Maktformler brukes i prosessen med å redusere og forenkle komplekse uttrykk, i å løse likninger og ulikheter.

Antall c er n-te potens av et tall en Når:

Operasjoner med grader.

1. Ved å multiplisere grader med samme base, summerer indikatorene deres:

en ma n = a m + n .

2. I delingen av grader med samme base trekkes indikatorene deres:

3. Graden av produktet av 2 eller flere faktorer er lik produktet av gradene av disse faktorene:

(abc...) n = a n b n c n …

4. Graden av en brøk er lik forholdet mellom gradene av utbytte og divisor:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ved å heve en potens til en potens multipliseres eksponentene:

(am) n = a m n .

Hver formel ovenfor er riktig i retningene fra venstre til høyre og omvendt.

For eksempel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasjoner med røtter.

1. Roten til produktet av flere faktorer er lik produktet av røttene til disse faktorene:

2. Roten av forholdet er lik forholdet mellom utbyttet og divisoren til røttene:

3. Når du hever en rot til en potens, er det nok å heve rottallet til denne potensen:

4. Hvis vi øker graden av roten i n en gang og samtidig heve til n potensen er et radikalt tall, så vil verdien av roten ikke endres:

5. Hvis vi reduserer graden av roten i n rot på samme tid n grad fra det radikale tallet, vil verdien av roten ikke endres:

Grad med negativ eksponent. Graden av et tall med en ikke-positiv (heltalls) eksponent er definert som en delt på graden av samme tall med en eksponent lik den absolutte verdien av den ikke-positive eksponenten:

Formel en m:a n = a m - n kan brukes ikke bare til m> n, men også kl m< n.

For eksempel. en4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Til formel en m:a n = a m - n ble rettferdig kl m=n, trenger du tilstedeværelsen av nullgraden.

Grad med null eksponent. Potensen til ethvert tall som ikke er null med en nulleksponent er lik én.

For eksempel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad med en brøkeksponent. For å heve et reelt tall EN til en grad m/n, må du trekke ut roten n grad av m potens av dette tallet EN.

Når tallet multipliserer seg selv Til megselv, arbeid kalt grad.

Så 2,2 = 4, kvadrat eller andre potens av 2
2.2.2 = 8, terning eller tredje potens.
2.2.2.2 = 16, fjerde grad.

Dessuten er 10,10 = 100, andre potens er 10.
10.10.10 = 1000, tredje grad.
10.10.10.10 = 10000 fjerde grad.

Og a.a = aa, andre potens av a
a.a.a = aaa, tredje potens av a
a.a.a.a = aaaa, fjerde potens av a

Det opprinnelige nummeret kalles rot grader av det tallet, fordi det er tallet som gradene ble opprettet fra.

Det er imidlertid ikke særlig hensiktsmessig, spesielt ved høye krefter, å skrive ned alle faktorene som utgjør kreftene. Derfor brukes en forkortet notasjonsmetode. Roten til graden skrives bare én gang, og til høyre og litt høyere ved siden av, men med litt mindre skrift skrives det hvor mange ganger roten fungerer som en faktor. Dette tallet eller bokstaven kalles eksponent eller grad tall. Så en 2 er lik a.a eller aa, fordi roten til a må multipliseres med seg selv to ganger for å få kraften til aa. Dessuten betyr en 3 aaa, det vil si at her gjentas a tre ganger som en multiplikator.

Eksponenten for første potens er 1, men den skrives vanligvis ikke ned. Så en 1 skrives som en.

Du bør ikke forveksle grader med koeffisienter. Koeffisienten viser hvor ofte verdien tas som Del hel. Eksponenten angir hvor ofte verdien tas som faktor i arbeidet.
Så, 4a = a + a + a + a. Men en 4 = a.a.a.a

Den eksponentielle notasjonen har den særegne fordelen at den lar oss uttrykke ukjent grad. For dette formålet skrives eksponenten i stedet for et tall brev. I prosessen med å løse problemet kan vi få en verdi som, som vi vet, er noen grad av en annen størrelsesorden. Men så langt vet vi ikke om det er en firkant, en kube eller en annen høyere grad. Så i uttrykket a x betyr eksponenten at dette uttrykket har noen grad, men ikke definert hvilken grad. Så b m og d n heves til potensene m og n. Når eksponenten er funnet, Antall erstattet et brev. Så hvis m=3, så er b m = b 3 ; men hvis m = 5 så er b m =b 5 .

Metoden for å skrive verdier med eksponenter er også en stor fordel ved bruk uttrykkene. Således er (a + b + d) 3 (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), det vil si kuben til trinomialet (a + b + d) . Men hvis vi skriver dette uttrykket etter cubed, vil det se ut som
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Hvis vi tar en rekke potenser hvis eksponenter øker eller reduseres med 1, finner vi at produktet øker med fellesfaktor eller redusert med felles deler, og denne faktoren eller divisoren er det opprinnelige tallet som heves til en potens.

Så, i serien aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
eller a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 ;
indikatorer, hvis de telles fra høyre til venstre, er 1, 2, 3, 4, 5; og forskjellen mellom verdiene deres er 1. Hvis vi begynner til høyre multiplisere på a, vil vi lykkes med å få flere verdier.

Så a.a = a 2 , andre ledd. Og en 3 .a = en 4
a 2 .a = a 3 , tredje ledd. a 4 .a = a 5 .

Hvis vi begynner venstre dele opp på en,
vi får en 5:a = a 4 og en 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Men en slik delingsprosess kan fortsettes videre, og vi får et nytt verdisett.

Så, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Hele raden vil være: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Eller a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Her verdier til høyre fra enhet er omvendt verdier til venstre for en. Derfor kan disse gradene kalles inverse potenser en. Man kan også si at potensene til venstre er det motsatte av potensene til høyre.

Så, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Og 1:(1/a 3) = a 3 .

Den samme opptaksplanen kan brukes på polynomer. Så for a + b får vi et sett,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3.

For enkelhets skyld brukes en annen form for å skrive omvendte potenser.

I henhold til denne formen er 1/a eller 1/a 1 = a -1 . Og 1/aaa eller 1/a 3 = a -3 .
1/aa eller 1/a 2 = a -2. 1/aaaa eller 1/a 4 = a -4 .

Og for å få eksponentene til å fullføre serier med 1 som total forskjell, regnes a/a eller 1 som en slik som ikke har noen grad og skrives som en 0 .

Deretter tar du hensyn til de direkte og inverse potensene
i stedet for aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
du kan skrive en 4, en 3, en 2, en 1, en 0, en -1, en -2, en -3, en -4.
Eller a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

Og en serie med kun separat tatt grader vil ha formen:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Roten til graden kan uttrykkes med mer enn én bokstav.

Dermed er aa.aa eller (aa) 2 andre potens av aa.
Og aa.aa.aa eller (aa) 3 er tredje potens av aa.

Alle grader av tallet 1 er de samme: 1.1 eller 1.1.1. vil være lik 1.

Eksponentiering er å finne verdien av et hvilket som helst tall ved å multiplisere det tallet med seg selv. Eksponentieringsregel:

Multipliser verdien med seg selv så mange ganger som angitt i potensen til tallet.

Denne regelen er felles for alle eksempler som kan oppstå i eksponentieringsprosessen. Men det vil være riktig å forklare hvordan det gjelder i spesielle tilfeller.

Hvis bare ett ledd heves til en potens, multipliseres det med seg selv så mange ganger som eksponenten indikerer.

Den fjerde potensen a er en 4 eller aaaa. (Art. 195.)
Den sjette potensen av y er y 6 eller yyyyyy.
Den n-te potensen av x er x n eller xxx..... n ganger gjentatt.

Dersom det er nødvendig å heve et uttrykk for flere begreper til en makt, prinsippet om at graden av produktet av flere faktorer er lik produktet av disse faktorene hevet til en potens.

Så (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Men ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Så, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Derfor, når vi finner graden av et produkt, kan vi enten operere på hele produktet samtidig, eller vi kan operere på hver faktor separat, og deretter multiplisere verdiene deres med grader.

Eksempel 1. Den fjerde potensen av dhy er (dhy) 4 , eller d 4 h 4 y 4 .

Eksempel 2. Den tredje potensen av 4b er (4b) 3 , eller 4 3 b 3 , eller 64b 3 .

Eksempel 3. Den n-te potensen av 6ad er (6ad) n eller 6 n a n d n .

Eksempel 4. Den tredje potensen av 3m.2y er (3m.2y) 3, eller 27m 3 .8y 3.

Graden av et binomial, som består av ledd forbundet med + og -, beregnes ved å multiplisere leddene. Ja,

(a + b) 1 = a + b, første potens.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , andre potens (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, tredje grad.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, fjerde grad.

Kvadrat a - b, det er en 2 - 2ab + b 2 .

Firkanten a + b + h er a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Oppgave 1. Finn kuben a + 2d + 3

Oppgave 2. Finn fjerde potens b + 2.

Oppgave 3. Finn femte potens av x + 1.

Oppgave 4. Finn sjette grad 1 - b.

Sum kvadrater beløp Og forskjell binomialer er så vanlige i algebra at det er nødvendig å kjenne dem veldig godt.

Hvis vi multipliserer a + h med seg selv eller a - h med seg selv,
vi får: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 også, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Dette viser at i hvert tilfelle er første og siste ledd kvadratene til a og h, og mellomleddet er to ganger produktet av a og h. Derfor kan kvadratet av summen og differansen til binomialene bli funnet ved å bruke følgende regel.

Kvadraten til et binomial, som begge er positive, er lik kvadratet av første ledd + to ganger produktet av begge ledd, + kvadratet av siste ledd.

Torget forskjell binomial er lik kvadratet av første ledd minus to ganger produktet av begge ledd pluss kvadratet av andre ledd.

Eksempel 1. Kvadrat 2a + b, det er 4a 2 + 4ab + b 2.

Eksempel 2. Kvadraten ab + cd er a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Eksempel 3. Firkanten 3d - h er 9d 2 + 6dh + h 2.

Eksempel 4. Firkanten a - 1 er en 2 - 2a + 1.

For en metode for å finne høyere potenser av binomialer, se følgende avsnitt.

I mange tilfeller er det effektivt å skrive grader ingen multiplikasjon.

Så kvadratet a + b er (a + b) 2 .
Den n-te potens bc + 8 + x er (bc + 8 + x) n

I slike tilfeller dekker brakettene Alle medlemmer under grad.

Men hvis roten til graden består av flere multiplikatorer, kan parentesen dekke hele uttrykket, eller kan brukes separat på faktorer, avhengig av bekvemmelighet.

Dermed er kvadratet (a + b)(c + d) enten [(a + b).(c + d)] 2 eller (a + b) 2 .(c + d) 2 .

For det første av disse uttrykkene er resultatet kvadratet av produktet av to faktorer, og for det andre produktet av kvadratene deres. Men de er likeverdige med hverandre.

Terningen a.(b + d), er 3 , eller a 3 .(b + d) 3 .

Det er også nødvendig å ta hensyn til skiltet foran de involverte medlemmene. Det er veldig viktig å huske at når roten til en kraft er positiv, er alle dens positive krefter også positive. Men når roten er negativ, verdier fra merkelig potenser er negative, mens verdiene til og med grader er positive.

Den andre potensen (- a) er +a 2
Den tredje graden (-a) er -a 3
Den fjerde potensen (-a) er +a 4
Den femte potensen (-a) er -a 5

Derfor noen merkelig eksponenten har samme fortegn som tallet. Men til og med graden er positiv, uavhengig av om tallet har negativt eller positivt fortegn.
Så, +a.+a = +a 2
OG -a.-a = +a 2

En verdi som allerede er hevet til en potens heves til en potens igjen ved å multiplisere eksponentene.

Den tredje potensen av en 2 er a 2,3 = a 6 .

For a 2 = aa; kube aa er aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; som er sjette potens av a, men tredje potens av a 2 .

Den fjerde potensen a 3 b 2 er a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Den tredje potensen av 4a 2 x er 64a 6 x 3 .

Den femte potensen av (a + b) 2 er (a + b) 10 .

Nte potens av en 3 er en 3n

Den n-te potensen av (x - y) m er (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 t 4) 3 = a 9 b 6 t 12

Regelen gjelder likt for negativ grader.

Eksempel 1. Den tredje potensen av a -2 er a -3,3 =a -6 .

For a -2 = 1/aa, og tredje potens av denne
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Den fjerde potensen a 2 b -3 er a 8 b -12 eller a 8 / b 12 .

Firkanten b 3 x -1 er b 6 x -2 .

Den n-te potensen ax -m er x -mn eller 1/x .

Det må imidlertid huskes her at hvis et tegn tidligere grad er "-", så bør den endres til "+" når graden er et partall.

Eksempel 1. Firkanten -a 3 er +a 6 . Kvadraten til -a 3 er -a 3 .-a 3 , som ifølge reglene for multiplikasjonstegn er +a 6 .

2. Men kuben -a 3 er -a 9 . For -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. Nte potens av -a 3 er en 3n .

Her kan resultatet være positivt eller negativt avhengig av om n er partall eller oddetall.

Hvis brøkdel hevet til en potens, blir telleren og nevneren hevet til potensen.

Firkanten a/b er a 2 /b 2 . I henhold til regelen for multiplikasjon av brøker,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Den andre, tredje og n-te potensen av 1/a er 1/a 2 , 1/a 3 og 1/a n .

Eksempler binomialer hvor ett av leddene er en brøk.

1. Finn kvadratet x + 1/2 og x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2,x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2,x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Firkanten a + 2/3 er a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Kvadrat x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Kvadraten x - b/m er x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Tidligere ble det vist det fraksjonskoeffisient kan flyttes fra telleren til nevneren eller fra nevneren til telleren. Ved å bruke skjemaet med å skrive inverse potenser, kan det sees at hvilken som helst multiplikator kan også flyttes hvis fortegn på graden endres.

Så, i brøken ax -2 /y, kan vi flytte x fra telleren til nevneren.
Da ax -2/y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x2 = a/yx2.

I brøken a/ved 3 kan vi flytte y fra nevneren til telleren.
Da a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

På samme måte kan vi flytte en faktor som har en positiv eksponent til telleren, eller en faktor med negativ eksponent til nevneren.

Så, akse 3 / b = a / bx -3 . For x 3 er inversen x -3 , som er x 3 = 1/x -3 .

Derfor kan nevneren til enhver brøk fjernes helt, eller telleren kan reduseres til én uten å endre betydningen av uttrykket.

Så, a/b = 1/ba -1, eller ab -1.

kan finnes ved hjelp av multiplikasjon. For eksempel: 5+5+5+5+5+5=5x6. De sier om et slikt uttrykk at summen av like ledd er foldet sammen til et produkt. Og omvendt, hvis vi leser denne likheten fra høyre til venstre, får vi at vi har utvidet summen av like ledd. På samme måte kan du brette produktet av flere like faktorer 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Det vil si at i stedet for å multiplisere seks identiske faktorer 5x5x5x5x5x5, skriver de 5 6 og sier "fem til sjette potens."

Uttrykket 5 6 er en potens av et tall, der:

5 - base av grad;

6 - eksponent.

Operasjonene der produktet av like faktorer brettes til en potens kalles eksponentiering.

Generelt skrives en potens med grunntall "a" og eksponent "n" som

Å heve tallet a til potensen av n betyr å finne produktet av n faktorer, som hver er lik en

Hvis basisen til graden "a" er 1, vil verdien av graden for enhver naturlig n være lik 1. For eksempel 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Hvis du hever tallet "a", øker du til første grad, så får vi tallet a selv: a 1 = a

Hvis du hever et tall til null grader, så som et resultat av beregninger får vi en. a 0 = 1

Den andre og tredje potensen til et tall anses som spesielle. De kom opp med navn for dem: den andre graden kalles kvadratet av et tall, tredje - kube dette nummeret.

Ethvert tall kan heves til en potens - positiv, negativ eller null. Følgende regler brukes imidlertid ikke:

Når man finner graden av et positivt tall, får man et positivt tall.

Når vi beregner null i natura, får vi null.

x m х n = x m + n

for eksempel: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Til dele potenser med samme grunntall vi endrer ikke grunntallet, men trekker fra eksponentene:

x m / x n \u003d x m - n , Hvor, m > n

eks: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Ved beregning eksponentiering Vi endrer ikke basen, men vi multipliserer eksponentene med hverandre.

(ved m )n = y m n

for eksempel: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · m ,

for eksempel: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

Når du utfører beregninger for eksponentiering av en brøkdel vi hever telleren og nevneren av brøken til den gitte potensen

(x/y)n = x n / y n

for eksempel: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

Sekvensen for å utføre beregninger når du arbeider med uttrykk som inneholder en grad.

Når du utfører beregninger av uttrykk uten parentes, men som inneholder potenser, utføres først eksponentiering, deretter multiplikasjons- og divisjonsoperasjonene, og først deretter operasjonene addisjon og subtraksjon.

Hvis det er nødvendig å evaluere et uttrykk som inneholder parenteser, gjør vi først, i rekkefølgen angitt ovenfor, beregningene i parentes, og deretter de resterende handlingene i samme rekkefølge fra venstre til høyre.

Svært utbredt i praktiske beregninger, for å forenkle beregninger, brukes ferdige tabeller over grader.

Eksponentiering er en operasjon som er nært knyttet til multiplikasjon, denne operasjonen er resultatet av multiplikasjon av et tall i seg selv. La oss representere formelen: a1 * a2 * ... * an = an.

For eksempel, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Generelt brukes eksponentiering ofte i ulike formler innen matematikk og fysikk. Denne funksjonen har et mer vitenskapelig formål enn de fire grunnleggende: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon.

Å heve et tall til en makt

Å heve et tall til en makt er ikke en vanskelig operasjon. Det er relatert til multiplikasjon som forholdet mellom multiplikasjon og addisjon. Ta opp en - en kort registrering av det n-te antallet tall "a" multiplisert med hverandre.

Vurder eksponentiering på de enkleste eksemplene, gå videre til komplekse.

For eksempel, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Fire kvadrater (til andre potens) er lik seksten. Hvis du ikke forstår multiplikasjonen 4 * 4, så les vår artikkel om multiplikasjon.

La oss se på et annet eksempel: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Fem terninger (til tredje potens) tilsvarer hundre og tjuefem.

Et annet eksempel: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Ni terninger tilsvarer syv hundre og tjueni.

Eksponentieringsformler

For å heve til en potens på riktig måte, må du huske og kjenne formlene nedenfor. Det er ingenting utover naturlig i dette, det viktigste er å forstå essensen, og da vil de ikke bare bli husket, men også virke enkle.

Å heve en monomial til en makt

Hva er et monomial? Dette er produktet av tall og variabler i en hvilken som helst mengde. For eksempel er to en monomial. Og denne artikkelen handler om å heve slike monomialer til en makt.

Ved å bruke eksponentieringsformler vil det ikke være vanskelig å beregne eksponentieringen av en monomial til en potens.

For eksempel, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Hvis du hever en monomial til en potens, så heves hver komponent av monomial til en potens.

Når du hever en variabel som allerede har en grad til en potens, multipliseres gradene. For eksempel, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Heve til en negativ makt

En negativ eksponent er den gjensidige av et tall. Hva er en gjensidighet? For et hvilket som helst tall X er den gjensidige 1/X. Det vil si X-1=1/X. Dette er essensen av den negative graden.

Tenk på eksemplet (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Hvorfor det? Siden det er minus i graden, overfører vi ganske enkelt dette uttrykket til nevneren, og hever det så til tredje potens. Akkurat passe?

Heve til en brøkdel

La oss starte med et konkret eksempel. 43/2. Hva betyr kraft 3/2? 3 - teller, betyr å heve et tall (i dette tilfellet 4) til en kube. Tallet 2 er nevneren, dette er ekstraksjonen av den andre roten av tallet (i dette tilfellet 4).

Da får vi kvadratroten av 43 = 2^3 = 8 . Svar: 8.

Så nevneren for en brøkgrad kan være enten 3 eller 4, og til uendelig et hvilket som helst tall, og dette tallet bestemmer graden av kvadratroten som trekkes ut fra et gitt tall. Selvsagt kan ikke nevneren være null.

Å heve en rot til en makt

Hvis roten heves til en kraft lik kraften til selve roten, så er svaret det radikale uttrykket. For eksempel, (√x)2 = x. Og så i alle tilfelle av likhet mellom graden av roten og graden av heving av roten.

Hvis (√x)^4. Deretter (√x)^4=x^2. For å sjekke løsningen oversetter vi uttrykket til et uttrykk med brøkgrad. Siden roten er kvadratisk, er nevneren 2. Og hvis roten heves til fjerde potens, så er telleren 4. Vi får 4/2=2. Svar: x = 2.

I alle fall er det beste alternativet å konvertere uttrykket til en brøkeksponent. Hvis brøken ikke reduseres, vil et slikt svar være, forutsatt at roten til det gitte tallet ikke tildeles.

Eksponentiering av et komplekst tall

Hva er et komplekst tall? Et komplekst tall er et uttrykk som har formelen a + b * i; a, b er reelle tall. i er tallet som gir tallet -1 når det kvadreres.

Tenk på et eksempel. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Meld deg på kurset "Fremskynde mental telling, IKKE hoderegning" for å lære hvordan du raskt og riktig kan addere, subtrahere, multiplisere, dividere, kvadrattall og til og med slå røtter. På 30 dager lærer du hvordan du bruker enkle triks for å forenkle aritmetiske operasjoner. Hver leksjon inneholder nye teknikker, klare eksempler og nyttige oppgaver.

Eksponentiering på nett

Ved hjelp av kalkulatoren vår kan du beregne eksponentiseringen av et tall til en potens:

Eksponentieringsgrad 7

Å heve til en makt begynner å passere skolebarn bare i syvende klasse.

Eksponentiering er en operasjon som er nært knyttet til multiplikasjon, denne operasjonen er resultatet av multiplikasjon av et tall i seg selv. La oss representere formelen: a1 * a2 * … * an=an .

For eksempel, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Løsningseksempler:

Eksponentieringspresentasjon

Presentasjon om eksponentiering, designet for sjuendeklassinger. Presentasjonen kan oppklare noen uforståelige punkter, men det vil nok ikke være slike punkter takket være vår artikkel.

Utfall

Vi har kun vurdert toppen av isfjellet, for å forstå matematikk bedre - meld deg på kurset vårt: Få fart på mentaltelling - IKKE hoderegning.

Fra kurset vil du ikke bare lære dusinvis av triks for forenklet og rask multiplikasjon, addisjon, multiplikasjon, divisjon, beregning av prosenter, men også utarbeide dem i spesielle oppgaver og lærerike spill! Mental telling krever også mye oppmerksomhet og konsentrasjon, som er aktivt trent i å løse interessante problemer.

Vi fant ut hva graden av et tall er generelt. Nå må vi forstå hvordan vi beregner det riktig, dvs. heve tall til makter. I dette materialet vil vi analysere de grunnleggende reglene for beregning av graden i tilfelle av en heltall, naturlig, brøk, rasjonell og irrasjonell eksponent. Alle definisjoner vil bli illustrert med eksempler.

Konseptet med eksponentiering

La oss starte med formuleringen av grunnleggende definisjoner.

Definisjon 1

Eksponentiering er beregningen av verdien av potensen til et eller annet tall.

Det vil si at ordene «beregning av gradens verdi» og «eksponentiering» betyr det samme. Så hvis oppgaven er "Hev tallet 0 , 5 til femte potens", skal dette forstås som "beregn verdien av potensen (0 , 5) 5 .

Nå gir vi de grunnleggende reglene som må følges i slike beregninger.

Husk hva potensen til et tall med en naturlig eksponent er. For en potens med grunntall a og eksponent n vil dette være produktet av det n-te antall faktorer, som hver er lik a. Dette kan skrives slik:

For å beregne verdien av graden, må du utføre operasjonen med multiplikasjon, det vil si multiplisere basene til graden det angitte antall ganger. Selve konseptet med en grad med en naturlig indikator er basert på evnen til raskt å multiplisere. La oss gi eksempler.

Eksempel 1

Tilstand: Hev - 2 til styrken 4 .

Løsning

Ved å bruke definisjonen ovenfor skriver vi: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Deretter trenger vi bare å følge disse trinnene og få 16 .

La oss ta et mer komplisert eksempel.

Eksempel 2

Regn ut verdien 3 2 7 2

Løsning

Denne oppføringen kan skrives om til 3 2 7 · 3 2 7 . Tidligere har vi sett på hvordan man korrekt multipliserer de blandede tallene nevnt i betingelsen.

Utfør disse trinnene og få svaret: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Hvis oppgaven indikerer behovet for å heve irrasjonelle tall til en naturlig potens, må vi først runde av basene deres til et siffer som lar oss få et svar med ønsket nøyaktighet. La oss ta et eksempel.

Eksempel 3

Utfør kvadreringen av tallet π .

Løsning

La oss runde det opp til hundredeler først. Så π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Hvis π ≈ 3 . 14159, så får vi et mer nøyaktig resultat: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Merk at behovet for å beregne potensene til irrasjonelle tall i praksis oppstår relativt sjelden. Vi kan da skrive svaret som selve potensen (ln 6) 3 eller omregne om mulig: 5 7 = 125 5 .

Separat skal det angis hva den første potensen av et tall er. Her kan du bare huske at ethvert tall hevet til første potens forblir seg selv:

Dette fremgår av protokollen. .

Det avhenger ikke av graden.

Eksempel 4

Så, (− 9) 1 = − 9 , og 7 3 hevet til første potens forblir lik 7 3 .

For enkelhets skyld vil vi analysere tre tilfeller separat: hvis eksponenten er et positivt heltall, hvis det er null, og hvis det er et negativt heltall.

I det første tilfellet er dette det samme som å heve til en naturlig potens: tross alt tilhører positive heltall settet med naturlige tall. Vi har allerede beskrevet hvordan man jobber med slike grader ovenfor.

La oss nå se hvordan du kan heve til nullstyrken. Med en base som ikke er null, gir denne beregningen alltid en utgang på 1 . Vi har tidligere forklart at 0. potens av a kan defineres for ethvert reelt tall som ikke er lik 0 , og a 0 = 1 .

Eksempel 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - ikke definert.

Vi sitter igjen med bare tilfellet av en grad med en negativ heltallseksponent. Vi har allerede diskutert at slike grader kan skrives som en brøk 1 a z, der a er et hvilket som helst tall, og z er et negativt heltall. Vi ser at nevneren til denne brøken ikke er noe mer enn en vanlig grad med et positivt heltall, og vi har allerede lært hvordan vi beregner det. La oss gi eksempler på oppgaver.

Eksempel 6

Hev 2 til -3-styrken.

Løsning

Ved å bruke definisjonen ovenfor skriver vi: 2 - 3 = 1 2 3

Vi beregner nevneren til denne brøken og får 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Da er svaret: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Eksempel 7

Hev 1, 43 til -2-styrken.

Løsning

Omformuler: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Vi regner ut kvadratet i nevneren: 1,43 1,43. Desimaler kan multipliseres på denne måten:

Som et resultat fikk vi (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Det gjenstår for oss å skrive dette resultatet i form av en vanlig brøk, som det er nødvendig å multiplisere med 10 tusen (se materialet om konvertering av brøker).

Svar: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Et eget tilfelle er å heve et tall til minus første potens. Verdien av en slik grad er lik tallet motsatt av den opprinnelige verdien av basen: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Eksempel 8

Eksempel: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Hvordan heve et tall til en brøkpotens

For å utføre en slik operasjon, må vi huske den grunnleggende definisjonen av en grad med en brøkeksponent: a m n \u003d a m n for enhver positiv a, heltall m og naturlig n.

Definisjon 2

Dermed må beregningen av en brøkgrad utføres i to trinn: heve til en heltallspotens og finne roten til n-te grad.

Vi har likheten a m n = a m n , som, gitt egenskapene til røttene, vanligvis brukes til å løse problemer i formen a m n = a n m . Dette betyr at hvis vi hever et tall a til en brøkpotens m / n, så trekker vi først ut roten av n-te grad fra a, deretter hever vi resultatet til en potens med en heltallseksponent m.

La oss illustrere med et eksempel.

Eksempel 9

Regn ut 8-2 3.

Løsning

Metode 1. I henhold til den grunnleggende definisjonen kan vi representere dette som: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

La oss nå beregne graden under roten og trekke ut den tredje roten fra resultatet: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metode 2. La oss transformere den grunnleggende likheten: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Etter det trekker vi ut roten 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 og kvadrerer resultatet: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vi ser at løsningene er identiske. Du kan bruke hvilken som helst måte du vil.

Det er tilfeller der graden har en indikator uttrykt som et blandet tall eller desimalbrøk. For å lette beregningen er det bedre å erstatte den med en vanlig brøk og telle som angitt ovenfor.

Eksempel 10

Øk 44,89 til styrken 2,5.

Løsning

La oss konvertere verdien av indikatoren til en vanlig brøk: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

Og nå utfører vi alle handlingene som er angitt ovenfor i rekkefølge: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 01 = 01 = 01 = 01 13 501, 25107

Svar: 13501, 25107.

Hvis det er store tall i telleren og nevneren til en brøkeksponent, er det en ganske vanskelig jobb å beregne slike eksponenter med rasjonelle eksponenter. Det krever vanligvis datateknologi.

Separat dveler vi ved graden med en nullbase og en brøkeksponent. Et uttrykk på formen 0 m n kan gis følgende betydning: hvis m n > 0, så 0 m n = 0 m n = 0 ; hvis m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Hvordan heve et tall til en irrasjonell makt

Behovet for å beregne verdien av graden, i indikatoren som det er et irrasjonelt tall for, oppstår ikke så ofte. I praksis er oppgaven vanligvis begrenset til å beregne en omtrentlig verdi (opptil et visst antall desimaler). Dette beregnes vanligvis på en datamaskin på grunn av kompleksiteten til slike beregninger, så vi vil ikke dvele på dette i detalj, vi vil bare indikere hovedbestemmelsene.

Hvis vi trenger å beregne verdien av graden a med en irrasjonell eksponent a, tar vi desimaltilnærmingen til eksponenten og teller fra den. Resultatet vil være et omtrentlig svar. Jo mer nøyaktig desimaltilnærmingen er, desto mer nøyaktig blir svaret. La oss vise med et eksempel:

Eksempel 11

Beregn den omtrentlige verdien av 2 i potensen 1,174367....

Løsning

Vi begrenser oss til desimaltilnærmingen a n = 1, 17. La oss gjøre beregningene ved å bruke dette tallet: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Hvis vi for eksempel tar tilnærmingen a n = 1 , 1743 , så blir svaret litt mer nøyaktig: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833 .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter