El cálculo de distancias entre puntos según sus coordenadas en un plano es elemental, en la superficie terrestre es un poco más complicado: consideraremos medir la distancia y el acimut inicial entre puntos sin transformaciones de proyección. Primero, comprendamos la terminología.

Introducción

Longitud de arco de círculo máximo- la distancia más corta entre dos puntos cualquiera ubicados en la superficie de la esfera, medida a lo largo de la línea que conecta estos dos puntos (dicha línea se llama ortodrómica) y pasa a lo largo de la superficie de la esfera u otra superficie de revolución. La geometría esférica es diferente de la euclidiana habitual y las ecuaciones de distancia también toman una forma diferente. En geometría euclidiana, la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta. En una esfera, no hay líneas rectas. Estas líneas en la esfera son parte de grandes círculos, círculos cuyos centros coinciden con el centro de la esfera. Acimut inicial- el acimut, que, al partir del punto A, siguiendo el círculo máximo la distancia más corta hasta el punto B, el punto final será el punto B. Al pasar del punto A al punto B a lo largo de la línea del círculo máximo, el acimut desde el la posición actual hasta el punto final B es constante y está cambiando. El acimut inicial es diferente de uno constante, por lo que el acimut desde el punto actual hasta el final no cambia, pero la ruta no es la distancia más corta entre dos puntos.

A través de dos puntos cualesquiera de la superficie de la esfera, si no están directamente opuestos entre sí (es decir, no son antípodas), se puede dibujar un círculo máximo único. Dos puntos dividen el gran círculo en dos arcos. La longitud de un arco corto es la distancia más corta entre dos puntos. Se pueden trazar infinitos círculos máximos entre dos puntos antípodas, pero la distancia entre ellos será la misma en cualquier círculo e igual a la mitad de la circunferencia del círculo, o π*R, donde R es el radio de la esfera.

En un plano (en un sistema de coordenadas rectangulares), los círculos máximos y sus fragmentos, como se mencionó anteriormente, son arcos en todas las proyecciones, excepto en la gnomónica, donde los círculos máximos son líneas rectas. En la práctica, esto significa que los aviones y otros transportes aéreos siempre utilizan la ruta de la distancia mínima entre puntos para ahorrar combustible, es decir, el vuelo se realiza a lo largo de la distancia de un gran círculo, en el avión parece un arco.

La forma de la Tierra se puede describir como una esfera, por lo que las ecuaciones de distancia del gran círculo son importantes para calcular la distancia más corta entre puntos en la superficie de la Tierra y se usan a menudo en la navegación. Calcular la distancia por este método es más eficiente y en muchos casos más preciso que calcularla por coordenadas proyectadas (en sistemas de coordenadas rectangulares), porque, en primer lugar, para ello no es necesario traducir las coordenadas geográficas a un sistema de coordenadas rectangulares (realizar proyección transformaciones) y, en segundo lugar, muchas proyecciones, si se eligen incorrectamente, pueden conducir a distorsiones de longitud significativas debido a la naturaleza de las distorsiones de proyección. Se sabe que no una esfera, sino un elipsoide describe la forma de la Tierra con mayor precisión, sin embargo, este artículo analiza el cálculo de distancias en una esfera, para los cálculos se usa una esfera con un radio de 6372795 metros, lo que puede conducir a un error en el cálculo de distancias del orden del 0,5%.

fórmulas

Hay tres formas de calcular la distancia esférica de un gran círculo. 1. Teorema del coseno esférico En el caso de distancias pequeñas y profundidad de bits de cálculo (número de decimales) pequeña, el uso de la fórmula puede dar lugar a errores de redondeo significativos. φ1, λ1; φ2, λ2 - latitud y longitud de dos puntos en radianes Δλ - diferencia de coordenadas en longitud Δδ - diferencia angular Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Para convertir la distancia angular a métrica, debe multiplicar la diferencia angular por el radio Tierra (6372795 metros), las unidades de la distancia final serán iguales a las unidades en que se expresa el radio (en este caso, metros). 2. Fórmula Haversine Se utiliza para evitar problemas con distancias cortas. 3. Modificación por antípodas La fórmula anterior también está sujeta al problema de las antípodas, para solucionarlo se utiliza la siguiente modificación.

Mi implementación en PHP

// Radio de la tierra define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Distancia entre dos puntos * $φA, $λA - latitud, longitud del primer punto, * $φB, $λB - latitud, longitud del segundo punto * Basado en http://gis-lab.info/ qa /great-circles.html * Mikhail Kobzarev * */ función calcularLaDistancia ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // convertir coordenadas a radianes $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // cosenos y senos de diferencias de latitud y longitud $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2 ); $sl1 = sin($lat1); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // cálculos longitud del gran círculo $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $ cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Ejemplo de llamada de función: $lat1 = 77.1539; $largo1 = -139.398; $lat2 = -77.1804; $largo2 = -139,55; echo calcularLaDistancia($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "metros"; // Devuelve "17166029 metros"

La resolución de problemas de matemáticas para los estudiantes suele ir acompañada de muchas dificultades. Ayudar al estudiante a hacer frente a estas dificultades, así como enseñarle cómo aplicar su conocimiento teórico en la resolución de problemas específicos en todas las secciones del curso de la asignatura "Matemáticas" es el objetivo principal de nuestro sitio.

Comenzando a resolver problemas sobre el tema, los estudiantes deben ser capaces de construir un punto en un plano de acuerdo con sus coordenadas, así como encontrar las coordenadas de un punto dado.

El cálculo de la distancia entre dos puntos tomados en el plano A (x A; y A) y B (x B; y B) se realiza mediante la fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), donde d es la longitud del segmento que une estos puntos en el plano.

Si uno de los extremos del segmento coincide con el origen, y el otro tiene coordenadas M (x M; y M), entonces la fórmula para calcular d tomará la forma OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Calcular la distancia entre dos puntos dadas las coordenadas de estos puntos

Ejemplo 1.

Encuentra la longitud del segmento que conecta los puntos A(2; -5) y B(-4; 3) en el plano de coordenadas (Fig. 1).

Solución.

La condición del problema está dada: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 y y B = 3. Calcula d.

Aplicando la fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), obtenemos:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Cálculo de las coordenadas de un punto que equidista de tres puntos dados

Ejemplo 2

Encuentre las coordenadas del punto O 1, que es equidistante de los tres puntos A(7; -1) y B(-2; 2) y C(-1; -5).

Solución.

De la formulación de la condición del problema se deduce que O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Deje que el punto deseado O 1 tenga coordenadas (a; b). De acuerdo con la fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) encontramos:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Componemos un sistema de dos ecuaciones:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Después de cuadrar la izquierda y partes correctas ecuaciones escribimos:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Simplificando, escribimos

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Habiendo resuelto el sistema, obtenemos: a = 2; b = -1.

El punto O 1 (2; -1) es equidistante de los tres puntos dados en la condición de que no se encuentran en una línea recta. Este punto es el centro de una circunferencia que pasa por tres puntos dados. (Figura 2).

3. Cálculo de la abscisa (ordenada) de un punto que se encuentra en el eje de abscisas (ordenada) y está a una distancia dada de este punto

Ejemplo 3

La distancia del punto B(-5; 6) al punto A que se encuentra en el eje x es 10. Encuentra el punto A.

Solución.

De la formulación de la condición del problema se sigue que la ordenada del punto A es cero y AB = 10.

Denotando la abscisa del punto A a través de a, escribimos A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Obtenemos la ecuación √((a + 5) 2 + 36) = 10. Simplificándola, tenemos

un 2 + 10a - 39 = 0.

Las raíces de esta ecuación a 1 = -13; y 2 = 3.

Obtenemos dos puntos A 1 (-13; 0) y A 2 (3; 0).

Examen:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Ambos puntos obtenidos se ajustan a la condición del problema (Fig. 3).

4. Cálculo de la abscisa (ordenada) de un punto que se encuentra en el eje de abscisa (ordenada) y está a la misma distancia de dos puntos dados

Ejemplo 4

Encuentre un punto en el eje Oy que esté a la misma distancia de los puntos A (6; 12) y B (-8; 10).

Solución.

Sean las coordenadas del punto requerido por la condición del problema, que se encuentra sobre el eje Oy, O 1 (0; b) (en el punto que se encuentra sobre el eje Oy, la abscisa es igual a cero). De la condición se deduce que O 1 A \u003d O 1 B.

De acuerdo con la fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) encontramos:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Tenemos la ecuación √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) o 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

Después de la simplificación, obtenemos: b - 4 = 0, b = 4.

Requerido por la condición del punto problemático O 1 (0; 4) (Figura 4).

5. Cálculo de las coordenadas de un punto que está a la misma distancia de los ejes de coordenadas y de algún punto dado

Ejemplo 5

Encuentre el punto M ubicado en el plano de coordenadas a la misma distancia de los ejes de coordenadas y del punto A (-2; 1).

Solución.

El punto M requerido, como el punto A (-2; 1), se encuentra en la segunda esquina de coordenadas, ya que es equidistante de los puntos A, P 1 y P 2 (Figura 5). Las distancias del punto M a los ejes de coordenadas son las mismas, por tanto, sus coordenadas serán (-a; a), donde a > 0.

De las condiciones del problema se sigue que MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; PM2 = |-a|,

aquellos. |-a| = un.

De acuerdo con la fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) encontramos:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Hagamos una ecuación:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Después de elevar al cuadrado y simplificar, tenemos: a 2 - 6a + 5 = 0. Resolvemos la ecuación, encontramos a 1 = 1; y 2 = 5.

Obtenemos dos puntos M 1 (-1; 1) y M 2 (-5; 5), satisfaciendo la condición del problema.

6. Cálculo de las coordenadas de un punto que está a la misma distancia especificada del eje de abscisas (ordenadas) y de este punto

Ejemplo 6

Encuentre un punto M tal que su distancia desde el eje y y desde el punto A (8; 6) sea igual a 5.

Solución.

De la condición del problema se sigue que MA = 5 y la abscisa del punto M es igual a 5. Sea la ordenada del punto M igual a b, entonces M(5; b) (Figura 6).

De acuerdo con la fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) tenemos:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Hagamos una ecuación:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Simplificándolo, obtenemos: b 2 - 12b + 20 = 0. Las raíces de esta ecuación son b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Por lo tanto, hay dos puntos que satisfacen la condición del problema: M 1 (5; 2) y M 2 (5; 10).

Se sabe que muchos estudiantes, al momento de resolver problemas por su cuenta, necesitan consultas constantes sobre técnicas y métodos para resolverlos. A menudo, un estudiante no puede encontrar la manera de resolver un problema sin la ayuda de un maestro. El alumno puede obtener los consejos necesarios para la resolución de problemas en nuestra web.

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En este artículo, consideraremos formas de determinar la distancia de un punto a otro teóricamente y en el ejemplo de tareas específicas. Comencemos con algunas definiciones.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definición 1

Distancia entre puntos- esta es la longitud del segmento que los une, en la escala existente. Es necesario configurar la escala para tener una unidad de medida de longitud. Por lo tanto, básicamente el problema de encontrar la distancia entre puntos se resuelve utilizando sus coordenadas en la línea de coordenadas, en el plano de coordenadas o espacio tridimensional.

Datos iniciales: la línea de coordenadas O x y un punto arbitrario A. Un número real es inherente a cualquier punto de la línea: sea este un número cierto para el punto A xA, es la coordenada del punto A.

En general, podemos decir que la estimación de la longitud de un determinado segmento se produce en comparación con el segmento tomado como unidad de longitud en una escala dada.

Si el punto A corresponde a un número real entero, habiendo apartado sucesivamente desde el punto O hasta un punto a lo largo de una línea recta O A segmentos - unidades de longitud, podemos determinar la longitud del segmento O A por el número total de segmentos unitarios pendientes.

Por ejemplo, el punto A corresponde al número 3: para llegar a él desde el punto O, será necesario reservar tres segmentos unitarios. Si el punto A tiene una coordenada de -4, los segmentos individuales se trazan de manera similar, pero en una dirección negativa diferente. Así, en el primer caso, la distancia O A es 3; en el segundo caso, O A \u003d 4.

Si el punto A tiene un número racional como coordenada, entonces desde el origen (punto O) apartamos un número entero de segmentos unitarios, y luego su parte necesaria. Pero geométricamente no siempre es posible hacer una medición. Por ejemplo, parece difícil dejar de lado la fracción directa de coordenadas 4 111 .

De la forma anterior, es completamente imposible posponer un número irracional en una línea recta. Por ejemplo, cuando la coordenada del punto A es 11 . En este caso, es posible recurrir a la abstracción: si la coordenada dada del punto A es mayor que cero, entonces O A \u003d x A (el número se toma como una distancia); si la coordenada es menor que cero, entonces O A = - x A . En general, estas afirmaciones son verdaderas para cualquier número real x A.

Resumiendo: la distancia del origen al punto, que corresponde a un número real en la línea de coordenadas, es igual a:

• 0 si el punto es el mismo que el origen;

• xA si xA > 0;

• - x A si x A< 0 .

En este caso, es obvio que la longitud del segmento en sí no puede ser negativa, por lo tanto, usando el signo del módulo, escribimos la distancia desde el punto O hasta el punto A con la coordenada x un: O A = x A

La afirmación correcta sería: la distancia de un punto a otro será igual al módulo de la diferencia de coordenadas. Aquellos. para los puntos A y B que se encuentran en la misma línea de coordenadas en cualquier ubicación y que tienen, respectivamente, las coordenadas x un y x segundo: UN segundo = x segundo - x UN .

Datos iniciales: puntos A y B que se encuentran en un plano en un sistema de coordenadas rectangulares O x y con coordenadas dadas: A (x A , y A) y B (x B , y B) .

Dibujemos perpendiculares a los ejes de coordenadas O x y O y a través de los puntos A y B y obtengamos como resultado los puntos de proyección: A x , A y , B x , B y . En función de la ubicación de los puntos A y B, son posibles las siguientes opciones:

Si los puntos A y B coinciden, entonces la distancia entre ellos es cero;

Si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje O x (eje de abscisas), entonces los puntos y coinciden, y | AB | = | A y B y | . Como la distancia entre los puntos es igual al módulo de la diferencia entre sus coordenadas, entonces A y B y = y B - y A , y, por lo tanto, A B = A y B y = y B - y A .

Si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje O y (eje y), por analogía con el párrafo anterior: A B = A x B x = x B - x A

Si los puntos A y B no se encuentran en una línea recta perpendicular a uno de los ejes de coordenadas, encontramos la distancia entre ellos derivando la fórmula de cálculo:

Vemos que el triángulo A B C es rectángulo por construcción. En este caso, A C = A x B x y B C = A y B y . Usando el teorema de Pitágoras, componemos la igualdad: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , y luego la transformamos: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x segundo - x UN 2 + y segundo - y UN 2 = (x segundo - x UN) 2 + (y segundo - y UN) 2

Formamos una conclusión a partir del resultado obtenido: la distancia del punto A al punto B en el plano está determinada por el cálculo usando la fórmula usando las coordenadas de estos puntos

UN segundo = (x segundo - x un) 2 + (y segundo - y un) 2

La fórmula resultante también confirma las afirmaciones formadas anteriormente para los casos de coincidencia de puntos o situaciones en las que los puntos se encuentran en líneas rectas perpendiculares a los ejes. Entonces, para el caso de la coincidencia de los puntos A y B, la igualdad será cierta: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Para la situación en la que los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje x:

UN segundo = (x segundo - x un) 2 + (y segundo - y un) 2 = 0 2 + (y segundo - y un) 2 = y segundo - y un

Para el caso en que los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje y:

UN segundo = (x segundo - x un) 2 + (y segundo - y un) 2 = (x segundo - x un) 2 + 0 2 = x segundo - x un

Datos iniciales: sistema de coordenadas rectangulares O x y z con puntos arbitrarios sobre él con coordenadas dadas A (x A , y A , z A) y B (x B , y B , z B) . Es necesario determinar la distancia entre estos puntos.

Considerar caso general, cuando los puntos A y B no se encuentran en un plano paralelo a uno de los planos coordenados. Dibuje a través de los puntos A y B los planos perpendiculares a los ejes de coordenadas y obtenga los puntos de proyección correspondientes: A x , A y , A z , B x , B y , B z

La distancia entre los puntos A y B es la diagonal de la caja resultante. Según la construcción de la medida de esta caja: A x B x , A y B y y A z B z

Del curso de geometría se sabe que el cuadrado de la diagonal de un paralelepípedo es igual a la suma de los cuadrados de sus dimensiones. Con base en esta afirmación, obtenemos la igualdad: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Usando las conclusiones obtenidas anteriormente, escribimos lo siguiente:

UNA x segundo x = x segundo - x UNA , UNA y segundo y = y segundo - y UNA , UNA z segundo z = z segundo - z UNA

Transformemos la expresión:

UN segundo 2 = UN x segundo x 2 + UN y segundo y 2 + UN z segundo z 2 = x segundo - x UN 2 + y segundo - y UN 2 + z segundo - z UN 2 = = (x segundo - x UN) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final fórmula para determinar la distancia entre puntos en el espacio se verá así:

UN segundo = x segundo - x UN 2 + y segundo - y UN 2 + (z segundo - z UN) 2

La fórmula resultante también es válida para los casos en que:

Los puntos coinciden;

Se encuentran en el mismo eje de coordenadas o en una línea recta paralela a uno de los ejes de coordenadas.

Ejemplos de resolución de problemas para hallar la distancia entre puntos

Ejemplo 1

Datos iniciales: se dan una línea de coordenadas y los puntos que se encuentran en ella con las coordenadas dadas A (1 - 2) y B (11 + 2). Es necesario encontrar la distancia desde el punto de referencia O hasta el punto A y entre los puntos A y B.

Solución

1. La distancia desde el punto de referencia hasta el punto es igual al módulo de la coordenada de este punto, respectivamente O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
2. La distancia entre los puntos A y B se define como el módulo de la diferencia entre las coordenadas de estos puntos: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Respuesta: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Ejemplo 2

Dato inicial: dado un sistema de coordenadas rectangulares y dos puntos sobre él A (1 , - 1) y B (λ + 1 , 3) ​​. λ es un número real. Es necesario encontrar todos los valores de este número para los cuales la distancia A B será igual a 5.

Solución

Para encontrar la distancia entre los puntos A y B, debes usar la fórmula A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Sustituyendo los valores reales de las coordenadas, obtenemos: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Y también usamos la condición existente de que A B = 5 y entonces la igualdad será verdadera:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Respuesta: A B \u003d 5 si λ \u003d ± 3.

Ejemplo 3

Datos iniciales: se dan un espacio tridimensional en un sistema de coordenadas rectangulares O x y z y los puntos A (1 , 2 , 3) ​​​​y B - 7 , - 2 , 4 que se encuentran en él.

Solución

Para resolver el problema, usamos la fórmula A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Sustituyendo los valores reales, obtenemos: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Respuesta: | AB | = 9

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La distancia entre dos puntos en un plano.
Sistemas coordinados

Cada punto A del plano se caracteriza por sus coordenadas (x, y). Coinciden con las coordenadas del vector 0А , saliendo del punto 0 - el origen.

Sean A y B puntos arbitrarios del plano de coordenadas (x 1 y 1) y (x 2, y 2), respectivamente.

Entonces el vector AB obviamente tiene las coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Se sabe que el cuadrado de la longitud de un vector es igual a la suma de los cuadrados de sus coordenadas. Por tanto, la distancia d entre los puntos A y B, o lo que es lo mismo, la longitud del vector AB, se determina a partir de la condición

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d \u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

La fórmula resultante le permite encontrar la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano, si solo se conocen las coordenadas de estos puntos

Cada vez, hablando de las coordenadas de uno u otro punto del plano, tenemos en mente un sistema de coordenadas bien definido x0y. En general, el sistema de coordenadas en el plano se puede elegir de diferentes maneras. Entonces, en lugar del sistema de coordenadas x0y, podemos considerar el sistema de coordenadas x"0y", que se obtiene al rotar los ejes de coordenadas antiguos alrededor del punto de partida 0 en sentido anti-horario flechas en la esquina α .

Si algún punto del plano en el sistema de coordenadas x0y tenía coordenadas (x, y), entonces en el nuevo sistema de coordenadas x"0y" tendrá otras coordenadas (x", y").

Como ejemplo, considere el punto M, ubicado en el eje 0x" y separado del punto 0 a una distancia igual a 1.

Obviamente, en el sistema de coordenadas x0y, este punto tiene coordenadas (cos α , pecado α ), y en el sistema de coordenadas x"0y" las coordenadas son (1,0).

Las coordenadas de dos puntos cualesquiera del plano A y B dependen de cómo se establezca el sistema de coordenadas en este plano. Pero la distancia entre estos puntos no depende de cómo se especifique el sistema de coordenadas. Haremos uso esencial de esta importante circunstancia en la siguiente sección.

Ejercicios

I. Encontrar distancias entre puntos del plano con coordenadas:

1) (3.5) y (3.4); 3) (0.5) y (5, 0); 5) (-3.4) y (9, -17);

2) (2, 1) y (- 5, 1); 4) (0.7) y (3.3); 6) (8, 21) y (1, -3).

II. Encuentra el perímetro de un triángulo cuyos lados están dados por las ecuaciones:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 y y = 1.

tercero En el sistema de coordenadas x0y, los puntos M y N tienen coordenadas (1, 0) y (0,1), respectivamente. Encuentre las coordenadas de estos puntos en el nuevo sistema de coordenadas, que también se obtiene girando los ejes antiguos alrededor del punto inicial en un ángulo de 30 ° en sentido contrario a las agujas del reloj.

IV. En el sistema de coordenadas x0y, los puntos M y N tienen coordenadas (2, 0) y (\ / 3/2, - 1/2) respectivamente. Encuentre las coordenadas de estos puntos en el nuevo sistema de coordenadas, que se obtiene girando los ejes antiguos alrededor del punto inicial en un ángulo de 30° en el sentido de las agujas del reloj.

La resolución de problemas de matemáticas para los estudiantes suele ir acompañada de muchas dificultades. Ayudar al estudiante a hacer frente a estas dificultades, así como enseñarle cómo aplicar su conocimiento teórico en la resolución de problemas específicos en todas las secciones del curso de la asignatura "Matemáticas" es el objetivo principal de nuestro sitio.

Comenzando a resolver problemas sobre el tema, los estudiantes deben ser capaces de construir un punto en un plano de acuerdo con sus coordenadas, así como encontrar las coordenadas de un punto dado.

El cálculo de la distancia entre dos puntos tomados en el plano A (x A; y A) y B (x B; y B) se realiza mediante la fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), donde d es la longitud del segmento que une estos puntos en el plano.

Si uno de los extremos del segmento coincide con el origen, y el otro tiene coordenadas M (x M; y M), entonces la fórmula para calcular d tomará la forma OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Calcular la distancia entre dos puntos dadas las coordenadas de estos puntos

Ejemplo 1.

Encuentra la longitud del segmento que conecta los puntos A(2; -5) y B(-4; 3) en el plano de coordenadas (Fig. 1).

Solución.

La condición del problema está dada: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 y y B = 3. Calcula d.

Aplicando la fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), obtenemos:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Cálculo de las coordenadas de un punto que equidista de tres puntos dados

Ejemplo 2

Encuentre las coordenadas del punto O 1, que es equidistante de los tres puntos A(7; -1) y B(-2; 2) y C(-1; -5).

Solución.

De la formulación de la condición del problema se deduce que O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Deje que el punto deseado O 1 tenga coordenadas (a; b). De acuerdo con la fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) encontramos:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Componemos un sistema de dos ecuaciones:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Después de elevar al cuadrado los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones, escribimos:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Simplificando, escribimos

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Habiendo resuelto el sistema, obtenemos: a = 2; b = -1.

El punto O 1 (2; -1) es equidistante de los tres puntos dados en la condición de que no se encuentran en una línea recta. Este punto es el centro de una circunferencia que pasa por tres puntos dados. (Figura 2).

3. Cálculo de la abscisa (ordenada) de un punto que se encuentra en el eje de abscisas (ordenada) y está a una distancia dada de este punto

Ejemplo 3

La distancia del punto B(-5; 6) al punto A que se encuentra en el eje x es 10. Encuentra el punto A.

Solución.

De la formulación de la condición del problema se sigue que la ordenada del punto A es cero y AB = 10.

Denotando la abscisa del punto A a través de a, escribimos A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Obtenemos la ecuación √((a + 5) 2 + 36) = 10. Simplificándola, tenemos

un 2 + 10a - 39 = 0.

Las raíces de esta ecuación a 1 = -13; y 2 = 3.

Obtenemos dos puntos A 1 (-13; 0) y A 2 (3; 0).

Examen:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Ambos puntos obtenidos se ajustan a la condición del problema (Fig. 3).

4. Cálculo de la abscisa (ordenada) de un punto que se encuentra en el eje de abscisa (ordenada) y está a la misma distancia de dos puntos dados

Ejemplo 4

Encuentre un punto en el eje Oy que esté a la misma distancia de los puntos A (6; 12) y B (-8; 10).

Solución.

Sean las coordenadas del punto requerido por la condición del problema, que se encuentra sobre el eje Oy, O 1 (0; b) (en el punto que se encuentra sobre el eje Oy, la abscisa es igual a cero). De la condición se deduce que O 1 A \u003d O 1 B.

De acuerdo con la fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) encontramos:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Tenemos la ecuación √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) o 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

Después de la simplificación, obtenemos: b - 4 = 0, b = 4.

Requerido por la condición del punto problemático O 1 (0; 4) (Figura 4).

5. Cálculo de las coordenadas de un punto que está a la misma distancia de los ejes de coordenadas y de algún punto dado

Ejemplo 5

Encuentre el punto M ubicado en el plano de coordenadas a la misma distancia de los ejes de coordenadas y del punto A (-2; 1).

Solución.

El punto M requerido, como el punto A (-2; 1), se encuentra en la segunda esquina de coordenadas, ya que es equidistante de los puntos A, P 1 y P 2 (Figura 5). Las distancias del punto M a los ejes de coordenadas son las mismas, por tanto, sus coordenadas serán (-a; a), donde a > 0.

De las condiciones del problema se sigue que MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; PM2 = |-a|,

aquellos. |-a| = un.

De acuerdo con la fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) encontramos:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Hagamos una ecuación:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Después de elevar al cuadrado y simplificar, tenemos: a 2 - 6a + 5 = 0. Resolvemos la ecuación, encontramos a 1 = 1; y 2 = 5.

Obtenemos dos puntos M 1 (-1; 1) y M 2 (-5; 5), satisfaciendo la condición del problema.

6. Cálculo de las coordenadas de un punto que está a la misma distancia especificada del eje de abscisas (ordenadas) y de este punto

Ejemplo 6

Encuentre un punto M tal que su distancia desde el eje y y desde el punto A (8; 6) sea igual a 5.

Solución.

De la condición del problema se sigue que MA = 5 y la abscisa del punto M es igual a 5. Sea la ordenada del punto M igual a b, entonces M(5; b) (Figura 6).

De acuerdo con la fórmula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) tenemos:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Hagamos una ecuación:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Simplificándolo, obtenemos: b 2 - 12b + 20 = 0. Las raíces de esta ecuación son b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Por lo tanto, hay dos puntos que satisfacen la condición del problema: M 1 (5; 2) y M 2 (5; 10).

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