Mayroong maraming mga bahagi na ang impormasyon sa hugis ay hindi maiparating sa pamamagitan ng dalawang pagguhit ng projection. Upang ang impormasyon tungkol sa kumplikadong hugis ng isang bahagi ay maipakita nang sapat, ang projection ay ginagamit sa tatlong magkaparehong patayo na mga eroplano ng projection: frontal - V, horizontal - H at profile - W (basahin ang "double ve").

Complex drawing Ang isang drawing na ipinakita sa tatlong view o projection, sa karamihan ng mga kaso ay nagbibigay ng kumpletong larawan ng hugis at disenyo ng bahagi (item at object) at tinatawag ding complex drawing. pangunahing guhit. Kung ang isang guhit ay itinayo gamit ang mga coordinate axes, ito ay tinatawag na axis drawing. axisless Kung ang drawing ay itinayo nang walang coordinate axes, ito ay tinatawag na axisless profile Kung ang plane W ay patayo sa frontal at horizontal plane ng projection, kung gayon ito ay tinatawag na profile

Ang isang bagay ay inilalagay sa isang trihedral na sulok upang ang formative edge at base nito ay parallel sa frontal at horizontal projection planes, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos, ang mga projection ray ay ipinapasa sa lahat ng mga punto ng bagay, patayo sa lahat ng tatlong projection planes, kung saan nakuha ang frontal, horizontal at profile projection ng object. Pagkatapos ng projection, ang bagay ay aalisin mula sa trihedral angle, at pagkatapos ay ang pahalang at profile projection plane ay paikutin ng 90°, ayon sa pagkakabanggit, sa paligid ng Ox at Oz axes hanggang sa nakahanay sa frontal projection plane at isang drawing ng bahagi na naglalaman ng tatlong projection ay nakuha.

Ang tatlong projection ng drawing ay magkakaugnay sa isa't isa. Ang mga frontal at horizontal projection ay nagpapanatili ng projection na koneksyon ng mga imahe, ibig sabihin, ang mga projection na koneksyon ay itinatag sa pagitan ng frontal at horizontal, frontal at profile, pati na rin ang horizontal at profile projection. Tinutukoy ng mga linya ng projection ang lokasyon ng bawat projection sa field ng pagguhit. Ang hugis ng karamihan sa mga bagay ay isang kumbinasyon ng iba't ibang mga geometric na katawan o ang kanilang mga bahagi. Samakatuwid, upang basahin at maisagawa ang mga guhit kailangan mong malaman kung paano inilalarawan ang mga geometric na katawan sa sistema ng tatlong projection sa produksyon

1. Ang mga mukha na parallel sa projection planes ay naka-project dito nang walang distortion, sa natural na laki. 2. Ang mga mukha na patayo sa projection plane ay naka-project sa isang segment ng mga tuwid na linya. 3. Ang mga mukha ay matatagpuan pahilig sa mga projection plane, mga larawan dito na may distortion (binawasan)

& 3. pg mga tanong sa pagsulat ng gawain 4.1. pp pp, & 5, pp. 37-45, nakasulat na mga tanong sa takdang-aralin

Natutukoy ang posisyon ng eroplano sa kalawakan:

• tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong linya;
• isang tuwid na linya at isang punto na kinuha sa labas ng tuwid na linya;
• dalawang magkasalubong na linya;
• dalawang magkatulad na linya;
• patag na pigura.

Alinsunod dito, ang eroplano ay maaaring tukuyin sa diagram:

• projection ng tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong linya (Figure 3.1, a);
• projection ng isang punto at isang linya (Figure 3.1,b);
• projection ng dalawang intersecting na linya (Larawan 3.1c);
• projection ng dalawang parallel na linya (Larawan 3.1d);
• flat figure (Larawan 3.1, d);
• bakas ng isang eroplano;
• linya ng pinakamalaking slope ng eroplano.

Figure 3.1 – Mga pamamaraan para sa pagtukoy ng mga eroplano

Pangkalahatang eroplano ay isang eroplano na hindi parallel o patayo sa alinman sa mga projection na eroplano.

Kasunod ng eroplano ay isang tuwid na linya na nakuha bilang isang resulta ng intersection ng isang naibigay na eroplano sa isa sa mga projection na eroplano.

Ang isang generic na eroplano ay maaaring magkaroon ng tatlong bakas: pahalang – απ 1, pangharap – απ 2 at profile – απ 3, na nabubuo kapag nagsa-intersect sa mga kilalang projection plane: pahalang π 1, frontal π 2 at profile π 3 (Larawan 3.2).

Figure 3.2 – Mga bakas ng isang pangkalahatang eroplano

3.2. Mga bahagyang eroplano

Bahagyang eroplano– isang eroplanong patayo o parallel sa eroplano ng mga projection.

Ang eroplanong patayo sa projection plane ay tinatawag na projecting at papunta sa projection plane ito ay ipapakita bilang isang tuwid na linya.

Pag-aari ng projection plane: lahat ng punto, linya, flat figure na kabilang sa projecting plane ay may mga projection sa inclined trace ng eroplano(Larawan 3.3).

Figure 3.3 – Plane na naka-project nang harapan, na kinabibilangan ng: mga puntos A, SA, SA; mga linya AC, AB, Araw; tatsulok na eroplano ABC

Front projection plane – eroplanong patayo sa frontal plane ng mga projection(Larawan 3.4, a).

Pahalang na projection na eroplano – eroplanong patayo sa pahalang na eroplano ng mga projection(Larawan 3.4, b).

Profile-projecting na eroplano – eroplanong patayo sa profile plane ng mga projection.

Ang mga eroplanong parallel sa projection planes ay tinatawag mga antas ng eroplano o double projecting na mga eroplano.

Pangharap na antas ng eroplano – eroplanong parallel sa frontal plane ng mga projection(Larawan 3.4, c).

Pahalang na antas ng eroplano – eroplanong parallel sa pahalang na eroplano ng mga projection(Larawan 3.4, d).

Profile plane ng antas – eroplanong parallel sa profile plane ng mga projection(Larawan 3.4, d).

Figure 3.4 - Mga diagram ng mga eroplano ng partikular na posisyon

3.3. Isang punto at isang tuwid na linya sa isang eroplano. Pag-aari ng isang punto at isang tuwid na eroplano

Ang isang punto ay kabilang sa isang eroplano kung ito ay kabilang sa anumang linya na nakahiga sa eroplanong ito(Larawan 3.5).

Ang isang tuwid na linya ay kabilang sa isang eroplano kung mayroon itong hindi bababa sa dalawang karaniwang mga punto sa eroplano(Larawan 3.6).

Figure 3.5 – Pag-aari ng isang punto sa isang eroplano

α = m // n

D∈ n⇒ D∈ α

Figure 3.6 – Nabibilang sa isang tuwid na eroplano

Mag-ehersisyo

Ibinigay ang isang eroplano na tinukoy ng isang may apat na gilid (Figure 3.7, a). Ito ay kinakailangan upang makumpleto ang pahalang na projection ng tuktok SA.

A	b

Larawan 3.7 – Solusyon sa problema

Solusyon:

1. A B C D– isang patag na may apat na gilid na tumutukoy sa isang eroplano.
2. Gumuhit tayo ng mga diagonal dito A.C. At BD(Figure 3.7, b), na nagsasalubong sa mga tuwid na linya, na tumutukoy din sa parehong eroplano.
3. Ayon sa criterion ng mga intersecting na linya, gagawa kami ng pahalang na projection ng punto ng intersection ng mga linyang ito - K ayon sa kilalang frontal projection nito: A 2 C 2 ∩ B 2 D 2 =K 2 .
4. Ibalik natin ang projection connection line hanggang sa mag-intersect ito sa horizontal projection ng straight line BD: sa diagonal projection B 1 D 1 ginagawa namin SA 1 .
5. Sa pamamagitan ng A 1 SA 1 nagsasagawa kami ng isang diagonal na projection A 1 SA 1 .
6. Lubusang paghinto SA 1 ay nakuha sa pamamagitan ng linya ng koneksyon ng projection hanggang sa mag-intersect ito sa pahalang na projection ng pinahabang dayagonal A 1 SA 1 .

3.4. Pangunahing linya ng eroplano

Ang isang walang katapusang bilang ng mga tuwid na linya ay maaaring itayo sa isang eroplano, ngunit may mga espesyal na tuwid na linya na nakahiga sa eroplano, na tinatawag na pangunahing linya ng eroplano (Larawan 3.8 – 3.11).

Tuwid na antas o parallel sa eroplano ay isang tuwid na linya na nakahiga sa isang naibigay na eroplano at parallel sa isa sa mga projection na eroplano.

Pahalang o pahalang na antas na linya h(first parallel) ay isang tuwid na linya na nakahiga sa isang partikular na eroplano at parallel sa pahalang na eroplano ng mga projection (π 1)(Larawan 3.8, a; 3.9).

harapan o tuwid na antas sa harap f(pangalawang parallel) ay isang tuwid na linya na nakahiga sa isang partikular na eroplano at parallel sa frontal plane ng mga projection (π 2)(Larawan 3.8, b; 3.10).

Antas ng linya ng profile p(third parallel) ay isang tuwid na linya na nakahiga sa isang partikular na eroplano at kahanay sa profile plane ng mga projection (π 3)(Larawan 3.8, c; 3.11).

Figure 3.8 a – Pahalang na tuwid na linya ng antas sa eroplano na tinukoy ng tatsulok

Figure 3.8 b - Pangharap na tuwid na linya ng antas sa eroplano na tinukoy ng tatsulok

Figure 3.8 c – Level profile line sa eroplano na tinukoy ng tatsulok

Figure 3.9 – Pahalang na tuwid na linya ng antas sa eroplano na tinukoy ng mga track

Figure 3.10 – Pangharap na tuwid na linya ng antas sa eroplano na tinukoy ng mga track

Figure 3.11 – Level profile line sa eroplano na tinukoy ng mga track

3.5. Parehong posisyon ng tuwid na linya at eroplano

Ang isang tuwid na linya na may paggalang sa isang naibigay na eroplano ay maaaring magkatulad at maaaring magkaroon ng isang karaniwang punto dito, iyon ay, bumalandra.

3.5.1. Paralelismo ng isang tuwid na eroplano

Tanda ng parallelism ng isang tuwid na eroplano: ang isang linya ay parallel sa isang eroplano kung ito ay parallel sa anumang linya na kabilang sa eroplanong ito(Larawan 3.12).

Figure 3.12 – Parallelism ng isang tuwid na eroplano

3.5.2. Intersection ng isang linya na may eroplano

Upang mabuo ang punto ng intersection ng isang tuwid na linya na may pangkalahatang eroplano (Figure 3.13), kailangan mong:

1. Magtapos nang direkta A sa auxiliary plane β (ang mga eroplano ng partikular na posisyon ay dapat piliin bilang auxiliary plane);
2. Hanapin ang linya ng intersection ng auxiliary plane β sa ibinigay na plane α;
3. Hanapin ang intersection point ng isang ibinigay na linya A na may linya ng intersection ng mga eroplano MN.

Figure 3.13 – Konstruksyon ng tagpuan ng isang tuwid na linya na may eroplano

Mag-ehersisyo

Ibinigay: tuwid AB pangkalahatang posisyon, eroplano σ⊥π 1. (Larawan 3.14). Buuin ang intersection point ng isang linya AB may eroplano σ.

Solusyon:

1. Ang eroplano σ ay pahalang na naka-project, samakatuwid, ang pahalang na projection ng eroplano σ ay ang tuwid na linya σ 1 (pahalang na bakas ng eroplano);
2. Dot SA dapat kabilang sa linya AB ⇒ SA 1 ∈A 1 SA 1 at isang ibinigay na eroplano σ ⇒ SA 1 ∈σ 1 , samakatuwid, SA 1 ay matatagpuan sa intersection point ng mga projection A 1 SA 1 at σ 1 ;
3. Frontal projection ng punto SA nahanap namin sa pamamagitan ng linya ng komunikasyon ng projection: SA 2 ∈A 2 SA 2 .

Figure 3.14 – Intersection ng isang pangkalahatang linya sa isang partikular na eroplano

Mag-ehersisyo

Ibinigay: eroplano σ = Δ ABC– pangkalahatang posisyon, tuwid E.F.(Larawan 3.15).

Ito ay kinakailangan upang bumuo ng punto ng intersection ng isang linya E.F. may eroplano σ.

A	b

Figure 3.15 – Intersection ng isang tuwid na linya at isang eroplano

1. Tapusin natin ang isang tuwid na linya E.F. sa isang auxiliary plane, kung saan gagamitin namin ang horizontally projecting plane α (Figure 3.15, a);
2. Kung α⊥π 1, pagkatapos ay papunta sa projection plane π 1 ang eroplano α ay i-project sa isang tuwid na linya (pahalang na bakas ng eroplano απ 1 o α 1), kasabay ng E 1 F 1 ;
3. Hanapin natin ang linya ng intersection (1-2) ng projecting plane α kasama ang plane σ (isasaalang-alang ang solusyon sa isang katulad na problema);
4. Tuwid na linya (1-2) at tinukoy na tuwid na linya E.F. nakahiga sa parehong eroplano α at bumalandra sa punto K.

Algorithm para sa paglutas ng problema (Larawan 3.15, b):

Sa pamamagitan ng E.F. Gumuhit tayo ng auxiliary plane α:

3.6. Pagpapasiya ng kakayahang makita gamit ang paraan ng pakikipagkumpitensya sa punto

Kapag tinatasa ang posisyon ng isang linya, kinakailangan upang matukoy kung aling punto ng linya ang matatagpuan na mas malapit (mas higit pa) sa amin, bilang mga tagamasid, kapag tumitingin sa projection plane π 1 o π 2.

Ang mga puntos na nabibilang sa iba't ibang mga bagay, at sa isa sa mga projection plane ay nag-tutugma ang kanilang mga projection (iyon ay, dalawang puntos ang na-project sa isa), ay tinatawag na nakikipagkumpitensya sa projection plane na ito..

Kinakailangang hiwalay na matukoy ang visibility sa bawat projection plane.

Visibility sa π 2 (Fig. 3.15)

Pumili tayo ng mga puntos na nakikipagkumpitensya sa π 2 – puntos 3 at 4. Hayaan ang punto 3∈ VS∈σ, punto 4∈ E.F..

Upang matukoy ang visibility ng mga punto sa projection plane π 2, kinakailangan upang matukoy ang lokasyon ng mga puntong ito sa horizontal projection plane kapag tumitingin sa π 2.

Ang direksyon ng view patungo sa π 2 ay ipinapakita ng arrow.

Mula sa mga pahalang na projection ng mga puntos 3 at 4, kapag tinitingnan ang π 2, malinaw na ang punto 4 1 ay matatagpuan na mas malapit sa nagmamasid kaysa sa 3 1.

4 1 ∈E 1 F 1 ⇒ 4∈E.F.⇒ sa π 2 punto 4 ay makikita, nakahiga sa tuwid na linya E.F., samakatuwid, tuwid E.F. sa lugar ng mga nakikipagkumpitensyang puntos na isinasaalang-alang ay matatagpuan sa harap ng σ plane at makikita hanggang sa punto K

Visibility sa π 1

Upang matukoy ang visibility, pipili kami ng mga puntos na nakikipagkumpitensya sa π 1 - puntos 2 at 5.

Upang matukoy ang visibility ng mga punto sa projection plane π 1, kinakailangan upang matukoy ang lokasyon ng mga puntong ito sa frontal projection plane kapag tumitingin sa π 1.

Ang direksyon ng view patungo sa π 1 ay ipinapakita ng arrow.

Mula sa mga frontal projection ng mga puntos 2 at 5, kapag tinitingnan ang π 1, malinaw na ang punto 2 2 ay matatagpuan na mas malapit sa tagamasid kaysa sa 5 2.

2 1 ∈A 2 SA 2 ⇒ 2∈AB⇒ sa π 1 punto 2 ay makikita, nakahiga sa tuwid na linya AB, samakatuwid, tuwid E.F. sa lugar ng mga nakikipagkumpitensyang puntos na isinasaalang-alang ay matatagpuan sa ilalim ng eroplano σ at hindi makikita hanggang sa punto K– mga punto ng intersection ng tuwid na linya sa eroplano σ.

Ang nakikitang isa sa dalawang magkatunggaling punto ay ang isa na ang "Z" at/o "Y" na mga coordinate ay mas malaki.

3.7. Perpendicularity sa isang tuwid na eroplano

Tanda ng perpendicularity ng isang tuwid na eroplano: ang isang linya ay patayo sa isang eroplano kung ito ay patayo sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa isang partikular na eroplano.

A	b

Figure 3.16 – Pagtukoy sa isang tuwid na linya na patayo sa eroplano

Teorama. Kung ang tuwid na linya ay patayo sa eroplano, pagkatapos ay sa diagram: ang pahalang na projection ng tuwid na linya ay patayo sa pahalang na projection ng pahalang ng eroplano, at ang frontal projection ng tuwid na linya ay patayo sa frontal projection ng ang pangharap (Figure 3.16, b)

Ang theorem ay napatunayan sa pamamagitan ng theorem sa projection ng isang tamang anggulo sa isang espesyal na kaso.

Kung ang eroplano ay tinukoy ng mga bakas, kung gayon ang mga projection ng isang tuwid na linya na patayo sa eroplano ay patayo sa kaukulang mga bakas ng eroplano (Larawan 3.16, a).

Hayaan itong maging tuwid p patayo sa eroplano σ=Δ ABC at dumadaan sa punto K.

1. Buuin natin ang pahalang at pangharap na mga linya sa eroplano σ=Δ ABC : A-1∈σ; A-1//π 1 ; S-2∈σ; S-2//π 2 .
2. Ibalik natin mula sa punto K patayo sa isang naibigay na eroplano: p 1⊥h 1 At p2⊥f 2, o p 1⊥απ 1 At p2⊥απ 2

3.8. Kamag-anak na posisyon ng dalawang eroplano

3.8.1. Paralelismo ng mga eroplano

Ang dalawang eroplano ay maaaring magkatulad at magsalubong.

Tanda ng paralelismo ng dalawang eroplano: dalawang eroplano ay magkapareho kung ang dalawang intersecting na linya ng isang eroplano ay magkatugma sa dalawang intersecting na linya ng isa pang eroplano.

Mag-ehersisyo

Ang pangkalahatang posisyon ng eroplano ay binibigyan ng α=Δ ABC at panahon F∉α (Larawan 3.17).

Sa pamamagitan ng punto F gumuhit ng eroplanong β parallel sa plane α.

Figure 3.17 – Konstruksyon ng isang eroplanong parallel sa isang ibinigay na isa

Solusyon:

Bilang mga intersecting na linya ng eroplanong α, kunin natin, halimbawa, ang mga gilid ng tatsulok na AB at BC.

1. Sa pamamagitan ng punto F nagsasagawa kami ng direktang m, parallel, halimbawa, AB.
2. Sa pamamagitan ng punto F, o sa pamamagitan ng anumang puntong kabilang sa m, gumuhit kami ng isang tuwid na linya n, parallel, halimbawa, Araw, at m∩n=F.
3. β = m∩n at β//α ayon sa kahulugan.

3.8.2. Intersection ng mga eroplano

Ang resulta ng intersection ng 2 eroplano ay isang tuwid na linya. Anumang tuwid na linya sa isang eroplano o sa kalawakan ay maaaring natatanging tukuyin ng dalawang puntos. Samakatuwid, upang makabuo ng isang linya ng intersection ng dalawang eroplano, dapat kang makahanap ng dalawang punto na karaniwan sa parehong mga eroplano, at pagkatapos ay ikonekta ang mga ito.

Isaalang-alang natin ang mga halimbawa ng intersection ng dalawang eroplano na may iba't ibang paraan ng pagtukoy sa kanila: sa pamamagitan ng mga bakas; tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong linya; parallel na linya; mga interseksyon na linya, atbp.

Mag-ehersisyo

Dalawang eroplanong α at β ang tinutukoy ng mga bakas (Larawan 3.18). Bumuo ng isang linya ng intersection ng mga eroplano.

Figure 3.18 – Intersection ng mga pangkalahatang eroplano na tinukoy ng mga bakas

Ang pamamaraan para sa pagtatayo ng linya ng intersection ng mga eroplano:

1. Hanapin ang punto ng intersection ng mga pahalang na bakas - ito ang punto M(ang kanyang mga projection M 1 At M 2, habang M 1 =M, dahil M – pribadong punto na kabilang sa eroplano π 1).
2. Hanapin ang punto ng intersection ng mga frontal track - ito ang punto N(ang kanyang mga projection N 1 at N 2, habang N 2 = N, dahil N – pribadong punto na kabilang sa eroplano π 2).
3. Bumuo ng isang linya ng intersection ng mga eroplano sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga projection ng mga nagresultang punto ng parehong pangalan: M 1 N 1 at M 2 N 2 .

MN– linya ng intersection ng mga eroplano.

Mag-ehersisyo

Ibinigay na eroplano σ = Δ ABC, eroplano α – pahalang na projecting (α⊥π 1) ⇒α 1 – pahalang na bakas ng eroplano (Larawan 3.19).

Buuin ang linya ng intersection ng mga eroplanong ito.

Solusyon:

Dahil ang eroplano α ay nag-intersect sa mga gilid AB At AC tatsulok ABC, pagkatapos ay ang mga punto ng intersection K At L ang mga panig na ito sa eroplanong α ay karaniwan sa parehong ibinigay na mga eroplano, na magbibigay-daan, sa pamamagitan ng pagkonekta sa kanila, upang mahanap ang nais na linya ng intersection.

Ang mga punto ay matatagpuan bilang mga punto ng intersection ng mga tuwid na linya sa projecting plane: nakakakita kami ng mga pahalang na projection ng mga puntos K At L, yan ay K 1 at L 1, sa intersection ng pahalang na bakas (α 1) ng isang naibigay na eroplano α na may pahalang na projection ng mga gilid Δ ABC: A 1 SA 1 at A 1 C 1 . Pagkatapos, gamit ang mga linya ng komunikasyon ng projection, makikita natin ang mga frontal projection ng mga puntong ito K2 At L 2 sa frontal projection ng mga tuwid na linya AB At AC. Ikonekta natin ang mga projection ng parehong pangalan: K 1 at L 1 ; K2 At L 2. Ang linya ng intersection ng mga ibinigay na eroplano ay iginuhit.

Algorithm para sa paglutas ng problema:

KL– linya ng intersection Δ ABC at σ (α∩σ = KL).

Figure 3.19 – Intersection ng pangkalahatan at partikular na mga eroplano

Mag-ehersisyo

Given planes α = m//n at plane β = Δ ABC(Larawan 3.20).

Bumuo ng isang linya ng intersection ng mga ibinigay na eroplano.

Solusyon:

1. Upang mahanap ang mga puntong karaniwan sa parehong ibinigay na mga eroplano at pagtukoy sa linya ng intersection ng mga eroplano α at β, kinakailangan na gumamit ng mga pantulong na eroplano ng partikular na posisyon.
2. Bilang mga eroplano, pipili tayo ng dalawang pantulong na eroplano ng partikular na posisyon, halimbawa: σ // τ; σ⊥π 2 ; τ⊥π 2 .
3. Ang bagong ipinakilala na mga eroplano ay bumalandra sa bawat isa sa mga ibinigay na eroplano na α at β kasama ang mga tuwid na linya na parallel sa isa't isa, dahil σ // τ:

— ang resulta ng intersection ng mga eroplanong α, σ at τ ay mga tuwid na linya (4-5) at (6-7);

— ang resulta ng intersection ng mga eroplanong β, σ at τ ay mga tuwid na linya (3-2) at (1-8).

1. Ang mga linya (4-5) at (3-2) ay nasa σ plane; kanilang punto ng intersection M sabay na namamalagi sa mga eroplanong α at β, iyon ay, sa tuwid na linya ng intersection ng mga eroplanong ito;
2. Sa katulad na paraan, nakita natin ang punto N, karaniwan sa mga eroplanong α at β.
3. Pagkonekta sa mga tuldok M At N, buuin natin ang tuwid na linya ng intersection ng mga eroplanong α at β.

Figure 3.20 – Intersection ng dalawang eroplano sa pangkalahatang posisyon (pangkalahatang kaso)

Algorithm para sa paglutas ng problema:

Mag-ehersisyo

Ibinigay na mga eroplano α = Δ ABC at β = a//b. Bumuo ng isang linya ng intersection ng mga ibinigay na eroplano (Figure 3.21).

Figure 3.21 Paglutas ng problema sa intersection ng eroplano

Solusyon:

Gamitin natin ang auxiliary secant planes ng partikular na posisyon. Ipakilala natin ang mga ito sa paraang mabawasan ang bilang ng mga konstruksyon. Halimbawa, ipakilala natin ang eroplano σ⊥π 2 sa pamamagitan ng paglalagay ng tuwid na linya a papunta sa auxiliary plane σ (σ∈ a). Ang eroplanong σ ay nag-intersect sa eroplanong α sa isang tuwid na linya (1-2), at σ∩β= A. Samakatuwid (1-2)∩ A=K.

Dot SA nabibilang sa parehong eroplanong α at β.

Samakatuwid, ang punto K, ay isa sa mga kinakailangang punto kung saan dumadaan ang linya ng intersection ng mga ibinigay na eroplanong α at β.

Upang mahanap ang pangalawang punto na kabilang sa linya ng intersection ng α at β, tinatapos namin ang linya b papunta sa auxiliary plane τ⊥π 2 (τ∈ b).

Pagkonekta sa mga tuldok K At L, nakuha namin ang tuwid na linya ng intersection ng mga eroplanong α at β.

3.8.3. Parehong patayo na mga eroplano

Ang mga eroplano ay magkaparehong patayo kung ang isa sa kanila ay dumaan sa patayo sa isa.

Mag-ehersisyo

Dahil sa isang eroplano σ⊥π 2 at isang linya sa pangkalahatang posisyon - DE(Larawan 3.22)

Kinakailangan upang bumuo sa pamamagitan ng DE eroplano τ⊥σ.

Solusyon .

Gumuhit tayo ng patayo CD sa eroplano σ – C 2 D 2 ⊥σ 2 (batay sa ).

Figure 3.22 – Konstruksyon ng isang eroplano na patayo sa isang naibigay na eroplano

Sa pamamagitan ng right angle projection theorem C 1 D Ang 1 ay dapat na parallel sa projection axis. Mga linyang interseksyon CD∩DE tukuyin ang eroplano τ. Kaya, τ⊥σ.

Katulad na pangangatwiran sa kaso ng isang pangkalahatang eroplano.

Mag-ehersisyo

Ibinigay na eroplano α = Δ ABC at panahon K sa labas ng α plane.

Kinakailangang gumawa ng isang eroplanong β⊥α na dumadaan sa punto K.

Algoritmo ng solusyon(Larawan 3.23):

1. Bumuo tayo ng pahalang na linya h at harap f sa isang ibinigay na eroplano α = Δ ABC;
2. Sa pamamagitan ng punto K gumuhit tayo ng patayo b sa eroplano α (kasama patayo sa plane theorem: kung ang isang tuwid na linya ay patayo sa isang eroplano, kung gayon ang mga projection nito ay patayo sa mga hilig na projection ng pahalang at pangharap na mga linya na nakahiga sa eroplano:b 2⊥f 2; b 1⊥h 1;
3. Tinutukoy namin ang eroplanong β sa anumang paraan, halimbawa, β = a∩b, kaya, ang isang eroplanong patayo sa ibinigay na isa ay itinayo: α⊥β.

Figure 3.23 – Konstruksyon ng isang eroplano na patayo sa isang ibinigay na Δ ABC

3.9. Mga problema upang malutas nang nakapag-iisa

1. Given plane α = m//n(Larawan 3.24). Ito ay kilala na K∈α.

Bumuo ng frontal projection ng isang punto SA.

Larawan 3.24

2. Bumuo ng mga bakas ng isang linya na ibinigay ng isang segment C.B., at tukuyin ang mga kuwadrante na dinadaanan nito (Larawan 3.25).

Larawan 3.25

3. Buuin ang mga projection ng isang parisukat na kabilang sa eroplano α⊥π 2 kung ang dayagonal nito MN//π 2 (Larawan 3.26).

Larawan 3.26

4. Bumuo ng parihaba A B C D na may mas malaking bahagi Araw sa isang tuwid na linya m, batay sa kondisyon na ang ratio ng mga panig nito ay 2 (Figure 3.27).

Larawan 3.27

5. Given plane α= a//b(Larawan 3.28). Bumuo ng isang eroplanong β parallel sa eroplanong α at malayo mula dito sa layong 20 mm.

Larawan 3.28

6. Given plane α=∆ ABC at panahon D D eroplano β⊥α at β⊥π 1 .

7. Ibinigay na eroplano α=∆ ABC at panahon D sa labas ng eroplano. Bumuo sa pamamagitan ng punto D direkta DE//α at DE//π 1 .

Sistema ng tatlong magkaparehong patayo na eroplano

Pagbuo ng isang kumplikadong pagguhit (diagram)

Para sa kaginhawaan ng paggamit ng mga nagresultang larawan mula sa spatial system ng mga eroplano, lumipat tayo sa planar.

Para dito:

1. Ilapat natin ang paraan ng pag-ikot ng eroplano p 1 sa paligid ng X axis hanggang sa ito ay nakahanay sa eroplano p 2 (Fig. 1)

2. Pagsamahin ang mga eroplano p 1 at p 2 sa isang drawing plane (Fig. 2)

Larawan 1	Figure 2

Ang mga projection A 1 at A 2 ay matatagpuan sa parehong linya ng koneksyon patayo sa X axis. Ang linyang ito ay karaniwang tinatawag na projection connection line (Fig. 3).

Larawan 3

Dahil ang projection plane ay itinuturing na walang hanggan sa kalawakan, ang mga hangganan ng eroplano p 1, p 2 ay hindi kailangang ilarawan (Larawan 4).

Larawan 4

Bilang resulta ng pagsasama-sama ng mga eroplano p 1 at p 2, isang kumplikadong pagguhit o diagram ang nakuha (mula sa French epure drawing), ᴛ.ᴇ. pagguhit sa system p 1 at p 2 o sa sistema ng dalawang projection planes. Ang pagkakaroon ng palitan ang visual na imahe ng isang diagram, nawala namin ang spatial na larawan ng lokasyon ng mga projection na eroplano at mga punto. Ngunit ang mga diagram ay nagbibigay ng katumpakan at madaling sukatin na mga imahe na may makabuluhang pagiging simple ng pagbuo.

Ang isang punto na tinukoy sa espasyo ay maaaring magkaroon ng iba't ibang posisyon na may kaugnayan sa mga projection planes.

Ang pagbuo ng mga larawan ng punto ay maaaring gawin sa iba't ibang paraan:

• mga salita (berbal);
• graphically (mga guhit);
• visual na imahe (volumetric);
• planar (komplikadong pagguhit).

Talahanayan 1

Isang halimbawa ng isang imahe ng mga punto na kabilang sa mga eroplano p 1 at p 2

Posisyon ng punto	Visual na imahe	Kumplikadong pagguhit	Mga palatandaan ng katangian
Ang punto A ay kabilang sa eroplano p 1			A 1 – sa ibaba ng X axis, A 2 – sa X axis
Ang punto B ay kabilang sa eroplano p 1			B 1 – sa itaas ng X axis, B 2 – sa X axis
Ang punto C ay kabilang sa eroplano p 2			C 2 – sa itaas ng X axis, C 1 – sa X axis
Ang punto D ay kabilang sa eroplano p 2			D 1 – sa X axis, D 2 – sa ibaba ng X axis
Ang punto E ay kabilang sa X axis			E 1 coincides sa E 2 at nabibilang sa X axis

Larawan 1

Isaalang-alang ang tatlong magkaparehong patayo na eroplano p 1 , p2 , p 3 ( kanin. 1). Ang patayong eroplano p 3 ay tinatawag ako profile projection plane. Pagsalubong sa isa't isa, mga eroplano 1 , p2 , p 3 ang bumubuo sa projection axes, habang ang espasyo ay nahahati sa 8 octants.

p 1 p 2 = x; -x

p 1 p 3 = y; -y

p 2 p 3 = z; -z

0 - punto ng intersection ng projection axes.

Ang projection planes, na nagsasalubong sa pares, ay tumutukoy sa tatlong axes x, y, z, na maaaring ituring bilang isang sistema ng Cartesian coordinates: axis X karaniwang tinatawag na abscissa axis, ang axis y– ordinate axis, axis Z– ilapat ang axis, ang punto ng intersection ng mga axes, na tinutukoy ng titik TUNGKOL SA, ay ang pinagmulan ng mga coordinate.

Upang makakuha ng isang kumplikadong pagguhit, inilalapat namin ang paraan ng pag-ikot ng mga eroplano p 1 at p 3 hanggang sa ihanay ang mga ito sa eroplano p 2. Ang huling view ng lahat ng mga eroplano sa unang octant ay ipinapakita sa Fig. 2.

Figure 2

Narito ang mga palakol Oh At Oz, nakahiga sa nakapirming eroplano p 2, ay inilalarawan nang isang beses lamang, ang axis Oh ipinakita ng dalawang beses. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng ang katunayan na, umiikot sa eroplano p 1, ang axis y sa diagram ito ay pinagsama sa axis Oz, at umiikot sa eroplano p 3, ang parehong axis na ito ay tumutugma sa axis Oh.

Ang anumang punto sa espasyo ay tinutukoy ng mga coordinate. Sa pamamagitan ng mga palatandaan ng mga coordinate, maaari mong matukoy ang octant kung saan matatagpuan ang isang naibigay na punto. Upang gawin ito, gagamitin namin ang talahanayan. 1, kung saan ang mga palatandaan ng mga coordinate sa octants 1–4 ay isinasaalang-alang (octants 5–8 ay hindi ipinakita, mayroon silang negatibong halaga X, A y At z ay paulit-ulit).

Talahanayan 1

x	y	z	Octant
+	+	+	ako
+	_	+	II
+	_	_	III
+	+	_	IV

10.1 Dihedral anggulo. Anggulo sa pagitan ng mga eroplano

Ang dalawang magkasalubong na linya ay bumubuo ng dalawang pares ng mga patayong anggulo. Kung paanong ang dalawang magkasalubong na linya sa isang eroplano ay bumubuo ng isang pares ng mga patayong anggulo (Larawan 89, a), gayundin ang dalawang magkasalubong na eroplano sa kalawakan ay bumubuo ng dalawang pares ng mga patayong dihedral na anggulo (Larawan 89, b).

kanin. 89

Ang dihedral angle ay isang figure na binubuo ng dalawang kalahating eroplano na may isang karaniwang hangganan na tuwid na linya at hindi nakahiga sa parehong eroplano (Larawan 90). Ang mga kalahating eroplano mismo ay tinatawag na mga mukha ng isang dihedral na anggulo, at ang kanilang karaniwang hangganan na tuwid na linya ay tinatawag na gilid nito.

kanin. 90

Ang mga anggulo ng dihedral ay sinusukat bilang mga sumusunod.

Kunin natin ang point O sa gilid p ng isang dihedral na anggulo na may mga mukha α at β. Gumuhit ng mga ray a at b mula sa punto O sa mga mukha nito, patayo sa gilid p: a - sa mukha α at b - sa mukha β (Fig. 91 , a).

kanin. 91

Ang isang anggulo na may mga gilid a, b ay tinatawag na linear dihedral angle.

Ang magnitude ng linear na anggulo ay hindi nakasalalay sa pagpili ng vertex nito sa gilid ng dihedral angle.

Sa katunayan, kumuha tayo ng isa pang punto O 1 ng gilid p at iguhit ang mga sinag ng 1 ⊥ p at b 1 ⊥ p sa mga mukha α at β (Larawan 91, b).

Ilagay natin sa ray a ang segment OA, sa ray a 1 ang segment O 1 A 1, katumbas ng segment OA, sa ray b ang segment OB, at sa ray b 1 ang segment O 1 B 1, katumbas ng segment OB (Larawan 91, c).

Sa mga parihaba OAA 1 O 1 at 0BB 1 0 1, ang mga gilid AA 1 at BB 1 ay katumbas ng kanilang karaniwang panig OO 1 at kahanay nito. Samakatuwid AA 1 = BB 1 at AA 1 || BB 1.

Dahil dito, ang quadrilateral ABV 1 A 1 ay isang paralelogram (Fig. 91, d), na nangangahulugang AB = A 1 B 1. Samakatuwid, ang mga tatsulok na ABO at A 1 B 1 O 1 ay pantay (sa tatlong panig) at ang anggulo ab ay katumbas ng anggulo a 1 b 1.

Ngayon ay maaari nating ibigay ang sumusunod na kahulugan: ang magnitude ng isang dihedral na anggulo ay ang magnitude ng linear na anggulo nito.

Ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na eroplano ay ang laki ng mas maliit sa mga dihedral na anggulo na nabuo ng mga ito. Kung ang anggulong ito ay 90°, kung gayon ang mga eroplano ay tinatawag na mutually perpendicular. Ang anggulo sa pagitan ng magkatulad na mga eroplano ay ipinapalagay na 0°.

Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong α at β, pati na rin ang halaga ng dihedral na anggulo na may mga mukha na α at β, ay tinutukoy na ∠αβ.

Ang anggulo sa pagitan ng mga mukha ng isang polyhedron na may karaniwang gilid ay ang halaga ng anggulo ng dihedral na tumutugma sa mga mukha na ito.

10.2 Mga katangian ng magkabilang patayo na mga eroplano

Ari-arian 1. Ang isang tuwid na linya na nakahiga sa isa sa dalawang magkaparehong patayo na eroplano at patayo sa kanilang karaniwang tuwid na linya ay patayo sa kabilang eroplano.

Patunay. Hayaang ang mga eroplanong α at β ay magkaparehong patayo at magsalubong sa isang tuwid na linya c. Hayaang nakahiga ang tuwid na linya sa eroplanong α at isang ⊥ с (Larawan 92). Ang linyang a ay bumalandra sa c sa ilang punto O. Gumuhit tayo ng linya b sa eroplanong β hanggang sa punto O, patayo sa linya c. Dahil α ⊥ β, pagkatapos ay a ⊥ b. Dahil a ⊥ b at a ⊥ c, pagkatapos ay α ⊥ β batay sa perpendicularity ng linya at ng eroplano.

kanin. 92

Ang pangalawang ari-arian ay ang kabaligtaran ng unang ari-arian.

Ari-arian 2. Ang isang tuwid na linya na may isang karaniwang punto sa isa sa dalawang magkaparehong patayo na eroplano at patayo sa kabilang eroplano ay nasa una sa mga ito.

Patunay. Hayaang ang mga eroplanong α at β ay magkaparehong patayo at mag-intersect sa isang tuwid na linya c, ang tuwid na linya a ⊥ β at a ay may isang karaniwang puntong A na may isang (Larawan 93). Sa pamamagitan ng point A gumuhit kami ng isang tuwid na linya p sa eroplano α, patayo sa tuwid na linya c. Ayon sa ari-arian 1 p ⊥ β. Ang mga linyang a at p ay dumadaan sa punto A at patayo sa eroplanong β. Samakatuwid, nag-tutugma sila, dahil isang tuwid na linya lamang ang dumadaan sa isang punto, patayo sa isang tiyak na eroplano. Dahil ang tuwid na linyang p ay nasa α plane, ang tuwid na linya ay nasa α plane.

kanin. 93

Ang kahihinatnan ng property 2 ay ang sumusunod na tanda ng perpendicularity ng isang linya at isang eroplano: kung ang dalawang eroplano na patayo sa isang ikatlong eroplano ay magsalubong, kung gayon ang linya ng kanilang intersection ay patayo sa ikatlong eroplano.

Patunay. Hayaang ang dalawang eroplanong α at β, na nagsasalubong sa isang tuwid na linya a, ay patayo sa eroplanong γ (Larawan 94). Pagkatapos sa anumang punto ng linya a gumuhit kami ng isang linya na patayo sa eroplano γ. Ayon sa ari-arian 2, ang linyang ito ay nasa eroplanong α at sa eroplanong β, ibig sabihin, ito ay kasabay ng linya a. Kaya, isang ⊥ γ.

kanin. 94

10.3 Tanda ng perpendicularity ng mga eroplano

Magsimula tayo sa mga praktikal na halimbawa. Ang eroplano ng isang pinto na nakabitin sa isang hamba na patayo sa sahig ay patayo sa eroplano ng sahig sa anumang posisyon ng pinto (Larawan 95). Kapag nais nilang suriin kung ang isang patag na ibabaw (pader, bakod, atbp.) ay naka-install nang patayo, ginagawa nila ito gamit ang isang linya ng tubo - isang lubid na may karga. Ang linya ng tubo ay palaging nakadirekta nang patayo, at ang pader ay nakatayo nang patayo kung ang linya ng tubo, na matatagpuan sa tabi nito, ay hindi lumihis. Ang mga halimbawang ito ay nagsasabi sa amin ng sumusunod na simpleng tanda ng perpendicularity ng mga eroplano: kung ang isang eroplano ay dumaan sa isang patayo sa isa pang eroplano, ang mga eroplanong ito ay magkaparehong patayo.

kanin. 95

Patunay. Hayaang maglaman ang eroplanong α ng isang linyang patayo sa eroplanong β (tingnan ang Fig. 92). Pagkatapos, ang tuwid na linya ay bumalandra sa eroplanong β sa isang puntong O. Ang puntong O ay nasa linya c kung saan ang mga eroplanong α at β ay nagsalubong. Gumuhit tayo ng linya b sa β plane sa pamamagitan ng point O, patayo sa linya c. Dahil a ⊥ β, pagkatapos ay a ⊥ b at a ⊥ c. Nangangahulugan ito na ang mga linear na anggulo ng dihedral na mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng intersecting planes α at β ay tuwid. Samakatuwid, ang mga eroplanong α at β ay magkaparehong patayo.

Tandaan na ang bawat dalawa sa tatlong tuwid na linya a, b at c, na isinasaalang-alang ngayon (tingnan ang Fig. 92), ay magkaparehong patayo. Kung bubuo tayo ng isa pang linya na dumadaan sa punto O at patayo sa dalawa sa tatlong linyang ito, magkakasabay ito sa ikatlong linya. Ang katotohanang ito ay nagsasalita tungkol sa tatlong-dimensionalidad ng espasyo sa paligid natin: walang ikaapat na linya na patayo sa bawat isa sa mga linyang a, b at c.

Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili

1. Paano kinakalkula ang anggulo ng dihedral?
2. Paano makalkula ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano?
3. Anong mga eroplano ang tinatawag na mutually perpendicular?
4. Anong mga katangian ng magkabilang patayo na mga eroplano ang alam mo?
5. Anong tanda ng perpendicularity ng mga eroplano ang alam mo?

Gawain Blg. 4.

Gawain Blg. 3.

Gawain Blg. 2.

Gawain Blg. 1.

Pagbuo ng isang kumplikadong pagguhit (diagram)

Para sa kaginhawaan ng paggamit ng mga nagresultang larawan mula sa spatial system ng mga eroplano, lumipat tayo sa planar.

Para dito:

1. Ilapat ang paraan ng pag-ikot ng eroplano p 1 sa paligid ng X axis hanggang sa ito ay nakahanay sa eroplano p 2 (Fig. 2.7)

2. Pagsamahin ang mga eroplano p 1 at p 2 sa isang drawing plane (Larawan 2.8)

kanin. 2.7	kanin. 2.8

Ang mga projection A 1 at A 2 ay matatagpuan sa parehong linya ng koneksyon patayo sa X axis. Ang linyang ito ay tinatawag na projection connection line (Fig. 2.9).

Dahil ang projection plane ay itinuturing na walang hanggan sa espasyo, ang mga hangganan ng eroplano p 1, p 2 ay hindi kailangang ilarawan (Larawan 2.10).

Bilang resulta ng pagsasama-sama ng mga eroplano p 1 at p 2, ang isang kumplikadong pagguhit o diagram ay nakuha (mula sa French epure drawing), i.e. pagguhit sa system p 1 at p 2 o sa sistema ng dalawang projection planes. Ang pagkakaroon ng palitan ang visual na imahe ng isang diagram, nawala namin ang spatial na larawan ng lokasyon ng mga projection na eroplano at mga punto. Ngunit ang mga diagram ay nagbibigay ng katumpakan at madaling sukatin na mga imahe na may makabuluhang pagiging simple ng pagbuo. Upang isipin ang isang spatial na larawan mula sa isang diagram ay nangangailangan ng gawain ng imahinasyon: halimbawa, ayon sa Fig. 2.11 kailangan mong isipin ang larawan na ipinapakita sa Fig. 2.12.

Kung mayroong projection axis sa complex drawing kasama ang projection A 1 at A 2, maaari mong itatag ang posisyon ng point A na may kaugnayan sa p 1 at p 2 (tingnan ang Fig. 2.5 at 2.6). Paghahambing ng Fig. 2.11 at 2.12 madaling itatag na ang segment A 2 A X ay ang distansya mula sa punto A hanggang sa eroplano p 1, at ang segment A 1 A X ay ang distansya mula sa punto A hanggang p 2. Ang lokasyon ng A 2 sa itaas ng projection axis ay nangangahulugan na ang punto A ay matatagpuan sa itaas ng eroplano p 1. Kung ang A 1 sa diagram ay matatagpuan sa ibaba ng projection axis, kung gayon ang point A ay nasa harap ng plane p 2. Kaya, ang pahalang na projection ng geometric na imahe ay tumutukoy sa posisyon nito na may kaugnayan sa frontal plane ng mga projection p 2, at ang frontal projection ng geometric na imahe - na may kaugnayan sa pahalang na eroplano ng mga projection p 1.

kanin. 2.11	kanin. 2.12

§ 4. Mga katangian ng posisyon ng isang punto sa system p 1 at p 2

Ang isang punto na tinukoy sa espasyo ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga posisyon na nauugnay sa mga projection planes (Larawan 2.13).

Isaalang-alang natin ang mga posibleng opsyon para sa lokasyon ng isang punto sa espasyo ng unang quarter:

1. Ang isang punto ay matatagpuan sa puwang ng unang quarter sa anumang distansya mula sa X axis at mga eroplano p 1 p 2, halimbawa, mga punto A, B (ang mga nasabing punto ay tinatawag na mga punto ng pangkalahatang posisyon) (Larawan 2.14 at Fig. 2.15).

3. Ang punto K ay nabibilang nang sabay-sabay sa parehong eroplanong p 1 at p 2, iyon ay, kabilang ito sa X axis (Larawan 2.18):

Batay sa itaas, maaari nating gawin ang sumusunod na konklusyon:

1. Kung ang isang punto ay matatagpuan sa puwang ng unang quarter, ang projection nito A 2 ay matatagpuan sa itaas ng X axis, at A 1 ay nasa ibaba ng X axis; A 2 A 1 – nakahiga sa parehong patayo (linya ng koneksyon) sa X axis (Larawan 2.14).

2. Kung ang isang punto ay kabilang sa eroplano p 2, kung gayon ang projection nito C 2 C (nagtutugma sa mismong punto C) at ang projection C 1 X (pag-aari ng X axis) at tumutugma sa C X: C 1 C X.

3. Kung ang isang punto ay kabilang sa eroplano p 1, kung gayon ang projection D 1 nito sa eroplanong ito ay tumutugma sa mismong punto D D 1, at ang projection D 2 ay kabilang sa X axis at tumutugma sa D X: D 2 D X.

4. Kung ang isang punto ay kabilang sa X axis, kung gayon ang lahat ng projection nito ay nagtutugma at nabibilang sa X axis: K K 1 K 2 K X.

Pagsasanay:

1. Ilarawan ang posisyon ng mga puntos sa puwang ng unang quarter (Larawan 2.19).

2. Bumuo ng isang visual na imahe at isang komprehensibong pagguhit ng punto ayon sa paglalarawan:

a) ang punto C ay matatagpuan sa unang quarter, at katumbas ng layo mula sa mga eroplano p 1 at p 2.

b) ang punto M ay kabilang sa eroplano p 2.

c) ang point K ay matatagpuan sa unang quarter, at ang distansya nito sa p 1 ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa eroplano p 2.

d) ang punto L ay kabilang sa X axis.

3. Bumuo ng kumplikadong pagguhit ng isang punto ayon sa paglalarawan:

a) ang point P ay matatagpuan sa unang quarter, at ang distansya nito mula sa eroplano p 2 ay mas malaki kaysa sa mula sa eroplano p 1.

b) ang punto A ay matatagpuan sa unang quarter at ang distansya nito sa eroplano p 1 ay 3 beses na mas malaki kaysa sa eroplano p 2.

c) ang punto B ay matatagpuan sa unang quarter, at ang distansya nito sa eroplano ay p 1 =0.

4. Ihambing ang posisyon ng mga puntos na may kaugnayan sa projection planes p 1 at p 2 at sa bawat isa. Ang paghahambing ay ginawa batay sa mga katangian o tampok. Para sa mga puntos, ang mga katangiang ito ay ang distansya sa mga eroplano p 1; p 2 (Larawan 2.20).

Ang aplikasyon ng teorya sa itaas kapag gumagawa ng mga imahe ng isang punto ay maaaring isagawa sa iba't ibang paraan:

• mga salita (berbal);
• graphically (mga guhit);
• visual na imahe (volumetric);
• planar (komplikadong pagguhit).

Ang kakayahang magsalin ng impormasyon mula sa isang paraan patungo sa isa pa ay nag-aambag sa pag-unlad ng spatial na pag-iisip, i.e. mula sa verbal hanggang visual (volumetric), at pagkatapos ay sa planar, at vice versa.

Tingnan natin ito ng mga halimbawa (Talahanayan 2.1 at Talahanayan 2.2).

Talahanayan 2.1

Halimbawa ng tuldok na imahe
sa isang sistema ng dalawang projection planes

Quarter space	Visual na imahe	Kumplikadong pagguhit	Mga palatandaan ng katangian
ako			Frontal projection ng point A sa itaas ng X axis, horizontal projection ng point A sa ibaba ng X axis
II			Pangharap at pahalang na mga projection ng point B sa itaas ng X axis
III			Frontal projection ng point C sa ibaba ng X axis, horizontal projection ng point C sa itaas ng X axis
IV			Pangharap at pahalang na projection ng point D sa ibaba ng X axis

Talahanayan 2.2

Isang halimbawa ng isang imahe ng mga punto na kabilang sa mga eroplano p 1 at p 2

Posisyon ng punto	Visual na imahe	Kumplikadong pagguhit	Mga palatandaan ng katangian
Ang punto A ay kabilang sa eroplano p 1			A 1 – sa ibaba ng X axis, A 2 – sa X axis
Ang punto B ay kabilang sa eroplano p 1			B 1 – sa itaas ng X axis, B 2 – sa X axis
Ang punto C ay kabilang sa eroplano p 2			C 2 – sa itaas ng X axis, C 1 – sa X axis
Ang punto D ay kabilang sa eroplano p 2			D 1 – sa X axis, D 2 – sa ibaba ng X axis
Ang punto E ay kabilang sa X axis			E 1 coincides sa E 2 at nabibilang sa X axis

Bumuo ng kumplikadong pagguhit ng punto A kung:

1. Ang punto ay matatagpuan sa II quarter at katumbas ng layo mula sa mga eroplano p 1 at p 2.

2. Ang punto ay matatagpuan sa ikatlong quarter, at ang distansya nito sa eroplano p 1 ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa eroplano p 2.

3. Ang punto ay matatagpuan sa IV quarter, at ang distansya nito sa p1 plane ay mas malaki kaysa sa p2 plane.

Tukuyin kung saang quarter matatagpuan ang mga punto (Larawan 2.21).

1. Bumuo ng visual na imahe ng mga punto sa quarters:

a) A – pangkalahatang posisyon sa ikatlong quarter;

b) B - pangkalahatang posisyon sa IV quarter;

c) C - sa ikalawang quarter, kung ang distansya nito mula sa p 1 ay 0;

d) D - sa unang quarter, kung ang distansya nito mula sa p 2 ay 0.

Bumuo ng kumplikadong pagguhit ng mga puntos A, B, C, D (tingnan ang gawain 3).

Sa pagsasagawa, pananaliksik at imaging, ang isang sistema ng dalawang magkaparehong patayo na mga eroplano ay hindi palaging nagbibigay ng posibilidad ng isang hindi malabo na solusyon. Kaya, halimbawa, kung ililipat mo ang point A sa X axis, hindi magbabago ang imahe nito.

Ang posisyon ng punto sa espasyo (Larawan 2.22) ay nagbago (Larawan 2.24), ngunit ang mga larawan sa kumplikadong pagguhit ay nananatiling hindi nagbabago (Larawan 2.23 at Larawan 2.25).

kanin. 2.22	kanin. 2.23
kanin. 2.24	kanin. 2.25

Upang malutas ang problemang ito, ang isang sistema ng tatlong magkaparehong patayo na mga eroplano ay ipinakilala, dahil kapag gumuhit ng mga guhit, halimbawa, ang mga makina at ang kanilang mga bahagi, hindi dalawa, ngunit higit pang mga imahe ang kinakailangan. Sa batayan na ito, sa ilang mga konstruksyon kapag nilulutas ang mga problema, kinakailangan na ipakilala ang p 1, p 2 at iba pang mga projection na eroplano sa system.

Hinahati ng mga eroplanong ito ang buong espasyo sa mga bahagi ng VIII, na tinatawag na octants (mula sa Latin na okto eight). Ang mga eroplano ay walang kapal, opaque at walang katapusan. Ang tagamasid ay matatagpuan sa unang quarter (para sa mga system p 1, p 2) o sa unang octant (para sa mga system p 1, p 2, p 3) sa isang walang katapusang distansya mula sa mga projection plane.

§ 6. Point sa system p 1, p 2, p 3

Ang pagtatayo ng mga projection ng isang tiyak na punto A, na matatagpuan sa unang octant, sa tatlong magkaparehong patayo na eroplano p 1, p 2, p 3 ay ipinapakita sa Fig. 2.27. Gamit ang kumbinasyon ng mga projection plane na may p 2 plane at gamit ang paraan ng pag-ikot ng mga eroplano, nakakakuha kami ng kumplikadong pagguhit ng point A (Fig. 2.28):

AA 1 ^ p 1 ; AA 2 ^ p 2 ; AA 3 ^ p 3,

kung saan A 3 – projection ng profile ng point A; А Х, А y, А Z – axial projection ng point A.

Ang mga projection A 1, A 2, A 3 ay tinatawag, ayon sa pagkakabanggit, ang frontal, horizontal at profile projection ng point A.

kanin. 2.27	kanin. 2.28

Ang projection planes, na nagsasalubong sa pares, ay tumutukoy sa tatlong axes x, y, z, na maaaring ituring bilang isang sistema ng Cartesian coordinates: axis X tinatawag na abscissa axis, axis y– ordinate axis, axis Z– ilapat ang axis, ang punto ng intersection ng mga axes, na tinutukoy ng titik TUNGKOL SA, ay ang pinagmulan ng mga coordinate.

Kaya, ang tumitingin sa bagay ay nasa unang octant.

Upang makakuha ng isang kumplikadong pagguhit, inilalapat namin ang paraan ng pag-ikot ng mga eroplano p 1 at p 3 (tulad ng ipinapakita sa Fig. 2.27) hanggang sa nakahanay sa eroplano p 2. Ang huling view ng lahat ng mga eroplano sa unang octant ay ipinapakita sa Fig. 2.29.

Narito ang mga palakol Oh At Oz, nakahiga sa nakapirming eroplano p 2, ay inilalarawan nang isang beses lamang, ang axis Oh ipinakita ng dalawang beses. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng ang katunayan na, umiikot sa eroplano p 1, ang axis y sa diagram ito ay pinagsama sa axis Oz, at umiikot sa eroplano p 3, ang parehong axis na ito ay tumutugma sa axis Oh.

Tingnan natin ang Fig. 2.30, nasaan ang punto sa espasyo A, na ibinigay ng mga coordinate (5,4,6). Ang mga coordinate na ito ay positibo, at siya mismo ay nasa unang octant. Ang pagtatayo ng isang imahe ng punto mismo at ang mga projection nito sa isang spatial na modelo ay isinasagawa gamit ang isang coordinate rectangular parallelogram. Upang gawin ito, nag-plot kami ng mga segment sa mga coordinate axes, na tumutugma sa mga segment ng haba: Oah = 5, OAy = 4, OAz= 6. Sa mga segment na ito ( ОАx, ОАy, ОАz), tulad ng sa mga gilid, bumuo kami ng isang hugis-parihaba na parallelepiped. Ang isa sa mga vertice nito ay tutukuyin ang isang naibigay na punto A.

Sa pagsasalita tungkol sa sistema ng tatlong projection plane sa isang kumplikadong pagguhit (Larawan 2.30), kinakailangang tandaan ang mga sumusunod.