Algebratunnin kehittäminen 11. profiililuokassa

Oppitunnin johti matematiikan opettaja MBOU lukion nro 6 Tupitsyna O.V.

Aihe ja oppitunnin numero aiheessa:"Useiden yhtälö-seuraamukseen johtavien muunnosten soveltaminen", oppitunti nro 7, 8 aiheesta: "Yhtälö-seuraus"

Aihe:Algebra ja matemaattisen analyysin alku - luokka 11 (profiilikoulutus S.M. Nikolskyn oppikirjan mukaan)

Oppitunnin tyyppi: "tietojen ja taitojen systematisointi ja yleistäminen"

Oppitunnin tyyppi: työpaja

Opettajan rooli: ohjata opiskelijoiden kognitiivista toimintaa kehittämään kykyä itsenäisesti soveltaa tietoa kompleksissa valita haluttu muunnosmenetelmä tai -menetelmät, mikä johtaa yhtälöön - menetelmän seuraukseen ja soveltamiseen yhtälön ratkaisemisessa uusissa olosuhteissa.

Tarvittavat tekniset varusteet:multimedialaitteet, web-kamera.

Käytetty oppitunti:

1. didaktinen oppimismalli- ongelmallisen tilanteen luominen,
2. pedagogisia keinoja- koulutusmoduulit osoittavat arkit, valikoima tehtäviä yhtälöiden ratkaisemiseen,
3. opiskelijatoiminnan tyyppi- ryhmä (tunteilla muodostetaan ryhmiä - uuden tiedon "löydöt", tunnit nro 1 ja 2 eri oppimis- ja oppimisasteista oppivilta), yhteinen tai yksilöllinen ongelmanratkaisu,
4. persoonallisuussuuntautuneita koulutustekniikoita: modulaarinen koulutus, ongelmalähtöinen oppiminen, haku- ja tutkimusmenetelmät, kollektiivinen dialogi, toimintatapa, työskentely oppikirjan ja eri lähteiden kanssa,
5. terveyttä säästävät tekniikat- stressin lievittämiseksi suoritetaan fyysistä koulutusta,
6. kompetenssit:

- koulutusta ja kognitiivista perustasolla- Opiskelija tuntee yhtälön käsitteen - seurauksen, yhtälön juuren ja yhtälöön johtavat muunnosmenetelmät - seurauksen, osaa löytää yhtälöiden juuret ja suorittaa niiden varmentamisen tuottavalla tasolla;

- edistyneellä tasolla- opiskelija osaa ratkaista yhtälöitä tunnetuilla muunnosmenetelmillä, tarkistaa yhtälöiden juuret yhtälöiden hyväksyttävien arvojen alueen avulla; laskea logaritmit käyttämällä etsintäpohjaisia ​​ominaisuuksia; tiedottava - opiskelijat etsivät, poimivat ja valitsevat itsenäisesti koulutusongelmien ratkaisemiseen tarvittavia tietoja erilaisista lähteistä.

Didaktinen tavoite:

olosuhteiden luominen:

Ideoiden muodostaminen yhtälöistä - muunnosten seuraukset, juuret ja menetelmät;

Merkitysten luomisen kokemuksen muodostuminen aiemmin tutkittujen yhtälöiden muunnosmenetelmien loogisen seurauksen pohjalta: yhtälön nostaminen parilliseen potenssiin, logaritmien yhtälöiden potentioiminen, yhtälön vapauttaminen nimittäjistä, samanlaisten termien tuominen;

Taitojen vahvistaminen muunnosmenetelmän valinnan määrittämisessä, yhtälön edelleen ratkaisemisessa ja yhtälön juurten valinnassa;

Ongelman asettamisen taitojen hallinta tunnetun ja opitun tiedon perusteella, pyyntöjen muodostaminen selvittääkseen, mitä ei vielä tiedetä;

Opiskelijoiden kognitiivisten etujen, älyllisten ja luovien kykyjen muodostuminen;

Loogisen ajattelun kehittäminen, opiskelijoiden luova toiminta, projektitaidot, kyky ilmaista ajatuksiaan;

Suvaitsevaisuuden tunteen muodostuminen, keskinäinen auttaminen ryhmätyöskentelyssä;

Herää kiinnostus itsenäiseen yhtälöiden ratkaisuun;

Tehtävät:

Järjestä yhtälöiden muuntamista koskevan tiedon toisto ja systematisointi;

- varmistaa yhtälöiden ratkaisumenetelmien hallinta ja niiden juurten tarkistaminen;

- edistää opiskelijoiden analyyttisen ja kriittisen ajattelun kehittymistä; vertailla ja valita optimaaliset menetelmät yhtälöiden ratkaisemiseksi;

- luoda edellytykset tutkimustaitojen, ryhmätyötaitojen kehittymiselle;

Motivoida opiskelijoita käyttämään opittua materiaalia tenttiin valmistautumiseen;

Analysoi ja arvioi työtäsi ja tovereidesi työtä tämän työn suorittamisessa.

Suunnitellut tulokset:

*henkilökohtainen:

Taidot asettaa tehtävä tunnetun ja opitun tiedon perusteella, generoida pyyntöjä selvittääkseen, mitä ei vielä tiedetä;

Kyky valita ongelman ratkaisemiseksi tarvittavat tietolähteet; opiskelijoiden kognitiivisten etujen, älyllisten ja luovien kykyjen kehittäminen;

Loogisen ajattelun kehittyminen, luova toiminta, kyky ilmaista ajatuksiaan, kyky rakentaa argumentteja;

Suoritustulosten itsearviointi;

Ryhmätyötaidot;

*metasubjekti:

Kyky korostaa pääasiaa, vertailla, yleistää, piirtää analogiaa, soveltaa induktiivisia päättelymenetelmiä, esittää hypoteeseja yhtälöitä ratkaistaessa,

Kyky tulkita ja soveltaa hankittua tietoa kokeeseen valmistautuessaan;

*aihe:

Tietoa yhtälöiden muuntamisesta,

Kyky muodostaa erityyppisiin yhtälöihin liittyvä kuvio ja käyttää sitä juurien ratkaisemisessa ja valinnassa,

Oppitunnin tavoitteiden integrointi:

1. (opettajalle) Holistisen näkemyksen muodostaminen opiskelijoille yhtälöiden muuntamiseen ja niiden ratkaisumenetelmiin;
2. (opiskelijoille) Kehitetään kykyä tarkkailla, vertailla, yleistää, analysoida matemaattisia tilanteita, jotka liittyvät eri funktioita sisältäviin yhtälötyyppeihin. Valmistautuminen tenttiin.

Oppitunnin I vaihe:

Tietämyksen päivittäminen motivaation lisäämiseksi erilaisten yhtälöiden muunnosmenetelmien (syötediagnostiikka) soveltamisen alalla

Tiedon päivittämisen vaihesuoritetaan koetyönä itsetestauksella. Kehittäviä tehtäviä ehdotetaan aiemmilla tunneilla hankitun tiedon perusteella, jotka edellyttävät opiskelijoilta aktiivista henkistä toimintaa ja ovat välttämättömiä tämän oppitunnin tehtävän suorittamiseksi.

Varmistustyö

1. Valitse yhtälöt, jotka edellyttävät tuntemattomien rajoittamista kaikkien reaalilukujen joukkoon:

a) = X-2; b) 3 \u003d X-2; c) = 1;

d) ( = (; e) = ; e) +6 = 5;

g) = ; h) = .

(2) Määritä kunkin yhtälön kelvollisten arvojen alue, jossa on rajoituksia.

(3) Valitse esimerkki sellaisesta yhtälöstä, jossa muunnos voi aiheuttaa juuren menetyksen (käytä tämän aiheen aiempien oppituntien materiaaleja).

Jokainen tarkistaa vastaukset itsenäisesti näytöllä korostettujen valmiiden vastausten mukaan. Vaikeimmat tehtävät analysoidaan ja opiskelijat kiinnittävät erityistä huomiota esimerkkeihin a, c, g, h, joissa on rajoituksia.

Johtopäätöksenä on, että yhtälöitä ratkaistaessa on tarpeen määrittää yhtälön sallima arvoalue tai tarkistaa juuret, jotta vältetään ylimääräiset arvot. Toistetaan aiemmin tutkitut menetelmät yhtälöön johtavien yhtälöiden muuntamiseksi - seuraus. Eli opiskelijat ovat siten motivoituneita löytämään oikean tavan ratkaista ehdottamansa yhtälö jatkotyössä.

Oppitunnin II vaihe:

Tietojensa, taitojensa ja kykyjensä käytännön soveltaminen yhtälöiden ratkaisemisessa.

Ryhmille jaetaan arkkia, joissa on tämän aiheen aiheista koottu moduuli. Moduuli sisältää viisi oppimiselementtiä, joista jokainen on tarkoitettu tiettyjen tehtävien suorittamiseen. Eri oppi- ja oppimisasteiset opiskelijat päättävät itsenäisesti toimintojensa laajuuden tunnilla, mutta koska kaikki työskentelevät ryhmissä, tietojen ja taitojen sopeuttaminen on jatkuvaa prosessia, jossa jälkeenjääneet vedetään pakollisiin, toiset edistyneisiin ja luovat tasot.

Oppitunnin keskellä pidetään pakollinen fyysinen minuutti.

Koulutuselementin numero	Koulutuselementti tehtävillä	Opas opetusmateriaalin kehittämiseen
UE-1	Tarkoitus: Määrittää ja perustella tärkeimmät menetelmät yhtälöiden ratkaisemiseksi funktioiden ominaisuuksien perusteella. Harjoittele: Määritä muunnosmenetelmä seuraavien yhtälöiden ratkaisemiseksi: A) )= -8); b) = c) (=( d) ctg + x 2-2x = ctg +24; e) = ; f) = sin x. 2) Tehtävä: Ratkaise vähintään kaksi ehdotetuista yhtälöistä. Kuvaa mitä menetelmiä käytettiin ratkaistuissa yhtälöissä.	Kohta 7.3 s.212 Kohta 7.4 s.214 Kohta 7.5 s.217 Lauseke 7.2 s. 210
UE-2	Tarkoitus: Hallita rationaalisia tekniikoita ja ratkaisumenetelmiä Harjoittele: Anna esimerkkejä yllä olevista tai itse valituista (käytä aiempien oppituntien materiaaleja) yhtälöitä, jotka voidaan ratkaista rationaalisilla ratkaisumenetelmillä, mitä ne ovat? (korostus tapaa tarkistaa yhtälön juuret)
UE-3	Tarkoitus: Opintojen hyödyntäminen monimutkaisten yhtälöiden ratkaisemisessa Harjoittele: = (tai ( = (	Kohta 7.5
UE-4	Aseta aiheen hallinta: matala - enintään 2 yhtälön ratkaisu; Keskimääräinen - enintään 4 yhtälön ratkaisu; korkea - enintään 5 yhtälön ratkaisu
UE-5	Lähtöohjaus: Tee taulukko, jossa esität kaikki tavat, joita käytät yhtälöiden muuntamiseen ja kirjoita kullekin tapalle esimerkkejä ratkaisemistasi yhtälöistä, alkaen aiheen oppitunnista 1: "Yhtälöt - seuraukset"	Tiivistelmät muistikirjoissa

Oppitunnin III vaihe:

Tuotos diagnostinen työ, joka edustaa opiskelijoiden heijastusta, joka osoittaa valmiuden paitsi kokeen kirjoittamiseen, myös valmiuden kokeeseen tässä osiossa.

Oppitunnin lopussa kaikki oppilaat poikkeuksetta arvioivat itseään, sitten tulee opettajan arviointi. Jos opettajan ja opiskelijan välillä on erimielisyyksiä, opettaja voi tarjota opiskelijalle lisätehtävän voidakseen arvioida sitä objektiivisesti. KotitehtävätTarkoituksena on käydä läpi aineisto ennen valvontatyötä.

Tätä esitystä voidaan käyttää suoritettaessa algebratuntia ja aloitettaessa analyysi luokalla 11 tutkittaessa aihetta "Yhtälöt - seuraukset" kirjoittajien S. M. Nikolskyn, M. K. Potapovin, N. N. Reshetnikovin, A. V. Shevkinin opetusmateriaalien mukaan

Näytä asiakirjan sisältö
"Seurausyhtälöt. Muut muunnokset, jotka johtavat yhtälöön seuraus"

YHTÄLÖT - SEURAUKSET

SUULINEN TYÖ

• Mitä yhtälöitä kutsutaan seurausyhtälöiksi?
• Mitä kutsutaan siirtymäksi seurausyhtälöön
• Mitkä muunnokset johtavat seurausyhtälöön?

SUULINEN TYÖ

• √ x = 6
• √ x-2 = 3
• 3 √x = 4;
• √ x 2 \u003d 9
• √ x+4=-2
• √x+1+√x+2=-2

Ei ratkaisuja

Ei ratkaisuja

SUULINEN TYÖ

Ei ratkaisuja

Muunnokset, jotka johtavat seurausyhtälöön

muunnos

Vaikutus yhtälön juuriin

Yhtälön nostaminen TASALLISEEN potenssiin

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

Logaritmisen yhtälön potentiointi, ts. korvaus:

log a f(x)=log a g(x) f(x)= g(x)

Voi johtaa vieraisiin juuriin

Vapautetaan yhtälö nimittäjistä:

Voi johtaa vieraiden juurien ilmaantumiseen, ts. ne luvut x i, joille tai

Korvataan ero f(x)-f(x) nollalla, ts. vastaavien jäsenten vähentäminen

Voi johtaa vieraiden juurien ilmaantumiseen, ts. ne luvut, joille jokaiselle ei ole määritelty funktiota f(x).

Jos tätä yhtälöä ratkaistaessa tehdään siirtymä seurausyhtälöön, on tarkistettava, ovatko kaikki seurausyhtälön juuret alkuperäisen yhtälön juuria.

Saatujen juurien tarkistaminen on pakollinen osa yhtälön ratkaisemista.

№ 8.2 2 (a) Ratkaise yhtälö :

2) Nro 8.23(a)

№ 8,24 (a, c) Ratkaise yhtälö :

№ 8,25 (a, c) Ratkaise yhtälö :

№ 8,28 (a, c) Ratkaise yhtälö :

№ 8,29 (a, c) Ratkaise yhtälö :

KOTITEHTÄVÄT

• Ajo nro 8.24 (b, d), s. 236
• Nro 8.25(b, d)
• 8,28 (b, d)
• 8,29 (b, d)

Luokka: 11

Kesto: 2 oppituntia.

Oppitunnin tarkoitus:

• (opettajalle) kokonaisvaltaisen näkemyksen muodostuminen irrationaalisten yhtälöiden ratkaisumenetelmistä opiskelijoiden keskuudessa.
• (opiskelijoille) Havainnointi-, vertailu-, yleistys- ja matemaattisten tilanteiden analysointikyvyn kehittäminen (dia 2). Valmistautuminen tenttiin.

Ensimmäinen tuntisuunnitelma(dia 3)

1. Tiedon päivitys
2. Teorian analyysi: Yhtälön nostaminen parilliseen potenssiin
3. Työpaja yhtälöiden ratkaisemisesta

Toisen oppitunnin suunnitelma

1. Eriytetty itsenäinen työ ryhmissä "Irrrationaaliset yhtälöt tentissä"
2. Oppituntien yhteenveto
3. Kotitehtävät

Oppituntien kurssi

I. Tietojen päivittäminen

Kohde: toista oppitunnin aiheen onnistuneeseen kehittämiseen tarvittavat käsitteet.

etukysely.

Minkä kahden yhtälön sanotaan olevan ekvivalentti?

Mitä yhtälön muunnoksia kutsutaan ekvivalenteiksi?

- Korvaa tämä yhtälö vastaavalla, jossa on selitys käytetystä muunnoksesta: (dia 4)

a) x + 2x +1; b) 5 = 5; c) 12x = -3; d) x = 32; e) = -4.

Mitä yhtälöä kutsutaan alkuperäisen yhtälön yhtälö-seuraamukseksi?

– Voiko seurausyhtälöllä olla juuri, joka ei ole alkuperäisen yhtälön juuri? Millä nimellä näitä juuria kutsutaan?

– Mitkä yhtälön muunnokset johtavat yhtälö-seuraamuksiin?

Mikä on aritmeettinen neliöjuuri?

Pysähdytään tänään yksityiskohtaisemmin muunnokseen "Yhtälön nostaminen tasaiseen potenssiin".

II. Teorian analyysi: Yhtälön nostaminen parilliseen potenssiin

Opettajan selitys opiskelijoiden aktiivisella osallistumisella:

Anna 2m(mN) on kiinteä parillinen luonnollinen luku. Sitten yhtälön seurausf(x) =g(x) on yhtälö (f(x)) = (g(x)).

Hyvin usein tätä lausetta käytetään irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemisessa.

Määritelmä. Yhtälöä, joka sisältää tuntemattoman juuren merkin alla, kutsutaan irrationaaliseksi.

Irrationaalisia yhtälöitä ratkaistaessa käytetään seuraavia menetelmiä: (dia 5)

Huomio! Menetelmät 2 ja 3 vaativat pakollinen tarkastukset.

ODZ ei aina auta poistamaan vieraita juuria.

Johtopäätös: irrationaalisia yhtälöitä ratkaistaessa on tärkeää käydä läpi kolme vaihetta: tekninen, ratkaisuanalyysi, todentaminen (dia 6).

III. Työpaja yhtälöiden ratkaisemisesta

Ratkaise yhtälö:

Kun olet keskustellut yhtälön ratkaisemisesta neliöimällä, ratkaise se siirtymällä vastaavaan järjestelmään.

Johtopäätös: yksinkertaisimpien yhtälöiden ratkaisu kokonaislukujuurilla voidaan suorittaa millä tahansa tutulla menetelmällä.

b) \u003d x - 2

Ratkaisemalla nostamalla yhtälön molempia osia samaan asteeseen opiskelijat saavat juuret x = 0, x = 3 -, x = 3 +, joiden tarkistaminen korvaamalla on vaikeaa ja aikaa vievää. (Dia 7). Siirtyminen vastaavaan järjestelmään

avulla voit nopeasti päästä eroon vieraista juurista. Ehto x ≥ 2 täyttyy vain x:llä.

Vastaus: 3+

Johtopäätös: On parempi tarkistaa irrationaaliset juuret siirtymällä vastaavaan järjestelmään.

c) \u003d x - 3

Tämän yhtälön ratkaisuprosessissa saamme kaksi juuria: 1 ja 4. Molemmat juuret täyttävät yhtälön vasemman puolen, mutta x \u003d 1:lle aritmeettisen neliöjuuren määritelmää rikotaan. ODZ-yhtälö ei auta poistamaan vieraita juuria. Siirtyminen vastaavaan järjestelmään antaa oikean vastauksen.

Johtopäätös:Kaikkien aritmeettisen neliöjuuren määritysehtojen hyvä tuntemus ja ymmärtäminen auttaa siirtymään eteenpäinsuorittaa vastaavia muunnoksia.

Neliöimällä yhtälön molemmat puolet, saamme yhtälön

x + 13 - 8 + 16 \u003d 3 + 2x - x, erottamalla radikaalin oikealle puolelle, saamme

26 - x + x \u003d 8. Lisävaiheiden soveltaminen yhtälön molempien osien neliöintiin johtaa 4. asteen yhtälöön. Siirtyminen ODZ-yhtälöön antaa hyvän tuloksen:

etsi ODZ-yhtälö:

x = 3.

Tarkista: - 4 = , 0 = 0 on oikein.

Johtopäätös:joskus on mahdollista suorittaa ratkaisu käyttämällä ODZ-yhtälön määritelmää, mutta muista tarkistaa.

Ratkaisu: ODZ-yhtälö: -2 - x ≥ 0 x ≤ -2.

Jos x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

Siksi yhtälön vasen puoli on negatiivinen ja oikea puoli ei-negatiivinen; joten alkuperäisellä yhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus: ei juuria.

Johtopäätös:Kun olet tehnyt oikean päättelyn yhtälön ehdon rajoituksesta, voit helposti löytää yhtälön juuret tai todeta, että niitä ei ole olemassa.

Käytä esimerkkiä tämän yhtälön ratkaisusta, näytä yhtälön kaksoisneliö, selitä lauseen "radikaalien yksinäisyys" merkitys ja tarve tarkistaa löydetyt juuret.

h) + = 1.

Näiden yhtälöiden ratkaisu suoritetaan menetelmällä, jossa muuttujaa muutetaan, kunnes palataan alkuperäiseen muuttujaan. Tee päätös tarjota niitä, jotka selviävät seuraavan vaiheen tehtävistä aikaisemmin.

testikysymykset

• Kuinka ratkaista yksinkertaisimmat irrationaaliset yhtälöt?
• Mitä tulee muistaa nostettaessa yhtälö parilliseen potenssiin? ( vieraita juuria saattaa esiintyä)
• Mikä on paras tapa tarkistaa irrationaaliset juuret? ( käyttämällä ODZ:tä ja yhtälön molempien osien etumerkkien yhteensopivuuden ehtoja)
• Miksi irrationaalisia yhtälöitä ratkaistaessa on osattava analysoida matemaattisia tilanteita? ( Oikean ja nopean menetelmän valinta yhtälön ratkaisemiseksi).

IV. Eriytetty itsenäinen työ ryhmissä "Irrrationaaliset yhtälöt tentissä"

Tunti on jaettu ryhmiin (2-3 henkilöä kussakin) koulutustason mukaan, jokainen ryhmä valitsee vaihtoehdon tehtävän kanssa, keskustelee ja ratkaisee valitut tehtävät. Tarvittaessa ota yhteyttä opettajaan saadaksesi neuvoja. Suoritettuaan kaikki oman versionsa tehtävät ja tarkastettuaan vastaukset opettajalta, ryhmän jäsenet suorittavat yksilöllisesti oppitunnin edellisen vaiheen yhtälöiden g) ja h) ratkaisun. Vaihtoehdot 4 ja 5 (vastausten ja opettajan päätöksen jälkeen) kirjoitetaan taululle lisätehtävät, jotka suoritetaan yksilöllisesti.

Kaikki yksittäiset ratkaisut oppituntien lopussa luovutetaan opettajalle tarkistettavaksi.

Vaihtoehto 1

Ratkaise yhtälöt:

a) = 6;
b) = 2;
c) \u003d 2 - x;
d) (x + 1) (5 - x) (+ 2 = 4.

Vaihtoehto 5

1. Ratkaise yhtälö:

a) = ;
b) = 3 - 2x;

2. Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

Lisätehtävät:

v. Oppituntien yhteenveto

Mitä vaikeuksia koit koetehtävien suorittamisessa? Mitä tarvitaan näiden vaikeuksien voittamiseksi?

VI. Kotitehtävät

Toista irrationaalisten yhtälöiden ratkaisuteoria, lue oppikirjan kohta 8.2 (huomio esimerkki 3).

Ratkaisu nro 8.8 (a, c), nro 8.9 (a, c), nro 8.10 (a).

Kirjallisuus:

1. Nikolsky S.M., Potapov M.K., N.N. Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra ja matemaattisen analyysin alku , oppikirja oppilaitosten 11. luokalle, M .: Koulutus, 2009.
2. Mordkovich A.G. Joistakin yhtälöiden ratkaisuun liittyvistä metodologisista kysymyksistä. Matematiikka koulussa. -2006. - Numero 3.
3. M. Shabunin. Yhtälöt. Luentoja lukiolaisille ja tulokkaille. Moskova, "Chistye Prudy", 2005. (kirjasto "Syyskuun ensimmäinen")
4. E.N. Balayan. Työpaja ongelmanratkaisusta. Irrationaaliset yhtälöt, epäyhtälöt ja järjestelmät. Rostov-on-Don, "Phoenix", 2006.
5. Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2011. Toimittaja F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov Legion-M, Rostov-on-Don, 2010.

Jotkut muunnokset antavat mahdollisuuden siirtyä ratkaistavasta yhtälöstä ekvivalenttisiin yhtälöihin sekä seurausyhtälöihin, mikä yksinkertaistaa alkuperäisen yhtälön ratkaisua. Tässä materiaalissa kerromme, mitä nämä yhtälöt ovat, muotoilemme tärkeimmät määritelmät, havainnollistamme niitä havainnollistavilla esimerkeillä ja selitämme, kuinka alkuperäisen yhtälön juuret lasketaan tarkasti seurausyhtälön tai vastaavan yhtälön juurista.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vastaavien yhtälöiden käsite

Määritelmä 1

Vastaava kutsutaan sellaisia ​​yhtälöitä, joilla on samat juuret, tai niitä, joissa ei ole juuria.

Tämän tyyppisiä määritelmiä löytyy usein erilaisista oppikirjoista. Annetaan muutamia esimerkkejä.

Määritelmä 2

Yhtälön f (x) = g (x) katsotaan vastaavan yhtälöä r (x) = s (x), jos niillä on samat juuret tai molemmilla ei ole juuria.

Määritelmä 3

Yhtälöitä, joilla on samat juuret, pidetään vastaavina. Lisäksi niitä pidetään kahdena yhtälönä, joilla ei yhtä lailla ole juuria.

Määritelmä 4

Jos yhtälöllä f (x) \u003d g (x) on sama juurijoukko kuin yhtälöllä p (x) \u003d h (x), niitä pidetään vastaavina toistensa suhteen.

Kun puhumme osuvasta juurijoukosta, tarkoitamme, että jos tietty luku on yhden yhtälön juuri, niin se sopii toisen yhtälön ratkaisuksi. Yhdelläkään ekvivalentilla yhtälöllä ei voi olla juuria, joka ei sovellu toiselle.

Annamme useita esimerkkejä tällaisista yhtälöistä.

Esimerkki 1

Esimerkiksi 4 x \u003d 8, 2 x \u003d 4 ja x \u003d 2 ovat vastaavia, koska jokaisella niistä on vain yksi juuri - kaksi. Myös x · 0 = 0 ja 2 + x = x + 2 ovat ekvivalentteja, koska niiden juuret voivat olla mitä tahansa lukuja, eli niiden ratkaisujen joukot ovat samat. Myös yhtälöt x = x + 5 ja x 4 = − 1 ovat ekvivalentteja, joilla kummallakaan ei ole ratkaisua.

Selvyyden vuoksi harkitse useita esimerkkejä ei-ekvivalenteista yhtälöistä.

Esimerkki 2

Esimerkiksi x = 2 ja x 2 = 4 ovat, koska niiden juuret ovat erilaiset. Sama pätee yhtälöihin x x \u003d 1 ja x 2 + 5 x 2 + 5, koska toisessa ratkaisu voi olla mikä tahansa luku ja toisessa juuri ei voi olla 0.

Yllä annetut määritelmät sopivat myös useiden muuttujien yhtälöille, mutta silloin, kun puhutaan kahdesta, kolmesta tai useammasta juurista, ilmaus "yhtälön ratkaisu" on sopivampi. Yhteenvetona: ekvivalentit yhtälöt ovat yhtälöitä, joilla on samat ratkaisut tai ei niitä ollenkaan.

Otetaan esimerkkejä yhtälöistä, jotka sisältävät useita muuttujia ja ovat keskenään ekvivalentteja. Joten x 2 + y 2 + z 2 = 0 ja 5 x 2 + x 2 y 4 z 8 = 0 sisältävät kussakin kolme muuttujaa ja niissä on vain yksi ratkaisu, joka on yhtä suuri kaikissa kolmessa tapauksessa. Ja yhtälöpari x + y = 5 ja x y = 1 ei ole toistensa suhteen ekvivalentti, koska esimerkiksi arvot 5 ja 3 sopivat ensimmäiselle, mutta eivät ole ratkaisu toiseksi: kun korvaamme ne ensimmäiseen yhtälöön, saamme oikean yhtälön ja toisessa - väärän.

Seurausyhtälöiden käsite

Lainataanpa useita esimerkkejä oppikirjoista otettujen seurausyhtälöiden määritelmistä.

Määritelmä 5

Yhtälön f (x) = g (x) seuraus on yhtälö p (x) = h (x), edellyttäen että ensimmäisen yhtälön kukin juuri on samalla toisen yhtälön juuri.

Määritelmä 6

Jos ensimmäisellä yhtälöllä on samat juuret kuin toisella, niin toinen on seuraus ensimmäisestä.

Otetaan muutama esimerkki tällaisista yhtälöistä.

Esimerkki 3

Joten x 2 = 32 on seuraus x - 3 = 0:sta, koska ensimmäisellä on vain yksi juuri, joka on yhtä suuri kuin kolme, ja se on myös toisen yhtälön juuri, joten tämän määritelmän yhteydessä yksi yhtälö tulee olemaan seurausta toisesta. Toinen esimerkki: yhtälö (x − 2) (x − 3) (x − 4) = 0 on seuraus x - 2 x - 3 x - 4 2 x - 4:stä, koska toisella yhtälöllä on kaksi juuria, 2 ja 3, jotka ovat samalla ensimmäisen juuret.

Yllä olevasta määritelmästä voimme päätellä, että mikä tahansa yhtälö, jolla ei ole juuria, on myös minkä tahansa yhtälön seuraus. Tässä on joitain muita tässä artikkelissa muotoiltujen sääntöjen seurauksia:

Määritelmä 7

1. Jos yksi yhtälö on ekvivalentti toiselle, niin jokainen niistä on seuraus toisesta.
2. Jos kahdesta yhtälöstä kumpikin on seurausta toisesta, niin nämä yhtälöt ovat keskenään ekvivalentteja.
3. Yhtälöt ovat keskenään samanarvoisia vain, jos kukin niistä on seurausta toisesta.

Kuinka löytää yhtälön juuret seurausyhtälön tai vastaavan yhtälön juurista

Sen perusteella, mitä kirjoitimme määritelmiin, niin siinä tapauksessa, että tiedämme yhden yhtälön juuret, niin tiedämme myös ekvivalenttien juuret, koska ne osuvat yhteen.

Jos tunnemme kaikki seurausyhtälön juuret, voimme määrittää toisen yhtälön juuret, josta se on seuraus. Tätä varten sinun on vain karsittava vieraat juuret. Kirjoitimme erillisen artikkelin siitä, miten tämä tehdään. Suosittelemme lukemaan sen.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tämän päivän aiheen tutkimiseksi meidän on toistettava, mitä yhtälöä kutsutaan seurausyhtälöksi, mitkä lauseet ovat "levottomat" ja mistä vaiheista minkä tahansa yhtälön ratkaisu koostuu.

Määritelmä. Jos kukin yhtälön ef juuri x:stä on yhtä suuri kuin x (merkitsimme sitä numerolla yksi), on samalla yhtälön pe juuri x:stä, yhtä suuri kuin tuhka x:stä (merkitsimme sitä numerolla kaksi) , niin yhtälöä kaksi kutsutaan yhtälön yksi seuraukseksi.

Lause neljä. Jos yhtälön ef x:stä molemmat puolet ovat samat x:stä, kerrotaan samalla lausekkeella ash x:stä, joka on:

Ensinnäkin se on järkevä kaikkialla määrittelyalueella (hyväksyttyjen arvojen alueella) yhtälöstä eff x:stä, joka on yhtä suuri kuin x:stä.

Toiseksi, se ei katoa mihinkään tällä alueella, niin saadaan yhtälö ef x:stä, kerrottuna tuhkalla x:stä on yhtä suuri kuin x, kerrottuna tuhkalla x:stä, mikä vastaa annettua sen ODZ:ssä.

Seuraus lause neljä on toinen "rauhallinen" lause: jos yhtälön molemmat osat kerrotaan tai jaetaan samalla nollasta poikkeavalla luvulla, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua.

Lause viisi. Jos yhtälön molemmat puolet

ef x:stä on yhtä kuin x on ei-negatiivinen ODZ-yhtälössä, sitten kun sen molemmat osat on nostettu samaan parilliseen potenssiin n, yhtälö eff x:stä x:n potenssiin on yhtä suuri kuin x x:n potenssiin, vastaa tätä yhtälöä sen o de ze.

Lause kuusi. Olkoon a suurempi kuin nolla, eikä yhtä suuri kuin yksi, ja ef arvosta x suurempi kuin nolla,

zhe x:stä on suurempi kuin nolla, tolologaritminen yhtälö on ef:n logaritmi x:stä kantaan a, yhtä suuri kuin zhe:n logaritmi x:stä kantaan a,

on sama kuin yhtälö ef x:stä on sama kuin x:stä .

Kuten olemme jo sanoneet, minkä tahansa yhtälön ratkaisu tapahtuu kolmessa vaiheessa:

Ensimmäinen vaihe on tekninen. Alkuperäisen yhtälön muunnosketjun avulla päästään melko yksinkertaiseen yhtälöön, jonka ratkaisemme ja löydämme juuret.

Toinen vaihe on ratkaisun analyysi. Analysoimme tekemämme muunnokset ja selvitämme ovatko ne vastaavia.

Kolmas vaihe on todentaminen. Kaikkien löydettyjen juurien tarkistaminen korvaamalla ne alkuperäiseen yhtälöön on pakollista suoritettaessa muunnoksia, jotka voivat johtaa seurausyhtälöön.

Tällä oppitunnilla selvitetään, mitä muunnoksia sovellettaessa tämä yhtälö menee seurausyhtälöksi? Harkitse seuraavia tehtäviä.

Harjoitus 1

Mikä yhtälö on seuraus yhtälöstä x miinus kolme on yhtä kuin kaksi?

Ratkaisu

Yhtälöllä x miinus kolme on kaksi on yksi juuri - x on viisi. Kerro tämän yhtälön molemmat puolet lausekkeella x miinus kuusi, lisää vastaavat termit ja saa toisen asteen yhtälö x neliö miinus yksitoista x plus kolmekymmentä on yhtä suuri kuin nolla. Lasketaan sen juuret: x ensimmäinen on yhtä suuri kuin viisi; x sekunti on kuusi. Se sisältää jo kaksi juuria. Yhtälö x neliö miinus yksitoista x plus kolmekymmentä on yhtä kuin nolla sisältää yhden juuren - x on viisi; yhtälöstä x miinus kolme on yhtä kuin kaksi, joten x neliö miinus yksitoista x plus kolmekymmentä on yhtälön x miinus kolme yhtälöstä kaksi.

Tehtävä 2

Mikä muu yhtälö on seuraus yhtälöstä x-3=2?

Ratkaisu

Yhtälössä x miinus kolme on yhtä kuin kaksi, neliöimme sen molemmat osat, sovellamme erotuksen neliön kaavaa, lisäämme samanlaisia ​​termejä, saadaan toisen asteen yhtälö x neliö miinus kuusi, x plus viisi on nolla.

Lasketaan sen juuret: x ensimmäinen on viisi, x toinen on yhtä.

Juuri x on yhtä kuin yksi on yhtälön x miinus kolme yhtä suuri kuin kaksi ulkopuolinen. Tämä tapahtui, koska alkuperäisen yhtälön molemmat puolet olivat neliöissä (parillinen potenssi). Mutta samaan aikaan sen vasen puoli - x miinus kolme - voi olla negatiivinen (ehdot lause viisi). Joten yhtälö x neliö miinus kuusi x plus viisi on yhtä suuri kuin nolla on seuraus yhtälöstä x miinus kolme on kaksi.

Tehtävä 3

Etsi yhtälön yhtälö-seuraus

x:n logaritmi plus yksi peruskolmeen plus logaritmi x plus kolme peruskolmeen on yksi.

Ratkaisu

Esitämme yhtenäisyyden kolmen kanta-kolmen logaritmina, potentioimme logaritmisen yhtälön, suoritamme kertolaskuja, lisäämme samanlaisia ​​termejä ja saamme toisen asteen yhtälön x neliö plus neljä x on nolla. Lasketaan sen juuret: x ensimmäinen on nolla, x toinen on yhtä suuri kuin miinus neljä. Juuri x on yhtä suuri kuin miinus neljä on ylimääräinen logaritmiselle yhtälölle, koska kun se korvataan logaritmisella yhtälöllä, lausekkeet x plus yksi ja x plus kolme saavat negatiiviset arvot - ehtoja rikotaan. lause kuusi.

Joten yhtälö x neliö plus neljä x on yhtä suuri kuin nolla on seuraus tästä yhtälöstä.

Näiden esimerkkien ratkaisun perusteella voimme tehdä johtopäätös:seurausyhtälö saadaan annetusta yhtälöstä laajentamalla yhtälön aluetta. Ja tämä on mahdollista suoritettaessa sellaisia ​​muunnoksia kuin

1) eroon muuttujan sisältävistä nimittäjistä;

2) nostetaan yhtälön molemmat osat samaan parilliseen potenssiin;

3) vapautus logaritmien etumerkeistä.

Muista!Jos yhtälön ratkaisuprosessissa tapahtui yhtälön määritelmäalueen laajennus, niin kaikki löydetyt juuret on tarkistettava.

Tehtävä 4

Ratkaise yhtälö x miinus kolme jaettuna x miinus viisi plus yksi jaettuna x:llä on yhtä suuri kuin x plus viisi jaettuna x kertaa x miinus viisi.

Ratkaisu

Ensimmäinen vaihe on tekninen.

Suoritetaan muunnosketju, hankitaan yksinkertaisin yhtälö ja ratkaistaan ​​se. Tätä varten kerromme yhtälön molemmat osat murtolukujen yhteisellä nimittäjällä, toisin sanoen lausekkeella x kerrottuna x miinus viidellä.

Saamme toisen asteen yhtälön x neliö miinus kolme x miinus kymmenen on yhtä suuri kuin nolla. Lasketaan juuret: x ensimmäinen on viisi, x toinen on yhtä suuri kuin miinus kaksi.

Toinen vaihe on ratkaisun analyysi.

Yhtälöä ratkottaessa kerroimme sen molemmat osat muuttujan sisältävällä lausekkeella. Tämä tarkoittaa, että yhtälön määritelmäalue on laajentunut. Siksi juuret on tarkistettava.

Kolmas vaihe on todentaminen.

Kun x on miinus kaksi, yhteinen nimittäjä ei katoa. Joten x on yhtä kuin miinus kaksi on tämän yhtälön juuri.

Kun x on viisi, yhteinen nimittäjä menee nollaan. Siksi x on yhtä suuri kuin viisi - ulkopuolinen juuri.

Vastaus: miinus kaksi.

Tehtävä 5

Ratkaise yhtälö neliöjuuri x miinus kuusi on yhtä kuin neliöjuuri neljä miinus x.

Ratkaisu

Ensimmäinen vaihe on tekninen .

Yksinkertaisen yhtälön saamiseksi ja sen ratkaisemiseksi suoritamme muunnosketjun.

Neliötetään (parillinen potenssi) tämän yhtälön molemmat osat, siirretään x:t yhtälön vasemmalle puolelle ja luvut oikealle puolelle, tuodaan samanlaiset termit, saadaan: kaksi x on kymmenen. X on yhtä suuri kuin viisi.

Toinen vaihe on ratkaisun analyysi.

Tarkistetaan suoritettujen muunnosten vastaavuus.

Kun ratkaisimme yhtälön, neliöimme sen molemmat puolet. Tämä tarkoittaa, että yhtälön määritelmäalue on laajentunut. Siksi juuret on tarkistettava.

Kolmas vaihe on todentaminen.

Korvaamme löydetyt juuret alkuperäiseen yhtälöön.

Jos x on viisi, lauseke neliöjuuri neljästä miinus x:stä on määrittelemätön, joten x yhtä suuri kuin viisi on ulkopuolinen juuri. Tällä yhtälöllä ei siis ole juuria.

Vastaus: Yhtälöllä ei ole juuria.

Tehtävä 6

Ratkaise yhtälö Luonnollinen logaritmi x neliö plus kaksi x miinus seitsemän on yhtä suuri kuin luonnollinen logaritmi x miinus yksi.

Ratkaisu

Ensimmäinen vaihe on tekninen .

Suoritetaan muunnosketju, hankitaan yksinkertaisin yhtälö ja ratkaistaan ​​se. Tehdäksemme tämän tehostamme

yhtälö, siirrämme kaikki termit yhtälön vasemmalle puolelle, annamme samanlaisia ​​termejä, saamme toisen asteen yhtälön x neliö plus x miinus kuusi on yhtä suuri kuin nolla. Lasketaan juuret: x ensimmäinen on kaksi, x toinen on yhtä suuri kuin miinus kolme.

Toinen vaihe on ratkaisun analyysi.

Tarkistetaan suoritettujen muunnosten vastaavuus.

Tämän yhtälön ratkaisuprosessissa pääsimme eroon logaritmien merkeistä. Tämä tarkoittaa, että yhtälön määritelmäalue on laajentunut. Siksi juuret on tarkistettava.

Kolmas vaihe on todentaminen.

Korvaamme löydetyt juuret alkuperäiseen yhtälöön.

Jos x on yhtä kuin kaksi, niin saadaan yksikön luonnollinen logaritmi on yhtä suuri kuin yksikön luonnollinen logaritmi -

oikea tasa-arvo.

Siksi x yhtä suuri kuin kaksi on tämän yhtälön juuri.

Jos x on miinus kolme, luonnollinen logaritmi x neliö plus kaksi x miinus seitsemän ja luonnollinen logaritmi x miinus yksi ovat määrittelemättömiä. Joten x yhtä suuri kuin miinus kolme on ulkopuolinen juuri.

Vastaus: kaksi.

Onko yhtälöä ratkaistaessa aina tarpeen erottaa kolme vaihetta? Miten muuten voi tarkistaa?

Näihin kysymyksiin saamme vastaukset seuraavalla oppitunnilla.