ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดในโดเมน

คำนิยาม.การแสดงออก

เรียกว่า การทำงานใกล้.

ตัวอย่าง.

สำหรับบางค่า อนุกรมอาจมาบรรจบกัน สำหรับค่าอื่นอาจแตกต่างกัน

ตัวอย่าง.

หาพื้นที่บรรจบกันของอนุกรม. ชุดนี้กำหนดไว้สำหรับค่า

ถ้าเช่นนั้น อนุกรมจะแยกออกจากกัน เนื่องจากเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของอนุกรมไม่เป็นไปตามเกณฑ์ ถ้าซีรีส์แตกต่างออกไป if คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

การเปรียบเทียบอนุกรมนี้กับอนุกรมลู่เข้าที่ ให้ขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมที่ศึกษา

ด้วยค่าจากอนุกรมการทำงาน จะได้อนุกรมตัวเลข

หากอนุกรมตัวเลขมาบรรจบกัน จุดนั้นเรียกว่า จุดบรรจบแถวการทำงาน

เซตของจุดบรรจบกันของอนุกรมก่อให้เกิดขอบเขตของการบรรจบกัน พื้นที่บรรจบกันมักจะเป็นบางช่วงของแกน

ถ้าในแต่ละจุดที่อนุกรมตัวเลขมาบรรจบกัน ก็จะเรียกว่าอนุกรมการทำงาน บรรจบกันในพื้นที่.

ผลรวมของอนุกรมฟังก์ชันคือฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรที่กำหนดในพื้นที่ลู่เข้าของอนุกรม

ฟังก์ชันมีคุณสมบัติอะไรบ้างหากคุณสมบัตินั้นเรียกว่าเป็นสมาชิกของอนุกรม นั่นคือ

ความต่อเนื่องของฟังก์ชันไม่เพียงพอที่จะสรุปเกี่ยวกับความต่อเนื่อง

การบรรจบกันของอนุกรมของฟังก์ชันต่อเนื่องกับฟังก์ชันต่อเนื่องมีให้โดยเงื่อนไขเพิ่มเติมที่แสดงคุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของการบรรจบกันของอนุกรมฟังก์ชัน

คำนิยาม. อนุกรมการทำงานเรียกว่าคอนเวอร์เจนต์ในโดเมน ถ้าผลรวมบางส่วนของอนุกรมนี้มีจำนวนจำกัด เช่น .

คำนิยาม. อนุกรมการทำงานเรียกว่าการบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในภูมิภาค หากมีค่าบวกใดๆ ก็จะมีจำนวนดังกล่าวที่อสมการมีอยู่สำหรับทั้งหมด

ความหมายทางเรขาคณิตของการลู่เข้าในเครื่องแบบ

ถ้าเราล้อมรอบกราฟของฟังก์ชันด้วยแถบที่กำหนดโดยความสัมพันธ์แล้วกราฟ ทั้งหมดฟังก์ชัน , เริ่มต้นด้วยค่าที่มากพอ , โดยสิ้นเชิงอยู่ใน "- แถบ" นี้ล้อมรอบกราฟของฟังก์ชันลิมิต

คุณสมบัติของอนุกรมลู่เข้าที่สม่ำเสมอ .

1. ผลรวมของอนุกรมลู่เข้าที่สม่ำเสมอในบางขอบเขต ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันต่อเนื่อง เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในภูมิภาคนี้

2. ซีรีส์ดังกล่าวสามารถแยกความแตกต่างตามคำศัพท์ได้

3. ซีรีส์สามารถรวมคำต่อคำได้

ในการตรวจสอบว่าอนุกรมการทำงานลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอหรือไม่ เราต้องใช้เกณฑ์การลู่เข้าที่เพียงพอของไวเออร์สตราส

คำนิยาม. เรียกว่าอนุกรมการทำงาน ถูกครอบงำในบางภูมิภาคของการเปลี่ยนแปลง หากมีอนุกรมตัวเลขที่บรรจบกันซึ่งมีเงื่อนไขเชิงบวกที่อสมการมีอยู่สำหรับภูมิภาคนี้ทั้งหมด

ป้ายไวเออร์ชตราส(การบรรจบกันของอนุกรมฟังก์ชัน)

ช่วงการทำงาน บรรจบกันเป็นเนื้อเดียวกันในโดเมนของการบรรจบกันหากถูกครอบงำในโดเมนนี้

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าฟังก์ชันในบางพื้นที่ไม่เกินจำนวนบวกที่สอดคล้องกันในค่าสัมบูรณ์ และถ้าอนุกรมจำนวนมาบรรจบกัน อนุกรมการทำงานจะบรรจบกันในพื้นที่นี้อย่างเท่าเทียมกัน

ตัวอย่าง. พิสูจน์การบรรจบกันของอนุกรมฟังก์ชัน

สารละลาย. . ให้เราแทนที่พจน์ทั่วไปของอนุกรมนี้ด้วยพจน์ทั่วไปของอนุกรมตัวเลข แต่เกินค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกแต่ละตัวของอนุกรม ในการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องพิจารณาว่าเทอมทั่วไปของซีรีส์ใดจะเป็นค่าสูงสุด

อนุกรมตัวเลขที่เป็นผลลัพธ์จะมาบรรจบกัน ซึ่งหมายความว่าอนุกรมการทำงานจะลู่เข้าหากันอย่างสม่ำเสมอตามเกณฑ์ของไวเออร์ชตราส

ตัวอย่าง. ค้นหาผลรวมของอนุกรม

ในการหาผลรวมของอนุกรม เราใช้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

แยกความแตกต่างของส่วนซ้ายและขวาของสูตร (1) เราได้รับตามลำดับ

ในผลรวมที่จะคำนวณ เราแยกเงื่อนไขตามสัดส่วนของอนุพันธ์ที่หนึ่งและสอง:

มาคำนวณอนุพันธ์กัน:

ชุดเพาเวอร์.

ในบรรดาอนุกรมการทำงานมีคลาสของกำลังและอนุกรมตรีโกณมิติ

คำนิยาม. ชุดฟังก์ชันของฟอร์ม

เรียกว่าอำนาจในอำนาจ. นิพจน์เป็นจำนวนคงที่

ถ้าอนุกรมนั้นเป็นอนุกรมกำลังที่มีกำลัง

โดเมนของการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง ทฤษฎีบทของอาเบล

ทฤษฎีบท. ถ้าอนุกรมกำลังมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง มันก็จะบรรจบกันและยิ่งกว่านั้น สำหรับค่าใดๆ ที่น้อยกว่าในค่าสัมบูรณ์ นั่นคือ หรือในช่วงเวลา

การพิสูจน์.

เนื่องจากการบรรจบกันของ rad พจน์ทั่วไปของมันจะต้องมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ดังนั้น พจน์ทั้งหมดของอนุกรมนี้จึงมีขอบเขตเท่ากัน: มีจำนวนบวกคงที่ เช่นนั้นสำหรับอสมการใดๆ นั้นถือ . ซึ่งสำหรับทั้งหมดที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ จุด

แถวการทำงาน ชุดเพาเวอร์.
ช่วงของการบรรจบกันของซีรีส์

การหัวเราะโดยไม่มีเหตุผลเป็นสัญญาณของ d'Alembert

ดังนั้นชั่วโมงของแถวการทำงานจึงเกิดขึ้น เพื่อให้เชี่ยวชาญในหัวข้อนี้ได้สำเร็จ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งบทเรียนนี้ คุณจะต้องมีความเชี่ยวชาญในชุดตัวเลขตามปกติเป็นอย่างดี คุณควรมีความรู้ความเข้าใจว่าอนุกรมคืออะไร สามารถนำสัญลักษณ์เปรียบเทียบมาศึกษาอนุกรมเพื่อการบรรจบกันได้ ดังนั้น หากคุณเพิ่งเริ่มศึกษาหัวข้อนี้หรือเป็นกาน้ำชาในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง จำเป็นทำงานผ่านสามบทเรียนตามลำดับ: แถวสำหรับกาน้ำชา,สัญลักษณ์ของ d'Alembert สัญญาณของ Cauchyและ สลับแถว. สัญญาณไลบ์นิซ. ทั้งสามอย่างแน่นอน! หากคุณมีความรู้และทักษะพื้นฐานในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับอนุกรมตัวเลข ก็จะค่อนข้างง่ายในการจัดการกับอนุกรมการทำงาน เนื่องจากไม่มีเนื้อหาใหม่มากนัก

ในบทเรียนนี้ เราจะพิจารณาแนวคิดของอนุกรมฟังก์ชัน (โดยทั่วไปคืออะไร) ทำความคุ้นเคยกับอนุกรมกำลังซึ่งพบได้ใน 90% ของงานจริง และเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปทั่วไปในการหาคอนเวอร์เจนซ์ รัศมี ช่วงการลู่เข้า และพื้นที่ลู่เข้าของอนุกรมกำลัง นอกจากนี้ฉันขอแนะนำให้พิจารณาเนื้อหาเกี่ยวกับ การขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมกำลัง, และจะมีรถพยาบาลให้กับผู้เริ่มต้น หลังจากพักผ่อนเล็กน้อย เราไปยังระดับถัดไป:

นอกจากนี้ในส่วนของชุดการทำงานยังมีอีกมากมาย การประยุกต์ใช้ในการคำนวณโดยประมาณและ Fourier Series ซึ่งตามกฎแล้วจะได้รับการจัดสรรบทแยกต่างหากในวรรณกรรมเพื่อการศึกษาโดยแยกจากกันเล็กน้อย ฉันมีบทความเดียว แต่ยาวและมากมาย ตัวอย่างเพิ่มเติมมากมาย!

ตั้งจุดสังเกตแล้วไปกันเลย:

แนวคิดของอนุกรมฟังก์ชันและอนุกรมกำลัง

หากได้รับอินฟินิตี้ในขีดจำกัดจากนั้นอัลกอริทึมของโซลูชันก็เสร็จสิ้นการทำงานเช่นกัน และเราให้คำตอบสุดท้ายแก่งาน: "อนุกรมมาบรรจบกันที่" (หรือที่อย่างใดอย่างหนึ่ง") ดูกรณีที่ #3 ของย่อหน้าก่อนหน้า

หากอยู่ในขีด จำกัด มันจะไม่เป็นศูนย์และไม่ใช่อนันต์จากนั้นเรามีกรณีที่พบบ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ # 1 - ซีรีส์มาบรรจบกันในช่วงเวลาหนึ่ง

ในกรณีนี้ ขีดจำกัดคือ จะหาช่วงเวลาของการบรรจบกันของอนุกรมได้อย่างไร? เราสร้างความไม่เท่าเทียมกัน:

ใน งานประเภทนี้ทางด้านซ้ายของอสมการควรเป็น ผลการคำนวณขีดจำกัดและทางด้านขวาของอสมการ อย่างเคร่งครัด หน่วย. ฉันจะไม่อธิบายว่าทำไมความไม่เท่าเทียมกันนี้และเหตุใดจึงมีความไม่เท่าเทียมกันทางด้านขวา บทเรียนสามารถนำไปใช้ได้จริง และเป็นเรื่องดีอยู่แล้วที่ทฤษฎีบทบางบทชัดเจนขึ้นจากเรื่องราวของฉันที่อาจารย์ผู้สอนไม่แขวนคอตาย

เทคนิคการทำงานกับโมดูลและการแก้อสมการสองเท่าได้รับการพิจารณาโดยละเอียดในปีแรกในบทความ ขอบเขตของฟังก์ชันแต่เพื่อความสะดวก ฉันจะพยายามแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการกระทำทั้งหมดในรายละเอียดให้มากที่สุด เราเปิดเผยความไม่เท่าเทียมกับโมดูลตามกฎของโรงเรียน . ในกรณีนี้:

ครึ่งหลัง.

ในขั้นที่สอง จำเป็นต้องตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรมเมื่อสิ้นสุดช่วงเวลาที่พบ

ขั้นแรก เรานำปลายด้านซ้ายของช่วงเวลามาแทนที่ในอนุกรมกำลังของเรา:

ที่

ได้รับชุดตัวเลขแล้ว และเราจำเป็นต้องตรวจสอบการลู่เข้า (งานที่คุ้นเคยอยู่แล้วจากบทเรียนก่อนหน้านี้)

1) อนุกรมเป็นสัญญาณสลับกัน
2) – เงื่อนไขของซีรีส์ลดโมดูโล ยิ่งกว่านั้น แต่ละเทอมถัดไปของอนุกรมมีค่าน้อยกว่าเทอมก่อนหน้าในโมดูลัส: ดังนั้นการลดลงจึงจำเจ
สรุป: ซีรีส์มาบรรจบกัน

ด้วยความช่วยเหลือของซีรีส์ที่ประกอบด้วยโมดูล เราจะพบว่า:
– บรรจบกัน (“ชุดอ้างอิง” จากตระกูลของอนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป)

ดังนั้น อนุกรมตัวเลขที่เป็นผลลัพธ์จะบรรจบกันอย่างแน่นอน

ที่ - มาบรรจบกัน

! ฉันเตือน ว่าอนุกรมบวกลู่เข้าใดๆ ก็ลู่เข้าอย่างแน่นอนเช่นกัน

ดังนั้น อนุกรมกำลังจึงมาบรรจบกันที่ปลายทั้งสองของช่วงเวลาที่พบ

คำตอบ:ขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมกำลังที่ศึกษา:

มันมีสิทธิ์ที่จะมีชีวิตและการออกแบบคำตอบอื่น: ซีรีส์มาบรรจบกันถ้า

บางครั้งในเงื่อนไขของปัญหาจำเป็นต้องระบุรัศมีของการบรรจบกัน เห็นได้ชัดว่าในตัวอย่างที่พิจารณา

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง

สารละลาย:เราพบช่วงเวลาของการบรรจบกันของอนุกรม โดยใช้สัญลักษณ์ของ d'Alembert (แต่ไม่ใช่ตามแอตทริบิวต์! - ไม่มีแอตทริบิวต์ดังกล่าวสำหรับชุดการทำงาน):

ซีรีส์มาบรรจบที่

ซ้ายเราต้องออกไป เท่านั้นเราจึงคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วย 3:

– ซีรีส์เป็นสัญญาณสลับกัน
– – เงื่อนไขของซีรีส์ลดโมดูโล แต่ละเทอมถัดไปของอนุกรมน้อยกว่าเทอมก่อนหน้าในค่าสัมบูรณ์: ดังนั้นการลดลงจึงจำเจ

สรุป: ซีรีส์มาบรรจบกัน

เราตรวจสอบลักษณะของการบรรจบกัน:

เปรียบเทียบซีรีส์นี้กับซีรีส์ไดเวอร์เจนต์
เราใช้เครื่องหมายขีด จำกัด ในการเปรียบเทียบ:

จะได้จำนวนจำกัดที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งหมายความว่าอนุกรมจะแยกออกจากกันกับอนุกรม

ดังนั้น ซีรีส์จึงมาบรรจบกันแบบมีเงื่อนไข

2) เมื่อไหร่ – ความแตกต่าง (ตามที่พิสูจน์แล้ว)

คำตอบ:พื้นที่บรรจบกันของอนุกรมกำลังที่ศึกษา: . สำหรับ อนุกรมจะบรรจบกันแบบมีเงื่อนไข

ในตัวอย่างที่พิจารณา พื้นที่ของการบรรจบกันของอนุกรมกำลังคือครึ่งช่วง และที่ทุกจุดของช่วงนั้นอนุกรมกำลัง มาบรรจบกันอย่างแน่นอนและ ณ จุดนั้น เมื่อมันปรากฏออกมา อย่างมีเงื่อนไข.

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาช่วงเวลาของการลู่เข้าของอนุกรมกำลังและตรวจสอบการลู่เข้าเมื่อสิ้นสุดช่วงเวลาที่พบ

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง

พิจารณาสองสามตัวอย่างที่หายาก แต่เกิดขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาพื้นที่บรรจบกันของซีรีส์:

สารละลาย:เมื่อใช้การทดสอบดาล็องแบร์ ​​เราจะพบช่วงเวลาของการบรรจบกันของอนุกรมนี้:

(1) กำหนดอัตราส่วนของสมาชิกตัวถัดไปของอนุกรมกับตัวก่อนหน้า

(2) กำจัดเศษสี่ชั้น

(3) ลูกบาศก์และตามกฎของการดำเนินการที่มีอำนาจจะสรุปได้ในระดับเดียว ในตัวเศษเราแยกระดับอย่างชาญฉลาดเช่น ขยายในลักษณะที่ในขั้นตอนต่อไปเราจะลดเศษส่วนลง มีการอธิบายแฟกทอเรียลอย่างละเอียด

(4) ใต้ลูกบาศก์ เราหารตัวเศษด้วยตัวส่วนเทอมต่อเทอม ระบุว่า . ในเสี้ยวหนึ่ง เราลดทุกอย่างที่ลดได้ ตัวคูณถูกนำออกจากเครื่องหมายขีด จำกัด สามารถนำออกได้เนื่องจากไม่มีอะไรขึ้นอยู่กับตัวแปร "ไดนามิก" "en" โปรดทราบว่าไม่ได้วาดเครื่องหมายโมดูล - เนื่องจากใช้ค่าที่ไม่เป็นลบสำหรับ "x" ใด ๆ

ในขีด จำกัด จะได้ศูนย์ซึ่งหมายความว่าเราสามารถให้คำตอบสุดท้ายได้:

คำตอบ:ซีรีส์มาบรรจบที่

และในตอนแรกดูเหมือนว่าแถวนี้ที่มี "การบรรจุแย่มาก" จะแก้ไขได้ยาก ศูนย์หรือไม่มีที่สิ้นสุดในขีด จำกัด เกือบจะเป็นของขวัญเพราะโซลูชันลดลงอย่างเห็นได้ชัด!

ตัวอย่างที่ 5

หาพื้นที่บรรจบกันของอนุกรม

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง ระวัง ;-) วิธีแก้ปัญหาแบบเต็มคือคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

พิจารณาตัวอย่างเพิ่มเติมสองสามตัวอย่างที่มีองค์ประกอบของความแปลกใหม่ในแง่ของการใช้เทคนิค

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาช่วงเวลาของการลู่เข้าของอนุกรมและตรวจสอบการลู่เข้าเมื่อสิ้นสุดช่วงเวลาที่พบ

สารละลาย:คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมกำลังรวมถึงตัวประกอบ ซึ่งรับประกันการสลับ อัลกอริทึมโซลูชันได้รับการเก็บรักษาไว้อย่างสมบูรณ์ แต่เมื่อรวบรวมขีด จำกัด เราจะเพิกเฉย (ไม่เขียน) ปัจจัยนี้ เนื่องจากโมดูลจะทำลาย "minuses" ทั้งหมด

เราหาช่วงการบรรจบกันของอนุกรมโดยใช้การทดสอบ d'Alembert:

เราสร้างความไม่เท่าเทียมกันมาตรฐาน:
ซีรีส์มาบรรจบที่
ซ้ายเราต้องออกไป โมดูลเท่านั้นเราจึงคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วย 5:

ตอนนี้เราขยายโมดูลด้วยวิธีที่คุ้นเคย:

ในช่วงกลางของอสมการสองเท่าคุณต้องเว้นไว้เฉพาะ "x" เพื่อจุดประสงค์นี้ให้ลบ 2 ออกจากแต่ละส่วนของอสมการ:

คือช่วงของการลู่เข้าของอนุกรมกำลังที่ศึกษา

เราตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์เมื่อสิ้นสุดช่วงเวลาที่พบ:

1) แทนค่าในอนุกรมกำลังของเรา :

ระวังตัวคูณไม่ให้การสลับสำหรับ "en" ธรรมชาติใดๆ เรานำผลลัพธ์ลบออกจากอนุกรมและลืมมันไป เนื่องจากมัน (เช่นเดียวกับตัวคูณค่าคงที่ใดๆ) ไม่ส่งผลต่อการบรรจบกันหรือความแตกต่างของอนุกรมตัวเลขแต่อย่างใด

แจ้งให้ทราบอีกครั้งในระหว่างการแทนค่าลงในเทอมทั่วไปของอนุกรมกำลังเราได้ลดตัวประกอบลง หากไม่เกิดขึ้น แสดงว่าเราคำนวณขีดจำกัดไม่ถูกต้อง หรือขยายโมดูลไม่ถูกต้อง

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรมตัวเลข นี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบขีดจำกัดและเปรียบเทียบซีรีส์นี้กับซีรีส์ฮาร์มอนิกที่แตกต่างกัน แต่พูดตามตรง ฉันเหนื่อยมากกับเครื่องหมายขั้นสุดท้ายของการเปรียบเทียบ ดังนั้นฉันจะเพิ่มความหลากหลายให้กับโซลูชัน

ซีรีส์จึงมาบรรจบที่

คูณทั้งสองข้างของอสมการด้วย 9:

เราแยกรากออกจากทั้งสองส่วนในขณะที่จำเรื่องตลกของโรงเรียนเก่า:


การขยายโมดูล:

และเพิ่มหนึ่งในทุกส่วน:

คือช่วงของการลู่เข้าของอนุกรมกำลังที่ศึกษา

เราตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรมกำลังเมื่อสิ้นสุดช่วงเวลาที่พบ:

1) ถ้า จะได้ชุดหมายเลขต่อไปนี้:

ตัวคูณหายไปอย่างไร้ร่องรอย เพราะสำหรับค่าตามธรรมชาติของ "en"

Lukhov Yu.P. บทคัดย่อการบรรยายวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง. บรรยายครั้งที่ 42 5

บทบรรยาย 42

เรื่อง: แถวการทำงาน

วางแผน.

1. แถวการทำงาน พื้นที่บรรจบ.
2. การบรรจบกันแบบสม่ำเสมอ ป้ายไวเออร์ชตราส
3. คุณสมบัติของอนุกรมลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ: ความต่อเนื่องของผลรวมของอนุกรม การรวมแบบเทอมต่อเทอม และการหาอนุพันธ์
4. ชุดเพาเวอร์. ทฤษฎีบทของอาเบล โดเมนของการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง รัศมีบรรจบกัน
5. คุณสมบัติพื้นฐานของอนุกรมกำลัง: การลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ ความต่อเนื่อง และความสามารถในการหาอนุพันธ์ที่ไม่สิ้นสุดของผลรวม การรวมระยะและความแตกต่างของอนุกรมกำลัง

แถวการทำงาน พื้นที่บรรจบ

คำจำกัดความ 40.1 คุณสมบัติมากมายนับไม่ถ้วน

คุณ 1 (x ) + คุณ 2 (x ) +…+ คุณ n (x ) +… , (40.1)

โดยที่ u n (x) = f (x, n) เรียกว่า ช่วงการทำงาน.

หากคุณตั้งค่าตัวเลขเฉพาะเอ็กซ์ , ซีรีส์ (40.1) จะกลายเป็นซีรีส์ตัวเลข และขึ้นอยู่กับการเลือกค่าเอ็กซ์ ชุดดังกล่าวอาจมาบรรจบกันหรือแตกต่างกัน อนุกรมลู่เข้าเท่านั้นที่มีค่าในทางปฏิบัติ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญที่จะต้องกำหนดค่าเหล่านั้นเอ็กซ์ ซึ่งอนุกรมการทำงานจะกลายเป็นอนุกรมตัวเลขบรรจบกัน

คำจำกัดความ 40.2 ค่ามากมายเอ็กซ์ , การแทนที่ลงในอนุกรมการทำงาน (40.1) หนึ่งได้รับอนุกรมตัวเลขที่บรรจบกัน, เรียกว่าภูมิภาคคอนเวอร์เจนซ์แถวการทำงาน

คำจำกัดความ 40.3 ฟังก์ชัน s(x), กำหนดไว้ในช่วงของการบรรจบกันของอนุกรมซึ่งสำหรับแต่ละค่าเอ็กซ์ จากขอบเขตการบรรจบกันจะเท่ากับผลบวกของอนุกรมตัวเลขที่เกี่ยวข้องซึ่งได้รับจาก (40.1) สำหรับค่าที่กำหนด x เรียกว่า ผลรวมของอนุกรมการทำงาน.

ตัวอย่าง. ให้เราหาขอบเขตของการบรรจบกันและผลรวมของอนุกรมการทำงาน

1 + x + x ² +…+ xn +…

เมื่อ | x | ≥ 1 ดังนั้นอนุกรมตัวเลขที่สอดคล้องกันจึงแตกต่างกัน ถ้า

| x | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

ดังนั้นช่วงของการบรรจบกันของอนุกรมคือช่วง (-1, 1) และผลรวมจะมีรูปแบบที่ระบุ

ความคิดเห็น . เช่นเดียวกับอนุกรมตัวเลข เราสามารถแนะนำแนวคิดของผลรวมบางส่วนของอนุกรมการทำงาน:

s n \u003d 1 + x + x ² + ... + x n

และส่วนที่เหลือของซีรีส์: r n = s s n .

การบรรจบกันแบบสม่ำเสมอของอนุกรมการทำงาน

ก่อนอื่นให้เรากำหนดแนวคิดของการบรรจบกันของลำดับตัวเลข

คำจำกัดความ 40.4 ลำดับฟังก์ชันฉ n (x ) เรียกว่า บรรจบกับฟังก์ชันอย่างสมํ่าเสมอ f บนเซต X ถ้า และ

หมายเหตุ 1. เราจะแสดงถึงการบรรจบกันตามปกติของลำดับการทำงานและการบรรจบกันแบบสม่ำเสมอ - .

หมายเหตุ 2 . ให้เราสังเกตความแตกต่างพื้นฐานอีกครั้งระหว่างการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอและการลู่เข้าแบบธรรมดา: ในกรณีของการลู่เข้าแบบธรรมดา สำหรับค่าที่เลือกเป็น ε สำหรับแต่ละค่ามีอยู่หมายเลขของคุณ N ซึ่ง n > เอ็น ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือ:

ในกรณีนี้ อาจกลายเป็นว่าสำหรับ ε ที่กำหนด เป็นจำนวนทั่วไปยังไม่มีข้อความ สร้างความมั่นใจในความไม่เท่าเทียมกันนี้สำหรับสิ่งใด ๆเอ็กซ์ , เป็นไปไม่ได้. ในกรณีของการบรรจบกันในเครื่องแบบ ตัวเลขดังกล่าว N, ร่วมกันกับ x ทั้งหมด, มีอยู่

ตอนนี้ให้เรากำหนดแนวคิดของการบรรจบกันของอนุกรมการทำงาน เนื่องจากแต่ละอนุกรมสอดคล้องกับลำดับของผลรวมบางส่วน การลู่เข้าแบบสม่ำเสมอของอนุกรมจึงถูกกำหนดในแง่ของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอของลำดับนี้:

คำจำกัดความ 40.5 เรียกว่าอนุกรมการทำงานบรรจบกันเป็นเนื้อเดียวกันบนเซต X ถ้าอยู่บน X ลำดับของผลรวมบางส่วนมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ

ป้ายไวเออร์ชตราส

ทฤษฎีบท 40.1 หากอนุกรมตัวเลขมาบรรจบกันสำหรับทุกคนและทุกคน n = 1, 2, … จากนั้นซีรีส์จะบรรจบกันอย่างสมบูรณ์และสม่ำเสมอในฉากเอ็กซ์

การพิสูจน์.

สำหรับ ε > 0 c ใดๆ มีจำนวนดังกล่าว N ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไม

สำหรับส่วนที่เหลือ r n ชุดประมาณการ

ดังนั้น อนุกรมจึงลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ

ความคิดเห็น ขั้นตอนการเลือกชุดตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท 40.1 มักจะเรียกว่าวิชาเอก และซีรีย์นี้นั่นเองวิชาเอก สำหรับช่วงการทำงานนี้

ตัวอย่าง. สำหรับอนุกรมการทำงาน หลักสำหรับค่าใดๆเอ็กซ์ เป็นอนุกรมบวกลู่เข้า ดังนั้น อนุกรมดั้งเดิมจึงลู่เข้าหากันอย่างสม่ำเสมอบน (-∞, +∞)

คุณสมบัติของอนุกรมลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ

ทฤษฎีบท 40.2 ถ้าฟังก์ชัน u n (x ) ต่อเนื่องกันที่และอนุกรมเข้าหากันอย่างสม่ำเสมอ X แล้วผลรวมของมัน s (x) ยังต่อเนื่องตรงจุด x 0 .

การพิสูจน์.

เราเลือก ε > 0 ดังนั้น จึงมีตัวเลขอยู่ n 0 นั่น

- ผลรวมของฟังก์ชันต่อเนื่องจำนวนจำกัด ดังนั้นต่อเนื่องตรงจุด x 0 . ดังนั้นจึงมี δ > 0 เช่นนั้นจากนั้นเราจะได้รับ:

นั่นคือ ฟังก์ชัน s (x) ต่อเนื่องสำหรับ x \u003d x 0

ทฤษฎีบท 40.3. ให้ฟังก์ชัน u n (x ) ต่อเนื่องกันในส่วน [ก, ข ] และซีรีส์จะมาบรรจบกันในส่วนนี้อย่างสม่ำเสมอ จากนั้นอนุกรมจะบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอบน [ก , ข ] และ (40.2)

(นั่นคือภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบท อนุกรมสามารถรวมเป็นเทอมต่อเทอมได้)

การพิสูจน์.

ตามทฤษฎีบท 40.2 ฟังก์ชัน s(x) = ต่อเนื่องบน [a, b ] และดังนั้นจึงสามารถอินทิกรัลได้ นั่นคืออินทิกรัลทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน (40.2) มีอยู่ ให้เราแสดงว่าอนุกรมลู่เข้าสู่ฟังก์ชันอย่างสม่ำเสมอ

แสดงว่า

จากนั้นสำหรับ ε ใดๆ จะมีจำนวน N ซึ่งสำหรับ n > N

ดังนั้น อนุกรมจึงลู่เข้าหากันอย่างสม่ำเสมอ และผลรวมของอนุกรมจะเท่ากับ σ ( x ) = .

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 40.4. ให้ฟังก์ชัน u n (x ) สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องในช่วงเวลา [ก, ข ] และอนุกรมที่ประกอบด้วยอนุพันธ์:

(40.3)

บรรจบกันอย่างสม่ำเสมอบน [ก, ข ]. จากนั้น ถ้าอนุกรมลู่เข้าหากันอย่างน้อยหนึ่งจุด ก็จะลู่เข้าหากันอย่างสม่ำเสมอบน [ a , b ] ผลรวมของมัน s (x )= เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ต่อเนื่องและ

(ซีรีส์สามารถแยกคำตามคำได้)

การพิสูจน์.

ให้เรากำหนดฟังก์ชัน σ(เอ็กซ์ ) ยังไง. ตามทฤษฎีบท 40.3 อนุกรม (40.3) สามารถอินทิเกรตทีละเทอมได้:

อนุกรมทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้บรรจบกันอย่างสม่ำเสมอบน [ก, ข ] โดยทฤษฎีบท 40.3 แต่อนุกรมตัวเลขมาบรรจบกันตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท ดังนั้น อนุกรมจึงลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ จากนั้นฟังก์ชัน σ(ที ) คือผลรวมของอนุกรมของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ลู่เข้าหากันใน [ก, ข ] และด้วยเหตุนี้ตัวมันเองจึงต่อเนื่องกัน จากนั้น ฟังก์ชันจะสร้างความแตกต่างได้อย่างต่อเนื่องบน [ก, ข ] และตามที่จำเป็นในการพิสูจน์

คำจำกัดความ 41.1. กำลังต่อไป เรียกว่าชุดฟังก์ชันของฟอร์ม

(41.1)

ความคิดเห็น โดยแทนที่ x x 0 = เสื้อ อนุกรม (41.1) สามารถลดลงในแบบฟอร์มได้ ดังนั้นจึงเพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์คุณสมบัติทั้งหมดของอนุกรมกำลังสำหรับอนุกรมของแบบฟอร์ม

(41.2)

ทฤษฎีบท 41.1 (ทฤษฎีบทที่ 1 ของอาเบล)ถ้าอนุกรมกำลัง (41.2) ลู่เข้าที่ x \u003d x 0 จากนั้นสำหรับ x: | x |< | x 0 | อนุกรม (41.2) ลู่เข้าอย่างแน่นอน ถ้าอนุกรม (41.2) แยกตัวที่ x \u003d x 0, จากนั้นมันก็แตกต่างกันไป x : | x | > | x 0 |.

การพิสูจน์.

ถ้าอนุกรมมาบรรจบกัน แสดงว่ามีค่าคงที่ค > 0:

ดังนั้น ในขณะที่ซีรีส์สำหรับ | x |<| x 0 | บรรจบกันเพราะมันเป็นผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ดังนั้น ซีรีส์สำหรับ | x |<| x 0 | มาบรรจบกันอย่างแน่นอน

หากทราบว่าอนุกรม (41.2) แยกที่ x = x 0 แล้วมันไม่สามารถรวมกันสำหรับ | x | > | x 0 | , เนื่องจากมันจะเป็นไปตามที่พิสูจน์ก่อนหน้านี้ว่ามันมาบรรจบกันที่จุดนั้นด้วย x 0 .

ดังนั้น หากคุณพบจำนวนที่มากที่สุด x 0 > 0 ซึ่ง (41.2) ลู่เข้าหากัน x \u003d x 0, จากนั้นขอบเขตการบรรจบกันของอนุกรมนี้ตามทฤษฎีบทอาเบลจะเป็นช่วง (- x 0 , x 0 ) อาจรวมถึงหนึ่งหรือทั้งสองขอบเขต

คำจำกัดความ 41.2 หมายเลข R ≥ 0 ถูกเรียก รัศมีของการบรรจบกันอนุกรมกำลัง (41.2) ถ้าอนุกรมนี้ลู่เข้าแต่แยกออก ช่วงเวลา (- R, R) เรียกว่า ช่วงการบรรจบกันชุด (41.2)

ตัวอย่าง.

1. เพื่อศึกษาการบรรจบกันสัมบูรณ์ของอนุกรม เราใช้การทดสอบดาล็องแบร์: ดังนั้นอนุกรมจะมาบรรจบกันก็ต่อเมื่อเอ็กซ์ = 0 และรัศมีของการบรรจบกันคือ 0: R = 0
2. การใช้การทดสอบ d'Alembert แบบเดียวกัน เราสามารถแสดงได้ว่าอนุกรมมาบรรจบกันสำหรับค่าใดค่าหนึ่ง x นั่นคือ
3. สำหรับซีรีส์ตามการทดสอบ d'Alembert เราได้รับ:

ดังนั้นสำหรับ 1< x < 1 ряд сходится, при

x< -1 и x > 1 ความแตกต่าง ที่เอ็กซ์ = 1 เราได้รับอนุกรมฮาร์มอนิกซึ่งอย่างที่ทราบกันดีว่าแตกต่างกันและเมื่อใดเอ็กซ์ = -1 อนุกรมบรรจบกันแบบมีเงื่อนไขตามเกณฑ์ของไลบ์นิซ ดังนั้นรัศมีของการบรรจบกันของอนุกรมที่พิจารณาร = 1 และช่วงเวลาของการลู่เข้าคือ [-1, 1)

สูตรสำหรับกำหนดรัศมีของการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง

1. สูตร d'Alembert

พิจารณาอนุกรมกำลังและใช้การทดสอบ d'Alembert กับมัน: จำเป็นต้องมีการบรรจบกันของอนุกรม หากมีอยู่ พื้นที่ของการบรรจบกันจะถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน นั่นคือ

- (41.3)

• สูตรของ d'Alembertเพื่อคำนวณรัศมีของการบรรจบกัน

1. สูตร Cauchy-Hadamard

เมื่อใช้การทดสอบแบบ Radical Cauchy และการให้เหตุผลในลักษณะเดียวกัน เราพบว่ามีความเป็นไปได้ที่จะตั้งค่าขอบเขตการลู่เข้าของอนุกรมกำลังเป็นชุดของคำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน โดยมีเงื่อนไขว่าขีดจำกัดนี้มีอยู่ และตามนั้น ให้หาสูตรเพิ่มเติมอีกหนึ่งสูตร สำหรับรัศมีของการบรรจบกัน:

(41.4)

• สูตร Cauchy-Hadamard.

คุณสมบัติของอนุกรมกำลัง

ทฤษฎีบท 41.2 (ทฤษฎีบทที่ 2 ของอาเบล)ถ้าร รัศมีลู่เข้าของอนุกรม (41.2) และอนุกรมนี้ลู่เข้าที่ x = ร จากนั้นมันจะมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา (-ร, ร).

การพิสูจน์.

อนุกรมเครื่องหมายบวกบรรจบกันโดยทฤษฎีบท 41.1 ดังนั้น อนุกรม (41.2) จึงลู่เข้าหากันอย่างสม่ำเสมอในช่วง [-ρ, ρ] ตามทฤษฎีบท 40.1 จากตัวเลือกของ ρ จะได้ว่าช่วงเวลาของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ (-อาร์, อาร์ ) ซึ่งจะต้องมีการพิสูจน์

ข้อโต้แย้ง 1 . ในส่วนใดก็ตามที่อยู่ภายในช่วงเวลาของการลู่เข้า ผลรวมของอนุกรม (41.2) จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

การพิสูจน์.

เงื่อนไขของอนุกรม (41.2) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และอนุกรมลู่เข้าหากันอย่างสม่ำเสมอบนช่วงเวลาที่พิจารณา จากนั้นความต่อเนื่องของผลรวมจะตามมาจากทฤษฎีบท 40.2

ผลที่ตามมา 2. หากขีดจำกัดของการอินทิเกรต α, β อยู่ภายในช่วงเวลาของการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง ดังนั้นอินทิกรัลของผลรวมของอนุกรมจะเท่ากับผลรวมของปริพันธ์ของพจน์ของอนุกรม:

(41.5)

หลักฐานการยืนยันนี้มาจากทฤษฎีบท 40.3

ทฤษฎีบท 41.3. ถ้าอนุกรม (41.2) มีช่วงของการลู่เข้า (- R , R ) แล้วก็ซีรีส์

φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41.6)

ได้จากการหาอนุพันธ์ของอนุกรม (41.2) มีช่วงของการลู่เข้าเท่ากัน (-ร, ร). ในนั้น

φ΄ (x) = s΄ (x) สำหรับ | x |< R , (41.7)

นั่นคือ ภายในช่วงเวลาของการลู่เข้า อนุพันธ์ของผลรวมของอนุกรมกำลังจะเท่ากับผลรวมของอนุกรมที่ได้จากการหาอนุพันธ์แบบเทอมต่อเทอม

การพิสูจน์.

เราเลือก ρ: 0< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . จากนั้นซีรีส์จะมาบรรจบกันนั่นคือถ้า| x | ≤ ρ แล้ว

โดยที่เงื่อนไขของอนุกรม (41.6) มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าเงื่อนไขของอนุกรมเครื่องหมายบวก ซึ่งลู่เข้าตามการทดสอบดาล็องแบร์:

นั่นคือ เป็นอนุกรมหลักสำหรับอนุกรม (41.6) ที่ ดังนั้น อนุกรม (41.6) จึงบรรจบกันบน [-ρ, ρ] อย่างสม่ำเสมอ ดังนั้น ตามทฤษฎีบท 40.4 ความเท่าเทียมกัน (41.7) จึงเป็นจริง จากตัวเลือก ρ จะได้ว่าอนุกรม (41.6) ลู่เข้าที่จุดภายในของช่วง (-ร, ร).

ให้เราพิสูจน์ว่าอนุกรม (41.6) แยกออกจากช่วงเวลานี้ อันที่จริงถ้ามันมาบรรจบกันที่ x1 > ร จากนั้น ผนวกเข้าด้วยกันทีละเทอมในช่วง (0, x 2 ), ร< x 2 < x 1 เราจะได้ว่าอนุกรม (41.2) ลู่เข้าที่จุดนั้น x 2 ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขของทฤษฎีบท ดังนั้นทฤษฎีบทจึงได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์

ความคิดเห็น . ในทางกลับกัน ซีรีส์ (41.6) สามารถแยกความแตกต่างทีละคำได้ และการดำเนินการนี้สามารถทำได้หลายครั้งตามต้องการ

บทสรุป: ถ้าอนุกรมกำลังมาบรรจบกันในช่วงเวลา (-อาร์, อาร์ ) แล้วผลรวมของมันคือฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ของลำดับใดๆ ภายในช่วงคอนเวอร์เจนซ์ ซึ่งแต่ละค่าจะเป็นผลบวกของอนุกรมที่ได้จากต้นฉบับโดยใช้ความแตกต่างระยะต่อระยะของจำนวนครั้งที่สอดคล้องกัน ในขณะที่ช่วงของการบรรจบกันของอนุกรมของอนุพันธ์ใดๆ คือ (-ร, ร).

ภาควิชาสารสนเทศศาสตร์และคณิตศาสตร์ชั้นสูง KSPU

หัวข้อ 2. ชุดการทำงาน. ชุดเพาเวอร์

2.1. แถวการทำงาน

จนถึงตอนนี้ เราได้พิจารณาซีรีส์ที่มีสมาชิกเป็นตัวเลข ให้เราหันไปศึกษาอนุกรมที่มีสมาชิกเป็นฟังก์ชัน

ช่วงการทำงาน เรียกว่าเป็นแถว

ซึ่งสมาชิกเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เดียวกันที่กำหนดไว้ในเซต E เดียวกัน

ตัวอย่างเช่น,

1.
;

2.
;

หากเราโต้แย้ง เอ็กซ์ค่าตัวเลขบางอย่าง
,
แล้วเราจะได้ชุดตัวเลข

ซึ่งสามารถบรรจบกัน (บรรจบกันอย่างสมบูรณ์) หรือแยกจากกัน

ถ้าที่
อนุกรมตัวเลขที่ได้จะบรรจบกัน จากนั้นจุด
เรียกว่าจุดบรรจบ แถวการทำงาน เรียกเซตของจุดบรรจบกันทั้งหมดภูมิภาคคอนเวอร์เจนซ์ แถวการทำงานให้เราแสดงพื้นที่บรรจบกัน เอ็กซ์, อย่างชัดเจน,
.

หากสำหรับอนุกรมตัวเลขที่เป็นบวก คำถามคือ: "อนุกรมลู่เข้าหรือแยกออกหรือไม่" สำหรับอนุกรมตัวแปรเครื่องหมาย คำถามคือ "มันลู่เข้าอย่างมีเงื่อนไขหรือสมบูรณ์ หรือแยกออกหรือไม่" จากนั้นสำหรับฟังก์ชัน ซีรีส์ คำถามหลักคือ: "มาบรรจบกัน (มาบรรจบกันอย่างแน่นอน) ที่อะไร เอ็กซ์?».

ช่วงการทำงาน
กำหนดกฎหมายตามที่แต่ละค่าของการโต้แย้ง
,
ถูกกำหนดเป็นตัวเลขเท่ากับผลรวมของอนุกรมตัวเลข
. ดังนั้นในกองถ่าย เอ็กซ์ฟังก์ชันจะได้รับ
, ซึ่งถูกเรียกว่า ผลรวมของอนุกรมการทำงาน.

ตัวอย่างที่ 16

ค้นหาพื้นที่ลู่เข้าของอนุกรมฟังก์ชัน

.

สารละลาย.

อนุญาต เอ็กซ์เป็นตัวเลขคงที่ ซีรีส์นี้จึงถือเป็นซีรีส์ตัวเลขที่มีเครื่องหมายบวกสำหรับ
และสลับที่
.

มาสร้างชุดค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกชุดนี้กัน:

เช่น สำหรับค่าใดๆ เอ็กซ์ขีด จำกัด นี้น้อยกว่าหนึ่งซึ่งหมายความว่าอนุกรมนี้มาบรรจบกันและแน่นอน (เนื่องจากเราศึกษาชุดของค่าสัมบูรณ์ของเงื่อนไขของอนุกรม) บนแกนจริงทั้งหมด

ดังนั้น พื้นที่ของการบรรจบกันสัมบูรณ์จึงเป็นตัวตั้ง
.

ตัวอย่างที่ 17.

ค้นหาพื้นที่ลู่เข้าของอนุกรมฟังก์ชัน
.

สารละลาย.

อนุญาต เอ็กซ์เป็นตัวเลขคงที่
ซีรีส์นี้จึงถือเป็นซีรีส์ตัวเลขที่มีเครื่องหมายบวกสำหรับ
และสลับที่
.

พิจารณาชุดค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกชุดนี้:

และใช้การทดสอบ DAlembert กับมัน

จากการทดสอบ DAlembert อนุกรมจะลู่เข้าหากันหากค่าขีดจำกัดน้อยกว่าหนึ่ง เช่น ชุดนี้จะบรรจบถ้า
.

การแก้อสมการนี้ เราได้รับ:


.

ดังนั้น ที่ อนุกรมที่ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของเงื่อนไขของอนุกรมนี้จะบรรจบกัน ซึ่งหมายความว่าอนุกรมดั้งเดิมจะบรรจบกันอย่างสมบูรณ์ และที่
ซีรีส์นี้แตกต่างออกไป

ที่
ชุดข้อมูลอาจมาบรรจบกันหรือแตกต่างกัน เนื่องจากสำหรับค่าเหล่านี้ เอ็กซ์ค่าขีดจำกัดเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นเราจึงศึกษาการบรรจบกันของชุดคะแนนเพิ่มเติม
และ
.

แทนที่ในแถวนี้
เราได้รับชุดตัวเลข
ซึ่งเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์ฮาร์มอนิกแล้วจุด
คือจุดไดเวอร์เจนต์ของอนุกรมที่กำหนด

ที่
จะได้ชุดตัวเลขสลับกัน

ซึ่งทราบกันดีว่าบรรจบกันแบบมีเงื่อนไข (ดูตัวอย่างที่ 15) ดังนั้นประเด็น
เป็นจุดบรรจบกันแบบมีเงื่อนไขของอนุกรม

ดังนั้น ขอบเขตของการลู่เข้าของอนุกรมนี้คือ และอนุกรมลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ที่

ช่วงการทำงาน

เรียกว่าถูกครอบงำ ในบางช่วงของ x ถ้ามีอนุกรมบวกลู่เข้า

,

นั่นคือเงื่อนไขสำหรับ x ทั้งหมดจากพื้นที่ที่กำหนด
ที่
. แถว
เรียกว่าวิชาเอก

กล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุกรมจะถูกครอบงำหากแต่ละพจน์มีค่าสัมบูรณ์ไม่มากไปกว่าพจน์ที่สอดคล้องกันของอนุกรมเครื่องหมายบวกที่ลู่เข้า

ตัวอย่างเช่นแถว

ถูกครอบงำเพื่อใคร เอ็กซ์เพราะสำหรับทุกคน เอ็กซ์ความสัมพันธ์

ที่
,

และหนึ่งแถว เป็นที่รู้กันว่าบรรจบกัน

ทฤษฎีบทไวเออร์ชตราส

ชุดที่ครอบงำในบางโดเมนมาบรรจบกันในโดเมนนั้นอย่างสมบูรณ์

ตัวอย่างเช่น พิจารณาอนุกรมการทำงาน
. ซีรีส์นี้ถูกครอบงำสำหรับ
,เพราะที่
เงื่อนไขของอนุกรมไม่เกินสมาชิกที่เกี่ยวข้องของอนุกรมบวก . ดังนั้น ตามทฤษฎีบทไวเออร์ชตราส อนุกรมฟังก์ชันที่พิจารณาจึงมาบรรจบกันอย่างแน่นอน
.

2.2. ชุดเพาเวอร์. ทฤษฎีบทของอาเบล โดเมนของการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง

ในบรรดาอนุกรมการทำงานที่หลากหลาย ที่สำคัญที่สุดจากมุมมองของการใช้งานจริงคือกำลังและอนุกรมตรีโกณมิติ มาดูแถวเหล่านี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น

กำลังต่อไป ตามองศา
เรียกว่าชุดฟังก์ชันของฟอร์ม

ที่ไหน เป็นจำนวนคงที่
เป็นตัวเลขที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรม

ที่
เราได้อนุกรมกำลังเป็นกำลัง เอ็กซ์ซึ่งดูเหมือนว่า

.

เพื่อความง่าย เราจะพิจารณาอนุกรมกำลังเป็นกำลัง เอ็กซ์เนื่องจากจากซีรีส์ดังกล่าวจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะได้รับพลังในซีรีส์
, ทดแทน เอ็กซ์การแสดงออก
.

ความเรียบง่ายและความสำคัญของอนุกรมกำลังมีสาเหตุหลักมาจากความจริงที่ว่าผลรวมบางส่วนของอนุกรมกำลัง

เป็นพหุนาม - ฟังก์ชั่นที่มีการศึกษาคุณสมบัติอย่างดีและคำนวณค่าได้ง่ายโดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น

เนื่องจากอนุกรมกำลังเป็นกรณีพิเศษของอนุกรมการทำงาน จึงจำเป็นต้องหาพื้นที่ลู่เข้าด้วย ตรงกันข้ามกับขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมการทำงานโดยพลการ ซึ่งสามารถเป็นชุดของรูปแบบโดยพลการ พื้นที่ของการบรรจบกันของอนุกรมกำลังมีรูปแบบที่กำหนดไว้อย่างดี นี่คือสิ่งที่ทฤษฎีบทต่อไปนี้กล่าว

ทฤษฎีบทอาเบล

ถ้ากำลังชุด
มาบรรจบกันที่ค่าใดค่าหนึ่ง
แล้วมันลู่เข้า และแน่นอน สำหรับค่าทั้งหมดของ x ที่เป็นไปตามเงื่อนไข
. ถ้าอนุกรมกำลังเบี่ยงเบนที่ค่าใดค่าหนึ่ง
จากนั้นมันก็แตกต่างกันไปตามค่าที่เป็นไปตามเงื่อนไข
.

จากทฤษฎีบทของอาเบลจะได้ว่า ทั้งหมดจุดบรรจบกันของอนุกรมกำลังในยกกำลัง เอ็กซ์ตั้งอยู่จากจุดกำเนิดของพิกัด ไกลกว่าจุดใดจุดหนึ่ง เห็นได้ชัดว่าจุดบรรจบกันเติมช่องว่างที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ทฤษฎีบทเกี่ยวกับขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมกำลังนั้นถูกต้อง

ทฤษฎีบท.

สำหรับชุดไฟใด ๆ
มีจำนวนร (ร>0)นั่นคือสำหรับ x ทั้งหมดที่อยู่ในช่วงเวลา
อนุกรมลู่เข้าอย่างสมบูรณ์และสำหรับ x ทั้งหมดที่อยู่นอกช่วง
ซีรีส์แตกต่าง

ตัวเลขรเรียกว่ารัศมีของการบรรจบกัน อนุกรมกำลังและช่วง
– ช่วงการบรรจบกัน อนุกรมกำลังของ x

โปรดทราบว่าทฤษฎีบทไม่ได้กล่าวถึงการบรรจบกันของอนุกรมเมื่อสิ้นสุดช่วงการบรรจบกัน เช่น ที่จุด
. ณ จุดนี้ อนุกรมพลังงานที่แตกต่างกันจะทำงานแตกต่างกัน: อนุกรมสามารถบรรจบกัน (โดยสมบูรณ์หรือมีเงื่อนไข) หรืออาจแยกออกจากกันได้ ดังนั้นควรตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรมที่จุดเหล่านี้โดยตรงตามคำจำกัดความ

ในกรณีเฉพาะ รัศมีของการบรรจบกันของอนุกรมสามารถเท่ากับศูนย์หรืออนันต์ ถ้า
แล้วอนุกรมกำลังในยกกำลัง เอ็กซ์มาบรรจบกันที่จุดเดียวเท่านั้น
; ถ้า
จากนั้นอนุกรมกำลังจะบรรจบกับแกนจริงทั้งหมด

โปรดทราบว่าชุดพลังงาน
ตามองศา
สามารถลดเป็นอนุกรมกำลังได้
โดยแทนที่
. ถ้าแถว
มาบรรจบกันที่
, เช่น. สำหรับ
จากนั้นหลังจากการทดแทนแบบย้อนกลับที่เราได้รับ

 หรือ
.

ดังนั้น ช่วงเวลาของการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง
มีแบบฟอร์ม
. จุด เรียกว่า ศูนย์กลางของการบรรจบกัน. เพื่อความชัดเจน เป็นเรื่องปกติที่จะแสดงช่วงเวลาการบรรจบกันของแกนตัวเลข (รูปที่ 1)

ดังนั้น ขอบเขตของการบรรจบกันจึงประกอบด้วยช่วงเวลาของการบรรจบกัน ซึ่งจุดต่างๆ สามารถเพิ่มเข้าไปได้
ถ้าอนุกรมมาบรรจบกันที่จุดเหล่านี้ สามารถหาช่วงเวลาของการลู่เข้าได้โดยตรงโดยใช้การทดสอบ DAlembert หรือการทดสอบแบบ Radical Cauchy กับอนุกรมที่ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกของอนุกรมนี้

ตัวอย่างที่ 18.

หาพื้นที่บรรจบกันของอนุกรม
.

สารละลาย.

ซีรีย์นี้เป็นซีรีย์แนวพาวเวอร์ เอ็กซ์, เช่น.
. พิจารณาอนุกรมที่ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกของอนุกรมนี้ และใช้การทดสอบ dAlembert

อนุกรมจะบรรจบกันหากค่าจำกัดน้อยกว่า 1 เช่น

, ที่ไหน
.

ดังนั้น ช่วงเวลาของการลู่เข้าของอนุกรมนี้
รัศมีของการบรรจบกัน
.

เราศึกษาการบรรจบกันของอนุกรมที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาที่
. การแทนค่าในอนุกรมนี้
เราได้รับซีรีส์

.

อนุกรมผลลัพธ์จึงเป็นอนุกรมไดเวอร์จแบบฮาร์มอนิก ดังนั้น ที่จุด
ซีรีส์แตกต่างดังนั้นประเด็น
ไม่รวมอยู่ในภูมิภาคของการบรรจบกัน

ที่
เราได้ซีรีส์สลับกัน

,

ซึ่งเป็นคอนเวอร์เจนต์แบบมีเงื่อนไข (ตัวอย่างที่ 15) ดังนั้นประเด็นนี้
– จุดบรรจบ (เงื่อนไข)

ดังนั้น ขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรม
และตรงจุด
ซีรีส์มาบรรจบกันแบบมีเงื่อนไขและที่จุดอื่นอย่างแน่นอน

เหตุผลที่ใช้ในการแก้ตัวอย่างสามารถกำหนดลักษณะทั่วไปได้

พิจารณาอนุกรมกำลัง

มาสร้างชุดของค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกในซีรีส์และนำไปใช้กับสัญลักษณ์ของ D "Alembert

หากมีขีดจำกัด (จำกัดหรือไม่จำกัด) ตามเงื่อนไขของการบรรจบกันของการทดสอบดาล็องแบร์ ​​อนุกรมจะบรรจบกันถ้า

,

,

.

จากตรงนี้ จากนิยามของช่วงเวลาและรัศมีของการลู่เข้า เราได้

การใช้เกณฑ์ Cauchy ที่รุนแรงและการให้เหตุผลในทำนองเดียวกัน เราจะได้สูตรอื่นในการหารัศมีของการลู่เข้า

ตัวอย่างที่ 19

สารละลาย.

อนุกรมนี้เป็นอนุกรมกำลังในเลขยกกำลัง เอ็กซ์ในการหาช่วงการบรรจบกัน เราคำนวณรัศมีของการบรรจบกันโดยใช้สูตรข้างต้น สำหรับอนุกรมที่กำหนด สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ตัวเลขมีรูปแบบ

, แล้ว

เพราะฉะนั้น,

เพราะ ร =  จากนั้นอนุกรมจะลู่เข้า (อย่างสมบูรณ์) สำหรับค่าทั้งหมด เอ็กซ์,เหล่านั้น. ภูมิภาคของการบรรจบกัน เอ็กซ์ (–; +).

โปรดทราบว่าเป็นไปได้ที่จะหาพื้นที่บรรจบกันโดยไม่ต้องใช้สูตร แต่ใช้เครื่องหมาย D "Alembert โดยตรง:

เนื่องจากมูลค่าของวงเงินไม่ได้ขึ้นอยู่กับ เอ็กซ์และน้อยกว่า 1 อนุกรมจะลู่เข้าหากันสำหรับค่าทั้งหมด เอ็กซ์,เหล่านั้น. ที่ เอ็กซ์(-;+).

ตัวอย่างที่ 20

หาพื้นที่บรรจบกันของอนุกรม

1!(เอ็กซ์+5)+2!(เอ็กซ์ + 5) 2 +3!(เอ็กซ์ + 5) 3 +... + พี!(เอ็กซ์ + 5) พี +...

สารละลาย .

x + 5), เหล่านั้น. ศูนย์บรรจบกัน เอ็กซ์ 0 = - 5. ค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขของซีรีส์ ก พี = น!.

ค้นหารัศมีการลู่เข้าของอนุกรม

.

ดังนั้น ช่วงเวลาการบรรจบกันประกอบด้วยจุดหนึ่งจุด - ศูนย์กลางของช่วงเวลาการบรรจบกัน x = - 5.

ตัวอย่างที่ 21

หาพื้นที่บรรจบกันของอนุกรม
.

สารละลาย.

อนุกรมนี้เป็นอนุกรมกำลังในยกกำลัง ( เอ็กซ์–2), เหล่านั้น.

ศูนย์บรรจบกัน เอ็กซ์ 0 = 2. โปรดทราบว่าซีรีส์นี้เป็นเครื่องหมายบวกสำหรับค่าคงที่ใดๆ เอ็กซ์,เนื่องจากนิพจน์ ( X- 2) ยกกำลัง 2 พีขอให้เราใช้เกณฑ์ Cauchy ที่รุนแรงกับซีรีส์

อนุกรมจะบรรจบกันหากค่าจำกัดน้อยกว่า 1 เช่น

,
,
,

ดังนั้นรัศมีของการบรรจบกัน
แล้วอินทิกรัลลู่เข้า

,
.

ดังนั้นซีรีส์จึงมาบรรจบกันอย่างแน่นอน เอ็กซ์
. โปรดทราบว่าอินทิกรัลลู่เข้าหากันนั้นสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางของการลู่เข้า เอ็กซ์อ = 2.

ให้เราศึกษาการบรรจบกันของอนุกรมเมื่อสิ้นสุดช่วงเวลาของการบรรจบกัน

ทะลึ่ง
เราได้รับอนุกรมเครื่องหมายบวกที่เป็นตัวเลข

เราใช้เกณฑ์การบรรจบกันที่จำเป็น:

ดังนั้น อนุกรมตัวเลขจึงแตกต่างกันและตรงประเด็น
เป็นจุดหักเห โปรดทราบว่ามีการใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งที่สองในการคำนวณขีดจำกัด

ทะลึ่ง
เราได้ชุดหมายเลขเดียวกัน (ตรวจสอบด้วยตัวคุณเอง!) ดังนั้นประเด็น
ยังไม่รวมอยู่ในช่วงคอนเวอร์เจนซ์

ดังนั้น ขอบเขตของการบรรจบกันอย่างสมบูรณ์ของอนุกรมนี้ เอ็กซ์
.

2.3. คุณสมบัติของอนุกรมกำลังลู่เข้า

เรารู้ว่าผลรวมจำกัดของฟังก์ชันต่อเนื่องนั้นต่อเนื่องกัน ผลรวมของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้นั้นหาอนุพันธ์ได้ และอนุพันธ์ของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ ผลรวมสุดท้ายสามารถรวมเป็นระยะ

ปรากฎว่าสำหรับ "ผลรวมไม่สิ้นสุด" ของฟังก์ชัน - อนุกรมการทำงาน ในกรณีทั่วไป คุณสมบัติจะไม่เกิดขึ้น

ตัวอย่างเช่น พิจารณาอนุกรมการทำงาน

เห็นได้ชัดว่า สมาชิกทั้งหมดของซีรีส์เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกัน ให้เราหาขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมนี้และผลรวมของมัน ในการทำเช่นนี้เราจะหาผลรวมบางส่วนของซีรีส์

แล้วผลรวมของซีรีส์

ดังนั้นผลรวม ส(เอ็กซ์) ของอนุกรมนี้ เนื่องจากขีดจำกัดของลำดับของผลรวมบางส่วน มีอยู่และจำกัดสำหรับ เอ็กซ์ (-1;1), ดังนั้น ช่วงเวลานี้จึงเป็นช่วงของการบรรจบกันของซีรีส์ ยิ่งกว่านั้นผลรวมของมันคือฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องเนื่องจาก

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่า ในกรณีทั่วไป คุณสมบัติของผลรวมจำกัดไม่มีอะนาล็อกสำหรับผลรวมอนันต์ - อนุกรม อย่างไรก็ตาม สำหรับกรณีพิเศษของอนุกรมฟังก์ชัน - อนุกรมกำลัง - คุณสมบัติของผลรวมจะคล้ายกับคุณสมบัติของผลรวมจำกัด

ช่วงการทำงาน เรียกว่าการแสดงออกที่เป็นลายลักษณ์อักษรอย่างเป็นทางการ

ยู1 (x) + ยู 2 (x) + ยู 3 (x) + ... + ยู n ( x) + ... , (1)

ที่ไหน ยู1 (x), ยู 2 (x), ยู 3 (x), ..., ยู n ( x), ... - ลำดับของฟังก์ชันจากตัวแปรอิสระ x.

สัญกรณ์ย่อของอนุกรมฟังก์ชันที่มี sigma:.

ตัวอย่างของอนุกรมการทำงานคือ :

(2)

(3)

ให้ตัวแปรอิสระ xค่าบางอย่าง x0 และแทนที่ลงในอนุกรมการทำงาน (1) เราจะได้อนุกรมตัวเลข

ยู1 (x 0 ) + ยู 2 (x 0 ) + ยู 3 (x 0 ) + ... + ยู n ( x 0 ) + ...

ถ้าอนุกรมตัวเลขที่ได้มาบรรจบกัน อนุกรมการทำงาน (1) จะลู่เข้าหากัน x = x0 ; ถ้ามันเบี่ยงออก ซึ่งเรียกว่า อนุกรม (1) แยกที่ x = x0 .

ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรมฟังก์ชัน(2) สำหรับค่า x= 1 และ x = - 1 .
สารละลาย. ที่ x= 1 เราได้อนุกรมตัวเลข

ซึ่งมาบรรจบกันตามการทดสอบของไลบ์นิซ ที่ x= - 1 เราได้ชุดตัวเลข

,

ซึ่งแยกออกจากกันเป็นผลคูณของอนุกรมฮาร์มอนิกที่แตกต่างกันโดย – 1 ดังนั้น อนุกรม (2) จึงบรรจบกันที่ x= 1 และเบี่ยงที่ x = - 1 .

หากการทดสอบดังกล่าวสำหรับการบรรจบกันของอนุกรมการทำงาน (1) ดำเนินการโดยคำนึงถึงค่าทั้งหมดของตัวแปรอิสระจากโดเมนของคำจำกัดความของสมาชิก ดังนั้นคะแนนของโดเมนนี้จะถูกแบ่งออกเป็นสองชุด: ด้วยค่า xเมื่อนำมารวมกันชุดหนึ่ง (1) จะบรรจบกันและอีกชุดหนึ่งจะแยกออกจากกัน

ชุดของค่าของตัวแปรอิสระที่อนุกรมการทำงานมาบรรจบกันเรียกว่าชุดของมัน ภูมิภาคคอนเวอร์เจนซ์ .

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาพื้นที่บรรจบกันของอนุกรมการทำงาน

สารละลาย. สมาชิกของอนุกรมถูกกำหนดไว้ในเส้นจำนวนทั้งหมดและสร้างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยตัวส่วน ถาม= บาป x. อนุกรมจึงมาบรรจบกันถ้า

และแตกต่างถ้า

(ค่าเป็นไปไม่ได้). แต่สำหรับค่านิยมและค่านิยมอื่นๆ x. ดังนั้น อนุกรมจะลู่เข้าหากันสำหรับค่าทั้งหมด x, ยกเว้น . พื้นที่ของการบรรจบกันคือเส้นจำนวนทั้งหมด ยกเว้นจุดเหล่านี้

ตัวอย่างที่ 3 จงหาขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมฟังก์ชัน

สารละลาย. เงื่อนไขของอนุกรมสร้างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยตัวส่วน ถาม= ลน x. ดังนั้นอนุกรมจึงลู่เข้า if , or , where นี่คือขอบเขตของการบรรจบกันของซีรีส์นี้

ตัวอย่างที่ 4 ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรมฟังก์ชัน

สารละลาย. ลองใช้ค่าโดยพลการ ด้วยค่านี้ เราจะได้ชุดตัวเลข

(*)

ค้นหาขีดจำกัดของคำทั่วไป

ดังนั้น ซีรีส์ (*) จึงแตกต่างสำหรับการเลือกโดยพลการ เช่น สำหรับค่าใด ๆ x. โดเมนของการลู่เข้าเป็นเซตว่าง

การบรรจบกันของอนุกรมฟังก์ชันและคุณสมบัติของอนุกรม

ไปที่แนวคิดกันเถอะ การบรรจบกันของอนุกรมการทำงาน . อนุญาต ส(x) คือผลรวมของอนุกรมนี้ และ สn ( x) - ผลรวม นสมาชิกชุดแรกของชุดนี้ ช่วงการทำงาน ยู1 (x) + ยู 2 (x) + ยู 3 (x) + ... + ยู n ( x) + ... เรียกว่าบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา [ ก, ข] หากเป็นจำนวนเล็กน้อยตามอำเภอใจ ε > 0 มีตัวเลขดังกล่าว เอ็นนั่นสำหรับทุกคน น ≥ เอ็นความไม่เท่าเทียมกันจะได้รับความพึงพอใจ

|ส(x) − ส n ( x)| < ε

สำหรับใครก็ตาม xจากส่วน [ ก, ข] .

คุณสมบัติข้างต้นสามารถแสดงทางเรขาคณิตได้ดังนี้

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน ย = ส(x) . เราสร้างแถบกว้าง 2 รอบเส้นโค้งนี้ ε นนั่นคือเราสร้างเส้นโค้ง ย = ส(x) + ε นและ ย = ส(x) − ε น(มีสีเขียวตามภาพด้านล่าง)

แล้วสำหรับใดๆ ε นกราฟฟังก์ชัน สn ( x) จะอยู่ในวงการพิจารณาทั้งหมด แถบเดียวกันจะมีกราฟของผลรวมบางส่วนที่ตามมาทั้งหมด

อนุกรมการทำงานแบบลู่เข้าใดๆ ที่ไม่มีคุณลักษณะที่อธิบายไว้ข้างต้นจะลู่เข้าแบบไม่สม่ำเสมอ

พิจารณาอีกหนึ่งคุณสมบัติของอนุกรมฟังก์ชันที่บรรจบกันแบบสม่ำเสมอ:

ผลรวมของชุดของฟังก์ชันต่อเนื่องที่มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในบางช่วงเวลา [ ก, ข] มีฟังก์ชันที่ต่อเนื่องในส่วนนี้.

ตัวอย่างที่ 5ตรวจสอบว่าผลรวมของอนุกรมการทำงานนั้นต่อเนื่องหรือไม่

สารละลาย. มาหาผลรวมกัน นสมาชิกคนแรกของซีรีส์นี้:

ถ้า x> 0 แล้ว

,

ถ้า x < 0 , то

ถ้า x= 0 แล้ว

และดังนั้นจึง .

การศึกษาของเราแสดงให้เห็นว่าผลรวมของอนุกรมนี้เป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง กราฟจะแสดงในรูปด้านล่าง

การทดสอบไวเออร์สตราสสำหรับการลู่เข้าที่สม่ำเสมอของอนุกรมฟังก์ชัน

ให้เราเข้าใกล้เกณฑ์ Weierstrass ผ่านแนวคิด ส่วนใหญ่ของซีรีส์การทำงาน . ช่วงการทำงาน

ยู1 (x) + ยู 2 (x) + ยู 3 (x) + ... + ยู n ( x) + ...