหลากของขั้วใน oc ถูกกำหนดให้เป็นหลายหลากของขั้ว wq = 0 ฟังก์ชัน ก(ซ)จะเห็นได้ง่ายว่าหลายหลากของเสาเกิดขึ้นพร้อมกับตัวเลข เอ็นใน (26.8)

คิวพี | (ผม 2 + 1) (z + 3) 2

งาน. แสดงว่าฟังก์ชัน ฉ(z) =-- -- มีเข้าแล้ว

จุด โซ = oo คำสั่งเสา 3

ทฤษฎีบท 26.6 เกี่ยวกับจุดเอกพจน์ที่สำคัญจะถูกเขียนใหม่สำหรับกรณีนี้ โซ= os เกือบจะเป็นคำต่อคำ และเราไม่ได้สนใจมันโดยละเอียด

แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ:

ศูนย์ของฟังก์ชันการวิเคราะห์ f(z) คือจุด “a” ซึ่ง f(a)=0

ศูนย์ลำดับ “n” ของฟังก์ชัน f(z) คือจุด “a” ถ้า แต่ fn(a)¹0

จุดเอกพจน์ "a" เรียกว่าจุดเอกพจน์แบบแยกเดี่ยวของฟังก์ชัน f(z) หากมีจุดใกล้เคียงของจุดนี้ซึ่งไม่มีจุดเอกพจน์อื่นนอกจาก "a"

จุดเอกพจน์ที่แยกออกมามีสามประเภท:

1 จุดพิเศษที่ถอดออกได้;

3 จุดเอกพจน์ที่สำคัญ

ประเภทของจุดเอกพจน์สามารถกำหนดได้จากพฤติกรรมของฟังก์ชันที่กำหนดที่จุดเอกพจน์ที่พบ เช่นเดียวกับจากรูปแบบของอนุกรม Laurent ที่ได้รับสำหรับฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงของจุดเอกพจน์ที่พบ

การกำหนดประเภทของจุดเอกพจน์โดยพฤติกรรมของฟังก์ชันในจุดนั้น

1. จุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้.

จุดเอกพจน์ที่แยกเดี่ยว a ของฟังก์ชัน f(z) เรียกว่าถอดออกได้หากมีขีดจำกัดจำกัด

2. เสา.

จุด a เอกพจน์ที่แยกเดี่ยวของฟังก์ชัน f(z) เรียกว่าขั้ว if .

3. จุดเอกพจน์ที่สำคัญ

จุดเอกพจน์แยกเดี่ยว a ของฟังก์ชัน f(z) เรียกว่าจุดเอกพจน์จำเป็น หากไม่มีจุดจำกัดหรือจุดอนันต์

ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เกิดขึ้นระหว่างศูนย์และขั้วของฟังก์ชัน

เพื่อให้จุด a เป็นขั้วที่มีลำดับ n ของฟังก์ชัน f(Z) จำเป็นและเพียงพอที่จุดนี้จะเป็นศูนย์ของลำดับ n สำหรับฟังก์ชัน

ถ้า n=1 ขั้วจะเรียกว่าง่าย

คำนิยาม:จุดเอกพจน์ที่แยกได้ของอักขระค่าเดียวเรียกว่า:

ก) ถอดออกได้หากไม่มีส่วนหลักของการสลายตัว

b) เสาหากส่วนหลักมีจำนวนสมาชิกจำกัด

c) จุดเอกพจน์โดยพื้นฐานหากส่วนหลักมีจำนวนคำศัพท์ไม่สิ้นสุด

ก) ดังนั้น ในบริเวณใกล้จุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้ การขยายตัวจึงมีรูปแบบ:

แสดงฟังก์ชันที่ทุกจุดของวงกลม |z-a|

ที่จุดศูนย์กลาง z=a ความเท่าเทียมกันจะเป็นเท็จ เพราะ ฟังก์ชันที่ z=a มีความไม่ต่อเนื่อง และด้านขวามีความต่อเนื่อง หากค่าของฟังก์ชันที่อยู่ตรงกลางมีการเปลี่ยนแปลง โดยให้เท่ากับค่าของด้านขวา ช่องว่างจะถูกตัดออก ดังนั้นชื่อจึงถอดออกได้

b) ในละแวกเสาลำดับ m ส่วนขยายของซีรีส์ Laurent มีรูปแบบ:

c) ในบริเวณใกล้เสาธรรมดา

การหักเงินและสูตรสำหรับการคำนวณ

สารตกค้างของฟังก์ชันวิเคราะห์ f(z) ที่จุดเอกพจน์ที่แยกออกจากกัน z 0 เป็นจำนวนเชิงซ้อนเท่ากับค่าของอินทิกรัล นำไปในทิศทางบวกตามวงกลม L โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด z 0 ซึ่งอยู่ในขอบเขตการวิเคราะห์ของฟังก์ชัน f(z) (กล่าวคือ ในวงแหวน 0<|z-z0|

สารตกค้างของฟังก์ชัน f(z) ที่จุดเอกพจน์เดี่ยว z 0 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Res f(z 0) หรือ Res (f(z); z 0) ดังนั้น,

เรสเอฟ(z0)= . (22.15.1)

หากเราใส่ n=-1 ลงในสูตร (22.15.1) เราจะได้:

ค-1=

หรือเรส ฉ(z 0)= C -1 ,

เหล่านั้น. ค่าตกค้างของฟังก์ชัน f(z) เทียบกับจุดเอกพจน์ z 0 เท่ากับสัมประสิทธิ์ของเทอมแรกที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบในการขยายฟังก์ชัน f(z) ในชุดข้อมูล Laurent

การคำนวณการหักเงิน

จุดเอกพจน์ปกติหรือแบบถอดได้ แน่นอนว่า ถ้า z=z 0 เป็นจุดเอกพจน์ปกติหรือที่ถอดออกได้ของฟังก์ชัน f(z) ดังนั้น Res f(z 0)=0 (ไม่มีส่วนหลักในการสลายตัวของ Laurent ในกรณีเหล่านี้ ดังนั้น c-1= 0)

เสา. ปล่อยให้จุด z 0 เป็นขั้วอย่างง่ายของฟังก์ชัน f(z) ดังนั้น อนุกรม Laurent สำหรับฟังก์ชัน f(z) ในย่านใกล้เคียงของจุด z 0 จะมีรูปแบบดังนี้

จากที่นี่

ดังนั้นเมื่อส่งผ่านความเท่าเทียมกันนี้ไปยังขีดจำกัดเป็น z --z 0 เราจึงได้

ความละเอียด f(z0)=

จุดพิเศษเป็นหลัก ถ้าจุด z 0 เป็นจุดเอกพจน์ของฟังก์ชัน f(z) ดังนั้น ในการคำนวณค่าตกค้างของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ โดยทั่วไปแล้ว เราจะหาค่าสัมประสิทธิ์ c-1 โดยตรงในการขยายฟังก์ชันในอนุกรม Laurent

การจำแนกเหตุการณ์ ผลรวม ผลคูณของเหตุการณ์ คุณสมบัติ การแสดงกราฟิก

กิจกรรมแบ่งออกเป็น:

1. สุ่ม

2. น่าเชื่อถือ

3. เป็นไปไม่ได้

เชื่อถือได้ - นี่คือเหตุการณ์ที่ต้องเกิดขึ้นในเงื่อนไขเหล่านี้ (กลางคืนตามด้วยเช้า)

Random คือเหตุการณ์ที่อาจจะเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้ (สอบผ่าน)

สิ่งที่เป็นไปไม่ได้คือเหตุการณ์ที่จะไม่เกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด (เอาดินสอสีเขียวออกจากกล่องที่มีแต่สีแดงเท่านั้น)

จุดเอกพจน์

ในวิชาคณิตศาสตร์

1) จุดเอกพจน์ของเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ F ( เอ็กซ์, ย) = 0, - จุด M 0 ( x 0 , ย 0) ซึ่งทั้งอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน F ( เอ็กซ์, ย) หายไป:

นอกจากนี้ หากไม่ใช่อนุพันธ์ย่อยที่สองทั้งหมดของฟังก์ชัน F ( เอ็กซ์, ย) ที่จุด M 0 เท่ากับศูนย์ จากนั้น O. t. เรียกว่าสองเท่า หากพร้อมกับการหายไปของอนุพันธ์ตัวแรกที่จุด M 0 อนุพันธ์อันดับสองทั้งหมดหายไป แต่ไม่ใช่อนุพันธ์อันดับสามทั้งหมดเท่ากับศูนย์ดังนั้น O. t. จะเรียกว่าสามและอื่น ๆ เมื่อศึกษาโครงสร้างของเส้นโค้งใกล้กับ double O. t. สัญลักษณ์ของการแสดงออกจะมีบทบาทสำคัญ

ถ้า Δ > 0 ดังนั้น O. t. จะถูกเรียกว่าแยกออกจากกัน เช่น เส้นโค้ง ย 2 - x 4 + 4x 2= 0 ต้นกำเนิดเป็นแบบ O. t ที่แยกได้ (ดู ข้าว. 1 ). ถ้า Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4เอ 2 x 2 - เอ 4= 0 ต้นกำเนิดของพิกัดคือปม O. t (ดู ข้าว. 2 ). ถ้า Δ = 0 ดังนั้นเส้นโค้ง O. t จะถูกแยกออกจากกันหรือมีลักษณะเฉพาะด้วยความจริงที่ว่ากิ่งก้านต่างๆ ของเส้นโค้งมีเส้นสัมผัสร่วมกัน ณ จุดนี้ เช่น: เส้นสัมผัสกันและก่อตัวเป็นจุด เช่น เส้นโค้ง ย 2 - x 3= 0 (ดู ข้าว. 3 , ก); b) ยอดประเภทที่ 2 - กิ่งก้านที่แตกต่างกันของเส้นโค้งจะอยู่ที่ด้านเดียวกันของแทนเจนต์ร่วมเหมือนเส้นโค้ง (ย - x 2)2 - x 5= 0 (ดู ข้าว. 3 ข); c) จุดที่สัมผัสตัวเอง (สำหรับเส้นโค้ง ย 2 - x 4= 0 ต้นกำเนิดคือจุดที่สัมผัสตัวเอง (ซม. ข้าว. 3 , วี) นอกเหนือจาก O. t. ที่ระบุแล้ว ยังมี O. t. อื่น ๆ อีกมากมายที่มีชื่อพิเศษ ตัวอย่างเช่น จุดเส้นกำกับคือยอดของเกลียวที่มีจำนวนรอบไม่สิ้นสุด (ดูรูปที่ 1) ข้าว. 4 ) จุดพัก จุดมุม ฯลฯ

2) จุดเอกพจน์ของสมการเชิงอนุพันธ์คือจุดที่ทั้งเศษและส่วนทางด้านขวาของสมการเชิงอนุพันธ์หายไปพร้อมกัน (ดูสมการเชิงอนุพันธ์)

โดยที่ P และ Q เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง สมมติว่า O. t. อยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัดและใช้สูตรเทย์เลอร์ (ดูสูตรเทย์เลอร์) เราสามารถแสดงสมการ (1) ในรูปแบบได้

โดยที่ P 1 ( เอ็กซ์, ย) และคำถามที่ 1 ( เอ็กซ์, ย) มีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับ

กล่าวคือ ถ้า แลมบ์ 1 ≠ แลมบ์ 2 และ แลมบ์ 1 แลมบ์ 2 > 0 หรือ แลมบ์ 1 = แลมบ์ 2 ดังนั้น O. t. จะเป็นโหนด; เส้นโค้งอินทิกรัลทั้งหมดที่ผ่านจุดของย่านใกล้เคียงที่เล็กเพียงพอของโหนดเข้าไป ถ้า แลมบ์ 1 ≠ แลมบ์ 2 และ แลมบ์ 1 แลมบ์ 2 i β, α ≠ 0 และ β ≠ 0 แล้ว O. t. จะเป็นโฟกัส เส้นโค้งอินทิกรัลทั้งหมดที่ผ่านจุดต่างๆ ในพื้นที่ใกล้เคียงของโฟกัสที่เล็กเพียงพอ จะเป็นเส้นโค้งที่มีจำนวนรอบเป็นอนันต์ในย่านโฟกัสเล็กๆ ใดๆ ก็ตาม ถ้าสุดท้าย แล 1,2 = ± ฉันβ, β ≠ 0 ดังนั้นลักษณะของ O. t ไม่ได้ถูกกำหนดโดยเงื่อนไขเชิงเส้นในการขยายของ P ( เอ็กซ์, ย) และคิว ( เอ็กซ์, ย) เช่นเดียวกับกรณีข้างต้นทั้งหมด; ในที่นี้ O. t. อาจเป็นจุดสนใจหรือจุดศูนย์กลาง หรืออาจมีลักษณะที่ซับซ้อนกว่านี้ก็ได้ ในบริเวณใกล้ศูนย์กลาง เส้นโค้งอินทิกรัลทั้งหมดจะปิดและมีจุดศูนย์กลางอยู่ข้างใน ตัวอย่างเช่น จุด (0, 0) เป็นโหนดสำหรับสมการ ที่" = 2คุณ/x(แลมป์ 1 = 1, แลมบ์ 2 = 2; ดู ข้าว. 5 , ก) และ ย" = คุณ/x(แล 1 = แล 2 = 1; ดู ข้าว. 5 , b) อานสำหรับสมการ ย" = -y/x(แล 1 = -1, แล 2 = 1 ; ซม. ข้าว. 6 ) จุดเน้นของสมการ ย" =(x + ย) / (เอ็กซ์ - ย) (แล 1 = 1 - ฉัน, แลมบ์ดา 2 = 1 + ฉัน; ซม. ข้าว. 7 ) และจุดศูนย์กลางของสมการ ย" = -x / ย(แล 1 = -ฉัน, แลมบ์ดา 2 = ฉัน; ซม. ข้าว. 8 ).

ถ้า x, y) และ Q ( เอ็กซ์, ย) เป็นการวิเคราะห์บริเวณใกล้เคียงของ O. t. ที่มีลำดับสูงกว่าสามารถแบ่งออกเป็นภูมิภาค: D 1 - เต็มไปด้วยเส้นโค้งอินทิกรัล, ปลายทั้งสองเข้าสู่ O. t. (บริเวณรูปไข่), D 2 - เต็มไปด้วยเส้นโค้งอินทิกรัล, ปลายด้านหนึ่งเข้าสู่ O. t. (บริเวณพาราโบลา) และ D 3 - ขอบเขตที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งอินทิกรัลสองเส้นที่รวมอยู่ใน O. t. ซึ่งระหว่างนั้นมีเส้นโค้งอินทิกรัลของประเภทของไฮเปอร์โบลา (บริเวณไฮเปอร์โบลิก) (ดู ข้าว. 9 ). หากไม่มีเส้นโค้งอินทิกรัลที่เข้าสู่จุด O จุด O จะเรียกว่าจุดประเภทเสถียร บริเวณใกล้เคียงของ O. t. ที่เสถียรประกอบด้วยเส้นโค้งอินทิกรัลแบบปิดที่มี O. t. อยู่ภายในตัวมันเอง ซึ่งอยู่ระหว่างที่มีเกลียวอยู่ (ดูรูปที่. ข้าว. 10 ).

การศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ของ O. t เช่นโดยพื้นฐานแล้วการศึกษาพฤติกรรมของครอบครัวของเส้นโค้งอินทิกรัลในย่านใกล้เคียงของ O. t. M. Lyapunov a, A. Poincaré และอื่น ๆ )

3) จุดเอกพจน์ของฟังก์ชันการวิเคราะห์ค่าเดียวคือจุดที่การวิเคราะห์ของฟังก์ชันถูกละเมิด (ดูฟังก์ชันการวิเคราะห์) หากมีบริเวณใกล้เคียงของอ.ต. กเป็นอิสระจากอ.อื่นแล้วประเด็น กเรียกว่าแยก O. t. ถ้า กเป็นโอ.ทีแบบแยกและมีโอ.ทีจำกัดอยู่แล้ว เรียกว่า โอ.ทีแบบถอดได้ โดยการเปลี่ยนคำจำกัดความของฟังก์ชันที่จุด a ให้เหมาะสม (หรือกำหนดใหม่ ณ จุดนี้ ถ้าฟังก์ชันไม่ได้กำหนดไว้เลย) กล่าวคือ การตั้งค่า ฉ(ก)= ขก็เป็นไปได้ที่จะบรรลุ กจะกลายเป็นจุดธรรมดาของฟังก์ชันที่ถูกแก้ไข ตัวอย่างเช่น จุด z= 0 คือ O.T. แบบถอดได้สำหรับฟังก์ชัน f 1 ( z) = ฉ(z), ถ้า z≠ 0 และ ฉ 1(0),=1, จุด z= 0 เป็นจุดปกติ [ ฉ 1 (z) เป็นการวิเคราะห์ ณ จุดนั้น z= 0]. ถ้า ก- แยก O. t. และ a เรียกว่าขั้วหรือจุดเอกพจน์ของฟังก์ชันโดยไม่จำเป็น ฉ(z) หากซีรีส์ Laurent) ทำงานได้ ฉ(z) ในบริเวณใกล้เคียงของ O. t. ที่โดดเดี่ยวไม่มีพลังเชิงลบ ซี - ก, ถ้า ก- O. t. ที่ถอดออกได้ มีจำนวนพลังลบจำนวนจำกัด ซี - ก, ถ้า ก- เสา (ในกรณีนี้คือลำดับของเสา รถูกกำหนดให้เป็นกำลังสูงสุดของ a ซึ่งเป็นจุดเอกพจน์ ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน

พี = 2, 3, …)

จุด z= 0 คือขั้วของลำดับ ร, สำหรับฟังก์ชัน

จุด z= 0 เป็นจุดเอกพจน์ที่สำคัญ

บนขอบเขตของวงกลมที่มาบรรจบกันของอนุกรมกำลัง จะต้องมี O. t ของฟังก์ชันอย่างน้อยหนึ่งตัวที่แสดงภายในวงกลมนี้ด้วยอนุกรมกำลังที่กำหนด จุดขอบเขตทั้งหมดของโดเมนของการดำรงอยู่ของฟังก์ชันการวิเคราะห์ค่าเดียว (ขอบเขตธรรมชาติ) คือจุดขอบเขตของฟังก์ชันนี้ ดังนั้น จุดทุกจุดของวงกลมหน่วย | z| = 1 เป็นค่าพิเศษสำหรับฟังก์ชัน

สำหรับฟังก์ชันการวิเคราะห์แบบหลายค่า แนวคิดของ "O" ที" ยากขึ้น. นอกเหนือจาก O. t. ในแต่ละชีตของพื้นผิวรีมันน์ของฟังก์ชัน (นั่นคือ O. t. ขององค์ประกอบการวิเคราะห์ค่าเดียว) จุดแยกใดๆ ยังเป็น O. t. ของฟังก์ชันด้วย จุดแยกสาขาของพื้นผิวรีมันน์ (กล่าวคือ จุดแยกสาขาจนในละแวกใกล้เคียงบางแห่งไม่มีฟังก์ชัน O.t. อื่นในลีฟใดๆ) ถูกจำแนกได้ดังต่อไปนี้ ถ้า a เป็นจุดแยกแยกของลำดับอันจำกัดและมี a ที่มีจำกัดอยู่ จะเรียกว่าขั้ววิกฤต ถ้า กเป็นจุดแยกสาขาของลำดับอนันต์ และ a เรียกว่า จุดแยกสาขาอื่น ๆ ทั้งหมดเรียกว่าจุดแยกเอกพจน์ที่สำคัญ ตัวอย่าง: จุด z= 0 คือจุดวิกฤตสามัญของฟังก์ชัน f ( z) = บันทึก zและจุดเอกพจน์สำคัญที่สำคัญของฟังก์ชัน ฉ (z) = บันทึกบาป z.

O. t. ใด ๆ ยกเว้นแบบถอดได้เป็นอุปสรรคต่อการวิเคราะห์ต่อเนื่อง กล่าวคือ การวิเคราะห์ความต่อเนื่องตามเส้นโค้งที่ผ่าน O. t. ที่ไม่สามารถถอดออกได้นั้นเป็นไปไม่ได้

สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต - ม.: สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

ดูว่า "ประเด็นพิเศษ" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

จุดที่นี่ ดูเพิ่มเติมที่จุดเอกพจน์ (สมการเชิงอนุพันธ์) คุณลักษณะหรือภาวะเอกฐานในคณิตศาสตร์คือจุดที่วัตถุทางคณิตศาสตร์ (โดยปกติจะเป็นฟังก์ชัน) ไม่ได้ถูกกำหนดไว้หรือมีพฤติกรรมที่ผิดปกติ (เช่น จุดที่ ... ... Wikipedia

ฟังก์ชั่นการวิเคราะห์คือจุดที่เงื่อนไขของการวิเคราะห์ถูกละเมิด หากมีการกำหนดฟังก์ชันการวิเคราะห์ f(z) ไว้ในบริเวณใกล้จุด z0 ทุกที่ … สารานุกรมกายภาพ

ฟังก์ชั่นการวิเคราะห์คือจุดที่การวิเคราะห์ฟังก์ชั่นถูกละเมิด ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

จุดเอกพจน์- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov พจนานุกรมภาษาอังกฤษรัสเซียวิศวกรรมไฟฟ้าและอุตสาหกรรมพลังงาน, มอสโก, 1999] หัวข้อวิศวกรรมไฟฟ้า, แนวคิดพื้นฐาน EN จุดเอกพจน์ ... คู่มือนักแปลด้านเทคนิค

1) OT ของฟังก์ชันวิเคราะห์ f(z) เป็นสิ่งกีดขวางต่อการวิเคราะห์ต่อเนื่องขององค์ประกอบของฟังก์ชัน f(z) ของตัวแปรเชิงซ้อน z ตามเส้นทางบางเส้นทางบนระนาบของตัวแปรนี้ ปล่อยให้ฟังก์ชันการวิเคราะห์ f(z) ถูกกำหนดโดย ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

ฟังก์ชันการวิเคราะห์ จุดที่การวิเคราะห์ของฟังก์ชันถูกละเมิด * * * SINGULAR POINT จุดเดียวของฟังก์ชันการวิเคราะห์ จุดที่การวิเคราะห์ของฟังก์ชันถูกละเมิด ... พจนานุกรมสารานุกรม

จุดเอกพจน์- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. จุดเอกพจน์ vok เอกพจน์ Punkt, m rus. จุดเอกพจน์ fpranc อนุภาคจุด, m; point singulier, m … Automatikos สิ้นสุด žodynas

จุดเอกพจน์- ypatingasis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. จุดเอกพจน์ vok เอกพจน์ Punkt, m rus. จุดเอกพจน์ fpranc point singulier, ม … Fizikos สิ้นสุด žodynas

ซีรีส์ Taylor ทำหน้าที่เป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการศึกษาฟังก์ชันที่มีการวิเคราะห์ในวงกลม zol เพื่อศึกษาฟังก์ชันที่มีการวิเคราะห์ในพื้นที่วงแหวน ปรากฎว่ามีความเป็นไปได้ที่จะสร้างการขยายตัวของกำลังบวกและลบ (z - zq) ของ แบบฟอร์มที่สรุปการขยายตัวของ Taylor ซีรีส์ (1) ซึ่งเข้าใจว่าเป็นผลรวมของสองซีรีส์ เรียกว่าซีรีส์ Laurent เห็นได้ชัดว่าขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรม (1) เป็นส่วนร่วมของขอบเขตของการบรรจบกันของแต่ละอนุกรม (2) มาหาเธอกันเถอะ พื้นที่การบรรจบกันของอนุกรมแรกคือวงกลมซึ่งรัศมีถูกกำหนดโดยสูตรคอชี-ฮาดามาร์ด ภายในวงกลมของการบรรจบกัน อนุกรม (3) มาบรรจบกันเป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ และในวงกลมรัศมีเล็ก ๆ ใด ๆ มันจะมาบรรจบกันอย่างแน่นอน และสม่ำเสมอ ชุดที่สองคือชุดกำลังซึ่งสัมพันธ์กับตัวแปร ซีรีส์ (5) มาบรรจบกันภายในวงกลมของการบรรจบกันเป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ของตัวแปรที่ซับซ้อน m - * oo และในวงกลมรัศมีเล็ก ๆ ใด ๆ มันจะมาบรรจบกันอย่างสมบูรณ์และสม่ำเสมอซึ่ง หมายความว่า บริเวณการบรรจบกันของอนุกรม (4) มีลักษณะเป็นวงกลม - ถ้าเช่นนั้น มีพื้นที่ร่วมกันของการบรรจบกันของอนุกรม (3) และ (4) - วงแหวนวงกลมที่อนุกรม (1) มาบรรจบกัน ฟังก์ชั่นการวิเคราะห์ ยิ่งไปกว่านั้น ในวงแหวนใดๆ ก็ตาม มันจะมาบรรจบกันอย่างสมบูรณ์และสม่ำเสมอ ตัวอย่างที่ 1 กำหนดขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรม Rad Laurent จุดเอกพจน์ที่แยกออกมาและการจำแนกประเภท (z) ซึ่งเป็นค่าเดียวและไม่เชิงการเมืองในวงแหวนวงกลม สามารถแสดงได้ในวงแหวนนี้เป็นผลรวมของอนุกรมลู่เข้าที่มีค่าสัมประสิทธิ์ Cn ถูกกำหนดและคำนวณโดยเฉพาะโดยสูตร โดยที่ 7p คือวงกลมที่มีรัศมี m ให้เราแก้ไขจุด z ตามอำเภอใจภายในวงแหวน R เราสร้างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด r ซึ่งรัศมีเป็นไปตามความไม่เท่ากันและพิจารณาวงแหวนใหม่ ตามทฤษฎีบทอินทิกรัลของ Cauchy สำหรับโดเมนที่เชื่อมต่อกันแบบคูณ เราจะได้ ให้เราแปลงอินทิกรัลแต่ละตัวในผลรวม (8) แยกจากกัน สำหรับจุดทั้งหมด £ ตลอดวงกลม 7d* ความสัมพันธ์ de ผลรวมของอนุกรมลู่เข้าสม่ำเสมอ 1 1 จึงเป็นที่น่าพอใจ ดังนั้น เศษส่วน ^ สามารถแสดงเป็น vi- /" / ในลักษณะที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยสำหรับทุกจุด ξ บน วงกลม ir> เรามีความสัมพันธ์ดังนี้ ดังนั้น เศษส่วน ^ สามารถแสดงเป็นผลรวมของอนุกรมลู่เข้าสม่ำเสมอในสูตร (10) และ (12) เป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ในวงแหวนวงกลม ดังนั้นตามทฤษฎีบทของ Cauchy ค่าของปริพันธ์ที่สอดคล้องกันจะไม่เปลี่ยนแปลงหากวงกลม 7/r และ 7r/ ถูกแทนที่ด้วยวงกลมใดๆ สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถรวมสูตร (10) และ (12) ได้ การแทนที่อินทิกรัลทางด้านขวาของสูตร (8) ด้วยนิพจน์ (9) และ (11) ตามลำดับ เราจึงได้ส่วนขยายที่ต้องการ เนื่องจาก z เป็นกฎเกณฑ์ จุดของวงแหวน จะเป็นไปตามนั้นอนุกรม ( 14) มาบรรจบกับฟังก์ชัน f(z) ทุกจุดในวงแหวนนี้ และในวงแหวนใดๆ อนุกรมจะลู่เข้าหากันกับฟังก์ชันนี้อย่างสมบูรณ์และสม่ำเสมอ ให้เราพิสูจน์ว่าการสลายตัวของรูปแบบ (6) นั้นไม่เหมือนใคร สมมติว่ามีการสลายตัวเกิดขึ้นอีก ครั้งหนึ่ง จากนั้น ทุกจุดภายในวงแหวน R เรามี บนเส้นรอบวง อนุกรม (15) มาบรรจบกันอย่างเท่าเทียมกัน คูณทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน (โดยที่ m เป็นจำนวนเต็มคงที่และรวมทั้งสองชุดเข้าด้วยกันด้วยเทอม เป็นผลให้เราอยู่ทางด้านซ้ายและทางด้านขวา - Csh ดังนั้น (4, \u003d St. เนื่องจาก m เป็นตัวเลขใดๆ ก็ตาม ดังนั้นอนุกรมความเสมอภาคสุดท้าย (6) ค่าสัมประสิทธิ์ซึ่งคำนวณโดยสูตร (7) จึงเรียกว่าอนุกรม Laurent ของฟังก์ชัน f(z) ในวงแหวน 7) สำหรับสัมประสิทธิ์ของ ในทางปฏิบัติไม่ค่อยมีการใช้ซีรี่ส์ Laurent เพราะตามกฎแล้วต้องใช้การคำนวณที่ยุ่งยาก โดยปกติหากเป็นไปได้จะใช้การขยายฟังก์ชันพื้นฐาน Taylor สำเร็จรูป ขึ้นอยู่กับเอกลักษณ์ของการขยายวิธีการที่ถูกต้องตามกฎหมายใด ๆ จะนำไปสู่สิ่งเดียวกัน ผลลัพธ์ ตัวอย่างที่ 2 ลองพิจารณาการขยายอนุกรมของฟังก์ชันในโดเมนต่างๆ ของอนุกรม Laurent โดยสมมติว่า Fuiscius /(r) มีจุดเอกพจน์สองจุด: ดังนั้นจึงมีโดเมนวงแหวนสามโดเมนโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด r = 0 โดยแต่ละโดเมนมีฟังก์ชัน /( r) เป็นการวิเคราะห์: ก ) วงกลม วงแหวน ลักษณะของวงกลม (รูปที่ 27) ให้เราค้นหาส่วนขยายของฟังก์ชัน /(z) ของ Laurent ในแต่ละภูมิภาคเหล่านี้ เราแทน /(z) เป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้น a) ความสัมพันธ์ของการแปลงวงกลม (16) ดังต่อไปนี้ เราจะได้โดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต b) วงแหวนสำหรับฟังก์ชัน -z ยังคงมาบรรจบกันในวงแหวนนี้ เนื่องจากซีรีส์ (19) สำหรับฟังก์ชัน j^j สำหรับ |z| > 1 แตกต่าง ดังนั้นเราจึงแปลงฟังก์ชัน /(z) ดังนี้: ใช้สูตร (19) อีกครั้ง เราจะได้ว่าอนุกรมนี้มาบรรจบกัน เมื่อแทนส่วนขยาย (18) และ (21) ไปเป็นความสัมพันธ์ (20) เราจะได้ c) ลักษณะภายนอกของวงกลมสำหรับฟังก์ชัน -z ด้วย |z| > 2 ไดเวอร์จ และอนุกรม (21) สำหรับฟังก์ชัน ให้เราแสดงฟังก์ชัน /(z) ในรูปแบบต่อไปนี้: /<*>เมื่อใช้สูตร (18) และ (19) เราจะได้ OR 1 ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าสำหรับฟังก์ชันเดียวกัน f(z) การขยายตัวของ Laurent โดยทั่วไปแล้ว ชนิดที่แตกต่าง สำหรับแหวนที่แตกต่างกัน ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาการสลายตัวของซีรีส์ 8 Laurent ของฟังก์ชันซีรีส์ Laurent จุดเอกพจน์ที่แยกได้และการจำแนกประเภทในภูมิภาควงแหวน A เราใช้การแทนฟังก์ชัน f (z) ในรูปแบบต่อไปนี้: และแปลงเทอมที่สองโดยใช้ สูตรสำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เราได้การแทนที่นิพจน์ที่พบลงในสูตร (22) เรามีตัวอย่างที่ 4 ขยายฟังก์ชันในชุด Laurent ในย่านบาง zq = 0 สำหรับค่าที่ซับซ้อนใดๆ เรามี ให้ส่วนขยายนี้ใช้ได้กับจุดใดๆ z Ф 0 ในกรณีนี้ บริเวณวงแหวนคือระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดโดยมีจุด z ที่ถูกโยนออกไปหนึ่งจุด - 0 พื้นที่นี้สามารถกำหนดได้โดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้: ฟังก์ชันนี้เป็นการวิเคราะห์ ในภูมิภาค จากสูตร (13) สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรม Laurent ด้วยเหตุผลเดียวกันกับในย่อหน้าก่อนหน้า เราสามารถรับความไม่เท่าเทียมกันของ Kouiw ได้ ถ้าฟังก์ชัน f(z) ล้อมรอบด้วยวงกลม โดยที่ M เป็นค่าคงที่) แล้วจุดเอกพจน์ที่แยกได้ จุด zo เรียกว่าจุดเอกพจน์แยกของฟังก์ชัน f(z) หากมีย่านใกล้เคียงเป็นรูปวงแหวนของจุด ( ชุดนี้บางครั้งเรียกอีกอย่างว่าย่านที่เจาะทะลุของจุด 2o) โดยที่ฟังก์ชัน f(z) เป็นแบบค่าเดียวและเป็นเชิงวิเคราะห์ ณ จุด zo เอง ฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดไว้หรือไม่ใช่ค่าเดียวและเป็นการวิเคราะห์ จุดเอกพจน์สามประเภทมีความโดดเด่นขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของฟังก์ชัน /(z) เมื่อเข้าใกล้จุด zo จุดเอกพจน์ที่แยกเดี่ยวเรียกว่า: 1) ถอดออกได้ถ้ามีขอบเขตจำกัด 2) pmusach ถ้า 3) จุดเอกพจน์ที่สำคัญถ้าฟังก์ชัน f(z) ไม่มีขีดจำกัดสำหรับ ทฤษฎีบท 16 จุด z0 เอกพจน์ที่แยกเดี่ยวของฟังก์ชัน f(z) คือจุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้ ก็ต่อเมื่อการขยายฟังก์ชัน f(z) ของ Laurent ในบริเวณใกล้กันของจุด zo ไม่มีส่วนหลัก กล่าวคือ มีรูปแบบ Let zo - จุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้ จากนั้นก็มีอันจำกัดอยู่และด้วยเหตุนี้ฟังก์ชัน f(z) จึงถูกผูกไว้ในย่าน procological ของจุด r เราตั้งค่าโดยอาศัยความไม่เท่าเทียมกันของ Cauchy เนื่องจากเป็นไปได้ที่จะเลือก p ว่ามีขนาดเล็กโดยพลการจากนั้นค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดที่ติดลบ กำลัง (z - 20) เท่ากับศูนย์: ในทางกลับกัน ให้ Laurent ขยายฟังก์ชัน /(r) ในพื้นที่ใกล้เคียงของจุด zq มีเพียงส่วนที่ถูกต้องเท่านั้น กล่าวคือ มันมีรูปแบบ (23) ดังนั้น คือเทย์เลอร์ จะสังเกตได้ง่ายว่าสำหรับ z -* z0 ฟังก์ชัน /(z) มีค่าจำกัด: ทฤษฎีบท 17 จุดเอกพจน์ที่แยกออกมา zq ของฟังก์ชัน f(z) นั้นสามารถถอดออกได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชัน J(z) เป็น ขอบเขตในบริเวณที่มีการเจาะทะลุของจุด zq ไม่ใช่ Zgmechai ให้ r0 เป็นจุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้ของ f(r) สมมติว่าเราทราบว่าฟังก์ชัน f(r) มีการวิเคราะห์ในวงกลมบางวงที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด th นี่เป็นการกำหนดชื่อของจุด - แบบใช้แล้วทิ้ง ทฤษฎีบท 18 จุดเอกพจน์แยกเดี่ยว zq ของฟังก์ชัน f(z) จะเป็นขั้วก็ต่อเมื่อส่วนหลักของการขยายฟังก์ชัน f(z) ของ Laurent ในย่านใกล้เคียงของจุดนั้นมีจำนวนจำกัด (และบวก) ของพจน์ที่ไม่ใช่ศูนย์ เช่น มีรูปแบบ 4 ให้ z0 เป็นขั้ว ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ก็มีย่านที่เจาะทะลุของจุด z0 ซึ่งฟังก์ชัน f(z) เป็นฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์และไม่เป็นศูนย์ จากนั้นฟังก์ชันการวิเคราะห์ถูกกำหนดไว้ในย่านนี้ และด้วยเหตุนี้ จุด zq คือจุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้ (ศูนย์) ของฟังก์ชัน หรือโดยที่ h(z) คือฟังก์ชันการวิเคราะห์ h(z0) ∩ 0. คือการวิเคราะห์ในละแวกใกล้เคียง ของจุด zq และด้วยเหตุนี้ เราจึงได้สิ่งนั้นมา ให้เราสมมุติว่าฟังก์ชัน f(z) มีการสลายตัวของรูปแบบ (24) ในย่านที่เจาะทะลุของจุด zo ซึ่งหมายความว่าในย่านนี้ ฟังก์ชัน f(z) จะถูกวิเคราะห์ร่วมกับฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชัน g(z) การขยายนั้นใช้ได้ซึ่งชัดเจนว่า zq เป็นจุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้ของฟังก์ชัน g(z) และมีอยู่ จากนั้นฟังก์ชันจะมีแนวโน้มที่ 0 - ขั้วของฟังก์ชัน มีอีกอย่างที่ง่ายกว่า ข้อเท็จจริง. จุด Zq เป็นขั้วของฟังก์ชัน f(z) ก็ต่อเมื่อฟังก์ชัน g(z) = y สามารถขยายไปยังฟังก์ชันการวิเคราะห์ในย่านใกล้เคียงของจุด zq โดยการตั้งค่า g(z0) = 0 ลำดับ ของขั้วของฟังก์ชัน f(z) เรียกว่าลำดับของศูนย์ของฟังก์ชัน jfa ทฤษฎีบทที่ 16 และ 18 แสดงถึงการยืนยันต่อไปนี้ ทฤษฎีบท 19 ทินเอกพจน์ที่แยกเดี่ยวจะเป็นเอกพจน์ก็ต่อเมื่อส่วนหลักของการขยายตัวของลอรองต์ในย่านที่เจาะทะลุของจุดนี้ มีพจน์ที่ไม่ใช่ศูนย์จำนวนมากนับไม่ถ้วน ตัวอย่างที่ 5 จุดเอกพจน์ของฟังก์ชันคือ zo = 0 เรามีจุดเอกพจน์แบบแยกของ Laurent Series และการจำแนกประเภท ดังนั้น zo = 0 จึงเป็นจุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้ การขยายฟังก์ชัน /(z) ในชุดข้อมูล Laurent ใกล้กับจุดศูนย์ประกอบด้วยส่วนที่ถูกต้องเท่านั้น: Example7 f(z) = จุดเอกพจน์ของฟังก์ชัน f(z) คือ zq = 0 พิจารณาพฤติกรรมของฟังก์ชันนี้บนแกนจริงและแกนจินตภาพ: บนแกนจริงที่ x 0 บนแกนจินตภาพ ดังนั้น ไม่มีขอบเขตหรือ ไม่มีขีดจำกัดอนันต์ f(z) ที่ z -* 0 ดังนั้นจุด r0 = 0 จึงเป็นจุดเอกพจน์ของฟังก์ชัน f(z) ให้เราค้นหาการขยายตัวของฟังก์ชัน f(z) ของ Laurent ในบริเวณใกล้จุดศูนย์ สำหรับ C เชิงซ้อนใด ๆ ที่เรามี เราได้กำหนดไว้ จากนั้นส่วนขยายของ Laurent จะมีพจน์เป็นจำนวนอนันต์ซึ่งมีกำลังเป็นลบเท่ากับ z