ผลต่างและผลรวมของสูตรทางคณิตศาสตร์ลูกบาศก์ สูตรคูณแบบย่อ

สูตรคูณแบบย่อ.

การศึกษาสูตรสำหรับการคูณแบบย่อ: กำลังสองของผลรวมและกำลังสองของผลต่างของนิพจน์สองนิพจน์ ความแตกต่างของกำลังสองของสองนิพจน์ ลูกบาศก์ของผลรวมและลูกบาศก์ของผลต่างของสองนิพจน์ ผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์สองนิพจน์

การประยุกต์ใช้สูตรคูณแบบย่อเมื่อแก้ตัวอย่าง

เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ แยกตัวประกอบพหุนาม และลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จะใช้สูตรคูณแบบย่อ สูตรคูณย่อที่คุณต้องรู้ด้วยใจ.

ให้ a, b R. แล้ว:

1. กำลังสองของผลรวมของสองนิพจน์คือกำลังสองของนิพจน์แรก บวกสองเท่าของผลคูณของนิพจน์แรก และอันที่สอง บวกกำลังสองของนิพจน์ที่สอง

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. กำลังสองของผลต่างของสองนิพจน์คือกำลังสองของนิพจน์แรก ลบสองเท่าของผลคูณของนิพจน์แรก และอันที่สองบวกกำลังสองของนิพจน์ที่สอง

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. ความแตกต่างของสี่เหลี่ยมนิพจน์สองนิพจน์มีค่าเท่ากับผลคูณของผลต่างของนิพจน์เหล่านี้และผลรวมของนิพจน์

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. ผลรวมลูกบาศก์ของสองนิพจน์ เท่ากับลูกบาศก์ของนิพจน์แรก บวกสามคูณกำลังสองของนิพจน์แรก คูณสอง บวกสามคูณผลคูณของนิพจน์แรก คูณ กำลังสองของค่าที่สอง บวกลูกบาศก์ของนิพจน์ที่สอง

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. ลูกบาศก์ความแตกต่างของสองนิพจน์ เท่ากับลูกบาศก์ของนิพจน์แรก ลบสามคูณผลคูณของกำลังสองของนิพจน์แรก และอันที่สองบวกสามคูณผลคูณของนิพจน์แรก และกำลังสองของค่าที่สองลบลูกบาศก์ของนิพจน์ที่สอง

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. ผลรวมของลูกบาศก์นิพจน์สองนิพจน์เท่ากับผลคูณของผลรวมของนิพจน์ที่หนึ่งและสองด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่างของนิพจน์เหล่านี้

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. ความแตกต่างของลูกบาศก์ของสองนิพจน์จะเท่ากับผลคูณของผลต่างของนิพจน์ที่หนึ่งและสองด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวมของนิพจน์เหล่านี้

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

การประยุกต์ใช้สูตรคูณแบบย่อเมื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

คำนวณ

ก) โดยใช้สูตรสำหรับกำลังสองของผลรวมของสองนิพจน์ เรามี

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) โดยใช้สูตรสำหรับผลต่างกำลังสองของนิพจน์สองนิพจน์ เราได้รับ

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

ตัวอย่าง 2

คำนวณ

เราใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสองของนิพจน์สองนิพจน์ เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 3

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

(x - y) 2 + (x + y) 2

เราใช้สูตรสำหรับกำลังสองของผลรวมและกำลังสองของผลต่างของสองนิพจน์

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

สูตรคูณย่อในตารางเดียว:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

สูตรคูณแบบย่อ (FSU) ใช้เพื่อยกกำลังและคูณตัวเลขและนิพจน์ บ่อยครั้งที่สูตรเหล่านี้ช่วยให้คุณทำการคำนวณได้กระชับและรวดเร็วยิ่งขึ้น

ในบทความนี้ เราจะแสดงรายการสูตรหลักสำหรับการคูณแบบย่อ จัดกลุ่มลงในตาราง พิจารณาตัวอย่างการใช้สูตรเหล่านี้ และยังยึดหลักการสำหรับการพิสูจน์สูตรคูณแบบย่อด้วย

เป็นครั้งแรกที่หัวข้อของ FSU ได้รับการพิจารณาในหลักสูตร "พีชคณิต" สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ด้านล่างนี้คือ 7 สูตรพื้นฐาน

สูตรคูณแบบย่อ

สูตรผลรวมกำลังสอง: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
สูตรกำลังสองส่วนต่าง: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
สูตรผลรวมลูกบาศก์: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
สูตรลูกบาศก์ความแตกต่าง: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
ผลต่างของสูตรกำลังสอง: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
สูตรความแตกต่างของลูกบาศก์: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

ตัวอักษร a, b, c ในนิพจน์เหล่านี้อาจเป็นตัวเลข ตัวแปร หรือนิพจน์ใดๆ เพื่อความสะดวกในการใช้งาน ควรเรียนรู้สูตรพื้นฐานทั้งเจ็ดด้วยใจ เราสรุปพวกเขาในตารางและให้ไว้ด้านล่าง ล้อมไว้ด้วยกล่อง

สูตรสี่สูตรแรกช่วยให้คุณสามารถคำนวณสี่เหลี่ยมหรือลูกบาศก์ของผลรวมหรือผลต่างของสองนิพจน์ตามลำดับ

สูตรที่ห้าคำนวณผลต่างของกำลังสองของนิพจน์โดยการคูณผลรวมและผลต่าง

สูตรที่หกและเจ็ดคือการคูณของผลรวมและผลต่างของนิพจน์ด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่างและกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวม

สูตรคูณแบบย่อบางครั้งเรียกอีกอย่างว่าอัตลักษณ์การคูณแบบย่อ ไม่น่าแปลกใจเลย เพราะความเสมอภาคล้วนเป็นอัตลักษณ์

เมื่อแก้ตัวอย่างในทางปฏิบัติ มักใช้สูตรคูณแบบย่อกับส่วนซ้ายและขวาที่จัดเรียงใหม่ ซึ่งจะสะดวกเป็นพิเศษเมื่อแยกตัวประกอบพหุนาม

สูตรคูณตัวย่อเพิ่มเติม

เราจะไม่ จำกัด ตัวเองให้อยู่ในหลักสูตรเกรด 7 ในพีชคณิตและเพิ่มสูตรอีกสองสามสูตรในตาราง FSU ของเรา

อันดับแรก พิจารณาสูตรทวินามของนิวตัน

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

โดยที่ C n k คือสัมประสิทธิ์ทวินามที่อยู่ในบรรทัดหมายเลข n ในรูปสามเหลี่ยมของปาสกาล ค่าสัมประสิทธิ์ทวินามคำนวณโดยสูตร:

C nk = น ! เค! · (น - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

อย่างที่คุณเห็น FSU สำหรับกำลังสองและลูกบาศก์ของผลต่าง และผลรวมเป็นกรณีพิเศษของสูตรทวินามของนิวตันสำหรับ n=2 และ n=3 ตามลำดับ

แต่ถ้ามีมากกว่าสองเทอมในผลรวมที่จะยกกำลัง? สูตรสำหรับกำลังสองของผลรวมสาม สี่คำขึ้นไปจะมีประโยชน์

1 + 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

อีกสูตรหนึ่งที่อาจมีประโยชน์คือสูตรสำหรับผลต่างของกำลังที่ n ของสองพจน์

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

สูตรนี้มักจะแบ่งออกเป็นสองสูตร - ตามลำดับสำหรับองศาคู่และคี่

สำหรับเลขชี้กำลังคู่ 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + ข 2 ม. - 2

สำหรับเลขชี้กำลังคี่ 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + ข 2 m

สูตรสำหรับความแตกต่างของกำลังสองและความแตกต่างของลูกบาศก์ คุณเดาได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของสูตรนี้สำหรับ n = 2 และ n = 3 ตามลำดับ สำหรับความแตกต่างของลูกบาศก์ b จะถูกแทนที่ด้วย - b .

จะอ่านสูตรคูณย่อได้อย่างไร?

เราจะให้สูตรที่สอดคล้องกันสำหรับแต่ละสูตร แต่ก่อนอื่นเราจะจัดการกับหลักการของการอ่านสูตร วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือการยกตัวอย่าง ลองใช้สูตรแรกสุดสำหรับกำลังสองของผลบวกของตัวเลขสองตัว

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

พวกเขากล่าวว่า: กำลังสองของผลรวมของสองนิพจน์ a และ b เท่ากับผลรวมของกำลังสองของนิพจน์แรก, สองเท่าของผลคูณของนิพจน์และกำลังสองของนิพจน์ที่สอง

สูตรอื่น ๆ ทั้งหมดอ่านในทำนองเดียวกัน สำหรับผลต่างกำลังสอง a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 เราเขียน:

กำลังสองของผลต่างของสองนิพจน์ a และ b เท่ากับผลรวมของกำลังสองของนิพจน์เหล่านี้ ลบสองเท่าของผลคูณของนิพจน์ที่หนึ่งและที่สอง

ลองอ่านสูตร a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ลูกบาศก์ของผลรวมของนิพจน์สองนิพจน์ a และ b เท่ากับผลรวมของลูกบาศก์ของนิพจน์เหล่านี้ สามคูณผลคูณของกำลังสองของนิพจน์แรกและนิพจน์ที่สอง และสามคูณผลคูณของกำลังสองของนิพจน์ที่สอง และนิพจน์แรก

เราดำเนินการอ่านสูตรสำหรับความแตกต่างของลูกบาศก์ a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 ลูกบาศก์ของผลต่างของนิพจน์สองนิพจน์ a และ b เท่ากับลูกบาศก์ของนิพจน์แรก ลบสามคูณกำลังสองของนิพจน์แรกและอันที่สอง บวกสามคูณกำลังสองของนิพจน์ที่สองและนิพจน์แรก ลบลูกบาศก์ ของนิพจน์ที่สอง

สูตรที่ห้า a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (ผลต่างของกำลังสอง) อ่านดังนี้: ความแตกต่างของกำลังสองของสองนิพจน์จะเท่ากับผลคูณของผลต่างและผลรวมของสองนิพจน์

นิพจน์เช่น a 2 + a b + b 2 และ a 2 - a b + b 2 เพื่อความสะดวกถูกเรียกตามลำดับ ยกกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวมและกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่าง

เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์จึงอ่านได้ดังนี้:

ผลรวมของลูกบาศก์ของนิพจน์สองนิพจน์ เท่ากับผลคูณของผลรวมของนิพจน์เหล่านี้ และกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่าง

ผลต่างของลูกบาศก์ของนิพจน์สองนิพจน์ เท่ากับผลคูณของผลต่างของนิพจน์เหล่านี้ด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวม

หลักฐาน FSU

การพิสูจน์ FSU นั้นค่อนข้างง่าย ตามคุณสมบัติของการคูณ เราจะทำการคูณส่วนของสูตรในวงเล็บ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาสูตรของผลต่างกำลังสอง

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2

เมื่อต้องการเพิ่มนิพจน์เป็นกำลังสอง นิพจน์ต้องคูณด้วยตัวมันเอง

a - b 2 \u003d a - b a - b.

มาขยายวงเล็บ:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2

สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว FSO อื่นๆ ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ FSO

จุดประสงค์ของการใช้สูตรคูณแบบลดรูปคือการคูณและยกกำลังนิพจน์อย่างรวดเร็วและรัดกุม อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ขอบเขตทั้งหมดของ FSO มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการลดนิพจน์ ลดเศษส่วน พหุนามแฟคตอริ่ง ลองยกตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 FSO

มาลดความซับซ้อนของนิพจน์ 9 y - (1 + 3 y) 2 .

ใช้สูตรผลรวมกำลังสองและรับ:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

ตัวอย่างที่ 2 FSO

ลดเศษส่วน 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

เราสังเกตว่านิพจน์ในตัวเศษคือผลต่างของลูกบาศก์ และในตัวส่วน - ผลต่างของกำลังสอง

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z

เราลดและรับ:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU ยังช่วยในการคำนวณค่าของนิพจน์ สิ่งสำคัญคือต้องสามารถสังเกตได้ว่าจะใช้สูตรไหน ลองแสดงสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

ลองยกกำลังสองเลข 79. แทนที่จะใช้การคำนวณที่ยุ่งยาก เราเขียนว่า:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

ดูเหมือนว่าการคำนวณที่ซับซ้อนจะดำเนินการอย่างรวดเร็วโดยใช้สูตรคูณแบบย่อและตารางสูตรคูณ

อื่น จุดสำคัญ- การเลือกกำลังสองของทวินาม นิพจน์ 4 x 2 + 4 x - 3 สามารถแปลงเป็น 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 การแปลงดังกล่าวใช้กันอย่างแพร่หลายในการบูรณาการ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ความแตกต่างของสี่เหลี่ยม

เราได้รับสูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง $a^2-b^2$

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำกฎต่อไปนี้:

หากมีการเพิ่มโมโนเมียลใดๆ ลงในนิพจน์และลบโมโนเมียลเดียวกัน เราก็จะได้เอกลักษณ์ที่ถูกต้อง

ลองบวกนิพจน์ของเราและลบออกจากโมโนเมียล $ab$:

โดยรวมแล้วเราได้รับ:

นั่นคือผลต่างของกำลังสองของโมโนเมียลสองตัวเท่ากับผลคูณของผลต่างและผลรวม

ตัวอย่าง 1

แสดงเป็นผลคูณของ $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]