En el proceso de Poisson, la probabilidad de un cambio en el tiempo (t, t~\~h) no depende del número de cambios en el tiempo (0, t). La generalización más simple es abandonar esta suposición. Supongamos ahora que si ocurren n cambios en el tiempo (0, t), entonces la probabilidad de un nuevo cambio en el tiempo (t, t h) es \nh más un término de orden más pequeño que /r; en lugar de una constante X que caracteriza el proceso, tenemos una secuencia de constantes X0, Xj, X2

Es conveniente introducir una terminología más flexible. En lugar de decir que ocurrieron n cambios en el tiempo (0, t), diremos que el sistema está en el estado En. El nuevo cambio provoca entonces la transición En->En+1. En el proceso de reproducción pura, la transición de En solo es posible a En+1. Este proceso se caracteriza por los siguientes postulados.

Postulados. Si en el momento t el sistema se encuentra en el estado En(n ~ 0, 1, 2,...), entonces la probabilidad de que durante el tiempo (t, t -) - h) ocurra la transición a En + 1 es igual a Xn/r -|~ o (A). La probabilidad de otros cambios tiene un orden de pequeñez mayor que h.

") Dado que consideramos que h es un valor positivo, entonces, estrictamente hablando, Pn (t) en (2.4) debe considerarse como una derivada derecha. Pero en realidad se trata de una derivada ordinaria de dos colas. De hecho, el término o (K) en la fórmula (2.2) no depende de t y por lo tanto no cambia si t se reemplaza por t − h.Entonces la propiedad (2.2) expresa continuidad, y (2.3) es derivable en en el sentido habitual. Esta observación también es aplicable en lo que sigue y no se repetirá.

El sello distintivo de esta suposición es que el tiempo que el sistema pasa en cualquier estado individual es irrelevante: no importa cuánto tiempo permanezca el sistema en un estado, una transición repentina a otro estado sigue siendo igualmente posible.

Sea nuevamente P„(t) la probabilidad de que en el momento t el sistema se encuentre en el estado En. Las funciones Pn(t) satisfacen un sistema de ecuaciones diferenciales que se puede derivar usando los argumentos de la sección anterior, con el único cambio de que (2.2) se reemplaza por

Pn (t-\-h) = Pn (0(1- V0 + Pn-1 (0\-ih + 0 (A) - (3.1)

Así, obtenemos el principal sistema de ecuaciones diferenciales:

p "n (t) \u003d -lnPn (t) + ln_xPn_x (t) ("> 1),

P "0 (t) \u003d -l0P0 (t).

Podemos calcular P0(t) y luego secuencialmente todo Pn(t). Si el estado del sistema es el número de cambios en el tiempo (0, (), entonces el estado inicial es £0, de modo que PQ (0) = 1 y, por lo tanto, P0 (t) - e~k "". Sin embargo, no es necesario que el sistema partiera del estado £0 (ver Ejemplo 3, b) Si en el momento 0 el sistema se encuentra en el estado £, entonces

P. (0) = 1. Pn (0) = 0 para n Φ I. (3.3)

Estas condiciones iniciales determinar soluciones de manera única)