Tehokaavat käytetään monimutkaisten lausekkeiden pelkistys- ja yksinkertaistamisprosessissa, yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa.

Määrä c On n-luvun potenssi a Kun:

Operaatiot asteilla.

1. Kun asteet kerrotaan samalla pohjalla, niiden indikaattorit laskevat yhteen:

olena n = a m + n.

2. Saman kantaluvun asteiden jaossa niiden indikaattorit vähennetään:

3. Kahden tai useamman tekijän tulon aste on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden asteiden tulo:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Murto-osan aste on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan asteiden suhde:

(a/b) n = an/bn.

5. Kun potenssi nostetaan potenssiksi, eksponentit kerrotaan:

(am) n = a mn.

Jokainen yllä oleva kaava on oikea suunnassa vasemmalta oikealle ja päinvastoin.

Esimerkiksi. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaatiot juurilla.

1. Useiden tekijöiden tuotteen juuri on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden juurien tulo:

2. Suhteen juuri on yhtä suuri kuin osingon ja juurien jakajan suhde:

3. Kun juuria nostetaan potenssiin, riittää juurinumeron nostaminen tähän potenssiin:

4. Jos lisäämme juuren astetta sisään n kerran ja samaan aikaan korottaa n th potenssi on radikaaliluku, silloin juuren arvo ei muutu:

5. Jos pienennämme juuren astetta sisään n root samaan aikaan n astetta radikaaliluvusta, niin juuren arvo ei muutu:

Aste negatiivisella eksponentilla. Luvun aste, jolla on ei-positiivinen (kokonaisluku) eksponentti, määritellään jaettuna saman luvun asteella, jonka eksponentti on yhtä suuri kuin ei-positiivisen eksponentin itseisarvo:

Kaava olen:a n = a m - n voidaan käyttää paitsi m> n, mutta myös klo m< n.

Esimerkiksi. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Kaavaan olen:a n = a m - n tuli reiluksi m = n, tarvitset nollaasteen.

Aste nollaeksponentilla. Minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun, jonka eksponentti on nolla, potenssi on yhtä suuri kuin yksi.

Esimerkiksi. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Aste murtoluvulla. Nostaaksesi todellista numeroa A jossain määrin m/n, sinun on purettava juuri n aste m tämän luvun potenssi A.

Kun luku moninkertaistaa itsensä itselleni, tehdä työtä nimeltään tutkinnon.

Joten 2,2 = 4, 2:n neliö tai toinen potenssi
2.2.2 = 8, kuutio tai kolmas potenssi.
2.2.2.2 = 16, neljäs aste.

Myös 10,10 = 100, toinen potenssi on 10.
10.10.10 = 1000, kolmas aste.
10.10.10.10 = 10000 neljäs astetta.

Ja a.a = aa, a:n toinen potenssi
a.a.a = aaa, a:n kolmas potenssi
a.a.a.a = aaaa, a:n neljäs potenssi

Alkuperäiseen numeroon soitetaan juuri tämän luvun asteet, koska siitä luvut luotiin.

Ei kuitenkaan ole kovin kätevää, varsinkaan suurten voimien tapauksessa, kirjoittaa muistiin kaikkia tehot muodostavia tekijöitä. Siksi käytetään lyhennettyä merkintämenetelmää. Tutkinnon juuri kirjoitetaan vain kerran ja sen vieressä oikealle ja hieman korkeammalle, mutta hieman pienemmällä kirjasimella kirjoitetaan kuinka monta kertaa juuri toimii tekijänä. Tätä numeroa tai kirjainta kutsutaan eksponentti tai tutkinnon numeroita. Joten 2 on yhtä suuri kuin a.a tai aa, koska a:n juuri on kerrottava itsellään kahdesti, jotta saadaan aa:n potenssi. Myös 3 tarkoittaa aaa, eli tässä a toistetaan kolme kertaa kertoimena.

Ensimmäisen potenssin eksponentti on 1, mutta sitä ei yleensä kirjoiteta ylös. Joten 1 kirjoitetaan muodossa a.

Astioita ei pidä sekoittaa keskenään kertoimet. Kerroin osoittaa, kuinka usein arvo otetaan Osa koko. Eksponentti osoittaa, kuinka usein arvo otetaan tekijä töissä.
Joten 4a = a + a + a + a. Mutta 4 = a.a.a.a

Eksponentiaalisella merkinnällä on se erityinen etu, että voimme ilmaista tuntematon tutkinnon. Tätä tarkoitusta varten luvun sijasta kirjoitetaan eksponentti kirje. Ongelman ratkaisuprosessissa voimme saada arvon, joka, kuten tiedämme, on jonkin verran toisen suuruisen asteen. Mutta toistaiseksi emme tiedä, onko se neliö, kuutio vai jokin muu korkeampi aste. Joten lausekkeessa a x eksponentti tarkoittaa, että tällä lausekkeella on jonkin verran tutkinto, vaikka sitä ei ole määritelty mikä tutkinto. Joten b m ja d n nostetaan m:n ja n:n potenssiin. Kun eksponentti löytyy, määrä kirjeen tilalle. Joten jos m = 3, niin b m = b3; mutta jos m = 5, niin b m = b 5 .

Arvojen kirjoittamismenetelmä eksponenteilla on myös suuri etu käytettäessä ilmaisuja. Siten (a + b + d) 3 on (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), eli trinomin kuutio (a + b + d) . Mutta jos kirjoitamme tämän lausekkeen kuution jälkeen, se näyttää tältä
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3 ad 2 + b 3 + d 3 .

Jos otamme sarjan potenssia, jonka eksponentit kasvavat tai pienenevät 1:llä, huomaamme, että tulo kasvaa yhteinen tekijä tai vähennetty yhteinen jakaja, ja tämä kerroin tai jakaja on alkuperäinen luku, joka korotetaan potenssiin.

Joten sarjassa aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
tai a 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
indikaattorit, jos ne lasketaan oikealta vasemmalle, ovat 1, 2, 3, 4, 5; ja niiden arvojen ero on 1. Jos aloitamme oikealla moninkertaistaa a, saamme onnistuneesti useita arvoja.

Joten a.a = a 2 , toinen termi. Ja a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , kolmas termi. a 4 .a = a 5 .

Jos aloitamme vasemmalle jakaa on,
saamme 5:a = a 4 ja 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Mutta tällaista jakoprosessia voidaan jatkaa edelleen, ja saamme uudet arvot.

Joten a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Koko rivi tulee olemaan: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Tai 5, a 4, a 3, a 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a3.

Tässä arvot oikealla yksiköstä on käänteinen arvot yhden vasemmalla puolella. Siksi näitä tutkintoja voidaan kutsua käänteiset potenssit a. Voidaan myös sanoa, että vasemmanpuoleiset potenssit ovat käänteiset oikealle.

Joten 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Ja 1:(1/a 3) = a 3 .

Samaa tallennussuunnitelmaa voidaan soveltaa polynomit. Joten a + b:lle saamme joukon,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3 .

Mukavuussyistä käytetään toista käänteisvoiman kirjoitustapaa.

Tämän muodon mukaan 1/a tai 1/a 1 = a -1 . Ja 1/aaa tai 1/a3 = a -3.
1/aa tai 1/a2 = a -2. 1/aaaa tai 1/a 4 = a -4.

Ja jotta eksponentit täydentävät sarjaa, jonka kokonaiserotus on 1, a/a tai 1 katsotaan sellaiseksi, jolla ei ole astetta ja se kirjoitetaan 0:na.

Sitten, ottaen huomioon suorat ja käänteiset voimat
sijasta aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
voit kirjoittaa 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
Tai a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.

Ja vain erikseen otettujen tutkintojen sarjalla on muoto:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Tutkinnon juuri voidaan ilmaista useammalla kuin yhdellä kirjaimella.

Siten aa.aa tai (aa) 2 on aa:n toinen potenssi.
Ja aa.aa.aa tai (aa) 3 on aa:n kolmas potenssi.

Kaikki luvun 1 asteet ovat samat: 1.1 tai 1.1.1. on yhtä suuri kuin 1.

Eksponenttiointi tarkoittaa minkä tahansa luvun arvon löytämistä kertomalla se itsellään. Eksponenttisääntö:

Kerro arvo itsellään niin monta kertaa kuin luvun potenssissa on ilmoitettu.

Tämä sääntö on yhteinen kaikille esimerkeille, joita voi esiintyä eksponentioprosessissa. Mutta on oikein selittää, kuinka se koskee tiettyjä tapauksia.

Jos vain yksi termi korotetaan potenssiin, se kerrotaan itsestään niin monta kertaa kuin eksponentti osoittaa.

Neljäs potenssi a on 4 tai aaaa. (Arti. 195.)
Y:n kuudes potenssi on y 6 tai yyyyyy.
X:n n:s potenssi on x n tai xxx..... n kertaa toistettu.

Jos on tarpeen nostaa usean termin lauseke potenssiin, periaate, että useiden tekijöiden tulon aste on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden tulo potenssiin korotettuna.

Joten (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Mutta ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Joten (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Siksi tuotteen astetta etsittäessä voimme joko operoida koko tuotteeseen kerralla tai sitten voidaan operoida jokaisella tekijällä erikseen ja sitten kertoa niiden arvot asteilla.

Esimerkki 1. Dhy:n neljäs potenssi on (dhy) 4 tai d 4 h 4 y 4 .

Esimerkki 2. 4b:n kolmas potenssi on (4b) 3 tai 4 3 b 3 tai 64b 3 .

Esimerkki 3. 6ad:n n:s potenssi on (6ad) n tai 6 n a n d n .

Esimerkki 4. Kolmas potenssi 3m.2y on (3m.2y) 3 tai 27m 3 .8y 3.

Binomin aste, joka koostuu termeistä, jotka on yhdistetty + ja -, lasketaan kertomalla sen termit. Joo,

(a + b) 1 = a + b, ensimmäinen potenssi.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, toinen potenssi (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, kolmas aste.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, neljäs aste.

Neliö a - b, on 2 - 2ab + b 2 .

Neliö a + b + h on a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Harjoitus 1. Etsi kuutio a + 2d + 3

Harjoitus 2. Etsi neljäs potenssi b + 2.

Harjoitus 3. Etsi x + 1:n viides potenssi.

Harjoitus 4. Etsi kuudes aste 1 - b.

Summaneliöt määriä Ja ero binomiaalit ovat niin yleisiä algebrassa, että on välttämätöntä tuntea ne erittäin hyvin.

Jos kerromme a + h itsellään tai a - h itsellään,
saamme: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 myös, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Tämä osoittaa, että kussakin tapauksessa ensimmäinen ja viimeinen termi ovat a:n ja h:n neliöt ja keskitermi on kaksi kertaa a:n ja h:n tulo. Näin ollen binomiaalien summan ja erotuksen neliö voidaan löytää seuraavan säännön avulla.

Binomin neliö, jotka molemmat ovat positiivisia, on yhtä suuri kuin ensimmäisen termin neliö + kaksi kertaa molempien termien tulo + viimeisen termin neliö.

Neliö ero binomi on yhtä suuri kuin ensimmäisen termin neliö miinus kaksi kertaa molempien termien tulo plus toisen termin neliö.

Esimerkki 1. Neliö 2a + b, on 4a 2 + 4ab + b 2 .

Esimerkki 2. Neliö ab + cd on a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Esimerkki 3. Neliö 3d - h on 9d 2 + 6dh + h 2 .

Esimerkki 4. Neliö a - 1 on 2 - 2a + 1.

Katso seuraavista osista menetelmä binomien suurempien potenssien löytämiseksi.

Monissa tapauksissa kirjoittaminen on tehokasta tutkinnon ei kertolaskua.

Neliö a + b on siis (a + b) 2 .
N:s potenssi bc + 8 + x on (bc + 8 + x) n

Tällaisissa tapauksissa kiinnikkeet peittävät Kaikki tutkinnon alaisia ​​jäseniä.

Mutta jos tutkinnon juuri koostuu useista kertoimet, sulut voivat peittää koko lausekkeen tai niitä voidaan soveltaa tekijöihin erikseen mukavuuden mukaan.

Siten neliö (a + b)(c + d) on joko [(a + b).(c + d)] 2 tai (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Ensimmäisen näistä lausekkeista tulos on kahden tekijän tulon neliö ja toiselle niiden neliöiden tulo. Mutta he ovat tasa-arvoisia keskenään.

Kuutio a.(b + d), on 3 tai a 3 .(b + d) 3.

On myös otettava huomioon osallistuvien jäsenten edessä oleva kyltti. On erittäin tärkeää muistaa, että kun voiman juuri on positiivinen, kaikki sen positiiviset voimat ovat myös positiivisia. Mutta kun juuri on negatiivinen, arvot alkaen outo tehot ovat negatiivisia, kun taas arvot jopa asteet ovat positiivisia.

Toinen potenssi (-a) on +a 2
Kolmas aste (-a) on -a 3
Neljäs potenssi (-a) on +a 4
Viides potenssi (-a) on -a 5

Siksi mikä tahansa outo eksponentti on sama merkki kuin numero. Mutta jopa aste on positiivinen riippumatta siitä, onko numerolla negatiivinen vai positiivinen etumerkki.
Joten +a.+a = +a 2
JA -a.-a = +a 2

Arvo, joka on jo korotettu potenssiin, nostetaan uudelleen potenssiksi kertomalla eksponentit.

A 2:n kolmas potenssi on a 2,3 = a 6 .

Jos a 2 = aa; kuutio aa on aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; joka on a:n kuudes potenssi, mutta a 2:n kolmas potenssi.

Neljäs potenssi a 3 b 2 on a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Kolmas potenssi 4a 2 x on 64a 6 x 3 .

(a + b) 2:n viides potenssi on (a + b) 10 .

3:n N:s potenssi on 3n

(x - y) m:n n:s potenssi on (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Sääntö pätee yhtä lailla negatiivinen astetta.

Esimerkki 1. Kolmas potenssi a -2 on -3.3 =a -6 .

Jos a -2 = 1/aa, ja tämän kolmas potenssi
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Neljäs potenssi a2b-3 on a 8b-12 tai a 8/b12.

Neliö b 3 x -1 on b 6 x -2 .

N:s teho ax -m on x -mn tai 1/x .

Tässä on kuitenkin muistettava, että jos merkki Edellinen aste on "-", niin se tulee vaihtaa arvoon "+", kun aste on parillinen luku.

Esimerkki 1. Neliö -a 3 on +a 6 . Neliö -a 3 on -a 3 .-a 3 , joka kertomerkkien sääntöjen mukaan on +a 6 .

2. Mutta kuutio -a 3 on -a 9 . Kun -a 3.-a 3.-a 3 = -a 9 .

3. -a 3:n N:s potenssi on 3n .

Tässä tulos voi olla positiivinen tai negatiivinen riippuen siitä, onko n parillinen vai pariton.

Jos murto-osa korotetaan potenssiin, osoittaja ja nimittäjä korotetaan potenssiin.

Neliö a/b on a 2/b 2 . Murtolukujen kertolaskusäännön mukaan
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

1/a:n toinen, kolmas ja n:s potenssit ovat 1/a 2 , 1/a 3 ja 1/a n .

Esimerkkejä binomiaalit jossa yksi termeistä on murtoluku.

1. Etsi neliö x + 1/2 ja x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Neliö a + 2/3 on a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Neliö x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Neliö x - b/m on x 2 - 2bx/m + b 2/m 2 .

Aiemmin se on osoitettu murtokerroin voidaan siirtää osoittajasta nimittäjään tai nimittäjästä osoittajaan. Käänteisten potenssien kirjoittamisen mallia käyttämällä voidaan nähdä, että mikä tahansa kerroin voidaan myös siirtää jos tutkinnon etumerkkiä muutetaan.

Joten murto-osassa ax -2 /y voimme siirtää x:n osoittajasta nimittäjään.
Sitten ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

Murtoluvussa a/by 3 voimme siirtää y:n nimittäjästä osoittajaan.
Sitten a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Samalla tavalla voimme siirtää tekijän, jolla on positiivinen eksponentti, osoittajaan tai tekijän, jolla on negatiivinen eksponentti, nimittäjään.

Joten ax 3 / b = a / bx -3 . Kun x 3 käänteisarvo on x -3 , joka on x 3 = 1/x -3 .

Siksi minkä tahansa murtoluvun nimittäjä voidaan poistaa kokonaan tai osoittaja voidaan pienentää yhdeksi muuttamatta lausekkeen merkitystä.

Joten a/b = 1/ba-1 tai ab-1.

löytyy kertolaskulla. Esimerkki: 5+5+5+5+5+5=5x6. He sanovat sellaisesta lausekkeesta, että yhtäläisten ehtojen summa on taitettu tuotteeksi. Ja päinvastoin, jos luemme tämän yhtälön oikealta vasemmalle, saamme, että olemme laajentaneet yhtäläisten termien summaa. Vastaavasti voit taittaa useiden yhtäläisten kertoimien tulon 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Toisin sanoen kuusi identtistä kerrointa 5x5x5x5x5x5 kertomisen sijaan he kirjoittavat 5 6 ja sanovat "viisi kuudenteen potenssiin".

Lauseke 5 6 on luvun potenssi, jossa:

5 - tutkinnon perusta;

6 - eksponentti.

Operaatioita, joilla yhtäläisten tekijöiden tulo taitetaan potenssiksi, kutsutaan eksponentio.

Yleensä potenssi, jonka kantakanta on "a" ja eksponentti "n", kirjoitetaan muodossa

Luvun a nostaminen n:n potenssiin tarkoittaa n:n tekijän tulon löytämistä, joista jokainen on yhtä suuri

Jos asteen "a" kanta on 1, niin minkä tahansa luonnollisen n:n asteen arvo on 1. Esimerkiksi 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Jos korotat numeroa "a" korottaa ensimmäisen asteen, niin saamme itse luvun a: a 1 = a

Jos nostat minkä tahansa numeron nolla astetta, niin laskelmien tuloksena saamme yhden. a 0 = 1

Luvun toista ja kolmatta potenssia pidetään erityisenä. He keksivät niille nimet: toista astetta kutsutaan luvun neliö, kolmas - kuutio Tämä numero.

Mikä tahansa luku voidaan nostaa potenssiin - positiiviseen, negatiiviseen tai nollaan. Seuraavia sääntöjä ei kuitenkaan käytetä:

Kun positiivisen luvun aste löydetään, saadaan positiivinen luku.

Kun lasketaan luontoissuorituksen nolla, saamme nollan.

x m х n = x m + n

esimerkiksi: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Vastaanottaja jakaa voimat samalla pohjalla emme muuta kantaa, vaan vähennämme eksponentit:

x m / x n \u003d x m - n , Missä, m > n

esim. 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Laskettaessa eksponentio Emme muuta kantaa, vaan kerromme eksponentit toisilla.

(osoitteessa m )n = v m n

esimerkiksi: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · m ,

esimerkiksi: (2 3) 3 = 2 n 3 m,

Suorittaessasi laskelmia murto-osan eksponentio nostetaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä annettuun potenssiin

(x/y)n = x n / v n

esimerkiksi: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

Laskutoimitusten suoritusjärjestys, kun työskennellään asteen sisältävien lausekkeiden kanssa.

Laskettaessa lausekkeita ilman sulkuja, jotka sisältävät potenssit, suoritetaan ensin eksponentio, sitten kerto- ja jakooperaatiot ja vasta sitten yhteen- ja vähennystoiminnot.

Jos on tarpeen arvioida sulkuja sisältävä lauseke, teemme ensin edellä mainitussa järjestyksessä laskelmat suluissa ja sitten loput toiminnot samassa järjestyksessä vasemmalta oikealle.

Käytännön laskelmissa käytetään erittäin laajasti laskelmien yksinkertaistamiseksi valmiita astetaulukoita.

Eksponenttioiminen on kertomiseen läheisesti liittyvä operaatio, joka on seurausta luvun moninkertaisesta kertomisesta itsestään. Esitetään kaava: a1 * a2 * ... * an = an.

Esimerkiksi a=2, n=3: 2*2*2=2^3 = 8 .

Yleisesti ottaen eksponentiota käytetään usein erilaisissa matematiikan ja fysiikan kaavoissa. Tällä toiminnolla on tieteellisempi tarkoitus kuin neljällä perustoiminnolla: yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku.

Numeron nostaminen potenssiin

Numeron nostaminen potenssiin ei ole vaikea toimenpide. Se liittyy kertolaskuun, kuten kerto- ja yhteenlaskusuhteeseen. Record an - lyhyt tietue numeroiden n:nnestä lukumäärästä "a" kerrottuna toisillaan.

Harkitse eksponentiota yksinkertaisimmissa esimerkeissä ja siirry monimutkaisiin esimerkkeihin.

Esimerkiksi 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Neljä neliötä (toiseen potenssiin) on yhtä kuin kuusitoista. Jos et ymmärrä kertolaskua 4 * 4, lue kertomista koskeva artikkelimme.

Katsotaanpa toista esimerkkiä: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Viisi kuutiota (kolmannelle potenssille) vastaa sataakaksikymmentäviisi.

Toinen esimerkki: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Yhdeksän kuutiota on seitsemänsataakaksikymmentäyhdeksän.

Eksponenttikaavat

Nostaaksesi oikein potenssiin, sinun on muistettava ja tiedettävä alla olevat kaavat. Tässä ei ole mitään muuta kuin luonnollista, tärkeintä on ymmärtää olemus ja sitten ne eivät vain jää mieleen, vaan myös näyttävät helpoilta.

Monomiaalin nostaminen potenssiksi

Mikä on monomi? Tämä on lukujen ja muuttujien tulo missä tahansa määrissä. Esimerkiksi kaksi on monomi. Ja tämä artikkeli käsittelee tällaisten monomien nostamista valtaan.

Eksponenttikaavojen avulla ei ole vaikeaa laskea monomin eksponentiointia potenssiin.

Esimerkiksi, (3x^2y^3)^2= 3^2*x^2*2*y^(3*2) = 9x^4y^6; Jos nostat monomin potenssiin, niin jokainen monomin komponentti korotetaan potenssiin.

Kun nostetaan muuttujaa, jolla on jo aste, potenssiin, asteet kerrotaan. Esimerkiksi (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Nostaminen negatiiviseen voimaan

Negatiivinen eksponentti on luvun käänteisluku. Mikä on vastavuoroisuus? Minkä tahansa luvun X käänteisluku on 1/X. Eli X-1=1/X. Tämä on negatiivisen asteen ydin.

Harkitse esimerkkiä (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Miksi niin? Koska asteessa on miinus, siirrämme tämän lausekkeen yksinkertaisesti nimittäjään ja nostamme sen sitten kolmanteen potenssiin. Juuri oikea?

Nostaminen murto-osaan

Aloitetaan tietystä esimerkistä. 43/2. Mitä teho 3/2 tarkoittaa? 3 - osoittaja, tarkoittaa luvun (tässä tapauksessa 4) nostamista kuutioon. Numero 2 on nimittäjä, tämä on luvun toisen juuren erotus (tässä tapauksessa 4).

Sitten saadaan neliöjuuri 43 = 2^3 = 8 . Vastaus: 8.

Joten murto-osan nimittäjä voi olla joko 3 tai 4 ja äärettömään mikä tahansa luku, ja tämä luku määrittää annetusta luvusta erotetun neliöjuuren asteen. Nimittäjä ei tietenkään voi olla nolla.

Juuren nostaminen valtaan

Jos juuri nostetaan potenssiin, joka on yhtä suuri kuin juuri itse, niin vastaus on radikaali lauseke. Esimerkiksi (√x)2 = x. Ja niin joka tapauksessa juuren asteen ja juuren kohotusasteen yhtäläisyys.

Jos (√x)^4. Sitten (√x)^4=x^2. Ratkaisun tarkistamiseksi käännämme lausekkeen lausekkeeksi, jolla on murto-osuus. Koska juuri on neliö, nimittäjä on 2. Ja jos juuri nostetaan neljänteen potenssiin, niin osoittaja on 4. Saamme 4/2=2. Vastaus: x = 2.

Joka tapauksessa paras vaihtoehto on yksinkertaisesti muuntaa lauseke murtolukueksponentiksi. Jos murto-osaa ei vähennetä, tällainen vastaus on, edellyttäen, että annetun luvun juuria ei jaeta.

Kompleksiluvun eksponentio

Mikä on kompleksiluku? Kompleksiluku on lauseke, jolla on kaava a + b * i; a, b ovat reaalilukuja. i on luku, joka neliöitynä antaa luvun -1.

Harkitse esimerkkiä. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Ilmoittaudu kurssille "Nopeuta mielenlaskentaa, EI mielilaskentaa" oppiaksesi kuinka nopeasti ja oikein laskea yhteen, vähentää, kertoa, jakaa, neliönumeroita ja jopa juurtua. 30 päivässä opit käyttämään helppoja temppuja aritmeettisten operaatioiden yksinkertaistamiseksi. Jokainen oppitunti sisältää uusia tekniikoita, selkeitä esimerkkejä ja hyödyllisiä tehtäviä.

Eksponentointi verkossa

Laskimemme avulla voit laskea luvun eksponentioitumisen potenssiin:

Eksponenttiluokka 7

Valtaan nostaminen alkaa ohittaa koululaiset vasta seitsemännellä luokalla.

Eksponenttioiminen on kertomiseen läheisesti liittyvä operaatio, joka on seurausta luvun moninkertaisesta kertomisesta itsestään. Esitetään kaava: a1 * a2 * … * an=an .

Esimerkiksi, a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Ratkaisuesimerkkejä:

Eksponentioinnin esitys

Esitys eksponentiosta, suunniteltu seitsemäsluokkalaisille. Esitys saattaa selventää joitain käsittämättömiä kohtia, mutta artikkelimme ansiosta niitä ei todennäköisesti tule olemaan.

Tulokset

Olemme ottaneet huomioon vain jäävuoren huippua ymmärtääksemme matematiikkaa paremmin - ilmoittaudu kurssillemme: Nopeuta mielenlaskentaa - EI mielenlaskentaa.

Kurssilta opit paitsi kymmeniä temppuja yksinkertaistettuun ja nopeaan kerto-, yhteen-, kerto-, jakolasku- ja prosenttilaskuihin, vaan myös harjoittelet niitä erikoistehtävissä ja opetuspeleissä! Henkinen laskeminen vaatii myös paljon huomiota ja keskittymistä, joita koulutetaan aktiivisesti ratkaisemaan mielenkiintoisia ongelmia.

Selvitimme, mikä luvun aste yleensä on. Nyt meidän on ymmärrettävä, kuinka se lasketaan oikein, ts. nostaa lukuja valtuuksiin. Tässä materiaalissa analysoimme asteen laskennan perussääntöjä kokonaisluvun, luonnollisen, murto-osan, rationaalisen ja irrationaalisen eksponentin tapauksessa. Kaikki määritelmät havainnollistetaan esimerkein.

Eksponentioinnin käsite

Aloitetaan perusmääritelmien muotoilusta.

Määritelmä 1

Eksponentointi on jonkin luvun potenssin arvon laskeminen.

Toisin sanoen sanat "tutkinnon arvon laskeminen" ja "eksponenttiointi" tarkoittavat samaa asiaa. Joten jos tehtävänä on "Nosta luku 0 , 5 viidenteen potenssiin", tämä tulee ymmärtää "laske tehon (0 , 5) arvo 5 .

Nyt annamme perussäännöt, joita on noudatettava tällaisissa laskelmissa.

Muista, mikä on luonnollisen eksponentin luvun potenssi. Potentiolle, jonka kanta on a ja eksponentti n, tämä on n:nnen tekijöiden lukumäärä, joista jokainen on yhtä suuri kuin a. Tämä voidaan kirjoittaa näin:

Laskeaksesi asteen arvon, sinun on suoritettava kertolasku, eli kerrottava asteen kannat tietyn määrän kertoja. Luonnollisen indikaattorin tutkinnon käsite perustuu kykyyn moninkertaistua nopeasti. Annetaan esimerkkejä.

Esimerkki 1

Kunto: Nosta - 2 potenssiin 4 .

Ratkaisu

Yllä olevaa määritelmää käyttäen kirjoitetaan: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Seuraavaksi meidän on vain noudatettava näitä vaiheita ja saatava 16 .

Otetaan monimutkaisempi esimerkki.

Esimerkki 2

Laske arvo 3 2 7 2

Ratkaisu

Tämä merkintä voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon 3 2 7 · 3 2 7 . Aiemmin tarkastelimme, kuinka ehdossa mainitut sekaluvut kerrotaan oikein.

Suorita nämä vaiheet ja saat vastauksen: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Jos tehtävä osoittaa, että irrationaaliset luvut on nostettava luonnolliseen potenssiin, meidän on ensin pyöristettävä niiden emäkset numeroon, jonka avulla voimme saada halutun tarkkuuden. Otetaan esimerkki.

Esimerkki 3

Suorita luvun π neliöinti.

Ratkaisu

Pyöristetään se ensin sadasosaan. Sitten π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Jos π ≈ 3 . 14159, niin saamme tarkemman tuloksen: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Huomaa, että tarve laskea irrationaalisten lukujen potenssit tulee käytännössä esiin suhteellisen harvoin. Voimme sitten kirjoittaa vastauksen potenssiksi itse (ln 6) 3 tai muuntaa, jos mahdollista: 5 7 = 125 5 .

Erikseen on ilmoitettava, mikä on luvun ensimmäinen potenssi. Tässä voit vain muistaa, että mikä tahansa ensimmäiseen potenssiin korotettu luku pysyy itsestään:

Tämä käy ilmi pöytäkirjasta. .

Se ei riipu tutkinnon perusteella.

Esimerkki 4

Joten (− 9) 1 = − 9 ja 7 3 nostettuna ensimmäiseen potenssiin pysyy yhtä suurena kuin 7 3 .

Mukavuuden vuoksi analysoimme kolme tapausta erikseen: jos eksponentti on positiivinen kokonaisluku, jos se on nolla ja jos se on negatiivinen kokonaisluku.

Ensimmäisessä tapauksessa tämä on sama kuin luonnolliseen potenssiin nostaminen: loppujen lopuksi positiiviset kokonaisluvut kuuluvat luonnollisten lukujen joukkoon. Olemme jo kuvanneet, kuinka työskennellä tällaisten tutkintojen kanssa edellä.

Katsotaan nyt kuinka nostaa oikein nollatehoon. Käytettäessä nollasta poikkeavaa kantaa tämä laskelma tuottaa aina arvon 1 . Olemme aiemmin selittäneet, että a:n 0:s potenssi voidaan määrittää mille tahansa reaaliluvulle, joka ei ole yhtä suuri kuin 0, ja a 0 = 1.

Esimerkki 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - ei määritelty.

Jäljelle jää vain negatiivisen kokonaislukueksponentin asteen tapaus. Olemme jo käsitelleet, että tällaiset asteet voidaan kirjoittaa murto-osana 1 a z, missä a on mikä tahansa luku ja z on negatiivinen kokonaisluku. Näemme, että tämän murtoluvun nimittäjä ei ole muuta kuin tavallinen aste positiivisella kokonaisluvulla, ja olemme jo oppineet laskemaan sen. Otetaan esimerkkejä tehtävistä.

Esimerkki 6

Nosta 2 tehoon -3.

Ratkaisu

Yllä olevaa määritelmää käyttämällä kirjoitamme: 2 - 3 = 1 2 3

Laskemme tämän murtoluvun nimittäjän ja saamme 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Sitten vastaus on: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Esimerkki 7

Nosta 1, 43 tehoon -2.

Ratkaisu

Muotoile uudelleen: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Laskemme neliön nimittäjässä: 1,43 1,43. Desimaalit voidaan kertoa seuraavasti:

Tuloksena saimme (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Meidän on kirjoitettava tämä tulos tavallisen murto-osan muodossa, jota varten se on kerrottava 10 tuhannella (katso materiaali murto-osien muuntamisesta).

Vastaus: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Erillinen tapaus on luvun nostaminen miinus ensimmäiseen potenssiin. Tällaisen asteen arvo on yhtä suuri kuin luku, joka on vastakkainen perustan alkuperäisen arvon kanssa: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Esimerkki 8

Esimerkki: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Kuinka nostaa luku murto-osaan

Suorittaaksemme tällaisen toiminnon meidän on muistettava asteen perusmääritelmä murto-eksponentilla: a m n \u003d a m n mille tahansa positiiviselle a:lle, kokonaisluvulle m ja luonnolliselle n:lle.

Määritelmä 2

Näin ollen murto-osuuden laskenta on suoritettava kahdessa vaiheessa: nostetaan kokonaislukupotenssiin ja löydetään n:nnen asteen juuri.

Meillä on yhtälö a m n = a m n , jota käytetään juurien ominaisuuksien perusteella yleensä tehtävien ratkaisemiseen muodossa a m n = a n m . Tämä tarkoittaa, että jos nostamme luvun a murto-osaan m / n, erotamme ensin n:nnen asteen juuren a:sta, sitten nostamme tuloksen potenssiin, jonka eksponentti on kokonaisluku m.

Havainnollistetaan esimerkillä.

Esimerkki 9

Laske 8 - 2 3 .

Ratkaisu

Menetelmä 1. Perusmääritelmän mukaan voimme esittää tämän seuraavasti: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Lasketaan nyt juuren alla oleva aste ja poimitaan tuloksesta kolmas juuri: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Menetelmä 2. Muunnetaan perusyhtälö: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Tämän jälkeen erotamme juuren 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 ja neliöimme tuloksen: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Näemme, että ratkaisut ovat identtisiä. Voit käyttää haluamallasi tavalla.

On tapauksia, joissa tutkinnolla on indikaattori, joka ilmaistaan ​​sekalukuna tai desimaalilukuna. Laskennan helpottamiseksi on parempi korvata se tavallisella murto-osalla ja laskea kuten yllä on osoitettu.

Esimerkki 10

Nosta 44,89 potenssiin 2,5.

Ratkaisu

Muunnetaan indikaattorin arvo tavalliseksi murtoluvuksi: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

Ja nyt suoritamme kaikki edellä mainitut toiminnot järjestyksessä: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 =1 = 51070 13 501, 25107

Vastaus: 13501, 25107.

Jos murto-eksponentin osoittajassa ja nimittäjässä on suuria lukuja, niin tällaisten eksponentien laskeminen rationaalisilla eksponenteilla on melko vaikeaa työtä. Se vaatii yleensä tietotekniikkaa.

Erikseen tarkastelemme asteikkoa nollakanta- ja murto-eksponentilla. Muotoa 0 m n olevalle lausekkeelle voidaan antaa seuraava merkitys: jos m n > 0, niin 0 m n = 0 m n = 0 ; jos m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Kuinka nostaa luku irrationaaliseen potenssiin

Tarve laskea tutkinnon arvo, jonka indikaattorissa on irrationaalinen luku, ei esiinny niin usein. Käytännössä tehtävä rajoittuu yleensä likimääräisen arvon laskemiseen (tiettyyn määrään desimaaleja). Tämä lasketaan yleensä tietokoneella tällaisten laskelmien monimutkaisuuden vuoksi, joten emme käsittele tätä yksityiskohtaisesti, osoitamme vain tärkeimmät säännökset.

Jos meidän on laskettava asteen a arvo irrationaalisella eksponentilla a, otetaan eksponentin desimaaliapproksimaatio ja lasketaan siitä. Tuloksena on likimääräinen vastaus. Mitä tarkempi desimaaliapproksimaatio on otettu, sitä tarkempi vastaus. Esitetään esimerkillä:

Esimerkki 11

Laske 2:n likimääräinen arvo potenssiin 1,174367....

Ratkaisu

Rajataan desimaaliapproksimaatioon a n = 1, 17. Tehdään laskelmat käyttämällä tätä lukua: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Jos otamme esimerkiksi likiarvon a n = 1 , 1743 , niin vastaus on hieman tarkempi: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter