erojärjestelmä
erojärjestelmä on johonkin differentiaaliongelmaan liittyvä äärellinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä, joka sisältää differentiaaliyhtälön ja lisäehdot (esimerkiksi reunaehdot ja/tai alkujakauma). Differentiaalikaavioita käytetään siis pelkistämään differentiaaliongelma, jolla on jatkuvuus, äärelliseksi yhtälöjärjestelmäksi, jonka numeerinen ratkaisu on pohjimmiltaan mahdollista tietokoneilla. Differentiaaliyhtälöön liittyvät algebralliset yhtälöt saadaan differentiaalimenetelmällä, joka erottaa differentiaalikaavioiden teorian muista numeerisista differentiaaliongelmien ratkaisumenetelmistä (esim. projektiomenetelmät, kuten Galerkin-menetelmä).
Differentiaalikaavion ratkaisua kutsutaan differentiaalitehtävän likimääräiseksi ratkaisuksi.
Vaikka muodollinen määritelmä ei aseta merkittäviä rajoituksia algebrallisten yhtälöiden muotoon, on käytännössä järkevää tarkastella vain niitä kaavioita, jotka jollakin tavalla vastaavat differentiaaliongelmaa. Erotuskaavioiden teorian tärkeitä käsitteitä ovat konvergenssin, approksimoinnin, stabiilisuuden ja konservatismin käsitteet.
Lähentäminen
Sanotaan, että alueella määritellyille funktioille määritetty differentiaalioperaattori approksimoidaan tietylle funktioluokalle äärellisellä erotusoperaattorilla, joka on määritelty ruudukossa määritellyille funktioille riippuen siitä, missä vaiheessa jos
Arviolta sanotaan olevan järjestystä jos
missä on vakio, joka riippuu tietystä funktiosta, mutta ei riipu askeleesta. Yllä käytetty normi voi olla erilainen, ja approksimoinnin käsite riippuu sen valinnasta. Usein käytetään yhtenäisen jatkuvuuden normin erillistä analogia:
joskus käytetään integraalinormien diskreettejä analogeja.
Esimerkki. Operaattorin likiarvo äärellisen erooperaattorin avulla
rajoitetulla aikavälillä on toista kertaluokkaa tasaisten funktioiden luokassa.
Äärillinen erotehtävä approkimoi differentiaaliongelmaa ja approksimaatio on kertaluokkaa, jos sekä itse differentiaaliyhtälö että raja- (ja alku-) ehdot on approksimoitu vastaavilla äärelliserooperaattoreilla ja approksimaatiot ovat järjestyksessä .
Courant-ehto
Courant-ehto (englanninkielisessä kirjallisuudessa, Eng. Courant-Friedrichs-Levy kunto , CFL) - häiriöiden etenemisnopeus erotusongelmassa ei saa olla pienempi kuin differentiaalissa. Jos tämä ehto ei täyty, erotuskaavion tulos ei ehkä pyri ratkaisemaan differentiaaliyhtälöä. Toisin sanoen, yhdessä aikavaiheessa hiukkasen ei pitäisi "kulkua" useamman kuin yhden solun läpi.
Niiden piirien tapauksessa, joiden kertoimet eivät riipu differentiaaliyhtälön ratkaisusta, Courant-ehto seuraa stabiilisuudesta.
Kaavioita puolueellisissa ruudukoissa
Näissä ruudukkomalleissa, joissa tulos asetetaan ja tiedot siirretään toisistaan. Esimerkiksi tulospisteet ovat datapisteiden keskellä. Joissakin tapauksissa tämä mahdollistaa yksinkertaisempien rajaehtojen käytön.
Katso myös
Linkit
- "Erotuskaaviot" - Wikikirjojen luku "Hyperbolisten yhtälöiden erotuskaaviot"
- Demyanov A. Yu., Chizhikov D. V. Implisittinen hybridi monotoninen erotuskaavio toisen kertaluvun tarkkuus
- V. S. Ryaben’kii, A. F. Filippov. Differentiaaliyhtälöiden stabiilisuudesta. - M .: Gostekhizdat, 1956.
- S. K. Godunov, V. S. Ryabenky. Johdatus erotuskaavioiden teoriaan. - M .: Fizmatgiz, 1962.
- K. I. Babenko. Numeerisen analyysin perusteet. - M .: Nauka, 1986.
- Berezin I.S., Zhidkov N.P. Laskentamenetelmät, - Mikä tahansa painos.
- Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Numeeriset menetelmät, - Mikä tahansa painos.
- G. I. Marchuk. Laskennallisen matematiikan menetelmät. - M .: Nauka, 1977.
Huomautuksia
Wikimedia Foundation. 2010 .
Katso, mitä "Difference Scheme" on muissa sanakirjoissa:
Differentiaaliyhtälöä ja lisäehtoja (alku-, raja- jne.) approksimoiva differentiaaliyhtälöjärjestelmä. Alkuperäisen differentiaaliongelman R. s. tämä on yksi tapa arvioida alkuperäisen ongelman likimääräisesti... Matemaattinen tietosanakirja
äärellisten elementtien erotuskaavio- elementtimenetelmä - [A.S. Goldberg. Englanti venäjän energiasanakirja. 2006] Aiheet Energia yleisesti Synonyymit elementtimenetelmä FI äärellinen tilavuusero aikataulu …
Erotuskaavio on äärellinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä, joka liittyy mihin tahansa differentiaaliongelmaan, joka sisältää differentiaaliyhtälön ja lisäehdot (esim. reunaehdot ja/tai alku... ... Wikipedia
rajallisen eron laskentakaava, joka perustuu kontrollivolyymeihin- (esim. lämmön ja massan siirto, lämmönjohtavuus) [A.S. Goldberg. Englanti venäjän energiasanakirja. 2006] Energia-aiheet yleisesti EN säädä tilavuuspohjainen äärellinen eroaikataulu… Teknisen kääntäjän käsikirja
Kaavio: graafinen asiakirja; esitys, kuva, esitys jostakin yleisimmillä termeillä, yksinkertaistettuna (esimerkiksi raporttikaavio); elektroninen laite, joka sisältää monia komponentteja (integroitu piiri). Graafinen asiakirja ... ... Wikipedia
Differentiaaliyhtälön raja-arvotehtävää vastaavaan variaatiotehtävään perustuva erokaavio. R:n rakentamisen pääidea. Kanssa. on se erityisellä koordinaattifunktioiden valinnalla Ritz-menetelmässä ... ... Matemaattinen tietosanakirja
Numeeriset menetelmät Gierbolpchin yhtälöiden ratkaisumenetelmien ratkaisemiseksi. tyyppi perustuu laskennallisiin algoritmeihin. Erilaisia matemaattisia mallit johtavat monissa tapauksissa hyperbolisiin differentiaaliyhtälöihin. tyyppi. Tällaisilla yhtälöillä on tarkka aialitiikka. ... Matemaattinen tietosanakirja
Laskennallisen matematiikan ala, joka tutkii menetelmiä differentiaaliyhtälöiden likimääräiseen ratkaisuun korvaamalla ne äärellisillä differentiaaliyhtälöillä (differenssikaaviot). R. s. t. tutkii erokaavioiden rakentamismenetelmiä, ... ... Matemaattinen tietosanakirja
Numeeriset menetelmät osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi ovat likimääräisiä ratkaisumenetelmiä, joiden seurauksena tehtävän ratkaisu esitetään lukutaulukolla. Juuri ratkaisuja (eksplisiittisten kaavojen, sarjojen jne.) voidaan rakentaa vain harvoin ... ... Matemaattinen tietosanakirja
Laskennallisiin algoritmeihin perustuvia menetelmiä kaasudynamiikan ongelmien ratkaisemiseksi. Tarkastellaan kaasudynamiikan ongelmien ratkaisemiseen tarkoitettujen numeeristen menetelmien teorian päänäkökohtia, kirjoitetaan kaasudynamiikan yhtälöt säilymislakien muodossa inertiassa ... ... Matemaattinen tietosanakirja e-kirja
Lämpöyhtälö approksimoidaan käyttämällä mallia ratkaisualueen jokaiselle sisäiselle solmulle
Täältä löydämme:
Alku- ja reunaehtoja käyttämällä ruudukkofunktion arvot löytyvät kaikista solmuista nollaaikatasolla.
Sitten suhteita käyttämällä
näiden funktioiden arvot löytyvät kaikista sisäisistä solmuista ensimmäisellä aikatasolla, jonka jälkeen löydämme arvon rajasolmuista
Tämän seurauksena löydämme funktioiden arvon kaikissa solmuissa ensimmäisellä aikatasolla. Sen jälkeen näitä suhteita käyttämällä löydämme kaikki muut arvot jne.
Tarkasteltavassa erokaaviossa halutun funktion arvot seuraavalla aikatasolla löydetään suoraan, eksplisiittisesti kaavan avulla
Siksi tätä mallia käyttävää harkittua erotusmallia kutsutaan selkeä erojärjestelmä . Sen tarkkuus on kohdallaan.
Tämä erotusjärjestelmä on helppokäyttöinen, mutta sillä on merkittävä haittapuoli. Osoittautuu, että nimenomainen ero järjestelmä on vakaa ratkaisu vain siinä tapauksessa, jos ehto täyttyy :
Selkeä erokaavio on ehdollisesti vakaa . Jos ehto ei täyty, niin pienet laskentavirheet, jotka liittyvät esimerkiksi tietokonetietojen pyöristämiseen, johtavat ratkaisun jyrkkään muutokseen. Ratkaisusta tulee käyttökelvoton. Tämä ehto asettaa aikaaskeleelle erittäin ankaria rajoituksia, joita ei voida hyväksyä, koska tämän ongelman ratkaisemiseen tarvittava laskenta-aika kasvaa merkittävästi.
Harkitse erokaaviota eri mallilla
Menetelmä 36
Implisiittinen erokaavio lämpöyhtälölle.
Korvaa lämpöyhtälöön:
Tämä suhde kirjoitetaan kullekin sisäiselle solmulle aikatasolla ja sitä täydennetään kahdella suhteella, jotka määrittävät arvot rajasolmuissa. Tuloksena on yhtälöjärjestelmä funktion tuntemattomien arvojen määrittämiseksi aikatasolla.
Kaava ongelman ratkaisemiseksi on seuraava:
Alku- ja reunaehtoja käyttämällä funktion arvo löydetään nollaaikatasolta. Sitten näitä suhteita ja rajaehtoja käyttäen konstruoidaan lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä funktion arvon löytämiseksi ensimmäisellä aikatasolla, minkä jälkeen järjestelmä rakennetaan uudelleen näitä suhteita käyttäen ja arvot löydetään toisen kerran taso jne.
Ero eksplisiittisestä skeemasta- seuraavan aikatason arvoja ei lasketa suoraan valmiilla kaavalla, vaan ne löydetään ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä, ts. tuntemattomien arvot löydetään implisiittisesti ratkaisemalla SLAE. Siksi erotuskaaviota kutsutaan implisiittiseksi. Toisin kuin eksplisiittinen, implisiittinen on ehdottoman vakaa.
Teema nro 9
Optimointiongelmia.
Nämä ongelmat ovat sovelletun matematiikan tärkeimpiä ongelmia. Optimointi tarkoittaa valita paras vaihtoehto kaikista mahdollisista ratkaisuista tiettyyn ongelmaan. Tätä varten on välttämätöntä muotoilla ratkaistava ongelma matemaattisena, antamalla käsitteille määrällinen merkitys paremmin tai huonommin. Yleensä ratkaisuprosessissa on tarpeen löytää optimoidut parametriarvot. Näitä vaihtoehtoja kutsutaan design. Ja suunnitteluparametrien määrä määrittää tehtävän ulottuvuus.
Ratkaisu kvantifioidaan käyttämällä jotakin funktiota, joka riippuu suunnitteluparametreista. Tätä toimintoa kutsutaan kohde . Se on rakennettu siten, että optimaalinen arvo vastaa maksimiarvoa (minimi).
- tavoitefunktio.
Yksinkertaisimmat tapaukset ovat, kun tavoitefunktio riippuu yhdestä parametrista ja se annetaan eksplisiittisellä kaavalla. Kohdetoimintoja voi olla useita.
Esimerkiksi lentokonetta suunniteltaessa on samanaikaisesti varmistettava maksimaalinen luotettavuus, pienin paino ja hinta jne. Tällaisissa tapauksissa syötä prioriteettijärjestelmä . Jokaiselle kohdefunktiolle on määritetty tietty tavoitekerroin, minkä seurauksena saadaan yleistetty kohdefunktio (kompromissifunktio).
Yleensä optimaalista ratkaisua rajoittavat useat ongelman fyysiseen toimintaan liittyvät olosuhteet. Nämä ehdot voivat olla tasa-arvoa tai eriarvoisuutta
Teoria ja menetelmät optimointiongelmien ratkaisemiseksi rajoitusten läsnä ollessa ovat tutkimuksen kohteena yhdessä soveltavan matematiikan osista - matemaattinen ohjelmointi.
Jos tavoitefunktio on lineaarinen suunnitteluparametrien suhteen ja myös parametreille asetetut rajoitukset ovat lineaarisia, niin lineaarisen ohjelmoinnin ongelma . Harkitse menetelmiä yksiulotteisen optimointitehtävän ratkaisemiseksi.
On löydettävä arvot, joilla tavoitefunktiolla on maksimiarvo. Jos tavoitefunktio annetaan analyyttisesti ja sen derivaateille löytyy lauseke, niin optimaalinen ratkaisu saavutetaan joko segmentin päissä tai kohdissa, joissa derivaatta katoaa. Nämä ovat kriittisiä kohtia ja . On tarpeen löytää tavoitefunktion arvot kaikista kriittisistä pisteistä ja valita maksimi.
Yleensä ratkaisun löytämiseen käytetään erilaisia hakumenetelmiä. Tämän seurauksena optimaalisen ratkaisun sisältävä segmentti kapenee.
Katsotaanpa joitain hakumenetelmiä. Oletetaan, että tavoitefunktiolla on yksi maksimi välissä. Tässä tapauksessa jakamalla solmupisteillä, joiden lukumäärä on , tavoitefunktio lasketaan näissä solmupisteissä. Oletetaan, että tavoitefunktion maksimiarvo on solmupisteessä, niin voidaan olettaa, että optimaalinen ratkaisu on välissä. Tämän seurauksena optimaalisen ratkaisun sisältävä segmentti kaventuu. Tuloksena oleva uusi segmentti jaetaan jälleen osiin jne. Jokaisella osiolla optimaalisen ratkaisun sisältävä segmentti pienenee kertoimella.
Oletetaan, että tuotetaan kapenevia vaiheita. Sitten alkuperäinen segmentti pienennetään kertoimella.
Eli tee juosten aikana (*)
Tässä tapauksessa tavoitefunktio lasketaan.
On löydettävä sellainen arvo, että lauseke (*) saadaan vähimmällä
laskelmien määrä.
Menetelmä 37
puolijakomenetelmä.
Harkitse hakumenetelmää . Sitä kutsutaan puolijakomenetelmäksi, koska jokaisessa vaiheessa optimaalisen ratkaisun sisältävä segmentti puolitetaan.
Haun tehokkuutta voidaan lisätä erityisellä valinnalla pisteistä, joissa tavoitefunktio lasketaan tietyssä kaventamisvaiheessa.
Menetelmä 38
Kultainen leikkausmenetelmä.
Yksi tehokkaista menetelmistä on kultainen leikkausmenetelmä. Janan kultainen leikkaus on piste, jonka ehto täyttyy
Tällaisia pisteitä on kaksi: =0,382 +0,618
0,618 +0,382 .
Jana jaetaan pisteillä ja sen jälkeen on piste, jossa tavoitefunktio on maksimi. Tuloksena löytyy muunneltu segmentti, jonka pituus on 0,618 ( - ).
Yksi kultaleikkauksen arvo kavennetulle segmentille on jo tiedossa, joten jokaisessa seuraavassa vaiheessa tavoitefunktion laskentaa tarvitaan vain yhdessä kohdassa (kultaisen leikkauksen toinen piste).
Menetelmä 39
Koordinaattien nousu (lasku) menetelmä.
Siirrytään optimointiongelman tarkasteluun siinä tapauksessa, että tavoitefunktio riippuu useista parametriarvoista. Yksinkertaisin hakumenetelmä on koordinaattien nousu (lasku) -menetelmä.
Luku 10. Osadifferentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaisu
Erotuskaaviot elliptisille yhtälöille |
|
Erilaiset raja-arvoongelmat ja rajaehtojen lähentäminen |
|
Erotuskaavion rakentaminen Dirichlet-ongelman tapauksessa Poissonin yhtälölle |
|
Matriisipyyhkäisymenetelmä |
|
Iteratiivinen menetelmä Dirichlet-ongelman erokaavion ratkaisemiseksi |
|
Parabolisen tyypin yhtälö. Eksplisiittiset ja implisiittiset äärellisen eron menetelmät |
|
Pyyhkäisymenetelmät parabolisen tyypin yhtälölle |
|
Aihehakemisto |
Erosuunnitelmat. Peruskonseptit
Olkoon D jokin riippumattomien muuttujien x, y muutosalue, jota rajaa ääriviiva. Sanotaan, että alueella D funktiolle U(x, y) annetaan toisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö, jos suhde pätee jollekin pisteelle alueelta D
∂2 U |
∂2 U |
∂2 U |
|||||||||
∂x2 |
∂x2 |
||||||||||
G(x, y)U = f(x, y), |
|||||||||||
missä a(x, y), b(x, y), . . . - kertoimet, f(x, y) - yhtälön vapaa termi. Nämä funktiot tunnetaan ja niiden katsotaan yleensä olevan määritelty suljetulla alueella D = D + .
Ratkaisugraafi on pinta Oxyz-avaruudessa.
Takaisin Ensimmäinen Edellinen Seuraava Viimeinen Ohita hakemisto
Merkitään δ(x, y) = b2 − ac. Yhtälöä L(U) = f kutsutaan elliptiseksi, paraboliseksi tai |
hyperbolinen D:ssä, jos ehdot δ(x, y)< 0, δ(x, y) = 0, δ(x, y) >0 puolesta |
kaikki (x, y) D. |
Differentiaaliyhtälön tyypistä riippuen raja-alkuarvot asetetaan eri tavalla. |
(10.1): |
Poisson-yhtälö (ellipsityyppinen yhtälö) |
∂2 U ∂2 U |
∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y) |
Takaisin Ensimmäinen Edellinen Seuraava Viimeinen Ohita hakemisto |
Lämpöyhtälö (parabolinen yhtälö)
∂U = ∂ 2 U + f(x, t) ∂t ∂x2
Aaltoyhtälö (hyperbolisen tyyppinen yhtälö)
∂2 U ∂2 U
∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)
Erotuskaavioiden konvergenssi, approksimaatio ja stabiilisuus
Olkoon U differentiaaliyhtälön ratkaisu
annettu D:ssä. Tarkastellaan jotakin joukkoa Dh = (Mh ), joka koostuu eristetyistä pisteistä Mh, jotka kuuluvat suljettuun alueeseen D = D + . Pisteiden lukumäärä Дh:ssa kuvataan arvolla h; mitä pienempi h, sitä suurempi on pisteiden määrä Dh:ssa. Joukkoa Dh kutsutaan ruudukoksi ja pisteitä Mh Dh ruudukkosolmuiksi. Solmuissa määriteltyä funktiota kutsutaan ruudukkofunktioksi. Merkitään U:lla jatkuvien funktioiden V (x, y) avaruus D:ssä. Merkitään Uh:lla Дh määritellyn ruudukkofunktioiden joukon Vh (x, y) muodostama avaruus. Ristikkomenetelmässä avaruus U korvataan avaruudella Uh .
Olkoon U(x, y) yhtälön ((10.2 )) tarkka ratkaisu ja U(x, y) kuuluu U:lle. Asetetaan arvojen Uh (x, y) löytämisen ongelma. Nämä arvot muodostavat yhdessä taulukon, jossa arvojen lukumäärä
Takaisin Ensimmäinen Edellinen Seuraava Viimeinen Ohita hakemisto
on yhtä suuri kuin pisteiden määrä Dh:ssa. Tarkkaa ongelmaa on harvoin mahdollista ratkaista. Pääsääntöisesti voidaan laskea joitain ruudukkoarvoja U(h) , joihin nähden sen voi olettaa
U(h) ≈ Uh(x, y).
Suureita U(h) kutsutaan ratkaisun U(x, y) likimääräisiksi ruudukkoarvoiksi. Niiden laskemiseksi rakennetaan numeerinen yhtälöjärjestelmä, jonka kirjoitamme muodossa
Lh (U(h) ) = fh , |
||||||||||||||
operaattorilla on ero, |
vastaa operaattoria |
|||||||||||||
määritellään F:llä samalla tavalla kuin U |
muodostettiin U:n mukaan. Kaavaa (10.3) kutsutaan erotukseksi |
|||||||||||||
järjestelmä. Otetaan normit k · kU h ja vastaavasti k · kF h lineaarisiin tiloihin Uh ja Fh , jotka ovat alkuperäisten avaruuksien normien k · kU ja k · kF ruudukkoanalogeja. Sanotaan, että erokaavio (10.3) on konvergentti, jos ehtona h → 0
kUh (x, y) − Uh kU h → 0.
Jos ehto täyttyy
kUh (x, y) − Uh kU h 6 chs ,
missä c on h:sta riippumaton vakio ja s > 0, niin sanotaan, että konvergenssi tapahtuu kertaluvun s nopeudella h:n suhteen.
Erotuskaavion (10.3 ) sanotaan approksimoivan ongelmaa (10.2 ) ratkaisussa U(x, y), jos
Lh (Uh (x, y)) = f(h) + δf(h) ja |
δf(h) F h → 0 as h → 0. |
|
Takaisin Ensimmäinen Edellinen Seuraava Viimeinen Ohita hakemisto
Arvoa δf(h) kutsutaan approksimaatiovirheeksi tai inviscid-differentiaaliksi. Jos
δf (h) F h 6 Mh σ , jossa M on h:sta riippumaton vakio ja σ > 0, niin sanotaan, että erokaavio on annettu ( 10.3 ) ratkaisulla U(x, y) luokkaa σ olevalla virheellä h:n suhteen.
Erokaaviota (3) kutsutaan stabiiliksi, jos on olemassa h0 > 0 siten, että kaikille h:ille< h0 и любых f(h) Fh выполняются условия
Erotuskaaviolla (10.3) on ainutlaatuinen ratkaisu; |
||||
U (h) Öh |
f(h) F h , jossa M on h:sta ja f(h):sta riippumaton vakio. |
|||
Toisin sanoen erokaavio on stabiili, jos sen ratkaisu riippuu jatkuvasti syöttötiedoista. Stabiili luonnehtii kaavion herkkyyttä erilaisille virheille, se on erotusongelman sisäinen ominaisuus, eikä tämä ominaisuus liity suoraan alkuperäiseen differentiaaliongelmaan, toisin kuin konvergenssi ja approksimaatio. Konvergenssin, approksimoinnin ja stabiilisuuden käsitteiden välillä on yhteys. Se koostuu siitä, että konvergenssi seuraa approksimaatiosta ja stabiilisuudesta.
Lause 1 Olkoon erokaavio L h (U h (x, y)) = f (h) lähentelee ongelmaa L(U) = f ratkaisussa U(x, y) kertaluvulla s suhteessa h:iin ja vakaa. Silloin tämä kaavio konvergoituu ja sen konvergenssijärjestys osuu yhteen approksimaatiojärjestyksen kanssa, ts. arviointi on oikeudenmukainen
Uh (x, y) − Uh Uh 6 khs , |
||
missä k on h:sta riippumaton vakio.
Todiste . Approksimaation määritelmän mukaan meillä on
Kirjan toinen osa on omistettu tavallisten differentiaaliyhtälöiden erokaavioiden rakentamiselle ja tutkimiselle. Samalla esittelemme erotuskaavioiden teorian konvergenssin, approksimoinnin ja stabiilisuuden peruskäsitteet, jotka ovat yleisluonteisia. Näiden tavallisten differentiaaliyhtälöiden yhteydessä saatujen käsitteiden tuntemus mahdollistaa jatkossa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden erokaavioita tutkittaessa keskittyä lukuisiin tämän hyvin monimuotoisen ongelmaluokan piirteisiin ja vaikeuksiin.
LUKU 4. ESIMERKKEJÄ EROTUSJÄRJESTELMISSÄ
Tässä luvussa tarkastellaan esimerkkejä erokaavioista, jotka on tarkoitettu vain teorian peruskäsitteiden alustavaan perehtymiseen.
§ 8. Tarkkuus- ja lähentämisjärjestyksen käsite
1. Erotuksen tarkkuusjärjestys.
Tämä osio on omistettu kysymykselle eroyhtälöiden ratkaisujen konvergenssista, kun ruudukko jalostetaan niiden differentiaaliyhtälöiden ratkaisuiksi, joita ne approksoivat. Rajaudumme tässä tutkimaan kahta erotusmallia ongelman numeerista ratkaisua varten
Aloitetaan yksinkertaisimmasta erotuskaaviosta, joka perustuu eroyhtälön käyttöön
Jaetaan jana pituisiksi h askeliksi. On kätevää valita, missä N on kokonaisluku. Jakopisteet on numeroitu vasemmalta oikealle, niin että . Erotuskaaviolla pisteessä saatu arvo ja arvo merkitään Asetetaan alkuarvo. Antaa . Erotusyhtälö (2) viittaa relaatioon
mistä löydämme yhtälön (2) ratkaisun alkuehdon mukaisesti:
Tehtävän (1) tarkka ratkaisu on muotoa . Se ottaa pisteen arvon
Etsitään nyt arvio likimääräisen ratkaisun (3) virheelle. Tämä pistevirhe tulee olemaan
Olemme kiinnostuneita siitä, kuinka se pienenee osiopisteiden lukumäärän kasvaessa, tai mikä on sama, erotusruudukon askeleen pienentyessä. Saadaksesi tämän selville, laitetaan se lomakkeeseen
Siten tasa-arvo (3) saa muodon
eli virhe (5) pyrkii nollaan ja virhearvo on askeleen ensimmäisen potenssin suuruusluokkaa.
Tämän perusteella sanomme, että erotuskaaviolla on ensimmäinen tarkkuuskerta (ei pidä sekoittaa § 1:ssä määriteltyyn erotusyhtälön järjestykseen).
Ratkaisemme nyt tehtävän (1) differentiaaliyhtälön avulla
Tämä ei ole niin yksinkertaista kuin miltä ensi silmäyksellä näyttää. Tosiasia on, että tarkasteltava kaavio on toisen kertaluvun eroyhtälö, eli se vaatii kahden alkuehdon määrittelyn, kun taas integroitava yhtälö (1) on ensimmäisen kertaluvun yhtälö ja sille määritämme vain . On luonnollista ottaa mukaan myös erojärjestelmä.
Ei ole selvää, kuinka heiltä kysytään. Tämän ymmärtämiseksi käytämme yhtälön (7) ratkaisemisen eksplisiittistä muotoa (katso § 3 kaavat):
Laajennukset (9) ominaisyhtälön juurien Taylor-kaavan mukaisesti antavat meille likimääräisiä esityksiä. Suoritetaanpa yksityiskohtaisesti tällaisen esityksen johtaminen -
Siitä lähtien
Emme suorita täysin samanlaista laskentaa kohteelle , vaan kirjoita tulos heti:
Korvaamalla likimääräiset lausekkeet kaavaan (8), saadaan
Kaikki lisäjohtopäätökset tehdään tutkimalla tätä kaavaa.
Huomaa, että jos kerroin pyrkii äärelliseen rajaan b, niin yhtälön (12) oikealla puolella oleva ensimmäinen termi pyrkii ongelman (1) haluttuun ratkaisuun.
solmujen konfiguraatio, ruudukkofunktion arvot, joissa määritetään eroyhtälöiden muoto ruudukon sisäisissä (ei raja-)pisteissä. Pääsääntöisesti kuvioissa, joissa on mallikuvia, derivaattojen laskemiseen osallistuvat pisteet on yhdistetty viivoilla.Courant-Isakson-Ries -järjestelmä(KIR), joka joskus liittyy myös S.K. Godunov, käy ilmi, 
. Sen likimääräinen järjestys. KIR-järjestelmä on ehdollisesti vakaa, ts. Courant-ehdon alla 
. Esitetään Courant-Isakson-Ries-kaavion eroyhtälöt laskennallisen alueen sisäisissä pisteissä:
Nämä kaaviot, joilla on myös nimi vastatuuleen eroskeema (englanninkielisessä kirjallisuudessa - upwind), voidaan kirjoittaa nimellä
Niiden etuna on ratkaisuriippuvuusalueen tarkempi huomioiminen. Jos otamme käyttöön merkinnän
niin molemmat kaaviot voidaan kirjoittaa seuraavissa muodoissa:
(differentiaaliyhtälön virtausmuoto);
(tässä termi toisella erolla erotetaan selvästi, mikä antaa järjestelmän vakautta);
(yhtälö äärellisin askelin).
Harkitse myös määrittämättömien kertoimien menetelmä erotuskaavion rakentamiseksi, kuljetusyhtälön ensimmäisen kertaluvun oikea kulma
Kaava voidaan esittää muodossa
Courant-Isakson-Ries-kaavio liittyy läheisesti ominaisuuksien numeerisiin menetelmiin. Annamme lyhyen kuvauksen tällaisten menetelmien ideasta.
Kaksi viimeistä saatua kaaviota (siirtonopeuden eri merkit) voidaan tulkita seuraavasti. Tehdään solmun läpi kulkeva ominaisuus (t n + 1 , x m ), jonka arvo on määritettävä ja joka leikkaa kerroksen t n pisteessä 
. Varmuuden vuoksi oletetaan, että siirtonopeus c on positiivinen.
Suoritettuamme lineaarisen interpoloinnin alemman aikakerroksen solmujen x m - 1 ja x m välillä, saamme
Seuraavaksi siirretään arvo u n (x") ominaiskäyrää pitkin ilman muutoksia ylempään kerrokseen t n + 1, eli asetetaan 
. Viimeistä arvoa on luonnollista pitää likimääräisenä ratkaisuna homogeeninen yhtälö siirtää. Tässä tapauksessa
tai siirtymällä Courant-numerosta uudelleen ruudukkoparametreihin,
nuo. Toisella tavalla pääsimme hyvin tunnettuun "vasemman kulman" kaavioon, joka on vakaa osoitteessa . Kun solmusta tulevan ominaisuuden (t n + 1, x m, n:nnen kerroksen kanssa ajassa) leikkauspiste sijaitsee solmun vasemmalla puolella (t n, x m - 1) Siten löytää ratkaisu , ei käytetä interpolointia, vaan ekstrapolaatiota, joka osoittautuu epävakaaksi .
"Oikean kulman" kaavion epävakaus c > 0:lle on myös ilmeinen. Tämän todistamiseksi voidaan käyttää joko spektrikriteeriä tai Courantin, Friedrichsin ja Levin ehtoa. Samanlainen päättely voidaan tehdä tapaukseen c< 0 и схемы "правый уголок".
epävakaa neljän pisteen järjestelmä saatu kun 
, sen likimääräinen järjestys on . Erotuskaavion ruudukkoyhtälöillä on seuraava muoto:
Lax-Wendroff-järjestelmä tapahtuu kun 
. Lax-Wendroff-kaavion approksimaatiojärjestys on 
. Järjestelmä on vakaa Courant-ehdon mukaan .
Tämä kaavio voidaan saada joko määrittelemättömien kertoimien menetelmällä tai ottamalla tarkemmin huomioon approksimaatiovirheen johtava termi. Tarkastellaan tarkemmin Lax-Wendroff-kaavion johtamisprosessia. Suorittamalla edellisen nelipistekaavion tutkimus approksimaatiota varten (ja tämä tutkimus on varsin alkeellista ja rajoittuu projektiofunktion hajotukseen Taylor-sarjan differentiaaliongelman tarkan ratkaisun ruudukkoon), saamme virheen päätermi
Approksimaatiovirheen päätermin lauseketta johdettaessa käytettiin alkuperäisen differentiaalisen kuljetusyhtälön seurausta
Joka saadaan differentoimalla alkuperäinen yhtälö (3.3) ensin ajan t suhteen, sitten suhteessa x-koordinaattiin ja vähentämällä toinen tuloksena olevista suhteista toisesta.
Seuraavaksi vaihtaminen toinen johdannainen toisessa termissä oikealla puolella O(h 2) asti, saadaan uusi erokaavio, joka approksimoi alkuperäistä differentiaaliyhtälö tarkkuudella . Lax-Wendroff-kaavion ruudukkoyhtälöt laskennallisten verkkojen sisäisissä solmuissa ovat
Implisiittinen kuuden pisteen järjestelmä tapahtuu q = 0; sen approksimaatiojärjestyksen kanssa , klo .
