การกำหนดระยะทางด้วยพิกัด gps ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเครื่องบิน ระบบพิกัด

การคำนวณระยะทางระหว่างจุดตามพิกัดบนระนาบเป็นพื้นฐาน บนพื้นผิวโลกจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อย: เราจะพิจารณาการวัดระยะทางและราบเริ่มต้นระหว่างจุดต่างๆ โดยไม่มีการแปลงการฉายภาพ ก่อนอื่น มาทำความเข้าใจคำศัพท์กันก่อน

บทนำ

ความยาวส่วนโค้งของวงกลมใหญ่- ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดใดๆ ที่อยู่บนพื้นผิวของทรงกลม วัดตามเส้นที่เชื่อมระหว่างจุดสองจุดนี้ (เส้นดังกล่าวเรียกว่าออร์โธโดรม) และผ่านไปตามพื้นผิวของทรงกลมหรือพื้นผิวอื่นของการปฏิวัติ เรขาคณิตทรงกลมแตกต่างจากแบบยุคลิดทั่วไป และสมการระยะทางก็มีรูปแบบที่ต่างออกไป ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดคือเส้นตรง บนทรงกลมไม่มีเส้นตรง เส้นบนทรงกลมเหล่านี้เป็นส่วนหนึ่งของวงกลมขนาดใหญ่ - วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางตรงกับศูนย์กลางของทรงกลม ราบเริ่มต้น- แอซิมัท ซึ่งเมื่อเริ่มจากจุด A ตามวงกลมใหญ่เป็นระยะทางสั้นที่สุดไปยังจุด B จุดสิ้นสุดจะเป็นจุด B เมื่อเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B ตามเส้นวงกลมใหญ่ แอซิมัทจากจุด A ตำแหน่งปัจจุบันถึงจุดสิ้นสุด B คงที่มีการเปลี่ยนแปลง แอซิมัทเริ่มต้นแตกต่างจากค่าคงที่ โดยที่แอซิมัทจากจุดปัจจุบันไปยังจุดสุดท้ายจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่เส้นทางไม่ใช่ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุด

ผ่านจุดสองจุดใดๆ บนพื้นผิวของทรงกลม หากไม่อยู่ตรงข้ามกันโดยตรง (กล่าวคือ ไม่ใช่แอนติพอด) ก็สามารถวาดวงกลมใหญ่ที่มีลักษณะเฉพาะได้ สองจุดแบ่งวงกลมใหญ่ออกเป็นสองส่วน ความยาวของส่วนโค้งสั้นคือระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุด วงกลมขนาดใหญ่จำนวนอนันต์สามารถวาดได้ระหว่างจุดสองจุดตรงข้ามกัน แต่ระยะห่างระหว่างวงกลมทั้งสองจะเท่ากันในวงกลมใดๆ และเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของวงกลม หรือ π*R โดยที่ R คือรัศมีของทรงกลม

บนระนาบ (ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม) วงกลมใหญ่และชิ้นส่วนของมัน ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น เป็นส่วนโค้งในการฉายภาพทั้งหมด ยกเว้นวงกลม gnomonic ที่วงกลมใหญ่เป็นเส้นตรง ในทางปฏิบัติหมายความว่าเครื่องบินและการขนส่งทางอากาศอื่น ๆ ใช้เส้นทางที่มีระยะห่างน้อยที่สุดระหว่างจุดต่างๆ เพื่อประหยัดเชื้อเพลิง กล่าวคือ การบินจะดำเนินการตามระยะทางของวงกลมใหญ่ บนเครื่องบินดูเหมือนส่วนโค้ง

รูปร่างของโลกสามารถอธิบายได้ว่าเป็นทรงกลม ดังนั้นสมการระยะทางของวงกลมที่ยิ่งใหญ่จึงมีความสำคัญในการคำนวณระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดต่างๆ บนพื้นผิวโลก และมักใช้ในการนำทาง การคำนวณระยะทางด้วยวิธีนี้จะมีประสิทธิภาพมากกว่าและในหลายกรณีมีความแม่นยำมากกว่าการคำนวณสำหรับพิกัดที่คาดการณ์ไว้ (ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม) เนื่องจากประการแรกสำหรับสิ่งนี้ ไม่จำเป็นต้องแปลพิกัดทางภูมิศาสตร์เป็นระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (ทำการฉายภาพ) การแปลงภาพ) และประการที่สอง การฉายภาพจำนวนมาก หากเลือกไม่ถูกต้อง อาจนำไปสู่การบิดเบือนความยาวที่มีนัยสำคัญอันเนื่องมาจากลักษณะของการบิดเบือนการฉายภาพ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าไม่ใช่ทรงกลม แต่ทรงรีอธิบายรูปร่างของโลกได้แม่นยำกว่า อย่างไรก็ตาม ในบทความนี้จะพิจารณาการคำนวณระยะทางบนทรงกลมสำหรับการคำนวณทรงกลมที่มีรัศมี 6372795 เมตร ซึ่ง อาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณระยะทางของลำดับ 0.5%

สูตร

มีสามวิธีในการคำนวณระยะทรงกลมของวงกลมใหญ่ 1. ทฤษฎีบทโคไซน์ทรงกลมในกรณีของระยะทางที่น้อยและความลึกของบิตการคำนวณน้อย (จำนวนตำแหน่งทศนิยม) การใช้สูตรอาจนำไปสู่ข้อผิดพลาดในการปัดเศษที่สำคัญ φ1, λ1; φ2, λ2 - ละติจูดและลองจิจูดของจุดสองจุดในหน่วยเรเดียน Δλ - พิกัดความต่างในลองจิจูด Δδ - ความแตกต่างเชิงมุม Δδ = arccos (บาป φ1 บาป φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) ในการแปลงระยะทางเชิงมุมเป็นหน่วยเมตริก คุณต้องคูณ ความแตกต่างเชิงมุมโดยรัศมีโลก (6372795 เมตร) หน่วยของระยะทางสุดท้ายจะเท่ากับหน่วยที่แสดงรัศมี (ในกรณีนี้คือเมตร) 2. สูตร Haversineใช้เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาระยะทางสั้น ๆ 3. การดัดแปลงสำหรับปฏิปักษ์สูตรก่อนหน้านี้ยังขึ้นอยู่กับปัญหาของ antipodes เพื่อที่จะแก้ไขจึงใช้การดัดแปลงต่อไปนี้

การใช้งานของฉันใน PHP

// กำหนดรัศมีโลก ("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด * $φA, $λA - ละติจูด, ลองจิจูดของจุดที่ 1, * $φB, $λB - ละติจูด, ลองจิจูดของจุดที่ 2 * ขึ้นอยู่กับ http://gis-lab.info/ qa /great-circles.html * Mikhail Kobzarev * */ ฟังก์ชันคำนวณTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // แปลงพิกัดเป็นเรเดียน $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // โคไซน์และไซน์ของละติจูดและความแตกต่างของลองจิจูด $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2 ); $sl1 = sin($lat1); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // การคำนวณ ความยาววงกลมใหญ่ $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $ cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) ตัวอย่างการเรียกฟังก์ชัน: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139.398; $lat2 = -77.1804; $long2 = -139.55; echo คำนวณTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) "เมตร"; // ส่งกลับ "17166029 เมตร"

การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมักจะมาพร้อมกับปัญหามากมาย เพื่อช่วยนักเรียนจัดการกับปัญหาเหล่านี้เช่นเดียวกับการสอนวิธีใช้ความรู้เชิงทฤษฎีของเขาในการแก้ปัญหาเฉพาะในทุกส่วนของวิชา "คณิตศาสตร์" เป็นจุดประสงค์หลักของเว็บไซต์ของเรา

ในการเริ่มแก้ปัญหาในหัวข้อนั้น นักเรียนควรจะสามารถสร้างจุดบนระนาบตามพิกัดของมันได้ เช่นเดียวกับการหาพิกัดของจุดที่กำหนด

การคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุดที่ถ่ายบนระนาบ A (x A; y A) และ B (x B; y B) ทำได้โดยสูตร d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2)โดยที่ d คือความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้บนระนาบ

หากปลายด้านหนึ่งของเซกเมนต์ตรงกับจุดกำเนิด และอีกด้านหนึ่งมีพิกัด M (x M; y M) ดังนั้นสูตรการคำนวณ d จะอยู่ในรูปแบบ OM = √ (x M 2 + y M 2)

1. การคำนวณระยะทางระหว่างจุดสองจุดที่กำหนดพิกัดของจุดเหล่านี้

ตัวอย่าง 1.

ค้นหาความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุด A(2; -5) และ B(-4; 3) บนระนาบพิกัด (รูปที่ 1)

วิธีการแก้.

เงื่อนไขของปัญหาจะได้รับ: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 และ y B = 3 ค้นหา d

ใช้สูตร d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) เราได้รับ:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. การคำนวณพิกัดของจุดที่เท่ากันจากจุดที่กำหนดสามจุด

ตัวอย่าง 2

หาพิกัดของจุด O 1 ซึ่งเป็นระยะทางเท่ากันจากจุดสามจุด A(7; -1) และ B(-2; 2) และ C(-1; -5)

วิธีการแก้.

จากการกำหนดเงื่อนไขของปัญหาที่ว่า O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C ให้จุดที่ต้องการ O 1 มีพิกัด (a; b) ตามสูตร d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) เราพบ:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2)

เราสร้างระบบสองสมการ:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2)

หลังจากยกกำลังสองทางซ้ายและ ส่วนที่ถูกต้องสมการที่เราเขียน:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

ทำให้เข้าใจง่ายเราเขียน

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

เมื่อแก้ไขระบบแล้ว เราได้รับ: a = 2; ข = -1

จุด O 1 (2; -1) มีค่าเท่ากันจากจุดสามจุดที่กำหนดในเงื่อนไขที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ผ่านสามจุดที่กำหนด (รูปที่ 2).

3. การคำนวณ abscissa (พิกัด) ของจุดที่อยู่บนแกน abscissa (พิกัด) และอยู่ห่างจากจุดนี้ที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 3

ระยะทางจากจุด B(-5; 6) ไปยังจุด A ที่วางอยู่บนแกน x คือ 10 หาจุด A

วิธีการแก้.

ตามมาจากการกำหนดเงื่อนไขของปัญหาที่พิกัดของจุด A เป็นศูนย์และ AB = 10

แสดงถึง abscissa ของจุด A ถึง a เราเขียน A(a; 0)

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36)

เราจะได้สมการ √((a + 5) 2 + 36) = 10 ทำให้ง่ายขึ้น เราได้

2 + 10a - 39 = 0

รากของสมการนี้ a 1 = -13; และ 2 = 3

เราได้สองจุด A 1 (-13; 0) และ A 2 (3; 0)

การตรวจสอบ:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

คะแนนที่ได้รับทั้งสองนั้นเหมาะสมกับเงื่อนไขของปัญหา (รูปที่ 3).

4. การคำนวณ abscissa (พิกัด) ของจุดที่อยู่บนแกน abscissa (พิกัด) และอยู่ห่างจากจุดที่กำหนดสองจุดเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 4

หาจุดบนแกน Oy ซึ่งอยู่ห่างจากจุด A (6; 12) และ B (-8; 10) เท่ากัน

วิธีการแก้.

ให้พิกัดของจุดที่ต้องการโดยเงื่อนไขของปัญหาที่วางอยู่บนแกน Oy เป็น O 1 (0; b) (ที่จุดนอนอยู่บนแกน Oy, abscissa เป็นศูนย์) เป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า O 1 A \u003d O 1 V.

ตามสูตร d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) เราพบ:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2)

เรามีสมการ √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) หรือ 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2

หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย เราได้รับ: b - 4 = 0, b = 4

กำหนดโดยเงื่อนไขของปัญหาจุด O 1 (0; 4) (รูปที่ 4).

5. การคำนวณพิกัดของจุดที่อยู่ห่างจากแกนพิกัดและจุดที่กำหนดเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 5

หาจุด M ที่อยู่บนระนาบพิกัดที่ระยะห่างเท่ากันจากแกนพิกัดและจากจุด A (-2; 1)

วิธีการแก้.

จุดที่ต้องการ M เช่นจุด A (-2; 1) อยู่ในมุมพิกัดที่สอง เนื่องจากห่างจากจุด A, P 1 และ P 2 เท่ากัน (รูปที่ 5). ระยะทางของจุด M จากแกนพิกัดจะเท่ากัน ดังนั้น พิกัดของจุดนั้นจะเท่ากับ (-a; a) โดยที่ a > 0

จากเงื่อนไขของปัญหานั้น MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

เหล่านั้น. |-a| = ก.

ตามสูตร d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) เราพบ:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

มาสร้างสมการกัน:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

หลังจากการยกกำลังสองและการลดรูป เรามี: a 2 - 6a + 5 = 0 เราแก้สมการ เราพบ 1 = 1; และ 2 = 5

เราได้สองคะแนน M 1 (-1; 1) และ M 2 (-5; 5) ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา

6. การคำนวณพิกัดของจุดที่อยู่ห่างจากแกน abscissa (พิกัด) ที่กำหนด และจากจุดนี้

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาจุด M โดยที่ระยะห่างจากแกน y และจากจุด A (8; 6) จะเท่ากับ 5

วิธีการแก้.

จากเงื่อนไขของปัญหานั้น MA = 5 และ abscissa ของจุด M เท่ากับ 5 ให้ลำดับของจุด M เท่ากับ b แล้ว M(5; b) (รูปที่ 6)

ตามสูตร d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) เรามี:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

มาสร้างสมการกัน:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. ทำให้ง่ายขึ้น เราได้รับ: b 2 - 12b + 20 = 0 รากของสมการนี้คือ b 1 = 2; b 2 \u003d 10 ดังนั้นจึงมีสองจุดที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา: M 1 (5; 2) และ M 2 (5; 10)

เป็นที่ทราบกันดีว่านักเรียนจำนวนมากเมื่อต้องแก้ปัญหาด้วยตนเอง จำเป็นต้องปรึกษาหารือเกี่ยวกับเทคนิคและวิธีการในการแก้ปัญหาอย่างต่อเนื่อง บ่อยครั้ง นักเรียนไม่สามารถหาวิธีแก้ไขปัญหาได้หากปราศจากความช่วยเหลือจากครู นักเรียนสามารถรับคำแนะนำที่จำเป็นในการแก้ปัญหาบนเว็บไซต์ของเรา

คุณมีคำถามใด ๆ หรือไม่? ไม่แน่ใจว่าจะหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเครื่องบินได้อย่างไร?
เพื่อรับความช่วยเหลือจากติวเตอร์ -.
บทเรียนแรก ฟรี!

blog.site ที่คัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ในบทความนี้ เราจะพิจารณาวิธีการกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งในทางทฤษฎีและในตัวอย่างของงานเฉพาะ เริ่มจากคำจำกัดความกันก่อน

Yandex.RTB R-A-339285-1 คำจำกัดความ 1

ระยะห่างระหว่างจุด- นี่คือความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อในระดับที่มีอยู่ จำเป็นต้องกำหนดมาตราส่วนเพื่อให้มีหน่วยความยาวสำหรับการวัด ดังนั้น โดยพื้นฐานแล้ว ปัญหาในการค้นหาระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ สามารถแก้ไขได้โดยใช้พิกัดบนเส้นพิกัด ในระนาบพิกัด หรือพื้นที่สามมิติ

ข้อมูลเริ่มต้น: เส้นพิกัด O x และจุด A โดยพลการ อยู่บนนั้น จำนวนจริงหนึ่งจำนวนมีอยู่ในจุดใดๆ ของเส้นตรง: ให้นี่เป็นตัวเลขที่แน่นอนสำหรับจุด A เอ็กซ์เอ,เป็นพิกัดของจุด A

โดยทั่วไป เราสามารถพูดได้ว่าการประมาณความยาวของส่วนใดส่วนหนึ่งเกิดขึ้นเมื่อเปรียบเทียบกับส่วนที่เป็นหน่วยความยาวในมาตราส่วนที่กำหนด

หากจุด A สอดคล้องกับจำนวนจริงจำนวนเต็ม โดยแยกจากจุด O ไปยังจุดตามแนวเส้นตรง O A ส่วน - หน่วยของความยาว เราสามารถกำหนดความยาวของส่วน O A ด้วยจำนวนทั้งหมดของส่วนเดียวที่รอดำเนินการ

ตัวอย่างเช่น จุด A ตรงกับหมายเลข 3 - เพื่อไปยังจุดนั้นจากจุด O จำเป็นต้องแยกส่วนสามหน่วยไว้ หากจุด A มีพิกัดเป็น - 4 ส่วนเดียวจะถูกพล็อตในลักษณะเดียวกัน แต่ในทิศทางลบที่ต่างออกไป ดังนั้น ในกรณีแรก ระยะทาง O A คือ 3; ในกรณีที่สอง O A \u003d 4

หากจุด A มีจำนวนตรรกยะเป็นพิกัด จากนั้นจากจุดกำเนิด (จุด O) เราจะตั้งค่าจำนวนเต็มของส่วนของหน่วย และจากนั้นก็เป็นส่วนที่จำเป็น แต่ในทางเรขาคณิต ไม่สามารถทำการวัดได้เสมอไป ตัวอย่างเช่น ดูเหมือนยากที่จะแยกพิกัดตรงเศษส่วน 4 111 .

ตามวิธีข้างต้น เป็นไปไม่ได้เลยที่จะเลื่อนจำนวนอตรรกยะเป็นเส้นตรง ตัวอย่างเช่น เมื่อพิกัดของจุด A คือ 11 . ในกรณีนี้ เป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนเป็นนามธรรม: หากพิกัดที่กำหนดของจุด A มีค่ามากกว่าศูนย์ ดังนั้น O A \u003d x A (ตัวเลขจะถูกนำมาเป็นระยะทาง); ถ้าพิกัดน้อยกว่าศูนย์ ดังนั้น O A = - x A . โดยทั่วไป ข้อความเหล่านี้เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง x A ใดๆ

สรุป: ระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุดซึ่งสอดคล้องกับจำนวนจริงบนเส้นพิกัด เท่ากับ:

0 ถ้าจุดเหมือนกับจุดกำเนิด

x A ถ้า x A > 0 ;

- x A ถ้า x A< 0 .

ในกรณีนี้จะเห็นได้ชัดว่าความยาวของส่วนนั้นไม่สามารถเป็นลบได้ ดังนั้นโดยใช้เครื่องหมายโมดูลัส เราจึงเขียนระยะทางจากจุด O ไปยังจุด A ด้วยพิกัด x อา: O A = x A

ข้อความที่ถูกต้องจะเป็น: ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งจะเท่ากับโมดูลัสของความแตกต่างในพิกัดเหล่านั้น. สำหรับจุด A และ B อยู่บนเส้นพิกัดเดียวกัน ณ ตำแหน่งใด ๆ และมีพิกัดตามลำดับ x อาและ x B: AB = x B - x A .

ข้อมูลเริ่มต้น: จุด A และ B นอนอยู่บนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y พร้อมพิกัดที่กำหนด: A (x A , y A) และ B (x B , y B)

ลองวาดเส้นตั้งฉากกับแกนพิกัด O x และ O y ผ่านจุด A และ B และรับจุดฉายภาพเป็นผล: A x , A y , B x , B y ตามตำแหน่งของจุด A และ B ตัวเลือกต่อไปนี้เป็นไปได้เพิ่มเติม:

หากจุด A และ B ตรงกัน ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองจะเป็นศูนย์

หากจุด A และ B อยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน O x (แกน abscissa) แสดงว่าจุดและจุดตรงกัน และ | เอ บี | = | A y B y | . เนื่องจากระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ เท่ากับโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างพิกัด ดังนั้น A y B y = y B - y A และดังนั้น A B = A y B y = y B - y A .

หากจุด A และ B อยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน O y (แกน y) - โดยการเปรียบเทียบกับย่อหน้าก่อนหน้า: A B = A x B x = x B - x A

หากจุด A และ B ไม่อยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนพิกัดอันใดอันหนึ่ง เราจะหาระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองโดยหาสูตรการคำนวณดังนี้

เราจะเห็นว่าสามเหลี่ยม A B C เป็นมุมฉากโดยการก่อสร้าง ในกรณีนี้ A C = A x B x และ B C = A y B y โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราเขียนความเท่าเทียมกัน: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , แล้วแปลงมัน: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

มาสร้างข้อสรุปจากผลลัพธ์ที่ได้รับกันเถอะ: ระยะทางจากจุด A ถึงจุด B บนระนาบถูกกำหนดโดยการคำนวณโดยสูตรโดยใช้พิกัดของจุดเหล่านี้

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

สูตรผลลัพธ์ยังยืนยันข้อความที่สร้างขึ้นก่อนหน้านี้สำหรับกรณีของจุดหรือสถานการณ์ที่บังเอิญเมื่อจุดอยู่บนเส้นตรงตั้งฉากกับแกน ดังนั้น สำหรับกรณีความบังเอิญของจุด A และ B ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

สำหรับสถานการณ์เมื่อจุด A และ B อยู่บนเส้นตรงตั้งฉากกับแกน x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

สำหรับกรณีที่จุด A และ B อยู่บนเส้นตรงตั้งฉากกับแกน y:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

ข้อมูลเริ่มต้น: ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z พร้อมจุดใดก็ได้ที่วางอยู่บนนั้นด้วยพิกัดที่กำหนด A (x A , y A , z A) และ B (x B , y B , z B) . จำเป็นต้องกำหนดระยะห่างระหว่างจุดเหล่านี้

พิจารณา กรณีทั่วไปเมื่อจุด A และ B ไม่อยู่ในระนาบขนานกับระนาบพิกัดอันใดอันหนึ่ง ลากผ่านจุด A และ B ระนาบที่ตั้งฉากกับแกนพิกัด และรับจุดฉายที่สอดคล้องกัน: A x , A y , A z , B x , B y , B z

ระยะห่างระหว่างจุด A และ B คือเส้นทแยงมุมของกล่องผลลัพธ์ ตามโครงสร้างการวัดของกล่องนี้: A x B x , A y B y และ A z B z

จากเส้นทางของเรขาคณิต เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่ากำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นเท่ากับผลรวมของกำลังสองของมิติของมัน จากคำชี้แจงนี้ เราได้รับความเท่าเทียมกัน: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

โดยใช้ข้อสรุปที่ได้รับก่อนหน้านี้ เราเขียนสิ่งต่อไปนี้:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

มาแปลงนิพจน์กันเถอะ:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

สุดท้าย สูตรกำหนดระยะห่างระหว่างจุดในอวกาศจะมีลักษณะดังนี้:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

สูตรผลลัพธ์ยังใช้ได้สำหรับกรณีที่:

จุดที่ตรงกัน;

พวกมันอยู่บนแกนพิกัดเดียวกันหรือบนเส้นตรงขนานกับแกนพิกัดอันใดอันหนึ่ง

ตัวอย่างการแก้ปัญหาการหาระยะห่างระหว่างจุด

ตัวอย่าง 1

ข้อมูลเริ่มต้น: เส้นพิกัดและจุดที่วางอยู่บนนั้นด้วยพิกัด A (1 - 2) และ B (11 + 2) ที่กำหนด จำเป็นต้องหาระยะทางจากจุดอ้างอิง O ไปยังจุด A และระหว่างจุด A และ B

วิธีการแก้

ระยะทางจากจุดอ้างอิงถึงจุดเท่ากับโมดูลพิกัดของจุดนี้ ตามลำดับ O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
ระยะห่างระหว่างจุด A และ B ถูกกำหนดให้เป็นโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างพิกัดของจุดเหล่านี้: AB = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

คำตอบ: O A = 2 - 1, AB = 10 + 2 2

ตัวอย่าง 2

ข้อมูลเริ่มต้น: กำหนดระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและจุดสองจุดวางอยู่บนนั้น A (1 , - 1) และ B (λ + 1 , 3) λ เป็นจำนวนจริงบางจำนวน จำเป็นต้องค้นหาค่าทั้งหมดของตัวเลขนี้ซึ่งระยะทาง AB จะเท่ากับ 5

วิธีการแก้

ในการหาระยะห่างระหว่างจุด A และ B คุณต้องใช้สูตร A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

แทนที่ค่าที่แท้จริงของพิกัดเราได้รับ: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

และเราใช้เงื่อนไขที่มีอยู่ว่า AB = 5 แล้วความเสมอภาคจะเป็นจริง:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

คำตอบ: A B \u003d 5 ถ้า λ \u003d ± 3

ตัวอย่างที่ 3

ข้อมูลเริ่มต้น: พื้นที่สามมิติในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z และจุด A (1 , 2 , 3) และ B - 7 , - 2 , 4 อยู่ในนั้น

วิธีการแก้

ในการแก้ปัญหาเราใช้สูตร A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

แทนค่าจริงจะได้ AB = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

คำตอบ: | เอ บี | = 9

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเครื่องบิน
ระบบพิกัด

แต่ละจุด A ของระนาบถูกกำหนดโดยพิกัดของมัน (x, y) พวกมันตรงกับพิกัดของเวกเตอร์ 0A ออกมาจากจุด 0 - จุดกำเนิด

ให้ A และ B เป็นจุดใดก็ได้ของระนาบที่มีพิกัด (x 1 y 1) และ (x 2, y 2) ตามลำดับ

เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์ AB มีพิกัด (x 2 - x 1, y 2 - y 1) เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่ากำลังสองของความยาวของเวกเตอร์นั้นเท่ากับผลรวมของกำลังสองของพิกัดของมัน ดังนั้น ระยะทาง d ระหว่างจุด A และ B หรือความยาวของเวกเตอร์ AB เท่ากัน ถูกกำหนดจากเงื่อนไข

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

d \u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

สูตรผลลัพธ์ช่วยให้คุณค้นหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ ของระนาบ หากรู้เพียงพิกัดของจุดเหล่านี้เท่านั้น

ทุกครั้งที่พูดถึงพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งบนเครื่องบิน เรามีระบบพิกัดที่กำหนดไว้อย่างดี x0y โดยทั่วไปแล้ว ระบบพิกัดบนเครื่องบินสามารถเลือกได้หลายวิธี ดังนั้น แทนที่จะเป็นระบบพิกัด x0y เราสามารถพิจารณาระบบพิกัด x"0y" ซึ่งได้มาจากการหมุนแกนพิกัดเดิมรอบจุดเริ่มต้น 0 ทวนเข็มนาฬิกาลูกศรที่มุม α .

หากจุดใดจุดหนึ่งของระนาบในระบบพิกัด x0y มีพิกัด (x, y) จากนั้นในระบบพิกัด x"0y" ใหม่ ก็จะมีพิกัดอื่น (x", y")

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาจุด M ซึ่งอยู่บนแกน 0x" และเว้นระยะจากจุด 0 ที่ระยะห่างเท่ากับ 1

แน่นอน ในระบบพิกัด x0y จุดนี้มีพิกัด (cos α , บาป α ) และในระบบพิกัด x"0y" พิกัดคือ (1,0)

พิกัดของจุดสองจุดใดๆ ของระนาบ A และ B ขึ้นอยู่กับวิธีการตั้งค่าระบบพิกัดในระนาบนี้ แต่ระยะห่างระหว่างจุดเหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการระบุระบบพิกัด เราจะใช้สถานการณ์สำคัญนี้ในหัวข้อถัดไป

การออกกำลังกาย

I. ค้นหาระยะทางระหว่างจุดต่างๆ ของเครื่องบินด้วยพิกัด:

1) (3.5) และ (3.4); 3) (0.5) และ (5, 0); 5) (-3.4) และ (9, -17);

2) (2, 1) และ (- 5, 1); 4) (0.7) และ (3.3); 6) (8, 21) และ (1, -3)

ครั้งที่สอง หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมที่มีด้านมาจากสมการ:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 และ y = 1

สาม. ในระบบพิกัด x0y จุด M และ N มีพิกัด (1, 0) และ (0,1) ตามลำดับ ค้นหาพิกัดของจุดเหล่านี้ในระบบพิกัดใหม่ ซึ่งได้มาจากการหมุนแกนเก่าไปรอบๆ จุดเริ่มต้นด้วยมุม 30° ทวนเข็มนาฬิกา

IV. ในระบบพิกัด x0y จุด M และ N มีพิกัด (2, 0) และ (\ / 3/2, - 1/2) ตามลำดับ ค้นหาพิกัดของจุดเหล่านี้ในระบบพิกัดใหม่ ซึ่งได้มาจากการหมุนแกนเก่าไปรอบๆ จุดเริ่มต้นโดยทำมุม 30° ตามเข็มนาฬิกา

1. การคำนวณระยะทางระหว่างจุดสองจุดที่กำหนดพิกัดของจุดเหล่านี้

ตัวอย่าง 1.

ค้นหาความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุด A(2; -5) และ B(-4; 3) บนระนาบพิกัด (รูปที่ 1)

วิธีการแก้.

เงื่อนไขของปัญหาจะได้รับ: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 และ y B = 3 ค้นหา d

ใช้สูตร d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) เราได้รับ:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. การคำนวณพิกัดของจุดที่เท่ากันจากจุดที่กำหนดสามจุด

ตัวอย่าง 2

หาพิกัดของจุด O 1 ซึ่งเป็นระยะทางเท่ากันจากจุดสามจุด A(7; -1) และ B(-2; 2) และ C(-1; -5)

วิธีการแก้.

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2)

เราสร้างระบบสองสมการ:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2)

หลังจากยกกำลังด้านซ้ายและขวาของสมการแล้ว เราจะเขียนว่า

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

ทำให้เข้าใจง่ายเราเขียน

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

เมื่อแก้ไขระบบแล้ว เราได้รับ: a = 2; ข = -1

ตัวอย่างที่ 3

ระยะทางจากจุด B(-5; 6) ไปยังจุด A ที่วางอยู่บนแกน x คือ 10 หาจุด A

วิธีการแก้.

ตามมาจากการกำหนดเงื่อนไขของปัญหาที่พิกัดของจุด A เป็นศูนย์และ AB = 10

แสดงถึง abscissa ของจุด A ถึง a เราเขียน A(a; 0)

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36)

เราจะได้สมการ √((a + 5) 2 + 36) = 10 ทำให้ง่ายขึ้น เราได้

2 + 10a - 39 = 0

รากของสมการนี้ a 1 = -13; และ 2 = 3

เราได้สองจุด A 1 (-13; 0) และ A 2 (3; 0)

การตรวจสอบ:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

คะแนนที่ได้รับทั้งสองนั้นเหมาะสมกับเงื่อนไขของปัญหา (รูปที่ 3).

ตัวอย่างที่ 4

หาจุดบนแกน Oy ซึ่งอยู่ห่างจากจุด A (6; 12) และ B (-8; 10) เท่ากัน

วิธีการแก้.

ตามสูตร d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) เราพบ:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2)

เรามีสมการ √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) หรือ 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2

หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย เราได้รับ: b - 4 = 0, b = 4

กำหนดโดยเงื่อนไขของปัญหาจุด O 1 (0; 4) (รูปที่ 4).

5. การคำนวณพิกัดของจุดที่อยู่ห่างจากแกนพิกัดและจุดที่กำหนดเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 5

หาจุด M ที่อยู่บนระนาบพิกัดที่ระยะห่างเท่ากันจากแกนพิกัดและจากจุด A (-2; 1)

วิธีการแก้.

จากเงื่อนไขของปัญหานั้น MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

เหล่านั้น. |-a| = ก.

ตามสูตร d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) เราพบ:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

มาสร้างสมการกัน:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

หลังจากการยกกำลังสองและการลดรูป เรามี: a 2 - 6a + 5 = 0 เราแก้สมการ เราพบ 1 = 1; และ 2 = 5

เราได้สองคะแนน M 1 (-1; 1) และ M 2 (-5; 5) ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา

6. การคำนวณพิกัดของจุดที่อยู่ห่างจากแกน abscissa (พิกัด) ที่กำหนด และจากจุดนี้

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาจุด M โดยที่ระยะห่างจากแกน y และจากจุด A (8; 6) จะเท่ากับ 5

วิธีการแก้.

ตามสูตร d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) เรามี:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

มาสร้างสมการกัน:

คุณมีคำถามใด ๆ หรือไม่? ไม่แน่ใจว่าจะหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนเครื่องบินได้อย่างไร?
เพื่อรับความช่วยเหลือจากติวเตอร์ - ลงทะเบียน
บทเรียนแรก ฟรี!

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา