Trei plane perpendiculare. Sistem de trei plane reciproc perpendiculare

Există multe părți ale căror informații despre formă nu pot fi transmise prin două proiecții de desen. Pentru ca informațiile despre forma complexă a unei piese să fie prezentate suficient de complet, proiecția este utilizată pe trei planuri de proiecție reciproc perpendiculare: frontal - V, orizontal - H și profil - W (a se citi „ve dublu”).

Desen complex Un desen prezentat în trei vederi sau proiecții, în cele mai multe cazuri oferă o imagine completă a formei și designului piesei (articol și obiect) și este numit și desen complex. desenul principal. Dacă un desen este construit cu axe de coordonate, se numește desen de axă. fără axă Dacă desenul este construit fără axe de coordonate, se numește profil fără axă Dacă planul W este perpendicular pe planurile frontale și orizontale ale proiecțiilor, atunci se numește profil

Un obiect este plasat într-un colț triedric, astfel încât marginea formativă și baza sa să fie paralele cu planurile de proiecție frontală și, respectiv, orizontală. Apoi, razele de proiecție sunt trecute prin toate punctele obiectului, perpendiculare pe toate cele trei planuri de proiecție, pe care se obțin proiecții frontale, orizontale și de profil ale obiectului. După proiecție, obiectul este îndepărtat din unghiul triedric, iar apoi planurile orizontale și de proiecție de profil sunt rotite cu 90°, respectiv, în jurul axelor Ox și Oz până când sunt aliniate cu planul de proiecție frontală și este un desen al piesei care conține trei proiecții. obținut.

Cele trei proiecții ale desenului sunt interconectate între ele. Proiecțiile frontale și orizontale păstrează conexiunea de proiecție a imaginilor, adică se stabilesc conexiuni de proiecție între frontal și orizontal, frontal și profil, precum și proiecțiile orizontale și de profil. Liniile de proiecție definesc locația fiecărei proiecții pe câmpul de desen. Forma majorității obiectelor este o combinație de diverse corpuri geometrice sau părți ale acestora. Prin urmare, pentru a citi și a executa desene, trebuie să știți cum sunt reprezentate corpurile geometrice în sistemul de trei proiecții în producție

1. Fețele paralele cu planurile de proiecție sunt proiectate pe acesta fără distorsiuni, în dimensiune naturală. 2. Fețele perpendiculare pe planul de proiecție sunt proiectate într-un segment de drepte. 3. Fețe situate oblic față de planurile de proiecție, imagini pe ea cu distorsiuni (reduse)

& 3. pg întrebări în scris sarcina 4.1. pp pp, & 5, pp. 37-45, întrebări scrise pentru teme

Poziția planului în spațiu se determină:

trei puncte care nu se află pe aceeași linie;
o linie dreaptă și un punct luate în afara dreptei;
două linii care se intersectează;
două linii paralele;
figură plată.

În conformitate cu aceasta, planul poate fi specificat pe diagramă:

proiecții a trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă (Figura 3.1, a);
proiecții ale unui punct și ale unei linii (Figura 3.1,b);
proiecții a două linii care se intersectează (Figura 3.1c);
proiecții a două linii paralele (Figura 3.1d);
figura plată (Figura 3.1, d);
urme ale unui avion;
linia celei mai mari pante a planului.

Figura 3.1 – Metode de definire a planurilor

Planul general este un plan care nu este nici paralel, nici perpendicular pe niciunul dintre planurile de proiecție.

Urmând avionul este o dreaptă obținută ca urmare a intersecției unui plan dat cu unul dintre planurile de proiecție.

Un avion generic poate avea trei urme: orizontală – απ 1, frontal – απ 2 și profil – απ 3, pe care îl formează la intersectarea cu planuri de proiecție cunoscute: orizontal π 1, frontal π 2 și profil π 3 (Figura 3.2).

Figura 3.2 – Urmele unui plan general

3.2. Planuri parțiale

Plan parțial– un plan perpendicular sau paralel pe planul proiecțiilor.

Planul perpendicular pe planul de proiecție se numește proiectare și pe acest plan de proiecție va fi proiectat ca o linie dreaptă.

Proprietatea planului de proiecție: toate punctele, liniile, figurile plate aparținând planului proiectant au proiecții pe urma înclinată a planului(Figura 3.3).

Figura 3.3 – Plan proiectat frontal, care include: puncte A, ÎN, CU; linii AC, AB, Soare; plan triunghiular ABC

Planul de proiecție frontală – plan perpendicular pe planul frontal al proiecţiilor(Figura 3.4, a).

Plan de proiecție orizontal – plan perpendicular pe planul orizontal al proiecțiilor(Figura 3.4, b).

Plan de proiectare a profilului – plan perpendicular pe planul de profil al proiecţiilor.

Se numesc planuri paralele cu planurile de proiecție avioane de nivel sau planuri duble proeminente.

Plan de nivel frontal – plan paralel cu planul frontal al proiecţiilor(Figura 3.4, c).

Plan de nivel orizontal – plan paralel cu planul orizontal al proiecțiilor(Figura 3.4, d).

Planul de profil al nivelului – plan paralel cu planul de profil al proiecțiilor(Figura 3.4, e).

Figura 3.4 – Diagrame de planuri de poziţie particulară

3.3. Un punct și o dreaptă într-un plan. Apartenența unui punct și a unui plan drept

Un punct aparține unui plan dacă aparține unei drepte situate în acest plan(Figura 3.5).

O linie dreaptă aparține unui plan dacă are cel puțin două puncte comune cu planul(Figura 3.6).

Figura 3.5 – Apartenenta unui punct la un plan

α = m // n

D∈ n⇒ D∈ α

Figura 3.6 – Aparținerea unui plan drept

Exercițiu

Având în vedere un plan definit de un patrulater (Figura 3.7, a). Este necesar să finalizați proiecția orizontală a vârfului CU.


A	b

Figura 3.7 – Soluția problemei

Solutie:

ABCD– un patrulater plat care definește un plan.
Să desenăm diagonale în el A.C.Și BD(Figura 3.7, b), care sunt drepte care se intersectează, definind de asemenea același plan.
Conform criteriului liniilor de intersectare, vom construi o proiecție orizontală a punctului de intersecție al acestor drepte - K conform proiecției frontale cunoscute: A 2 C 2 ∩ B 2 D 2 =K 2 .
Să restabilim linia de conectare a proiecției până când se intersectează cu proiecția orizontală a dreptei BD: pe proiecția diagonală B 1 D 1 construim LA 1 .
Prin A 1 LA 1 efectuăm o proiecție în diagonală A 1 CU 1 .
Punct CU 1 se obține prin linia de legătură a proiecției până când se intersectează cu proiecția orizontală a diagonalei extinse A 1 LA 1 .

3.4. Liniile planului principal

Un număr infinit de drepte pot fi construite într-un plan, dar există linii drepte speciale situate în plan, numite liniile principale ale avionului (Figura 3.8 – 3.11).

Nivel drept sau paralel cu planul este o linie dreaptă situată într-un plan dat și paralelă cu unul dintre planurile de proiecție.

Orizontal sau linie orizontală de nivel h(prima paralelă) este o linie dreaptă situată într-un plan dat și paralelă cu planul orizontal al proiecțiilor (π 1)(Figura 3.8, a; 3.9).

Față sau nivelul frontal drept f(a doua paralelă) este o linie dreaptă situată într-un plan dat și paralelă cu planul frontal al proiecțiilor (π 2)(Figura 3.8, b; 3.10).

Linia de profil de nivel p(a treia paralelă) este o linie dreaptă situată într-un plan dat și paralelă cu planul de profil al proiecțiilor (π 3)(Figura 3.8, c; 3.11).

Figura 3.8 a – Linie dreaptă orizontală a nivelului în planul definit de triunghi

Figura 3.8 b – Linia dreaptă frontală a nivelului în planul definit de triunghi

Figura 3.8 c – Linia profilului de nivel în planul definit de triunghi

Figura 3.9 – Linie dreaptă orizontală a nivelului în planul definit de piste

Figura 3.10 – Linia dreaptă frontală a nivelului în planul definit de piste

Figura 3.11 – Linia profilului de nivel în planul definit de piste

3.5. Poziția reciprocă a dreptei și a planului

O dreaptă față de un plan dat poate fi paralelă și poate avea un punct comun cu acesta, adică se intersectează.

3.5.1. Paralelismul unui plan drept

Semn de paralelism al unui plan drept: o dreaptă este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu orice dreptă aparținând acestui plan(Figura 3.12).

Figura 3.12 – Paralelismul unui plan drept

3.5.2. Intersecția unei drepte cu un plan

Pentru a construi punctul de intersecție al unei drepte cu un plan general (Figura 3.13), trebuie să:

Încheiați direct A la planul auxiliar β (planurile cu o anumită poziție trebuie selectate ca plan auxiliar);
Aflați dreapta de intersecție a planului auxiliar β cu planul dat α;
Găsiți punctul de intersecție al unei drepte date A cu linia de intersecție a planelor MN.

Figura 3.13 – Construcția punctului de întâlnire a unei drepte cu un plan

Exercițiu

Dat: drept AB poziție generală, plan σ⊥π 1. (Figura 3.14). Construiți punctul de intersecție al unei drepte AB cu planul σ.

Solutie:

Planul σ se proiectează orizontal, prin urmare, proiecția orizontală a planului σ este dreapta σ 1 (urma orizontală a planului);
Punct LA trebuie să aparțină liniei AB ⇒ LA 1 ∈A 1 ÎN 1 și un plan dat σ ⇒ LA 1 ∈σ 1 , prin urmare, LA 1 este situat în punctul de intersecție al proiecțiilor A 1 ÎN 1 şi σ 1 ;
Proiecția frontală a punctului LA găsim prin linia de comunicare de proiecție: LA 2 ∈A 2 ÎN 2 .

Figura 3.14 – Intersecția unei drepte generale cu un anumit plan

Exercițiu

Dat: planul σ = Δ ABC– pozitie generala, dreapta E.F.(Figura 3.15).

Este necesar să se construiască punctul de intersecție al unei linii E.F. cu planul σ.


A	b

Figura 3.15 – Intersecția unei drepte și a unui plan

Să încheiem o linie dreaptă E.F.într-un plan auxiliar, pentru care vom folosi planul proiectat orizontal α (Figura 3.15, a);
Dacă α⊥π 1, atunci pe planul de proiecție π 1 planul α este proiectat într-o linie dreaptă (urma orizontală a planului απ 1 sau α 1), care coincide cu E 1 F 1 ;
Să găsim dreapta de intersecție (1-2) a planului proiectant α cu planul σ (se va lua în considerare soluția unei probleme similare);
Linie dreaptă (1-2) și linie dreaptă specificată E.F. se află în același plan α și se intersectează în punctul respectiv K.

Algoritm pentru rezolvarea problemei (Figura 3.15, b):

Prin E.F. Să desenăm un plan auxiliar α:

3.6. Determinarea vizibilității folosind metoda punctului concurent

Când se evaluează poziția unei linii date, este necesar să se determine care punct al dreptei este situat mai aproape (mai departe) de noi, ca observatori, atunci când ne uităm la planul de proiecție π 1 sau π 2.

Punctele care aparțin unor obiecte diferite, iar pe unul dintre planurile de proiecție proiecțiile lor coincid (adică două puncte sunt proiectate într-unul), se numesc concurente pe acest plan de proiecție.

Este necesar să se determine separat vizibilitatea pe fiecare plan de proiecție.

Vizibilitate la π 2 (Fig. 3.15)

Să alegem puncte care concurează pe π 2 – punctele 3 și 4. Fie punctul 3∈ VS∈σ, punctul 4∈ E.F..

Pentru a determina vizibilitatea punctelor de pe planul de proiecție π 2, este necesar să se determine locația acestor puncte pe planul de proiecție orizontal atunci când se privește la π 2.

Direcția de vedere spre π 2 este indicată de săgeată.

Din proiecțiile orizontale ale punctelor 3 și 4, când ne uităm la π 2, este clar că punctul 4 1 este situat mai aproape de observator decât 3 1.

4 1 ∈E 1 F 1 ⇒ 4∈E.F.⇒ pe π 2 va fi vizibil punctul 4, întins pe linie dreaptă E.F., prin urmare, drept E.F.în zona punctelor concurente luate în considerare este situat în fața planului σ și va fi vizibil până la punctul K

Vizibilitate la π 1

Pentru a determina vizibilitatea, selectăm puncte care concurează pe π 1 - punctele 2 și 5.

Pentru a determina vizibilitatea punctelor de pe planul de proiecție π 1, este necesar să se determine locația acestor puncte pe planul de proiecție frontală atunci când se privește la π 1.

Direcția de vedere spre π 1 este indicată de săgeată.

Din proiecțiile frontale ale punctelor 2 și 5, când se privește la π 1, este clar că punctul 2 2 este situat mai aproape de observator decât 5 2.

2 1 ∈A 2 ÎN 2 ⇒ 2∈AB⇒ pe π 1 va fi vizibil punctul 2, întins pe linie dreaptă AB, prin urmare, drept E.F.în zona punctelor concurente luate în considerare este situat sub planul σ și va fi invizibil până la punctul K– punctele de intersecție ale dreptei cu planul σ.

Cel vizibil dintre cele două puncte concurente va fi cel ale cărui coordonate „Z” și/sau „Y” sunt mai mari.

3.7. Perpendicularitatea pe un plan drept

Semn de perpendicularitate a unui plan drept: o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan dat.


A	b

Figura 3.16 – Definirea unei drepte perpendiculare pe plan

Teorema. Dacă linia dreaptă este perpendiculară pe plan, atunci pe diagramă: proiecția orizontală a dreptei este perpendiculară pe proiecția orizontală a orizontalei planului, iar proiecția frontală a dreptei este perpendiculară pe proiecția frontală a frontala (Figura 3.16, b)

Teorema este demonstrată prin teorema privind proiecția unui unghi drept într-un caz special.

Dacă planul este definit prin urme, atunci proiecțiile unei drepte perpendiculare pe plan sunt perpendiculare pe urmele corespunzătoare ale planului (Figura 3.16, a).

Să fie drept p perpendicular pe planul σ=Δ ABCși trece prin punct K.

Să construim liniile orizontale și frontale în planul σ=Δ ABC : A-1∈σ; A-1//π 1 ; S-2∈σ; S-2//π 2 .
Să restabilim de la punct K perpendicular pe un plan dat: p 1⊥h 1Și p2⊥f 2, sau p 1⊥απ 1 Și p2⊥απ 2

3.8. Poziția relativă a două plane

3.8.1. Paralelismul planurilor

Două plane pot fi paralele și care se intersectează.

Semn de paralelism a două plane: două plane sunt reciproc paralele dacă două drepte care se intersectează ale unui plan sunt paralele în mod corespunzător cu două drepte care se intersectează ale altui plan.

Exercițiu

Planul de poziție generală este dat α=Δ ABCși punct F∉α (Figura 3.17).

Prin punct F trageți planul β paralel cu planul α.

Figura 3.17 – Construcția unui plan paralel cu unul dat

Solutie:

Ca drepte de intersectare ale planului α, să luăm, de exemplu, laturile triunghiului AB și BC.

Prin punct F conducem un direct m, paralel, de exemplu, AB.
Prin punct F, sau prin orice punct aparținând m, tragem o linie dreaptă n, paralel, de exemplu, Soare, și m∩n=F.
β = m∩nşi β//α prin definiţie.

3.8.2. Intersecția avioanelor

Rezultatul intersectiei a 2 plane este o dreapta. Orice linie dreaptă pe un plan sau în spațiu poate fi definită în mod unic prin două puncte. Prin urmare, pentru a construi o linie de intersecție a două plane, ar trebui să găsiți două puncte comune ambelor plane și apoi să le conectați.

Să luăm în considerare exemple de intersecție a două plane cu moduri diferite de a le defini: prin urme; trei puncte care nu se află pe aceeași linie; linii paralele; linii de intersectare etc.

Exercițiu

Două plane α și β sunt definite de urme (Figura 3.18). Construiți o linie de intersecție a planelor.

Figura 3.18 – Intersecția planurilor generale definite prin urme

Procedura de construire a liniei de intersecție a planurilor:

Găsiți punctul de intersecție al urmelor orizontale - acesta este punctul M(proiecțiile ei M 1 Și M 2, în timp ce M 1 =M, deoarece M – punct privat aparținând planului π 1).
Găsiți punctul de intersecție al pistelor frontale - acesta este punctul N(proiecțiile ei N 1 și N 2, în timp ce N 2 = N, deoarece N – punct privat aparținând planului π 2).
Construiți o linie de intersecție a planelor conectând proiecțiile punctelor rezultate cu același nume: M 1 N 1 și M 2 N 2 .

MN– linia de intersecție a planelor.

Exercițiu

Planul dat σ = Δ ABC, planul α – proiectat orizontal (α⊥π 1) ⇒α 1 – urma orizontală a planului (Figura 3.19).

Construiți linia de intersecție a acestor plane.

Solutie:

Deoarece planul α intersectează laturile ABȘi AC triunghi ABC, apoi punctele de intersecție KȘi L aceste laturi cu planul α sunt comune ambelor planuri date, ceea ce va permite, prin conectarea lor, sa se gaseasca dreapta de intersectie dorita.

Punctele pot fi găsite ca puncte de intersecție ale liniilor drepte cu planul de proiectare: găsim proiecții orizontale ale punctelor KȘi L, acesta este K 1 și L 1, la intersecția urmei orizontale (α 1) a unui plan dat α cu proiecțiile orizontale ale laturilor Δ ABC: A 1 ÎN 1 și A 1 C 1 . Apoi, folosind liniile de comunicare de proiecție, găsim proiecțiile frontale ale acestor puncte K2Și L 2 pe proiecțiile frontale ale liniilor drepte ABȘi AC. Să conectăm proiecțiile cu același nume: K 1 și L 1 ; K2Și L 2. Se trasează linia de intersecție a planurilor date.

Algoritm pentru rezolvarea problemei:

KL– linia de intersecție Δ ABCși σ (α∩σ = KL).

Figura 3.19 – Intersecția planurilor generale și particulare

Exercițiu

Planurile date α = m//n și planul β = Δ ABC(Figura 3.20).

Construiți o dreaptă de intersecție a planurilor date.

Solutie:

Pentru a găsi puncte comune ambelor plane date și pentru a defini linia de intersecție a planurilor α și β, este necesar să folosiți planuri auxiliare de o anumită poziție.
Ca astfel de planuri, vom alege două plane auxiliare de poziţie particulară, de exemplu: σ // τ; σ⊥π 2 ; τ⊥π 2 .
Planurile nou introduse se intersectează cu fiecare dintre planurile date α și β de-a lungul unor drepte paralele între ele, deoarece σ // τ:

— rezultatul intersecției planelor α, σ și τ sunt drepte (4-5) și (6-7);

— rezultatul intersecției planelor β, σ și τ sunt drepte (3-2) și (1-8).

Dreptele (4-5) și (3-2) se află în planul σ; punctul lor de intersecție M se află simultan în planurile α și β, adică pe linia dreaptă de intersecție a acestor plane;
În mod similar, găsim ideea N, comun planurilor α și β.
Unind punctele MȘi N, să construim dreapta de intersecție a planelor α și β.

Figura 3.20 – Intersecția a două plane în poziție generală (caz general)

Algoritm pentru rezolvarea problemei:

Exercițiu

Planuri date α = Δ ABCși β = A//b. Construiți o dreaptă de intersecție a planurilor date (Figura 3.21).

Figura 3.21 Rezolvarea problemei de intersecție plană

Solutie:

Să folosim planuri secante auxiliare de o anumită poziție. Să le introducem în așa fel încât să reducem numărul de construcții. De exemplu, să introducem planul σ⊥π 2 prin includerea dreptei Aîn planul auxiliar σ (σ∈ A). Planul σ intersectează planul α de-a lungul unei linii drepte (1-2), iar σ∩β= A. Prin urmare (1-2)∩ A=K.

Punct LA aparține ambelor planuri α și β.

Prin urmare, punctul K, este unul dintre punctele necesare prin care trece linia de intersecție a planurilor date α și β.

Pentru a găsi al doilea punct aparținând dreptei de intersecție a lui α și β, concluzionăm dreapta bîn planul auxiliar τ⊥π 2 (τ∈ b).

Unind punctele KȘi L, obținem dreapta de intersecție a planelor α și β.

3.8.3. Planuri reciproc perpendiculare

Planurile sunt reciproc perpendiculare dacă unul dintre ele trece prin perpendiculară pe celălalt.

Exercițiu

Având în vedere un plan σ⊥π 2 și o dreaptă în poziție generală – DE(Figura 3.22)

Necesar pentru a construi DE planul τ⊥σ.

Soluție.

Să desenăm o perpendiculară CD la planul σ – C 2 D 2 ⊥σ 2 (pe baza ).

Figura 3.22 – Construcția unui plan perpendicular pe un plan dat

După teorema proiecției în unghi drept C 1 D 1 trebuie să fie paralelă cu axa de proiecție. Liniile care se intersectează CD∩DE definiți planul τ. Deci, τ⊥σ.

Raționament similar în cazul unui plan general.

Exercițiu

Planul dat α = Δ ABCși punct Kîn afara planului α.

Este necesar să se construiască un plan β⊥α care trece prin punct K.

Algoritm de rezolvare(Figura 3.23):

Să construim o linie orizontală h si fata fîntr-un plan dat α = Δ ABC;
Prin punct K să desenăm o perpendiculară b la planul α (de-a lungul perpendicular pe teorema planului: dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci proiecțiile ei sunt perpendiculare pe proiecțiile înclinate ale liniilor orizontale și frontale situate în plan:b 2⊥f 2; b 1⊥h 1;
Definim planul β în orice fel, de exemplu, β = a∩b, astfel, se construiește un plan perpendicular pe cel dat: α⊥β.

Figura 3.23 – Construcția unui plan perpendicular pe un Δ dat ABC

3.9. Probleme de rezolvat independent

1. Planul dat α = m//n(Figura 3.24). Se știe că K∈α.

Construiți o proiecție frontală a unui punct LA.

Figura 3.24

2. Construiți urmele unei drepte date de un segment C.B., și identificați cadranele prin care trece (Figura 3.25).

Figura 3.25

3. Construiți proiecțiile unui pătrat aparținând planului α⊥π 2 dacă diagonala sa MN//π 2 (Figura 3.26).

Figura 3.26

4. Construiți un dreptunghi ABCD cu latura mai mare Soare pe o linie dreaptă m, pe baza condiției ca raportul laturilor sale să fie 2 (Figura 3.27).

Figura 3.27

5. Planul dat α= A//b(Figura 3.28). Construiți un plan β paralel cu planul α și îndepărtat de acesta la o distanță de 20 mm.

Figura 3.28

6. Planul dat α=∆ ABCși punct D D planul β⊥α și β⊥π 1 .

7. Planul dat α=∆ ABCși punct D din avion. Construiți prin punct D direct DE//α și DE//π 1 .

Sistem de trei plane reciproc perpendiculare

Formarea unui desen complex (diagramă)

Pentru confortul utilizării imaginilor rezultate din sistemul spațial de planuri, să trecem la cel planar.

Pentru aceasta:

1. Să aplicăm metoda de rotire a planului p 1 în jurul axei X până când acesta se aliniază cu planul p 2 (Fig. 1)

2. Combinați planurile p 1 și p 2 într-un singur plan de desen (Fig. 2)


Poza 1	Figura 2

Proiecțiile A 1 și A 2 sunt situate pe aceeași linie de legătură perpendiculară pe axa X. Această linie este de obicei numită linie de legătură de proiecție (Fig. 3).

Figura 3

Deoarece planul de proiecție este considerat infinit în spațiu, limitele planului p 1, p 2 nu trebuie descrise (Fig. 4).

Figura 4

Ca urmare a combinării planurilor p 1 și p 2, se obține un desen sau diagramă complex (din desenul francez epure), ᴛ.ᴇ. desen în sistemul p 1 şi p 2 sau în sistemul a două planuri de proiecţie. După ce am înlocuit imaginea vizuală cu o diagramă, am pierdut imaginea spațială a locației planurilor și punctelor de proiecție. Dar diagramele oferă acuratețe și imagini ușor de măsurat, cu o simplitate semnificativă a construcției.

Un punct definit în spațiu poate avea poziții diferite față de planurile de proiecție.

Construirea imaginilor punctuale se poate face în diferite moduri:

cuvinte (verbal);
grafic (desene);
imagine vizuală (volumică);
plană (desen complex).

tabelul 1

Un exemplu de imagine a punctelor aparținând planurilor p 1 și p 2

Poziția punctului	Reprezentare vizuala	Desen complex	Semne caracteristice
Punctul A aparține planului p 1			A 1 – sub axa X, A 2 – pe axa X
Punctul B aparține planului p 1			B 1 – deasupra axei X, B 2 – pe axa X
Punctul C aparține planului p2			C 2 – deasupra axei X, C 1 – pe axa X
Punctul D aparține planului p 2			D 1 – pe axa X, D 2 – sub axa X
Punctul E aparține axei X			E 1 coincide cu E 2 și aparține axei X

Poza 1

Luați în considerare trei plane reciproc perpendiculare p 1 , p2 , p 3 ( orez. 1). Planul vertical p 3 se numește eu planul de proiecție a profilului. Intersectându-se, avioanele 1 , p2 , p 3 formează axele de proiecție, în timp ce spațiul este împărțit în 8 octanți.

p 1 p 2 = x; -X

p 1 p 3 = y; -y

p 2 p 3 = z; -z

0 – punctul de intersecție al axelor de proiecție.

Planurile de proiecție, care se intersectează în perechi, definesc trei axe x, y, z, care pot fi considerate ca un sistem de coordonate carteziene: axa X numită de obicei axa absciselor, axa y– axă de ordonate, axă Z– axa aplicată, punctul de intersecție a axelor, notat cu literă DESPRE, este originea coordonatelor.

Pentru a obține un desen complex, aplicăm metoda de rotire a planurilor p 1 și p 3 până când acestea se aliniază cu planul p 2. Vederea finală a tuturor planurilor din primul octant este prezentată în Fig. 2.

Figura 2

Iată topoarele OhȘi Oz, situate în planul fix p 2, sunt reprezentate o singură dată, axa Oh arătat de două ori. Acest lucru se explică prin faptul că, rotindu-se cu planul p 1, axa y pe diagramă se combină cu axa Oz, și rotind cu planul p 3, aceeași axă coincide cu axa Oh.

Orice punct din spațiu este specificat prin coordonate. După semnele coordonatelor, puteți determina octantul în care se află un anumit punct. Pentru a face acest lucru, vom folosi tabelul. 1, în care sunt luate în considerare semnele coordonatelor în octanții 1–4 (octanții 5–8 nu sunt prezentați, au valoare negativă X, A yȘi z se repetă).

tabelul 1

X	y	z	Octant
+	+	+	eu
+	_	+	II
+	_	_	III
+	+	_	IV

10.1 Unghiul diedric. Unghiul dintre planuri

Două linii care se intersectează formează două perechi de unghiuri verticale. Așa cum două drepte care se intersectează pe un plan formează o pereche de unghiuri verticale (Fig. 89, a), tot așa două plane care se intersectează în spațiu formează două perechi de unghiuri diedrice verticale (Fig. 89, b).

Orez. 89

Un unghi diedru este o figură care constă din două semiplane care au o linie dreaptă de limită comună și nu se află în același plan (Fig. 90). Semiplanurile în sine sunt numite fețele unui unghi diedru, iar linia lor comună de frontieră este numită muchia sa.

Orez. 90

Unghiurile diedrice se măsoară după cum urmează.

Să luăm punctul O pe muchia p a unui unghi diedru cu fețele α și β. Desenați razele a și b din punctul O pe fețele sale, perpendicular pe muchia p: a - în fața α și b - în fața β (Fig. 91). , A).

Orez. 91

Un unghi cu laturile a, b se numește unghi diedru liniar.

Mărimea unghiului liniar nu depinde de alegerea vârfului său pe marginea unghiului diedru.

Într-adevăr, să luăm un alt punct O 1 al muchiei p și să desenăm razele a 1 ⊥ p și b 1 ⊥ p în fețele α și β (Fig. 91, b).

Să trasăm pe raza a segmentul OA, pe raza a 1 segmentul O 1 A 1, egal cu segmentul OA, pe raza b segmentul OB, iar pe raza b 1 segmentul O 1 B 1, egal cu segmentul OB (Fig. 91, c).

În dreptunghiuri OAA 1 O 1 și 0BB 1 0 1, laturile AA 1 și BB 1 sunt egale cu latura lor comună OO 1 și paralele cu aceasta. Prin urmare, AA 1 = BB 1 și AA 1 || BB 1.

În consecință, patrulaterul ABV 1 A 1 este un paralelogram (Fig. 91, d), ceea ce înseamnă AB = A 1 B 1. Prin urmare, triunghiurile ABO și A 1 B 1 O 1 sunt egale (pe trei laturi) și unghiul ab este egal cu unghiul a 1 b 1.

Acum putem da următoarea definiție: mărimea unui unghi diedru este mărimea unghiului său liniar.

Unghiul dintre planele care se intersectează este mărimea celui mai mic dintre unghiurile diedrice formate de acestea. Dacă acest unghi este de 90°, atunci planurile se numesc reciproc perpendiculare. Unghiul dintre planele paralele se presupune a fi 0°.

Unghiul dintre planele α și β, precum și valoarea unghiului diedric cu fețele α și β, se notează ∠αβ.

Unghiul dintre fețele unui poliedru care au o muchie comună este valoarea unghiului diedric corespunzător acestor fețe.

10.2 Proprietăți ale planurilor reciproc perpendiculare

Proprietatea 1. O linie dreaptă situată într-unul dintre cele două plane reciproc perpendiculare și perpendiculară pe linia lor dreaptă comună este perpendiculară pe celălalt plan.

Dovada. Fie planele α și β să fie reciproc perpendiculare și să se intersecteze de-a lungul unei drepte c. Fie linia dreaptă a situată în planul α și a ⊥ с (Fig. 92). Linia a intersectează c într-un punct O. Să trasăm o dreaptă b în planul β prin punctul O, perpendiculară pe dreapta c. Deoarece α ⊥ β, atunci a ⊥ b. Deoarece a ⊥ b și a ⊥ c, atunci α ⊥ β pe baza perpendicularității dreptei și a planului.

Orez. 92

A doua proprietate este inversul primei proprietăți.

Proprietatea 2. O dreaptă care are un punct comun cu unul dintre cele două plane reciproc perpendiculare și este perpendiculară pe celălalt plan se află în primul dintre ele.

Dovada. Fie planele α și β să fie reciproc perpendiculare și să se intersecteze de-a lungul unei drepte c, dreapta a ⊥ β și a au un punct comun A cu a (Fig. 93). Prin punctul A trasăm o dreaptă p în planul α, perpendiculară pe dreapta c. După proprietatea 1 p ⊥ β. Dreptele a și p trec prin punctul A și sunt perpendiculare pe planul β. Prin urmare, ele coincid, deoarece doar o singură dreaptă trece printr-un punct, perpendicular pe un anumit plan. Deoarece linia dreaptă p se află în planul α, atunci linia dreaptă a se află în planul α.

Orez. 93

O consecință a proprietății 2 este următorul semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan: dacă două plane perpendiculare pe un al treilea plan se intersectează, atunci linia de intersecție a acestora este perpendiculară pe al treilea plan.

Dovada. Fie două plane α și β, care se intersectează de-a lungul unei drepte a, să fie perpendiculare pe planul γ (Fig. 94). Apoi prin orice punct al dreptei a trasăm o dreaptă perpendiculară pe planul γ. Conform proprietății 2, această dreaptă se află atât în planul α, cât și în planul β, adică coincide cu dreapta a. Deci, un ⊥ γ.

Orez. 94

10.3 Semn de perpendicularitate a planurilor

Să începem cu exemple practice. Planul unei uși atârnat pe un jamb perpendicular pe podea este perpendicular pe planul podelei în orice poziție a ușii (Fig. 95). Când doresc să verifice dacă o suprafață plană (perete, gard etc.) este instalată pe verticală, fac acest lucru folosind un plumb - o frânghie cu sarcină. Plumbul este întotdeauna îndreptat vertical, iar peretele stă vertical dacă plumbul, situat de-a lungul acestuia, nu se abate. Aceste exemple ne spun următorul semn simplu al perpendicularității planelor: dacă un plan trece printr-o perpendiculară pe un alt plan, atunci aceste planuri sunt reciproc perpendiculare.

Orez. 95

Dovada. Fie planul α să conţină o dreaptă a perpendiculară pe planul β (vezi Fig. 92). Apoi linia dreaptă a intersectează planul β într-un punct O. Punctul O se află pe dreapta c de-a lungul căreia planele α și β se intersectează. Să trasăm o dreaptă b în planul β prin punctul O, perpendicular pe dreapta c. Deoarece a ⊥ β, atunci a ⊥ b și a ⊥ c. Aceasta înseamnă că unghiurile liniare ale unghiurilor diedrice formate prin intersectarea planelor α și β sunt drepte. Prin urmare, planurile α și β sunt reciproc perpendiculare.

Rețineți că fiecare două dintre cele trei drepte a, b și c, luate în considerare acum (vezi Fig. 92), sunt reciproc perpendiculare. Dacă construim o altă dreaptă care trece prin punctul O și perpendiculară pe două dintre aceste trei drepte, atunci aceasta va coincide cu a treia dreaptă. Acest fapt vorbește despre tridimensionalitatea spațiului din jurul nostru: nu există o a patra dreaptă perpendiculară pe fiecare dintre liniile a, b și c.

Întrebări pentru autocontrol

Cum se calculează unghiul diedrului?
Cum se calculează unghiul dintre planuri?
Ce planuri se numesc reciproc perpendiculare?
Ce proprietăți ale planurilor reciproc perpendiculare cunoașteți?
Ce semn de perpendicularitate a planurilor cunoașteți?

Sarcina nr. 4.

Sarcina nr. 3.

Sarcina nr. 2.

Sarcina nr. 1.

Formarea unui desen complex (diagramă)

Pentru confortul utilizării imaginilor rezultate din sistemul spațial de planuri, să trecem la cel planar.

Pentru aceasta:

1. Aplicați metoda de rotire a planului p 1 în jurul axei X până când acesta se aliniază cu planul p 2 (Fig. 2.7)

2. Combinați planurile p 1 și p 2 într-un singur plan de desen (Fig. 2.8)


Orez. 2.7	Orez. 2.8

Proiecțiile A 1 și A 2 sunt situate pe aceeași linie de legătură perpendiculară pe axa X. Această linie se numește linie de legătură de proiecție (Fig. 2.9).

Deoarece planul de proiecție este considerat infinit în spațiu, limitele planului p 1, p 2 nu trebuie descrise (Fig. 2.10).

Ca urmare a combinării planurilor p 1 și p 2 se obține un desen sau diagramă complex (din desenul francez epure), adică. desen în sistemul p 1 şi p 2 sau în sistemul a două planuri de proiecţie. După ce am înlocuit imaginea vizuală cu o diagramă, am pierdut imaginea spațială a locației planurilor și punctelor de proiecție. Dar diagramele oferă acuratețe și imagini ușor de măsurat, cu o simplitate semnificativă a construcției. Pentru a imagina o imagine spațială dintr-o diagramă necesită munca de imaginație: de exemplu, conform fig. 2.11 trebuie să vă imaginați imaginea prezentată în Fig. 2.12.

Dacă în desenul complex există o axă de proiecție de-a lungul proiecțiilor A 1 și A 2, puteți stabili poziția punctului A în raport cu p 1 și p 2 (vezi Fig. 2.5 și 2.6). Comparând Fig. 2.11 și 2.12 este ușor de stabilit că segmentul A 2 A X este distanța de la punctul A la planul p 1, iar segmentul A 1 A X este distanța de la punctul A la p 2. Locația lui A2 deasupra axei de proiecție înseamnă că punctul A este situat deasupra planului p1. Dacă A 1 pe diagramă este situat sub axa de proiecție, atunci punctul A se află în fața planului p 2. Astfel, proiecția orizontală a imaginii geometrice determină poziția acesteia față de planul frontal al proiecțiilor p 2 , iar proiecția frontală a imaginii geometrice - față de planul orizontal al proiecțiilor p 1 .


Orez. 2.11	Orez. 2.12

§ 4. Caracteristicile poziţiei unui punct în sistemul p 1 şi p 2

Un punct definit în spațiu poate avea poziții diferite față de planurile de proiecție (Fig. 2.13).

Să luăm în considerare posibilele opțiuni pentru locația unui punct în spațiul primului trimestru:

1. Un punct este situat în spațiul primului sfert la orice distanță față de axa X și planele p 1 p 2, de exemplu, punctele A, B (astfel de puncte se numesc puncte de poziție generală) (Fig. 2.14 și Fig. 2.15).

3. Punctul K aparține simultan atât planului p 1 cât și p 2, adică aparține axei X (Fig. 2.18):

Pe baza celor de mai sus, putem trage următoarea concluzie:

1. Dacă un punct este situat în spațiul primului sfert, atunci proiecția sa A 2 este situată deasupra axei X, iar A 1 este sub axa X; A 2 A 1 – se află pe aceeași perpendiculară (linie de legătură) pe axa X (Fig. 2.14).

2. Dacă un punct aparține planului p 2, atunci proiecția lui C 2 C (coincide cu punctul C însuși) și proiecția C 1 X (aparține axei X) și coincide cu C X: C 1 C X.

3. Dacă un punct aparține planului p 1, atunci proiecția lui D 1 pe acest plan coincide cu punctul D D 1 însuși, iar proiecția D 2 aparține axei X și coincide cu D X: D 2 D X.

4. Dacă un punct aparține axei X, atunci toate proiecțiile sale coincid și aparțin axei X: K K 1 K 2 K X.

Exercițiu:

1. Caracterizați poziția punctelor în spațiul primului sfert (Fig. 2.19).

2. Construiți o imagine vizuală și un desen cuprinzător al punctului conform descrierii:

a) punctul C este situat în primul sfert și este echidistant de planele p 1 și p 2.

b) punctul M aparține planului p 2.

c) punctul K este situat în primul sfert, iar distanța sa la p 1 este de două ori mai mare decât la planul p 2.

d) punctul L aparține axei X.

3. Construiți un desen complex al unui punct conform descrierii:

a) punctul P este situat în primul sfert, iar distanța sa față de planul p 2 este mai mare decât față de planul p 1.

b) punctul A este situat în primul sfert și distanța sa față de planul p 1 este de 3 ori mai mare decât față de planul p 2.

c) punctul B este situat în primul sfert, iar distanța sa față de plan este p 1 =0.

4. Comparați poziția punctelor față de planurile de proiecție p 1 și p 2 și între ele. Comparația se face pe baza caracteristicilor sau trăsăturilor. Pentru puncte, aceste caracteristici sunt distanța până la planele p 1; p 2 (Fig. 2.20).

Aplicarea teoriei de mai sus la construirea imaginilor unui punct poate fi realizată în diferite moduri:

cuvinte (verbal);
grafic (desene);
imagine vizuală (volumică);
plană (desen complex).

Capacitatea de a traduce informații de la o metodă la alta contribuie la dezvoltarea gândirii spațiale, de ex. de la verbal la vizual (volumeric), apoi la planar și invers.

Să ne uităm la asta cu exemple (Tabelul 2.1 și Tabelul 2.2).

Tabelul 2.1

Exemplu de imagine cu puncte
într-un sistem de două planuri de proiecţie

Sferturi de spațiu	Reprezentare vizuala	Desen complex	Semne caracteristice
eu			Proiecția frontală a punctului A deasupra axei X, proiecția orizontală a punctului A sub axa X
II			Proiecții frontale și orizontale ale punctului B deasupra axei X
III			Proiecția frontală a punctului C sub axa X, proiecția orizontală a punctului C deasupra axei X
IV			Proiecții frontale și orizontale ale punctului D sub axa X

Tabelul 2.2

Un exemplu de imagine a punctelor aparținând planurilor p 1 și p 2

Poziția punctului	Reprezentare vizuala	Desen complex	Semne caracteristice
Punctul A aparține planului p 1			A 1 – sub axa X, A 2 – pe axa X
Punctul B aparține planului p 1			B 1 – deasupra axei X, B 2 – pe axa X
Punctul C aparține planului p2			C 2 – deasupra axei X, C 1 – pe axa X
Punctul D aparține planului p 2			D 1 – pe axa X, D 2 – sub axa X
Punctul E aparține axei X			E 1 coincide cu E 2 și aparține axei X

Construiți un desen complex al punctului A dacă:

1. Punctul este situat în trimestrul II și este echidistant de planele p 1 și p 2.

2. Punctul este situat în al treilea sfert, iar distanța sa față de planul p 1 este de două ori mai mare decât față de planul p 2.

3. Punctul este situat în sfertul IV, iar distanța sa față de planul p1 este mai mare decât față de planul p2.

Determinați în ce sferturi sunt situate punctele (Fig. 2.21).

1. Construiți o imagine vizuală a punctelor din sferturi:

a) A – pozitia generala in trimestrul III;

b) B – pozitie generala in trimestrul IV;

c) C – în al doilea trimestru, dacă distanța sa de p 1 este 0;

d) D – în primul trimestru, dacă distanța sa față de p 2 este 0.

Construiți un desen complex al punctelor A, B, C, D (vezi sarcina 3).

În practică, cercetare și imagistică, un sistem de două planuri reciproc perpendiculare nu oferă întotdeauna posibilitatea unei soluții clare. Deci, de exemplu, dacă mutați punctul A de-a lungul axei X, imaginea acestuia nu se va schimba.

Poziția punctului în spațiu (Fig. 2.22) s-a schimbat (Fig. 2.24), dar imaginile din desenul complex rămân neschimbate (Fig. 2.23 și Fig. 2.25).


Orez. 2.22	Orez. 2.23

Orez. 2.24	Orez. 2.25

Pentru a rezolva această problemă, se introduce un sistem de trei plane reciproc perpendiculare, deoarece atunci când se întocmesc desene, de exemplu, mașini și părțile lor, nu sunt necesare două, ci mai multe imagini. Pe această bază, în unele construcții la rezolvarea problemelor, este necesar să se introducă p 1, p 2 și alte planuri de proiecție în sistem.

Aceste planuri împart întreg spațiul în părți VIII, care se numesc octanți (din latinescul okto eight). Avioanele nu au grosime, sunt opace și infinite. Observatorul este situat în primul sfert (pentru sistemele p 1, p 2) sau primul octant (pentru sistemele p 1, p 2, p 3) la o distanță infinită de planurile de proiecție.

§ 6. Punct în sistem p 1, p 2, p 3

Construcția proiecțiilor unui anumit punct A, situat în primul octant, pe trei plane reciproc perpendiculare p 1, p 2, p 3 este prezentată în Fig. 2.27. Folosind combinarea planurilor de proiecție cu planul p 2 și folosind metoda de rotire a planurilor, obținem un desen complex al punctului A (Fig. 2.28):

AA 1 ^ p 1 ; AA 2 ^ p 2 ; AA 3 ^ p 3,

unde A 3 – proiecția de profil a punctului A; А Х, А y, А Z – proiecțiile axiale ale punctului A.

Proiecțiile A1, A2, A3 se numesc, respectiv, proiecția frontală, orizontală și de profil a punctului A.


Orez. 2.27	Orez. 2.28

Planurile de proiecție, care se intersectează în perechi, definesc trei axe x, y, z, care pot fi considerate ca un sistem de coordonate carteziene: axa X numită axa absciselor, axa y– axă de ordonate, axă Z– axa aplicată, punctul de intersecție a axelor, notat cu literă DESPRE, este originea coordonatelor.

Astfel, privitorul care se uită la obiect se află în primul octant.

Pentru a obține un desen complex, aplicăm metoda de rotire a planurilor p 1 și p 3 (după cum se arată în Fig. 2.27) până când sunt aliniate cu planul p 2. Vederea finală a tuturor planurilor din primul octant este prezentată în Fig. 2.29.

Să ne uităm la Fig. 2.30, unde este punctul din spațiu A, dat de coordonatele (5,4,6). Aceste coordonate sunt pozitive, iar ea însăși se află în primul octant. Construcția unei imagini a punctului în sine și a proiecțiilor sale pe un model spațial se realizează folosind un paralelogram dreptunghiular de coordonate. Pentru a face acest lucru, trasăm segmente pe axele de coordonate, corespunzătoare segmentelor de lungime: Oh! = 5, Oai = 4, OAz= 6. Pe aceste segmente ( ОАx, ОАy, ОАz), ca și pe margini, construim un paralelipiped dreptunghiular. Unul dintre vârfurile sale va defini un punct dat A.