Cel mai mult în ec. În practică, trebuie să folosim media aritmetică, care poate fi calculată ca medie aritmetică simplă și ponderată.

Media aritmetică (CA)-n cel mai comun tip de mediu. Este utilizat în cazurile în care volumul unui atribut variabil pentru întreaga populație este suma valorilor atributelor unităților sale individuale. Fenomenele sociale sunt caracterizate prin aditivitatea (sumarea) volumelor atributului variabil, aceasta determină domeniul de aplicare al SA și explică prevalența acestuia ca indicator de generalizare, de exemplu: fondul general de salarii este suma salariului tuturor angajaţilor.

Pentru a calcula SA, trebuie să împărțiți suma tuturor valorilor caracteristicilor la numărul lor. SA este folosit sub 2 forme.

Luați în considerare mai întâi media aritmetică simplă.

1-CA simplu (forma inițială, definitorie) este egală cu suma simplă a valorilor individuale ale caracteristicii medii, împărțită la numărul total al acestor valori (utilizat atunci când există valori de index negrupate ale caracteristicii):

Calculele efectuate pot fi rezumate în următoarea formulă:

(1)

Unde - valoarea medie a atributului variabil, adică media aritmetică simplă;

înseamnă sumare, adică adăugarea de caracteristici individuale;

X- valorile individuale ale unui atribut variabil, care se numesc variante;

n - numărul de unități de populație

Exemplul 1, se cere să se afle producția medie a unui muncitor (lăcătuș), dacă se știe câte piese a produs fiecare dintre cei 15 muncitori, adică. dat un număr de ind. valori trasaturi, buc.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

SA simplă se calculează prin formula (1), buc.:

Exemplul 2. Să calculăm SA pe baza datelor condiționate pentru 20 de magazine care fac parte dintr-o societate comercială (Tabelul 1). tabelul 1

Repartizarea magazinelor firmei comerciale „Vesna” pe suprafata comerciala, mp. M

numărul magazinului		numărul magazinului

Pentru a calcula suprafața medie a magazinului ( ) este necesar să se adună suprafețele tuturor magazinelor și să se împartă rezultatul la numărul de magazine:

Astfel, suprafața medie a magazinului pentru acest grup de întreprinderi comerciale este de 71 mp.

Prin urmare, pentru a determina SA este simplu, este necesar să se împartă suma tuturor valorilor unui anumit atribut la numărul de unități care au acest atribut.

2

Unde f 1 , f 2 , … ,f n – greutatea (frecvența de repetare a acelorași caracteristici);

este suma produselor mărimii caracteristicilor și frecvențele acestora;

este numărul total de unități de populație.

- ponderat SA - Cu mijlocul opțiunilor, care se repetă de un număr diferit de ori sau despre care se spune că au greutăți diferite. Greutățile sunt numărul de unități în grupuri diferite agregate (aceleași opțiuni sunt combinate într-un grup). ponderat SA – media valorilor grupate X 1 , X 2 , .., X n – calculat: (2)

Unde X- Opțiuni;

f- frecventa (greutatea).

SA ponderat este coeficientul de împărțire a sumei produselor variantelor și a frecvențelor corespunzătoare acestora la suma tuturor frecvențelor. Frecvențe ( f) care apar în formula SA se numesc de obicei cântare, în urma căruia SA calculată ținând cont de ponderi se numește SA ponderată.

Vom ilustra tehnica de calcul a SA ponderat folosind exemplul 1 considerat mai sus. Pentru a face acest lucru, grupăm datele inițiale și le plasăm în Tabel.

Media datelor grupate se determină astfel: mai întâi se înmulțesc variantele cu frecvențele, apoi se adună produsele și se împarte suma rezultată la suma frecvențelor.

Conform formulei (2), SA ponderat este, buc.:

Repartizarea muncitorilor pentru dezvoltarea pieselor

P

datele date în exemplul anterior 2 pot fi combinate în grupuri omogene, care sunt prezentate în tabel. Masa

Distributia magazinelor Vesna pe spatii comerciale, mp. m

Astfel, rezultatul este același. Cu toate acestea, aceasta va fi deja media ponderată aritmetică.

În exemplul anterior, am calculat media aritmetică, cu condiția ca frecvențele absolute (numărul de magazine) să fie cunoscute. Cu toate acestea, în unele cazuri nu există frecvențe absolute, dar frecvențele relative sunt cunoscute sau, așa cum sunt numite în mod obișnuit, frecvenţe care arată proporţia sau proporţia frecvenţelor în întreaga populaţie.

La calcularea utilizării ponderate SA frecvente vă permite să simplificați calculele atunci când frecvența este exprimată în numere mari, cu mai multe cifre. Calculul se face în același mod, însă, deoarece valoarea medie este crescută de 100 de ori, rezultatul trebuie împărțit la 100.

Apoi formula pentru media ponderată aritmetică va arăta astfel:

Unde d- frecvență, adică ponderea fiecărei frecvențe în suma totală a tuturor frecvențelor.

(3)

În exemplul nostru 2, determinăm mai întâi ponderea magazinelor pe grupuri în numărul total de magazine ale companiei „Primăvara”. Deci, pentru primul grup, greutatea specifică corespunde la 10%
. Obținem următoarele date Tabelul 3

În pregătirea pentru finalizarea cu succes a Problemei 19 din partea 3, trebuie să cunoașteți câteva funcții Excel. Una dintre aceste funcții este IN MEDIE. Să o luăm în considerare mai detaliat.

excela vă permite să găsiți media aritmetică a argumentelor. Sintaxa pentru această funcție este:

MEDIE(număr1, [număr2],…)

Nu uitați că introducerea unei formule într-o celulă începe cu semnul „=".

Între paranteze, putem enumera numerele a căror medie dorim să aflăm. De exemplu, dacă scriem într-o celulă =MEDIE(1, 2, -7, 10, 7, 5, 9), apoi obținem 3,857142857. Acest lucru este ușor de verificat - dacă adunăm toate numerele dintre paranteze (1 + 2 + (-7) + 10 + 7 + 5 + 9 = 27) și împărțim la numărul lor (7), obținem 3,857142857142857.

Observați numerele din paranteze separate prin punct și virgulă (; ). Astfel, putem specifica până la 255 de numere.

De exemplu, folosesc Microsort Excel 2010.

În plus, cu ajutorul Funcții MEDIE noi putem gasi valoarea medie a unui interval de celule. Să presupunem că avem câteva numere stocate în intervalul A1:A7 și dorim să găsim media lor aritmetică.

Să punem în celula B1 media aritmetică a intervalului A1:A7. Pentru a face acest lucru, plasați cursorul în celula B1 și scrieți =MEDIE(A1:A7). În paranteze am indicat intervalul de celule. Rețineți că delimitatorul este caracterul colon (: ). Ar fi și mai ușor de făcut - scrieți în celula B1 =MEDIE(, apoi selectați intervalul dorit cu mouse-ul.

Ca rezultat, în celula B1 vom obține numărul 15.85714286 - aceasta este media aritmetică a intervalului A1:A7.

Ca o încălzire, îmi propun să găsim valoarea medie a numerelor de la 1 la 100 (1, 2, 3 etc. până la 100). Prima persoană care răspunde corect în comentarii va primi 50 de ruble la telefon. Lucrăm.

Conceptul de medie aritmetică înseamnă rezultatul unei succesiuni simple de calcule a valorii medii pentru o serie de numere determinate în prealabil. Trebuie remarcat faptul că această valoare este utilizată în prezent pe scară largă de către specialiștii dintr-o serie de industrii. De exemplu, formulele sunt cunoscute atunci când se fac calcule de către economiști sau lucrători din industria statistică, unde se cere să aibă o valoare de acest tip. În plus, acest indicator este utilizat în mod activ într-o serie de alte industrii care sunt legate de cele de mai sus.

Una dintre caracteristicile calculării acestei valori este simplitatea procedurii. Efectuați calcule oricine poate. Pentru aceasta nu este nevoie să aveți educatie speciala. Adesea nu este nevoie să folosiți tehnologia computerizată.

Ca răspuns la întrebarea cum să găsiți media aritmetică, luați în considerare o serie de situații.

Cel mai simplu mod de a calcula această valoare este să o calculezi pentru două numere. Procedura de calcul în acest caz este foarte simplă:

1. Inițial, este necesar să se efectueze operația de adăugare a numerelor selectate. Acest lucru se poate face adesea, după cum se spune, manual, fără a utiliza echipamente electronice.
2. După ce se face adăugarea și se obține rezultatul acesteia, este necesar să se împartă. Această operație presupune împărțirea sumei a două numere adăugate la două - numărul de numere adăugate. Această acțiune vă va permite să obțineți valoarea necesară.

Formulă

Astfel, formula pentru calcularea valorii necesare în cazul a două va arăta astfel:

(A+B)/2

Această formulă folosește următoarea notație:

A și B sunt numere preselectate pentru care trebuie să găsiți o valoare.

Găsirea unei valori pentru trei

Calculul acestei valori într-o situație în care sunt selectate trei numere nu va diferi mult de opțiunea anterioară:

1. Pentru a face acest lucru, selectați numerele necesare în calcul și adăugați-le pentru a obține totalul.
2. După ce se găsește această sumă de trei, este necesar să se efectueze din nou procedura de împărțire. În acest caz, suma rezultată trebuie împărțită la trei, ceea ce corespunde numărului de numere selectate.

Formulă

Astfel, formula necesară la calcularea aritmeticii trei va arăta astfel:

(A+B+C)/3

În această formulă a fost adoptată următoarea notație:

A, B și C sunt numerele la care va fi necesar să se găsească media aritmetică.

Calcularea mediei aritmetice a patru

După cum sa văzut deja prin analogie cu opțiunile anterioare, calculul acestei valori pentru o sumă egală cu patru va fi de următoarea ordine:

1. Sunt selectate patru cifre pentru care se calculează media aritmetică. În continuare, se efectuează însumarea și găsirea rezultatului final al acestei proceduri.
2. Acum, pentru a obține rezultatul final, ar trebui să luați suma rezultată de patru și să o împărțiți la patru. Datele primite vor fi valoarea cerută.

Formulă

Din succesiunea de acțiuni descrisă mai sus pentru găsirea mediei aritmetice pentru patru, puteți obține următoarea formulă:

(A+B+C+E)/4

În această formulă variabilele au urmatoarea semnificatie:

A, B, C și E sunt cele pentru care trebuie să găsiți valoarea mediei aritmetice.

Folosind această formulă, va fi întotdeauna posibil să se calculeze valoarea necesară pentru un anumit număr de numere.

Calcularea mediei aritmetice a lui cinci

Efectuarea acestei operațiuni va necesita un anumit algoritm de acțiuni.

1. În primul rând, trebuie să selectați cinci numere pentru care se va calcula media aritmetică. După această selecție, aceste numere, ca și în opțiunile anterioare, trebuie doar să adunați și să obțineți suma finală.
2. Suma rezultată va trebui împărțită la numărul lor la cinci, ceea ce vă va permite să obțineți valoarea necesară.

Formulă

Astfel, similar opțiunilor luate în considerare anterior, obținem următoarea formulă de calcul a mediei aritmetice:

(A+B+C+E+P)/5

În această formulă, variabilele au următoarea notație:

A, B, C, E și P sunt numerele pentru care doriți să obțineți media aritmetică.

Formula universală de calcul

Efectuarea unei revizuiri diverse opțiuni formule pentru a calcula media aritmetică, poți fi atent la faptul că au un model comun.

Prin urmare, va fi mai practic să se aplice formula generală pentru găsirea mediei aritmetice. La urma urmei, există situații în care numărul și dimensiunea calculelor pot fi foarte mari. Prin urmare, ar fi mai înțelept să folosiți o formulă universală și să nu deduceți de fiecare dată o tehnologie individuală pentru a calcula această valoare.

Principalul lucru în determinarea formulei este principiul calculului mediei aritmetice O.

Acest principiu, așa cum s-a văzut din exemplele de mai sus, arată astfel:

1. Numărul de numere care sunt specificate pentru a obține valoarea necesară este numărat. Această operațiune poate fi efectuată atât manual cu un număr mic de numere, cât și cu ajutorul tehnologiei informatice.
2. Numerele selectate sunt însumate. Această operație în majoritatea situațiilor se realizează folosind tehnologia computerizată, deoarece numerele pot consta din două, trei sau mai multe cifre.
3. Suma obținută prin adăugarea numerelor selectate trebuie împărțită la numărul acestora. Această valoare este determinată în etapa inițială a calculării mediei aritmetice.

Astfel, formula generală pentru calcularea mediei aritmetice a unei serii de numere selectate va arăta astfel:

(А+В+…+N)/N

Această formulă conține urmatoarele variabile:

A și B sunt numere care sunt alese în avans pentru a-și calcula media aritmetică.

N este numărul de numere care au fost luate pentru a calcula valoarea necesară.

Înlocuind de fiecare dată numerele selectate în această formulă, putem obține întotdeauna valoarea necesară a mediei aritmetice.

Așa cum se vede, aflarea mediei aritmetice este o procedură ușoară. Cu toate acestea, trebuie să fii atent la calcule și să verifici rezultatul obținut. Această abordare se explică prin faptul că, chiar și în cele mai simple situații, există posibilitatea de a obține o eroare, care poate afecta apoi calculele ulterioare. În acest sens, se recomandă utilizarea tehnologiei informatice capabile să facă calcule de orice complexitate.

Cel mai comun tip de medie este media aritmetică.

medie aritmetică simplă

Media aritmetică simplă este termenul mediu, în determinarea căruia volumul total al unui anumit atribut din date este distribuit în mod egal între toate unitățile incluse în această populație. Astfel, producția medie anuală per muncitor este o astfel de valoare a volumului de producție care ar cădea asupra fiecărui angajat dacă întregul volum de producție ar fi distribuit în mod egal între toți angajații organizației. Valoarea medie aritmetică simplă se calculează cu formula:

medie aritmetică simplă- Egal cu raportul dintre suma valorilor individuale ale unei caracteristici și numărul de caracteristici în agregat

Exemplul 1 . O echipă de 6 muncitori primește 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 mii de ruble pe lună.

Găsiți salariul mediu
Rezolvare: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 mii de ruble.

Media ponderată aritmetică

Dacă volumul setului de date este mare și reprezintă o serie de distribuție, atunci se calculează o medie aritmetică ponderată. Așa se determină prețul mediu ponderat pe unitatea de producție: costul total de producție (suma produselor cantității sale și prețul unei unități de producție) se împarte la cantitatea totală de producție.

Reprezentăm acest lucru sub forma următoarei formule:

Media aritmetică ponderată- este egal cu raportul (suma produselor valorii atributului la frecvența de repetare a acestui atribut) cu (suma frecvențelor tuturor atributelor).Se folosește atunci când variantele populației studiate apar o inegală număr de ori.

Exemplul 2 . Găsiți salariul mediu lunar al lucrătorilor din magazine

Salariul mediu poate fi obținut prin împărțirea totalului salariile pentru numărul total de lucrători:

Răspuns: 3,35 mii de ruble.

Media aritmetică pentru o serie de intervale

Atunci când se calculează media aritmetică pentru o serie de variații de interval, media pentru fiecare interval este mai întâi determinată ca jumătate de sumă a limitelor superioare și inferioare și apoi media întregii serii. În cazul intervalelor deschise, valoarea intervalului inferior sau superior este determinată de valoarea intervalelor adiacente acestora.

Mediile calculate din serii de intervale sunt aproximative.

Exemplul 3. Determinați vârsta medie a studenților la catedra de seară.

Mediile calculate din serii de intervale sunt aproximative. Gradul de aproximare a acestora depinde de măsura în care distribuția efectivă a unităților de populație în cadrul intervalului se apropie de uniformă.

Când se calculează medii, nu numai valorile absolute, ci și valorile relative (frecvența) pot fi folosite ca ponderi:

Media aritmetică are o serie de proprietăți care dezvăluie mai pe deplin esența sa și simplifică calculul:

1. Produsul mediei și suma frecvențelor este întotdeauna egal cu suma produselor variantei și frecvențelor, i.e.

2. Media aritmetică a sumei valorilor diferite este egală cu suma mediei aritmetice a acestor valori:

3. Suma algebrică a abaterilor valorilor individuale ale atributului de la medie este zero:

4. Suma abaterilor pătrate ale opțiunilor de la medie este mai mică decât suma abaterilor pătrate de la orice altă valoare arbitrară, i.e.

Să presupunem că trebuie să găsiți numărul mediu de zile în care sarcinile trebuie îndeplinite de diferiți angajați. Sau doriți să calculați un interval de timp de 10 ani Temperatura medie într-o anumită zi. Calcularea valorii medii a unei serii de numere în mai multe moduri.

Media este o funcție a măsurării tendinței centrale, care este centrul unei serii de numere dintr-o distribuție statistică. Cele mai comune trei criterii pentru tendința centrală sunt.

In medie Media aritmetică se calculează adunând o serie de numere și apoi împărțind numărul acestor numere. De exemplu, media 2, 3, 3, 5, 7 și 10 are 30 împărțit la 6, 5;

Median Numărul mijlociu al unei serii de numere. Jumătate dintre numere au valori care sunt mai mari decât mediana, iar jumătate dintre numere au valori care sunt mai mici decât mediana. De exemplu, mediana lui 2, 3, 3, 5, 7 și 10 este 4.

Modul Numărul care apare cel mai frecvent într-un grup de numere. De exemplu, modul 2, 3, 3, 5, 7 și 10 - 3.

Aceste trei măsuri ale tendinței centrale a distribuției simetrice a unei serii de numere sunt una și aceeași. Într-o distribuție asimetrică a unui număr de numere, acestea pot fi diferite.

Calculați valoarea medie a celulelor situate continuu pe un rând sau pe o coloană

Urmează următoarele instrucțiuni.

Calcularea mediei celulelor împrăștiate

Pentru a îndeplini această sarcină, utilizați funcția IN MEDIE. Copiați tabelul de mai jos pe o foaie goală.

Calcularea mediei ponderate

SUMPRODUSȘi sume. vAcest exemplu calculează prețul unitar mediu plătit pentru trei achiziții, în care fiecare achiziție este pentru un număr diferit de unități de măsură la prețuri unitare diferite.

Copiați tabelul de mai jos pe o foaie goală.

Calcularea valorii medii a numerelor, ignorând valorile zero

Pentru a îndeplini această sarcină, utilizați funcțiile IN MEDIEȘi Dacă. Copiați tabelul de mai jos și rețineți că în acest exemplu, pentru a fi mai ușor de înțeles, copiați-l pe o foaie goală.