Hanapin ang haba ng cycloid arc. Pagkalkula ng arko online na calculator

Ang haba ng arko ng isang cycloid ay unang nakalkula ng arkitekto ng Ingles at mathematician na si Wren noong 1658. Nagpatuloy si Wren mula sa mga mekanikal na pagsasaalang-alang na nakapagpapaalaala sa mga unang gawa nina Torricelli at Roberval. Isinaalang-alang niya ang pag-ikot ng isang umiikot na bilog sa isang napakaliit na anggulo malapit sa "ibaba" na punto ng bumubuo ng bilog. Upang mabigyan ng demonstrative force ang mga iminungkahing pagsasaalang-alang ni Wren, kakailanganing isaalang-alang ang isang buong serye ng mga auxiliary theorems, at nang naaayon ay kinakailangan na gumastos ng masyadong maraming trabaho.

Mas maginhawang gumamit ng mas mahaba ngunit banayad na landas. Upang gawin ito, kailangan mong isaalang-alang ang espesyal na curve na mayroon ang bawat flat curve - ang pag-unlad nito.

Isaalang-alang ang isang convex arc AB ng isang hubog na linya (Larawan 4.1). Isipin natin na ang isang nababaluktot, hindi mapapahaba na sinulid na kapareho ng haba ng arko AB mismo ay nakakabit sa arko AB sa punto A, at ang thread na ito ay "nakabalot" sa kurba at magkasya nang mahigpit dito, upang ang dulo nito ay tumutugma sa punto B. Kami ay "maglalahad" -- ituwid ang thread, pinapanatili itong mahigpit, upang ang libreng bahagi ng CM thread ay palaging nakadirekta nang tangential sa arc AB. Sa ilalim ng mga kundisyong ito, ang dulo ng thread ay maglalarawan ng isang tiyak na kurba. Ang kurba na ito ay tinatawag na isang pag-unlad o, sa Latin, involute orihinal na kurba.

Kung ang arko ng kurba ay hindi matambok sa lahat ng dako sa isang direksyon, kung ito ay tulad ng kurba AB sa Fig. 4.2, ay may isang punto C kung saan ang tangent sa curve ay dumadaan mula sa isang gilid patungo sa isa pa (ang nasabing punto ay tinatawag na inflection point), kung gayon sa kasong ito maaari nating pag-usapan ang pag-unlad ng curve, ngunit ang pangangatwiran ay magkakaroon upang maging mas kumplikado.

Isipin natin na ang thread ay eksaktong naayos sa inflection point C (Fig. 4.2). Ang thread, unwinding mula sa arc BC, ay ilalarawan ang BMR curve - ang pag-scan.

Ngayon isipin natin ang isang sinulid na sugat sa paligid ng arc AC ng orihinal na kurba, ngunit ang thread na ito ay pinahaba na: sa punto C isang piraso ng thread na CP ay nakatali dito. Sa pamamagitan ng pag-ikot ng pinahabang ACP thread na may CA curve, nakakakuha kami ng RNA arc, na, kasama ang BMP arc, ay bumubuo ng isang solong tuloy-tuloy na curve - tuloy-tuloy, ngunit hindi makinis sa lahat ng dako: ang deflection point C ng orihinal na curve ay tumutugma sa tip (return point) ng BMRNA curve: ang BMRNA curve ay magiging involute (sweep) ng BCA curve.

Ang mga halimbawang ito ay nakatulong sa amin na masanay sa mga bagong konsepto ng evolute at involute. Ngayon pag-aralan natin ang mga pag-unlad ng cycloidal curves.

Kapag pinag-aaralan ito o ang curve na iyon, madalas kaming bumuo ng isang auxiliary curve - isang "kasama" ng curve na ito. Kaya, nagkakahalaga kami ng isang sinusoid - isang kasama ng isang cycloid. Ngayon, batay sa cycloid na ito, bubuo kami ng isang auxiliary cycloid na hindi mapaghihiwalay na nauugnay dito. Lumalabas na ang magkasanib na pag-aaral ng naturang pares ng mga cycloid ay sa ilang aspeto ay mas simple kaysa sa pag-aaral ng isang indibidwal na cycloid. Tatawagin natin ang naturang auxiliary cycloid na isang kasamang cycloid.

Isaalang-alang natin ang kalahati ng arko ng cycloid AMB (Fig. 4.3). Hindi tayo dapat ikahiya na ang cycloid na ito ay matatagpuan sa hindi pangkaraniwang paraan ("baligtad"). Gumuhit tayo ng 4 na tuwid na linya parallel sa gabay na tuwid na linya AK sa mga distansya a, 2a, 3a at 4 a. Bumuo tayo ng pagbuo ng bilog sa posisyon na tumutugma sa punto M (sa Fig. 4.3 ang gitna ng bilog na ito ay ipinahiwatig ng titik O). Tukuyin natin ang anggulo ng pag-ikot MON sa pamamagitan ng c. Pagkatapos ang segment AN ay magiging katumbas ng bc (ang anggulo c ay ipinahayag sa radians).

Ipinagpapatuloy namin ang diameter NT ng pagbuo ng bilog na lampas sa punto T sa intersection (sa punto E) na may tuwid na linya na PP. Gamit ang TE bilang diameter, gagawa kami ng isang bilog (na may sentro O 1). Bumuo tayo ng tangent sa point M sa cycloid AMB. Upang gawin ito, ang puntong M ay dapat, tulad ng alam natin, ay konektado sa puntong T. Hayaan nating palawigin ang tangent MT sa lampas na puntong T hanggang sa mag-intersect ito sa auxiliary circle, at tinatawag natin ang intersection point na M 1. Ito ang puntong M 1 na gusto nating harapin.

Tinutukoy namin ang anggulong MON ng c. Samakatuwid, ang anggulo ng MTN ay magiging katumbas ng (ang naka-inscribe na anggulo batay sa parehong arko). Ang Triangle TO 1 M 1 ay halatang isosceles. Samakatuwid, hindi lamang ang anggulo O 1 TM 1, kundi pati na rin ang anggulo TM 1 O 1 ay magkapantay ang bawat isa. Kaya, ang fraction ng anggulo TO 1 M 1 sa tatsulok TO 1 M 1 ay nananatiling eksaktong p - q radians (tandaan na ang anggulo 180? ay katumbas ng p radians). Tandaan din natin na ang segment na NK ay malinaw na katumbas ng b(p - q).

Isaalang-alang natin ngayon ang isang bilog na may sentro O 2, na ipinapakita sa Fig. 4.3 na may putol-putol na linya. Mula sa pagguhit ay malinaw kung anong uri ito ng bilog. Kung igulong mo ito nang hindi dumudulas sa isang tuwid na linya NE, ang punto B nito ay ilalarawan ang cycloid BB. Kapag ang putol-putol na bilog ay umiikot sa anggulo p - c, ang sentro O 2 ay darating sa punto O 1, at ang radius O 2 B ay kukuha ng posisyon O 1 M 1. Kaya, ang puntong M 1 na aming itinayo ay lumalabas na isang punto ng cycloid BB.

Iniuugnay ng inilarawang konstruksyon ang bawat punto M ng cycloid AMB sa punto M 1 ng cycloid VM 1 B. Sa Fig. 4.4 ay nagpapakita ng sulat na ito nang mas malinaw. Ang cycloid na nakuha sa ganitong paraan ay tinatawag na kasama. Sa Fig. 4.3 at 4.4, ang mga cycloid na inilalarawan ng makapal na putol-putol na mga linya ay kasama kaugnay ng mga cycloid na inilalarawan ng makapal na solidong linya.

Mula sa Fig. 4.3 ito ay malinaw na ang tuwid na linya MM 1 ay normal sa punto M 1 sa kasamang cycloid. Sa katunayan, ang tuwid na linyang ito ay dumadaan sa punto M 1 ng cycloid at sa pamamagitan ng puntong T ng tangency ng bumubuo ng bilog at ang nagdidirekta na linya (ang "pinakamababang" punto ng pagbuo ng bilog, tulad ng dati nating sinabi; ngayon ito ay naging ang "pinakamataas" dahil ang pagguhit ay iniikot). Ngunit ang parehong tuwid na linyang ito, sa pamamagitan ng pagbuo, ay padaplis sa "base" ng cycloid AMB. Kaya, ang orihinal na cycloid ay humahawak sa bawat normal ng kasamang cycloid. Ito ang sobre para sa mga normal ng kasamang cycloid, i.e. ebolusyon nito. At ang "kasamang" cycloid ay lumalabas na isang involute lamang ng orihinal na cycloid!

Sa pamamagitan ng pagsasagawa ng masalimuot, ngunit mahalagang simpleng konstruksyon, napatunayan namin ang isang kahanga-hangang teorama na natuklasan ng Dutch scientist na si Huygens. Ito ang theorem: Ang evolute ng isang cycloid ay eksaktong parehong cycloid, inilipat lamang.

Ang pagkakaroon ng pagtatayo ng isang evolute hindi para sa isang arko, ngunit para sa buong cycloid (na, siyempre, ay maaari lamang gawin sa pag-iisip), pagkatapos ay isang evolute para sa evolute na ito, atbp., Nakukuha namin ang Fig. 4.5, na kahawig ng mga tile.

Bigyang-pansin natin ang katotohanan na noong pinatutunayan ang teorama ni Huygens ay hindi tayo gumamit ng alinman sa infinitesimal, indivisible, o approximate estimates. Hindi man lang kami gumamit ng mechanics, bagama't minsan ay gumagamit kami ng mga expression na hiniram sa mechanics. Ang patunay na ito ay ganap na nasa diwa ng pangangatwiran na ginamit ng mga siyentipiko noong ika-17 siglo noong nais nilang mahigpit na patunayan ang mga resultang nakuha gamit ang iba't ibang nangungunang pagsasaalang-alang.

Isang mahalagang corollary kaagad ang sumusunod mula sa Huygens' theorem. Isaalang-alang ang segment AB sa Fig. 4.4. Ang haba ng segment na ito ay malinaw na 4 a. Isipin natin ngayon na ang isang sinulid ay ipinulupot sa paligid ng arc AMB ng cycloid, na nakapirmi sa punto A at nilagyan ng lapis sa punto B. Kung "wind up" natin ang sinulid, ang lapis ay lilipat sa pagbuo ng cycloid AMB , ibig sabihin. kasama ang cycloid BM 1 B. Ang haba ng thread, katumbas ng haba ng semi-arch ng cycloid, ay malinaw na magiging katumbas ng segment AB, ibig sabihin, tulad ng nakita natin, 4 a. Samakatuwid, ang haba L ng buong cycloid arch ay magiging katumbas ng 8 a, at ang formula L=8 a maaari na ngayong ituring na medyo mahigpit na napatunayan.

Kalkulahin natin ang haba ng arko gamit ang differential geometry. Ang solusyon na nakuha sa ganitong paraan ay magiging mas maikli at mas madali:

saan t?

| r(t)|===2kasalanan

5. Parametric cycloid equation at equation sa mga coordinate ng Cartesian

Ipagpalagay natin na binibigyan tayo ng isang cycloid na nabuo ng isang bilog na radius a na may sentro sa punto A.

Kung pipiliin natin bilang isang parameter na tumutukoy sa posisyon ng punto ang anggulo t=∟NDM kung saan ang radius, na may patayong posisyon na AO sa simula ng pag-roll, ay pinamamahalaang umikot, kung gayon ang x at y coordinate ng point M ay ipahayag tulad ng sumusunod:

x= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Kaya ang mga parametric equation ng cycloid ay may anyo:

Kapag ang t ay nagbago mula -∞ hanggang +∞, isang kurba ang makukuha, na binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga sanga tulad ng mga ipinapakita sa figure na ito.

Gayundin, bilang karagdagan sa parametric equation ng cycloid, mayroon ding equation nito sa mga coordinate ng Cartesian:

Kung saan ang r ay ang radius ng bilog na bumubuo sa cycloid.

6. Mga problema sa paghahanap ng mga bahagi ng isang cycloid at mga figure na nabuo ng isang cycloid

Gawain Blg. 1. Hanapin ang lugar ng isang figure na nalilimitahan ng isang arko ng isang cycloid na ang equation ay ibinigay parametrically

at ang Ox axis.

Solusyon. Upang malutas ang problemang ito, gagamitin namin ang mga katotohanan na alam namin mula sa teorya ng mga integral, katulad:

Lugar ng isang hubog na sektor.

Isaalang-alang ang ilang function r = r(ϕ) na tinukoy sa [α, β].

Ang ϕ 0 ∈ [α, β] ay tumutugma sa r 0 = r(ϕ 0) at, samakatuwid, ang puntong M 0 (ϕ 0 , r 0), kung saan ϕ 0,

r 0 - polar coordinate ng punto. Kung magbabago ang ϕ, "tumatakbo sa" buong [α, β], kung gayon ang variable point M ay maglalarawan ng ilang curve AB, na ibinigay

equation r = r(ϕ).

Kahulugan 7.4. Ang isang curvilinear sector ay isang figure na nililimitahan ng dalawang ray ϕ = α, ϕ = β at isang curve AB na tinukoy sa polar

mga coordinate sa pamamagitan ng equation r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Ang sumusunod ay totoo

Teorama. Kung ang function r(ϕ) > 0 at tuloy-tuloy sa [α, β], kung gayon ang lugar

Ang curvilinear sector ay kinakalkula ng formula:

Ang teorama na ito ay napatunayan nang mas maaga sa paksa ng tiyak na integral.

Batay sa teorama sa itaas, ang aming problema sa paghahanap ng lugar ng isang figure na limitado ng isang arko ng isang cycloid, ang equation na kung saan ay ibinibigay ng mga parameter ng parametric x= a (t – sin t), y= a (1 – cos t), at ang Ox axis, ay binabawasan sa sumusunod na solusyon .

Solusyon. Mula sa curve equation dx = a(1−cos t) dt. Ang unang arko ng cycloid ay tumutugma sa isang pagbabago sa parameter t mula 0 hanggang 2π. Kaya naman,

Gawain Blg. 2. Hanapin ang haba ng isang arko ng cycloid

Ang sumusunod na teorama at ang kaakibat nito ay pinag-aralan din sa integral calculus.

Teorama. Kung ang curve AB ay ibinibigay ng equation na y = f(x), kung saan ang f(x) at f ’ (x) ay tuloy-tuloy sa , kung gayon ang AB ay natutuwid at

Bunga. Hayaang ibigay ang AB sa parametric

L AB = (1)

Hayaang ang mga function na x(t), y(t) ay patuloy na naiba-iba sa [α, β]. Pagkatapos

ang pormula (1) ay maaaring isulat ng mga sumusunod

Gumawa tayo ng pagbabago ng mga variable sa integral na ito x = x(t), pagkatapos ay y'(x)= ;

dx= x’(t)dt at samakatuwid:

Ngayon bumalik tayo sa paglutas ng ating problema.

Solusyon. Mayroon kaming, at samakatuwid

Gawain Blg. 3. Kailangan nating hanapin ang surface area S na nabuo mula sa pag-ikot ng isang arko ng cycloid

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – gastos), 0≤ t ≤ 2π)

Sa integral calculus, mayroong sumusunod na formula para sa paghahanap ng surface area ng katawan ng rebolusyon sa paligid ng x-axis ng isang curve na tinukoy sa parametrically sa isang segment: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)

Ang paglalapat ng formula na ito sa ating cycloid equation ay nakukuha natin:

Gawain Blg. 4. Hanapin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng cycloid arch

Kasama ang Ox axis.

Sa integral calculus, kapag nag-aaral ng mga volume, mayroong sumusunod na pangungusap:

Kung ang curve na nagbubuklod sa isang curvilinear trapezoid ay ibinibigay ng mga parametric equation at ang mga function sa mga equation na ito ay nakakatugon sa mga kondisyon ng theorem sa pagbabago ng variable sa isang tiyak na integral, kung gayon ang volume ng body of revolution ng trapezoid sa paligid ng Ox axis ay kalkulahin ng formula

Gamitin natin ang formula na ito upang mahanap ang volume na kailangan natin.

Ang problema ay nalutas.

Konklusyon

Kaya, sa kurso ng gawaing ito, ang mga pangunahing katangian ng cycloid ay nilinaw. Natutunan din namin kung paano bumuo ng isang cycloid at nalaman ang geometric na kahulugan ng isang cycloid. Tulad ng nangyari, ang cycloid ay may napakalaking praktikal na aplikasyon hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa mga teknolohikal na kalkulasyon at pisika. Ngunit ang cycloid ay may iba pang mga merito. Ginamit ito ng mga siyentipiko noong ika-17 siglo nang bumuo ng mga diskarte para sa pag-aaral ng mga hubog na linya - mga pamamaraan na sa huli ay humantong sa pag-imbento ng differential at integral calculus. Isa rin ito sa mga "touchstones" kung saan sinubukan ni Newton, Leibniz at ng kanilang mga naunang mananaliksik ang kapangyarihan ng makapangyarihang mga bagong pamamaraan sa matematika. Sa wakas, ang problema ng brachistochrone ay humantong sa pag-imbento ng calculus of variations, na napakahalaga para sa mga physicist ngayon. Kaya, ang cycloid ay naging inextricably na nauugnay sa isa sa mga pinaka-kagiliw-giliw na mga panahon sa kasaysayan ng matematika.

Panitikan

1. Berman G.N. Cycloid. – M., 1980

2. Verov S.G. Brachistochrone, o isa pang lihim ng cycloid // Quantum. – 1975. - No. 5

3. Verov S.G. Mga lihim ng cycloid // Quantum. – 1975. - No. 8.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Mga aplikasyon ng isang tiyak na integral. Mga tagubiling pamamaraan at mga indibidwal na takdang-aralin para sa mga mag-aaral sa unang taon ng Faculty of Physics. - Rostov n/a: UPL RSU, 1994.

5. Gindikin S.G. Ang stellar age ng cycloid // Quantum. – 1985. - No. 6.

6. Fikhtengolts G.M. Kurso ng differential at integral calculus. T.1. – M., 1969

Ang linyang ito ay tinatawag na "sobre". Ang bawat hubog na linya ay isang sobre ng mga tangent nito.

Ang bagay at galaw, at ang paraan na kanilang binubuo, ay nagbibigay-daan sa lahat na matanto ang kanilang potensyal sa kaalaman ng katotohanan. Ang pagbuo ng isang pamamaraan para sa pag-unlad ng isang dialectical-materialistic na anyo ng pag-iisip at pag-master ng katulad na paraan ng cognition ay ang pangalawang hakbang patungo sa paglutas ng problema ng pag-unlad at pagsasakatuparan ng mga kakayahan ng Tao. Mga Pagkakataon ng Fragment XX...

Sa sitwasyong ito, ang mga tao ay maaaring bumuo ng neurasthenia - isang neurosis, ang batayan ng klinikal na larawan kung saan ay isang asthenic state. Parehong sa kaso ng neurasthenia at sa kaso ng decompensation ng neurasthenic psychopathy, ang kakanyahan ng mental (sikolohikal) na pagtatanggol ay makikita sa pag-alis mula sa mga paghihirap tungo sa magagalitin na kahinaan na may mga vegetative dysfunctions: alinman sa taong hindi sinasadya ay "lumalaban" sa pag-atake nang higit pa. ..

Iba't ibang uri ng aktibidad; pagbuo ng spatial na imahinasyon at spatial na konsepto, matalinghaga, spatial, lohikal, abstract na pag-iisip ng mga mag-aaral; pagbuo ng kakayahang mag-aplay ng geometric at graphic na kaalaman at kasanayan upang malutas ang iba't ibang inilapat na mga problema; pamilyar sa nilalaman at pagkakasunud-sunod ng mga yugto ng mga aktibidad ng proyekto sa larangan ng teknikal at...

Mga arko. Ang mga spiral ay mga involute din ng mga closed curve, halimbawa ang involute ng isang bilog. Ang mga pangalan ng ilang spiral ay ibinibigay sa pamamagitan ng pagkakapareho ng kanilang mga polar equation sa mga equation ng curves sa Cartesian coordinates, halimbawa: · parabolic spiral (a - r)2 = bj, · hyperbolic spiral: r = a/j. · Rod: r2 = a/j · si-ci-spiral, ang mga parametric na equation na may anyo: , ay isang pare-parehong b 2.

Curve tulad ng sa mga figure sa ibaba kapag b a ayon sa pagkakabanggit.

Kung b = a, ang kurba ay lemniscate

SNAIL NI PASCAL
Polar equation: r = b + acosθ

Hayaang ang OQ ang linyang nag-uugnay sa gitna ng O sa anumang puntong Q sa isang bilog na may diameter na dumadaan sa O. Pagkatapos ang kurba ay ang pokus ng lahat ng mga puntong P na PQ = b.

Ang curve na ipinapakita sa mga figure sa ibaba kapag b > a o b

CISSOID NG DIOCLES
Equation sa rectangular coordinates: y 2 = x 3 /(2a - x)

Parametric equation:

Ito ay isang kurba na inilarawan ng isang puntong P tulad ng distansyang OP = distansya ng RS. Ginamit sa gawain pagdodoble ng kubo, ibig sabihin. paghahanap ng gilid ng isang kubo na may dalawang beses sa dami ng isang ibinigay na kubo

SPIRAL ni ARCHIMEDES
Polar equation: r = aθ

Ang mga nasuri na halimbawa ay nakatulong sa amin na masanay sa mga bagong konsepto ng evolute at involute. Ngayon kami ay sapat na handa upang pag-aralan ang pagbuo ng mga cycloidal curves.

Habang pinag-aaralan ito o ang curve na iyon, madalas kaming bumuo ng auxiliary curve - isang "kasama" ng curve na ito.

kanin. 89. Cycloid at ang kasama nito.

Kaya, nagtayo kami ng mga conchoid ng isang tuwid na linya at isang bilog, isang pag-unlad ng isang bilog, isang sinusoid - isang kasama ng isang cycloid. Ngayon, batay sa cycloid na ito, bubuo kami ng isang auxiliary cycloid na hindi mapaghihiwalay na nauugnay dito. Lumalabas na ang magkasanib na pag-aaral ng naturang pares ng mga cycloid ay sa ilang aspeto ay mas simple kaysa sa pag-aaral ng isang indibidwal na cycloid. Tatawagin natin ang naturang auxiliary cycloid na isang kasamang cycloid.

Isaalang-alang natin ang kalahati ng arko ng cycloid AMB (Larawan 89). Hindi tayo dapat ikahiya na ang cycloid na ito ay matatagpuan sa hindi pangkaraniwang paraan ("baligtad").

Gumuhit tayo ng 4 na tuwid na linya parallel sa guide line AK sa mga distansyang a, 2a, 3a at 4a. Bumuo tayo ng isang bumubuo ng bilog sa posisyon na tumutugma sa punto M (sa Fig. 89 ang gitna ng bilog na ito ay ipinahiwatig ng titik O). Tukuyin natin ang anggulo ng pag-ikot ng MON sa pamamagitan ng . Pagkatapos ang segment AN ay magiging pantay (ang anggulo ay ipinahayag sa radians).

Ipinagpapatuloy namin ang diameter NT ng pagbuo ng bilog na lampas sa punto T sa intersection (sa punto E) na may tuwid na linya na PP. Gamit ang TE bilang diameter ay gagawa tayo ng bilog (na may center ). Bumuo tayo ng tangent sa point M sa cycloid AMB. Upang gawin ito, dapat na konektado ang point M, tulad ng alam natin, sa point T (p. 23). Ipagpatuloy natin ang tangent MT na lampas sa puntong T hanggang sa magsalubong ito sa auxiliary circle, at tinatawag natin ang intersection point . Ito ang puntong gusto nating tugunan ngayon.

Tinukoy namin ang anggulo na MON sa pamamagitan ng Samakatuwid, ang anggulo ng MTN ay magiging katumbas ng (ang naka-inscribe na anggulo batay sa parehong arko). Ang tatsulok ay malinaw na isosceles. Samakatuwid, hindi lamang ang anggulo, kundi pati na rin ang anggulo ay magkapantay ang bawat isa.Kaya, ang eksaktong radian ay nananatili para sa fraction ng anggulo sa tatsulok (tandaan na ang isang anggulo ng 180° ay katumbas ng radians). Napansin din namin na ang segment na NK ay malinaw na katumbas ng isang ().

Isaalang-alang natin ngayon ang bilog na may sentro na ipinapakita sa Fig. 89 dashed line. Mula sa pagguhit ay malinaw kung anong uri ito ng bilog. Kung igulong mo ito nang hindi dumudulas sa tuwid na linya CB, ang puntong B nito ay maglalarawan sa cycloid na BB. Kapag ang putol-putol na bilog ay umiikot sa anggulo , ang sentro ay darating sa punto at ang radius ay kukuha ng posisyon Kaya, ang punto na ating ang itinayo ay lumalabas na isang punto ng cycloid BB,

Iniuugnay ng inilarawang konstruksyon ang bawat punto M ng cycloid AMB sa isang punto ng cycloid Sa Fig. 90 mas malinaw na ipinapakita ang sulat na ito. Ang cycloid na nakuha sa ganitong paraan ay tinatawag na kasama. Sa Fig. 89 at 90, ang mga cycloid na inilalarawan ng makapal na putol-putol na mga linya ay kasama na may kaugnayan sa mga cycloid na inilalarawan ng makapal na solidong linya.

Mula sa Fig. 89 malinaw na ang tuwid na linya ay normal sa isang punto patungo sa kasamang cycloid. Sa katunayan, ang tuwid na linyang ito ay dumadaan sa punto ng cycloid at sa pamamagitan ng puntong T ng tangency ng bumubuo ng bilog at ang direktang linya ("ang pinakamababa" na punto ng pagbuo ng bilog, tulad ng dati nating sinabi; ngayon ito ay naging ang “pinakamataas” dahil iniikot ang drawing).

Ngunit ang kaparehong tuwid na linyang ito, sa pamamagitan ng pagbuo, ay padaplis sa "pangunahing" cycloid AMB. Kaya, ang orihinal na cycloid ay humahawak sa bawat normal ng kasamang cycloid. Ito ang sobre para sa mga normal ng kasamang cycloid, ibig sabihin, ang evolute nito. At ang "kasamang" cycloid ay lumalabas na simpleng involute (unfoldment) ng orihinal na cycloid!

kanin. 91 Korespondensya sa pagitan ng mga punto ng cycloid at ang kasama nito.

Sa pamamagitan ng pagsasagawa ng masalimuot, ngunit mahalagang simpleng konstruksyon, napatunayan namin ang isang kahanga-hangang teorama na natuklasan ng Dutch scientist na si Huygens. Narito ang theorem na ito: ang evolute ng isang cycloid ay eksaktong parehong cycloid, inilipat lamang.

Bigyang-pansin natin ang katotohanan na noong pinatutunayan ang teorama ni Huygens ay hindi tayo gumamit ng alinman sa infinitesimal, indivisible, o approximate estimates. Hindi man lang kami gumamit ng mechanics; minsan ay gumagamit kami ng mga expression na hiniram sa mechanics. Ang patunay na ito ay ganap na nasa diwa ng pangangatwiran na ginamit ng mga siyentipiko noong ika-17 siglo noong nais nilang mahigpit na patunayan ang mga resultang nakuha gamit ang iba't ibang nangungunang pagsasaalang-alang.

Isang mahalagang corollary kaagad ang sumusunod mula sa Huygens' theorem. Isaalang-alang ang segment AB sa Fig. 89. Ang haba ng bahaging ito ay malinaw na 4a. Isipin natin ngayon na ang isang sinulid ay ipinulupot sa paligid ng arc AMB ng cycloid, na nakapirmi sa punto A at nilagyan ng lapis sa punto B. Kung "wind up" natin ang sinulid, ang lapis ay lilipat sa pagbuo ng cycloid AMB , ibig sabihin, kasama ang cycloid BMB.

kanin. 91 Mga sunud-sunod na evolute ng cycloid.

Ang haba ng thread, katumbas ng haba ng semi-arch ng cycloid, ay malinaw na magiging katumbas ng segment AB, ibig sabihin, tulad ng nakita natin, 4a. Dahil dito, ang haba ng buong arko ng cycloid ay magiging katumbas ng 8a, at ang formula ay maaari na ngayong ituring na lubos na mahigpit na napatunayan.

Mula sa Fig. 89 maaari kang makakita ng higit pa: ang formula hindi lamang para sa haba ng buong arko ng cycloid, kundi pati na rin para sa haba ng alinman sa mga arko nito. Sa katunayan, malinaw na ang haba ng arc MB ay katumbas ng haba ng segment, ibig sabihin, ang double tangent segment sa kaukulang punto ng cycloid, na nilalaman sa loob ng pagbuo ng bilog.